Estimados estudiantes: Al resolver el problema que os proponía hoy

Estimados estudiantes:
Al resolver el problema que os proponía hoy sobre el crecimiento exponencial no he
sabido responder totalmente a una pregunta inteligente que plantearon Marina Conde y
Jaime Rodríguez.
La cuestión era la siguiente:
“¿Cuál es la tasa de crecimiento poblacional de una población humana en que cada
familia tiene 3 hijos a la edad de 30 años (no hay solteros ni divorcios y el cociente de
sexos es 1:1)?”
La propuesta de Marina era calcular esa tasa con la fórmula r  ln R de forma que
r = ln1,5 = 0,405. Mi propuesta pasaba por utilizar (en la suposición de que se ajusta
bien al crecimiento de poblaciones humanas):
3

ln1,5
N  N
N t  N 0e rt   30 2 0  1,5 N 0  N 0e30 r  r 
 0,0135 1,4% anual
30
30 r
 N 30  N 0e
La primera de las ecuaciones después de la llave quiere decir “en 30 años la población
tiene el tamaño de la original pero multiplicado por 3/2, porque cada pareja tiene 3
hijos”. La segunda simplemente aplica la fórmula del crecimiento exponencial continuo
para un tiempo de 30 años.
Para entender por qué la primera aproximación no es válida es conveniente examinar su
origen, al igualar las dos expresiones del modelo, continua y discreta, cuando
estudiamos periodos largos de tiempo e intervalos de tiempo infinitesimales:
Nt  N 0 Rt 
N Rt  N0ert  ert  Rt  er  R  r  ln R
rt  0
Nt  N 0e 
Bien pero…
1) r es una tasa (es decir, una resultado por unidad de tiempo) que viene
de la diferencia de las tasas de natalidad y mortalidad r= (b-q)
2) R quiere decir: “cada adulto deja 1,5 descendientes”
3) r quiere decir: “la población crece tanto como ln(1,5) por cada unidad
de tiempo (y esa unidad de tiempo eran días en el ejemplo de las
cucarachas pero años en el ejemplo de la población humana
 luego para convertir r = lnR en una tasa es necesario dividir
esa magnitud por los 30 años que tardan en reproducirse los
humanos del ejemplo (1,4% anual) o los 30 días para las
cucarachas (2,3% diario). Esto supone que la población de
cucarachas mañana será la de hoy más un 2,3% lo que es falso,
pues la población mañana (y la de pasado mañana) será la misma
que hoy… hasta el día en que acaben reproduciéndose. Sin
embargo, si estudiamos esta población a largo plazo y suponemos
que las cucarachas se reproducen continuamente (cosa que por
desgracia no se aleja demasiado de la realidad), entonces
podemos admitir esa primera presunción.
Otra forma de verlo, quizás formalmente más correcta es la siguiente:
1) Nt  N0 Rt (expresión del modelo exponencial discreto) quiere decir que
el tamaño poblacional en la generación número t es el producto del tamaño
poblacional original por el número de descendientes per cápita elevado al
número de generaciones.
2) Nt  N0ert (expresión del modelo exponencial continuo) quiere decir
que el tamaño poblacional en el tiempo t es el producto del tamaño
poblacional original por el número e elevado al producto de la tasa
continua de incremento poblacional por ese tiempo t.
3) Es decir, en la primera expresión t significa número de generaciones
(vamos a llamarlo tg), mientras que en la segunda t significa tiempo
(denominémoslo t)
Nt  N0 Rtg 
N Rtg  N0ert  ert  Rtg
rt  0
N t  N 0e 
Supongamos ahora una generación (tg = 1) que comprende un tiempo t
dado (30 días o 30 años, en los ejemplos anteriores)
e rt  R tg  e rt  R  rt  ln R  r 
ln R
t
Donde t, en esa fórmula, es el número de unidades de tiempo que tarda un
individuo en reproducirse.
Conviene recordar también que r es la tasa de crecimiento poblacional, que definimos
como la resta de la tasa de natalidad menos la de mortalidad: r = b – q, por lo que en
ella sí que está implícita la pérdida de individuos por mortalidad. Resulta irrelevante
pensar si los individuos reproductores después de 30 días se vuelven a reproducir otra
vez, pues lo harán si no mueren antes.