Elementos de Probabilidad y Estadística Problema Semanal 12 Puntos sobre una Circunferencia

Elementos de Probabilidad y Estadística
Problema Semanal 12
Puntos sobre una Circunferencia
Problema:
Escogemos tres puntos A, B, C, al azar sobre una circunferencia de radio 1. ¿Cuál es la
probabilidad de que el triángulo resultante sea acutángulo (con tres ángulos agudos)?
¿Cuál es la probabilidad de que caigan en un semicírculo?
Solución:
Podemos fijar uno de los puntos en la circunferencia, digamos C. La posición de A y B está
definida por los arcos  y  que se extienden a ambos lados de C y sabemos que  +  <
2. Para que los ángulos del triángulo sea agudos es necesario que ninguno de estos arcos
sea mayor que : 0 <  < , 0 <  < , y su suma no puede ser menor que , ya que esto
haría el ángulo C obtuso, de modo que  +  > . Si representamos  y  en coordenadas
rectangulares tenemos el siguiente diagrama:
2

0

2
El triángulo mayor es la intersección de las regiones 0 < , 0 < , y  +  < 2. El triángulo
amarillo representa la región ‘favorable’ al primer problema, y cómo su área es la cuarta
parte del área total, la probabilidad que buscamos es 1/4.
Por otro lado, si el triángulo no es acutángulo, entonces tiene un ángulo obtuso, porque la
otra alternativa, que el rectángulo, tiene probabilidad 0. Para ver esto observamos que la
probabilidad de que dos de los tres puntos seleccionados al azar sean los extremos de un
diámetro, es cero. Por lo tanto la probabilidad de que el triángulo tenga un ángulo obtuso es
3/4. Ahora bien, un triángulo sobre una circunferencia tiene un ángulo obtuso si y sólo si
los tres puntos están en un semicírculo. Por lo tanto la respuesta a la tercera pregunta es 3/4.