guÍa de estudio no 4 cÁlculo diferencial 2016-1

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
ÁREA DE MATEMÁTICAS
Asignatura: Cálculo Diferencial
GUIA No. 4
2016-1
Dependencia: Facultad de Ciencias
Empresariales y Económicas
I. Determine los valores críticos si los hay, intervalos crecientes o decrecientes y los
extremos relativos (máximos y mínimos locales) de cada función usando el criterio de
la primera derivada.
1. 𝑠(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 6
2. ℎ(𝑥) = −𝑥 3 − 9𝑥
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (3𝑥 − 1 )3
6. 𝑝(𝑥) = −4√𝑥 + 𝑥 2
7. 𝑟(𝑥) = 𝑥 3 𝑙𝑛𝑥
(ln 𝑥)2
8. ℎ(𝑥) =
𝑥
9. 𝑓(𝑥) = −3𝑥 4 − 2𝑥
10. 𝑞(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 3
2
4. ℎ(𝑥) = 𝑥𝑒 −𝑥
𝑥4
5. 𝑔(𝑥) =
𝑥 − 1
II. Encuentre los valores de 𝑥 para los cuales las siguientes funciones son: cóncavas
hacia arriba o cóncavas hacia abajo. También determine los puntos de inflexión y los
valores máximos y mínimos absolutos utilizando el criterio de la segunda derivada, si
existen. Bosqueje la gráfica.
1.
2.
3.
4.
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 18𝑥 2 + 5
𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 4
ℎ(𝑥) = 3𝑥 1⁄3 + 4𝑥 2⁄3
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑒 2𝑥
5. 𝑡(𝑥) = (𝑥 − 5)
1 3 1 2
𝑥 − 𝑥 − 2𝑥
3
2
5
8. 𝑡(𝑥) = 𝑥 − 5𝑥 3
9. 𝑚(𝑥) = 1 − 𝑥 1⁄3
10. 𝑢(𝑥) = 𝑥𝑒 −𝑥
7. 𝑠(𝑥) =
3⁄
4
6. 𝑟(𝑥) = 𝑥 4 + 4𝑥 3 − 8𝑥 2 + 3
III. Resuelve los siguientes problemas:
1. Una compañía advierte que puede vender toda la existencia de cierto producto
que elabora a una tasa de $2 por unidad. Si estima la función de costo del
1
𝑥 2
producto como𝐶(𝑥) = 1000 + 2 (50) dólares por x unidades producidas:
a. Encuentre una expresión para la utilidad total si se producen y venden x
unidades.
b. Determine el número de unidades producidas que maximizarían la utilidad.
c. ¿Cuál es la cantidad de utilidad máxima?
d. ¿Cuál sería la utilidad si se produjeran 6000 unidades?
2. Una empresa de productos de belleza ha estimado que sus ingresos anuales en
euros están dados por: 𝑅(𝑥) = 28𝑥 2 + 36.000𝑥, mientras que sus costos
(también en euros) pueden calcularse a través de la función: C(x) = 44x2 +
12000x + 700000, donde 𝑥 representa la cantidad de unidades vendidas.
Calcular:
a. La función que define la utilidad anual en euros.
b. La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que la utilidad sea
máxima.
c. La utilidad máxima.
3. En una fábrica el costo diario de producción de 𝑥 sillas de lujo talladas está
dada por 𝐶(𝑥) = 50000 + 40000𝑥. La función de demanda es 𝑝 = 80000 −
100𝑥. Cuantas sillas deben producirse diariamente para:
a. ¿Maximizar la utilidad?
b. ¿Minimizar el ingreso?
4. El costo promedio de fabricar cierto artículo es
48
𝐶̅ = 5 +
+ 3𝑥 2
𝑥
, donde 𝑥es el número de artículos producidos.Encuentre el valor mínimo del costo
promedio.
5. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por: 𝑈(𝑥) =
130 + 80𝑥 − 𝑥 2 (en milesdólares). Halle la utilidad máxima y a que inversión
en publicidad corresponde.
6. Un fabricante estima que cuando se producen x número de artículos, el costo
total en miles de pesos está dado por
𝐶(𝑥) = 0,2𝑥 2 + 4𝑥 + 200 ,
, y que el precio por unidad, en miles de pesos, depende del número de unidades
producidas y está dado por la función
𝑝(𝑥) = 0,5(100 − 𝑥).
a. Encontrar la función utilidad.
b. La cantidad de artículos que deben ser vendidos para que la utilidad sea
máxima
2
7. La función de demanda para cierto bien está dado por 𝑝 = 10𝑒 −𝑥 ⁄32 para 0 ≤
𝑥 ≤ 6, donde p es el precio por unidad y x el número de unidades pedidas.
Determine el precio p y la cantidad x para los cuales el ingreso es máximo.
8. Una compañía está contratando personas para trabajar en su planta. Para el trabajo
que las personas deben efectuar los expertos en eficiencia estiman que el costo
promedio C de realizar la tarea es una función del número de personas contratadas x
es
𝐶 = 0.003𝑥 2 − 0.216 ln(𝑥) + 5
a. Determine el número de personas que deberán ser contratadas para minimizar el costo
promedio.
b. ¿Cuál es el mínimo costo promedio?
9. Encuentre la derivada parcial de la función con respecto a cada una de las
variables indicadas.
a.
b.
c.
d.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦 2 + 3𝑦𝑥 2 − 7𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 3 + 3𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 2 − 2𝑥 2 𝑦 − 4𝑥𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦
e.
𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦2
f.
𝑓(𝑥, 𝑦) =
g.
h.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ln(𝑥 2 − 𝑦 2 )
√𝑥 2 + 𝑦 2
𝑥− 𝑦
𝑥 + 4𝑦
𝑦 −3
IV. Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1. Si la ecuación de demanda de q unidades de un producto a $p por unidad, está dada
por p  q  1  200 000 . Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del
2
precio cuando p  $80 . Interprete este resultado.
2. Suponga que para un producto particular el número x de unidades producidas por
mes depende del número de miles dólares 𝑦 invertidos, con x  30 y  20 y 2 ¿con que
razón aumentará la producción si se invierten $10000 y si la inversión de capital
aumenta a una razón de $1000 por mes?
3. En los siguientes ejercicios, evalúe las derivadas parciales en el punto dado:
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 ,
𝜕𝑓
𝜕𝑥
b. 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 2 √1 − 𝑧,
𝑒𝑛 (1, −2)
𝜕𝑔
𝜕𝑧
𝑒𝑛 (−1, 3, −3)
𝜕𝑧
c. 𝑧 = √16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 , 𝜕𝑥 𝑒𝑛 (0,1)
d.
Si 𝑧 = 𝑥𝑒 𝑥−𝑦 – 𝑦𝑒 𝑦−𝑥 .Demuestre que
𝜕𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑒 𝑥−𝑦 − 𝑒 𝑦−𝑥
V. Resuelva cada uno de los siguientes problemas
1. Si la función costo conjunto para dos productos es
C(x, y)= 𝒙√𝒚𝟐 + 𝟏
Si se produce 10 unidades de 𝒙y 15 de 𝒚 calcule e interprete
a. El costo marginal respecto a x.
b. El costo marginal respecto a y.
2. La productividad de cierto país de Europa Occidental está dada por la función
𝑃(𝐿, 𝐾) = 40𝐿4/5 𝐾 1/5 unidades, donde se utiliza 𝐿unidades de mano de obra y 𝐾unidades de
capital.
a. ¿Cuál es la productividad marginal de la mano de obra y la productividad marginal del
capital cuando los gastos respectivos son de 32 y 243 unidades?
b. ¿El gobierno debería alentar la inversión en capital en vez del gasto en mano de obra
en ese momento para incrementar la productividad del país?
3. Las ecuaciones de demanda para los productos A y B están dadas por
𝟔𝟎𝟎
𝒒𝑨 = 𝟐𝟓𝟎𝟎 +
− 𝟒𝟎𝒑𝑩
𝒑𝑨 + 𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝒒𝑩 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝒑𝑨 +
𝒑𝑩 + 𝟓
, donde 𝒒𝑨 y 𝒒𝑩 son las cantidades demandadas de A y B cuando los precios
unitarios son 𝑷𝑨 y𝑷𝑩 . Si 𝑷𝑨 = 𝟎. 𝟏 𝒚 𝑷𝑩 = 𝟎. 𝟐, calcule e interprete las demandas
marginales de
a. 𝒒𝑨 respecto al precio 𝑷𝑨 A
b. 𝒒𝑨 respecto al precio 𝑷𝑩
c. 𝒒𝑩 respecto al precio 𝑷𝑨
d. 𝒒𝑩 respecto al precio 𝑷𝑩
4. Dos productos A y B son complementarios si
sustitutos si
𝜕𝑞𝐴
𝜕𝑃𝐵
𝜕𝑞𝐴
𝜕𝑃𝐵
<0 y
𝜕𝑞𝐵
𝜕𝑃𝐴
< 0 , son competitivos o
𝜕𝑞
> 0 y 𝜕𝑃𝐵 > 0 de lo contrario no son ni sustitutos ni complementarios.
𝐴
Dadas las ecuaciones de la demanda para dos artículos A y B determine si son competitivos
o complementarios o ninguno de los dos, para 𝑝𝐴 = 3 y 𝑝𝐵 = 2
a. 𝑞𝐴 = 125 − 𝑝𝐴 2 − 0.1𝑝𝐵 2 ; 𝑞𝐵 = 130 − 0.1𝑝𝐴 2 − 2𝑝𝐵 2
b. 𝑞𝐴 = 1000 + 𝑝
2
𝐴 +1
c. 𝑞𝐴 =
d. 𝑞𝐴 =
50𝑝𝐵
; 𝑞𝐵
√𝑝𝐴
250
√𝑝𝐴 √𝑝𝐵 3
=
− 20𝑝𝐵 ; 𝑞𝐵 = 1500 − 70𝑝𝐴 + 𝑝
30𝑝𝐴
3
√𝑝𝐵
; 𝑞𝐵 =
2
𝐵 +2
300
√𝑝𝐴 𝑝𝐵