[Ecuaciones Diferenciales y Dinámica (b)]

22 de octubre de 2003
Análisis Dinámico de Sistemas
Tema 2 (b)
Área de Ingenierı́a de Sistemas y Automática
Universidad de Oviedo
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Concepto de transformada
Transformación: concepto relacionado con el de correspondencia
entre dos conjuntos
Particularmente puede considerarse el caso de correspondencia
entre conjuntos de funciones
D1
f(t)
D2
F(s)
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La Transformada de Laplace
Entre las transformaciones de funciones, unas muy tı́picas son las
del tipo:
Z b
F (s) =
K(t, s)f (t)dt
a
La Transformada de Laplace corresponde al caso:
Z ∞
K(t, s) = e−ts ⇒ F (s) =
f (t)e−st dt = L[f (t)]
0
La Transformada de Laplace convierte EDL-CC en una expresión
racional polinómica. Se pasa de la variable tiempo, t, a una
variable compleja s.
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Transformaciones Tı́picas
Escalón unitario
u(t) =
1, t ≥ 0
→ U (s) =
0, t < 0
∞
Z
0
1 · e−st
1
= − e−st
s
∞
=
0
1
s
Rampa unitaria
r(t) =
t, t ≥ 0
1
→ R(s) = 2
0, t < 0
s
Exponencial
f (t) =
∞
Z
→ F (s) =
0
e−σt · e−st dt =
e−σt , t ≥ 0
→
0,
t<0
∞
Z
e−(σ+s)t dt = −
0
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1
e−(s+σ)t
s+σ
∞
=
0
1
s+σ
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Transformaciones Tı́picas
u(t)
Escalón
t
r(t)
Rampa
t
f(t)
Exponencial
t
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Transformaciones Tı́picas
Seno
f (t) = sin(ωt) → F (s) =
ω
s2 + ω 2
Impulso unitario
f (t) = δ(t) → F (s) = 1
El impulso unitario (o función delta de Dirac) es una función que
es nula para todo t excepto para t = 0 donde se hace infinita. Se
puede ver como un lı́mite de la función pulso p (t):
p (t)
=
δ(t)
=
1/
0
0≤t<0
t < 0, t > lı́m p (t)
→0
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Propiedades Tı́picas
Linealidad
L[αf (t) + βg(t)] = αL[f (t)] + βL[g(t)]
α, β ∈ R
Escalado de tiempos
L[f (t/α)] = αF (αs)
Desplazamiento en s
F (s + α) = L(e−αt f (t))
Desplazamiento en el tiempo
L[f (t − T )u(t − T )] = e−sT F (s),
T > 0,
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f (t) = 0, ∀t < 0
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Propiedades Tı́picas
Diferenciación en t
L(f˙(t))
=
sF (s) − f (0)
···
L(f (n) (t))
=
sn F (s) −
n
X
f (k−1) (0)sn−k
k=1
Integración en t
L[f
−1
F (s)
f −1 (0)
+
(t)] =
s
s
(f −1 (t) denota la primitiva de f (t))
Diferenciación en s
L[tf (t)] = −
dF (s)
ds
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Propiedades Tı́picas
Integración en s
∞
Z
L[f (t)/t] =
F (s)ds
s
Teorema del valor inicial
f (0+ ) = lı́m f (t) = lı́m sF (s)
t→0
s→∞
Teorema del valor final
f (∞) = lı́m f (t) = lı́m sF (s)
t→∞
s→0
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Teorema de Convolución
Convolución entre dos funciones
Z t
f ∗ g = c(t) =
f (t − τ )g(τ )dτ
0
Teorema de Convolución
C(s) = L[f ∗ g] = F (s) · G(s)
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Concepto de Función de Transferencia
La linealización nos da EDL-CC:
dn y
dy
du
dm u
+ a0 y = b0 u + b1
+ · · · + bm m
an n + · · · + a1
dt
dt
dt
dt
Suponiendo condiciones iniciales nulas y haciendo L[expresión]
an sn Y (s) + an−1 sn−1 Y (s) + · · · a0 Y (s) =
= b0 U (s) + b1 sU (s) + · · · bm sm U (s)
reagrupando queda,
n
n−1
an s + an−1 s
m
+ · · · a0 Y (s) = bm s
m−1
+ bm−1 s
+ · · · + b0 U (s)
Finalmente,
bm sm + bm−1 sm−1 + · · · + b0
Y (s) =
U (s)
n
n−1
an s + an−1 s
+ · · · + a0
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Concepto de Función de Transferencia
Tenemos ası́ una función G(s), denominada función de
transferencia, que contiene información del comportamiento del
sistema ante cualquier entrada:
Y (s) = G(s)U (s)
U(s)
Y(s)
G(s)
La respuesta temporal y(t) ante una entrada u(t) se halla
calculando la tranformada de Laplace de ésta, U (s), y
posteriormente aplicando la tranformada inversa de Laplace sobre
su producto con la función de transferencia:
y(t) = L−1 [Y (s)] = L−1 [G(s)U (s)]
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Concepto de Función de Transferencia
Aplicando el Teorema de Convolución podemos verlo expresado
como:
y(t) = L−1 [Y (s)] = L−1 [G(s)U (s)] = g(t) ∗ u(t)
donde g(t) es la transformada inversa de la función de
transferencia y se denomina respuesta impulsional.
A las raı́ces del polinomio del numerador de la función de
transferencia se les denomina ceros y las raı́ces del denominador,
polos.
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