Documento 2861693

 & RQYHQFLyQ GHVLJQRVHQ SUREOHP DVGHDFHOHUDFLyQ
La aceleración negativa se debe a que la fuerza de detención tiene una dirección opuesta a
la velocidad inicial. Una persona sometida a una aceleración semejante experimentaría una
fuerza de detención aproximadamente igual a cuatro veces su peso.
A continuación hallamos el tiempo de detención eligiendo la ecuación donde aparece t y
no a. De nuevo, la ecuación (1) es la correcta
'vf + v0\
J
t
o
t =-
2x
Vf + Y
2(100 m)
t = ñ
™— r = 2.22 s
0 + 90 m /s
El avión experimenta una aceleración de —40.5 m /s 2 y se detiene en un tiempo de 2.22 s.
-—
l i —
~
www
~
,
Mtsz/f f/'jrz z s ^ .*\w m
»
Sr Un tren que viaja inicialmente a 16 m /s se acelera constantemente a razón de 2 m /s2 en la
misma dirección. ¿Cuán lejos viajará en 20 s? ¿Cuál será su velocidad final?
2NCP Se ordenan los datos y se despejan las incógnitas de las ecuaciones.
5QNWEKxP
Dados: vQ= 16 m/s
Encontrar: x = ?
a = 2 m/s2
vf = ?
t = 20 s
Al elegir la ecuación (3) de la tabla 6.1, ya que contiene x y no v , se obtiene
1 ,
x = vfít i— a t
= (16 m /s)(20 s) + | ( 2 m /s2)(20 s)2
= 320 m + 400 m = 720 m
La velocidad final se halla a partir de la ecuación (2):
Vf = v 0 + at
= 16 m /s + (2 m /s 2)(20 s) = 56.0 m /s
El tren recorre una distancia de 720 m y alcanza una velocidad de 56 m /s.
%QPXGPEKxPFGUKIPQUGP RTQDNGOCU GHDFHOHUDFLyQ
Los signos de aceleración (a), desplazamiento (x) y velocidad (v) son interdependientes, y
cada uno se determina por criterios distintos. Tal vez éste sea el aspecto que más confunde a
los alumnos principiantes. Siempre que cambia la dirección del movimiento, como cuando un
objeto es arrojado al aire o cuando se sujeta un objeto a un resorte que oscila, el signo correspondiente al desplazamiento y a la aceleración resulta particularmente difícil de visualizar. Es
útil recordar que sólo el signo de la velocidad se determina por la dirección del movimiento.
El del desplazamiento depende de la ubicación o la posición del objeto, en tanto que el de la
aceleración queda determinado por la fuerza que hace que la velocidad cambie.
Imagine una pelota de béisbol lanzada hacia arriba, como se indica en la figura 6.3. La
pelota se mueve hacia arriba en línea recta hasta que se detiene y regresa siguiendo una trayectoria descendente en la misma línea. Consideraremos el punto de lanzamiento como el de desplazamiento cero (y = 0). Ahora, el signo del desplazamiento será positivo en cualquier punto
ubicado arriba del lanzamiento y negativo en cualquier punto por debajo de él. Observe que no
importa si la pelota se está moviendo hacia arriba o hacia abajo\ sólo su ubicación (la coordenada y de su posición) es la que determina el signo del desplazamiento. El valor de y podría ser
+1 m en su movimiento hacia arriba y +1 m en su movimiento hacia abajo. Su desplazamiento
se vuelve negativo sólo cuando la pelota se encuentra por debajo del punto de lanzamiento.
%CRsVWNQ #EGNGTCEKxP WPKHQTOG
=+, v = , a = -
(KIWTC
(.Fotografía de Paul E. Tippens.)
Observe ahora los signos de la velocidad durante el vuelo de la pelota. Si suponemos
que la dirección hacia arriba es positiva, la velocidad de la pelota es positiva siempre que su
movimiento se dirige hacia arriba y negativa cada vez que su movimiento va hacia abajo. No
importa que la velocidad cambie con el tiempo, ni tampoco su ubicación en el espacio.
Por último, considere la aceleración de la pelota durante su vuelo. La única fuerza que
actúa sobre ella durante su recorrido es su peso, el cual siempre está dirigido hacia abajo. Por
tanto, el signo de la aceleración es negativo (hacia abajo) durante todo el movimiento. Observe que la aceleración es negativa cuando la pelota se mueve hacia arriba y también cuando
se mueve hacia abajo. En esencia, la velocidad se vuelve en todo momento más negativa.
Incluso cuando la velocidad pasa por cero en la parte más alta, la aceleración permanece
constante en dirección hacia abajo. Para determinar si la aceleración de un objeto es positiva
o negativa, no debemos considerar su ubicación ni la dirección de su movimiento; más bien
debemos tener en cuenta la dirección de la fuerza que causa el cambio de velocidad. En este
ejemplo, esa fuerza es el peso del objeto.
6.7 Gravedad y cuerpos en caída libre
121
Una vez que se ha elegido la dirección positiva, con las convenciones siguientes se determinarán los signos de la velocidad, el desplazamiento y la aceleración:
El desplazamiento es positivo o negativo de acuerdo con la ubicación o posi­
ción del objeto en relación con su posición cero.
La velocidad es positiva o negativa según la dirección del movimiento: si está
en favor o en contra de la dirección elegida como positiva.
La aceleración es positiva o negativa según esté la fuerza resultante a favor o
en contra de la dirección elegida como positiva.
Gravedad y cuerpos en caída libre
Figura 6.4 En el vacío
todos los cuerpos caen con
igual aceleración.
Gran parte de nuestros conocimientos sobre la física de los cuerpos en caída libre se deben al
científico italiano Galileo Galilei (1564-1642). Él fue el primero en deducir que en ausencia
de fricción, todos los cuerpos, grandes o pequeños, pesados o ligeros, caen a la Tierra con
la misma aceleración. Ésa es una idea revolucionaria porque contradice lo que una persona
pudiera suponer. Antes de la época de Galileo, la gente seguía las enseñanzas de Aristóteles,
según las cuales los objetos pesados caían proporcionalmente más rápido que los ligeros. La
explicación clásica de la paradoja radica en el hecho de que los cuerpos pesados son proporcionadamente más difíciles de ser acelerados. Esta resistencia al cambio de movimiento es
una propiedad de los cuerpos llamada inercia. Por tanto, en el vacío, una pluma y una bola de
acero caerán al mismo tiempo porque el efecto inercial mayor de la bola de acero se compensa exactamente con su mayor peso (véase la figura 6.4.)
En la explicación de los cuerpos en caída libre de este capítulo se despreciarán totalmente
los efectos de la fricción debida al aire. En estas circunstancias, la aceleración gravitacional
corresponde a un movimiento uniformemente acelerado. Dicha aceleración se ha medido en
el nivel del mar y a una latitud de 45°, y su valor es de 32.17 ft/s 2, o 9.806 m /s 2, y se representa con g. Para nuestros propósitos, los valores siguientes son suficientemente precisos:
g = ±9.80 m /s2
g = ±32.0 ft/s 2
(6>1Q)
Puesto que la aceleración gravitacional es una aceleración constante, se aplican las mismas ecuaciones generales del movimiento. Sin embargo, uno de los parámetros se conoce de
antemano y no necesita darse como dato en el problema. Si la constante g se incluye en las
ecuaciones generales (tabla 6.1), resultan las formas siguientes:
vf + v0
(la) y = — - — t
y = vt
(2a) vf = v0 + gt
(3a) y = v0t + ^ g t 2
1 9
(4a) y = vf t — - g t(5a) 2gy = vj Antes de utilizar estas ecuaciones conviene hacer algunos comentarios generales. En problemas referidos a cuerpos en caída libre es de suma importancia elegir una dirección como la
positiva y seguir ese criterio en forma sistemática al sustituir los valores conocidos. El signo
de la respuesta es necesario para determinar la ubicación de un punto o la dirección de la
velocidad en instantes específicos. Por ejemplo, la distancia y en las ecuaciones anteriores representa el desplazamiento arriba o abajo del origen. Si la dirección ascendente se elige como
positiva, un valor positivo de y indica un desplazamiento por arriba del punto de partida; si y
es negativa, representa un desplazamiento por debajo de ese punto. De igual forma, los signos
de v0, v y g indican sus direcciones.
122
Capítulo 6
Aceleración uniforme
w/y f
>^
íz
>ó \
11
Una pelota de hule se deja caer del reposo, como se muestra en la figura 6.5. Encuentre su
velocidad y su posición después de 1, 2, 3 y 4 s.
Plan: Como todos los parámetros se medirán hacia abajo, es más práctico elegir la dirección descendente como positiva, de forma que aquéllos resulten positivos.
Solución: Organizando los datos tenemos:
Dados: v0 = 0
g — +9.80 m /s 2
Encontrar: vf = ?
y = ?
t = 1, 2, 3, 4 s
La velocidad hacia abajo en función del tiempo aparece en la ecuación (2a), donde vQ= 0.
v/ = vo + Sf = 0 + gt
= (9.80 m /s 2)t
Después de 1 s tenemos
vf = (9.80 m /s 2)(l s) = 9.80 m /s
(hacia abajo)
Con las sustituciones para t = 2, 3 y 4 s se obtienen velocidades finales de 19.6, 29.4 y
39.2 m /s, respectivamente. Todas estas velocidades son positivas porque se eligió la dirección descendente como positiva.
La y positiva en función del tiempo se calcula a partir de la ecuación (3a). Como la
velocidad inicial es cero, escribimos
1
1
y = v0t + ~ g r = ~ g t¿
Después del tiempo de 1 s, el desplazamiento descendente será
y = “ (9.80 m /s2)(l s)2 = 4.90 m
v = 0 m/s
y=0
v = 9.80 m/s
y = 4.90 m
v = 19.6 m/s
y = 19.6 m
g = +9.80 m/s2
v = 29.4 m/s ( ^ ) y = 44.1 m
v = 39.2 m/s
1
y = 78.4 m
Figura 6.5 Un cuerpo en caída libre tiene una aceleración constante hacia abajo de 9.80 m /s2,
6.7 Gravedad y cuerpos en caída libre
123
Cálculos semejantes para t = 2, 3 y 4 s producen desplazamientos de 19.6, 44.1 y 78.4 m,
respectivamente. Note que cada desplazamiento es positivo (en dirección descendente).
Los resultados se resumen en la tabla 6.2.
Tabla 6.2
V elo cid ad es y desp lazam ien tos de una pelota arrojada d e sd e el reposo
Tiempo t, s
0
1
2
3
4
Velocidad al final
del tiempo t, m /s
Desplazamiento al final
del tiempo t, m
0
9.80
19.6
29.4
39.2
0
4.90
19.6
44.1
78.4
Suponga que una pelota se arroja hacia arriba con una velocidad inicial de 96 ft/s; explique, sin utilizar ecuaciones, cómo el movimiento ascendente es exactamente inverso al
movimiento descendente.
Solución: Vamos a suponer que la dirección hacia arriba es positiva, lo que hace que la
aceleración debida a la gravedad sea igual a —32 ft/s 2. El signo negativo indica que un
objeto arrojado verticalmente hacia arriba verá reducida su velocidad en 32 ft/s cada segundo que se eleve. (Véase la figura 6.6.)
Figura 6.6 Una pelota arrojada verticalmente hacia arriba vuelve al suelo con la misma velocidad.
124
Capítulo 6
Aceleración uniforme
Si su velocidad inicial es 96 ft/s, su velocidad después de 1 s se reducirá a 64 ft/s. Después de
2 s su velocidad será de 32 ft/s, y después de 3 s su velocidad queda reducida a cero. Cuando
la velocidad llega a cero, la pelota ha alcanzado su máxima altura y empieza a caer libremente
partiendo del reposo. Sin embargo, ahora la velocidad de la pelota va a incrementarse en 32
ft/s cada segundo, ya que tanto la dirección del movimiento como la aceleración de la gravedad están en la dirección negativa. Su velocidad después de 4, 5 y 6 s será de —32, —64 y
—96 ft/s z, respectivamente. Excepto por el signo, que indica la dirección del movimiento, las
velocidades son las mismas a iguales alturas en relación con el piso.
Ejemplo 6.10
F
Una pelota de béisbol arrojada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio
alto tiene una velocidad inicial de 20 m /s. (a) Calcule el tiempo necesario para que alcance
la altura máxima, (b) Determine la altura máxima, (c) Determine su posición y su velocidad después de 1.5 s. (d) ¿Cuáles son su posición y su velocidad después de 5 s? (Véase
la figura 6.7.)
Plan: Elegimos la dirección ascendente como positiva, puesto que la velocidad inicial se
dirige hacia arriba. Ello significa que la aceleración será —9.8 m /s 2 para todos los incisos.
En cada parte del problema adoptaremos la misma estrategia aplicada a los problemas de
aceleración en general.
Figura 6.7 Una pelota arrojada verticalmente hacia arriba asciende hasta que su velocidad es cero;
entonces cae con creciente velocidad hacia abajo.
6.7 Gravedad y cuerpos en caída libre
125
Solución (a): El tiempo para alcanzar la altura máxima se halla tras reconocer que la
velocidad de la pelota será igual a cero en ese punto. Los datos se ordenan como sigue:
Dados: vQ= 20 m /s
Encontrar: t = ?
vf = 0
y = 7
g = - 9 .8 m /s 2
El tiempo requerido para llegar a la altura máxima se determina a partir de la ecuación
(2a):
t = V /~ Vp = _ Vq
8
—20 m /s
2.04 s
—9.8 m /s2
Solución (b): La altura máxima se halla igualando vf = 0 en la ecuación (la).
vf + v° \ f _
2 J
2
20 m /s
-(2.04 s) = 20.4 m
z
Solución (c): Para determinar la posición y la velocidad después de 1.5 s debemos establecer condiciones nuevas
Dados: vQ= 20 m /s
Encontrar: y = 7
g = —9.8 m /s2
v/ = ?
t = 1.5 s
Ahora podemos calcular la posición como sigue:
1 ,
y = v0t + - g r
= (20 m /s)(1.5 s) + ~ ( —9.8 m /s2)(1.5 s)2
= 30 m - 11 m = 19 m
La velocidad después de 1.5 s se obtiene con
vf = v o + S t
= 20 m /s + ( —9.8 m /s 2)(1.5 s)
= 20 m /s — 14.7 m /s = 5.3 m /s
Solución (d): Las mismas ecuaciones se aplican para determinar la posición y la velocidad después de 5 s. Por tanto,
1
2
y = v0t + ~ g r
= (20 m /s)(5 s) + ^ -(-9 .8 m /s2)(5 s)2
= 100 m — 123 m = —23 m
El signo negativo indica que la pelota se halla a 23 m por debajo del punto de lanzamiento.
126
Capítulo 6
A celeración uniform e
La velocidad después de 5 s está dada por
vf = v o + S 1
= 20 m /s + ( —9.8 m /s 2)(5 s)
= 20 m /s — 49 m /s = —29 m /s
En este caso, el signo negativo indica que la pelota se desplaza hacia abajo.
Movimiento de proyectiles
Hemos visto que los objetos lanzados verticalmente hacia arriba o hacia abajo, o que se dejan caer a partir del reposo sufren una aceleración uniforme en el campo gravitacional de la
Tierra. Ahora estudiaremos el caso más general de un cuerpo que se lanza libremente, en una
dirección no vertical, en un campo gravitacional, como se observa en la figura 6.8, donde
una pelota de fútbol se patea hacia el espacio. En ausencia de fricción, ese movimiento es otro
ejemplo de aceleración uniforme o constante.
Figura 6.8 Una pelota de fútbol pateada es un proyectil que se lanza libremente al espacio sólo bajo la influencia de la gravedad. Si se desprecia la resistencia del aire, la única fuerza que actúa sobre ella es su peso.
Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre de
proyectil. Si se desprecia la resistencia ejercida por el aire, la única fuerza que actúa sobre el
proyectil es su peso W, que provoca que su trayectoria se desvíe de una línea recta. El proyectil experimenta una aceleración constante hacia abajo debido a la fuerza gravitacional que
se ejerce hacia el centro de la Tierra; pero difiere de los movimientos estudiados previamente
pues, en general, la dirección de la gravedad no coincide con la dirección de la velocidad
inicial. Como ninguna fuerza actúa horizontalmente para cambiar la velocidad, la aceleración
horizontal es cero; esto produce una velocidad horizontal constante. Por otra parte, la fuerza
de gravedad hacia abajo causa que la velocidad vertical cambie uniformemente. Por ende, en
condiciones normales el movimiento de un proyectil ocurre en dos dimensiones y debe ser
estudiado en esa forma.
|2 J
Proyección horizontal
Si un objeto se proyecta horizontalmente, la mejor manera de describir su movimiento es
considerar por separado el movimiento horizontal y el vertical. Por ejemplo, en la figura 6.9
un dispositivo electrónico está ajustado para proyectar al mismo tiempo una pelota horizontalmente, mientras deja caer otra, desde su posición de reposo, a la misma altura. La velocidad horizontal de la pelota proyectada no cambia, como lo indican las flechas, que son de la
misma longitud a lo largo de toda su trayectoria. La velocidad vertical, por otra parte, es cero
al principio y aumenta de manera uniforme de acuerdo con las ecuaciones que obtuvimos con
anterioridad para el movimiento en una sola dimensión. Las pelotas golpearán el piso en el
mismo instante, a pesar de que una de ellas se mueve también horizontalmente. Por tanto, los
problemas se simplifican en gran medida si se calculan por separado las soluciones para sus
componentes horizontal y vertical.