Sesión 19. Gramáticas Incontextuales

Computabilidad y lenguajes formales: Sesión 19. Gramáticas Incontextuales (Context Free Grammars)
Computabilidad y lenguajes formales:
Sesión 19. Gramáticas Incontextuales (Context
Free Grammars)
Prof. Gloria Inés Alvarez V.
Departamento de Ciencias e Ingenierı́a de la Computación
Pontificia Universidad Javeriana Cali
6 de abril de 2008
Computabilidad y lenguajes formales: Sesión 19. Gramáticas Incontextuales (Context Free Grammars)
Gramáticas Incontextuales
Son una forma de representar lenguajes. Sus caracterı́sticas
principales son:
Son más poderosas que los DFAs y las expresiones regulares.
Pueden describir algunas caracterı́sticas con estructura
recursiva.
Se utilizaron primero en el estudio de los idiomas humanos.
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Gramáticas Incontextuales
Tienen múltiples aplicaciones:
Para expresar la relación que hay entre las diversas categorı́as
gramaticales en el estudio de los idiomas humanos.
En la especificación y compilación de los lenguajes de
programación.
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Gramáticas Incontextuales
Definición
Una gramática incontextual es una 4-tupla (V , Σ, R, S) donde:
V es un conjunto finito de sı́mbolos no terminales (variables)
Σ es un conjunto finito de sı́mbolos terminales
R es un conjunto finito de producciones de la forma A → α
donde A ∈ V y α ∈ {V ∪ Σ}∗
S ∈ V es el sı́mbolo inicial
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Ejemplo de Gramática Incontextual
Sea G1 = (V , Σ, R, S), donde:
V = {A, B}
Σ = {0, 1, #}
R = A → 0A1, A → B, B → #
S =A
Una gramática se utiliza para generar cadenas. Por ejemplo, G1
genera la cadena 000#111, se puede ver su derivación y dibujar su
árbol de análisis sintáctico.
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Derivación
Definición
Sean u, v , w ∈ {V ∪ Σ}∗ y (A → w ) ∈ R se dice que uAv ⇒ uwv .
Definición
Se dice que u deriva v , (u ⇒∗ v ) si u = v ó si existe u1 , u2 , . . . , uk
con k ≥ 0 tal que u ⇒ u1 ⇒ u2 ⇒ · · · ⇒ uk ⇒ v .
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Lenguaje de una gramática
Definición
El lenguaje de una gramática G es {w | w ∈ Σ∗ , S ⇒∗ w }, siendo
S el sı́mbolo inicial de G .
Ejemplos:
G3 = ({S}, {a, b}, {S → aSb | SS | ε}, {S})
G4 = ({EXP, TERM, FACT }, {a, +, ∗, (, )}, {EXP →
EXP + TERM | TERM, TERM →
TERM ∗ FACT | FACT , FACT → (EXP) | a}, {EXP})
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Diseño de Gramáticas Incontextuales
Un lenguaje incontextual puede ser la unión de otros más
simples
Si el lenguaje es regular, se puede construir un DFA que lo
reconozca y luego convertir el autómata en gramática:
Construir un no terminal Ri por cada estado qi
Agregar una regla Ri = aRj por cada transición δ(qi , a) = qj
Agregar una regla Ri → ε por cada estado final
R0 será el sı́mbolo inicial de la gramática si q0 es el estado
inicial del autómata
Para coordinar la primera y segunda parte de una cadena, usar
reglas de la forma R → uRv
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Ambigüedad
Definición
Una derivación de una cadena w en una gramática incontextual G
es una derivación más izquierda si a cada paso se reemplaza el
sı́mbolo no terminal que se encuentra más a la izquierda.
Definición
Una cadena w es derivada ambiguamente de una gramática
incontextual G si tiene dos o más derivaciones más izquierdas. Una
gramática G es ambigua si genera alguna cadena ambiguamente.
Definición
Un lenguaje inherentemente ambiguo es aquel que sólo puede
reconocerse con gramáticas ambiguas.
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Ejemplo 1 de Gramática ambigua
EXP → EXP + EXP
EXP → EXP ∗ EXP
EXP → (EXP)
EXP → a
Ver árboles de análisis sintáctico para a + a ∗ a
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Ejemplo 2 de Gramática ambigua
ORACION → F SUST F VERBAL
F SUST → SUST COMP | SUST COMP F PREP
FV ERBAL → VERBO COMP | VERBO COMP F PREP
F PREP → PREP SUST COMP
SUST COMP → ART SUST
VERBO COMP → VERBO | VERBO F SUST
ART →un | una | el | la
SUST →juan | maria | flor | telescopio
VERBO →mira | cuida
PREP →con
juan mira a maria con el telescopio
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Forma Normal de Chomsky
Definición
Una gramática incontextual está en forma normal de Chomsky si
todas sus reglas son de la forma: A → BC ó A → a donde A, B, C
son no terminales y B, C no son el sı́mbolo inicial de la gramática.
Se permite la producción S → ε para el sı́mbolo inicial.
Teorema
Todo lenguaje incontextual es generado por una gramática en
forma normal de Chomsky.
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Demostración
Demostración.
Toda gramática incontextual puede transformarse en una en forma
normal de Chomsky que reconoce el mismo lenguaje. La
transformación se realiza por etapas:
1
Se adiciona un nuevo sı́mbolo inicial
2
Se consideran las reglas vacı́as: A → ε se elimina y por cada
vez que aparece A en el lado derecho de una regla se adiciona
otra regla igual salvo que la ocurrencia de A no está.
3
Se considera las reglas unitarias: A → B se elimina y toda
regla de la forma B → u se duplica cambiando B por A.
4
Se convierten el resto de reglas: A → u1 , u2 , . . . , uk con k ≥ 3
se reemplaza por las reglas:
A → u1 A1 , A1 → u2 A2 , . . . , Ak−2 → uk−1 uk . Si ui es un
terminal, se reemplaza por Ui y se adiciona Ui → ui