Análisis de Sistemas en el Dominio del Tiempo Indice • Análisis de los sistemas • Respuesta impulsional • Respuesta a un escalón • Respuesta a una señal cualquiera • Estabilidad • Sistemas de primer orden • Sistemas de segundo orden • Sistemas de orden superior Análisis de los Sistemas • Conocido el modelo matemático del sistema se realiza el análisis de su X(s) Y(s) G(s) comportamiento dinámico. g(t) x(t) y(t) •Se utilizan señales de excitación sencillas y con transformada de Laplace. ∞↑ u0(t) δ(t) 1 t f(t) f(t) 1 1 t 1 1 t t • El análisis se puede realizar en el dominio del tiempo o en el dominio de f(t) la frecuencia. M /ω π -M t 2·π /ω X(s) Respuesta impulsional x(t) • Señal de excitación: Impulso de Dirac ∞↑ G(s) g(t) Y(s) y(t) y(t) Formas de respuesta típicas ante un impulso δ(t) x t =δt X s =1 0 t y(t) t • Respuesta del sistema: g(t) 0 t y(t) 0 Y s =X sG s=Gs y t =L−1 [Gs ]=gt y(t) 0 t t X(s) Respuesta a un escalón G(s) g(t) x(t) • Señal de excitación: Escalón unitario y(t) Formas de respuesta típicas u0(t) ante un escalón x t =u 0 t 1 X s= s 1 Y(s) y(t) t 0 • Respuesta del sistema: Integral de g(t) Y s =X s·G s = −1 y t =L [ ] y(t) G s s G s =∫ gt dτ s t 0 t Respuesta a una señal cualquiera X(s) x(t) G(s) g(t) Y(s) y(t) • Señal de excitación: x(t) • Respuesta del sistema: 1. Se calcula la Transformada de Laplace de la entrada: X(s)=L[x(t)] 2. Se obtiene la Función de Transferencia que sirve de modelo del sistema: G(s) 3. Se calcula la Transformada de Laplace de la salida: Y(s)=X(s)·G(s) 4. Se obtiene la Antitransformada de Laplace de Y(s): y(t)=L-1[Y(s)] Estabilidad (I) Un sistema es estable si ante señales de entrada o perturbaciones acotadas produce salidas acotadas y regresa a un estado de equilibrio. Un sistema de control está en estado de equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado. ∞↑ y(t) δ(t) G(s) g(t) t t Estable ∞↑ y(t) δ(t) t G(s) g(t) Inestable t y(t) Sistemas de Primer Orden (I) K G s= 1+T·s X(s) G(s) g(t) x(t) K/T Y(s) y(t) 0,37·K/T K: ganancia estática o en régimen permanente T: constante de tiempo K 0,95·K −t K y t =L−1 [Y s ]=L−1 [G s ]= e T ·u0 t T 0,63·K • Respuesta a un escalón: X(s)=1/s [ ] Tangente en el origen (pendiente K/T) y(t) • Respuesta impulsional: X(s)=1 y t =L−1 [Y s ]=L−1 t T T −t G s =K· 1−e T ·u0 t s t 3·T y(t) T (pendiente K) • Respuesta a una rampa: X(s)=1/s2 y t =L−1 [Y s ]=L−1 [ ] G s s 2 −t T =[ K· t −T +K·T·e ]·u 0 t T -K·T t Sistemas de Primer Orden (II) G s = K· 1+T N ·s X(s) 1+T·s x(t) G s = K· 1+T N ·s 1+T·s = G(s) g(t) Y(s) y(t) K K +T N ·s· 1+T·s 1+T·s a) TN>T Im -1/T t b) T>TN>0 -1/T K/T K K Re -1/T N • Respuesta a un escalón: X(s)=1/s Tangente en el origen (pendiente K/T) y(t) K·TN/T Respuesta del sistema sin el cero Derivada de la otra curva y(t) Im Re -1/TN K K·TN/T t c) TN<0 y(t) K t NOTA: Si el cero está próximo al origen el factor |K·TN/T| aumenta peligrosamente -1/T Im -1/TN Re K·TN/T t Sistemas de Segundo Orden (I) Si a,b>0, el sistema Ks K G s = 2 = = 2 2 es estable s 2 ·ξ·ωn ·s+ωn 1 ·s 2 2 ·ξ ·s+1 s +a·s+b ωn ω 2n K: ganancia estática s22 ξ·ω n · sω2n =0 T=2·ξ/ωn: constante de tiempo Las raices del polinomio ξ>0: coeficiente de amortiguamiento (polos) son: ωn>0: frecuencia natural del sistema 2 K·ωn2 s1,2=−ξ·ω n±ω n ξ −1 Si ξ<1 las raices son complejas conjugadas σ>0: constante de amortiguamiento o factor de decrecimiento Si ξ<1, ωd : frecuencia amortiguada ω -σ n Im ω d θ ξ= cosθ Re -ω d Im ξ <1 ξ =0 ξ >1 ξ >1 ξ =inf Sistemas de Segundo Orden (II) G s = K·ωn2 ξ → inf s 2 2 ·ξ·ωn ·s+ωn2 ξ =1 a) Si ξ>1: dos raíces reales s1,2=−σ±ωn · ξ −1 2 b) Si ξ=1: una raíz doble a) Im s2 s 1,2=−σ± j·ωd d) Si ξ=0: dos raíces imaginarias puras s 1,2=± j·ωd=± j·ω n ξ =0 b) Im -σ s1 Re s 1,2=−σ=−ω n c) Si 0<ξ<1: dos raíces complejas conjugadas ξ <1 Re c) Im -σ ω -ω Re d) ω Im d d Re d Re -ω d Sistemas de Segundo Orden (III): respuesta impulsional a) Si ξ>1: sistema sobreamortiguado K·ωn2 A B G s = 2 = s 2 ·ξ·ωn ·s+ωn2 s−s 1 s−s 2 y t =[ A·e +B·e s 1·t s2 ·t X(s) A=−B= ] ·u0 t b) Si ξ=1: sistema críticamente amortiguado 2 −ωn t y t =Kωn te u 0 t c) Si 0<ξ<1: sistema subamortiguado Kωn −σt y t = senω t e u0 t d 2 1−ξ d) Si ξ=0: sistema sin amortiguamiento y t =Kωn senω n tu0 t K·ω n x(t) G(s) g(t) Y(s) y(t) 2· ξ −1 y(t) 2 ξ =0 ξ =0.2 ξ =1 ξ =2 t Sistemas de Segundo Orden (IV): respuesta a un escalón X(s) a) Si ξ>1: sistema sobreamortiguado [ [ ωn s1 t s2 t x(t) ] e e y t =K 1 − u0 t 2 2 ξ −1 s1 s 2 y(t) −ωn t [ y t =K 1− 1−ξ 2 y(t) ξ =0 ξ =1 ξ =2 ]u0 t c) Si 0<ξ<1: sistema subamortiguado e−σt Y(s) ξ =0.2 b) Si ξ=1: sistema críticamente amortiguado y t =K [ 1−1ω n t e G(s) g(t) K ] sen ωd tθ u0 t d) Si ξ=0: sistema sin amortiguamiento yt =K [ 1−cosωn t ]u0 t t X(s) Sistemas de Segundo Orden (V) Sobreoscilación: − π·ξ M p =e 1−ξ 2 x(t) −π·σ ω d ·100[ ]=e Tiempo de subida: π−θ π−θ tr= = ω 1−ξ 2 ω d −π·cotgθ · 100[]=e ·100[ ]= y(t) B−A ·100[ ] A n Y(s) y(t) 0<ξ< 1 x t =M·u 0 t M X s = s A=K·M {}{} Pico de sobreoscilación B Ritmo de decrecimiento n Tiempo de pico: π π t p= = 2 ω 1−ξ ω d G(s) g(t) A 0.9·A Tiempo de establecimiento: π π ts= = aprox. 0.5·A ξ· ω n σ Tiempo de retardo: ξ 0.1·A 1 2 t d = aprox . ωn A± 5% Entrada en régimen permanente Régimen transitorio td tr tp 2·π ω d 3·π ω d 4·π ω d Régimen permanente ts t Efecto de un Cero Adicional a Polos Complejos G s = G s = K·ω 2n 1+T N ·s X(s) s 2 2 ·ξ·ωn ·s+ωn2 x(t) K·ωn2 s 2 2 ·ξ·ωn ·s+ωn2 +T N ·s· G(s) g(t) Y(s) y(t) K·ωn2 y(t) s 2 2 ·ξ·ωn ·s+ωn2 b) Im Im Re c) Re d) Im Re K b) Derivada de a) Im -1/TN -1/T N TN>0: El sistema es más rápido y menos amortiguado: Mp↑, tp↓ y normalmente ts↑ c) a) Sistema sin cero • Respuesta a un escalón: X(s)=1/s a) NOTA: Si el cero está próximo al origen el factor TN aumenta peligrosamente y los efectos del cero son más notables Re t d) TN<0: El sistema presenta inicialmente una respuesta negativa: Mp↑, tp ↑ y normalmente ts↑ Efecto de un Cero Adicional a Polos Reales • Respuesta a un escalón: X(s)=1/s a) b) Im Im Re Re TN>0: El sistema puede presentar un pico de sobreoscilación tanto mayor cuanto mayor es TN TN<0: El sistema presenta inicialmente una respuesta negativa y(t) c) d) Im Re -1/TN e) K Re -1/T N f) Im Im e) d) c) a) Sistema sin cero b) Derivada de a) Im -1/TN -1/TN Re Re f) t Efecto de un Polo Adicional G s = K·ω2n 1+T d ·s s 2 X(s) x(t) 2·ξ·ωn ·s+ωn2 Los efectos son opuestos a los que tendría un cero en la misma posición. El sistema se hace más lento y amortiguado. b) Im Re c) d) Im -1/Td -1/T d Re s 22·ξ·ωn ·s+ωn2 y(t) K c) d) Si el tercer polo está más cerca Im -1/Td Y(s) a) b) Im Re K·ωn2 y(t) • Respuesta a un escalón: X(s)=1/s a) 1 1+T d ·s Re del origen, pasa a tener un efecto dominante sobre la respuesta del sistema. t