Reparto directamente proporcional

Reparto directamente proporcional
Se denomina problemas de reparto proporcional aquellos en los que una determinada
cantidad debe repartirse proporcionalmente a otras cantidades. Por ejemplo:
1. Repartir 1.184.000 Ptas. entre tres amigos a los que les ha tocado la lotería,
sabiendo que cada uno de ellos ha jugado 3000, 2400 y 2000 ptas.
MÉTODO 1:
Para que el reparto sea proporcional los cocientes entre lo que cada uno recibe
y pone deben ser iguales, es decir:
Pr emio 1º

Pr emio 2 º
3000

Pr emio 3 º
2400
Suma de premios

2000
Suma de aportacion es
Llamando a cada premio X, Y, Z y teniendo en cuenta la propiedad de las
fracciones equivalentes que decía:
a

b
c
entonces también
se cumple que
d
X

b

3000
X
a
Y
2400

Z
2000
X +Y + Z

c
d


a c
b d
1.184.000
3000 + 2400 + 2000
se tiene la siguiente igualdad :
 160 , de donde se deduce
7.400
 160  X = 160x3000
= 480.000pta
s. recibe el que ha puesto 3.000ptas.
 160  Y = 160x2400
= 384.000pta
s. recibe el que ha puesto 2.400ptas.
 160  Z = 160x2000
= 320.000pta
s. recibe el que ha puesto 2.000ptas.
3000
Y
2400
Z
2000
MÉTODO 2º:
Consiste en hallar primero lo que le corresponde a la unidad. En el
ejemplo las pesetas que han tocado en la lotería por cada peseta.
Pesetas apostadas: 3000+2400+2000=7.400
Premio recibido : 1.184.000 ptas.
Luego por cada peseta se recibe: 1.184.000 : 7400 =160 ptas., y, por
tanto, cada amigo recibe:
El que ha puesto 3.000 ptas. recibe
El que ha puesto 2.400 ptas. recibe
El que ha puesto 2.000 Ptas. recibe
3000x160= 480.000ptas.
2400x160= 384.000ptas.
2000x160= 320.000ptas.
Total:...................=1.184.000 ptas.
***************************************************************
2. Se quiere repartir unos beneficios de 40.000ptas. entre tres trabajadores
proporcionalmente a los años que llevan en la empresa, que son 10, 12 y 18
años. ¿Cuánto recibirá cada uno?.
3. Tres agricultores alquilan una segadora por 139.500 ptas. Si tienen 2ha.,
3ha, y 4 ha. Respectivamente, ¿cuánto ha de pagar cada uno?.
4. Cuatro obreros han cobrado 65.000ptas. por su trabajo. Sabiendo que el
primero ha realizado los 2/8 del trabajo, el segundo 1/3, el tercero 2/7 y el
cuarto el resto. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?.
5. Una fuente cuenta con cuatro grifos que han arrojado un total de 12'6 m 3.
El primero ha estado abierto 1 hora y 20 minutos; el segundo, 90 minutos; el
tercero, una hora y cuarto, y el cuarto, dos horas menos cuarto. ¿Cuántos
litros ha arrojado cada grifo?.
Pero no todos los repartos se efectúan de forma directamente proporcional.
Veamos otro tipo de reparto.
Reparto inversamente proporcional
No siempre es posible repartir de forma que le corresponda más al que más
pone o arriesga, veamos un ejemplo.
6. En una carrera se destinan 587.000 pesetas para los tres primeros premios,
que ha de repartirse según los tres mejores tiempos empleados. Estos
tiempos han sido de 26, 28 y 30 minutos. Hallar el premio que le
corresponde a cada corredor.
Evidentemente al corredor que ha tardado 26 minutos (es el ganador) le
corresponde mayor premio que al que ha llegado en tercer lugar, por tanto no
es un tipo de reparto del tipo “a más le corresponde más”.
Repartir de forma inversamente proporcional a 26, 28 y 30 es equivalente a
repartir de forma proporcional a 1/26, 1/28, y 1/30.
Aplicando ahora el método 1 visto en el anterior caso, puede hacerse:
X
1
26
X
1

Y
1
28

Z
1
30

X Y  Z
1

26
 5 . 460 . 000  X =
1
28
1

1
30

587 . 000
587
 5 . 460 . 000 , de donde se deduce que :
5460
5 . 460 . 000  210 . 000 ptas . le correspond en al nº 1
26
26
Y
1
 5 . 460 . 000  Y =
1
5 . 460 . 000  195 .. 000 ptas . le correspond en al nº 2
28
28
Z
1
 5 . 460 . 000  Z =
1
5 . 460 . 000  182 .. 000 ptas . le correspond en al nº 3
30
30
7. Reparte una herencia de 5.780.000 ptas. entre tres hermanos de forma
inversamente proporcional a sus edades que son: 4, 6 y 18 años.
8. Reparte 1560 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 4
9. Descompón 4371 en tres sumandos inversamente proporcionales a 3, 4 y 5
10. Una herencia disponía que se repartiese un capital entre tres personas del
siguiente modo: Antonio recibirá 1.800.000ptas.; Pedro, 2.210.000 y Juan,
2.570.000 ptas. Después de una quiebra el capital se redujo a 394.800 ptas.
¿Cuánto le corresponde a cada uno para que se conserve la
proporcionalidad del reparto?.
11. Tres municipios, A, B y C, deciden construir en común un canal de riego
cuyo importe es de 91 millones de ptas. y deciden que cada uno pague en
razón directa al número hectáreas de regadío que se crean. Si las
hectáreas de regadío previstas son 3, 4 y 6, respectivamente. ¿Cuánto
debe pagar cada municipio?.
12. Una herencia de 600.000 ptas. se reparte entre tres hermanos
proporcionalmente a sus edades. La edad de los menores es de 2 y 5 años,
y el primero cobra 80.000ptas. ¿Cuál es la edad del hermano mayor y
cuánto le correspondió a cada uno?. Comprueba el resultado efectuando el
reparto.
13. Repartir 4.700ptas entre tres muchachos de forma que cada vez que al
primero le des 28, al segundo le das 36 y al tercero 36.
14. Repartir 18.000ptas. entre dos personas de forma que la primera reciba 4/5
de la segunda.
15. Un billete de lotería resulta premiado con un cuarto de millón y es cobrado
por dos personas, correspondiendo 150.000ptas a una y 100.000 a la otra.
¿Si el billete costó 500. ptas. ¿cuánto aportó cada una?
16. En 160Kg. de sulfato de cobre hay 64Kg. de cobre, 32 de azufre y 64 de
oxígeno. ¿Qué cantidad de cada producto hay en 300kg. de sulfato de
cobre?.
Repartos proporcionales- Soluciones
1. 3.000 , 2.400 y 2.000 pts.
2. 10.000, 12.000 y 18.000 Pts.
3. 31.000, 46.500 y 62.000 Pts.
4. 16.250, 21.666´67,18.571´43 y 8512´33 Pts.
5. 2.880, 3.240, 2700, 3.780 litros.
6. Al 1º 210.000, al 2º 195.000 y al 3º 182.000 Pts.
7. 3.060.000, 2.040.000 y 680.000 Pts.
8. 720, 480, y 360.
9. 1.860, 1.395, y 1.116
10. Antonio recibirá 108.000 pts, Pedro 132.600 y Juan 154.200.
11. El pueblo A pagará 21 millones, el pueblo B 28millones, y el pueblo C 42 millones.
12. La edad del mayor es 8 años. El mayor recibe 320.000 Pts, el 2º 200.000 y el más
pequeño 80.000.
13. El 1º recibe 1.316 pts, el 2º 1692 y el 3º 1692.
14. La 1ª recibe 8.000 y la 2º 10.000 Pts.
15. El 1º aportó 300 pts, y el 2º 200.
16. De cobre hay 120 kg, de azufre hay 60 Kg y de oxigeno hay 120 Kg.