Capítulo 3: Métodos no paramétricos

Comparación de dos grupos independientes
Solución no paramétrica
En capítulo 12: Métodos no paramétricos
Los métodos que hemos visto hasta ahora,
asumen como distribución muestral la
distribución Normal, supuesto que no siempre
se cumple, sin embargo estos métodos
paramétricos son robustos.
¿Pero qué hacemos cuando no se cumple la
normalidad o tenemos muy pocos datos?
1
Opciones:
1. Si hay valores extremos y el tamaño
muestral es pequeño cualquier método de
inferencia es dudoso.
2. A veces podemos transformar los datos
(log es la transformación más usada).
Recordar ejemplo sobre emisión de monóxido de Carbono:
14
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
Desv. típ. = 5.26
2
Desv. típ. = .61
Media = 8.0
Media = 1.89
N = 46.00
0
2.0
6.0
4.0
10.0
8.0
14.0
12.0
18.0
16.0
22.0
20.0
N = 46.00
0
.50
24.0
1.00
.75
Monóxido de Carbono
1.50
1.25
2.00
1.75
2.50
2.25
3.00
2.75
3.25
Log(CO)
¿Qué pasa con el supuesto de Normalidad?
Pruebas de normalidad
a
Monóxido de Carbono
Log(CO)
Kolmogorov-Smirnov
Estadístico
gl
Sig.
.187
46
.000
.104
46
.200*
Estadístico
.842
.970
Shapiro-Wilk
gl
46
46
Sig.
.000
.266
*. Este es un límite inferior de la significación verdadera.
a. Corrección de la significación de Lilliefors
2
Gráfico Q-Q normal de Log(CO)
3
2
2
1
1
0
0
Normal esperado
Normal esperado
Gráfico Q-Q normal de Monóxido de Carbono
3
-1
-2
-3
-10
0
Valor observado
10
20
-1
-2
-3
30
.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Valor observado
3
3. También existen métodos paramétricos
que asumen otras distribuciones, por
ejemplo para el tiempo que demora en
fallar un producto se usa una distribución
de Weibull (ver diagrama).
4
5
4. Finalmente, existen métodos que no
asumen una distribución, también
llamados de distribución libre o no
paramétricos.
6
Los métodos no paramétricos son la manera
más directa de solucionar el problema de falta
de normalidad. Estos métodos son muy simples
de usar y están disponibles en SPSS.
Pero tienen dos desventajas. Primero que tienen
menos poder* que las equivalentes soluciones
paramétricas.
Además, los tests no paramétricos NO
contestan a la misma pregunta. Por ejemplo si
queremos hacer un test para docimar sobre el
centro de la distribución, el test no paramétrico
establece la hipótesis en términos de la
mediana y el test paramétrico usa la media.
*
Se define poder o potencia del test como la capacidad del test para
detectar hipótesis nulas falsas. Potencia = 1-
7
Test
Paramétrico
Test t simple
Test no
Problema
paramétrico
Una muestra
Test del signo
de rangos de
Wilcoxon
Muestras
Test t simple
Test del signo
pareadas
de rangos de
Wilcoxon
Dos muestras Test t para
Test de suma
independientes muestras
de rangos de
independientes Wilcoxon
Más de dos
ANOVA de un Test de
muestras
factor
Kruskal-Wallis
independientes
Diseño en
ANOVA con Ji cuadrado de
bloques
bloque
Friedman
aleatorios
Existen dos grandes tipos de test no
paramétricos, los que usan cuentas o números y
los que usan rangos.
8
Dos muestras independientes
Ejemplo:
Se
tienen
dos
parcelas
experimentales. ¿Dañará la presencia de maleza
la producción de maíz?
Malezas por
metro cuadrado
Producción (en kg)
0
166,7 172,2 165,0 176,9
3
158,6 176,4 153,1 156,0
9
Hipótesis
En este problema del maíz la hipótesis nula es que la
maleza no afecta la producción de maíz.
Si estamos dispuestos a asumir que la producción de
maíz es Normal, o si tenemos un tamaño muestral
razonablemente grande, usamos el test t para medias
independientes. Las hipótesis son:
H 0 : 1  2
H1 : 1  2
Cuando la distribución no es Normal, podemos reescribir las hipótesis en términos de medianas:
H 0 : mediana1  mediana2
H1 : mediana1  mediana2
¿Qué tipo de test será el adecuado en este caso?
Revisemos es supuesto de normalidad:
10
Pruebas de normalidad
a
Producción
Kolmogorov-Smirnov
Estadístico
gl
Sig.
.241
4
.341
4
Maleza x mt2
0
3
Shapiro-Wilk
Estadístico
gl
.938
4
.819
4
.
.
Sig.
.640
.140
a. Corrección de la significación de Lilliefors
Gráfico Q-Q normal de Producción
para maleza= 0
0.9
Normal esperado
0.6
0.3
0.0
-0.3
-0.6
-0.9
166
168
170
172
174
176
178
Valor observado
Gráfico Q-Q normal de Producción
para maleza= 3
0.9
Normal esperado
0.6
0.3
0.0
-0.3
-0.6
-0.9
150
155
160
165
170
175
180
Valor observado
11
Test de suma de rangos de Wilcoxon*
Transformación a rangos
Ordenamos los datos de menor a mayor:
Producción 153,1 156,0 158,6 165,0 166,7 172,2 176,4 176,9
1
2
3
7
Rango
4
5
6
8
Pasar de los datos a sus rangos, es equivalente a
transformar los datos. Los rangos retienen
solamente en orden de las observaciones y no
el valor numérico.
Si la presencia de maleza afecta la producción
de maíz esperamos que los rangos más
pequeños sean de ese grupo. Podemos
comparar la suma de los rangos de los dos
tratamientos:
*
Este test fue creado por el químico Frank Wilcoxon (1892-1965) en
1945.
12
Tratamiento Suma de rangos
Sin maleza
23
Con maleza
13
Por definición la suma de rangos de 1 a 8 es:
n(n  1) 8  9

 36
2
2
Por lo tanto podemos calcular la suma en uno
de los grupos y el otro tiene que ser la
diferencia (36- 23=13)
Si no hay diferencia entre los tratamientos
esperamos que los rangos sean la mitad en cada
grupo, es decir 18.
13
Test de suma de rangos de Wilcoxon
Se tiene una m.a.s. de tamaño n1 de una
población, y una segunda m.a.s. de tamaño n2
de otra población. Hay n observaciones en
total, donde n = n1 + n2. Se calcula el rango de
las n observaciones.
El test estadístico será la suma W de los rangos
de grupo con menor suma de rangos, este será
el estadístico de suma de rangos de
Wilcoxon.
Si las dos poblaciones tienen la misma
distribución continua, entonces W tiene media:
n1 (n  1)
W 
2
y desviación estándar:
n1n2 (n  1)
W 
12
14
El test de suma de rangos de Wilcoxon rechaza
la hipótesis nula de que las dos poblaciones
tienen la misma distribución cuando la suma de
rangos W está lejos de su media.
En el ejemplo del maíz queremos docimar:
H0: no hay diferencias en la distribución de la
producción de maíz en los dos grupos
versus
H1: la producción es mayor en el tratamiento
sin malezas
15
Nuestro test estadístico W=13
Bajo Ho W tiene media:
W 
4(8  1)
 18
2
y desviación estándar:
4  4(8  1)
W 
 3,4641
12
Valor p = P(W  13| H0 )
Necesitamos conocer la distribución muestral
de W bajo la hipótesis nula.
Existen tablas que dependen de n1 + n2.
Veamos qué nos da SPSS:
16
Estadísticos de contraste b
U de Mann-Whitney
W de Wilcoxon
Z
Sig. asintót. (bilateral)
Sig. exacta [2*(Sig.
unilateral)]
Producción
3.000
13.000
-1.443
.149
a
.200
a. No corregidos para los empates.
b. Variable de agrupación: Maleza x mt2
La salida de SPSS nos da el valor p exacto para la
distribución muestral de W. El valor p para la hipótesis
unilateral es 0,1 (valor p exacto según SPSS).
Si comparamos con el equivalente test paramétrico
t=-1,554, valor p=0,171/2=0,0855
17
Prueba de muestras independientes
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
F
Producción
Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
1.256
Sig.
.305
Prueba T para la igualdad de medias
t
gl
Sig. (bilateral)
Diferencia
de medias
Error típ.
la diferen
1.554
6
.171
9.1750
5.9
1.554
4.495
.187
9.1750
5.9
18
La aproximación Normal
El estadístico de suma de rangos W se aproxima a la
distribución Normal cuando n es grande. Entonces
podemos formar un test z para estandarizar a W:
z
W  W
W
El valor de z en el ejemplo del maíz nos da:
z
13  18
 1,44
3,4641
Esperamos rechazar para valores grandes de W si la
hipótesis alternativa es verdadera, por lo que el valor p
aproximado es:
Valor p  P(Z  1.44)  1  0,9251 0,0749
SPSS da el valor p exacto para W y el asintótico o
aproximado que utiliza la aproximación a la Normal.
19
Además SPSS nos entrega el estadístico U de MannWhitney, este es equivalente al test de suma de rangos
de Wilcoxon.
20
Empates
La distribución exacta de test de Wilcoxon para suma de
rangos se obtiene asumiendo que todas las
observaciones tienen diferentes valores y por lo tanto su
rango. En la práctica ocurre que muchas veces tenemos
valores iguales. Lo que hacemos es asignar el valor
promedio del rango que ocupan.
Ejemplo:
Observación
Rango
153
1
155
2
158
3,5
158
3,5
161
5
164
6
La distribución exacta del test de Wilcoxon se aplica a
datos sin empates, por lo que deberemos ajustar la
desviación estándar en la presencia de empates.
21
Ejemplo:
La comida que se vende en eventos al aire libre puede
ser menos segura que la de restoranes porque se prepara
en lugares no acondicionados y a menudo por
voluntarios. ¿Qué pensará la gente acerca de la
seguridad de la comida en ferias? Un estudio preguntó a
asistentes a este tipo de eventos:
¿Qué tan a menudo piensa usted que se enferma la gente
que consume comida en eventos al aire libre?
Las respuestas posibles eran:
1 = raramente
2 = de vez en cuando
3 = a menudo
4 = muy frecuentemente
5 = siempre
En total 303 personas respondieron a la pregunta. De
estos 196 eran mujeres y 107 hombres.
¿Existe evidencia que hombres y mujeres difieren en su
percepción acerca de la seguridad en la comida de ferias
al aire libre?
22
Tabla de contingencia Sexo * Respuesta
Recuento
Respuesta
Sexo
F
M
Total
raramente
13
22
35
de vez en
cuando
108
57
165
a menudo
50
22
72
frecuente
mente
23
5
28
siempre
2
1
3
Total
196
107
303
Comparamos los porcentajes por filas:
Tabla de contingencia Sexo * Respuesta
% de Sexo
Respuesta
Sexo
Total
F
M
raramente
6.6%
20.6%
11.6%
de vez en
cuando
55.1%
53.3%
54.5%
a menudo
25.5%
20.6%
23.8%
frecuente
mente
11.7%
4.7%
9.2%
siempre
1.0%
.9%
1.0%
Total
100.0%
100.0%
100.0%
¿Es la diferencia entre sexos significativa?
H0: hombres y mujeres no difieren en sus respuestas
H1: uno de los dos sexos da sistemáticamente mayores
respuestas que el otro
La hipótesis alternativa es de dos colas.
23
Como las respuestas posibles son sólo 5 hay muchos
empates.
Veamos la salida de SPSS:
Rangos
Respuesta
Sexo
F
M
Total
N
196
107
303
Rango
promedio
163.25
131.40
Suma de
rangos
31996.50
14059.50
Estadísticos de contraste a
U de Mann-Whitney
W de Wilcoxon
Z
Sig. asintót. (bilateral)
Respuesta
8281.500
14059.500
-3.334
.001
a. Variable de agrupación: Sexo
Tenemos suficiente evidencia para concluir que existen
diferencias significativas entre la percepción acerca de
la seguridad de la comida al aire libre entre hombres y
mujeres.
24
Como el tamaño de la muestra es grande podríamos
haber usado el test paramétrico:
Prueba de muestras independientes
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
F
Respuesta
Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
3.031
Sig.
.083
Prueba T para la igualdad de m
t
gl
Sig. (bilateral)
Diferencia
de medias
3.361
301
.001
.33
3.365
218.856
.001
.33
Pero en este caso, tenemos argumentos a favor del test
no paramétrico. El test paramétrico asume que las
respuestas tienen valor numérico y en realidad en una
escala cualitativa. Usar rangos es más apropiado en este
caso.
25
E
la
Tipo de aceite
Rangos
Absorción
Tipo de aceite
Animal
Vegetal
Total
Rango
promedio
15.29
9.71
N
12
12
24
Suma de
rangos
183.50
116.50
Estadísticos de contraste b
U de Mann-Whitney
W de Wilcoxon
Z
Sig. asintót. (bilateral)
Sig. exacta [2*(Sig.
unilateral)]
Absorción
38.500
116.500
-1.936
.053
a
.052
a. No corregidos para los empates.
b. Variable de agrupación: Tipo de aceite
Prueba de muestras independientes
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
F
Absorción
Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
Sig.
.310
.583
Prueba T para l
t
gl
Sig. (bilateral)
1.928
22
.067
1.928
21.694
.067
26
D
de