Ejercicios resueltos Bloque4. Cálculo

Bloque 4. Cálculo
Tema 1 Valor absoluto
Ejercicios resueltos
4.1-1 Resolver las siguientes desigualdades:
a) x  5  7 ;
b) 4 x  1  2 x ;
x x
e)
  5;
2 3
d ) 4  2 x  3 x  1;
c) 2 x  1  0;
f )  4  2x  3  4
Solución
a)
x  5  7  x  12  S   x   / x  12  12 ,  
b)
4 x  1  2x  x  



1 
1
1
 S  x   / x      ,  
2
2 
2
c) 2 x  1  0  x 

1
1 1 
 S  x / x    ,
2
2 2 
d)
4  2 x  3 x  1  5  5 x  1  x  S   x   / x  1  1,  
e)
x x
  5  3x  2 x  6  5  x  6  S   x   / x  6   6 ,  
2 3
f)
4  2 x  3  4  4  3  2 x  4  3  1  2 x  7  

 S  x /
G3w

1
7
x
2
2
1
7  1 7
 x    , 
2
2  2 2
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 1
4.1-2 Resolver:
18 x  3x 2  0
Solución
18 x  3x 2  0  3x  6  x   0
Resolvemos 3 x  6  x   0 para ver los intervalos que tenemos y sus
límites:
x  0
3x  6  x   0  
x  6
Para ver donde se verifica la inecuación hacemos la tabla siguiente y
vemos como son los signos de los diferentes factores en cada uno de los
intervalos:

x
6x
3x  6  x   0

0



NO sirve

6



SI sirve



NO sirve
S   x   / 0  x  6   0 , 6 
4.1-3 Resolver:
x 3  3 x 2  10 x  24  0
Solución
Descomponemos en factores:
 x  3

x  3 x  10 x  24  0   x  2

x  4
3
2
Con lo cual la inecuación se puede escribir como:
 x  3  x  2   x  4   0
Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla:
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos
2

2
3



x 3
x 2
x4
 x  3  x  2   x  4   0





SI sirve








NO sirve

4

SI sirve
NO sirve
S   x   / x  3  2  x  4    , 3    2 , 4 
4.1-4 Resolver:
2x  1
3
x 3
Solución
Debemos realizar las siguientes operaciones para no perder soluciones:
2x  1
2x  1
2 x  1  3x  9
x  8
x8
3
3  0 
0
0
0
x 3
x3
x 3
x 3
x3
Para ver los límites de los intervalos igualamos a cero el numerador y el
denominador de la expresión anterior:
x  8  0  x   8 y x  3  0  x   3 este valor nunca lo podrá
tomar x pues algo partido por 0 no existe.
Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla:

x8
x 3
x8
0
x 3

8



NO sirve

3



SI sirve



NO sirve
S   x   /  8  x  3    8 , 3 
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 3
4.1-5 Resolver:
2x 1
3
x
Solución
Debemos realizar las siguientes operaciones para no perder soluciones:
2x  1
2x 1
2 x  1  3x
x 1
x 1
3
3  0 
0
0
0
x
x
x
x
x
Para ver los límites de los intervalos igualamos a cero el numerador y
denominador de la expresión anterior:
x  1  0  x   1 y x  0 este valor nunca lo podrá tomar x pues
algo partido por 0 no existe
Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla:

x 1
x
x 1
0
x

1



SI sirve
S   x   / x  1  0  x
4.1-6 Resolver:

0






NO sirve
SI sirve
    , 1   0 ,  
2x  1  5
Solución
Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y
después resolver las inecuaciones. El valor absoluto de un número
coincide con él si es positivo y es menos ese número si es negativo. Por
lo tanto:
 2 x  1 si 2 x  1 es positivo

2x  1  
2 x  1 si 2 x  1 es negativo

G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 4
Por lo tanto nuestro problema se convierte en:
 2x  1  5

2 x  1  5  
2 x  1  5

si x  1 2
 x2

 
 3  x
si x   1 2

si x   1 2
si x  1 2
Se deben verificar las dos inecuaciones, la solución será el conjunto de
los valores comunes:
S   x   /  1 2  x  2  3  x   1 2
4.1-7 Resolver:
   3, 1 2   1 2 , 2    3, 2 
x 2 5
Solución
Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y
después resolver las inecuaciones a que da lugar:
 x  2 si x  2 es positivo

x2  
 x  2 si x  2 es negativo

Por lo tanto nuestro problema se convierte en:
 x  2  5 si x  2


x  2  5  
 x  2  5 si x  2

 x3



 7  x
si x  2
si x  2
Como se deben verificar las dos inecuaciones, la solución será:
S   x   / 3  x  x  7    , 7   3 ,  
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
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Ejercicios resueltos 5
4.1-8 Resolver:
5  x 1  1
Solución
Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y
después resolver las inecuaciones a que da lugar:
5  x 1
1
1

 5  x si 5  x es positivo
1 
 5  
x 
1
1
5  si 5  es negativo
x
x

 5 x  1  0  x   1 5


 x  0
 x  0
1
5x  1


5  0 


0

   , 1 5   0 ,  
x
x
 5 x  1  0  x  1 5
 

  x  0
 x  0
5 x  1  0  x   1 5


 x  0
 x  0
1
5x  1




5  0 
0

  1 5 , 0 
x
x
 5 x  1  0  x  1 5


 x  0
 x  0
Por lo tanto nuestro problema se convierte en:
1


 1 si x    , 1 5   0 ,  
5

x

1
5   1  
x

1
5   1 si x   1 5 , 0 
x

1
4x 1

4  x  0  x  0

1
5   1  
x

1
6x 1
6   0 
0
x
x

si x    , 1 5   0 ,  
si x   1 5 , 0 
Calculemos las soluciones de las diferentes inecuaciones.
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto
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MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 6
4x 1
 0:
x
Solución de
Veamos cuales son los límites de los intervalos, para lo cual igualamos a
cero el numerador y el denominador de la expresión anterior:
1
, x  0 este valor no puede estar en la solución
4
porque algo partido por 0 no existe. Con estos datos obtenidos
escribimos la siguiente tabla:
4x 1  0  x  


1
4






NO sirve

0


4x 1
x
4x 1
0
x

S  x /


SI sirve
NO sirve

1
 1 
 x  0   ,0
4
 4 
 1 1
Como x    , 1 5   0 ,   , se tiene que: x    ,  
 4 5
Solución de
6x 1
0:
x
Veamos cuales son los límites de los intervalos, para lo cual igualamos a
cero el numerador y el denominador de la expresión anterior:
1
6 x  1  0  x   , por otro lado x  0 , este valor no puede estar en la
6
solución porque algo partido por 0 no existe. Con estos datos escribimos
la siguiente tabla:

6x 1
x
6x 1
0
x

G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.

1
6



SI sirve

0



NO sirve



SI sirve
Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 7

S  x / x  
1
6
 0x

1

   ,     0 ,  
6

 1 1
Como x    1 5 , 0  , se tiene que: x    ,  
 5 6
Resumiendo tenemos:
Solución de
4x 1
 0:
x
 1 1
x   ,  
 4 5
Solución de
6x 1
0:
x
 1 1
x   ,  
 5 6
La solución de nuestro problema 5  x 1  1 debe verificar alguna de las
dos inecuaciones anteriores, por lo tanto la solución será:

 1 1
 1 1   1 1
S   x   / x    ,    x   ,       ,  
 4 5
 5 6   4 6

4.1-9 Resolver:
2
3  5
x
Solución
Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y
después resolver las inecuaciones a que da lugar:
 2
 x  3 si

2
3  
x
 2
  3 si
 x
2
 3 es positivo
x
2
 3 es negativo
x
Esto es:
2  3 x  0  x  2 3


 x  0
 x  0
2
2  3x


3  0 
0
 
  0 , 2 3

x
x
 2  3x  0  x  2 3


 x  0
 x  0
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
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Ejercicios resueltos 8
2  3x  0  x  2 3


 x  0
 x  0
2
2  3x


3  0 
0
 
   , 0   2 3 ,  

x
x
 2  3x  0  x  2 3


 x  0
 x  0
Por lo tanto nuestro problema se convierte en:
 2
 x 3  5

2
 3  5  
x
 2
  3  5
 x
si
x   0 , 2 3
si
x    , 0   2 3 ,  
2  8x
8x  2
 2
8
0
0





 0 si x   0 , 2 3
 x
x
x

2
 3  5  
x
 2
2  2 x
2x  2
  2  0 
0
 0 si x    , 0   2 3 ,  
x
x
 x
Calculemos las soluciones de las diferentes inecuaciones.
Solución de
8x  2
0:
x
Veamos cuales son los límites de los intervalos. Igualamos a cero el
numerador y el denominador de la expresión anterior:
1
y x  0 , este valor no puede estar en la solución
4
porque algo partido por 0 no existe
8x  2  0  x 
Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla:

G3w
8x  2
x
8x  2
0
x

Conocimientos básicos de Matemáticas.
1
4
0



SI sirve



NO sirve




SI sirve
Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
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Ejercicios resueltos
9

S  x / x  0
1
x
4

1 
   , 0    ,  
4 
Como x   0 , 2 3 , se tiene que: x  1 4 , 2 3
Solución de
2x  2
0:
x
Veamos cuales son los límites de los intervalos. Igualamos a cero el
numerador y el denominador de la expresión anterior:
2 x  2  0  x  1 , por otro lado x  0 , este valor no puede estar en la
solución porque algo partido por 0 no existe
Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla:


SI sirve

0


2x  2
x
2x  2
0
x

S   x   / x  1  0  x
1






NO sirve
SI sirve
    , 1   0 ,  
Como x    , 0   2 3 ,   , se tiene que: x    , 1  2 3 ,  
Resumiendo tenemos:
Solución de
8x  2
0:
x
x  1 4 , 2 3
Solución de
2x  2
0:
x
x    , 1  2 3 ,  
2
 3  5 debe verificar alguna de las
x
dos inecuaciones anteriores, por lo tanto la solución será:
La solución de nuestro problema
1

S   x   / x  1 4 , 2 3  x    , 1  2 3 ,      , 1   ,  
4

G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
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Ejercicios resueltos
10
4.1-10 Resolver:
x  5  x 1
Solución
Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y
después resolver las inecuaciones a que da lugar:
 x  5 si x  5 es positivo

x 5  
  x  5 si x  5 es negativo

Por lo tanto nuestro problema se convierte en:
 x  5  x 1
x  5  x 1  
 x  5  x  1
 6  0
x  5  x 1  
4  2 x  x  2
si
x 5
si
x 5
x  5

x  5  2 , 5
x 5
si
si
S   x   / x  5  x   2 , 5   2 ,  
4.1-11 Resolver:
x2  2  1
Solución
Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y
después resolver las inecuaciones a que da lugar:
 x 2  2 si x 2  2 es positivo

x2  2  
 2
2
 x  2 si x  2 es negativo
Por lo tanto nuestro problema se convierte en:
 x2  2  1

x 2  2  1  
 2
 x  2  1
G3w

si
x   ,  2    2 , 
si
x    2 , 2 
Conocimientos básicos de Matemáticas.

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Ejercicios resueltos
11
 x2  3

x 2  2  1  

2
1  x

si
x   ,  2    2 , 
si
x    2 , 2 

Debemos resolver las dos inecuaciones, para lo cual debemos tener en
 x si x  0

2
cuenta que: x  x  
 x si x  0

La inecuación x 2  3 se convierte:
 x 3

x  3  x  3  x  3  

 3  x
2
si x  0
2
si x  0
x  0 , 3     3 , 0     3 , 3 
La solución de la inecuación x 2  3 será:


S  x   / x    3 , 3   x   ,  2    2 , 
  
3 ,  2    2 , 3 
La inecuación 1  x 2 se convierte:
 1 x

1  x  1  x  1  x  
 x  1

2
si
x0
 x  1,      , 1
2
si
x0
La solución de la inecuación 1  x 2 será:


S  x   / x    , 1  1,    x    2 , 2     2 , 1  1, 2 
La solución de nuestro problema x 2  2  1 deberá satisfacer alguna de
las dos inecuaciones anteriores por lo tanto será:


S  x   / x    3 ,  2    2 , 3     2 , 1  1, 2     3 , 1  1, 3 
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
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Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 12
4.1-12 Resolver:
2x 1
2
x
Solución
Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y
después resolver las inecuaciones a que da lugar:
2x 1
 2x  1
es positivo
 2 si

x
x

2x 1
 2  
x
 2x 1
2x 1

 2 si
es negativo
x
x

Esto es:
2 x  1  0  x  1 2


 x  0
 x  0
2x  1



0
 
   , 0   1 2 ,  
x
 2x 1  0  x  1 2


 x  0
 x  0
2 x  1  0  x  1 2


 x  0
 x  0
2x  1



0
 
  0 , 1 2
x
 2x  1  0  x  1 2


 x  0
 x  0
Por lo tanto nuestro problema se convierte en:
 2x 1
2

x

2x 1
 2  
x
 2x  1

2
x

G3w
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si
x    , 0   1 2 ,  
si
x   0 , 1 2
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Ejercicios resueltos 13
1
 2x 1
si

2

0

0

x
x

2x 1
 2  
x
 2x  1
4 x  1

2  0 
 0 si
x
x

Solución de
x    , 0   1 2 ,  
x   0 , 1 2
1
0:
x
S   x   / x  0  x    , 0   1 2 ,      , 0 
Solución de
4x 1
0:
x
Veamos cuales son los límites de los intervalos. Igualamos a cero el
numerador y el denominador de la expresión anterior:
1
y x  0 , este valor no puede estar en la solución
4
porque algo partido por 0 no existe.
4x 1  0  x 
Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla:

4x 1
x
4x 1
0
x

1
4
0



NO sirve



SI sirve




NO sirve
 1
S   x   / x   0 , 1 4   x   0 , 1 2   0 , 
 4
La solución de nuestro problema debe verificar alguna de las dos
inecuaciones anteriores, por lo tanto la solución será:
 1
S    , 0    0 , 
 4
G3w
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