ANEXO 5. LA GEOMETRIA Y SU APLIC

ANEXO 5
Un viejo poema dedicado a Euclides decía que Euclides, ya anciano, se iba a la orilla del mar y
con un estilete iba marcando círculos y rectas sobre la arena. Las olas borraban las figuras y
Euclides volvía a trazarlas, siempre sumido en sus meditaciones. Añade el poema que un niño lo
miraba divertido desde detrás de una roca, fascinado de ver cómo aquel anciano trazaba, sin
parar, imágenes redondas de la luna…
Hay muchos modos de vivir la Geometría: desde el ángulo profesional más elevado hasta el
descubrimiento más intuitivo de un niño. Este primer capítulo invita a unas primeras reflexiones
sobre la Geometría, los objetivos de su enseñanza y sus connotaciones históricas.
1.1. HACIA LA GEOMETRÍA
En nuestro entorno ambiental estamos rodeados de objetos, formas, diseños y
transformaciones. Las propiedades geométricas son cada vez más accesibles y presentes en la
vida cotidiana, cultural y técnica de nuestros días. Desde la más temprana infancia se experimenta
directamente con las formas de los objetos, ya sean juguetes o utensilios cotidianos y familiares.
Paulatinamente vamos tomando posesión del espacio, orientándonos, analizando formas y
buscando relaciones espaciales de situación, de función o simplemente de contemplación. Así, de
esta manera, se va adquiriendo conocimiento directo de nuestro entorno espacial. Este
conocimiento del espacio ambiental que se apropia directamente, primero sin razonamiento lógico,
es lo que constituye la intuición geométrica. La primera invitación a la Geometría se realiza, así,
por medio de la intuición.
La Geometría como cuerpo de conocimientos es la ciencia que tiene por objeto analizar,
organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. En un sentido amplio se puede considerar a
la Geometría como la Matemática del espacio. El interés por estudiar el espacio no es propio sólo
de la educación integral de cada individuo, sino que también es esencial en diferentes disciplinas y
profesiones técnicas y artísticas. Las relaciones espaciales se manifiestan en las distintas
dimensiones físicas en que se puede producir conocimiento. Desde la dimensión 1 de las líneas,
curvas, longitudes; a la dimensión 2 de las superficies, áreas, etc., a la dimensión 3 de los objetos
tridimensionales, cuerpos sólidos, volúmenes; hasta las dimensiones superiores de los modelos
científicos y combinatorios. Por tanto, cuando se habla de espacio, debe entenderse un espacio
multidimensional en que cada situación del entorno o del universo se puede analizar
geométricamente.
La Geometría, como estudio del espacio, no tiene necesariamente que proceder por el análisis
secuencial y ordenado de las dimensiones 1, 2, 3, 4…, como tradicional y escolarmente se ha
venido haciendo, sino que en función de la situación a analizar y del aspecto a resaltar, se
considera de entrada, la dimensión correspondiente y apropiada. Así proceden los geógrafos y
topógrafos cuando quieren analizar la forma del espacio físico de una zona geográfica
determinada. Primero toman medidas y relaciones directamente sobre el paisaje tridimensional de
la zona a estudiar, pasan luego a la representación bidimensional del mismo, mediante el alzado
de mapas topográficos y, finalmente, pasan al espacio unidimensional analizando separadamente
los contornos y perfiles de cada nivel paisajístico. De hecho este modo de proceder es común en
la mayoría de profesiones que necesitan estudiar las relaciones espaciales. En este libro se podrá
énfasis a menudo en el espacio tridimensional, aunque sólo sea para contrarrestar la influencia
que los medios de comunicación ejercen, al presentar siempre la información uni y
bidimensionalmente, por la utilización casi exclusiva de los medios tipográficos y telemáticos.
En el conocimiento del espacio geométrico hay que distinguir dos modos de comprensión y
expresión, el que se realiza de forma directa, que corresponde a la intuición geométrica, de
naturaleza visual y el que se realiza de forma reflexiva, es decir, lógica, de naturaleza verbal. Estos
modos de conocimiento aunque muy distintos son complementarios. El primero es creativo y
subjetivo, mientras que el segundo es analítico y objetivo. El primero está caracterizado por la
intuición y el segundo por la lógica. La historia del desarrollo de las Matemáticas es la historia de la
relación entre estos dos aspectos del conocimiento. Ambos modos del conocimiento geométrico
pueden considerarse como fases del desarrollo del pensamiento.
La visualización corresponde al saber ver el espacio en el cual la intuición es el motor que hace
arrancar y avanzar la comprensión de las distintas relaciones espaciales. Ahora bien, para que se
tenga un conocimiento correcto, hay que analizarlo con las leyes de la deducción lógica, para que
así se pueda expresar y comunicar por medio del lenguaje. A este respecto es ilustrativa la
siguiente cita de Einstein (en Hadamard, 1945):
«Las palabras del lenguaje, tal como están escritas o habladas, no parecen desempeñar
ningún papel en mi mecanismo de pensamiento. Las entidades físicas que parecen servir
como elementos en el pensamiento son ciertos signos e imágenes más o menos claras que
pueden ser “voluntariamente” reproducidas y combinadas… Hay, naturalmente, una cierta
conexión entre estos elementos y los conceptos lógicos relevantes. También es claro que el
deseo de llegar finalmente a conceptos lógicamente conectados es la base emocional de
este juego algo vago con los elementos anteriormente mencionados. Pero desde el punto
de vista psicológico, este juego combinatorio parece ser, un hecho esencial en el
pensamiento productivo, antes de que hayan conexiones con una construcción lógica
mediante palabras u otras clases de signos que pueden ser comunicados a los demás…»
Esta distinción entre estos dos modos de conocimiento es muy útil para sentar las bases de la
enseñanza de la Geometría. Así la enseñanza de la Geometría puede ser caracterizada como el
estudio de las experiencias espaciales. A partir de estas experiencias se puede construir el
programa completo, el cual a su vez puede ser desarrollado teniendo en cuenta los dos modos de
conocimiento aquí citados.
El hecho de adquirir conocimientos del espacio real a través de la intuición geométrica es lo
que se llama percepción espacial.
La percepción es el resultado de una serie de fases de procesamiento que ocurren entre la
recepción de un estímulo visual y el logro de un percepto. La base de la percepción está en las
operaciones cognitivas que se efectúan sobre la información contenida en el estímulo.
La percepción espacial desempeña un papel fundamental en el estudio de la Geometría,
reconociendo formas, propiedades geométricas, transformaciones y relaciones espaciales.
La percepción espacial puede compararse a la comprensión de un texto escrito. De la misma
manera que en el proceso de lectura se agrupan las letras en palabras y éstas en frases,
obteniéndose por comprensión global una información, la percepción espacial se ocupa de obtener
un mensaje por medio de la «lectura comprensiva» de las formas y relaciones espaciales de
nuestro entorno.
Si una persona no posee una mínima percepción espacial le ocurrirá lo mismo que si se le
diese un texto escrito en una lengua extranjera. Aun conociendo los símbolos de las letras, sus
agrupaciones en palabras y las reglas de pronunciación, podría leerla en voz alta, pero no
comprendería el mensaje escrito. Así, por analogía, delante de nuestro espacio ambiental no se
podría tener imágenes espaciales para manipular, ni memoria espacial para recordar o reconocer,
ni se podrían prever las consecuencias al efectuar cambios en las relaciones espaciales entre los
objetos.
Como sucede con la utilización de los textos escritos, hay varios niveles de comprensión en la
percepción espacial. Algunos son necesarios y básicos para la vida diaria, otros son requeridos por
diferentes niveles de especialización profesional. Así, un mínimo grado de percepción espacial es
requerido para familiarizarse con nuestro espacio vital. Un alto grado de percepción espacial es
requerido en cristalografía, en bioquímica, cirugía, aviación, mecánica, escultura, coreografía y
arquitectura. Por tanto, una buena formación en percepción espacial puede mejorar nuestra
adaptación a nuestro mundo tridimensional, capacitándonos para comprender las distintas formas
y expresiones espaciales de nuestra cultura.
El espacio puede ser caracterizado desde diferentes puntos de vista: físico, psicológico, social,
geométrico, arquitectónico, etc. En la percepción del espacio geométrico interesa concentrarnos en
la estructura puramente geométrica. Así, cuando observamos un cubo, desde el punto de vista de
la Geometría, nuestra atención se debe concentrar en los elementos principales que esquematizan
su forma, haciendo abstracción de su color, textura, densidad, etc. Uno se imagina la forma y
disposición de sus caras, artistas y vértices. Esta exploración es simplemente visual, pero si se
acompaña de una manipulación, o incluso construcción del objeto, la comprensión de la estructura
–es decir, su percepción espacial- es más completa.
En el estudio del desarrollo de la percepción espacial, de R. Pallascio y otros proponen cinco
etapas: la visualización, la estructuración, la traducción, la determinación y la clasificación. Cada
una de estas etapas incluyen acciones que van desde el reconocimiento de los objetos a la
realización y aplicación de los mismos. El nivel de dificultades de las acciones a realizar aumentan
al pasar de una etapa a otra, consiguiéndose de esta forma un desarrollo progresivo de la
percepción espacial. La tipología de estas etapas se define como sigue:
1. La visualización: Después de haber observado un objeto, su visualización consiste en
poder memorizar (suficientemente) imágenes parciales a fin de poder reconocer objetos
iguales o semejantes por cambio de posición o de escala, entre una diversidad de objetos
teniendo el mismo croquis.
2. La estructuración: Después de haber visualizado un objeto, su «estructuración» consiste
en poder reconocer y reconstruir el objeto a partir de sus elementos básicos constituyentes.
3. La traducción: Consiste en poder reconocer un objeto a partir de una descripción literaria y
viceversa.
4. La determinación: Consiste en poder reconocer su existencia a partir de una descripción
de sus relaciones métricas.
5. La clasificación: Consiste en poder reconocer clases de objetos equivalentes según
diferentes criterios de clasificación.
Estas etapas permiten a su vez desarrollar las habilidades de observar (visualización),
abstraer (estructuración) comunicar (traducción) y organizar (determinación y clasificación).
(Véase la actividad tipo de percepción espacial.)
1.2. FINALIDADES Y OBJETIVOS EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA.
Si se tratara de encontrar un contenido geométrico para ejercer unas actuaciones muy
específicas, el problema del diseño curricular sería relativamente simple. Una Geometría para
modistas, diseñadores gráficos, topógrafos o ceramistas resulta bastante evidente. Pero una
Geometría para todos, en su nivel obligatorio, resulta más difícil de terminar ¿Cuáles son aquellos
contenidos geométricos que un ciudadano normal, al margen de su labor profesional, debe
poseer?
En la enseñanza obligatoria de la Geometría hay que fijar unos objetivos mínimos en función
de los cuales deben programarse las actividades. En un aprendizaje dinámico de la Geometría, por
sus relaciones con las otras materias y con las propias disciplinas matemáticas, es muy difícil
marcar unos objetivos precisos para un período corto: los conceptos deben aparecer y reaparecer,
traducirse en diversos lenguajes, tener representaciones plurales y sólo por esta vía cabe esperar
una consolidación conceptual. Así pues, parece más adecuado plantearse objetivos
correspondientes a los ciclos 6-12 años y 12–16 años. Por supuesto, existen unos objetivos
generales que todo ciudadano debería alcanzar tras su formación básica: tener una cultura
geométrica con visión histórica e interdisciplinar, aplicar conocimientos geométricos para
modelizar, crear o resolver problemas reales, usar los diferentes lenguajes y representaciones…,
etc.
Un tema muy actual en los medios educativos es distinguir entre lo que es útil de aprender y
lo que es deseable enseñar.
El concepto de utilidad en la enseñanza matemática está ligado necesariamente al concepto
de futuro. Se forman ciudadanos del mañana y profesionales del futuro a lo largo de un proceso
cada vez más amplio en el tiempo. Y los cambios de todo tipo son vividos hoy por la sociedad con
una velocidad vertiginosa. Por todo ello el enseñante debe encontrar el punto justo de enlazar con
los intereses y las motivaciones del momento presente, pero sin subordinarse a una moda, un
aparato o un material que bien seguro desaparecerán del mapa en un término de tiempo
relativamente corto.
Aprender el concepto de escala, por ejemplo, es tremendamente útil. Puede motivarse con
mapas actuales, con dibujos, con patrones de vestidos…, y está claro su uso futuro. En cambio,
jugar a programar en un lenguaje del momento un determinado juego gráfico de cambio de escala
puede resultar inútil si es previsible que dicho lenguaje, y el ordenador donde se implementa, van a
quedar obsoletos en cinco años.
Quizá sería más fácil retratar lo inútil. La inutilidad tiene diversas causas: antigüedad (regla de
cálculo, tabla de logaritmos, elipsógrafo…), uso muy restringido (antiguas cartas de navegación,
diseño de zapatos…), resultados no aplicables a situaciones diversas (recta de Euler,
circunferencia de los nueve puntos…), elementos subordinados a una tecnología (movimientos en
una máquina de coser, cálculos de una nevera…), etc., y lo que es más importante: lo
extraordinariamente inútil es aquello no adecuado ni al nivel ni a la capacidad del que
aprende. Por ejemplo, las construcciones con regla y compás son útiles y formativas pero son
inútiles a una edad en que no puedan manejarse manualmente y con soltura dichos instrumentos o
no esté asumida la definición de recta y circunferencia.
En definitiva, será deseable en la enseñanza de la Geometría aquello que sea útil con
rango futurible y pueda motivarse desde la actualidad: razonar correctamente (deductivamente
e inductivamente), representar, abstraer, relacionar, clasificar y resolver son verbos claves en el
abanico de lo deseable. Aquí haremos especial énfasis en los objetivos terminales propios de cada
ciclo, debiéndose distinguir en cada caso tres tipos de objetivos: los conceptuales, lo de
procedimientos y los de actitudes. Tan importante puede ser calcular el área de un triángulo, como
saber el proceso para hacer una perspectiva o tener un criterio de autoevaluación de los
conocimientos.
Hay algunas peculiaridades que diferenciarán los objetivos en los dos ciclos aludidos. Por
ejemplo, en el ciclo 6-12 años los objetivos terminales son mucho más borrosos, forman
necesariamente un conjunto en evolución: no existe un discurso deductivo, ni tienen sentido ciertas
abstracciones, ni se resuelven problemas en un sentido formal, etc. En cambio, en la etapa 12-16
la estructuración de objetivos puede ser más diáfana. Así pues procederemos ahora a listar por
ciclos los objetivos terminales de conceptos y de procedimientos, que, a nuestro entender,
deberían ser los mínimos deseables. (En todos los listados el orden no presupone ningún orden
conceptual.