econometria 1 - FCEA - Facultad de Ciencias Económicas y de

Universidad de la República, Facultad de Ciencias Económicas y Administración.
ECONOMETRÍA I - CURSO 2003
PRACTICO 8
EJERCICIO 1
Sea el modelo Yt = β1 + β2 Xt + ut (t=1,2,...,17) al cual pertenecen los siguientes datos:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Xt
2
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
3
4
5
8
2
4
Yt
25.5
27.8
30.4
33.2
34.6
35.3
38.6
28.3
28.7
30.7
33.3
26.2
29.1
28.5
34.3
23.1
28.1
Y^t
24.740
26.681
28.622
30.563
32.504
34.445
36.386
28.622
30.563
32.504
34.445
26.681
28.622
30.563
36.386
24.740
28.622
et= Yt –Y^t
0.760
1.119
1.778
2.637
2.096
0.855
2.214
-0.322
-1.863
-1.804
-1.145
-0.481
0.478
-2.063
-2.086
-1.640
-0.522
et-et-1
--0.359
0.659
0.859
-0.541
-1.241
1.359
-2.536
-1.541
0.059
0.659
0.664
0.959
-2.541
-0.023
0.446
1.118
Además: ΣXt = 83; ΣYt = 515,7; ΣX2t=463; ΣXt.Yt= 2630
Σe2t= 42,140; Σ(et –et-1)2= 23,491; Σe2t-1= 41,86; Σet.et-1=29,969
El modelo estimado por MCO es: Y^= 20,858 + 1,941.X, cuyos valores están en el cuadro anterior.
SE PIDE:
a) Probar la existencia de autocorrelación de primer orden, utilizando el estadístico “d” de DurbinWatson.
b) Estimar los parámetros (incluídos los de la estructura autorregresiva) mediante algún procedimiento
que contemple la autocorrelación.
c) Probar la significación del modelo al 1%.
d) Indique cómo realizaría una predicción para el período 18 teniendo en cuenta la estructura AR(1) del
residuo.
EJERCICIO 2
Para el modelo Yi = C + β2 X2,i + + β3 X3,i + ui
se dispone de una muestra de 100 observaciones de una serie temporal. Los resultados de la estimación
por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) se presentan a continuación, así como distintos tests
aplicados.
SE PIDE:
a) En base a las salidas presentadas a continuación, indique si corresponde aplicar el test de BreuschGodfrey a los efectos de evaluar la existencia de autocorrelación. Indique las hipótesis del test, el
estadístico utilizado y su distribución.
b) Realice el test de Breusch-Godfrey y analice todo otro test disponible para probar la existencia de
autocorrelación de primer orden.
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Included observations: 100
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
X2
X3
9.437583
0.481379
-0.533626
0.285464
0.305277
0.280206
33.06052
1.576860
-1.904407
0.0000
0.1181
0.0598
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.064535
0.045247
2.771664
745.1658
-242.3157
1.998442
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
9.397139
2.836581
4.906314
4.984469
3.345894
0.039339
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic
0.662601
Obs*R-squared 1.375759
Probability
Probability
0.517874
0.502641
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
X2
X3
RESID(-1)
RESID(-2)
-0.004130
-0.021721
-0.036443
-0.007286
0.118504
0.286506
0.309542
0.283274
0.103435
0.103229
-0.014414
-0.070171
-0.128651
-0.070442
1.147972
0.9885
0.9442
0.8979
0.9440
0.2539
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.013758
-0.027768
2.781355
734.9141
-241.6230
1.983206
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
EJERCICIO 3
Se desea explicar la variable Yt. Para ello se especifican dos modelos.
(*) Yt = C + b1 X1t + b2 X2t + ut
(**) Yt = C + c1 X1t + c2 X2t + c3 X3t + vt
La regresión correspondiente al modelo (*) arrojó los siguientes resultados:
2.96E-15
2.743525
4.932460
5.062719
0.331301
0.856298
LS // Dependent Variable is Y
Number of observations: 20
=======================================================================
VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR T-STAT. 2-TAIL SIG.
========================================================================
C
0.7105242 1.8742148 0.3791050
0.7093
X1
1.3732326 0.2872097 4.7812889 0.0002
X2
-1.4868217 0.3178445 -4.6778277 0.0002
========================================================================
R-squared
0.739924 Mean of dependent var 4.300000
Adjusted R-squared
0.709327 S.D. of dependent var 7.145849
S.E. of regression
3.852620 Sum of squared resid 252.3255
Log likelihood
-53.72865 F-statistic
24.18278
Durbin-Watson stat
1.039894 Prob(F-statistic)
0.000011
========================================================================
SE PIDE:
a) Investigar la significación de las variables del modelo y del modelo en su conjunto al 5%.
b) Probar la hipótesis de que b1 + b2 = 0
c) Compruebe la existencia de autocorrelación de 1er. orden de las perturbaciones en el modelo (*).
d) ¿Cómo afecta el punto (c) a la prueba de hipótesis realizada en (b)?
A partir de (c), se estimó el modelo por el método de Cochrane-Orcutt.
Los resultados son:
LS // Dependent Variable is Y
SMPL range: 2 - 20
Number of observations: 19
Convergence achieved after 6 iterations
========================================================================
VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR T-STAT. 2-TAIL SIG.
========================================================================
C
0.5256549 2.3127331 0.2272873 0.8233
X1
1.2237887 0.2399886 5.0993618 0.0001
X2
-1.2223546 0.2850863 -4.2876654 0.0006
-------------------------------------------------------------------------------------AR(1) 0.5651782 0.2325712 2.4301298 0.0281
========================================================================
R-squared
0.795951 Mean of dependent var 3.947368
Adjusted R-squared
0.755142 S.D. of dependent var 7.160646
S.E. of regression
3.543314 Sum of squared resid 188.3261
Log likelihood
-48.75032 F-statistic
19.50397
Durbin-Watson stat
1.745555 Prob(F-statistic)
0.000020
========================================================================
SE PIDE:
e) ¿Ha sido resuelto el problema de la autocorrelación? Fundamente su
respuesta.
Alternativamente, se ha estimado el modelo (**). Los resultados son:
LS // Dependent Variable is Y
Number of observations: 20
========================================================================
VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR T-STAT. 2-TAIL SIG.
========================================================================
C
-0.9894858 1.3387710 -0.7391001 0.4706
X1
1.3887007 0.1968313 7.0552854 0.0000
X2
-1.2224066 0.2255961 -5.4185619 0.0001
X3
1.4670885 0.3263669 4.4952124 0.0004
========================================================================
R-squared
0.885071 Mean of dependent var 4.300000
Adjusted R-squared
0.863522 S.D. of dependent var 7.145849
S.E. of regression
2.639883 Sum of squared resid 111.5037
Log likelihood
-45.56203 F-statistic
41.07228
Durbin-Watson stat
2.117724 Prob(F-statistic)
0.000000
========================================================================
SE PIDE:
e) Investigar la existencia de autocorrelación.
f) Vuelva a realizar la prueba planteada en (b).
g) ¿Cuál de los modelos es preferible? Fundamente adecuadamente su respuesta. En particular, plantee las
razones que determinarían que el modelo (*) presente autocorrelación en relación al modelo (**).
EJERCICIO 4
Sea Ct el consumo real per cápita de un país en el momento t, y Yt, el ingreso disponible real per cápita,
ambos medidos en miles de millones de dólares. Usando datos anuales de 32 años, se estimó el siguiente
modelo:
Ct= -21151 + 2989.9 ln.Yt
(-39.3) (45.0)
valores de t entre paréntesis.
R2 corregido= 0.985
DW= 0.207
SE PIDE:
a) Probar la existencia de autocorrelación de primer orden al 5%.
b) Basado en la conclusión anterior, indique sus comentarios acerca de las propiedades de las estimaciones
por MCO realizadas en términos de (i)insesgamiento, (ii) mejor estimador lineal insesgado y de mínima
varianza y (iii) la validez de los tests de hipótesis sobre los coeficientes y el modelo.
c) Describa el método de estimación a realizar en caso de que los MCO no hayan cumplido las propiedades
deseables.
Se formula la hipótesis de que C depende del consumo del período anterior pero se ajusta por los cambios en
el ingreso disponible. El siguiente modelo fue estimado utilizando MCO:
Ct = -21.83 + 1.01.Ct-1 + 0.769 (Yt – Yt-1) + et
R2= 0.998
DW= 2.11
ρ^= -0.07
SE PIDE:
d) Indique fundamentando si los estimadores utilizados son insesgados.
e) Probar la hipótesis de autocorrelación utilizando el test más apropiado.
EJERCICIO 5
Dado el siguiente modelo con un solo regresor:
yt = b.xt + ut, con t= 1,2,...,T, siendo xt =1 ∀t
con ut = ρ ut-1 + εt , con –1 < ρ < 1 y con ε ∼ NIID(0,σ2)
SE PIDE:
a) Calcular V(ut), cov(ut,us).
c) Determinar la varianz del estimador MCO de b indicando la precisión del estimador cuando el tamaño de
la muestra aumenta.
EJERCICIO 6
Suponga un modelo lineal Y=Xβ +U, donde las perturbaciones siguen un esquema AR(1) y por tanto la
matriz de varianzas y covarianzas de las mismas se puede expresar como: E(U.U´)= σ2ε. V.
SE PIDE:
a) Expresar la matriz V en términos de ρ.
b) Mostrar la transformación T necesaria para que la nueva matriz de varianzas y covarianzas de los
residuos transformados sea igual a σ2.I.
EJERCICIO 7
En el modelo Y=Xβ +U, con 30 observaciones de una serie temporal y 3 variables explicativas incluída la
constante, el estadístico DW se estimó en 1,0.
SE PIDE:
a) Probar la existencia de autocorrelación de primer orden al 5%.
b) ¿Cuál es el valor aproximado del coeficiente de correlación serial de primer orden implícito en el
estadístico DW?
c) A menudo, en trabajos de series de tiempo, los datos se transforman tomando primeras diferencias yt – yt2
1. Suponga que en efecto, ut=ρut-1 +εt y las εt se distribuyen IID(0,σ ). Encontrar la matriz de varianzas y
covarianzas de las perturbaciones del modelo en primeras diferencias.
d) Si ρ es igual al valor que se obtuvo en b), indique si el modelo las primeras diferencias satisface las
condiciones necesarias para una buena estimación. Indique asimismo si hay alguna razón para pensar
que la transformación de las primeras diferencias ha mejorado la situación.