1. (4 puntos) La siguiente matriz representa un juego estático entre

Facultad de Ciencias Sociales, Universidad de la República, Uruguay
Teoría de Juegos 2011
Montevideo, 17 de julio de 2012
Examen Teoría de juegos
Nombre ______________________________________
C.I.
_______________
1. (4 puntos) La siguiente matriz representa un juego estático entre el Jugador 1 y el
Jugador 2. Los números entre paréntesis representan las utilidades de los jugadores. El
número a la izquierda de la coma es la utilidad del jugador 1 y el de la derecha, la
utilidad del jugador 2.
Jugador 1
Jugador 2
Y2
Y3
(0,0)
(-1,2)
(-1,1)
(-2,0)
(-1,2)
(-2,1)
(0,2)
(1,1)
Y1
(1,-1)
(0,1)
(2,-1)
(2,-2)
X1
X2
X3
X4
Y4
(2,-2)
(1,-1)
(2,-1)
(0,-2)
1.1 (1 punto) Determine si los jugadores tienen estrategias dominadas y reduzca la
matriz eliminándolas.
1.2 (1 punto) Determine si la matriz reducida tiene equilibrios de Nash y diga cuáles
son.
1.3 (2 puntos) Represente el juego original de forma extensiva y determine el resultado
por retroinducción para el caso en el que el jugador 2 juega en primer término.
2. (4 puntos) El siguiente cuadro representa la distribución ideológica de un electorado y
las posiciones de tres candidatos en una escala izquierda (1) derecha (7). Ni los
electores ni los candidatos pueden cambiar de posición antes de la elección.
Posición ideológica
Electores (%)
Candidatos
1
4
2
13
A
3
20
B
4
30
5
19
C
6
9
2.1 (1 punto) ¿Cuál sería el resultado de la elección en esas condiciones si todos los
electores votan al candidato más cercano ideológicamente? (Cuando un grupo es
equidistante a dos candidatos se divide a la mitad)
1
7
5
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2.2 (1 punto) Previendo el resultado obtenido en 1.1 diga si hay dos candidatos a los que
les convendría aliarse para enfrentar al otro en la elección. ¿Cuáles son esos candidatos
y cuál sería el resultado de la elección en el caso de concretar la alianza?
2.3 (2 puntos) Dados los dos candidatos a los que convendría aliarse de acuerdo a 1.2,
represente como un juego la interacción estratégica entre ambos, asumiendo que para
que la alianza se concrete sólo uno puede ser candidato y el otro debería apoyarlo. En
cualquier otro caso la alianza no se concretaría. En cuanto a las preferencias de los
candidatos el resultado preferido es ser el ganador de la elección, en segundo lugar
haber apoyado al candidato ganador, en tercer lugar competir en la elección aunque no
se gane y, por último, no competir. Determine la existencia de estrategias dominantes,
dominadas y equilibrios.
3. (5 puntos) Considere el siguiente juego en forma extensiva
1
D
I
2
2
D’
I’
D’
I’
C’
J1
J2
3
1
0
2
2
1
1
2
0
0
3.1. ¿Cuál es la representación en forma normal de este juego? Fundamente su
respuesta.
3.2. Identifique las mejores respuestas de cada jugador a las estrategias del otro jugador.
3.3. Determine los equilibrios de Nash. Fundamente su respuesta.
3.4. Determine el resultado por retroinducción. Fundamente su respuesta.
3.5. Compare los resultados anteriores. ¿Satisfacen todos los equilibrios de Nash de este
juego el criterio de retroinducción? Explique.
2
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4. (3 puntos) Dos empresas compiten en un mercado produciendo el mismo bien. Cada
empresa puede producir 2, 4 o 6 unidades del bien. Las utilidades de las empresas según
las cantidades producidas son las siguientes:
q1
2
2
2
4
4
4
6
6
6
q2
2
4
6
2
4
6
2
4
6
Ut 1
14
10
6
20
12
4
18
6
-6
Ut 2
14
20
18
10
12
6
6
4
-6
4.1. Represente la matriz de pagos.
4.2. Determine los equilibrios de Nash. Explique.
4.3. ¿Obtendrían las empresas un resultado mejor si pudieran acordar cuánto producir,
es decir, si pudieran coludir? ¿Cuánto produciría cada empresa? ¿Qué utilidad obtendría
cada empresa? Explique.
3
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Pauta de respuesta
1.1 Primero observo las estrategias del Jugador 1 y determino que X2 es una estrategia
dominada. Una vez eliminada X2 observo las estrategias del Jugador 2 y determino que
tanto Y1 como Y4 son estrategias dominadas. Elimino ambas opciones y vuelvo a
observar las estrategias del Jugador 1. Ahora determino que X3 pasó también a ser una
estrategia dominada. Luego de eliminar X3 me queda la siguiente matriz reducida:
Jugador 2
Y2
(0,0)
(0,2)
X1
X4
Jugador 1
Y3
(-1,2)
(1,1)
1.2 En esta matriz X1es una estrategia débilmente dominada ya que jugando X1nunca se
obtienen mayores utilidades que jugando X4 por lo que también se podría eliminar. Por
lo tanto, jugar X4 es una estrategia débilmente dominante para el Jugador 1. Por su
parte, para el Jugador 2, la mejor respuesta cuando el Jugador 1 juega X1sería jugar Y3
(Obtiene una utilidad de 2 en lugar de 0). Pero el perfil (X1, Y3) no es un equilibrio de
Nash porque X1 no es la mejor respuesta del Jugador 1 cuando el Jugador 2 juega Y3 ya
que obtiene una utilidad de -1 en lugar de 1. Para el caso en el que el Jugador 1 juegue
X4, la mejor respuesta del Jugador 2 es jugar Y2 (obtiene una utilidad de 2 en lugar de
1). Y para el Jugador 1 jugar X4 también es una mejor respuesta cuando el Jugador 2
juega Y2, aunque en este caso es indiferente respecto a jugar X1porque obtiene la misma
utilidad (0 en ambos casos). Por lo tanto el perfil de estrategia (X4, Y2) es el único
equilibrio de Nash de este juego.
1.3 El siguiente árbol representa el juego en forma extensiva:
J2
y1
y2
y4
y3
J1
J1
J1
J1
x1
x2
x3
(-1,1) (1,0) (-1,2)
x4
x1
x4
x2
(-2,2)
I
(0,0) (1,-1)
x3
x1
x2
x3
x4
(2,-1)
x1
(1,1)
(0,-2)
(1,-2)
x2
x3
x4
(-2,2) (-1,1) (-1,2) (-2,0)
(2,-1) (2,0)
En este caso, utilizando retroinducción los equilibrios pueden cambiar. Si el Jugador 2
juega Y1 las mejores respuestas del Jugador 1 son X3 y X4 (obtiene una utilidad de 2 en
lugar de 1 o 0). Si el Jugador 2 juega Y2 las las mejores respuestas del Jugador 1 son
X1 y X4 (obtiene 0 en lugar de -1). Si el jugador 2 juega Y3 las mejores respuestas del
Jugador 1 es X4 (obtiene 1 en lugar de -1 o -2). Finalmente, si el Jugador 2 juega Y4 las
mejores respuestas del Jugador 1 son X1 y X3 (obtiene 2 en lugar de 1 o 0). Por lo
tanto, para el Jugador 2 las estrategias Y1 e Y4 están dominadas por Y2 e Y3 ya que
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puede obtener 0, 1 o 2 en lugar de -1 o -2. El problema es que jugando Y3 se asegura
una utilidad de 1 pero jugando Y2 podría obtener una utilidad de 2, aunque también 0.
Si el jugador 2 es neutral frente al riesgo y atribuye igual probabilidad a que el Jugador
1 elija X1 o X4 cuando él juega Y2 podría asignar una utilidad esperada para esa
situación de 1 (0,5*0+0,5*2=1). En ese caso sería indiferente frente a jugar Y2 o Y3 y
cualquiera de los tres resultados podría ocurrir. En cambio, si asumimos que el Jugador
2 es averso al riesgo, no optará por Y2 ya que podría obtener 0 y preferirá jugar Y3 y
asegurarse una utilidad de 1. En este caso el perfil de estrategia (Y3,X4) es el resultado
del juego por retroinducción y difiere del equilibrio de Nash.
2. El siguiente cuadro representa la distribución ideológica de un electorado y las
posiciones de tres candidatos en una escala izquierda (1) derecha (7). Ni los electores ni
los candidatos pueden cambiar de posición antes de la elección.
Posición ideológica
Electores (%)
Candidatos
1
4
2
13
A
3
20
B
4
30
5
19
C
6
9
7
5
2.1 El resultado de la elección sería A=17%; B=35%; y C=48%. A recibe los votos del
4% de electores en la posición 1 y el 13% de los electores de la posición 2. B recibe los
votos del 20% de electores de la posición 3 y la mitad de los electores de la posición 4.
Finalmente C recibe la mitad de los electores de la posición 4 más la totalidad de las
posiciones 5, 6 y 7.
2.2 Dado que en esas condiciones C ganaría la elección pero no alcanza una mayoría
absoluta, los candidatos A y B tienen incentivos para aliarse. Si pudieran sumar sus
votos ganaría la elección con un 52%.
2.3 El juego entre A y B puede representarse en la siguiente matriz:
Candidato
A
Postularse
Apoyar a B
Candidato B
Postularse
Apoyar a A
(0,0)
(0,-1)
(1,2)
(-1,-1)
Las utilidades, de acuerdo con la letra son 2 para el caso en el que gana la elección, lo
que sólo puede ocurrir cuando A apoya a B. En ese caso B obtiene su mejor resultado
(2=ganar la elección) y A el segundo mejor (1=haber apoyado al ganador). Cuando B
apoya a A y A se postula no ganan la elección ya que la mitad de los electores de la
posición 4 que habrían votado por B pasan a votar por C que se encuentra más próximo
que A. En ese caso A obtiene su tercera preferencia (0=competir) y B el peor resultado
(-1=no participar). Cuando ambos se postulan pierden la elección y ambos obtienen su
tercera preferencia. Si se apoyan recíprocamente, es decir, ninguno se postula, ambos
obtienen el peor resultado. Para el candidato B, apoyar a A, es una estrategia dominada,
ya que siempre le ofrece menores utilidades que postularse (-1<0 y -1<2), por lo que
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postularse es su estrategia dominante. Para el caso en el que B decide postularse la
mejor respuesta del candidato A es apoyarlo, ya que obtendría su segunda preferencia
(1>0). Por lo tanto el prefil de estrategia (Apoyar a B, Postularse) es un equilibrio de
Nash.
3.1. Lo primero a determinar son las estrategias de cada jugador. El jugador 1 sólo tiene
dos estrategias, que coinciden con acciones: I y D. El jugador 2 tiene seis estrategias: (i)
jugar I’ si el jugador 1 eligió I y jugar I’ si el jugador 1 eligió D, es decir, jugar I’ pase
lo que pase; (ii) jugar I’ si el jugador 1 eligió I y jugar C’ si el jugador 1 eligió D; (iii)
jugar I’ si el jugador 1 eligió I y jugar D’ si el jugador 1 eligió D; (iv) jugar D’ si el
jugador 1 jugó I y jugar I’ si jugó D; (v) jugar D’ si el jugador 1 jugó I y jugar C’ si el
jugador 1 jugó D; (vi) jugar D’ haga lo que haga el jugador 1. Dadas estas estrategias, la
matriz de pagos de la representación normal es:
Jugador 1
I
D
I’I’
3,1
2,1
Jugador 2
I’C’
3,1
1,2
I’D’
3,1
0,0
D’I’
0,2
2,1
D’C’
0,2
1,2
D’D’
0,2
0,0
3.2. Mejores respuestas. Si el jugador 1 juega I, las estrategias D’I’, D’C’ y D’D’
integran el conjunto de mejores respuestas del jugador 2. Si el jugador 1 juega D, las
mejores respuestas de 2 son I’C’ y D’C’. A su vez, si el jugador 2 elige I’I’, I’C’ o I’D’,
la mejor respuesta para el jugador 1 es I. Si el jugador 2 elige D’I’ o D’C’, la mejor
respuesta del jugador 1 es D. Finalmente, si el jugador 2 elige D’D’, tanto I como D son
mejores respuestas de 1. En la matriz, representamos las mejores respuestas con una
línea debajo de la ganancia del jugador cuya respuesta estamos evaluando.
3.3. Equilibrios de Nash. Los equilibrios de Nash son pares de mejores respuestas. En
este juego, hay dos: (i) Jugador 1 elige D y jugador 2 elige D’C’ y (ii) jugador 1 elige I
y jugador 2 elige D’D’.
3.4. El jugador 2 es el último en jugar. Elige D’, si el jugador 1 eligió I y elige C’, si el
jugador 1 eligió D. En la etapa previa, el jugador 1 elige D, ya que con esta elección
obtiene 1 (dado que sabe que el jugador 2 va a elegir C’ llegado a ese punto del juego)
y, en cambio, si eligiera I obtendría 0, porque en ese caso el jugador 2 elegiría D’. Por lo
tanto, hay un único resultado por retroinducción: jugador 1 juega D y luego jugador 2
juega C’.
3.5. Hay dos equilibrios de Nash pero sólo un resultado por retroinducción. El equilibrio
de Nash (I, D’D’) no resiste el criterio de retroinducción. La estrategia D’D’ no es
creible, en el sentido que el jugador 2 nunca jugaría D’ después de que el jugador 1
hubiera jugado D.
6
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4.1. La matriz de pagos es:
Empresa 2
Empresa 1
(14,14)
(20,10)
(18,6)
(10,20)
(12,12)
(6,4)
(6,18)
(4,6)
(-6,-6)
4.2. El equilibrio de Nash está indicado en rojo y trazo grueso en la matriz anterior. La
empresa 2 elige 4, si la empresa 1 eligió 4 y viceversa, la empresa 1 elige 4 si la
empresa 2 elige 4.
No hay otro equilibrio de Nash. Si una empresa eligiera jugar 2, la producción óptima
para la otra sería 4. Por lo tanto, las dos jugando 2 no puede ser un equilibrio de Nash.
Si una empresa eligiera 6, la producción óptima para la otra sería 2. Por lo tanto, no hay
un equilibrio de Nash en que las dos empresas jueguen 6.
4.3. Si las empresas pudieran ponerse de acuerdo para fijar conjuntamente la
producción, dividiéndose las utilidades por partes iguales, elegirían restringir la
producción a 2 unidades cada empresa. Con eso, obtendrían utilidades de 14 cada una,
en lugar de las 12 que obtienen en el equilibrio de Nash.
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