nociones generales de combinatoria factorial de un número

NOCIONES GENERALES DE COMBINATORIA
m = nº de
elementos
que
disponemos.
ORDEN
n = nº de
elementos
que
cogemos.
SI
NO
NO
m ≠ n VARIACIONES
Vmn = m.(m − 1).(m − 2).....
n _ factores
m = n PERMUTACIONES
COMBINACIONES
m
m!
C nm =   =
 n  n!.(m − n )!
REPETIR
Pn = n!= n.(n − 1).(n − 2).......1
m ≠ n VARIACIONES CON
REPETICIÓN
SI
VR nm = m n
COMBINACIONES
REPETICIÓN
m = n PERMUTACIONES CON
REPETICIÓN (Sabiendo como se CR nm = C mn + n −1
repiten
m!
Pmr1 ,r2 , r3 ,... =
r1!.r2 !.r3 !.....
FACTORIAL DE UN NÚMERO
n! Siendo n un número Natural
0! = 1
1! = 1
2! = 2.1
3! = 3.2.1
.
.
n! = n.(n-1).(n-2)......1
NÚMEROS COMBINATORIOS
m
m!
C nm =   =
 n  n!.(m − n )!
siendo m y n números naturales y m ≥ n
CON
EJEMPLO 1
a) ¿Cuántos números de 2 cifras se pueden formar con las cifras impares?
Modo 1 : Recuento directo
11
31
51
71
13
33
53
73
15
35
55
75
17
37
57
77
19
39
59
79
91
93
95
97
99
25 Números
Modo 2 : Técnicas de recuento
Tengo: 1,3,5,7,9
Cojo: _ _
Orden: Si (13 ≠ 31)
Repetir: Si (11)
VR5,2 = 52 = 25 números
b) ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras impares?
Modo 1 : Recuento directo – Largísimo ……
Modo 2 : Técnicas de recuento
Tengo: 1,3,5,7,9
Cojo: _ _ _ _
Orden: Si (1333 ≠ 3133)
Repetir: Si (1111)
VR5,4 = 54 = 625 números
c) ¿Cuántos números de 2 cifras diferentes se pueden formar con las cifras impares?
Modo 1 : Recuento directo
13
31
51
71
15
35
53
73
17
37
57
75
19
39
59
79
91
93
95
97
20 Números
Modo 2 : Técnicas de recuento
Tengo: 1,3,5,7,9
Cojo: _ _
Orden: Si (13 ≠ 31)
Repetir: No (Cifras diferentes)
V5,2 = 5.4 = 20 números
d) ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes se pueden formar con las cifras impares?
Modo 1 : Recuento directo - Larguísmo
Modo 2 : Técnicas de recuento
Tengo: 1,3,5,7,9
Cojo: _ _ _ _
Orden: Si (1357 ≠ 3157)
Repetir: No (Cifras diferentes)
V5,4 = 5.4.3.2 = 120 números
e) ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con las cifras 1,2,3?
Modo 1 : Recuento directo
123
213
312
132
231
321
6 Números
Modo 2 : Técnicas de recuento
Tengo: 1,2,3
Cojo: _ _ _
Orden: Si (123 ≠ 132)
Repetir: No (Cifras diferentes)
m = n ⇒ P3 = 3! = 6
e) ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con las cifras 1,2,3?
Modo 1 : Recuento directo
111
211
311
112
212
312
113
213
313
121
221
321
122
222
322
123
223
323
131
231
331
132
232
332
133
233
333
27 Números
Modo 2 : Técnicas de recuento
Tengo: 1,2,3
Cojo: _ _ _
Orden: Si (123 ≠ 132)
Repetir: Si (111)
m = n (Pero no se como se repiten)
VR3,3 = 33 = 27 Números
f) ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con las cifras 1,2 de forma que el 2 se
repita dos veces?
Modo 1 : Recuento directo
122
212
221
⇒ 3 Números
Modo 2 : Técnicas de recuento
Tengo: 1,2,2
Cojo: _ _ _
Orden: Si (122 ≠ 212)
Repetir: Si (122)
m = n (Sé como se repiten(dos doses y un uno)
3!
PR 32,1 =
=3
2!.1!
EJEMPLO 2: Calcula de cuántas formas podemos ordenar 10 libros en una librería si….
a) Los libros son diferentes
Modo 1 : Recuento directo ⇒ Imposible
Modo 2 : Técnicas de recuento
Tengo: A,B,C,D,E,F,G,H,I,J
Cojo: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Orden: Si (AB….. ≠ BA……)
Repetir: No (Los libros son diferentes)
m = n ⇒ P10 = 10! = 3.628.800 formas
b) Hay 3 libros iguales de mate, 5 iguales de lengua y 2 iguales de historia.
Modo 1 : Recuento directo ⇒ Imposible
Modo 2 : Técnicas de recuento
Tengo: M,M,M,L,L,L,L,L,H,H
Cojo: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Orden: Si (ML….. ≠ LM……)
Repetir: Si (3M, 5L, 2H)
10!
3, 5, 2
m = n ⇒ PR 10
=
= 2520 formas
3!.5!.2!
EJEMPLO 3: En una clase de 26 alumnas
a) Elegimos tres para la comisión de festejos
m = 26
n=3
Orden: No (Me importa que me elijan, me da igual la 1ª, que la 2ª, que la 3ª)
Repetir: No (No puedo coger dos veces a la misma persona)
 26 
26!
26.25.24
=
= 2600 formas
C26,3 =   =
3
3
!.
23
!
3
.
2
.
1
 
b) Elegimos tres para la comisión de festejos (Una es la presidenta, otra la secretaria y la
tercera la vocal)
m = 26
n=3
Orden: Si (No me da igual ser presidenta, que secretaria que vocal)
Repetir: No (No puedo coger dos veces a la misma persona)
V26,3 = 26.25.24 = 15.600 formas
EJEMPLO 4:
a) Tenemos 3 bicicletas iguales para sortear entre las 26 alumnas de una clase. ¿De cuántas
formas podemos hacerlo si cada alumna sólo se puede llevar una bicicleta?
De las 26 alumnas, elijo 3 para darles bicicleta
m = 26
n=3
Orden: No(Todas las bicicletas son iguales)
Repetir: No (Cada alumna solo se puede llevar una bicicleta)
 26 
26!
26.25.24
=
= 2600 formas
C26,3 =   =
3 .2 .1
 3  3!.23!
b) Tenemos 3 bicicletas (una de carretera, una de montaña y otra de trialsin) para sortear
entre las 26 alumnas de una clase. ¿De cuántas formas podemos hacerlo si cada alumna sólo
se puede llevar una bicicleta?
m = 26
n=3
Orden: Si (No me da igual una bici de carretera, que una de montaña,…)
Repetir: No (Cada alumna solo se puede llevar una bicicleta)
V26,3 = 26.25.24 = 15.600 formas
c) Contesta a las dos preguntas anteriores, suponiendo que se permite que una alumna
pueda ganar más de una bicicleta.
Bicicletas iguales:
m = 26
n=3
Orden: No(Todas las bicicletas son iguales)
Repetir: Si (Una alumna se puede llevar más de una bicicleta)
 28 
28!
28.27.26
=
= 3276 formas
CR26,3 = C26+3-1,3 = C28,3 =   =
3 .2 .1
 3  3!.23!
Bicicletas distintas:
m = 26
n=3
Orden: Si (No me da igual ser presidenta, que secretaria que vocal)
Repetir: : Si (Una alumna se puede llevar más de una bicicleta)
VR26,3 = 263= 17.576 formas
EJERCICIO 1 : Con las cifras 1, 3, 4, 5 y 6, ¿cuántos números de cuatro cifras distintas se podrán
formar de modo que acaben en cifra par?
Solución: Los números han de acabar en 4 ó 6, luego hay 2 opciones: _ _ _ 4
___6
En cada uno de estos dos casos hay tres espacios que hemos de llenar con cuatro cifras.
Por influir el orden y no poderse repetir las cifras, tendremos: 2 · V4, 3  2 · 4 · 3 · 2  48
Se pueden formar 48 números de cuatro cifras que acaben en cifra par.
EJERCICIO 2 : Para formar un equipo de pádel se necesitan 4 jugadores y un entrenador, que se
deben elegir de entre un grupo de 10 jugadores y 3 entrenadores. ¿Cuántos equipos distintos se
pueden formar?
Solución: El orden, a la hora de elegir 4 jugadores, no influye.
V10, 4 10  9  8  7
 Formas de elegir a los jugadores: C10, 4 

 210 elecciones
P4
4  3  2 1
 Formas de elegir a los entrenadores  3 formas
Por cada entrenador, tengo 210 maneras de elegir a los jugadores. Como hay 3 entrenadores, en total
tendré 3 · 210  630 equipos.
EJERCICIO 3 : Los 13 alumnos de un grupo de 2º de Bachillerato desean que les hagan una foto a
todos juntos, en fila, como recuerdo de su paso por el instituto. En dicha foto no deben aparecer ni
dos chicas ni dos chicos juntos.
Sabiendo que hay 7 chicas, ¿de cuántas formas distintas pueden colocarse?
Solución: Para que no haya ni dos chicos ni dos chicas juntas, la fila ha de empezar y terminar con chica.
A  chica
O  chico
AOAOAOAOAOAOA
 Formas de colocar a las chicas: P7  7  7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1  5 040
 Formas de colocar a los chicos  P6  6  6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1  720
Para una colocación fija de las chicas, tenemos 720 colocaciones de los chicos. Por tanto, en total habrá 5
040 · 720  3 628 800 colocaciones.
EJERCICIO 4 : Halla el número de capicúas de seis cifras.
Solución:
El número será de la forma abccba; luego basta ver cuántas ordenaciones hay con la forma abc.
3
El orden influye y los dígitos del 0 al 9 se pueden repetir: VR10, 3  10  1 000
Ahora bien, la décima parte de estos números empezarán por 0; luego no tendríamos un número de seis
cifras sino de cinco cifras.
1
Como
 1000  100, el número de capicúas de seis cifras es 1000  100  900.
10
EJERCICIO 5 : Disponemos de 8 colores para pintar un mural dividido en 3 columnas; cada una de
ellas se ha de pintar de un color distinto. ¿Cuántos murales se pueden confeccionar incluyendo el
color verde siempre? ¿Y si quisiéramos que apareciera el azul pero no el negro?
Solución: En ambos casos, el orden de los colores influye.
er
 En el 1 caso, el verde puede estar en cualquiera de las tres columnas. Fijado en una de ellas,
disponemos de 7 colores para pintar dos columnas  V7, 2  7 · 6  42
Como hay tres posiciones para el verde: 3 · V7, 2  3 · 42  126 murales
 En el 2º caso, fijado el color azul en una columna y no queriendo incluir el negro, disponemos de 6 colores
para pintar 2 columnas  V6, 2  6 · 5  30
Como hay tres posiciones para el azul: 3 · V6, 2  3 · 30  90 murales
EJERCICIO 6 : Ocho ciclistas van por el carril bici en fila. ¿De cuántas formas pueden ir ordenados?
Solución: El orden en la fila influye  P8  8!  40 320  Se pueden colocar de 40 320 formas distintas.
EJERCICIO 7 : A una familia de 6 personas les ha tocado un viaje para dos personas. ¿De cuántas
formas se pueden repartir el viaje?
Solución: El orden en la selección no influye
 C6, 2 
V6, 2
P2

6  5 30

 15
2
2
El viaje se puede repartir de 15 formas.
EJERCICIO 8 : En un concurso de radio participan 7 personas, de las cuales, 2 pueden conseguir los
premios, que son: una enciclopedia y una radio. Sabiendo que una persona no puede conseguir los
dos premios, ¿cuántas posibles distribuciones hay?
Solución: Influye el orden, los premios son distintos  V7, 2  7 · 6  42
Hay 42 posibles formas de distribuir los premios.
EJERCICIO 9 : Para hacer una transferencia bancaria, Marta tiene que teclear una clave de acceso
que consta de 8 cifras con los dígitos 0 y 1. ¿Cuántas claves distintas puede formar?
Solución: Para formar un código de ocho cifras con los dígitos 0 y 1, estos se han de repetir; además, el
8
orden influye: VR2, 8  2  256  Marta puede formar 256 claves distintas.
EJERCICIO 10 : Para desayunar, Mario elige 4 pastas distintas de las 12 clases que tiene. ¿Cuántas
posibles elecciones hay?
Solución: No influye el orden y las pastas no se pueden repetir: C12, 4 
V12, 4
P4

12  11 10  9
 495
4  3  2 1
Puede desayunar las pastas de 495 formas distintas.
EJERCICIO 11 : Con las cifras impares, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar
pudiéndose repetir las cifras?
Solución: Las cifras impares son 1, 3, 5, 7 y 9, y queremos agruparlas de tres en tres.
3
Como el orden influye y las cifras se pueden repetir  VR5, 3  5  125 Por tanto, hay 125 posibilidades.
EJERCICIO 12 : Cierto equipo de baloncesto cuenta con 11 jugadores, pero solo se necesitan 5 para
jugar un partido. ¿Cuántas alineaciones distintas se podrán formar?
Solución: El orden no influye
 C11, 5 
V11, 5
P5
Se podrán formar 462 alineaciones distintas.

11 10  9  8  7
 462 
5  4  3  2 1
EJERCICIO 13 : Con todas las letras de la palabra TIJERA, ¿cuántas palabras, con o sin sentido, se
pueden formar sin repetir las letras?
Solución: El orden influye y las letras no se pueden repetir  P6  6  6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1  720
Por tanto, se pueden formar 720 palabras.
EJERCICIO 14 : En un campeonato de motos hay 15 participantes y tres premios a repartir. ¿De
cuántas formas se pueden repartir?
Solución: Influye el orden en que lleguen las motos a la meta y, lógicamente, un mismo participante no
puede conseguir más de un premio. Así:V15, 3  15 · 14 · 13  2 730
Así, hay 2 730 maneras de repartir los premios.
EJERCICIO 15 : Belén necesita seleccionar 4 personas, entre los 20 candidatos que tiene, para
formar su equipo de trabajo. ¿De cuántas maneras puede hacer la selección?
Solución: El orden en que se haga la selección no influye: C20, 4 
V20, 4
P4

20  19  18  17
 4845
4  3  2 1
Tiene 4 845 formas distintas de hacer la selección.
EJERCICIO 16 : ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas podemos formar con los dígitos 2, 4, 6, 8
y 9?
Solución: Como influye el orden, y las cifras del número han de ser distintas  V5, 4  5 · 4 · 3 · 2  120
Por tanto, hay 120 números de cuatro cifras distintas.
EJERCICIO 17 : Con las letras de la palabra JUNIO, ¿cuántas palabras, con o sin significado,
podemos formar con 4 letras, pudiendo estas repetirse?
4
Solución: Como influye el orden, y las letras se pueden repetir  VR5, 4  5  625
Por tanto, se pueden formar 625 palabras.
EJERCICIO 18 : En un torneo de balonmano hay 8 equipos participantes y solo 3 trofeos, ¿de
cuántas maneras distintas se pueden repartir los premios 1º, 2º y 3º?
Solución: Es de suponer que un mismo equipo no va a recibir dos trofeos; además, el orden influye 
 V8, 3  8 · 7 · 6  336 Por tanto, se pueden repartir de 336 formas distintas.
EJERCICIO 19 : Tenemos que formar un código de 6 cifras con los dígitos 0 y 1. ¿Cuántas
posibilidades hay?
6
Solución: Como influye el orden, los dígitos han de repetirse  VR2, 6  2  64
Por tanto, hay 64 posibilidades distintas.
EJERCICIO 20 : Sabiendo que los puestos de delegado y de subdelegado no pueden ser cubiertos
por la misma persona, calcula cuántas posibilidades hay para cubrir ambos cargos en una clase de
22 alumnos.
Solución: Como influye el orden, y una misma persona no puede ocupar ambos puestos   V22, 2  22 ·
21  462 Por tanto, hay 462 posibilidades distintas.
EJERCICIO 21 : Con las letras de la palabra CUADERNO, ¿cuántas palabras, con o sin sentido, se
pueden formar?
Solución: P8  8!  40 320  Se pueden formar 40 320 palabras.
EJERCICIO 22 : En una carrera organizada en un centro escolar participan los 6 finalistas de 4º ESO.
¿De cuántas formas distintas pueden llegar a la meta?
Solución: P6  6!  720  Pueden llegar de 720 formas distintas.
EJERCICIO 23 : Con los dígitos impares, ¿cuántos números de cinco cifras distintas se pueden
formar?
Solución: Como los dígitos impares son 1, 3, 5, 7 y 9, y con ellos se quieren formar números de cinco cifras
distintas  P5  5!  120  Por tanto, se pueden formar 120 números de cinco cifras distintas.
EJERCICIO 24 : ¿De cuántas formas se pueden repartir 4 bocadillos distintos entre 4 amigos, si cada
uno debe recibir solo uno?
Solución: P4  4!  24 Se pueden repartir los bocadillos de 24 formas.
EJERCICIO 25 : Ana, Pilar y Susana tienen que elegir una optativa entre 3 posibilidades para el
próximo curso. Si entre ellas no quieren coincidir en la misma optativa, ¿de cuántas formas se
podrían llegar a repartir las optativas?
Solución: P3  3!  6  Tienen 6 posibilidades para repartirse las tres optativas.
EJERCICIO 26 : Marcos tiene 8 sabores distintos de helado para preparar copas de 3 sabores.
¿Cuántas copas distintas puede preparar?
Solución: C8, 3 
V8, 3
P3

876
 56  Podrá preparar 56 copas diferentes.
3  2 1
EJERCICIO 27 : En una empresa se quieren contratar 5 agentes de seguridad. Si al proceso de
selección se presentan 10 personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden ocupar las cinco
plazas?
Solución: C10, 5 
V10, 5
P5

10  9  8  7  6
 252  Se pueden ocupar las plazas de 252 formas diferentes.
5  4  3  2 1
EJERCICIO 28 : Un club de tenis dispone de 15 jugadores profesionales de los cuales debe
seleccionar 8 para jugar un torneo. ¿Cuántos grupos se pueden formar?
Solución: C15, 8 
V15, 8
P8

15  14  13  12  11 10  9  8
 6 435  Se pueden formar 6 435 grupos distintos.
8  7  6  5  4  3  2 1
EJERCICIO 29 : En un centro de trabajo se tienen que elegir a cuatro de sus 18 empleados para
representar a la empresa en una reunión del sector. ¿Cuántas elecciones diferentes pueden darse?
Solución: C18, 4 
V18, 4
P4

18  17  16  15
 3060 
4  3  2 1
Se pueden elegir a los cuatro trabajadores de 3 060
formas distintas.
EJERCICIO 30 : De una lista de 12 discos, Rosa tiene que seleccionar 5 diferentes para regalar.
¿Cuántas selecciones distintas puede hacer?
Solución: C12, 5 
V12, 5
P5

12  11 10  9  8
 792  Puede elegir los discos de 792 formas distintas.
5  4  3  2 1
EJERCICIO 31 : Con 0, 1, 2, 3 y 4, ¿cuántos números de cinco cifras se pueden formar, sin repetir
ningún dígito?
Solución: Como influye el orden, y los dígitos no se pueden repetir  P5  5!  5 · 4 · 3 · 2 · 1  120
Pero la quinta parte de estos números empezarán por 0, y por tanto serán números de cuatro cifras, no de
1
cinco. Luego:  120  24  120  24  96
5
Hay 96 números de cinco cifras que se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4.
EJERCICIO 32 : ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse con las letras de la palabra PINCEL de
modo que comiencen y terminen por consonante?
Solución :Influye el orden y las letras son distintas.
 Formas de colocar las consonantes al comienzo y al final de la palabra:
consonante _ _ _ _ consonante
V4, 2  4  3  12 formas
 Formas de colocar las cuatro letras centrales: P4  4!  24 formas
Así, como por cada palabra que empieza y termina en consonante, hay 24 formas de colocar las letras
centrales, en total habrá 12 · 24  288 ordenaciones.
EJERCICIO 33 : Para formar la tripulación de un avión se eligen 3 comandantes y 4 azafatas entre un
grupo de 11 personas, 5 de las cuales son comandantes y el resto, azafatas. ¿Cuántas tripulaciones
distintas se pueden formar?
Solución:
 Formas de elegir a los comandantes: C5, 3 
 Formas de elegir a las azafatas: C6, 4 
V6, 4
P4
V5, 3
P3


543
 10 eleciones distintas
32
6543
 15 elecciones distintas
4  3  2 1
Por cada elección de comandantes, hay 15 elecciones posibles de azafatas. En total habrá 10 · 15  150
tripulaciones distintas.
EJERCICIO 34 : El sistema actual de matrículas combina 4 cifras con 3 letras, que se eligen entre 10
cifras y 26 letras. ¿Cuántas matrículas distintas se pueden hacer?
Solución: Tanto a la hora de agrupar las 4 cifras como las 3 letras, se ha de tener en cuenta que el orden
influye y que se pueden repetir. Así:
4
 Agrupaciones de las 4 cifras  VR10, 4  10  10 000
 Agrupaciones de las 3 letras  VR26, 3  263  17 576
En total habrá: VR10, 4  VR26, 3  175 760 000 matrículas distintas
EJERCICIO 35 : ¿De cuántas formas pueden sentarse 4 hombres y 4 mujeres en una fila de un cine si
quieren estar alternados?
Solución: Tenemos las siguientes posibilidades: H1 M1 H2 M2 H3 M3 H4 M4
M2 H3 M1 H2 M4 H1 M3 H4
En cada uno de los dos casos anteriores ocurre:
 Formas de colocar a los hombres: P4  4!  4 · 3 · 2 · 1  24 formas distintas
 Formas de colocar a las mujeres: P4  24 formas distintas
En total, existirán 2 · 24 · 24  1 152 maneras distintas de sentarse.
EJERCICIO 36 : Dos amigos juegan al futbolín y acuerdan que será vencedor el que gane dos
partidas seguidas o tres alternativas no hay empate. ¿De cuántas formas puede desarrollarse el
juego?
Solución: A: gana el jugador A
B: gana el jugador B
Son 10 las formas en que puede desarrollarse el juego:
AA
BAA
ABAA
BABAA
ABABA
BABAB
ABABB
BABB
ABB
BB
EJERCICIO 37 : Tengo dos monedas de 1 €, dos de 2 € y dos de 50 cent. Tomando tres de las seis
monedas, ¿cuántas sumas distintas puedo hacer?
Solución:
Son 7 las sumas que podemos hacer:
1  1  2 1  1  0,5 1  2  2 1  2  0,5
1  0,5  0,5 2  2  0,5 2  0,5  0,5
EJERCICIO 38 : ¿Cuántos productos de tres cifras iguales o distintas podemos hacer con los
números 1, 2 y 3?
Solución:
Son 10 productos diferentes:
111 1-12 113 122 123 133 222 223 233 333
EJERCICIO 39 : En el descanso de un partido de fútbol el marcador señalaba 0  1. ¿De cuántas
formas pudo ir variando el marcador hasta llegar al resultado final de empate a 3 goles?
Solución:
Son 10 formas posibles:
01  11  21  31  32  33 01  11  21  22  32  33 01  11  21  22  23  33
01  11  12  22  32  33 01  11  12  22  23  33 01  11  12  13  23  33
01  02  12  22  32  33 01  02  12  22  23  33 01  02  12  13  23  33
01  02  03  13  23  33
EJERCICIO 40 : Con las letras de la palabra ALBA, ¿cuántas palabras, con o sin sentido, se pueden
hacer?
Solución:
Son 12 palabras:
AALB
BAAL
AABL
BALA
ALAB
BLAA
ALBA
LAAB
ABAL
LABA
ABLA
LBAA
EJERCICIO 41 : Pablo tiene 5 pantalones y 15 camisas distintas, ¿de cuántas formas diferentes se
puede vestir?
Solución: Por cada pantalón podemos usar 15 camisas; como hay 5 pantalones, en total hay 15 · 5  75
formas de combinar pantalón y camisa.
EJERCICIO 42 : En cierto instituto se ofrecen 2 áreas optativas para 1º ESO, 3 para 2º ESO, 4 para 3º
ESO y 5 para 4º ESO. ¿Entre cuántos itinerarios distintos puede elegir un alumno?
Solución:
Elegida la optativa de 1º ESO, hay 3 posibilidades para la de 2º ESO  2 · 3  6
Elegidas las optativas de 1º ESO y de 2º ESO, hay 4 opciones para elegir la de 3º ESO   6 · 4  24
Elegidas las optativas de 1º ESO, de 2º ESO y de 3º ESO, hay 5 posibilidades para la de 4º ESO:24·5120
Por tanto, en total habrá 120 2 · 3 · 4 · 5  120 itinerarios distintos.
EJERCICIO 43 : Si lanzamos 3 dados y una moneda, ¿cuántos resultados posibles podemos
obtener?
Solución: Al lanzar un dado tenemos 6 posibilidades; al lanzar dos, obtenemos 6 · 6  36 posibilidades; y al
lanzar tres, habrá 36 · 6  216 opciones.
Como los posibles resultados del lanzamiento de una moneda son 2, en total habrá 2 · 216 
 432 resultados.
EJERCICIO 44 : Un restaurante dispone de 10 primeros platos, 8 segundos y 5 postres. ¿Cuántos
menús diferentes se pueden confeccionar?
Solución: Por cada primer plato, puedo elegir 8 segundos; como hay 10 primeros, tendremos 10 · 8  80
posibilidades para elegir el primer y segundo platos.
Elegidos los dos primeros platos, se pueden escoger 5 postres distintos; luego en total habrá
80 · 5  400 menús distintos.
EJERCICIO 45 : Queremos crear un código que conste, en primer lugar, de una vocal, y a
continuación de dos cifras distintas elegidas entre el 1 y el 9 ambos incluidos. ¿Cuántos elementos
distintos podemos conseguir con este código?
Solución: Para cada vocal, hay 9 posibilidades de elegir la primera cifra y 8 posibilidades para la segunda
cifra. Como hay 5 vocales, en total tendremos 5 · 8 · 9  360 elementos.
EJERCICIO 46 : ¿Cuántas diagonales tiene un heptágono?
Solución:
De cada vértice salen 4 diagonales, pero cada diagonal es común a dos vértices. Luego un heptágono que
74
tiene 7 vértices tendrá:
 14 diagonales
2
EJERCICIO 47 : Juan tiene 20 € y decide participar en un juego que consiste en lanzar una moneda 4
veces. En cada tirada debe apostar 20 €, que pierde si sale cruz. Si sale cara, gana 20 € más. Escribe
todos los resultados que pueden darse sabiendo que si se queda sin dinero concluye el juego.
Solución:
Por tanto, hay 8 posibles resultados:
X
CXCX
CCXX
CCCX
CXX
CXCC
CCXC
CCCC
EJERCICIO 48 : Los 25 municipios de una ciudad están unidos a los demás por distintas líneas de
tren. ¿Cuántas líneas habrá en total?
Solución: De cada municipio salen 24 líneas; como hay 25 municipios, en principio habría 24 · 25  600
líneas, pero tenemos que considerar que las hemos contado dos veces la línea que une el municipio A
con el B es la misma que la que une B con A.
600
Así, el número total de líneas será:
 300 líneas
2
EJERCICIO 49 : A una fiesta acuden 6 parejas. Cada persona saluda con un abrazo al resto, menos a
su compañero/a. ¿Cuántos abrazos se han dado en total en la fiesta?
Solución: Cada persona saluda a todas las demás excepto a su pareja, esto es, da 10 abrazos. Como hay
12 personas 6 parejas  12 personas, habrá 12 · 10  120 abrazos; pero tenemos que pensar que así los
hemos contado dos veces.
120
Por tanto, el número total de abrazos será:
 60 abrazos
2
EJERCICIO 50 : Dadas las letras A, B, C, E, indica cuántas ordenaciones se pueden hacer sabiendo
que nunca pueden ir juntas ni dos vocales ni dos consonantes.
Solución: Las vocales se pueden organizar de 4 formas: A _ E_
En cada caso hay 2 posibilidades de poner las consonantes.
Por tanto, en total habrá 2 · 4  8 ordenaciones.
_A _ E
E _ A_
_E _ A
EJERCICIO 1 : ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con los nueve primeros números, sin que se
repitan las cifras?
EJERCICIO 2 : ¿Cuántas pesadas diferentes podrán hacerse con ocho pesas distintas, tomándolas de tres en tres?
EJERCICIO 3 : ¿De cuántas formas pueden colocarse los cinco delanteros de un equipo de fútbol, si los extremos
permanecen invariables?
EJERCICIO 4 : Con 1, 2, 3, 4, 6, ¿cuántos números de cinco cifras, no repetidas, pueden formarse que sean
múltiplos de 2?
EJERCICIO 5 : Una línea de autobuses consta de 15 puntos de parada, ¿cuántos billetes tendrán que imprimir, si
cada uno lleva las estaciones de origen y llegada y sirviendo el billete para un sentido o para el otro?
EJERCICIO 6 : Para jugar al dominó siete fichas hacen un juego. Sabiendo que son 28 fichas, hallar cuántos juegos
diferentes podrán obtenerse.
EJERCICIO 7 : ¿De cuántas maneras podrán distribuirse ocho premios iguales entre 12 aspirantes? ¿Y si los
premios fueran diferentes?
EJERCICIO 8 : En un plano tenemos nueve puntos, que no están tres en línea recta, ¿cuántas rectas distintas
podemos trazar?
EJERCICIO 9 : ¿De cuántas maneras puede ser perseguidos cinco ratones por cinco gatos, teniendo en cuenta que
al gato más pequeño le dejan el menor ratón?
EJERCICIO 10 : Una persona tiene dos sortijas diferentes. ¿De cuántas maneras puede ponérselas, ya en la mano
derecha, ya en la izquierda, colocando una sola sortija en cada dedo y exceptuando el pulgar de cada mano?
EJERCICIO 11 : ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 5 alumnos en un banco? ¿Y alrededor de una
mesa circular?
EJERCICIO 12 : Con tres vocales y tres consonantes, ¿cuántas palabras de seis letras pueden formarse con la
condición de que no figuren dos consonantes seguidas ni tres vocales seguidas?
EJERCICIO 13 : Calcular el número de ordenaciones que pueden hacerse, conteniendo sin repetición, todas las
letras de la palabra NOVELA, en las que no hay dos vocales ni dos consonantes juntas.
EJERCICIO 14 : ¿Cuántos números de seis cifras sin repetir, pueden formarse con las seis primeras cifras
significativas (1, 2, 3, 4, 5, 6) y que sean menores que 650.000?
EJERCICIO 15 : ¿Cuántos números de cuatro cifras, no repetidas, pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
¿En cuántos entrará la cifra 5?
EJERCICIO 16 : ¿Cuántos números podríamos formar con las nueve cifras significativas (1...9), de manera que en
cada número entren todas y no se repita ninguna? ¿Cuántos empiezan por 123?
EJERCICIO 17 : Un destacamento de 26 hombres debe guarnecer una posición con 4 hombres, ¿Cuántas guardias
diferentes, pueden formar? ¿Cuántas veces entra en servicio cada hombre?
EJERCICIO 18 : En un cuartel hay cinco capitanes y 200 soldados. Cada día hacen guardia 1 capitán y 10
soldados. ¿Cuántas guardias diferentes se pueden formar?
EJERCICIO 19 : Hallar cuántos números hay mayores que 1.000 y menores que 4.000 que estén formados por
cuatro cifras, sin repetir entre la ocho primeras cifras significativas.
EJERCICIO 20 : ¿Cuántas banderas tricolores se pueden formar con los siete colores del espectro, con la condición
de que en todas ellas entre el color amarillo y en ninguna figure el violeta?
EJERCICIO 21 : Un restaurante tiene tres clases de sopa, 4 clases de carne y 5 clases de postre. ¿De cuántas
maneras diferentes puede elegir una persona un menú formado por sopa, carne y dos postres?
EJERCICIO 22 : ¿De cuántos modos diferentes pueden alinearse los 11 jugadores de un equipo de fútbol,
admitiendo que un defensa, el portero y el extremo izquierda juegan siempre en la misma posición?
EJERCICIO 23 : ¿Cuántos números diferentes entre 1.000 y 10.000 pueden formarse con las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 si
las cifras pueden ser iguales o distintas? ¿Y si ninguna de las cifras se puede repetir?
EJERCICIO 24 : ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse con las letras, A, B, C, q, r de manera que:
a) Comiencen por mayúscula
b) Comiencen y terminen por mayúscula.
EJERCICIO 25 : Hallar los distintos grupos que se pueden formar con cuatro cifras y cuatro letras, con la condición
de que en todos, aparezcan dos cifras y tres letras.
EJERCICIO 26 : ¿Cuántos números capicúas hay de cinco cifras?
EJERCICIO 27 : ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 que sean mayores
de 20.000 y menores que 50.000?
EJERCICIO 28 : ¿Cuántas ordenaciones distintas pueden hacerse con las letras de la palabra MATEMATICAS?
EJERCICIO 29 : Se tienen 7 libros grandes distintos, 5 medianos y 3 pequeños. ¿De cuántas formas diferentes se
pueden alinear en un estante si han de colocarse juntos los del mismo tamaño?
EJERCICIO 30 : A una reunión asisten veinte personas. a) ¿Cuántos grupos distintos de seis personas puedan
formarse?. b) ¿En cuántos de esos grupos entre la persona A?. c) En cuántos entran las personas A, B y C?. d) ¿En
cuántos de estos grupos no está la persona A?
EJERCICIO 31 : Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números de cinco cifras distintas se pueden hacer que sean
múltiplos de 5?
EJERCICIO 32 : En una carrera participan 5 coches, con las mismas posibilidades iniciales de ganar. ¿Cuántas
clasificaciones distintas se pueden producir al final, si cada uno de los cinco emplea distinto tiempo?
EJERCICIO 33 : Se tiene seis libros encuadernados en negro, cuatro en rojo y tres en azul. ¿De cuántas maneras
pueden colocarse alineados en un estante, con tal de que estén juntos los del mismo color?
¿Y si los del mismo color fuesen iguales entre si? Contesta a las dos preguntas anteriores si no es necesario que
estén juntos los del mismo color.
EJERCICIO 34 : De las cuarenta preguntas de que consta un test, una persona debe de contestar a treinta. A) ¿De
cuántos modos puede elegir? B) ¿De cuántas maneras, si las diez primeras son obligatorias?.
EJERCICIO 35 : Se tienen dos conjuntos A = {2, 4, 6, 8} y B = {1, 3, 5}. ¿Cuántos números de cuatro cifras
diferentes pueden formarse, tomando dos elementos de A y dos de B?
EJERCICIO 36 : ¿Cuántos números distintos se pueden formar con las cifras del número 3.232.121?
EJERCICIO 37 : Una fábrica de helados tiene dieciocho extractos diferentes para dar sabor. ¿Cuántos helados “al
corte”, del tipo “tres gustos” puede preparar?
EJERCICIO 38 : En una reunión hay tres chicas y siete chicos. ¿Cuántos grupos distintos de cuatro personas
pueden formarse? Si se quiere que en cada grupo formado haya una chica, ¿cuántos grupos hay en este caso?