Relación 1 1. En la integral de Riemann, se dice que un conjunto A

Relación 1
1. En la integral de Riemann, se dice que un conjunto A ⊂ [0, 1] tiene contenido o
longitud si la función ℵA es integrable de Riemann en [0, 1], o equivalentemente, si
la frontera de A, ∂A, tiene medida nula. En tal caso, podemos definir la longitud
Rb
o contenido de A como a ℵA dx.
(a) ¿ Cual es la diferencia entre los conceptos de contenido nulo y medida nula?.
(b) Probar que E = { n1 : n ≥ 1} ∪ {0} tiene contenido nulo.
(c) Mostrar que la integral de Riemann puede medir la longitud del conjunto A =
S+∞ 1
1
, 2k−1
].
[ 12 , 1] ∪ [ 14 , 13 ] ∪ [ 16 , 15 ] ∪ [ 18 , 71 ] · · · · · · = k=1 [ 2k
(d) Mostrar que para todo n ≥ 2,
n
X
ℵ
1
1
[ 2k
, 2k−1
]
≤ ℵA ≤ ℵ
1
[0, 2n+1
]
+
k=1
n
X
1
1
ℵ[ 2k
, 2k−1
]
,
k=1
P+∞ 1
2k−1
1
2k
y concluir que la longitud de A es igual a k=1
−
.
(e) Mostrar que A = Q ∩ [0, 1] no tiene contenido pero tiene medida nula.
2. (a) Calcular el área de un triángulo de base 2ε y altura 1/ε.
(b) Construir una sucesión de funciones continuas {fn } en [0, 1] cuyo lı́mite puntual
sea una función continua f y tal que
Z 1
Z 1
lim
fn (x)dx 6=
f (x)dx .
n→∞
0
0
(b) Mostrar que toda función f : [0, 1] −→ R que se anula en [0, 1] excepto por un
conjunto finito de puntos, es integrable de Riemann en [0, 1] y tiene integral nula.
3. Se considera en el intervalo [0, 1] la función
1
si x = pq , (p, q) = 1
q
f (x) =
0 si x es irracional
.
(a) Mostrar que f es discontinua en Q ∩ [0, 1].
(b) Si x ∈ [0, 1] \ Q, mostrar que para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si | pq − x| < δ,
(p,q)=1 y p ≤ q, entonces q ≥ 1ε .
(c) Concluir que f es integrable de Riemann en [0, 1].
(d) Si
1
si x = pq , (p, q) = 1 , q ≤ n
q
fn (x) =
,
0 en otro caso
R1
mostrar que fn converge uniformemente a f en [0, 1] y concluir que 0 f dx = 0.
4. Si f : [0, 1] −→ R es una función monótona creciente y acotada, probar las
siguientes afirmaciones:
(a) f tiene lı́mites laterales en todos los puntos del intervalo [0, 1].
(b) Si 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · xn ≤ 1, entonces
n
X
j=2
f (xj ) − f (xj−1 ) ≤ f (1) − f (0) .
2
(c) Dε = {x ∈ (0, 1) : f (x+ ) − f (x− ) > ε} es un conjunto finito para todo ε > 0.
(d) El conjunto de puntos de discontinuidad de f en [0, 1] tiene medida nula y f
es integrable de Riemann en [0, 1].
5. Cuando la integral de Riemann intenta calcular el área bajo la Rgráfica de una
+∞
función continua f : [0, +∞) −→ R recurre a la siguiente definición: 0 f (x)dx =
RR
limR→+∞ 0 f (x) dx. Si tal lı́mite existe y es finito, se dice que la integral es
convergente. La integral seRdice absolutamente convergente si utilizando el mismo
+∞
método, podemos calcular 0 |f (x)|dx y el resultado es finito.
R +∞ dx
R 1 dx
(a) 0 xα es convergente si y sólo si α < 1. 1
xα es convergente si y sólo si
α > 1.
R +∞
(b) Si f, g : [0, +∞) −→ R son funciones continuas, g ≥ 0, |f | ≤ g y 0 gdx es
R +∞
convergente, entonces 0 f dx es absolutamente convergente.
(c) Estudiar la convergencia y convergencia absoluta de las siguientes integrales
para m ∈ R,
Z
0
1
2
m
(| log x|) dx
Z
,
+∞
−xm
e
0
Z
dx
,
0
+∞
cos x
1+x2 dx
Z
,
0
+∞
sin x
xm dx
.
(c) ¿ Cuál serı́a lo equivalente al apartado (a) en los casos de R2 y R3 ?
6. (a) Si f (x) = x sin x1 , calcular la medida del conjunto {x ∈ [0, π1 ] : f (x) ≥ 0}
n
P+∞
(Aquı́ es útil recordar que log 2 = n=0 (−1)
).
S+∞ n n
(b) Calcular la medida de E = n=0 (n + r , n + 2rn ) si 0 < r < 21 .
7. Si E0 = [0, 1], dividimos E0 en tres intervalos de longitud 1/3 y definimos E1 =
[0, 31 ] ∪ [ 23 , 1]. Definimos E2 dividiendo cada intervalo en E1 en tres intervalos de
longitud 312 y quitando el intervalo central. Procediendo de esta forma, obtenemos
una familia de conjuntos E0 ⊃ E1 ⊃ E2 ⊃ · · · ⊃ Ek ⊃ Ek+1 ⊃ · · · tal que
cada Ek es la unión de 2k intervalos de longitud 31k que son disjuntos dos a dos.
T+∞
Al conjunto C = k=1 Ek se le llama conjunto ternario de Cantor. Probar las
siguientes afirmaciones:
(a) m(C) ≤ m(Ek ) = ( 23 )k para todo k ≥ 0.
(b) m(C) = 0. Mostrar que ℵC integrable de Riemann y C tiene contenido
nulo en [0, 1]. ¿ Es la función caracterı́stica de todo conjunto medible en [0, 1] con
medida nula integrable de Riemann en [0, 1]?.
Pk c
(c) Si Ek = J1 ∪ J2 ∪ · · · ∪ J2k y S = j=1 3jj , donde cj ∈ {0, 2}, entonces S
es uno de los extremos izquierdo de alguno de los intervalos Jm y Jm = [S, S + 31k ]
(utilizar inducción).
(d) x ∈ C si y sólo si existe una sucesión {cj } tal que cj ∈ {0, 2} para todo j y
P+∞ c
x = j=1 3jj . Además, esta representación es única.
(e) El cardinal de C es el cardinal del continuo c, es decir, igual al cardinal de
R.
(f) Deducir que la σ-álgebra de Lebesgue M tiene cardinal 2c , es decir, igual al
cardinal de P(R).
8. Si A y E son subconjuntos de R, x ∈ R y λ > 0, probar los siguientes resultados.
3
(a) Si E + x = {y + x : y ∈ E}, entonces m∗ (E + x) = m∗ (E) = m∗ (E − x).
(b) (E + x)c = E c + x y A ∩ (E + x) = ((A − x) ∩ E) + x.
(c) Si E es medible, entonces E + x es medible y m(E + x) = m(E).
(d) Si λE = {λx : x ∈ E}, entonces m∗ (λE) = λm∗ (E).
(e) λ−1 (A ∩ (λE)) = (λ−1 A) ∩ E, λ−1 (A ∩ (λE)c ) = (λ−1 A) ∩ E c .
(f) Si E es medible, entonces λE es medible y m(λE) = λm(E).
(e) Si E es medible, entonces −E es medible y m(−E) = m(E). Deducir que
m(λE) = |λ|m(E) si λ ∈ R y E es medible.
(g) Sea f : R → R una función y A = {E ∈ B : f −1 (E) ∈ B}. Mostrar que A
es una σ-álgebra en R. Mostrar que A = B si f es continua. ¿Qué conclusiones
podemos sacar de este apartado del problema 8. y de los anteriores?
9. (a) Probar que los subconjuntos medibles de Lebesgue de medida nula son los
conjuntos E ⊂ R tal que m∗ (E) = 0.
(b) Mostrar que todo subconjunto numerable de R tiene medida nula. En particular, la medida de Lebesque es capaz de medir la longitud de Q y m(Q) = 0.
Sea E un conjunto medible de Lebesgue y > 0.
(c) Probar que existe un abierto V que contiene a E tal que m(V \ E) < .
(Empezar por el caso m(E) < +∞ y observar que todo E ∈ M, se puede escribir
S+∞
como E = n=1 E ∩ (−n, n))
(d) Probar que existe un cerrado F contenido en E tal que m(E \ F ) < .
(Aplicar (a) al conjunto E c )
(f) Deducir que
m(E) = inf {m(V ) : E ⊂ V , V es abierto}
= sup {m(K) : K ⊂ E , K es compacto} .
(Como antes, empezar por el caso m(E) < +∞ y observar que todo E ∈ M se
S+∞
S+∞
puede escribir como, E = n=1 E ∩ (−n, n) = n=1 E ∩ [−n, n]).
Observar, que todos los apartados del problema 9 son ciertos en Rn , si en 9 (b)
cambiamos Q por Qn .
10. Sea E un conjunto medible de Lebesgue en R tal que m(R\E) es nula. Mostrar
que E es denso en R ¿Es lo mismo cierto en [a, b], si E ⊂ [a, b] y m([a, b] \ E) = 0?