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EJERCICIOS RESUELTOS GUIA No 2 TEORIA DE PROBABILIDADES
SOBRE LOS TEMAS:
Probabilidad por reglas de la multiplicación, probabilidad condicional, teorema de la probabilidad
total y aplicaciones del teorema de bayes.
1. Sean A y B dos sucesos aleatorios con p (A) = 1/2, p(B) =
1/3, p(A
B)= 1/4. Determinar:
a.
b.
c.
2. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar
como
lengua
extranjera
inglés
o
francés.
En
un
determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés
y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son
chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%.
El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de
que sea chica?
Sol.
Dibujando
un
diagrama
de
árbol
y
Aplicando
la
regla
de
multiplicación, tenemos:
La probabilidad de que sea una chicas es:
p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69
3. De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente
dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:
a. Las dos sean copas.
Se sabe que si el paquete es de 48 cartas, y tienes 4 pintas,
entonces existen 12 barajas de cada pinta. Si el experimento se
realiza sin reemplazo.
b. Al menos una sea copas.
la
Para garantizar que al escoger una baraja al menos una sea copa
se debe encontrar la probabilidad complemento, que
es que no se
escoja ninguna copa, así:
C. Una sea copa y la otra espada.
4. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la
mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido
francés como asignatura optativa.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al aza r sea
chico o estudio francés?
Utilicemos un diagrama de Venn para visualizar el problema.
Sea A: el evento de que la persona elegida sea chico
B: el evento de que la persona elegida estudie francés
También se puede escribir de la siguiente mane ra directamente del
diagrama de venn
b. ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudi e francés?
Sea C: el evento de que la persona elegida sea chica
D: el evento de que la persona elegida NO estudie francés.
Como son eventos dependientes:
También se pude haber escrito de la siguiente manera directamente
del diagrama de venn:
5. Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se
reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una
segunda bola. Se pide:
1. Probabilidad de que la segunda bola sea verde.
Por medio de la regla de la multiplicación, tenemos:
2. Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo
color.
6. En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona
A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación
otra persona B elige otro libro al azar.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea
una novela?
Aplicando la regla de la multiplicación, tenemos:
2. Si se sabe que B eligió una novela , ¿cuál es la probabilidad de
que el libro seleccionado por A sea de poesía?
Aplicando la formula el teorema de Bayes, tenemos:
7. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge
un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:
a. Seleccionar tres
niños.
b. Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
c.
Seleccionar por lo menos un niño.
d. Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
8. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20%
son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto
directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no
ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto
directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo
elegido al azar sea ingeniero?
Aplicando el teorema de bayes:
9. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que
dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se
ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que
suene si no ha sucedido ningún incident e es 0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la
probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.
Aplicando el teorema de bayes:
E) Distribuciones Binomiales
1. La probabilidad de obtener sobresaliente en un examen es 0,85, si se estudia mucho.
Un alumno estudia mucho en cuatro exámenes. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener
ningún sobresaliente? ¿Cuál es la probabilidad de tener exactamente dos sobresalientes?
2. La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo en un lanzamiento a una cierta
distancia es 0,3. Si lo intenta 5 veces, calcular la probabilidad de que:
a) no acierte ninguna; b) acierte alguna; c) acierte 2.
Solución
Es una binomial B(5, 0,3)
a) P(5 fallos) = P(x =0)= (0,7)5;
b) P(acertar alguna vez) = 1 - P(fallar todas) = 1 - (0,7)5;
c) P(acierte 2) =P(x =2) =