12 Un padre reparte 3000 euros entre sus dos hijos de tal forma que

1
2
Un padre reparte 3000 euros entre sus dos hijos de tal forma que el menor recibe dos tercios
de lo que le corresponde al mayor. ¿Cuánto le da a cada uno?
Solución:
Si x es lo que le da al mayor:
x+
2
x = 3000
3
3x + 2x = 9000
5x = 9000
x = 1800 recibe el mayor,
2
3
2
 1800  1200 el menor.
3
Encuentra dos números naturales cuya suma sea 6 y su diferencia 2.
Solución:
x  y  6

x  y  2
x y  6 
8
x 4

x y  2  
2
y6x642
2x 8
3
4
La diferencia entre un billete de metro y uno de cercanías es de 0,75 €. Si el de cercanías vale
2,5 veces el de metro, calcula el precio de ambos billetes.
Solución:
Supongamos que x es el precio del billete de metro, e y el del billete de cercanías.
 x  y  0,75
 x  y  0,75
x  0,5

  2,5 x  y  0  
2,5 x  y  0 
y  2,5 y  2,5·0,5 1,25
 1,5 x  0,75
Los precios son: 0,5 € el billete de metro y 1 € el billete de cercanías.
4
7
5
Si una entrada de cine y 2 sodas me cuestan 10 €, y dos entradas y una soda 12,5 €, ¿cuáles
son el precio de la entrada y el de la soda?
Solución:
Supongamos x = precio de la entrada, y = precio de la soda.
x  2 y  10  x  10  2 y 
;
; 2(10 2 y)  y  12,5; 20  4 y y  12,5; 7,5  3 y ; y  2,5 ; x  10  2  2,5  5
2 x  y  12,5 2 x  y  12,5
La entrada vale 5 € y la soda 2,5 €.
5
7
6
Un teléfono móvil y su funda cuestan 60 euros. Si el móvil cuesta 14 veces más que la funda,
¿cuánto cuesta ésta?
Solución:
Llamando x al precio de la funda: x + 14x =60 ; 15x = 60 ; x = 4 euros cuesta la funda.
6
7
7
Un zumo y tres bollos cuestan 8 €; dos zumos y dos bollos nos costarán 12 €. ¿Cuál es el
precio de cada producto?
Solución:
x = precio del zumo; y = precio del bollo.
2 x  6 y  16 
4
x 3 y  8 
y  1

   2 x  2 y  12 
4
2 x  2 y  12
x 8  3y  5
4y 4
Un zumo cuesta 5 €, y un bollo 1 €.
7
8
Dentro de 4 años Esteban tendrá la mitad del cuadrado de los años que tiene ahora. ¿Cuál es
su edad?
Solución:
Llamando x a su edad, dentro de 4 años tendrá x + 4.
x 4 
x2
2
x
2  4  32 2  6  4


2
2
 2
2 x 8  x 2
;
; x2 - 2x - 8 = 0;
Como la solución negativa no tiene sentido en este problema, Esteban tiene 4 años.
8
7
9
Miguel fue al centro comercial y compró cinco latas de Quola y tres Panicaos por 7,45 €. Marta
fue a la tienda de su barrio y, con los mismos precios, compro siete latas de Quola y dos
Panicaos por 8,45 €. ¿Cuál es el precio de cada producto?
Solución:
Sea x el precio de una lata de Quola e y el de un Panicao; entonces:
 10 x  6 y  14,90 
11
 0,95€
 x 
21x  6 y  25,35  
5 x  3 y  7,45
10,45


7 x  2 y  8,45
11x  10,45
y  8,45 7 x  8,45 7  0,95  0,9 €

2
2

La lata de Quola cuesta 95cent y el Panicao 90cent.
9
8
0
Entre Celia y Cesar comieron 30 cerezas. Si él comió dos más que ella, ¿cuántas comió Celia?
Solución:
Llamando x a las que comió Celia, x + x + 2 = 30 ; 2x = 28 ; x =14
1
0
0
0
0
1
0
0
El producto de dos números positivos consecutivos es 210. ¿De qué números se trata?
Solución:
Si los números son x y x + 1 :
x
x(x + 1) =210 ;
x 2 + x - 210 = 0 ;
 1  1  840  1  29  14


2
2
 15
Como los números han de ser positivos, x = 14 , x + 1 = 15.
En un platillo de una balanza colocamos un queso, en el otro ponemos las tres cuartas partes
de otro queso igual y para equilibrarlo añadimos un peso de tres cuartos de kilo. ¿Cuál es el
peso del queso?
Solución:
Llamando x a lo que pesa el queso e igualando el peso de los dos platillos:
x
3
3
x
4
4
4x = 3x + 3 , x = 3 , luego el queso pesa 3 kg.
8
3
Un bollo vale un euro más que una rosquilla, una rosquilla y un bollo cuestan dos euros.
¿Cuánto cuesta cada rosquilla y cada bollo?
Solución:
Si x es el precio del bollo, e y es el precio de la rosquilla:
x  y 1
1
 ; y (y 1)  2; 2 y 1  2; 2 y  2  1; 2 y  1; y  ; y  0,5€; x  0,5 1  1,5€
x  y  2
2
El bollo cuesta 1,5 €, y la rosquilla 0,5 €.
8
4
Tres CD-ROM y dos DVD cuestan 102 €, cinco CD-ROM y dos DVD cuestan 138 €. ¿Cuál es el
precio de un CD-ROM y un DVD?
Solución:
Si x es el precio de un CD-ROM, e y es el precio de un DVD, entonces x + y será el precio de un CDROM y un DVD.
3 x  2 y  102
102  3 x
102  3 x
; 5 x  2(
)  138; 5 x  102  3 x  138; 2 x  36;
; y 
5 x  2 y  138
2
2
x
36
102  3  18 102  54 48
 18 ; y 


 24 ; x  y  24  18  42 €
2
2
2
2
La compra de un CD-ROM y un DVD asciende a 42 €.
8
5
Pablo reparte su paga semanal de la siguiente forma: la tercera parte la gasta en el cine, con la
sexta parte se compra refrescos y chucherías, reserva la cuarta parte para otros gastos y
ahorra 4 euros. ¿Cuánto le pagan a la semana?
Solución:
Llamando x a su paga semanal:
x x x
  4x
3 6 4
4x + 2x + 3x + 48 = 12x
48 = 3x
x = 16 euros le pagan a la semana.
8
6
Un padre tiene 41 años y su hijo 7. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo
sea la tercera parte de la del padre?
Solución:
Si x son los años que han de pasar,
tienen que pasar.
8
7
41 + x = 3(7 + x) ; 41 + x = 21 + 3x ; 20 = 2x ; x = 10 años
Si al doble del dinero que tiene Alba le restamos el quíntuple de lo que tiene Bea, el resultado
es 25 €. Si triplicamos lo que tiene cada una y lo sumamos, el resultado es 27 €. ¿Quién tiene
más dinero?
Solución:
Sea x el dinero de Alba e y el dinero de Bea.
210
6 x  15 y  75 
x
 10
2 x  5 y  25

21


15
x

15
y

135


27  3 x 27  3  10
3 x  3 y  27
y

 1
21x  210

3
3
La que tiene más dinero es Alba, y Bea debe 1 €.
8
8
A Ernesto sus padres le ofrecen como premio cierta cantidad por cada sobresaliente y tres
euros menos por cada notable. Al terminar el curso obtuvo 2 sobresalientes y 4 notables,
siendo el premio de 60 euros. ¿Cuánto le dieron por cada sobresaliente?
Solución:
Llamando x a la cantidad que le dieron por cada sobresaliente:
2x + 4(x - 3) = 60
2x + 4x - 12 = 60
6x = 72
x
72
 12
6
euros por cada sobresaliente.
8
9
Akira aceptó un trabajo con las siguientes condiciones: 70,56 € por día trabajado con una
penalización de 35,28 € por los días que no asista (por supuesto, esos días no cobra).
Después de trabajar durante 58 días, finaliza el trabajo y percibe 3 034,08 €. Calcula los días
que trabajó y los que no.
Solución:
Días que trabaja, x; días que no va, y. En total 58 días, luego:
x  y  58

  70,56x  35,28(58 x)  3 034,08 105,84x  5080,52
70,56x  35,28y  3 034,08
5080,52

 48
x 
105,84

 y  58  x  58  48  10

En total trabajó 48 días y no asistió 10 días.
9
0
Si sumo las cifras de mi edad el resultado es siete. Si multiplico la primera por dos y la
segunda por tres, la suma de los resultados será dieciocho. ¿Qué edad tengo?
Solución:
x primera cifra, y segunda cifra
x y  7 
y7x

;
; 2 x  21  3 x  18 ; 3  x ; y  7  3  4
2 x  3 y  18 2 x  3(7  x)  18
Tengo 34 años.
9
1
Una docena de huevos y tres piezas de fruta le costaron a Juan 3 €, lo mismo que media
docena de huevos y cuatro piezas de fruta. Averigua el precio de cada huevo y cada pieza de
fruta.
Solución:
Sea x el precio de cada huevo; el precio de la pieza de fruta será y.
3
 12 x  3 y  3
y   0,6 €
12 x  3 y  3

5
  1 2 x 8 y  6  
3

4
y
3

4·0,6
3  2,4 0,6
6 x 4 y  3 
x



 0,1€
5y
3
6
6
6
6
Cada huevo vale 0,1€, y cada pieza de fruta 0,6 €.
9
2
Este año Vicente ha hecho 5 viajes más en coche que en avión, sin embargo sus viajes en
coche son sólo la tercera parte de todos los que hizo. Si viajó en autobús en 3 ocasiones y el
resto de viajes los hizo en tren, en el que se desplazó tantas veces como en coche y en avión
juntos, ¿cuántos viajes hizo Vicente?
Solución:
Llamando x a los que hizo en avión:
Hizo en coche x + 5; en avión, x; en autobús, 3, y en tren 2x + 5.
x + 5 + x + 3 + 2x + 5 = 3(x + 5)
4x + 13 = 3x + 15
x = 2 viajes hizo en avión, en total hizo 3(2 + 5) = 21 viajes.
9
3
Gorka tiene monedas en ambos bolsillos de su pantalón. Si pasase dos del derecho al
izquierdo, habría el mismo número de monedas en cada bolsillo. Si pasase tres del izquierdo
al derecho, tendría en éste el doble que en el otro. ¿Cuántas monedas tiene Gorka en cada
bolsillo?
Solución:
Sea x el número de monedas del bolsillo derecho e y el del izquierdo. Veamos que ocurre al mover
de un bolsillo a otro:
inst
bolsillo
bolsillo
ant
derecho
izquierdo
e
inic
x
y
io
1er
x-2
y+2
pas
o
2º
x+3
y-3
pas
o
De esta tabla, aplicando las otras condiciones, obtenemos:
x  2  y 2  x  y  4 
y  13

  y 4  2 y 9  
x  3  2(y 3) x  2 y  9
x  y 4  17
Gorka tiene 17 monedas en el bolsillo derecho y 13 en el izquierdo.
9
4
Una persona introduce un número positivo en la calculadora y realiza con él las siguientes
operaciones: le resta uno, eleva el resultado al cuadrado, y finalmente suma 11, obteniendo
como resultado 75. ¿Qué número había introducido?
Solución:
x
x 12  11 75 ;
x 2  2 x  1  11  75 x 2  2 x  63  0
;
2  4  252 2  16  9


2
2
 7
;
Hay dos posibles soluciones: 9 y -7.
9
5
Halla el valor de cada uno de los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que, de sus
5
4
ángulos agudos, uno mide los
del otro.
Solución:
Como entre los dos agudos deben sumar 90:
5
x
4
x+
= 90 ; 4x + 5x = 360 ; 9x= 360 , x = 40
5
 40  50
4
por tanto los ángulos miden: 90, 40 y 50
9
6
El cociente de la división de dos números naturales es 8, el resto 66. ¿Podrás calcularlos si
además te digo que su diferencia es 570?
Solución:
D = d · C + R, donde R es el resto.
Si x es el primer número e y es el segundo, tenemos:
 x  8 y  66
504
 
x  y  570  y 
x  8 y 66
 72

7

x  y  570
7 y  504

x  570  y  570  72  642
9
7
Encuentra dos números consecutivos tales que el doble del mayor menos la mitad del menor
exceda en 15 unidades a la quinta parte de la suma de ambos.
Solución:
Si los números son: x , x + 1:
2x  1 
x x 1  x

 15
2
5
20x + 20 - 5x = 4x + 2 + 150
11x = 132
x = 12
Los números son entonces 12 y 13.
9
8
Una persona ha leído un libro de 100 páginas en 3 días. El primer día leyó 20 páginas más que
el segundo y el tercer día el triple de las que había ledo el día anterior. ¿Cuántas páginas leyó
cada día?
Solución:
Llamando x a la que lee el 2º día:
El primer día lee 20 + x.
El segundo día lee x.
El tercer día 3x.
20 + x + x + 3x = 100 ; 5x = 80 ; x = 16 el 2º día; 36 el 1º y 48 el 3º.
9
Si me compro dos bocadillos y una hamburguesa debo pagar 7 €, si por el contrario compro
9
medio bocadillo y tres hamburguesas pagaré 10 €. ¿Qué precio tiene un bocadillo? ¿Y una
hamburguesa?
Solución:
Supongamos x = precio del bocadillo, y = precio de la hamburguesa.
2 x y  7 
y  7  2x



1
1
;
; x  42  12 x  20 ; 22  11x ; x  2
x  3 y  10
x  3(7  2 x)  10


2
 2

y 7  22; y 3
Los bocadillos son a 2 € y las hamburguesas a 3 €.
1
0
0
Un billete de metro vale 0,3 € menos que un billete de autobús; el billete de autobús vale el
doble que el de metro. Averigua el precio de cada billete.
Solución:
Supongamos x = billete de metro, y = billete de autobús.
x  y 0,3
; x  2 x  0,3; 0,3  2 x  x  x;
y  2x 
y  2  0,3  0,6
El billete de metro vale 0,3 € y el de autobús 0,6 €.
1
0
1
Una madre, para animar a su hijo a estudiar matemáticas le hace la siguiente proposición:
“Por cada ejercicio que hagas bien te daré un euro y por cada uno que hagas mal tú me darás
medio euro”. Si después de hacer 25 ejercicios el hijo tiene 13 euros, ¿cuántos ejercicios hizo
bien?
Solución:
Si x son los ejercicios que hizo bien, los que hizo mal son 25 - x.
1
 25  x   13
2
2 x  25  x  26
3 x  51
x
x
51
 17
3
Luego hizo 17 ejercicios bien.
1
0
2
En un año no bisiesto, la tercera parte de lo que queda de año es igual al doble de lo que
habrá transcurrido dentro de 13 días. ¿Qué día es?
Solución:
Si x son los días transcurridos, quedan 365 - x.
365  x
 2(x  13)
3
3 65 - x = 6x + 78
287 = 7x
x = 41
Han transcurrido 41 días, luego es 10 de febrero.
1
0
3
Una piscina rectangular de 25 metros de larga y 15 de ancha, está rodeada por un pasillo de
césped de anchura uniforme. Si el área de éste es de 225 m2, ¿cuál es su anchura?
x
25
15
Solución:
El rectángulo exterior mide 25 + 2x metros de largo y 15 + 2x de ancho. El área del césped es la
diferencia de las áreas de los rectángulos exterior e interior, por tanto:
25  2 x 15  2 x   25  15  225
;
375  50 x  30 x  4 x2  375  225  0 4 x2  80 x 225  0
;
 20 5
 80  6400 3600  80  100  8  2
x


180
8
8

8

5
2
La solución negativa no es válida en este problema, luego la anchura del pasillo es de
metros.
1
0
4
= 2,5
En un principio todos los alumnos de 2º A iban a ir de excursión pagando entre todos el
autobús, cuyo precio era de 156 euros, pero a última hora dos de ellos no pudieron ir, por lo
que cada uno tuvo que pagar medio euro más. ¿Cuántos alumnos son en 2º A?
Solución:
156 1

x
2
Si en 2º A hay x alumnos, fueron de excursión x - 2 y cada uno pagó
euros, luego:
312 x
156 
  1  156
 156 1 
 x  2  156

x
2
 624  x 2  2 x  0
2
 x
;
;
;
x
2  4  2496 2  50  26


2
2
 24
Como la solución negativa no tiene sentido en este problema, en 2º A son 26 alumnos.
1
0
5
Se quieren mezclar dos clases de café de 7 y 9 euros el kilo respectivamente para obtener una
mezcla de 8,5 euros el kilo. ¿Qué cantidad tiene que haber de cada clase para obtener 48 kg de
mezcla?
Solución:
Si x son los kilos de café de 7 euros, del de 9 euros habrá 48 - x. Igualando el precio:
7x + 9(48 - x) = 48 8,5
7x + 432 - 9x = 408
24 = 2x
x = 12
Habrá entonces 12 kilos del de 7 euros y 48 - 12 = 36 kg del de 9 euros.
1
0
6
Si pesamos a Xaro y a su gata, Ruth, pesan 60 kg. Si lo que hacemos es pesar a su hermana
Lúa con Ruth, el peso es 56 kg. Xaro y Lúa juntas pesan 102 kg. Calcula el peso de cada una.
Solución:
Llamamos x a lo que pesa Xaro, y a lo que pesa Lúa y z a lo que pesa la gata Ruth.
106
x
 53 kg
x  z  60 
x  z  60  x  y  102
2



y z  56    y z  56  x  y  4   y  x  4  53  4  49 kg
x  y  102
x  y  4 
2 x  106  z  60  x  60  53  7 kg
1
0
7
Para enmarcar una ventana rectangular necesito 8 m de perfil de aluminio. El precio del perfil
horizontal es 5 €/m, el perfil vertical es 10 € y el precio total del marco es 50 €. ¿Qué medidas
tiene la ventana?
Solución:
Si x es la dimensión horizontal, e y la dimensión vertical:
2 x 2 y  8

8 2x
 4  x ; 10 x  20(4 x)  50; 10 x  80  20 x  50;
; y 
(2 x)  5  (2 y)  10  50
2
30  10 x ; x  3 ; y  4  3  1
Las dimensiones son 3 m horizontal y 1 m vertical.
1
0
8
Araceli ha comprado varios cuadernos iguales por 40 euros. Si le hubieran descontado un
euro en cada uno habría podido comprar dos más. ¿Cuántos cuadernos ha comprado?
Solución:
40
x
i ha comprado x, por cada uno ha pagado
40
1
x
, con el descuento habría pagado
 40 
  1x  2  40
 x

de los x + 2
que podría comprar, luego:
;
por cada uno
40  x x 2  40 x
;
40 x  80  x  2 x  40 x x  2 x  80  0
2
2
;
x
 2  4  320  2  18  8


2
2
 10
De las dos, la solución negativa no tiene sentido, luego ha comprado 8 cuadernos.
1
0
9
Cuando Teresa le preguntó a su madre en el tren por los kilómetros que faltaban para llegar,
ésta respondió: “El doble de los que faltan para llegar a la próxima parada, pero cuando
llevemos otros 8 km ya sólo faltará el triple”. ¿Cuántos kilómetros faltaban para llegar?
Solución:
Llamando x a los kilómetros que faltan para la próxima parada, faltan 2x para llegar; cuando hayan
recorrido otros 8 km, faltaran x - 8 para la próxima parada y 2x - 8 para llegar, luego :
2x - 8 = 3(x - 8)
24 - 8 = x
x = 16
16 km faltan para la próxima parada y para llegar faltan 32.