Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un

EJERCICIOS DISTRIBUCIONES PROBABILIDAD 1BHU
ABRIL 2011
1.- Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la
probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?
Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La
pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que el segundo elija el mismo número?
P
10
1

 0,1
100 10
Por tanto, la probabilidad de que no piensen el mismo número será:
1
1
9

 0,9
10 10
2.- Extraemos tres cartas de una baraja y anotamos el número de ases.
Haz una tabla con las probabilidades y calcula la media y la desviación típica.
Los posibles valores de xi son 0,1,2,3. La tabla de la distribución de probabilidad es la
siguiente:
Calculamos la media y la desviación típica:
   pi x i  0, 3 
  0, 3
   pi x i2   2  0, 36  0, 09  0, 27  0, 52    0, 52
3.- En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar
inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:
Llamamos I  "Habla ingles", F  "Habla francés".
a Tenemos que hallar P[I  F]:
P I  F   P I   P F   P I  F  
b) P F/ I  
12 1
  0, 25
48 4
48  36  12
72
3

  0, 6
120
120 5
c) P F  no I  
24
1
  0, 2
120 5
4.- Explica para cada una de estas situaciones si se trata de una distribución binomial. En
caso afirmativo, identifica los valores de n y p:
a El 2 de las naranjas que se empaquetan en un cierto lugar están estropeadas. Se
empaquetan en bolsas de 10 naranjas cada una. Nos preguntamos por el número de
naranjas estropeadas de una bolsa elegida al azar.
b) En una urna hay 2 bolas rojas, 3 blancas y 2 verdes. Sacamos una bola, anotamos su
color y la devolvemos a la urna. Repetimos la experiencia 10 veces y estamos
interesados en saber el número de bolas blancas que hemos extraído.
a) Es una distribución binomial con n  10, p  0,02  B 10; 0, 02
b) Es una distribución binomial con n  10, p 
3
3

 B 10, 
7
7

5.- Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa
B hay 6 bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después
extraemos una bola de B.
a ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca?
b ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
Hacemos un diagrama en árbol:
a) P 2ª Bl  
b) P Bl y Bl  
7
7
7


30 15 10
7
30
6.- En un sorteo que se realiza diariamente de lunes a viernes, la probabilidad de ganar es
0,1. Vamos a jugar los cinco días de la semana y estamos interesados en saber cuál es la
probabilidad de ganar 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 días.
a Haz una tabla con las probabilidades.
b Calcula la media y la desviación típica.
a
b
   pi x i  0, 5 
  0, 5
   pi x i2   2  0, 7  0, 25  0, 45  0, 67    0, 67
7.- Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la
probabilidad de que sean:
a) Las dos de oros.
b) Una de copas u otra de oros.
c) Al menos una de oros.
d) La primera de copas y la segunda de oro.
a) P 
10 9
3


 0,058
40 39 52
b) P  2 
10 10 5


 0,128
40 39 39
c) P  1 PNINGUNA DE OROS   1
d) P 
30 29
29 23

 1

 0,442
40 39
52 52
10 10
5


 0,064
40 39 78
8.- En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han
aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos.
Elegimos al azar un alumno de esa clase:
a ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas?
b Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya
aprobado inglés?
c ¿Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"?
Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan:
Llamamos M  "Aprueba matemáticas", I  Aprueba inglés".
10 1
a) P M  I  
  0, 33
30 3
10 5
b) P I / M  
  0, 56
18 9
18 16 3 8
24
8
c) P M   P I  

 


30 30 5 15 75 25
1
8
P M  I   
3 25
Como PM  I   PM   PI , los dos sucesosno son independientes.
9.- Una urna contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 2 verdes. Extraemos una bola, anotamos
su color y la devolvemos a la urna. Si repetimos la experiencia 5 veces, calcula la
probabilidad de sacar:
a Alguna bola verde.
b Menos de dos bolas verdes.
Halla el número medio de bolas verdes extraídas. Calcula también la desviación típica.
Si llamamos x  "número de bolas verdes extraídas", se trata de una distribución binomial con
2
n  5, p 
 0, 2  B 5; 0, 2
10
a) px  0  1 px  0  1 0, 85  0, 672  px  0  0, 672
b)
px  2  px  0  px  1  0, 85  5  0, 2  0, 84  0, 737  px  2  0, 737
Hallamos la media y la desviación típica:
μ  np  5  0, 2  1 bola v erde por términomedio) 

npq 
 1
5  0, 2  0,8  0,89    0,89
10.- Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda
tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.
a ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
Hacemos un diagrama en árbol:
a) PB 
3
3 27


20 16 80
11.- Una variable continua tiene como función de densidad:
4  x 
si x  0, 4

f x   8
0
resto

a) Representa gráficamente f(x).
b) Calcula P  x  2 y P 1  x  2 .
a) La gráfica es la siguiente:
b) El área bajo la curva es 1.
 P  x  2 es el área de un triángulo de base 2 y altura es
1
1
4
P  x  2  P  2  x  4 


2
4
2
P
 x  2 
 Entre 1 y 2 tenemos un trapecio de bases
1
. Por tanto:
4
1
4
3
1
y
y altura 1. Por tanto:
8
4
 3 1
5
   1
5
5
8 4
P 1  x  2 
 8 
 P 1  x  2 
2
2 16
16
12.- La función de densidad de una variable continua, x, viene dada por:
0
x

4
f x  
1
2
0

si x  0
si 0  x  2
si 2  x  3
si x  3
a Represéntala gráficamente.
b) Calcula P  x  2 y P 2  x  4 .
a) La gráfica es la siguiente:
b) El area bajo la curva es 1.
 P  x  2 es el área de un triángulo de base 2 y altura es
1
21 
P  x  2  P 0  x  2 
2
2
2
P
 x  2 
1
. Por tanto:
2
1
2
 P 2  x  4 es el área de un rectángulo de base 1 y altura
P
2  x  4  P 2  x  3  1
1
. Por tanto:
2
1 1
1

 P  2  x  4 
2 2
2
13.- Lanzamos un dado siete veces y vamos anotando los resultados. Calcula la probabilidad
de obtener:
a Algún tres.
b Más de cinco treses.
Halla el número medio de treses obtenidos y la desviación típica.
Si hallamos x  "número de treses obtenidos", se trata de una distribución binomial con n  7,
1
 1
p
 B  7, 
6
 6
7
 5
a) px  0  1  px  0  1     0, 721  px  0  0, 721
 6
b) px  5  px  6  px  7 



6
7
5
1
36
1
7  1  5  7  1 
            7  7  7  7  5  0, 000129  px  5  0, 000129
6  6  6  7  6 
6
6
6
6
Hallamos la media y la desviación típica:
1 7
  1,17    1,17
6 6
1 5
35
npq  7   
 0, 986    0, 986
6 6
36
  np  7 
 
14.- Halla las siguientes probabilidades en una distribución N(0, 1):
a) pz   1, 73
b) p 0, 62  z  1, 34
c) p 1, 2  z  1, 2
a) pz   1, 73  pz  1, 73  1  pz  1, 73  1  0, 9582  0, 0418
b) p 0, 62  z  1, 34  pz  1, 34  pz  0, 62  0, 9099  0, 7324  0,1775
c) p 1, 2  z  1, 2  2pz  1, 2  0, 5  2 0, 8849  0, 5  0, 7698
15.- En una distribución N(0, 1), calcula:
a) pz  1,18
b) pz   2, 1
c) p 0,71  z  1, 23
a) pz  1,18  1  pz  1,18  1  0, 8810  0,1190
b) pz   2,1  pz  2,1  1  pz  2,1  1  0, 9821  0, 0179
c) p 0, 71  z  1, 23  pz  1, 23  pz   0, 71  pz  1, 23  pz  0, 71 
 pz  1, 23  1  pz  0, 71   0, 8907   1  0, 7612  0, 6519
16.- El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado producto sigue una
distribución N(10, 2). Calcula la probabilidad de que ese producto se tarde en hacer:
a) Menos de 7 horas.
b) Entre 8 y 13 horas.
 x  10 7  10 
a) px  7  p 

 pz   1, 5 
2 
 2
 pz  1, 5  1  pz  1, 5  1  0,9332  0, 0668
 8  10 x  10 13  10 
b) p8  x  13  p 


 p 1  z  1, 5 
2
2 
 2
 pz  1, 5  pz  1  pz  1, 5  pz  1 
 pz  1, 5   1  pz  1   0, 9332   1  0, 8413  0, 7745
17.- El peso de una carga de naranjas, en gramos, sigue una distribución N(175, 12).
Calcula la probabilidad de que una naranja elegida al azar pese:
a) Más de 200 gramos.
b) Entre 150 y 190 gramos.
 x  175 200  175 
a) px  200  p 

  pz  2, 08 
12
 12

 1  pz  2, 08  1  0, 9812  0, 0188
 150  175 x  175 190  175 
b) p 150  x  190  p 



12
12
12


 p2, 08  z  1, 25  pz  1, 25  pz  2, 08 
 pz  1, 25  pz  2, 08  pz  1, 25   1  pz  2, 08  
 0, 8944   1  0, 9812  0, 8756
18.- En una distribución N(25, 6), halla el valor de k en cada caso:
a) px  k   0, 8315
b) px  k   0, 0062
k  25 
 x  25 k  25 

a) px  k   p 

 p z 
 0, 8315

6 
6 
 6

k  25

 0, 96  k  0, 96  6  25  k  30, 76
6
k  25 
 x  25 k  25 

b) px  k   p 

 p z 

6 
6 
 6

k  25 

 1  p z 
 0, 0062
6 


k  25
 2, 5
6


k  25 

p z 
 0, 9938
6 

k  2, 5  6  25


k  40
19.- Halla el valor de k en cada caso, sabiendo que z sigue una distribución N(0, 1):
a) pz  k   0, 9319
b) p k  z  k   0, 8472
a) φ  1, 49  0, 9319

k  1, 49
b) p k  z  k   2pz  k   0, 5  2φ k   0, 5  0, 847

 k   0, 9236

k  1, 43
20.- El 7% de los pantalones de una determinada marca salen con algún defecto. Se
empaquetan en caja de 80 para distribuirlos por diferentes tiendas. ¿Cuál es la
probabilidad de que en una caja haya más de 10 pantalones defectuosos?
Si llamamos x  "número de pantalones defectuosos en una caja", entonces x es una
binomial con n  80 ; p  0, 07, en la que hay que calcular px  10.
La calculamos aproximando con una normal:
La media de x es np  80 0,07  5, 6; su desv iacióntípicaes
npq  2, 28.
x es B 80; 0, 07  x' es N  5,6; 2, 28  z es N  0, 1

10, 5  5, 6 
px  10  px '  10, 5  p z 
  pz  2,15 
2, 28 

 1  pz  2,15  1  0, 9842  0, 0158  px  10  0, 0158
21.- Un examen de 100 preguntas admite como respuesta en cada una de ellas dos
posibilidades, verdadero o falso. Si un alumno contesta al azar, calcula la probabilidad
de que acierte más de 60 respuestas.
Si llamamos x  " número de respuestasacertadas", entonces x es una binomial con n  100, p 
en la que tenemos que calcular:
px  60 (La media de x es np  50 . Su desv iacióntípicaes
La calculamos aproximando con una normal:
1

x es B 100, 
2


x ' es N  50, 5  
z es N  0, 1
60, 5  50 

px  60  px '  60, 5  p z 
  pz  2,1 
5


 1  pz  2,1  1  0, 9821  0, 0179  px  60  0, 0179
npq  5 ).
1
,
2