Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Reguladores y

Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Reguladores
y Comunicación
1. PID. Condiciones de operación
Los controladores PID representan una solución eficiente para un gran
número de problemas de control. En la actualidad en torno al 95% de los
controladores son del tipo PID, habiendo sobrevivido a elementos tecnológicos
más novedosos.
1.1. Controladores PID
Como su propio nombre indica, en este tipo de controladores la acción de
control se realiza en base a la suma de tres tipos de acciones: proporcional,
integral y derivativa. La señal de control c(t) se podría expresar mediante la
siguiente ecuación, donde Kp es el valor de ganancia proporcional, Ti es la
constante de tiempo integral y Td es la constante de tiempo diferencial, aplicadas
sobre la señal de error e(t). La expresión de la señal de control en el tiempo sería
la siguiente:
c ( t ) = K p e( t ) +
Kp
Ti
t
∫ e(t )dt + K
0
T
p d
de(t )
dt
Esta misma señal, en el dominio de Laplace tendría la siguiente expresión:


K ( s + z1 )( s + z 2 )
1 1
1


C ( s ) = K p 1 +
E ( s)
+ TD s  E ( s ) =  K p + K I + K D s  E ( s ) = D
s
s


 TI s

Sus principales ventajas estriban en que la acción proporcional produce
una señal de control proporcional a la señal de error, por lo que introduce una
corrección mayor cuanto mayor es el error; la acción derivativa proporciona cierta
anticipación sobre la respuesta del sistema y el término integral permite eliminar el
error estacionario.
Kp determinará el valor de la acción proporcional. Si Kp es pequeña la
acción proporcional también lo será y viceversa. Esta acción es fácil de sintonizar
ya que solo depende de un parámetro y dado que la corrección es proporcional al
error cometido, puede reducir este, aunque no eliminarlo en estado estacionario.
Si solo existe acción proporcional:
1
Y ( s) =
K p ( s)
1 + K p ( s)
E ( s)
Esto implica que siempre hay error, el cual desciende si aumenta Kp, pero si Kp
aumenta mucho pueden aparecer sobre impulso o inestabilidad.
Ti es el tiempo requerido para que la acción integral contribuya a la salida
del controlador en una cantidad igual a la acción proporcional . Si Ti es pequeña,
la acción integral será grande. Esta acción compensa las perturbaciones y
mantiene la variable controlada en torno al punto de consigna. Al ser una acción
integral, elimina los errores estacionarios. Por contra, si Ti disminuye mucho
puede desestabilizar el sistema.
Figura 1: representación comparativa de la respuesta ante una señal escalón de una planta para diferentes
tipos de controladores (P, PI, PD, PID).
2
Td es el tiempo requerido para que la acción proporcional contribuya a la
salida del controlador en una cantidad igual a la acción derivativa. Si Td es
pequeña la acción derivativa será pequeña. La derivada del error anticipa el
efecto de la acción proporcional, estimando el error que se producirá más tarde,
estabilizando más rápidamente la variable controlada después de cualquier
perturbación.
Mediante el software Scilab® se ha analizado una planta ejemplo cuya
función de transferencia es Gp. En la figura 1 se han representado las respuestas
correspondientes a diversos tipos de control (P, PD, PI, PID) ante una señal
escalón. Se puede aprecian los efectos indicados anteriormente de cada uno de
los tipos de control sobre la salida que presenta el sistema.
Gp =
1
( 4 s + 1)(3s + 1)( s + 1)
El código correspondiente en Scilab para este programa sería:
//Programación Scilab
//Ejemplos controladores P, PD, PI, PID
//
clear
s=poly(0,'s');
//vector de tiempos
t=0:0.05:50;
//
//función de transferencia de la planta (orden 3)
gp=1/((4*s+1)*(3*s+1)*(s+1));
//
//parámetros de los controladores
Kc=3;Ti=8;Td=1.5;
//
//ventana
xset('window',1)
xname('Sistema de control con diversos controladores PID')
//--------------------------------//control P
gc=Kc;
Mr=gc*gp/(1+gc*gp);
Mrs=syslin('c',Mr);
yp=csim('step',t,Mrs);
//
//control PI
gc=Kc*(1+1/(Ti*s));
Mr=gc*gp/(1+gc*gp);
Mrs=syslin('c',Mr);
ypi=csim('step',t,Mrs);
//
//control PD
gc=Kc*(1+Td*s);
Mr=gc*gp/(1+gc*gp);
Mrs=syslin('c',Mr);
ypd=csim('step',t,Mrs);
3
//
//control PID
gc=Kc*(1+1/(Ti*s)+Td*s);
Mr=gc*gp/(1+gc*gp);
Mrs=syslin('c',Mr);
ypid=csim('step',t,Mrs);
//
//respuesta a escalón
//gráfico
subplot(1,2,1);xset('font',2,3)
plot2d(t',[yp; ypi; ypd; ypid]',style=[2,3,5,6]),xgrid(4)
//títulos y leyendas
xtitle('Respuesta al escalón','tiempo','y(t)');
legends(['control P';'control PI';'control PD';'control (sig. línea)
PID'],[2,3,5,6],opt=1)
xstring(22,0.6,'Gp=1/((4*s+1)*(3*s+1)*(s+1)), Kc= 3, Ti= 8, Td= 1.5')
//---------------------------------
1.2. Reglas de sintonía
Generalmente los controladores PID son ajustados in situ, con el fin de
abarcar todas las características de la planta. Existen métodos de ajuste o
sintonía tanto analíticos como experimentales, incluso de tipo automático. Los
métodos analíticos requieren conocer la función de transferencia que se desea,
por lo que habitualmente se utilizan los métodos experimentales.
A la hora de diseñar un controlador se podría recurrir a un controlador cuya
complejidad coincidiera con la del proceso a controlar. Sin embargo, por razones
obvias, es necesario utilizar un controlador cuya complejidad sea más restringida,
en cuyo caso se puede o bien simplificar el modelo del proceso hasta aproximarlo
a un controlador PID o diseñar un controlador para un modelo complejo y
aproximarlo mediante un controlador PID. En ambos casos resulta necesaria una
sintonización o ajuste del controlador para conseguir que cumpla con su cometido
de la manera más satisfactoria. Esta necesidad dio lugar a la aparición de
diversos métodos de sintonización para este tipo de controladores.
La variación de cualquiera de los parámetros puede afectar al
funcionamiento del controlador, por lo que es preciso seguir un proceso de ajuste
determinado. En las siguientes figuras se aprecian los efectos de la disminución
(izquierda) o aumento (derecha) de las distintas variables de forma independiente,
es decir, manteniendo invariables las otras.
4
Figura 2: Efecto de la variación de la constante de proporcionalidad Kc entre 1 y 5.
Figura 3: efecto del cambio del valor Ti entre 4 y 12.
Figura 4: efecto de la variación de Td entre 0,5 y 2,5.
5
Existen un gran número de métodos de sintonía, cada uno más adecuado
según el tipo de planta, el tipo de controlador o las especificaciones requeridas.
Se mostrarán aquí algunos de los más utilizados.
Uno de los primeros métodos de sintonía fue el desarrollado por ZieglerNichols, método que presenta algunas variantes (las llamadas método 1, método
2 y método Ziegler-Nichols modificado). Estos métodos de sintonía son todavía
ampliamente utilizados.
• Método Ziegler-Nichols de la respuesta al escalón: consiste en información del
proceso en base a cómo es su respuesta a una señal escalón. La respuesta a un
escalón solo necesita dos parámetros (figura 2). Se determina el punto donde la
pendiente de la respuesta a un escalón tiene su máximo. El corte de la recta
tangente a este punto con el eje real nos da los valores a y L.
Figura 5: parámetros de la respuesta a un escalón.
Ziegler-Nichols determinaron el cálculo de los parámetros del controlador según la
siguiente tabla:
Controlador
P
PI
PID
aK
1
0,9
1,2
Ti/L
Td/L
3
2
L/2
Tp/L
4
5,7
3,4
• Método Ziegler-Nichols de la respuesta en frecuencia: este método se basa en
el conocimiento del punto del diagrama de Nyquist del proceso en el que este
diagrama corta con el eje real negativo. Este método viene a representar que un
punto de la traza de Nyquist se puede desplazar cambiando los parámetros de un
controlador PID. El proceso es el siguiente:
6
Ajuste de la ganancia proporcional:
Para llevar a cabo su ajuste es necesario ajustar previamente la constante
de tiempo integral Ti a su máximo valor (∞) y la de tiempo diferencial Td a su valor
mínimo (0). A continuación, comenzando por un valor pequeño, se ajustaría el
valor de Kp hasta que el proceso comienza a oscilar, lo que ocurre para un valor
de Kp= Ku siendo el periodo de oscilación Tu.
Controlador
P
PI
PID
K/Ku
0,5
0,4
0,6
Ti/Tu
Td/ Tu
0,8
0,5
0,125
Tp/ Tu
1
1,4
0,85
Experimentalmente, este método puede llevarse a cabo de la siguiente forma:
1. Ajuste de la ganancia proporcional:
Para llevar a cabo su ajuste es necesario ajustar previamente la constante
de tiempo integral Ti a su máximo valor (∞) y la de tiempo diferencial Td a su valor
mínimo (0). A continuación, comenzando por un valor pequeño, se ajustaría el
valor de Kp hasta obtener el valor de salida deseado.
2. Ajuste de la acción integral
Una vez ajustada la ganancia proporcional se procedería a reducir la
constante de tiempo integral Ti hasta eliminar el error estacionario (objetivo de
esta acción). Podría ocurrir que apareciera una importante oscilación. Se
disminuiría la ganancia ligeramente y se repetiría el proceso hasta que se
obtuvieran los valores de respuesta deseados.
3. Ajuste de la acción derivativa o diferencial
Manteniendo los valores ajustados anteriormente se iría incrementando el
valor de Td hasta que se obtuviera una respuesta más rápida. Si fuese necesario
se incrementaría ligeramente el valor de ganancia.
Si se comparan ambos métodos sobre un mismo sistema se obtendrán
valores de parámetros diferentes. En general, el método de la respuesta al
escalón dará valores de ganancia mayores y tiempos de acción integral menores.
7
• Método de método de Chien, Hrones, y Reswick (CHR): para sintonizar un
controlador PID por este método, los parámetros a y L se determina de la misma
forma que en el método Ziegler-Nichols, dándose los parámetros del controlador
en función de estos valores. Este método determina diferentes valores en función
del porcentaje de sobre elongación y según se obtengan de la respuesta a
perturbaciones en la carga o variaciones en el punto de consigna. Los valores
para los parámetros del controlador obtenidos de la respuesta a perturbaciones
en la carga son los indicados en la siguientes tabla:
No sobre elongación
Ti/L
Controlador
aK
P
0,3
PI
0,6
4
PID
0,95
2,4
Td/L
aK
20% sobre elongación
Ti/L
Td/L
0,7
0,42
0,7
2,3
1,2
2
0,42
Los parámetros del controlador obtenidos de la respuesta a cambios en el
punto de consigna son los indicados en la siguiente tabla:
No sobre elongación
Ti/L
Controlador
aK
P
0,3
PI
0,36
1,2
PID
0,6
1
Td/L
aK
20% sobre elongación
Ti/L
Td/L
0,7
0,5
0,6
1
0,95
1,4
0,47
• Método de Cohen-Coon: este método se basa en un modelo del proceso tal que:
P( s ) =
Kp
1 + sT
e − sL
El criterio principal de diseño es el rechazo de las perturbaciones de carga,
e igualmente establece una tabla de valores basándose en cálculos analíticos y
numéricos. Considerando:
a=
K pL
T
τ=
L
L+T
8
• Sintonía empírica basada en reglas: los métodos descritos anteriormente son
métodos aproximados que necesitan de una sintonía manual posterior. Esta
sintonía manual se realiza sobre la respuesta en lazo cerrado, introduciendo una
perturbación (cambio en el punto de consigna, cambio en la variable de control,
etc.) analizándose la respuesta y corrigiendo los parámetros del controlador.
Estos ajustes se basan en reglas simples, desarrolladas a partir de un proceso de
experimentación. Estas reglas son:
- El aumento de la ganancia proporcional disminuye la estabilidad.
- El error decae más rápidamente si se disminuye el tiempo de integración.
- Disminuyendo el tiempo de integración disminuye la estabilidad.
- Aumentando el tiempo derivativo aumenta la estabilidad.
Como se puede apreciar, el cambio de un parámetro en un sentido u otro afecta
de forma diferente a la sintonía. Por este motivo es habitual utilizar mapas de
sintonía cuyo objetivo es mostrar, de forma intuitiva, cómo afectan los cambios en
los parámetros del controlador en el comportamiento del sistema en lazo cerrado.
De esta forma se pueden definir márgenes dentro de los cuales se pueden mover
los valores de los parámetros o valores límite para los que el sistema se volvería
inestable.
Estas reglas de sintonía fueron implementadas en procesos de sintonía
automática.
1.3. Diseño de controladores
El diseño de controladores se realizará en función del tipo de
especificaciones requeridas.
9
• Para un diseño básico, en primer lugar se elegirá la topología del sistema, es
decir, dónde se ubicará el controlador: serie, paralelo.
Una vez elegida la configuración del controlador, se debe elegir un tipo de
controlador que satisfaga las especificaciones requeridas, el más utilizado es el
controlador del tipo PID. De esta forma se restringe la complejidad del
controlador. También se pueden utilizar redes de compensación en adelanto,
atraso o atraso-adelanto.
Figura 6: ejemplos de topologías serie (arriba) y paralelo de controladores
Una vez elegido el controlador, y en función de las especificaciones
requeridas, se
deben determinar sus parámetros, para lo cual se elegirá el
método de análisis a utilizar más adecuado según las especificaciones: lugar de
las raíces o frecuencial.
Finalmente se debe comprobar que el sistema diseñado cumple con la
función requerida y, si fuese necesario, reajustar los parámetros para que así sea.
• Diseño mejorado: en ocasiones es conveniente trasladar alguna de las acciones
del controlador al lazo de realimentación. Por ejemplo, si en un controlador PID se
tiene una entrada escalón, la parte derivativa hace que se tenga un impulso en el
control. Por tanto, se recurre a otras configuraciones posibles que eviten los
problemas que se pueden presentar:
10
Figura 7: controlador PID
– Controlador PI-D: evita el fenómeno de la reacción del punto de
ajuste. Se evitan acciones de control agresivas que puedan dañar
los actuadores. La acción se vuelve más lenta y se reduce el
sobreimpulso.
Figura 8: controlador PI-D
– Controlador I-PD: acciones proporcional y derivativas solo en la
realimentación. Con este tipo de control, ante una señal escalón no
se produce un cambio brusco en la señal de control, lo que puede
no ser conveniente para algunos tipos de actuadores.
Figura 9: controlador I-PD
11
– Control integral con configuración de realimentación del estado:
permite un control más fino si aumenta el orden de la planta.
– Controladores PI-PD, PID-PD: los controladores PI-PD representan
un excelente controlador de cuatro parámetros para el control de
procesos integrantes, inestables y resonantes.
– Control Feed-forward: permite medir las perturbaciones y llevar a
cabo una acción correctiva en cuanto la perturbación aparece.
Figura 10: controlador feed forward
Con los controladores PID aparecen una serie de problemas, como son:
- La sintonía: la elección de los valores de los parámetros Kp, Ti y Td puede
llegar a complicarse, de hecho se ha observado que según el método de sintonía
elegido estos valores pueden ser diferentes.
- Efecto Windup integral: se produce cuando la acción de control aumenta
tanto que se produce una saturación en los actuadores. Este problema rompe el
lazo de control ya que el actuador se mantendrá en su valor límite
independientemente de la señal de control. El control no volverá a ser efectivo
hasta que la señal de control baje por debajo del nivel de saturación.
Para eliminar este efecto existen multitud de configuraciones del
controlador que permiten anular el problema.
• Diseño robusto: el primer paso a la hora de diseñar un sistema de control es
diseñar un modelo matemático equivalente de la planta física. En ocasiones este
modelo puede no ser lineal o demasiado complejo. Un modelo complejo no
resulta demasiado útil porque complica excesivamente el proceso de diseño. Por
ello se recurre a modelos más simples pero que a la vez reflejen las
12
características intrínsecas del sistema físico. Evidentemente esta solución genera
una incertidumbre sobre si el control diseñado será adecuado para la función
requerida, incertidumbre que podrá ser de diferentes tipos dependiendo de las
características que se estimen (estabilidad, margen de ganancia, margen de fase,
etc.). La incertidumbre es agregada al modelo nominal pudiendo ser tratada de
diferentes formas.
En la teoría de control robusto se pretende aproximar el modelo de la
planta mediante un modelo lineal con coeficientes constantes, sabiendo que se
incurrirá en un error que se pretende esté acotado. De esta forma se pueden
diseñar técnicas de control válidas para sistemas multivariable, que aseguren
como mínimo la estabilidad del sistema.
En un control robusto el sistema ha de ser estable para todo el conjunto de
situaciones de la planta y el rendimiento debe cumplir las especificaciones de
diseño para todas las situaciones posibles, es decir, en presencia de
incertidumbre.
Se hace por tanto indispensable determinar el tipo de incertidumbre
(paramétrica, estructurada, no estructurada) para poder determinar su tamaño e
importancia y poder acotarla. Para estimar la incertidumbre se puede recurrir a los
datos de los sensores y actuadores, a experimentación con el sistema en
diferentes puntos de funcionamiento, etc.
Para sistemas multivariable se debe elegir la descripción más próxima al
efecto que causa la incertidumbre. El margen de robustez está relacionado con el
tipo específico de modelo de incertidumbre.
- Control con dos grados de libertad: Permite ajustar las características de
lazo cerrado y de realimentación de forma independiente, lo que mejora la
respuesta del sistema.
• Diseño por el método de asignación de polos: muchas de las propiedades de un
sistema se expresan por sus polos. Con este método se pretende diseñar un
controlador para que el sistema en lazo cerrado tenga los polos en el lugar
deseado. El método requiere un modelo completo del proceso. Es posible
encontrar un controlador que da los polos en lazo cerrado deseados, con la
13
condición de que el controlador sea lo suficientemente complejo. Para un control
PID es necesario restringir la complejidad del modelo mediante métodos de
aproximación, por ello, los polos que se seleccionen deben escogerse de forma
que aseguren que el modelo es válido.
El proceso de diseño dependerá del tipo de controlador (PI, PID) y de las
características del sistema (número de polos, orden, sistema oscilatorio, etc.).
• Diseño de polos dominantes: es una simplificación del método anterior. En
ocasiones es difícil especificar todos los polos en lazo cerrado, por lo que se
utilizan los polos dominantes para caracterizar al sistema.
• Sintonía Lambda: es un caso especial del método de la asignación de polos. Es
un método sencillo que puede dar buenos resultados en ciertas circunstancias
siempre que el parámetro de diseño se escoja adecuadamente. El método básico
cancela un polo del proceso, lo que se traducirá en una pobre respuesta de las
perturbaciones de carga en procesos dominados por constante de tiempo.
• Diseño algebraico: es un proceso en el que la función de transferencia del
controlador se obtiene de las especificaciones mediante un método algebraico
directo. Existen diversos métodos, todos ellos relacionados con la asignación de
polos.
- Formas estándar: se comienza por determinar una función de
transferencia de una forma determinada, calculando sus parámetros de manera
que se minimice el criterio de error elegido.
- Método de Haalman: para sistemas con retardo L, Haalman propuso
seleccionar una función de transferencia del lazo de la forma
G ( s ) = P ( s )C ( s ) =
2 − sL
e
3Ls
dependiendo de la función de transferencia del proceso y aplicando este método,
será fácil determinar los parámetros y el tipo de controlador.
• Control con modelo interno: su nombre proviene del hecho de que el controlador
contiene internamente un modelo del proceso. Este modelo ( Pm(s) ) se conecta
en paralelo con el proceso y se aplica la inversa del modelo Pim(s) y un filtro (Gf).
Se considera que todas las perturbaciones que afectan al proceso se reducen a
una perturbación equivalente d. El controlador obtenido se puede representar por
la función siguiente, de la que se deduce que este tipo de controlador serie
cancela los polos y ceros del proceso.
14
C=
G f Pim
1 − G f Pim Pm
Figura 11: diagrama de control por modelo interno.
• Diseño para rechazo por perturbaciones: en los métodos anteriores solo se ha
tenido en cuenta la caracterización de la dinámica del proceso, sin considerar
directamente las perturbaciones. Para el estudio se ha utilizado una perturbación
de tipo escalón y se ha analizado la respuesta del sistema, pero no todas las
perturbaciones tienen esta forma. Además no se ha tenido en cuenta la
amplificación del ruido de medida en la realimentación. Con un diseño orientado al
rechazo por perturbaciones lo que se pretende es tener una solución de
compromiso entre la atenuación de las perturbaciones de carga y la amplificación
del ruido de medida debido a la realimentación.
1.4. Condiciones de operación
Son muchos los requisitos que se le exigen a un sistema de control. Como
se ha comentado, en torno al 95% de los controladores instalados son del tipo
PID lo que demuestra que este tipo de controladores funciona correctamente
siempre que las condiciones exigidas no sean demasiado estrictas. Por lo
general, la mayoría de procesos estables pueden ser controlados mediante un
controlador PI, de hecho, es frecuente que la acción derivativa no se utilice. Esto
ocurre en la mayoría de procesos de primer orden.
El controlador PID suele ser suficiente en procesos de segundo orden e incluso
en aquellos procesos con retardo en el que la acción derivativa pueda ser
suficiente para acelerar la respuesta del sistema. Sin embargo, este tipo de
15
controladores no será suficiente en procesos de orden superior, en sistemas con
grandes retardos, en sistemas con modos oscilatorios o con ruidos significativos.
Del mismo modo, no será suficiente cuando se pretendan conseguir un control
muy exhaustivo. Para todos estos casos es conveniente la utilización de sistemas
de control más sofisticados que el PID.
Bibliografia
• Karl J. Åström. Control PID Avanzado.
• Karl J. Åström. PID Controllers: Theory, Design and Tunning.
Enlaces de interés
http://www.dia.uned.es/~fmorilla/MaterialDidactico/El%20controlador%20PID.pdf
http://www.robolabo.etsit.upm.es/asignaturas/sctr/apuntes/transparencias/PID.pdf
http://www.imac.unavarra.es/~jorge.elso/IA/apuntes/Diapositivas%20tema%208.p
df
http://www.imac.unavarra.es/~jorge.elso/ICR/apuntes/Diapositivas%20tema%202.
pdf
http://www.isa.cie.uva.es/~fernando/papers/doctorado_parte1.pdf
http://www.siam.org/books/dc14/DC14Sample.pdf
http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=Introduction&section=Con
trolPID
http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs12555-009-0203-y#page-1
16