Integrales de series y conjuntos de medida cero

Integrales de series y conjuntos de medida cero
Objetivos. Demostrar un par de resultados sobre las integrales de series de funciones,
no necesariamente positivas y definidas casi en todas partes.
Requisitos. Medida, propiedad subaditiva de la medida, integración, teorema de convergencia monótona, teorema de la integral de una serie de funciones positivas.
1. Integrales de funciones iguales casi en todas partes (repaso). Sean f, g ∈
µ
M(X, F, R+ ) o f, g ∈ L1 (X, F, C) tales que f ∼ g. Entonces
Z
Z
f dµ = g dµ.
X
X
2. Definición (función medible definida casi en todas partes). Sea (X, F, µ) un
espacio de medida. Sea E ∈ F y sea f : E → R+ o f : E → C. Se dice que f es F-medible
si µ(E c ) = 0 y f −1 [V ] ∈ F para todo conjunto abierto V . Notemos que en esta situación
podemos extender f a X poniendo f (x) = 0 para todo x ∈ X \ E.
3. Sea f ∈ L1 (X, F, R+ ). Entonces f < +∞ c.t.p.
4. Teorema. Sea (X, F, µ) un espacio de medida y sea (fn )n∈N una sucesión de funciones
complejas, donde para cada n ∈ N la función fn está definida en casi todas partes de X
y F-medible. Supongamos que
∞ Z
X
|fn | dµ < +∞.
n=1 X
Entonces la serie
∞
X
fn (x)
n=1
converge casi en todas partes, su suma g es una función µ-integrable, y
Z
g dµ =
X
∞ Z
X
fn dµ.
n=1 X
Idea de demostración. Para cada n ∈ N denotemos por Sn al conjunto donde está definida
fn . Pongamos
∞
\
S :=
Sn .
n=1
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Entonces µ(Snc ) = 0 y
∞
[
µ(S) = µ
!
Snc
≤
n=1
∞
X
µ(Snc ) = 0.
n=1
Definamos h : S → R+ poniendo
h(x) :=
∞
X
|fn (x)|.
n=1
Entonces por el teorema de la integral de una serie de funciones positivas,
Z
∞ Z
X
h dµ =
|fn | dµ < +∞.
n=1 S
S
Sea B = {x ∈ S : |h(x)| < +∞}. Entonces µ(B c ) = 0. Luego aplicamos el teorema de
convergencia dominada a las sumas parciales en el conjunto B.
5. Ejercicio. Considere lasPfunciones fn : [0, 1] → R+ , fn = χ[0,1/2n ] . Determine en
qué puntos de [0, 1] la serie ∞
n=1 fn converge.
6. Teorema (lema de Borel–Cantelli). Sea (An )∞
n=1 una sucesión en F tal que
∞
X
µ(An ) < +∞.
n=1
Entonces
µ
∞ [
∞
\
!
Aj
= 0,
k=1 j=k
esto es, casi todos x ∈ X pertenecen sólo a un número finito de los An . En otras palabras,
existe un B ∈ F tal que µ(X \ B) = 0 y para todo x ∈ B existe un p(x) ∈ N tal que
x∈
/ An para todo n ≥ p(x).
Demostración. Sea B el conjunto de los x ∈ X que pertenen a un número infinito de En :
E = x ∈ X : {n ∈ N : x ∈ An } es infinito .
Vamos a demostrar que µ(E) = 0. Consideremos la función g : X → R+ ,
g(x) =
∞
X
χAn (x).
n=1
Para cada n ∈ N la expresión χAn (x) es 0 o 1, por eso
x∈E
⇐⇒
g(x) = +∞.
Ahora aplicamos el teorema de la integral de una serie de funciones positivas:
Z
∞
∞
X
X
g dµ =
χAn dµ =
µ(An ) < +∞.
X
n=1
n=1
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