Supletorio Segundo Quimestre Segundo Bachillerato

COLEGIO “24 DE MAYO”
CALIFICACIÓN
BANCO DE PREGUNTAS PARA SUPLETORIO DEL SEGUNDO
QUIMESTRE
ÁREA DE: MATEMÁTICA
ASIGNATURA: MATEMÁTICA
55
=
10
AÑO ACADÉMICO 2014 - 2015
Forma: NN
No. de Lista:
Nombre:
Curso: Segundo
Paralelo: ________
Tiempo: 60 minutos
Profesor: Lic. Luis Castillo
Fecha: 2015 – 06 – ____
……………………………….
F. Representante
SEGUNDO DE BACHILLERATO
INSTRUCCIONES
1. Ante cualquier intento de deshonestidad académica se le asignará una nota de cero y se aplicará las
sanciones de acuerdo al Art. 226 del Reglamento de la LOEI.
2. Las preguntas de verdadero o falso y las de opción múltiple debe contestar con esferográfico de color azul,
los ejercicios puede resolver con lápiz.
3. No se aceptará respuestas con manchones o tachones, el uso de corrector invalida la respuesta.
4. Las respuestas de los ejercicios sin el respectivo proceso, no serán válidas.
5. Cada pregunta tiene un valor asignado.
1) Doble Alternativa
Indique si la oración es verdadera o falsa. (Valor: 0,25 punto c/u = 5 puntos)
1.1) Un ángulo de 1 radián mide aproximadamente 47°.
(
)
1.2) La función que relaciona un ángulo con los dos catetos es el coseno.
(
)
1.3) La cosecante de un ángulo es igual a la hipotenusa dividida por el cateto opuesto.
(
)
1.4) La tangente de un ángulo de 45° es igual a uno.
(
)
1.5) La función cosecante es negativa en el tercer cuadrante.
(
)
1.6) La función cotangente es positiva en el segundo cuadrante.
(
)
1
1.7) La función secante es positiva en el cuarto cuadrante.
(
)
1.8) La tangente de un ángulo es igual a la abscisa sobre la ordenada.
(
)
1.9) El coseno de un ángulo es igual a la abscisa sobre el radio vector.
(
)
1.10) El seno de un ángulo es igual a la abscisa sobre el radio vector.
(
)
1.11) Un ángulo es positivo si se mide en sentido horario.
(
)
1.12) Un ángulo es negativo si se mide en sentido anti-horario.
(
)
1.13) La suma de dos vectores da como resultado otro vector.
(
)
1.14) El producto punto de dos vectores da como resultado otro vector
(
)
1.15) El producto cruz de dos vectores da como resultado otro vector
(
)
1.16) El producto de un vector por un escalar da como resultado un escalar.
(
)
1.17) En una recta vertical, su pendiente es cero.
(
)
1.18) En una recta horizontal, su pendiente no está definida.
(
)
1.19) La suma de matrices se define si son de distinto orden.
(
)
1.20) Una matriz de orden 3 x 2, se conoce como matriz cuadrada.
(
)
2) Completación
Elija la respuesta correcta que complete las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.
(Valor: 0,25 punto c/u = 3 puntos)
2.1) Si se conoce los tres lados de un triángulo oblicuángulo se puede calcular uno de sus ángulos
utilizando ___________.
a) funciones trigonométricas
b) ley de cosenos
c) ley de senos
d) teorema de Pitágoras
2
2.2) Si se conoce dos lados de un triángulo oblicuángulo y el ángulo formado entre ellos, se puede calcular
el tercer lado utilizando ___________.
a) funciones trigonométricas
b) ley de cosenos
c) ley de senos
d) teorema de Pitágoras
2.3) La _______________ de los ángulos _______________ de un triángulo es 180º.
a) 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 − 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜𝑠
b) 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 − 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠
c) 𝑠𝑢𝑚𝑎 − 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜𝑠
d) 𝑠𝑢𝑚𝑎 − 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠
2.4) La función Secante, definida en el plano cartesiano es _______________ sobre _______________.
a) ordenada – radio vector
b) abscisa – radio vector
c) radio vector – abscisa
d) radio vector – ordenada
2.5) Los triángulos rectángulos se resuelven con ayuda de _______________ y _______________.
a) 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 − 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠
b) 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 − 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠
c) 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 − 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠
d) 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 − 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠
2.6) Los valores de la función coseno son positivos en el ____ y ____ cuadrantes.
a) I – III
b) I – IV
c) II – III
d) II – IV
3
2.7) Los triángulos oblicuángulos se resuelven con ayuda de _______________ y _______________.
a) 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 − 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠
b) 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 − 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠
c) 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 − 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠
d) 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 − 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠
2.8) Los valores de la función tangente son positivos en el ____ y ____ cuadrantes.
a) I – II
b) I – III
c) II – III
d) II – IV
2.9) Los valores de la función cosecante son negativos en el ____ y ____ cuadrantes.
a) I – II
b) I – III
c) II – III
d) III – IV
2.10) Una identidad trigonométrica es una _______________, que se cumple para _______________valor
que tome el ángulo.
a) ecuación – cierto
b) ecuación – cualquier
c) igualdad – cierto
d) igualdad – cualquier
2.11) Una ecuación trigonométrica es una _______________, que se cumple para _______________valor
que tome el ángulo.
a) identidad – cierto
b) identidad – cualquier
c) igualdad – cierto
d) igualdad – cualquier
4
2.12) El producto de matrices está definido si el número de _______________ de la primera matriz es
igual al número de _______________ de la segunda matriz.
a) 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 − 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
b) 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 − 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠
c) 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 − 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
d) 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 − 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠
3) Elección de elementos
Elija la respuesta correspondiente a cada enunciado. (Valor: 0,5 punto c/u = 3 puntos).
3.1) De los siguientes ángulos los que pertenecen al cuarto cuadrante son:
1) 𝛼 = 300°
2) 𝛼 = −280°
3) 𝛼 = −20°
4) 𝛼 = 460°
5) 𝛼 = 380°
6) 𝛼 = 650°
a) 1, 3, 4
b) 1, 3, 6
c) 2, 4, 5
d) 2, 5, 6
3.2) De los siguientes vectores, los que se representan en el tercer cuadrante son:
1) 𝑢
⃗ =(
−3
)
−2
2) 𝑢
⃗ =(
3) 𝑢
⃗ =(
−4
)
−5
4) 𝑢
⃗ =(
−2
)
2
1
5) 𝑢
⃗ =( )
1
6) 𝑢
⃗ =(
−6
)
−5
−1
)
4
a) 1, 3, 5
b) 1, 3, 6
c) 2, 4, 5
d) 2, 4, 6
5
3.3) De las siguientes matrices, las que representan matrices diagonales son:
−1 0
)
0 2
−6 0
4) 𝐴 = (
)
0 −3
1) 𝐴 = (
0
3
)
−10 0
0 8
5) 𝐴 = (
)
7 0
2) 𝐴 = (
4
0
0
6) 𝐴 = (
−9
3) 𝐴 = (
0
)
1
8
)
0
a) 1, 3, 4
b) 1, 3, 6
c) 2, 4, 5
d) 2, 5, 6
3.4) De las siguientes identidades, las que se denominan “recíprocas” son:
1)tan 𝑥 =
4) tan 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
1
cot 𝑥
2) csc 𝑥 =
5) sec 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
1
cos 𝑥
3) cot 𝑥 =
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
6) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
a) 1, 3, 4
b) 1, 3, 6
c) 2, 4, 5
d) 2, 5, 6
3.5) De las siguientes identidades, las que se denominan “por cociente” son:
1)tan 𝑥 =
4) tan 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
1
cot 𝑥
2) csc 𝑥 =
5) sec 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
1
cos 𝑥
3) cot 𝑥 =
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
6) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
a) 1, 2
b) 1, 3
c) 2, 4
d) 2, 5
6
3.6) De las siguientes identidades, las que se denominan “pitagóricas” son:
1) 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
4) tan 𝑥 =
1
cot 𝑥
2) csc 𝑥 =
5) sec 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
1
cos 𝑥
3) 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 1
6) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
a) 1, 3, 4
b) 1, 3, 6
c) 2, 4, 5
d) 2, 5, 6
4) Jerarquización
Elija la respuesta correcta que ordene los pasos respectivos. (Valor: 1 punto c/u = 3 puntos)
4.1) El orden de los pasos para resolver un problema de producto cruz de vectores es:
1) Eliminar la segunda fila y columna para obtener un nuevo determinante de orden 2, cambiado de signo.
2) Eliminar la tercer fila y columna para obtener un nuevo determinante de orden 2..
3) Formar el determinante con los vectores dados.
4) Resolver los determinantes de orden 2 y formar el vector resultante.
5) Eliminar la primera fila y columna para obtener un nuevo determinante de orden 2.
a) 1, 2, 3, 4, 5
b) 3, 5, 1, 2, 4
c) 4, 3, 1, 5, 2
d) 5, 1, 2, 3, 4
7
4.2) El orden de los pasos para obtener la inversa de una matriz es:
1) Aumentar la matriz identidad al lado derecho de la matriz original.
2) Aplicar operaciones entre filas para obtener la matriz identidad en el lado izquierdo.
3) Escriba la matriz inicial.
4) Identificar la matriz inversa al lado izquierdo de la matriz adjuntada.
a) 1, 2, 4, 3
b) 2, 4, 3, 1
c) 3, 1, 2, 4
d) 4, 3, 1, 2
4.3) El orden de los pasos para resolver un sistema de 3x3 por el método de Gauss es:
1) Hacer 1, al primer elemento de la primera fila.
2) Hacer cero el primer elemento de la segunda fila.
3) Hacer cero los dos primeros elementos de la tercera fila.
4) Formar las ecuaciones para obtener las incógnitas deseadas.
5) Escribir la matriz aumentada del sistema.
a) 1, 2, 3, 4, 5
b) 3, 5, 1, 2, 4
c) 4, 3, 1, 5, 2
d) 5, 1, 2, 3, 4
8
5) Relación de columnas
Elija la respuesta correspondiente a cada enunciado. (Valor: 1 punto c/u = 3 puntos).
5.1) Relacione las gráficas con la función trigonométrica respectiva.
GRÁFICA
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
a) 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
1)
b) 𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒
2)
c) 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜
3)
d) 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒
4)
a) 1a, 2c, 3d, 4b
b) 1b, 2a, 3c, 4d
c) 1c, 2d, 3b, 4a
d) 1d, 2b, 3a, 4c
9
5.2) Relacione los gráficos con la función trigonométrica respectiva.
GRÁFICO
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
a) 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
1)
b) 𝑆𝑒𝑛𝑜
2)
c) 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
3)
d) 𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒
4)
a) 1a, 2c, 3d, 4b
b) 1b, 2a, 3c, 4d
c) 1c, 2d, 3b, 4a
d) 1d, 2b, 3a, 4c
10
5.3) Relacione los ejemplos con el tipo de matriz al que pertenece.
EJEMPLO
TIPO DE MATRIZ
1 7 −2
1) 𝐴 = (0 −3 4 )
0 0
2
a) 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙
4 0
2) 𝐴 = (0 4
0 0
b) 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟
0
0)
4
2 0 0
3) 𝐴 = (0 −3 0)
0 0 1
c) 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
2 0 0
4) 𝐴 = (1 4 0)
6 −3 2
d) 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
a) 1a, 2c, 3d, 4b
b) 1b, 2a, 3c, 4d
c) 1c, 2d, 3b, 4a
d) 1d, 2b, 3a, 4c
6) Simple
Elija la respuesta correspondiente a cada enunciado. Justifique con el procedimiento respectivo. (Valor: 1
punto c/u = 38 puntos).
6.1) Un árbol de 50m de altura proyecta una sombra de 60m de largo. Encontrar el ángulo de elevación
del sol en ese momento:
a) 30°
b) 35°
c) 40°
d) 45°
11
6.2) Un dirigible que está volando a 800m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de
12°. ¿A qué distancia se halla del pueblo?
a) 170𝑚
b) 818𝑚
c) 3764𝑚
d) 3848𝑚
6.3) Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6cm tiene un arco
correspondiente a un ángulo de 70°:
a) 7,05𝑐𝑚
b) 21,44𝑐𝑚
c) 23,12𝑐𝑚
d) 26,18𝑐𝑚
6.4) De un triángulo sabemos que 𝒂 = 𝟔𝒎, 𝑩 = 𝟒𝟓° 𝒚 𝑪 = 𝟏𝟎𝟓°. Calcula los elementos restantes:
a) 𝐴 = 30°, 𝑏 = 8,5𝑚, 𝑐 = 11,6𝑚
b) 𝐴 = 30°, 𝑏 = 11,6𝑚, 𝑐 = 8,5𝑚
c) 𝐴 = 60°, 𝑏 = 8,5𝑚, 𝑐 = 11,6𝑚
d) 𝐴 = 60°, 𝑏 = 11,6𝑚, 𝑐 = 8,5𝑚
12
6.5) De un triángulo sabemos que 𝒂 = 𝟏𝟎𝒎, 𝒃 = 𝟕𝒎 𝒚 𝑪 = 𝟑𝟎°. Calcula los restantes elementos:
a) 𝑐 = 2,36𝑚, 𝐵 = 138,4°, 𝐴 = 41,6°
b) 𝑐 = 2,36𝑚, 𝐵 = 41,6°, 𝐴 = 138,4°
c) 𝑐 = 5,27𝑚, 𝐵 = 138,4°, 𝐴 = 41,6°
d) 𝑐 = 5,27𝑚, 𝐵 = 41,6°, 𝐴 = 138,4°
6.6) Resuelve el triángulo de datos 𝑨 = 𝟔𝟎°, 𝒂 = 𝟖𝒎 𝒚 𝒃 = 𝟒𝒎:
a) 𝐵 = 25,67°, 𝐶 = 94,33°, 𝑐 = 7,32𝑚
b) 𝐵 = 25,67°, 𝐶 = 94,33°, 𝑐 = 9,21𝑚
c) 𝐵 = 94,33°, 𝐶 = 25,67°, 𝑐 = 7,32𝑚
d) 𝐵 = 94,33°, 𝐶 = 25,67°, 𝑐 = 9,21𝑚}
6.7) El conjunto solución de la ecuación 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟎 es:
a)
b)
c)
d)
1
4
3
4
3
4
5
4
𝜋,
𝜋,
𝜋,
𝜋,
3
4
5
4
7
4
7
4
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
13
6.8) El conjunto solución de la ecuación 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − √𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟎 es:
a)
b)
c)
d)
1
3
1
3
2
3
2
3
𝜋,
𝜋,
𝜋,
𝜋,
2
3
4
3
4
3
5
3
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
6.9) El conjunto solución de la ecuación 𝒔𝒆𝒄 𝒙 − 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟏 es:
a)
b)
c)
d)
1
3
1
3
2
3
2
3
𝜋, 𝜋,
𝜋,
2
3
5
3
3
𝜋
𝜋, 𝜋
𝜋, 𝜋,
𝜋,
5
4
3
𝜋
𝜋, 2𝜋
14
𝟏 𝟏
6.10) Encontrar la inversa de la matriz siguiente 𝑨 = (𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
−𝟏 −𝟏 𝟎
−𝟏
a) 𝑨 = (−𝟏 𝟎 −𝟏)
𝟎 −𝟏 𝟎
𝟏
b) 𝑨−𝟏 = (𝟐
𝟏
c) 𝑨
−𝟏
𝟎
= (𝟎
𝟏
𝟏
−𝟏 −𝟏
𝟏
𝟎)
𝟎
𝟎
𝟎 𝟏
𝟏 𝟎)
𝟎 𝟏
𝟎
𝟎
−𝟏 𝟏
d) 𝑨−𝟏 = ( 𝟎
𝟎
𝟏) y comprobar mediante 𝑨 ∙ 𝑨−𝟏 = 𝑰:
𝟎
−𝟏
𝟏)
𝟏
15
𝟏 −𝟏
6.11) Encontrar la inversa de la matriz siguiente 𝑨 = (𝟎 𝟏
𝟐 𝟎
a) 𝑨
−𝟏
−𝟐 −𝟏
=( 𝟏
𝟐
𝟎
𝟎
𝟎
b) 𝑨−𝟏 = (𝟐
𝟏
𝟎
−𝟏)
𝟏
𝟏 −𝟏
𝟏
𝟎)
−𝟐 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
−𝟐 −𝟐
c) 𝑨−𝟏 = ( 𝟎
−𝟏 𝟏
𝟐
−𝟐 𝟎
d) 𝑨−𝟏 = ( 𝟎
𝟎
𝟎) y comprobar mediante 𝑨 ∙ 𝑨−𝟏 = 𝑰:
𝟏
𝟎
𝟎)
𝟏
−𝟏
𝟎)
𝟏
16
𝟐 𝟏
6.12) Encontrar la inversa de la matriz siguiente 𝑨 = ( 𝟏 𝟏
−𝟏 𝟎
−𝟐 −𝟏
𝟐
𝟎
𝟎
a) 𝑨−𝟏 = ( 𝟏
𝟏
b) 𝑨−𝟏 = (𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
−𝟐 −𝟐
d) 𝑨
𝟎
−𝟏)
𝟏
−𝟏 𝟎
𝟎 𝟐)
−𝟏 𝟏
c) 𝑨−𝟏 = ( 𝟎
−𝟏
−𝟐
−𝟐) y comprobar mediante 𝑨 ∙ 𝑨−𝟏 = 𝑰:
𝟏
−𝟏 𝟏
=( 𝟎 𝟐
−𝟐 𝟎
𝟎
𝟎)
𝟏
−𝟏
𝟎)
𝟏
17
6.13) Resolver el sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss o Gauss – Jordan:
𝒙+ 𝒚+ 𝒛=𝟑
{𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟒
𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟗𝒛 = 𝟔
a) 𝑥 = −1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 2
b) 𝑥 = 0, 𝑦 = 1, 𝑧 = 2
c) 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 0
d) 𝑥 = 2, 𝑦 = 1, 𝑧 = 0
18
6.14) Resolver el sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss o Gauss – Jordan:
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟒
{ 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟏
𝟑𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟏
a) 𝑥 = −2, 𝑦 = 2, 𝑧 = 4
b) 𝑥 = 0, 𝑦 = 4, 𝑧 = −1
c) 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 3
d) 𝑥 = 2, 𝑦 = 1, 𝑧 = 2
19
6.15) Resolver el sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss o Gauss – Jordan:
𝒙+ 𝒚+ 𝒛=𝟔
{ 𝒙−𝒚+𝒛=𝟐
𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟏
a) 𝑥 = −1, 𝑦 = 3, 𝑧 = 4
b) 𝑥 = 0, 𝑦 = 4, 𝑧 = 2
c) 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 3
d) 𝑥 = 2, 𝑦 = 1, 𝑧 = 3
20
6.16) Hallar la distancia entre los dos puntos, su pendiente y graficarlos 𝑷𝟏 = (−𝟐, 𝟔)𝒚 𝑷𝟐 = (𝟑, 𝟔):
a) 𝑑 = 2,4; 𝑚 = −13
b) 𝑑 = 2,4; 𝑚 = 13
c) 𝑑 = 13; 𝑚 = −2,4
d) 𝑑 = 13; 𝑚 = 2,4
6.17) Hallar la distancia entre los dos puntos, su pendiente y graficarlos 𝑷𝟏 = (−𝟑, −𝟏) 𝒚 𝑷𝟐 = (−𝟐, −𝟏):
a) 𝑑 = 1; 𝑚 = 0
b) 𝑑 = 1; 𝑚 = 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
c) 𝑑 = 2; 𝑚 = 0
d) 𝑑 = 2; 𝑚 = 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
21
𝟐, 𝟓
⃗ = [ 𝟒, 𝟐 ], calcular ⃗𝑨⨁𝑩
⃗⃗ :
6.18) Con los siguientes vectores ⃗𝑨 = [
] 𝒚 ⃗𝑩
−𝟎, 𝟖
𝟎, 𝟕
−𝟏, 𝟕
a) [−𝟎, 𝟏]
𝟏, 𝟕
b) [𝟎, 𝟏]
c) [
𝟔, 𝟕
]
−𝟎, 𝟏
d) [
𝟔, 𝟕
]
𝟎, 𝟏
𝟐
𝟓
6.19) Con los siguientes vectores ⃗𝑨 = [
a) [
−
𝟐
⃗ =[
] 𝒚 ⃗𝑩
𝟏
−𝟒
−𝟑
𝟏
⃗:
], calcular ⃗𝑨 ⊝ ⃗𝑩
𝟐
𝟏𝟏
𝟔
𝟏
−𝟒
]
𝟏𝟏
b) [ 𝟔𝟏 ]
𝟒
c) [
−
𝟏𝟗
𝟔
𝟑
−𝟒
]
𝟏𝟗
d) [
𝟔
𝟑]
−𝟒
𝟏
𝟐
⃗:
6.20) Con los siguientes vectores ⃗𝑨 = [ ] 𝒚 𝒌 = 𝟐, calcular 𝒌𝑨
𝟏
𝟏
a) [𝟎, 𝟓]
b) [𝟐]
𝟐
𝟑
c) [ ]
𝟑
𝟐, 𝟓
d) [
]
𝟏, 𝟓
22
−𝟏
𝟑 ⃗
𝟐
⃗:
⃗ ⊝ 𝟐𝑩
⃗⃗ ⊕ 𝟒𝑪
6.21) Con los siguientes vectores ⃗𝑨 = [ ] , ⃗𝑩
= [ ] 𝒚 ⃗𝑪 = [ ], calcular 𝟑𝑨
𝟓
𝟐
𝟒
a) [ 𝟒 ]
𝟏𝟏
b) [𝟏𝟏]
𝟔
c) [
𝟏𝟗
]
𝟏𝟐
d) [
𝟏𝟗
]
𝟐𝟒
−𝟒
⃗ = [−𝟔] , calcular ⃗𝑨⨀𝑩
⃗⃗ :
6.22) Con los siguientes vectores ⃗𝑨 = [ ] 𝒚 ⃗𝑩
𝟑
−𝟏
a) −𝟐𝟕
b) −𝟏𝟑
c) 𝟕
d) 𝟐𝟏
−𝟏
𝟒
⃗
⃗
⃗
⃗⃗ :
6.23) Con los siguientes vectores 𝑨 = [ 𝟏 ] 𝒚 𝑩 = [−𝟑] , calcular ⃗𝑨⨂𝑩
𝟓
𝟐
−𝟏
a) [ 𝟏𝟕 ]
𝟐𝟐
𝟏
b) [−𝟏𝟕]
𝟐𝟐
𝟏𝟕
c) [ 𝟐𝟐 ]
−𝟏
𝟐𝟐
d) [−𝟏𝟕]
𝟏
23
6.24) Identifique la ecuación vectorial de recta que pasa por el punto A= (1, 4) y tiene como vector
𝟐
⃗ = [ ]:
director 𝒗
−𝟑
𝒙
a) [𝒚] = 𝒕 [−𝟏] + [−𝟐]
𝟑
−𝟒
𝒙
b) [𝒚] = 𝒕 [𝟏] + [ 𝟐 ]
−𝟑
𝟒
𝒙
𝟐
𝟏
c) [𝒚] = 𝒕 [ ] + [ ]
−𝟑
𝟒
𝒙
−𝟐
−𝟏
d) [𝒚] = 𝒕 [ ] + [ ]
𝟑
−𝟒
6.25) Identifique la ecuación paramétrica de recta que pasa por el punto A= (-1, 3) y tiene como vector
𝟐
⃗ = [ ]:
director 𝒗
𝟓
𝒙=𝒕−𝟐
a) 𝒚 = 𝟓𝒕 + 𝟑
𝒙 = 𝟐𝒕 − 𝟏
b) 𝒚 = 𝟓𝒕 + 𝟑
𝒙 = 𝟑𝒕 + 𝟓
c) 𝒚 = 𝟐𝒕 − 𝟏
𝒙 = 𝟓𝒕 − 𝟑
d) 𝒚 = 𝒕 − 𝟏
6.26) Identifique la ecuación continua de recta que pasa por los puntos A= (1, 0) y B= (3, 6):
a)
𝒙
b)
𝒙
c)
𝒙−𝟏
d)
𝒙−𝟏
=
𝟐
𝟔
=
𝟐
𝟔
𝒚−𝟏
𝟔
𝒚−𝟏
𝟐
𝒚
=𝟔
𝒚
=𝟐
24
𝟏 −𝟐
6.27) Dadas las matrices 𝑨 = (𝟐 𝟖
𝟎 −𝟒
−𝟏
𝟎
𝟐
𝟎
𝟐
𝟔
−𝟓
−𝟏
𝟑)
𝟔
𝟑
c) (−𝟑
𝟏
−𝟐 −𝟐
𝟏𝟒
𝟔)
−𝟏𝟏 𝟐
𝟐
d) (−𝟏𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
𝟒𝟖 𝟗 )
𝟐𝟖 −𝟖
−𝟐 𝟎
𝟏 −𝟒
6.28) Dadas las matrices 𝑨 = (
a) (−𝟓 𝟏
𝟑
𝟏
−𝟏 𝟔
)
−𝟗 𝟔
c) ( 𝟓
𝟏 −𝟔
)
−𝟏 −𝟔
−𝟏
d) (𝟔
𝟐
𝟎
−𝟐𝟎
−𝟑 𝟏
𝟑
)y𝑩=(
𝟐 𝟓
−𝟏
−𝟑
), hallar 𝑨 − 𝑩:
−𝟕
𝟎
)
−𝟖
b) ( 𝟏
−𝟏
−𝟏
𝟑 ), hallar 𝑨 + 𝑩:
−𝟐
−𝟐 𝟎
𝟐
𝟎)
−𝟑 −𝟐
a) ( 𝟑
b) (𝟏
−𝟏
𝟐
𝟎
)
y
𝑩
=
(
𝟑
−𝟓 𝟔
𝟒
𝟏 −𝟕
−𝟗
)
𝟕
25
𝟏 −𝟔
𝟐 −𝟓
6.29) Calcule −𝟑 (
−𝟑
):
−𝟏𝟏
a) (−𝟑 𝟏𝟖
𝟐
𝟗
)
−𝟓 −𝟏𝟏
b) (−𝟐 −𝟗
−𝟏
−𝟔
)
−𝟖 −𝟏𝟒
c) (−𝟒 𝟑 𝟎)
−𝟓
𝟐
𝟖
d) (−𝟑 𝟏𝟖
−𝟔
𝟏𝟓
𝟗
)
𝟑𝟑
𝟐 −𝟑
6.30) Dadas las matrices 𝑨 = (
𝟏 𝟐
𝟒
𝟑
), 𝑩 = (
−𝟓
−𝟔
𝟏 𝟒
−𝟕
)y𝑪=(
𝟔 𝟓
𝟐
−𝟑 𝟏
) hallar 𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝟑𝑪:
−𝟏 𝟓
a) (−𝟐𝟓 −𝟏𝟒 −𝟏)
𝟏𝟗
−𝟏𝟑
𝟎
b) (−𝟐 −𝟓 𝟗)
−𝟑
𝟕
c) (𝟏𝟐 𝟕
𝟗
𝟗
𝟓
𝟗
)
𝟏𝟓
d) (𝟐𝟗 𝟏𝟑 𝟏𝟓)
𝟐𝟖
𝟐𝟗
𝟑𝟎
26
𝟐 −𝟓
𝟏 𝟓
)y𝑩=(
𝟑 𝟒
−𝟔 𝟎
6.31) Dadas las matrices 𝑨 = (
a) ( 𝟐
𝟏𝟎 𝟒
)
𝟎 𝟏𝟐
b) ( 𝟐
−𝟐𝟓 𝟐
)
𝟎
𝟒
c) ( 𝟓
𝟏𝟎 𝟏𝟔
)
−𝟐𝟓 𝟔
d) ( 𝟑𝟐
𝟏𝟎 −𝟏𝟔
)
𝟏𝟓 𝟐𝟐
−𝟏𝟖
−𝟏𝟖
−𝟐𝟗
−𝟐𝟏
𝟑 −𝟏
𝟏
6.32) Dadas las matrices 𝑨 = (𝟐 −𝟏) y 𝑩 = (
−𝟏
𝟏 𝟐
𝟑
𝟐
), hallar 𝑨 𝒙 𝑩:
𝟒
𝟒
), hallar 𝑨 𝒙 𝑩:
𝟐
−𝟒
a) (−𝟐 −𝟐)
𝟏
𝟐
𝟒
𝟏𝟎
𝟔)
𝟖
b) ( 𝟑
−𝟏
𝟑
c) (𝟖
𝟏
𝟏
−𝟐)
𝟒
𝟒
d) (𝟔
𝟑
−𝟔
𝟎)
𝟐
27
𝟐
6.33) Calcule el siguiente determinante 𝑨 = | 𝟏𝟎
−𝟏
−𝟓
𝟑
−𝟏𝟓 𝟐𝟏 |:
𝟎
−𝟑
a) 𝟎
b) 𝟗
c) 𝟏𝟐
d) 𝟐𝟏
6.34) Calcule el área del triángulo y graficarlo, cuyos vértices son los puntos
𝑨 = (−𝟐, −𝟐), 𝑩 = (𝟐, 𝟐)𝒚 𝑪 = (𝟓, −𝟐):
a) 𝟑
b) 𝟔
c) 𝟗
d) 𝟏𝟐
28
6.35) Demostrar la siguiente identidad:
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙−𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝟏+𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒙
= 𝟏−𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒙
Afirmaciones
6.36) Demostrar la siguiente identidad:
Afirmaciones
Razones
𝟏+𝒕𝒂𝒏𝟒 𝒙
𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙+𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒙
= 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙
Razones
29
6.37) Demostrar la siguiente identidad: 𝟏 −
Afirmaciones
6.38) Demostrar la siguiente identidad:
Afirmaciones
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
−
= 𝒔𝒆𝒏𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝟏+𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏+𝒕𝒂𝒏𝒙
Razones
𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏
Razones
30