Respuesta de sistemas y estabilidad. Respuesta frecuencial.

Análisis de Sistemas en el
Dominio del Tiempo
Indice
• Análisis de los sistemas
• Respuesta impulsional
• Respuesta a un escalón
• Respuesta a una señal cualquiera
• Estabilidad
• Sistemas de primer orden
• Sistemas de segundo orden
• Sistemas de orden superior
Análisis de los Sistemas
• Conocido el modelo matemático del sistema se realiza el análisis de su
X(s)
Y(s)
G(s)
comportamiento dinámico.
g(t)
x(t)
y(t)
•Se utilizan señales de excitación sencillas y con transformada de Laplace.
∞↑
u0(t)
δ(t)
1
t
f(t)
f(t)
1
1
t
1
1
t
t
• El análisis se puede realizar en el dominio del tiempo o en el dominio de
f(t)
la frecuencia.
M
/ω
π
-M
t
2·π
/ω
X(s)
Respuesta impulsional
x(t)
• Señal de excitación: Impulso de Dirac
∞↑
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
y(t)
Formas de respuesta típicas
ante un impulso
δ(t)
x t =δt 
X s =1
0
t
y(t)
t
• Respuesta del sistema: g(t)
0
t
y(t)
0
Y s =X  sG s=Gs 
y t =L−1 [Gs ]=gt 
y(t)
0
t
t
X(s)
Respuesta a un escalón
G(s)
g(t)
x(t)
• Señal de excitación: Escalón unitario
y(t)
Formas de respuesta típicas
u0(t)
ante un escalón
x t =u 0 t 
1
X  s=
s
1
Y(s)
y(t)
t
0
• Respuesta del sistema: Integral de g(t)
Y  s =X s·G s =
−1
y t =L
[ ]
y(t)
G s 
s
G  s
=∫ gt dτ
s
t
0
t
Respuesta a una señal cualquiera
X(s)
x(t)
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
• Señal de excitación: x(t)
• Respuesta del sistema:
1. Se calcula la Transformada de Laplace de la entrada: X(s)=L[x(t)]
2. Se obtiene la Función de Transferencia que sirve de modelo del sistema: G(s)
3. Se calcula la Transformada de Laplace de la salida: Y(s)=X(s)·G(s)
4. Se obtiene la Antitransformada de Laplace de Y(s): y(t)=L-1[Y(s)]
Estabilidad (I)
Un sistema es estable si ante señales de entrada o perturbaciones
acotadas produce salidas acotadas y regresa a un estado de equilibrio.
Un sistema de control está en estado de equilibrio si, en ausencia de
cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo
estado.
∞↑
y(t)
δ(t)
G(s)
g(t)
t
t
Estable
∞↑
y(t)
δ(t)
t
G(s)
g(t)
Inestable
t
y(t)
Sistemas de Primer Orden (I)
K
G s=
1+T·s
X(s)
G(s)
g(t)
x(t)
K/T
Y(s)
y(t)
0,37·K/T
K: ganancia estática o en régimen permanente
T: constante de tiempo
K
0,95·K
−t
K
y  t =L−1 [Y  s  ]=L−1 [G s  ]= e T ·u0  t 
T
0,63·K
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
[ ]
Tangente en el origen
(pendiente K/T)
y(t)
• Respuesta impulsional: X(s)=1
y  t =L−1 [Y  s  ]=L−1
t
T
T
−t
G s 
=K·  1−e T  ·u0  t 
s
t
3·T
y(t)
T
(pendiente K)
• Respuesta a una rampa: X(s)=1/s2
y  t =L−1 [Y  s  ]=L−1
[ ]
G s 
s
2
−t
T
=[ K· t −T  +K·T·e ]·u 0  t 
T
-K·T
t
Sistemas de Primer Orden (II)
G s =
K· 1+T N ·s 
X(s)
1+T·s
x(t)
G s =
K· 1+T N ·s 
1+T·s
=
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
K
K
+T N ·s·
1+T·s
1+T·s
a) TN>T
Im
-1/T
t
b) T>TN>0
-1/T
K/T
K
K
Re
-1/T N
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
Tangente en el origen
(pendiente K/T)
y(t)
K·TN/T
Respuesta del
sistema sin el cero
Derivada de la otra curva
y(t)
Im
Re
-1/TN
K
K·TN/T
t
c) TN<0
y(t)
K
t
NOTA: Si el cero está próximo al origen
el factor |K·TN/T| aumenta peligrosamente
-1/T
Im
-1/TN
Re
K·TN/T
t
Sistemas de Segundo Orden (I)
Si a,b>0, el sistema
Ks
K
G s = 2
=
= 2
2
es estable
s 2 ·ξ·ωn ·s+ωn 1 ·s 2 2 ·ξ ·s+1 s +a·s+b
ωn
ω 2n
K: ganancia estática
s22 ξ·ω n · sω2n =0
T=2·ξ/ωn: constante de tiempo
Las raices del polinomio
ξ>0: coeficiente de amortiguamiento
(polos) son:
ωn>0: frecuencia natural del sistema
2
K·ωn2
s1,2=−ξ·ω n±ω n  ξ −1
Si ξ<1 las raices son
complejas conjugadas
σ>0: constante de amortiguamiento o
factor de decrecimiento
Si ξ<1, ωd : frecuencia amortiguada
ω
-σ
n
Im
ω
d
θ
ξ= cosθ
Re
-ω
d
Im
ξ <1
ξ =0
ξ >1
ξ >1 ξ =inf
Sistemas de Segundo Orden (II)
G s =
K·ωn2
ξ → inf
s 2 2 ·ξ·ωn ·s+ωn2
ξ =1
a) Si ξ>1: dos raíces reales
s1,2=−σ±ωn ·  ξ −1
2
b) Si ξ=1: una raíz doble
a)
Im
s2
s 1,2=−σ± j·ωd
d) Si ξ=0: dos raíces imaginarias puras
s 1,2=± j·ωd=± j·ω n
ξ =0
b)
Im
-σ
s1
Re
s 1,2=−σ=−ω n
c) Si 0<ξ<1: dos raíces complejas conjugadas
ξ <1
Re
c)
Im
-σ
ω
-ω
Re
d)
ω
Im
d
d
Re
d
Re
-ω
d
Sistemas de Segundo Orden (III): respuesta impulsional
a) Si ξ>1: sistema sobreamortiguado
K·ωn2
A
B
G s = 2
=

s 2 ·ξ·ωn ·s+ωn2 s−s 1 s−s 2
y t =[ A·e +B·e
s 1·t
s2 ·t
X(s)
A=−B=
] ·u0 t 
b) Si ξ=1: sistema críticamente amortiguado
2
−ωn t
y t =Kωn te
u 0 t 
c) Si 0<ξ<1: sistema subamortiguado
Kωn
−σt
y t =
senω
t
e
u0 t 
d
2
 1−ξ
d) Si ξ=0: sistema sin amortiguamiento
y t =Kωn senω n tu0 t
K·ω n
x(t)
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
2·  ξ −1
y(t)
2
ξ =0
ξ =0.2
ξ =1
ξ =2
t
Sistemas de Segundo Orden (IV): respuesta a un escalón
X(s)
a) Si ξ>1: sistema sobreamortiguado
[
[
ωn
s1 t
s2 t
x(t)
]
e
e
y t =K 1
−
u0 t 
2
2  ξ −1 s1 s 2
y(t)
−ωn t
[
y t =K 1−
 1−ξ
2
y(t)
ξ =0
ξ =1
ξ =2
]u0 t 
c) Si 0<ξ<1: sistema subamortiguado
e−σt
Y(s)
ξ =0.2
b) Si ξ=1: sistema críticamente amortiguado
y t =K [ 1−1ω n t e
G(s)
g(t)
K
]
sen ωd tθ u0 t 
d) Si ξ=0: sistema sin amortiguamiento
yt =K [ 1−cosωn t ]u0 t
t
X(s)
Sistemas de Segundo Orden (V)
Sobreoscilación:
− π·ξ
M p =e
1−ξ 2
x(t)
−π·σ
ω
d
·100[ ]=e
Tiempo de subida:
π−θ
π−θ
tr=
=
ω  1−ξ 2 ω d
−π·cotgθ
· 100[]=e
·100[ ]=
y(t)
B−A
·100[ ]
A
n
Y(s)
y(t)
0<ξ< 1
x  t =M·u 0  t 
M
X  s =
s
A=K·M
{}{}
Pico de sobreoscilación
B
Ritmo de decrecimiento
n
Tiempo de pico:
π
π
t p=
=
2
ω  1−ξ ω d
G(s)
g(t)
A
0.9·A
Tiempo de establecimiento:
π
π
ts=
=  aprox.
0.5·A
ξ· ω n σ
Tiempo de retardo:
ξ
0.1·A
1
2
t d =  aprox . 
ωn
A± 5%
Entrada en régimen
permanente
Régimen
transitorio
td
tr
tp
2·π
ω d
3·π
ω d
4·π
ω d
Régimen
permanente
ts
t
Efecto de un Cero Adicional a Polos Complejos
G s =
G s =
K·ω 2n  1+T N ·s 
X(s)
s 2 2 ·ξ·ωn ·s+ωn2
x(t)
K·ωn2
s 2 2 ·ξ·ωn ·s+ωn2
+T N ·s·
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
K·ωn2
y(t)
s 2 2 ·ξ·ωn ·s+ωn2
b)
Im
Im
Re
c)
Re
d)
Im
Re
K
b) Derivada de a)
Im
-1/TN
-1/T N
TN>0: El sistema es más
rápido y menos amortiguado:
Mp↑, tp↓ y normalmente ts↑
c)
a) Sistema sin cero
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
a)
NOTA: Si el cero está próximo al origen
el factor TN aumenta peligrosamente y los
efectos del cero son más notables
Re
t
d) TN<0: El sistema presenta
inicialmente una respuesta
negativa: Mp↑, tp ↑ y
normalmente ts↑
Efecto de un Cero Adicional a Polos Reales
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
a)
b)
Im
Im
Re
Re
TN>0: El sistema puede presentar un pico de
sobreoscilación tanto mayor cuanto mayor es TN
TN<0: El sistema presenta inicialmente una
respuesta negativa
y(t)
c)
d)
Im
Re
-1/TN
e)
K
Re
-1/T N
f)
Im
Im
e)
d)
c)
a) Sistema sin cero
b) Derivada de a)
Im
-1/TN
-1/TN
Re
Re
f)
t
Efecto de un Polo Adicional
G s =
K·ω2n
 1+T d ·s  s
2
X(s)
x(t)
2·ξ·ωn ·s+ωn2 
Los efectos son opuestos a los que tendría un
cero en la misma posición. El sistema se hace
más lento y amortiguado.
b)
Im
Re
c)
d)
Im
-1/Td
-1/T d
Re
s 22·ξ·ωn ·s+ωn2
y(t)
K
c)
d) Si el tercer polo está más cerca
Im
-1/Td
Y(s)
a)
b)
Im
Re
K·ωn2
y(t)
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
a)
1
1+T d ·s
Re
del origen, pasa a tener un
efecto dominante sobre la
respuesta del sistema.
t