Ejemplo 12

UNIDAD IV APLICACIÓN E INTERPRETACIÓN DE LA DERIVADA.
OBJETIVO TERMINAL
Relacionar la derivada con el concepto de cambio y desarrollar diferentes aplicaciones donde la
herramienta fundamental es la derivada. Aplicaciones tales como: La pendiente de la recta
tangente a una curva, costo e ingreso marginal, velocidad y aceleración instantánea, máximos y
mínimos relativos, puntos de inflexión.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS








Asociar la razón de cambio instantánea de un modelo matemático con los conceptos de
velocidad y aceleración, e interpretar la derivada como una razón de cambio.
Desarrollar la idea de línea tangente a una curva y su relación con la derivada de dicha curva.
Esbozar la gráfica de una función usando la información obtenida de la primera y segunda
derivada.
Encontrar valores óptimos partiendo de un problema para modelos matemáticos mediante la
información obtenida en la primera y segunda derivada.
Asociar la razón de cambio instantánea de una función al concepto de velocidad e interpretar la
derivada como una razón de cambio instantáneo.
Desarrollar el concepto marginal y su relación con la derivada.
Esbozar la gráfica de una función utilizando la técnica de la primera y de la segunda derivada.
Modelar situaciones que impliquen maximizar o minimizar una función, para encontrar
referentes que faciliten la toma de decisiones.
PRUEBA INICIAL
1. Si la función de costo para la producción de q unidades de cierto producto es c(q) , entonces
2.
3.
4.
5.
6.
su derivada c ' ( q ) , se llama y se interpreta como, explique.
Explique la diferencia entre el costo de producir una unidad adicional y el costo de producir una
unidad.
Defina que es punto crítico y un punto de inflexión.
Explique la diferencia (si la hay) entre un máximo relativo y un máximo absoluto.
Explique que es una función objetivo cuando se habla de optimización.
en cálculo la palabra cambio ó razón de cambio se relacionaron. Explique.
TEMAS
INTERPRETACIÓN Y APLICACIONES DE LA DERIVADA.
1. APLICACIONES EN GEOMETRÍA: La derivada como la pendiente de la recta tangente a una
curva en un punto conocido.
Recta tangente es una recta que toca una curva en un solo punto; como lo muestra la
figura3.1.
Recta
tangente
Gráfica de
y  f (x)
FIGURA 3.1
Es posible demostrar que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto se obtiene
derivando la curva y = f(x).
Lo que estamos afirmando es lo siguiente:
m  f ' ( x) : La pendiente en cualquier punto se obtiene derivando el modelo matemático f(x).
Ejemplo1:
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva:
x=2
y  3x 2  5x  4 en el punto donde
El procedimiento a seguir es:
1. Debemos conocer la y del punto; para ello reemplazamos la x en el modelo:
Para x  2,
y  f (2)  3(2) 2  5(2)  4  12  10  4  2
El puntotiene coordenadas 2,2
2. Para hallar la pendiente derivamos la función y reemplazamos el valor de x.
f ' ( x)  6 x  5
m  f ' (2)  6(2)  5  7
m7
3. Con el punto y la pendiente encontramos la ecuación de la recta tangente utilizando la
ecuación punto pendiente de la línea recta: y  yconocida  m x  xconocida


y  (2)  7( x  2)
y  7 x  14  2
y  7 x  16
Esta es la ecuación de la recta tangente a la curva,
donde x = 2.
y  f ( x)  3x 2  5x  4 en el punto
Queda como ejercicio efectuar las dos gráficas sobre un mismo plano cartesiano.
figura3.2 muestra ambas gráficas.
La
Ejemplo2:
Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva
punto donde x = -4.
Debemos hallar primero la “y” del punto:
Para
x  4,
y  25  (4) 2  25  16  9  3
x  4,
y3
y  f ( x)  25  x 2 en el
Para hallar la pendiente, derivamos la función y reemplazamos el valor de “x” en la derivada.
y  f ( x)  25  x2  (25  x2 )1 / 2
1 / 2 1
1
x
x
 2 x   x25  x2 1 / 2  
y'  25  x 2 

1
/
2
2
25  x 2
25  x2 
(4)
4
m  f ' (4)  

 m  4/3
2
9
25  (4)
La ecuación de la recta tangente es:
y 3 
4
4
16
4
25
( x  (4))  y  x   3  y  x 
3
3
3
3
3
Para hallar la pendiente de la recta normal recordemos que cuando dos ecuaciones son
normales o perpendiculares, el producto de sus pendientes es igual a menos uno, es decir:
m1 * m2  1
Podemos decir que la pendiente de la recta normal es m1, la ecuación queda:
4
* m 2  1
3
Despejando m2 que es la pendiente de la recta perpendicular:
m2  1  4 / 3  m2  3 / 4
Para hallar la ecuación de la recta normal (ó perpendicular) tenemos la siguiente información:
m  3 / 4, x  4 
y3
Reemplazando estos valores en la ecuación punto pendiente de la línea recta:
3
3
3
y  3   ( x  (4))  y   x  3  3  y   x
4
4
4
4
25
La ecuación de la recta tangente es: y  x 
3
3
3
La ecuación de la recta normal es: y   x
4
Ejemplo3
Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva y  f ( x) 
10
, en el
5 x
punto donde x = 1.
Ejemplo4
Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva:
el punto donde x = 3.
Primero hallamos la y del punto:
y  f ( x)  x 2  2 x  6 en
Para x  3, y  f (3)  3  2(3)  6  9  6  6  3  (3,3)
2
Luego derivamos para hallar la pendiente:
f ' ( x)  2 x  2  m  f ' (3)  2(3)  2  4
m4
Luego hallamos la ecuación de la recta tangente:
y  (3)  4( x  3)  y  4 x  12  3
y  4 x  15
Para hallar la ecuación de la recta normal, primero hallamos la pendiente de dicha recta.
Cuando dos rectas son normales o perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a –
1.
m * m  1 . Despejando queda: m 
1
m
Reemplazando:
m 
1
1
 m  
4
4
Con esta pendiente y el punto (3,- 3), encontramos la ecuación de la recta normal:
1
1
3
1
9
y  (3)   ( x  3)  y   x   3  y   x 
4
4
4
4
4
La ecuación de la recta tangente es: y  4 x  15
1
9
La ecuación de la recta normal es: y   x 
4
4
Queda como ejercicio graficar sobre un mismo plano cartesiano las tres figuras.
FIGURA 3.2. Gráfica de
y  f ( x)  3x 2  5x  4 y de la recta tangente y  7 x  16 en x = 2
TEOREMA:
Si una función f (x ) es diferenciable en un número x  a , entonces la función es continua
en x  a .
El inverso de este teorema no es verdadero. No toda función continua en x  a , es
diferenciable en x  a .
Esto se puede ilustrar en la figura.
COMO DEJA DE SER DIFERENCIABLE UNA FUNCIÓN.
En la figura a) se puede ver que la función es continua en x  a , pero en dicho punto la
gráfica tiene una esquina, esto quiere decir que la pendiente de la recta tangente no existe
en dicho punto, por lo tanto la derivada no existe en x  a .
En la figura b) se observa una discontinuidad por salto en x  a , por lo tanto la función no
es diferenciable en x  a .
En la figura c) la recta tangente en x  a , es vertical, quiere decir que la función no es
diferenciable en x  a , pero podemos ver que la función es continua en x  a .
2. APLICACIONES EN ECONOMÍA (RAZON DE CAMBIO): Las derivadas pueden representar
cantidades como la razón a la cual crece una población, la velocidad de un objeto en
movimiento, el costo marginal para un fabricante, la tasa de inflación y la razón a la cual se
agotan los recursos naturales, entre otros.
En esta sección analizaremos la derivada como el modelo matemático para el ingreso marginal
y la derivada como el modelo matemático para el costo marginal.
COSTO MARGINAL:
En economía el costo marginal se define como el incremento que se presenta en el costo
cuando se fabrica una unidad adicional del producto, es decir, el valor que cuesta producir una
unidad adicional a las unidades que se tenía planeado producir.
Sí, tenemos que, c(q) es el modelo matemático para el costo total o simplemente el modelo
de costo cuando se producen q unidades de cierto artículo; el modelo matemático para el
costo marginal se obtiene derivando el modelo de costo.
Modelo de costo m arginal  c' (q) .
Analizando un poco más, desde la derivada, el concepto de costo marginal, podemos decir
que el costo marginal es el costo que resulta de cambiar en una unidad el número de unidades
a producir; en otras palabras cual es el cambio en el costo cuando se cambia en una unidad
el número de unidades a producir.
Muchas veces lo que se conoce es el modelo para el costo promedio denotado por
c(q) . En
este caso el modelo de costo se obtiene como: c(q)  q * c(q)
INGRESO MARGINAL:
r (q) .Es el modelo matemático para el ingreso, en este caso
Si tenemos también que.
cuando se venden q unidades de cierto artículo; el modelo matemático para el ingreso
marginal se obtiene derivando el modelo de ingreso.
Modelo de ingreso m arginal  r ' (q)
El ingreso marginal, en economía,
vende una unidad adicional.
se define como el ingreso que se obtiene cuando se
Ejemplo1.
El modelo matemático para el costo promedio en la producción de “q” unidades de un artículo
esta dado por:
c(q)  500q  4000
10
$.
q
a. Determine el modelo matemático para el costo marginal.
Para hallar el modelo de costo marginal primero debemos hallar el modelo de costo. El
modelo de costo promedio y el modelo de costo están relacionados por la siguiente
fórmula:
c(q ) 
c(q)
q
Despejando nos queda.
c(q)  c(q) * q  (500q  4000
10
10
) * q  500q 2  4000q  * q
q
q
c(q)  500q 2  4000q  10 $
c' (q)  1000q  4.000 .
Modelo de costo marginal.
b. Determine el costo, el costo promedio y el costo marginal para una producción de 500
unidades, interprete los resultados obtenidos.
Nos piden hallar: c(500); c(500); c' (500) . Para ello reemplazamos en cada modelo.
c(500)  500(500) 2  4000(500)  10  127'000010$
10
 254000,02 $
500
c' (500)  1000(500)  4000  504000$
c(500)  500(500)  4000
Quiere decir que producir 500 unidades cuesta $127’000010; el costo de cada unidad es
en promedio $254000,2; y si se desea producir una unidad adicional a las 500, esa sola
unidad tendrá un costo de $504000
c.
Si producir una unidad adicional tiene un costo de $ 74000, ¿De cuánto es la producción?
Debemos igualar el modelo de costo marginal a 74000 y despejar “q".
74000 1000q  4000
q  70
Determine cuanto cuesta cada unidad en este caso.
Ejemplo2:
El modelo para la demanda o precio p(q) en la venta de q unidades de cierto artículo esta dado
por:
p(q)  150  3q $(miles) . Determine el ingreso marginal cundo se venden 15 unidades del
producto.
Para hallar el ingreso marginal debemos partir del modelo de ingreso que no lo conocemos. El
ingreso y el precio se relacionan por la siguiente ecuación: r (q)  p(q) * q
r (q)  (150  3q) * q  150q * 3q 2 $(m iles)
r ' (q)  150  6q $(m iles)
r ' (15)  150  6(15)  60 $(m iles)  60000$
Cundo se vende una unidad adicional a las 15 se obtiene un ingreso de $60000.
Si el ingreso marginal es de 108.000 $ Estime cuantas unidades fueron vendidas.
108.000$ = 108 $(miles). Que corresponde al dato del ingreso marginal, igualamos este valor
al modelo de ingreso marginal.
150  6q  108  150  108  6q 
42
 q  q  7 Unidades
6
Ejemplo3:
El modelo de costo en cierta fábrica esta dado por: c(q)  300q  20q  600
Determine el costo marginal en la producción de 20 unidades del producto.
Nos piden hallar c' (20) .
2
$
c' (q)  600q  20
c' (20)  600(20)  20  12020$
Producir la unida adicional número veintiuno le cuesta a la fábrica $12.020.
Ejemplo4:
El índice de precios al consumidor (IPC) de una economía esta dado por el modelo:
y  IPC(t )  0,2t 3  3t 2  100 $. Donde t es el tiempo en años y t = 0 corresponde al año
de 1995. Para 0  t  10
a. Con que razón estaba cambiando el IPC para el año 2000. Rta: $15 por año
b. Con que razón cambia el IPC para el año 2015.
3. APLICACIONES EN FÍSICA (RAZON DE CAMBIO): La derivada como el modelo matemático
de velocidad, la derivada como el modelo matemático de aceleración.
Si un objeto cambia de posición para poderlo hacer debe desarrollar una velocidad. Por esto
se define la velocidad como un cambio en la posición del objeto. Y en cálculo siempre que
hablemos de cambio, estamos pensando o hablando de derivada. El cambio en la posición
(que es lo que llamamos velocidad) se obtiene derivando el modelo de posición.
Si se conoce el modelo de posición s (t ) de un objeto que se mueve a lo largo de un eje
coordenado; la velocidad se obtiene derivando el modelo de posición.
v(t )  s' (t ) modelo de velocida
Así mismo cuando se cambia la velocidad sé esta produciendo una aceleración.
a(t )  v' (t )  s' ' (t ) modelo de aceleración
Donde t es el tiempo. (Segundos, horas, minutos). El tiempo se dará en segundos a no ser
que se diga lo contrario.
s (t ) . Tiene unidades de distancia (metros, kilómetros, centímetros)
v(t ) . Tiene unidades de distancia dividido unidades de tiempo.
a(t ) . Tiene unidades de distancia dividido unidades de tiempo al cuadrado.
Ejemplo1:
El modelo de posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje coordenado esta dado
por:
s(t )  3t 2  5 m
a. Determine modelo de velocidad.
v(t )  s' (t )  6t m s
b. Determine modelo de aceleración.
a(t )  v' (t )  6 m s 2
c.
Determine posición de reposo. Esta se obtiene con s(0) y es igual a 5 metros.
d. Determine velocidad inicial. Esta se obtiene hallando v(0) y es igual a 0 metros / segundo
e. Posición, velocidad y aceleración después de 5 segundos.
s (5)  3(5) 2  5  80m
v(5)  6(5)  30 m s
a (5)  6 m s 2
Ejemplo2:
Un objeto se mueve de acuerdo al modelo y  s(t )  16t  1 en metros
Calcule: Posición, velocidad y aceleración después de 1segundo.
3
s(1)  16(1) 3  1  17m
v(t )  s ' (t )  48t 2  v(1)  48(1) 2  48 m s
a(t )  v' (t )  96t  a(1)  96(1)  96 m s 2
Ejemplo3:
Un camión recorre una distancia de w kilómetros en t horas dada por el modelo matemático:
w(t )  10t 2  5t
Obtenga: Posición, velocidad y aceleración después de 3 horas.
Ejemplo4:
Un objeto se mueve de acuerdo al modelo: y  S (t )  2t
a. Determine en que tiempo la velocidad es igual a cero.
3
 3t 2  36t  120 m
dy
 6t 2  6t  36  v(t )  0  6t 2  6t  36  0
dt
t  3s  t  2s
v(t ) 
La velocidad se hace cero en t = 2 segundos.
b. ¿Qué distancia ha recorrido el objeto desde que se empezó a mover hasta que se detiene?
S (2)  S (0)
Para t = 2, y  S (2)  2(2)  3(2)  36(2)  120=164m
Para t = 0, y = S(0) = 120m
La distancia recorrida es de 164 – 120 = 44m
¿Cuál es la posición del objeto en el momento en que se detiene?
S(2) = 164m.
3
c.
2
4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO:
a, b y diferenciable en su interior, es
decir la derivada existe para cualquier x en el intervalo a, b , entonces existe al menos un
número c en a, b tal que:
Si una función f es continua en un intervalo cerrado
f (b)  f (a )
 f ' (c )
ba
Lo que es equivalente a:
f (b)  f (a)  f ' (c) * b  a 
Ejemplos:
1. Encuentre el número c, garantizado por el teorema del valor medio, para
en el intervalo
1, 4 .
f ( x)  2 x ,
f ( x)  2 x  2x1/ 2
1
1
f ' ( x)  2  x 1 / 2  x 1 / 2 
x
 2
El teorema del valor medio dice que:
f (4)  f (1)
2 4 2 1
1
2 * 2  2 *1 1
2
1
3
 f ' (c) 



 
  c
4 1
3
3
3
2
c
c
c
32
9
 c   2.25
2
4
2
3
2
2. Sea f ( x)  x  x  x  1 en el intervalo  1, 2 . Encuentre todos los números que
c
satisfagan las conclusiones del teorema del valor medio.
Solución
f ' ( x)  3x 2  2x  1
Se debe cumplir que:
f (2)  f (1)
 f ' (c )
2  (1)


(2) 3  (2) 2  (2)  1  (1) 3  (1) 2  (1)  1
 3(c) 2  2(c)  1
3
8  4  2 11111
3
 3c 2  2c  1   3c 2  2c  1  1  3c 2  2c  1
3
3
2
2
3c  2c  1  1  3c  2c  2  0
Al solucionar esta ecuación resulta:
c1  0.55  c2  1.22
Ambos resultados se encuentran en
c
2  4  24
que corresponde a:
6
 1, 2
5. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
M2
M1
Gráfica de una
y  f (x)
función
P1
P2
m1
m2
FIGURA3.3
La figura 3.3 muestra la gráfica de una función y  f (x) cualquiera.
Los puntos M 1 y M 2 son los máximos relativos de la función y  f (x) . Posiblemente no
sean los únicos valores máximos de la función.
Los puntos m1 y m2 son los mínimos relativos de la función. No necesariamente son los
únicos.
Los puntos M1 , M 2, m,1m2, p1 , p2 ...Se llaman los puntos críticos de la función y  f (x) .
Podemos ver que en los puntos críticos M1 , M 2, m,1m2 la recta tangente es horizontal; lo que
es lo mismo en algunos puntos críticos la pendiente tiene como valor cero.
NOTA: Los puntos
M1 , M 2, ...,m,1m2, ... También reciben el nombre de extremos locales.
PUNTO CRÍTICO: Es un punto donde sucede algo en una función, como por ejemplo, la
derivada no existe o la derivada es igual a cero.
Hay puntos donde también existe un corte en la gráfica de la función, hay un cambio de
concavidad.
A nosotros nos interesan los puntos críticas donde la derivada vale cero, ya que estos puntos
son candidatos a máximos o a mínimos.
También nos interesan los puntos donde hay cambio de concavidad, es decir los puntos de
inflexión.
También podemos ver de la gráfica que en un máximo el modelo abre hacia abajo, es decir,
es cóncavo hacia abajo. La concavidad tiene que ver con el signo de la segunda derivada. En
conclusión la segunda derivada evaluada en un máximo es negativa.
Los puntos críticos M1 , M 2, m,1m2 , Son los puntos que nos interesa determinar.
Así mismo en un mínimo el modelo abre hacia arriba, el modelo en un mínimo es cóncavo
hacia arriba. La segunda derivada evaluada en un mínimo tiene como resultado signo positivo.
También podemos ver de la figura 3.3 que a la izquierda de un máximo el modelo matemático
es creciente y a la derecha del máximo el modelo es decreciente. Y a la izquierda de un
mínimo el modelo matemático es decreciente y a su derecha el modelo es creciente. Y
también que entre un máximo y un mínimo el modelo es decreciente y entre un mínimo y un
máximo el modelo es creciente.
Se dice que un modelo es creciente cundo al aumentar la x la y también aumenta.
Se dice que un modelo es decreciente cuando al aumentar la x la y disminuye.
Todo la anteriormente dicho se fundamenta con los siguientes teoremas:
TEOREMA I:
Sea y  f (x) una función continua en un intervalo I y diferenciable en todo punto interior
de I.
i)
Si f ' ( x)  0 para todo x en el interior de I, entonces, y  f (x) es
creciente en I.
ii)
Si f ' ( x)  0 para todo x en el interior de I, entonces, y  f (x) es
decreciente en I.
TEOREMA II: TEOREMA DE CONCAVIDAD.
Sea y  f (x) una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto I
i)
Si f ' ' ( x)  0 para todo x de I, y  f (x) es cóncava hacia arriba en I
ii)
Si f ' ' ( x)  0 para todo x de I, y  f (x) es cóncava hacia abajo en I
TEOREMA III: PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS LOCALES.
Sea f (x ) una función continua sobre un intervalo abierto (a, b) que contenga al punto
crítico c.
i)
Si f ' ( x)  0 para todo x  a, c  y f ' ( x)  0 para todo x  b, c  ,
entonces el punto (c, f (c)) es un valor máximo local o relativo de f (x ) .
ii)
iii)
f ' ( x)  0 para todo x  a, c  y f ' ( x)  0 para todo x  b, c  ,
entonces el punto (c, f (c)) es un valor mínimo local o relativo de f (x ) .
Si f ' ( x) tiene el mismo signo a ambos lados de c, entonces el
punto (c, f (c)) no es un extremo local de f (x ) .
Si
TEOREMA IV: PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS LOCALES.
Sean f ' ( x)  f ' ' ( x) dos funciones que existen para cada punto, en un intervalo abierto
(a, b) que contenga al punto crítico c. Suponga que f ' (c)  0 .
i)
Si f ' ' (c)  0 , el punto (c, f (c)) es un mínimo local de f (x ) .
ii)
Si f ' ' (c)  0 , el punto (c, f (c)) es un máximo local de f (x ) .
PASOS PARA DETERMINAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA
FUNCIÓN.
1. Derivamos.
2. Igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación resultante. Los valores obtenidos
son los puntos críticos del modelo. Sí la ecuación resultante no tiene solución o se llega a
una afirmación falsa quiere decir que el modelo no tiene puntos críticos.
3. Obtenemos la segunda derivada.
4. Reemplazamos cada punto crítico en la segunda derivada. Se pueden presentar cuatro
opciones.
a. f ' ' ( xcrítico )  0 . xcrítico es máximo relativo
La segunda derivada evaluada en el punto crítico sea negativa; en este caso el punto
crítico corresponde a un máximo.
b. f ' ' ( xcrítico )  0 . x crítico es mínimo relativo
c.
La segunda derivada evaluada en un punto crítico sea positiva; en este caso el punto
crítico corresponde a un mínimo.
f ' ' ( xcrítico )  0 .
La segunda derivada evaluada en el punto crítico sea igual a cero; en este caso no se
puede afirmar nada.
d. f ' ' ( xcrítico ) no exista .
La segunda derivada evaluada en el punto crítico no exista; El punto crítico no
corresponde ni a un máximo ni a un mínimo; en este caso es posible que el punto
crítico corresponda a una asíntota vertical.
5. Si se desea obtener máximos y mínimos absolutos, se debe indicar un intervalo; para
determinar cual es el máximo absoluto y el mínimo absolutos en dicho intervalo, se debe
evaluar en el modelo los puntos críticos y los extremos del intervalo. El mayor valor será el
máximo absoluto, el menor valor será el mínimo absoluto.
Ejemplos: Determine los máximos y mínimos de las siguientes funciones.
1.
y  f ( x)  3x 2  42x  34
R : x  7 min.
Derivando: f ' ( x)  6 x  42
Igualando acero y resolviendo la ecuación: 6 x  42  0  6 x  42  x 
x  7 punto crítico
42
x7
6
Obteniendo la segunda derivada: f ' ' ( x)  6
Reemplazando el punto crítico en la segunda derivada: f ' ' (7)  6
Como el resultado es positivo, el punto x = 7 corresponde a un mínimo local.
2.
y  h( x)  2x 3  24x 2  72x  15 R : x  2 max. Re lativo x  6 min. Re lativo
En el intervalo  3,5 .
h' ( x)  6 x 2  48x  72
6 x 2  48x  72  0  6( x 2  8 x  12)  0  6x  6x  2  0
x6  0 x  6
x20 x  2
h' ' ( x)  12x  48
h' ' (6)  12(6)  48  24  x  6 es m ínim o relativo.
h' ' (2)  12(2)  48  24  x  2 es m áxim o relativo.


Para determinar el máximo y el mínimo absoluto en el intervalo  3,5
Debemos determinar el valor de la función en los puntos extremos del intervalo y en los
puntos críticos que están dentro del intervalo, es decir, en x  3, x  5  x  2 , el
valor x  6 no lo evaluamos porque no pertenece al intervalo
 3,5
h(3)  2(3)  24(3)  72(3)  15  501
h(2)  2(2) 3  24(2) 2  72(2)  15  49
h(5)  2(5) 3  24(5) 2  72(5)  15  5
3
2
El mayor valor de todos es 49 que corresponde a x = 2
El menor valor de todos es – 501 que corresponde a x = - 3
Máximo absoluto en el intervalo  3,5 es x = 2

El mínimo absoluto en el intervalo
3.

 3,5 es x = - 3.
y  g ( x)  x 4  72x 2  7 R : x  0 max, x  6 min, x  6 min.
g ' ( x)  4 x 3  144x
4 x 3  144x  0  4 x( x 2  36)  0  4 x( x  6)(x  6)  0
0
x0
4
x6  0 x  6
4x  0  x 
x  6  0  x  6
g ' ' ( x)  12x 2  144
g ' ' (0)  12(0) 2  144  144  x  0 máxim o
g ' ' (6)  12(6) 2  144  12(36)  144  432  144  288  x  6 mín im o
g ' ' (6)  12(6) 2  144  12(36)  144  432  144  288  x  6 mín im o
1 2
3
4. y  g ( x)  5 x  x  2 x  20
2
2
x 9
R : x  3 m in; x  3 m ax; x  0 punto crítico.
5. y  g ( x) 
x
2 x( x)  1( x 2  9) 2 x 2  x 2  9 x 2  9
g ' ( x) 


x2
x2
x2
x2  9
( x  3)(x  3)
0
2
x
x2
x  3  0  x  3
x3 0  x  3
x2  0  x  0
En el punto x = 0, el modelo no esta definida. Este punto es un punto crítico, pero no es
ni máximo ni mínimo.
2 x( x 2 )  2 x( x 2  9) 2 x 3  2 x 3  18x 18x 18

 4  3
(x2 )2
x4
x
x
18
18
2
g ' ' (3) 

   x  3 m ax.
3
 27
3
(3)
g ' ' ( x) 
g ' ' (3) 
18 18 2

  x  3 m in.
(3) 3 27 3
6. Determine los máximos y mínimos absolutos del modelo:
 2,7.
y  f ( x)  x 2  3x en el intervalo
NATURALEZA CRECIENTE O DECRECIENTE DE UNA FUNCIÓN.
Para determinar si una función es creciente o decreciente en un valor determinado de la
variable independiente (x) se procede de la siguiente manera.
1. Derive el modelo.
2. Reemplace el valor de x en la derivada.
3. Si el resultado es positivo, en dicho valor el modelo es creciente.
4. Si el resultado es negativo, en dicho valor el modelo es decreciente.
5. Si el resultado es igual acero o no existe en dicho valor hay un punto crítico.
Ejemplo: Determine si cada modelo matemático es creciente o decreciente en el valor de x
indicado:
1. y  f ( x)  125 9 x en x  3
f ' ( x)  9  f ' (3)  9 . Como la derivada evaluada en x = 3 es negativa, en
dicho punto el modelo es decreciente.
2.
y  f ( x)  2x 2  48x  27 en x  5
f ' ( x)  4 x  48  f ' (5)  4(5)  48  68 . Decreciente.
INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DE DECRECIMEINTO E INTERVALOS DE CONCAVIDAD
Podemos afirmar sin temor a equivocarnos que:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
A la izquierda de un máximo y hasta el máximo una función es creciente
A la derecha de un máximo una función es decreciente.
A la izquierda de un mínimo y hasta el mínimo una función es decreciente.
A la derecha de un mínimo una función es creciente.
Entre un máximo y un mínimo una función es decreciente.
Entre un mínimo y un máximo una función es creciente
En un máximo una función es cóncava hacia abajo y cambia de concavidad en los
puntos de inflexión.
8. En un mínimo una función es cóncava hacia arriba y cambia de concavidad en los
puntos de inflexión.
Ejemplos:
Determine intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento, intervalos donde la función es
cóncava hacia arriba e intervalos donde la función es cóncava hacia abajo.
1.
y  f ( x) 
x3 1 2
 x  6x  8
3 2
Debemos encontrar primero los máximos y los mínimos de la función:
f ' ( x)  x 2  x  6  x 2  x  6  0
x  3  x  2  Puntoscríti cos
f ' ' ( x)  2 x  1
f ' ' (3)  2(3)  1  5  x  3 m ax.
f ' ' (2)  2(2)  1  5  x  2 m in.
Colocándolos en orden quedarían: x = -2 mínimo relativo y x = 3 máximo relativo.
Sabemos que entre mínimo y un máximo la función es creciente; entre x = -2 y x = 3,
es creciente, en intervalo tenemos que en x   2,3 el modelo es creciente.
También sabemos que a la izquierda de un mínimo el modelo es decreciente.
En x   ,2 el modelo es decreciente.
Y por último sabemos que a la derecha de un máximo el modelo es decreciente:
En x  3,  el modelo es decreciente.
Para determinar donde hay cambio de concavidad debemos conocer los puntos de
inflexión y recordemos que estos se obtienen solucionando la ecuación f ' ' ( x)  0 .
Tenemos que f ' ' ( x)  2 x  1  2 x  1  0  x  1 / 2
El punto de inflexión corresponde a x  1 / 2 .
Sabemos que en un mínimo y en todos los puntos vecinos al mínimo la función es
cóncava hacia arriba y cambia de concavidad en el punto de inflexión, por lo tanto:
Cóncava hacia arriba:  ,1 / 2
Sabemos que en un máximo la función es cóncava hacia abajo, y cambia en el punto
de inflexión, por lo tanto:;
Cóncava hacia abajo: 1 / 2, 
2.
y  f ( x)  5x 2  10x  7
f ' ( x)  10x  10  10x  10  0  x  1  puntocrítico
f ' ' ( x)  10  f ' ' (1)  10  x  1 m in.
A la izquierda de un mínimo el modelo es decreciente: En x   ,1 .
A la derecha de un mínimo el modelo es creciente: En x  1,   .
Como la función solo tiene mínimo, no hay puntos de inflexión y sabemos que en un mínimo la
función es cóncava hacia arriba:
Cóncava hacia arriba:  , 
3.
4.
y  f ( x)   x 5  15x 3  1000
y  f ( x)  x 3  5x 2  3x  54
6. TRAZADO DE CURVAS (CRITERIO PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA).
Para trazar curvas primero haga el análisis de la función(es decir, encuentre máximos y
mínimos relativos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, e
intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo).
Luego se recomienda lo siguiente:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Determine el dominio de la función.
Asigne a x valores máximos relativos y valores mínimos relativos.
Asigne por cada máximo un valor a su izquierda y otro a su derecha.
Asigne por cada mínimo un valor a su izquierda y otro a su derecha.
Ubique la intersección con el eje y. Haciendo x = 0.
Si es posible ubique las intersecciones con el eje x. Haciendo y = 0.
Asigne los puntos de inflexión. Estos se obtiene resolviendo la ecuación:
Obtenga la respectiva “y” reemplazando en la función.
f ' ' ( x)  0
Ejemplos: Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones:
1. y  f ( x)  2 x  12 x  30 x
Primero hay que determinar los máximos y mínimos de la función:
3
2
f ' ( x)  6 x 2  24x  30
6 x 2  24x  30  0  6( x 2  4 x  5)  0  6x  5( x  1)  0
x5  0  x  5
x  1  0  x  1
f ' ' ( x)  12x  24
f ' ' (5)  12(5)  24  36  x  5
m in.
f ' ' (1)  12(1)  24  36  x  1 m ax.
Para x = 5, se debe dar un valor a su izquierda (x = 4) y otro a su derecha (x = 6).
Para x = - 1, se debe dar un valor a su izquierda (x = - 2) y otro a su derecha (x = 0).
La Intersección con el eje y se obtiene haciendo x = 0.
sí x  0,  y  f (0)  0
Para y = 0 resulta una ecuación complicada de resolver. Entonces descartamos este valor.
Los puntos para la gráfica los podemos ver en la siguiente tabla.
x
y
-2
-4
máximo
-1
16
La gráfica se muestra en la figura 3.4.
0
0
4
-184
mínimo
5
6
-200
-180
FIGURA 3.4. Gráfica de
y  f ( x)  2x 3  12x 2  30x
2. y  g ( x)  x  72x  7 .
Para este ejemplo ya tenemos que x = 0 es máximo y que x = 6 y x = - 6 son mínimos. Los
puntos para la gráfica se muestran en la tabla.
4
2
x -7
Min.
-6
-5
y -1.120
-1.289
-1.168 -64
La gráfica se muestra en la figura 3.5.
-1
Max.
0
Min.
6
1
5
7
-64
-1.168 -1.289
7
-1.120
FIGURA 3.5. Gráfica de
y  g ( x)  x 4  72x 2  7
x  x  5
y dibuje su grafica.
4
2
3. Analice la función:
F ( x) 
x , que se obtiene solucionando la inecuación x  0 ya
que el dominio de x  5 es todos los reales, por lo tanto el dominio de F es x  0,  .
El dominio de F es el dominio de
2
Hay que hallar máximos y mínimos:
Para poder derivar escribamos F como:
x1 / 2 ( x  5) 2
y la derivamos aplicando la regla del producto:
4
2
1 / 2 x 1 / 2 x  5  2x  5 *1 * x1 / 2 x 1 / 2 ( x  5) 1 / 2( x  5)  2 x1 / 2
F ' ( x) 

4
4
5
1

( x  5)  x   2 x 
2
2
  ( x  5)5 x  5  5( x  5)(x  1)
F ' ( x) 
1/ 2
4x
8 x1 / 2
8 x
F ( x) 


Igualando a cero:
5( x  5)(x  1)
 0  5( x  5)(x  1)  0 * 8 x  5( x  5)(x  1)  0  8 x  0
8 x
x  5  x  1  x  0 son los puntos críticos
Hallamos la segunda derivada
Queda como ejercicio demostrar que la segunda derivada es
F ' ' ( x) 
F ' ' (1) 


5 3x 2  6 x  5
3
16 x
5 3 *12  6 *1  5

3
  5(8) , Tiene resultado negativo, por lo tanto
16
16 1
x  1 es un máximo relativo
5 3 * 52  6 * 5  5
5 * 40
, tiene signo positivo, por lo tanto.
F ' ' (5) 

16 53
16 53
x  5 es un mínimo relativo.
En x  0 , ni la primera ni la segunda derivada existen, por lo tanto x  0 no es ni máximo


ni mínimo relativo.
0,1  5, 
F es decreciente: 1,5
F es creciente:
Para hallar los puntos de inflexión se debe solucionar la ecuación F’’(x) = 0

  0  53x
5 3x 2  6 x  5
16 x
3
2

 6 x  5  0 *16 x 3  3x 2  6 x  5  0
Solucionando por formula queda:
 (6)  (6) 2  4(3)(5) 6  96 6  9.79...
De donde resulta:
x


2(3)
6
6
x  2,6  x  0,63.
El valor negativo queda descartado porque no pertenece al dominio de F, por lo tanto el
único punto de inflexión es:
x  2,6
F es cóncava hacia arriba: 2.6,

F es cóncava hacia abajo: 0, 2.6
La grafica se puede observar en la figura:
x  x  5
4
2
Grafica de
F ( x) 
7. OPTIMIZACIÓN.
Consiste en problemas de aplicación, donde el objetivo es encontrar los máximos o los
mínimos de una función o modelo matemático.
En este capítulo, pretendemos partir de un modelo matemático y posteriormente por
medio de las técnicas de la primera y de la segunda derivada encontrar los valores
máximos o los valores mínimos de dicho modelo.
Se sugiere el siguiente procedimiento:
1. Identifique cual es la función objetivo. (Función que se desea maximizar o minimizar).
2. Por lo general la función no es conocida, constrúyala de acuerdo a las condiciones del
problema.
3. Obtenga los máximos o los mínimos de dicha función. Cuando el enunciado del problema
incluya un intervalo, Para hallar los máximos o los mínimos se deben tener en cuente los
extremos del intervalo.
4. Conteste las preguntas del problema.
Ejemplo1:
El modelo de costo total de un fabricante esta dado por:
c(q ) 
q2
 3q  400US $
4
Para que nivel de producción el costo promedio por unidad será mínimo? ¿Cuál es el costo
promedio mínimo?
DESARROLLO:
El modelo objetivo es el de costo promedio y se desea minimizar. Debemos encontrar dicho
modelo.
q2
 3q  400US $
c(q)
q
400
c(q ) 
 4
 3
q
q
4
q
Para determinar los mínimos del modelo debemos derivar.
c' (q) 
1 400

4 q2
1 400
q 2  1.600
 2 0
0
4 q
4q 2
q 2  1.600  0  (q  40)(q  40)  0
q  40  0  q  40 no sirve.
q  40  0  q  40 punto crítico.
El valor negativo (q = -40) no sirve porque no podemos hablar de producción negativa.
800
q3
800
800
c' ' (q)  3 
 0,0125
64000
40
q  40 m in.
c' ' (q) 
Con una producción de 40 unidades se garantiza que el costo promedio es mínimo. Para hallar el
costo promedio mínimo reemplazamos 40 en el modelo de costo promedio.
c(40) 
40
400
3
 23 US $
4
40
Ejemplo2:
El modelo de demanda para el producto de un fabricante es:
p(q) 
Donde:
120  q
$( miles ); 0  q  120 .
4
q  núm erode unidadesvendidas.
p(q)  precio de venta de cada unidad.
1. ¿Con cuántas unidades se tendrá el ingreso máximo?
El modelo objetivo es el de ingreso y hay que encontrar los valores máximos, como no lo
tenemos lo debemos determinar.
120q q
q
 120  q 
r ( q)  p( q) * q  

 30q 
*q 
4
4
4
 4 
q
r ' (q )  30 
2
q
60  q
30   0 
 0  60  q  0  q  60
2
2
1
r ' ' (q)  
2
1
r ' ' (60)    q  60 m ax.
2
Como nos dan la condición que 0  q  120 también se deben analizar los extremos del
2
2
intervalo; es decir el valor q = 0 (queda descartado porque no tendríamos ventas) y el valor q
=120. Para determinar si los ingresos son máximos en q = 60 o en q =120, reemplazamos
estos valores en el modelo de ingresos y con el valor que de el mayor ingreso ese es el
máximo pedido.
(120) 2
 0 El ingreso sería de cero.
4
(60) 2
 900
Para: q  60  r (60)  30(60) 
4
Para:
q  120  r (120)  30(120) 
Se deben vender 60 unidades para garantizar el máximo ingreso.
2. ¿Cuál es el ingreso máximo?
Para determinar el ingreso máximo reemplazamos q = 60 en el modelo de ingreso.
r (60) 
120(60) 602 7.200 3.600



 900 $(m iles)  900.000$
4
4
4
4
El máximo ingreso que se puede obtener es de $900.000
3. Cuándo el ingreso es máximo, ¿cuál es el precio de venta de cada unidad?
Hay que reemplazar q = 60 en el modelo de demanda:
p(60) 
120  60
 15 $( miles )  15.000 $
4
Cada unidad se debe vender a $15.000.
Ejemplo3:
Un monopolista vende un artículo por un precio de $ 30.000, y le ofrece a uno de sus clientes un
descuento de diez pesos por cada unidad comprada.
a. Determine un modelo para sus ingresos.
Sea q el número de unidades vendidas, entonces el precio de cada unidad será:
$ 30.000 menos 10 pesos por cada unidad vendida  p(q)  30.000  10q $ Pero se debe
tener en cuenta que el precio no puede ser negativo, entonces la condición para el precio es:
30.000 10q  0 Resolviendo la inecuación queda: q  0, 3000
Ingreso = precio por número de unidades vendidas. r (q)  p(q) * q  (30.000 10q) * q
r (q)  30.000q  10q 2 $ Modelo para el ingreso. Con q  0, 3000
b. Determine cuantas unidades debe vender bajo, estas condiciones, para obtener el máximo
ingreso.
Debemos encontrar los máximos del modelo de ingreso.
r ' (q)  30.000  20q  30.000  20q  0
30.000
 1500
20
r ' ' (q)  20  r ' ' (1.500)  20
q
q  1.500 Máxim o
Pero para encontrar el máximo absoluto en el intervalo
q  0, 3000 , debemos hallar:
r (0)  0
r (3.000)  30.000* (3.000)  10(3.000) 2  0
r (1.500)  30.000(1.500)  10(1.500) 2  $22'500.000
El máximo absoluto en el intervalo
q  0, 3000 es q  1500
El ingreso máximo se obtiene con la venta de 1.500 unidades.
c.
Determine el ingreso máximo.
r (1.500)  30.000(1.500)  10(1.500) 2  $22'500.000
El máximo ingreso que puede obtener es de $ 22’500.000.
d. Determine cuál es el precio de cada unidad cuando el ingreso es máximo.
p(1.500)  30.000 10(1.500)  $15.000 .
Ejemplo4:
p(q)  400  2qUS$ Y la
400
US $.
función de costo promedio para el mismo producto es: c(q )  0,2q  4 
q
La función de demanda para el producto de un monopolista es:
1. Estime el nivel de producción que maximiza la utilidad. Debemos encontrar primero el modelo
de utilidad.
u (q )  r (q )  c(q )  p(q ) * q  c(q ) * q
u (q)  2,2q 2  396q  400
Se debe cumplir que 400 2q  0 . Solucionando la inecuación queda que: q  0, 200
Derivando: u' (q)  4,4q  396
Igualando a cero y despejando:  4,4q  396  0  q  90
Obteniendo la segunda derivada y reemplazando el valor de q:
u' ' (q)  4,4  u' ' (90)  4,4  q  90 max.
Debemos hallar:
u (0)  2.2(0) 2  396(0)  400  400
u (200)  2.2(200) 2  396(200)  400  9.200
u(90)  2,2(90) 2  396(90)  400  17420US$
Sea debe producir y vender 90 unidades para lograr la máxima utilidad.
2. Estime el precio cuando la utilidad es máxima.
La utilidad máxima se obtiene cuando q = 90, El precio se obtiene reemplazando q = 90 en la
función de precio. p(90)  400  2(90)  220 US$
3. Estime la utilidad máxima: U max  u(90)  2,2(90)  396(90)  400  17420US$
4. Estime el dinero que el monopolista se gana en promedio por cada unidad cuando la utilidad es
máxima. R: US$ 193,555...
5. Si como medida reguladora, el gobierno le impone al monopolista un impuesto de US$ 22 por
unidad. ¿Cuál es el nuevo precio que maximiza la utilidad?
Este impuesto aumenta el costo. El nuevo costo promedio sería:
2
c n (q)  0,2q  4 
400
 22
q
u n (q)  2,2q 2  374q  400
u n ' (q)  4,4q  374
u n ' (q)  0  4,4q  374  0  q  85
u n ' ' (q)  4,4
u n ' ' (85)  4,4  q  85 Max.
p(85)  400  2(85)  230US $
El precio pasa de US$ 220 a US$ 230, se aumenta en US$ 10; esto lo paga el consumidor.
Ejemplo5:
 
2
Un contratista planea cercar un área rectangular de 10800 metros cuadrados m adyacente a un
edificio que se toma como uno de los lados del área cercada (quiere decir que en este lado no se
va a utilizar cerca). La cerca paralela al edificio tiene un costo de US$ 3 por metro instalado, la
cerca para los otros dos lados costará US$ 2 por metro instalado. Determine la cantidad de cerca
a instalar de manera que los costos sean mínimos. Véase la figura 3.6
El modelo objetivo es el de costo y se desea minimizar. Debemos encontrar el modelo de costo.
Sea x la cantidad de cerca de utilizar en el lado paralelo al edificio; entonces el costo será de 3x
US$.
Sea y la cantidad de cerca a utilizar en cada lado no paralelo, en los dos lados se utilizará 2y, el
costo será de 2y*2 = 4y US$.
FIGURA 3.6. Diagrama para el ejemplo5
Entonces el costo total se obtiene sumando los costos anteriores: costo total = c = 3x + 4y.
Como tenemos el costo expresado en términos de dos variables, debemos encontrar alguna
relación que nos permita escribir x en términos de y o y en términos de x; esta relación la
encontramos en el área:
Área = base por altura.
A  x * y  10800  x * y  y 
10800

x
Reemplazando en el modelo de costo:
10800
43200
)  3x 
x
x
43200
c'  3 
x2
43200
3 x 2  43200
3

0

 0  3x 2  43200 0
x2
x2
x  120  x  120 no sirve
86.400
c' ' 
x3
86400
Para x  120, c' ' 
 0,05
1203
x  120 m in.
c  3 x  4(
Reemplazamos este valor en el modelo de costo y así obtenemos los costos mínimos:
Para x  120 , c  3(120 ) 
43200
 720 US $
120
Ejemplo6:
Se desea construir una caja de forma rectangular sin tapa con una pieza de cartón de 15cm de
largo por 8cm de ancho, cortando cuadros idénticos en las cuatro esquinas y doblando los lados
hacia arriba. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja que permitan obtener el máximo volumen?.
Sea x el lado del cuadrado; entonces debemos encontrar un modelo para el volumen (modelo
objetivo) utilizando como referencia dicho lado.
Largo de la caja: 15-2x. 15  2 x  0, x  0, 15 / 2

8  2 x , x  0, 4
x  0 x  0, 

Ancho de la caja: 8-2x
Altura de la caja: x.


Analizando los tres intervalos, se debe cumplir que x  0, 4
La expresión para el volumen resulta de multiplicar las tres cantidades anteriores.
v( x)  (15  2 x)(8  2 x) x  4 x 3  46x 2  120x, x  0,4
v' ( x)  12x 2  92x  120
v' ( x)  0  12x 2  92x  120  0
Resolviendo resulta x = 6 mínimo y x = 5/3 máximo, entonces.
Halamos:
v(0)  4(0) 3  46(0) 2  120(0)  0
v(4)  4(4) 3  46(4) 2  120(4)  0
v(5 / 3)  4(5 / 3) 3  46(5 / 3) 2  120(5 / 3)  90.74074074
...
entonces x = 5/3 máximo absoluto en el intervalo x  0, 4
 5  35
Largo: 15  2 x  15  2  
cm
 3 3
 5  14
Ancho: 8  2 x  8  2  
cm
 3 3
5
Alto: x  cm
3
EJEMPLO7:
Un granjero tiene 2400 m de malla y desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto.
No necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área
más grande?
Se desea maximizar el área, por lo tanto la función objetivo es la función de área
Sea x el largo del campo rectangular
Sea y el ancho de dicho campo
Entonces una expresión para el área es: A  x * y Véase la figura 2
Figura 2.
Debemos eliminar una de las variables x o y. Para ello utilizamos la información que: La longitud
total de malla es 2400 m y la condición que el granjero debe utilizar por un lado “2x” m y por el otro
lado
“y”
metros,
entonces
tenemos
la
ecuación:
2 x  y  2400 y  2400 2 x, con 2400 2x  0, x  0,1200 .
Reemplazando en la expresión para el área:


A  x * (2400 2x)  A( x)  2400x  2x 2
Debemos tener en cuenta que x debe ser mayor que cero, pero menor de 1200, Por lo tanto
tenemos que:
A( x)  2400x  2x 2 , 0  x  1200
Es la función a maximizar.
A' ( x)  2400 4 x  2400 4 x  0  x  600
A' ' ( x)  4
A' ' (600)  4
Como es negativo quiere decir que x = 600 es un máximo relativo, para determinar el máximo de la
función de área en el intervalo 0  x  1200 debemos hallar: A(0), A(600)  A(1200) .
A(0)  2400(0)  2(0) 2  0
A(600)  2400(600)  2(600) 2  720000
A(1200)  2400(1200)  2(1200) 2  0
Podemos ver que el mayor valor del área se obtiene para x = 600, por lo tanto el máximo absoluto
en dicho intervalo es x = 600 metros.
Para hallar “y” reemplazamos este valor en la ecuación: y  2400 2 x  2400 2 * 600  1200
Por tanto, el campo rectangular debe tener 600 m de largo por 1200 m de ancho.
EJEMPLO8:
Se va a fabricar una lata (o tarro de metal) para que contenga 1 litro de aceite. Encuentre las
dimensiones que debe tener la lata para minimizar el costo del metal. Véase la figura 3.
En la figura podemos ver que r es el radio de la lata y h es su altura (ambos en centímetros).
Para minimizar el costo del metal debemos minimizar el área superficial total del cilindro (tapa
fondo y lados)
Para el lado superior tenemos: A  r
Para el fondo tenemos: A  r
2
2
Para la parte lateral tenemos: A  2rh .
El área total será:
At  r 2  r 2  2rh
Para eliminar h, sabemos que el volumen debe ser de 1 L que es igual a 1000 cm 3. Por lo tanto,
tenemos la ecuación:
1000  r 2 h  h 
1000
r 2
A  A(r )  2r 2  2r *
A(r )  2r 2 
1000
r 2
2000
, r0
r
Es la función que deseamos minimizar.
Para derivar es conveniente escribir la función como:
A' (r )  2 * 2r  2000(1)r 2  4r 
A(r )  2r 2  2000r 1
2000 4r 3  2000

.
r2
r2
4r 3  2000
 0  4r 3  2000  0 * r 2  4r 3  2000  0
2
r
2000
500
 r3 
r3
4

A' (r )  0 
Obtenemos la segunda derivada:
A' (r )  2 * 2r  2000(1)r 2
A' ' (r )  4  2000(2)r 3  4 
4000
r3
 500 
4000
  4 
A' '  3
3

 500 
  
3

  


Podemos ve que este resultado es positivo,
r3
500

es un mínimo.
Ahora debemos hallar el valor de h.
1000
1000

2
2
r
 500 

  3

  
500
h  23
 2r
h

EJEMPLO9
y 2  2 x más cercano al punto 1, 4 .
Sea el punto ( x, y) el punto sobre la parábola más cercano al punto 1, 4 
Encuentre el punto sobre la parábola
Debemos minimizar la distancia entre estos dos puntos.
Es decir la función objetivo es la función de distancia d. Sabemos que la distancia entre dos puntos
se obtiene como.
d
x  12   y  42
Como tenemos dos variables despejemos una variable de la fórmula de la parábola y la
reemplazamos en la ecuación de la distancia d
De
y 2  2 x tenemos que
y2
 x , se reemplaza en la fórmula de d:
2
2
 y2

2
d  
 1   y  4 Es la función que se desea minimizar, pero por facilidad minimicemos
 2

su cuadrado, es decir:
2
2
 y2

 y2

2
2




d 
 1  y  4  f ( y )  
 1   y  4 Es la función a minimizar.
 2

 2

2
 y2

y
f ' ( y)  2
 1 * 2 *  2( y  4) *1  y 3  2 y  2 y  8  f ' ( y)  y 3  8
2
 2

3
f ' ( y)  0  y  8  0  y 3  8  y  3 8
y  2 es un punto crítico, para saber si es máximo o mínimo reemplazamos este valor en la
segunda derivada.
f ' ' ( y)  3 y 2  f ' ' (2)  3 * (2) 2 positivo. Como el resultado es positivo, quiere decir que
y  2 es un mínimo.
(2) 2
2
2
2
Por lo tanto el punto de y  2 x más cercano al punto 1, 4  es el punto 2, 2  .
Para y  2 ,
x
EJEMPLO10
Un hombre esta en un punto A sobre una de las riberas de un río recto que tiene 3 km de ancho y
desea llegar hasta el punto B, 8 km corriente abajo en la ribera opuesta, tan rápido como le sea
posible (véase la figura). Podría remar en su bote, cruzar directamente el río hasta el punto C y
correr hasta B, podría remanar hasta B o en última instancia, remar hasta algún punto D, entre C y
B y luego correr hasta B. Si puede remar a 6 km /h y correr a 8 km / h. ¿Dónde debe desembarcar
para llegar a B tan pronto como sea posible?
Supongamos un caso general, es decir que el hombre rema del punto A hasta el punto D y que
corre del punto D hasta el punto B.
Debemos encontrar una función para el tiempo total que tarde el hombre en el recorrido completo:
Tiempo total = T =tiempo que se demora remando más el tiempo que se demora trotando.
Sea x la distancia desde el punto C hasta el punto D
La distancia que rema es la distancia que hay entre el punto A y el punto D, llamemos esta
distancia como AD.
Por teorema de Pitágoras en el triángulo ACD
AD  ( AC) 2  CD 2  AD  32  x 2
AD  9  x 2
Sabemos que tiempo es igual a distancia / velocidad
9  x2
Tiempo que demora remando: t r 
6
Podemos decir que la distancia por correr es 8 – x.
Tiempo que se demora corriendo es: t c 
El tiempo total es:
T (x) 
8 x
8
T ( x)  t r  t c
9  x2 8  x
+
que es la función a maximizar. El dominio de esta función es x  0,8
8
6
Podemos ver que si x = 0 rema directamente hacia C y si x = 8 rema directamente hacia B
La derivada de T(x) es:
T ' ( x) 
T ' ( x)  0 
x
6 x 9
2

x
6 x2  9

1
8
1
8x
4x

 x2  9 
 x 2  9  4x  3 x 2  9
8
6
3


(4 x) 2  (3 x 2  9 ) 2  16x 2  9 x 2  9  16x 2  9 x 2  81  7 x 2  81
81
81
 x2  
7
7
9
x
El valor negativo queda descartado porque no podemos tomar el tiempo negativo.
7
x2 
Que corresponde a un valor crítico.
Para determinar cual es el mínimo, evaluamos este número y los extremos del intervalo en la
función T(x)
9  (0) 2 8  (0)
T (0) 

 1.5
6
8
9  (8) 2 8  (8)
73
T (8) 


 1.42
6
8
6
2
 9 
 9 
9
81
9

8

8
9
 9 
 7
7
7
 7 
T


 1.33

6
8
6
8
 7
9
El menor valor de T(x) se obtiene cuando x 
, este valor corresponde a un mínimo absoluto
7
9
en el intervalo x  0,8 . El hombre debe atracar en un punto en un tiempo de x 
segundos
7
corriente abajo del punto de partida.
EJEMPLO11
Encuentre el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r
SOLUCIÓN:
Se pide maximizar el área de un rectángulo, es decir la función objetivo es la función de área del
rectángulo.
Tomemos el semicírculo como la mitad superior del círculo x  y  r con centro en el origen.
La palabra inscrito significa que el rectángulo debe tener todos sus vértices sobre el círculo, pero
como el rectángulo esta inscrito sobre un semicírculo, en este caso dos de sus vértices debe estar
sobre el círculo y los otros dos deben estar sobre el eje x como lo muestra la figura 8
2
2
2
Figura 8
De la figura podemos ver que el área del rectángulo es igual a 2x * y
A  2 xy
Despejando y de la ecuación del círculo queda:
x2  y 2  r 2  y 2  r 2  x2  y   r 2  x2
Pero sólo tomamos la parte positiva del círculo como se ve en la figura 8. Por lo tanto:
y  r 2  x2
Reemplazando este valor en la ecuación del área queda:
A  A( x)  2x r 2  x 2
 
El dominio de esta función es x  0, r
Para derivar debemos aplicar la regla del producto:
Pero primero es conveniente escribir la función como:

A( x)  2 x r 2  x 2

A' ( x)  2 r  x
2

2 1/ 2

1
 r 2  x2
2

1 / 2
2r 2  4 x 2
r x
2
2
1/ 2

* (2 x) * 2 x  2 r  x
A' ( x) 
A' ( x)  0 

2

2 1/ 2

r
2x 2
2
x

2 1/ 2



2 r 2  x 2  2x 2
r
2
x

2 1/ 2
2r 2  4 x 2
r 2  x2
 0 * r 2  x 2  2r 2  4 x 2  0  2r 2  4 x 2
2r 2  4 x 2 
2r 2
r
 x2  x  
4
2
Se descarta el negativo de x ya que no pertenece al dominio de A(x).
Por lo tanto se debe reemplazar en la función del área los siguientes valores:
x  0, x  r  x  r / 2 , el que del mayor valor es el máximo absoluto en el intervalo x  0, r 
A(0)  2(0) r 2  (0) 2  0
A(r )  2(r ) r 2  (r ) 2  0
2
2r
r2
2r
 r  2  r 
2
A(r / 2 )  2
r 

 r 
 
2
2
2
 2
 2
r2
2 r * r 2r 2

 r2 .
2
2* 2 2
Que corresponde el área del rectángulo más grande.
Ejemplo 12
Se quieren imprimir hojas sueltas con márgenes de 4 centímetros en las partes inferior y superior; y
de 2 centímetros en cada uno de los lados; sí el contenido escrito es de 500 centímetros
cuadrados. ¿Qué dimensiones debe tener la hoja para que su área sea mínima?
Solución:
La función objetivo es la función de área, ya que nos piden que el área de la hoja sea mínima.
Si denominamos x a la base, y y a la altura del rectángulo con contenido escrito, tenemos:
Área de contenido x*y = 500.
Base de la hoja x + 4
Altura de la hoja: y + 8, como se ve en la figura 9.
Figura 9
Entonces se tiene que:
Área de la hoja: A  x  4( y  8)
Despejando y de la ecuación xy  500
500
, se reemplaza en la función de área
x
 500 
A  A( x)  x  4
 8
 x

2000
A( x)  532 
 8 x  532  2000 x 1  8 x
x
A' ( x)  2000x 2  8
Queda y 
 2000x 2  8  0  x   250  x  250
4000
4000
A' ' ( x)  2000(2) x 3  3  A' ' ( 250) 
Positivo
3
x
250


x  250 Minimo Re lativo.
500
y
 2 250  10 10
250
Ejemplo13
Se ha solicitado un carpintero para construir una caja abierta, con base cuadrada. Los lados de la
caja tienen un costo de US$ 3 por m 2 y la base cuesta US$ 4 por m 2. ¿Determine las dimensiones
de la caja de mayor volumen que puede construirse con US$ 48. Véase la figura 10.
Solución:
Figura 10
La función objetivo es el volumen de la caja.
Sea V el volumen
V  x * x * y  x2 y
2
El costo esta dado por: c  4 x  3(4 xy)  48
Despejamos y de esta ecuación y la reemplazamos en la función de volumen:
48  4 x 2
12x
2
2  48  4 x 


V  V ( x)  x 
12
x


1 3
V ( x)  4 x  x
3
2
V ' ( x)  4  x  0  2  x2  x  0
x  2  x  2
V ' ' ( x)  2 x  V ' ' (2)  2(2) negativo
x  2 Máximo relativo.
48  4(2) 2 4
y

12(2)
3
y
Las dimensiones de la caja son: 2*2*4/3.
Ejemplo14
Una compañía alquila buses modernos de 50 puestos a grupos de 35 o más personas. Si un grupo
tiene exactamente 35 personas, cada persona paga US$ 60. En grupos mayores, la tarifa de todos
se reduce un dólar por cada persona que sobrepase los 35. Determine el tamaño del grupo para el
cual el los ingresos de la compañía sean máximos.
Solución.
La función objetivo es la función de ingresos, ya que piden hallar ingresos máximos.
Sea q el número de personas por encima de las 35.
Sea r (q) la función de ingreso para la compañía.
r (q)  Número de personas por tarifa de cada persona.
r (q)  35  q60  q  2100 25q  q 2 US$
2
Hay que maximizar r (q)  2100 25q  q US$ Sujeto a la condición q  0, q  Z
r ' (q)  25  2q  0  q  12.5
r ' ' (q)  2
r ' ' (12.5)  2, q  12.5 máximorelativo
Pero como se habla de número de persona, q debe ser un entero, que puede ser q  12  q  13
, para saber cual de los dos valores se toma, se debe reemplazar cada uno en la función de
ingreso:
r (12)  2256 r (13)  2256. Como se obtiene el mismo valor, podemos afirmar que con 12 ó
13 personas por encima de las 35, se obtiene el máximo ingreso, es decir con 47 ó 48 personas.
Ejemplo15
Dos torres sobre terreno horizontal distan entre si 20 metros. Las torres tienen 10 metros y 15
metros de altura, respectivamente (véase la figura más abajo). Se desea unir la parte superior de
ambas torres con un cable que pasa por una polea en el suelo entre ambas torres. ¿En que parte
del suelo debe fijarse la polea, para que la cantidad de cable utilizada sea mínima?
Solución:
Se debe minimizar la función de longitud del cable utilizado.
Sea x la distancia a la primera torre donde debe fijarse el cable (véase la figura)
Sea d la cantidad de cable a utilizar, de la figura d  d1  d 2
Aplicando teorema de Pitágoras a cada uno de los triángulos obtenemos:
d  100  x 2  225  20  x 
Donde 0  x  20 . Derivando d obtenemos:
x
 20  x 
d'

2
100  x 2
225 20  x 
2
Igualando a cero y resolviendo:
x
100 x 2


x2
100 x 2
20  x
2
225 20  x 
20  x2

0
225 (20  x) 2


x 2 225 20  x  20  x 100 x 2
2
2

Efectuando operaciones queda la ecuación:
125x 2  4.000x  40.000  0
Cuya solución es:
x  8  x  40
Se descarta el valor negativo.
Reemplazando x  8 en la segunda derivada, se obtiene que este valor corresponde a un mínimo
relativo. Queda como ejercicio que compruebe esta afirmación.
La polea se debe ubicar a una distancia de 8 metros de la primera torre para que la cantidad de
cable utilizada sea mínima.
Ejemplo 16
Problemas que incluyen cantidad de material para fabricar cajas rectangulares de base cuadrada.
Sea c la cantidad de material en unidades de longitud al cuadrado.
Se pide que el volumen sea máximo.
Sea x el lado del cuadrado de la base.
Sea y la altura de la caja.
c  x2
4x
3
cx  x
v  x2 y  v 
4
c  4 xy  x 2  y 
BIBLIOGRAFÍA:
1. HAEUSSLER, Ernest F. RICHARDS, Paul. Matemáticas para Administración,
Economía,
Ciencias Sociales y de la vida. 8 edición.
Prentice Hall. 1977.
4. SOLER FAJARDO FRANCISCO, NÚÑEZ REINALDO, ARANDA SILVA MOISÉS.
Fundamentos de Cálculo con aplicaciones a ciencias Económicas y Administrativas. ECOE
EDICIONES. Segunda edición. Enero de 2002. BOGOTÁ.
5. S.T. Tan. Matemáticas para Administración y Economía. International Thomson Editores.
1998.
6. EDWAR T. Dowling. Cálculo Para Administración, Economía y Ciencias Sociales. McGraw
Hill1996. SANTAFE DE BOGOTA.
PRUEBA FINAL
1. Dada la función de ingreso r (q)  50q  2q $(miles) ,
monopolista, determine:
a. La función de ingreso marginal. R: r ' (q)  50  4q
2
para una firma en competencia
b. Función para demanda o precio. R: p(q)  50  2q
c. Ingreso, ingreso marginal y precio; cundo se venden 6 unidades. R: $228000, $26000,
$38000.
2. Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva:
punto donde x = 4. Grafique las tres figuras sobre un mismo plano
y   x 2  3x  4 , en el
3. Para cada una de las funciones:
a.
b.
c.
d.
e.
Determine el dominio.
Determine los máximos y mínimos.
Grafique.
Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento
Intervalos de concavidad hacia arriba e intervalos de convidad hacia abajo.
11 2
x  10 x  2 R : x  2 / 3max , x  5 / 2min
2
y  5x 3  x 2  x  1 R : x  1/ 3max, x  1/ 5min
y  j ( x)  2 x 3 
4. Para un monopolista, el costo por unidad en la producción de un artículo es de $3 y el modelo
de demanda es:
p(q) 
10
$ ¿Cuál precio dará la utilidad máxima?
q
ACTIVIDAD
Taller: Derivada en geometría, en física, en economía, teorema del valor medio.
1. La ecuación del movimiento de una partícula es
segundos: Encuentre:
s(t )  t 3  3t , donde s esta en metros y t en
a. La velocidad y la aceleración como funciones del tiempo. R. v(t )  3t
b. La aceleración después de 2 segundos. R: 12 m/s.
c. La aceleración cuando la velocidad es cero. R: a(1)  6 m / s
2
 3 , a(t )  6t .
2. La función de posición para un objeto esta dada por: y  s(t )  5t  4t  7 metros
Determine en que tiempo la velocidad es cero. R: 0,4 segundos.
3.
4. El costo de producir x onzas de oro proveniente de una nueva mina se simboliza como
C  f (x) dólares.
2
a. ¿Cuál es el significado de la derivada f ' ( x) , Cuáles son sus unidades?
b. ¿Qué significa la proposición f ' (800)  17 ?
600q
$ (Miles). Determine:
q3
1800
a. El modelo de ingreso marginal. R : r ' (q) 
$ (Miles)
q  32
b. El ingreso marginal cuando se vende la unidad número 17. R : 4.986 $ .
5. El modelo de ingreso esta dado por:
r (q) 
6. Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva
f ( x)  x 2  4x  5 en el
punto x  2 grafique las tres figuras en el mismo plano.
7. El modelo de posición de un objeto está dado por: y  S (t )  5t  60t  50
a. Determine el tiempo en el cual el objeto esta en reposo.
b. Determine la posición del objeto en el momento en que esta en reposo.
m
8. Dada
de
2
la
función
de
costo
total
c(q)
al
producir
q
libras
fertilizante,
c(q)  0,5q  1,5q  8 $(miles) . Determine el costo marginal cuando se producen 2
kilogramos de fertilizante. R: $5500.
2
9. La función de costo promedio en la producción de “q” unidades de un producto es dada por:
c(q)  0,3q  2 
850
$(m iles) . Cuándo el costo marginal es de $3800, ¿de cuántas
q
unidades es la producción? R: 3 unidades, el costo de producir la unidad número 4 es de
$3800.
10. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva: y  f ( x) 
3
en x  2 . Grafique
x 1
1
5
x .
3
3
240
11. La función de precio esta dada por: p ( q ) 
$ miles. Determine:
q8
1920
a. La función de ingreso marginal. R : r ' (q) 
$ Miles.
q  82
sobre un mismo plano ambas figuras. R: y  
b. El ingreso marginal cuando se venden 8 unidades. R: 7.500$.
c. Si el ingreso marginal es de $4.800, determine cuantas unidades fueron vendidas. R: 12
unidades.
12. Al
lanzar
un
proyectil,
este
ha
logrado
una
altura
en
metros
dada
por
la
función: S (t )  288t  16t , donde t es el tiempo en segundos. Determine:
a. La velocidad del proyectil después de 3 segundos. R: 192 m/s.
b. La aceleración después de 5 segundos. R: -32 m/s2.
c. El tiempo en el cual el proyectil toca tierra. (Sugerencia: En este punto la altura es igual a
cero).
R: 18 s.
d. La velocidad con que toca tierra. R: -288 m/s.
2
13. Si en la luna se dispara una flecha hacia arriba con una velocidad de 58 m/s, su altura en (en
metros) después de t segundos se expresa con H  58t  0.83t .
a. Encuentre la velocidad de la flecha después de 1 segundo.
b. Halle la velocidad de la flecha cuando t  a .
c. ¿Cuándo chocará la flecha contra la luna?
d. ¿Con qué velocidad chocará contra la luna?
2
14. Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde la tierra de acuerdo a la función
S (t )  192 16t 2 m . Determine la velocidad con que el objeto tocará la tierra.
15. Suponga que un fabricante tiene como modelo del costo promedio para uno de sus productos:
c(q)  0,03q 2  0,2q  12 
5
Dólares. Y suponga que cada producto lo vende a 5 dólares.
q
Deseamos saber el costo marginal y el ingreso marginal cuando produce y vende 20
unidades. R: Producir la unidad número veintiuno le representa al fabricante un incremento en
sus costos de 40 dólares y por la venta de la unidad número 21 le representa un ingreso de 5
dólares.
16. La ecuación s (t )  10 
1
sen (10t ) expresa el desplazamiento de una partícula en una
4
cuerda vibrante. En ella s se mide en centímetros y t en segundos. Encuentre la velocidad y la
aceleración de la partícula después de t segundos.
17. Un estudio preparado por la cámara de comercio de cierta comunidad ha proyectado que la
población de dicha comunidad crecerá durante los próximos tres años de acuerdo la
regla: P(t )  50.000 30 t  20t Donde P(t ) denota la población durante “t” meses.
Estime:
a. Con que rapidez crecerá la población dentro de 9 meses. R: 155 personas por mes.
b. Con que rapidez crecerá la población dentro de 16 meses. R: 200 personas por mes.
c. Con que rapidez crecerá la población dentro de 2 años.
d. Con que rapidez crecerá la población dentro de 10 años.
3
18. encuentre una parábola con ecuación
ecuación: y  3x  2 R:
y  2x 2  x
19. encuentre los puntos sobre la curva
R: 1,
y  ax2  bx cuya recta tangente en (1, 1) tenga la
0   1 / 3, 32 / 27 .
y  x 3  x 2  x  1 donde la tangente es horizontal.
20. Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva
x  5.
5
9
y  x

4
4
punto
Grafique
las
tres
figuras
en
el
mismo
y  f ( x)  x 2  9 en el
plano
cartesiano.
R:
4
y   x8
5
21. Si la recta tangente a y  f (x) , en (4, 3), pasa por el punto (0, 2) encuentre f (4)  f ' (4) .
22. Sea la función y  f ( x ) 
ln x
. Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la
x
curva en cada punto indicado:
a. En x = 1.
b. En x = e.
23. Una escalera de 10 pies de largo está apoyada en una pared vertical. Sea  el ángulo en
radianes entre la parte superior de la escalera y la pared y x la distancia del extremo inferior de
la escalera hasta la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la
pared, ¿con qué rapidez cambia x con respecto a  cuando    / 3 ?
R:
dx
5
d
pies / radian
24. Si la recta tangente a y  f (x) , en (-3, 32), pasa por el punto (1, -12).
Determine
f (3)  f ' (3) .
25. Encuentre una parábola con ecuación
la ecuación y  2 x  3 . R : y 
y  ax2  bx cuya recta tangente en  2,  7 tenga
3 2
x  5x
4
y  ax2  bx cuya recta normal en x  3 tenga la
58 2 113
x 
x.
ecuación y  5 x  4 . R : y 
45
15
26. Encuentre una parábola con ecuación
y  ax2  bx  2 cuya recta tangente en x  3 tenga
1 2 7
la ecuación 3 y  5x  9  0 . R : y   x  x  2
9
3
2
28. Encuentre una parábola con ecuación y  ax  bx  c que pasa por el punto 0, 5 , cuya
recta normal en x  1 tenga la ecuación 5 y  x  10  0 .
27. Encuentre una parábola con ecuación
y  ax2  bx  c que pasa por el punto  2, 4 , cuya
61 2 15
55
x  x
recta normal en x  2 tenga la ecuación 2 y  3x  1  0 . R : y 
.
96
8
24
29. Encuentre una parábola con ecuación
30. Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de educación en
miembros de un grupo urbano en particular. Los sociólogos encontraron que una persona con
t años de educación, antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual
en promedio de y dólares, donde:
y  f (t )  5 t 5  5900, 4  t  16 .
Encuentre la razón de cambio del ingreso con respecto al número de años de educación.
Evalúe cuando t = 9. R: y '  f ' (t ) 
25 3
t ; f ' (9)  337 ,5US $.
2
Evalúela después de 20 años.
NOTA:
La rapidez o razón de cambio, se refiere a derivar y evaluar la derivada en los
valores indicados en el problema.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO:
En los siguientes ejercicios se define una función y se da un intervalo cerrado. Determine
si se cumple el teorema del valor medio en dicho intervalo. Si se cumple el teorema del
f (b)  f (a)
valor medio, determine para cada caso el número c, tal que f ' (c) 
ba
f ( x)  x 2  2x;  2, 2 R : c  0
t 3
;  1, 4 R: No se cumple, ya que f (t ) no es continua en t  3
32. f (t ) 
t 3
x3
2 3
33. g ( x) 
;  2, 2 R : c  
3
3
31.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
h( x)  3 x 2 ; 0, 2 R : c 
16
27
1 
1
f ( x)  x  ;  1, 
x 
2
1 1 3
f ( x)  x  ;  , 
x 2 2
5
f ( x) 
; 7, 9
3x  1
f ( x)  2x  5; 0, 3
3x  2
f ( x) 
; 0, 5
x 1
3  3 
f ( x) 
;  ,3
x  4  2 
41. f ( x) 
10
,  5,  3 / 4
2x  9
42.
f ( x)  x  3 ; 0, 1
43.
f ( x)  7 x  2 ; 1, 2
TALLER: Máximos y mínimos y trazado de curvas.
Determine los máximos relativos, mínimos relativos y puntos de inflexión de las siguientes
funciones. Determine también intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento, intervalos de
concavidad hacia arriba e intervalos de concavidad hacia abajo.
5.
y  h( x)  5x 2  78x  49 R : x  39 / 5 max .
y  t ( x)  4x 2  24x  40 R : x  3min..
9
47 3
y  f ( x)  x 5 
x  10 x R : x   5 , x  2 3max ; x  5 , x   2 3 min.
5
3
4
13
y  d ( x)  x 5  x 3  3x  4 R : x   3 , x  1 / 2 .
5
3
3
2
y  x  5x  3x  54 .
6.
y  w( x)  
1.
2.
3.
4.
7.
x3
 2 x 2  5 x  2 R : x  5m in, x  1 m ax..
3
5
y  h( x)  x  5x 4  10.
8.
y  k ( x)   x 2  12x  28 R : x  6max.
9.
y  f ( x)  x  4
10.
f ( x)  x 3  7 x  6 R: x 
3
R: x  4
punto crítico .
7
7
x
3
3
x 2  2x  2
R : x  0 max. relativo, x  2 min. relativo
x 1
3
4
12. y  h( x)  4 x  3x
R : x  0 puntocrítico, x  1 max.
11.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
g ( x) 
x 5 13 3
 x  36x
R : x  3 x  3 x  2 x  2
5
3
6
11
y  g ( x)  x 5  x 4  x 3  x 2
R : x  0, x  2, x  1 / 3, x  1 / 2
5
4
3
23 3 9 2
f ( x)  x 4 
x  x  18 x  50
2
3
2
1 4 4 3 1 2
g ( x)  x  x  x  6 x  100
4
3
2
1
3
3
h( x)  x 5  x 4  x 2  140 x  2
5
2
2
3
f ( x)  x  12x  3 R: x  2 máx relativo  x  2 min. relativo Decrece:  2,2
Crece:  ,2  2,  Puntos de inflexión: x  0
Concavidad hacia abajo: 0, 
Concavidad arriba:  ,0 
y
Determine los máximos y mínimos absolutos de las siguientes funciones en el intervalo indicado:
19.
y  f ( x)  2x 3  54x 2  480x  1300 En 0,15 .
R: x  0 min. abs. x  15 max. abs. x  8 max. relativo, x  10 min. relativo
y  f ( x)  x 3  6x 2  12x  6 En  3,3 .
3
2
21. y  f ( x)  3x  7 x  8x  93 En 7,20.
20.
Para cada una de las funciones:
f.
g.
h.
i.
j.
Determine el dominio.
Determine los máximos y mínimos.
Grafique.
Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento
Intervalos de concavidad hacia arriba e intervalos de convidad hacia abajo.
11 2
x  10 x  2 R : x  2 / 3max , x  5 / 2min
2
3
2
18. y  5x  x  x  1 R : x  1 / 3max, x  1 / 5min
17. y  j ( x)  2 x 
3
19.
20.
21.
22.
23.
24.
y  g ( x)   x 5  5x 4  200 R : x  0min, x  4max
y  f ( x)  x 4  4x 3  4x 2 R : x  1max, x  0 min, x  2min
y  f ( x)   x 3  3x 2  24x  32 R : x  2max, x  4min
y  f ( x)  x 4  3x 2  x
y  E( x)  3x 5  25x 3  60x
3,   .
R: x  0 punto crítico. x  3 min. relativo
Crece:
f ( x)  x 4  4x 3  5
Decrece:  ,3
Puntos de inflexión: x  0  x  2
Concavidad hacia arriba:
 ,0  2,  Concavidad hacia abajo: 0,2
Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a cada curva en los puntos indicados,
grafique las tres figuras en el mismo plano cartesiano:
y  h( x)  2x 3  9x 2  12x En x  2
3
2
26. y  f ( x)  4 x  8x  x  9 En x  2
4
2
27. y  g ( x)  x  2 x
En x  5
25.
TALLER: Optimización
1. Una empresa dispone de US$ 3000 para cercar una porción rectangular de terreno adyacente
a un río usando a éste como un lado del área cercada. El costo de la cerca paralela al río es
de US$ 5 por metro instalado y el de la cerca para los otros dos lados es de US$ 3 por metro
instalado. Encuentre las dimensiones del área máxima cercada. R: 300m por 250m.
FIGURA Para el problema 1.
2. El propietario de un terreno de forma rectangular de 1.000 metros cuadrados de área quiere
cercarlo y dividirlo en cuatro lotes iguales, con tres cercas paralelas a uno de los lados
extremos. Véase la figura. ¿Cuál es el mínimo número de metros de cerca necesarios a
utilizar?
FIGURA Para el problema 2
3. Para el producto de un monopolista, el modelo de demanda es:
costo promedio es:
c(q)  0,50 
p(q) 
50
$ Y el modelo de
q
1000
$ Encuentre el precio y la producción que maximiza
q
la utilidad.
4. Los costos totales fijos de una empresa son de US$ 1200, los costos de material y trabajo son
de US$ 2
por unidad y el modelo de demanda es:
producción maximiza la utilidad? R: 625 unidades.
p(q) 
100
US$
q
¿Qué nivel de
5.
Una empresa de TV por cable tiene 4800 suscriptores que pagan cada uno en promedio
$18000 mensuales por el servicio, un estudio determinó que puede conseguir 150 suscriptores
más por cada $500 menos en la cuota mensual. ¿Cuál será la cuota que maximice el ingreso
y cuál será ese ingreso máximo? R:
$ 17000 mensuales; $ 86’700000 mensuales.
¿Justifica hacer esta disminución? Explique.
6. El fabricante de un producto encuentra que para las primeras 500 unidades que produce y
vende la utilidad es de $50 por unidad. La utilidad disminuye en $0,10 por cada unida que
produce más allá de 500. Por ejemplo la utilidad total cuando produce y vende 502 unidades
es de 500(50)+2(49,8). ¿Qué nivel de producción maximizará la utilidad? R: 250 unidades.
7. Una empresa de bienes raíces posee 100 apartamentos. Cada uno de los cuales puede
rentarse en promedio por $400000 mensuales. Sin embargo por cada $10000 mensuales de
aumento, habrá dos apartamentos vacíos, sin posibilidad de rentarlos de nuevo. ¿Qué renta
por apartamento maximizará el ingreso mensual? R: $ 450000 mensuales.
8. Un comerciante encuentra que puede vender 4000 yardas de cierta tela cada mes si el precio
es de $ 6000 por yarda y que las ventas aumentan en 250 yardas por cada $ 150 de
disminución en el precio por yarda. Encuentre el precio por yarda que maximiza el ingreso. R:
$ 4200.
9. Un monopolista ofrece a un mayorista vender un artículo por un precio de $ 20.000, y un
descuento de cinco pesos por cada unidad comprada.
a. Determine un modelo matemático para los ingresos del monopolista.
b. Determine el ingreso máximo que puede alcanzar el monopolista bajo estas condiciones.
10. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 20 tales que al multiplicar dos veces uno
de los números por el cuadrado del otro número dicha multiplicación es máxima. R: 20/3,
40/3.
11. Una caja sin tapa va a fabricarse cortando cuadrados iguales en cada esquina de una lámina
cuadrada de 12cm de lado, doblando luego hacia arriba los lados. Encuentre la longitud del
lado del cuadrado que debe recortarse para que le volumen de la caja sea máximo. ¿Cuál es
3
el volumen máximo? Véase la figura. R: 2cm; 128cm Bajo estas condiciones determine la
cantidad de material utilizado.
FIGURA PARA EL EJEMPLO 11.
12. Se desea construir una caja rectangular sin tapa con una pieza de cartón de 24 cm de largo
por 9 cm de ancho, cortando cuadros idénticos en las cuatro esquinas y doblando los lados
resultantes hacia arriba. Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen. ¿Cuál es
el máximo volumen? R: dimensiones de la caja: 2 por 5 por 20; volumen máximo 200cm
¿Qué cantidad de material se debe utilizar para fabricar la caja?
3
.
FIGURA. Para el ejercicio 12
13. Encuentre el volumen de la caja sin tapa más grande que se puede hacer con una hoja
cuadrada de cartón de 24 cm de lado, cortando cuadros iguales en las cuatro esquinas y
3
doblando. R: 1.024cm Determine además la cantidad de material utilizada.
14. Un granjero tiene 750 m de cerca y desea encerrar un área rectangular y dividirla en cuatro
corrales iguales, colocando cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Cuál es el
área total máxima de los cuatro corrales? R: 12500 m 2.
15. Se cuenta con 1200 cm 2 de material para hacer una caja con base cuadrada y sin tapa.
Encuentre el volumen máximo posible de la caja. R: 4000 cm 3
16. Un vendedor de seguros es capaz de vender x pólizas por semana a un precio de P = 200 –
0.01x pesos, siendo el costo total de venta: C ( x)  50x  20000 $ Halle el número de
pólizas a vender de manera que la ganancia sea máxima.
17. Una caja cubierta debe hacerse de una hoja rectangular de cartón que mide 5 cm por 8 cm.
Esta se hace cortando las regiones sombreadas de la figura y después doblando sobre las
líneas punteadas. Encuentre los valores x, y, z que maximizan el volumen.
R: x = 1, y = 3, z = 3. Véase la figura. Determine también la cantidad de material utilizada.
FIGURA. Para el ejercicio 17
18. un lote rectangular de 800 metros cuadrados de área, tiene un lado sobre la orilla recta de un
río. ¿Cuáles serán las dimensiones del lote para cercarlo y que ésta longitud sea mínima,
aprovechando la orilla del río?
19. Se desea construir un envase cilíndrico de base circular que tenga una capacidad de 125
metros cúbicos.
Halle las dimensiones que debe tener para que la cantidad de lámina
empleada sea mínima.
20. El propietario de un lote desea encerrarlo rectangularmente con malla y ladrillo, teniendo que
cercar tres lados con malla y uno con ladrillo. Este lote tiene 800 metros cuadrados de área.
Si el metro instalado de malla tiene un costo de US$ 8 y el metro instalado de ladrillo tiene un
costo de US$ 24. ¿Determine las dimensiones del lote de manera que sus costos sean
mínimos?
21. Se desea construir un cartel de 50 cm cuadrados de área de material impreso con 4 cm de
margen arriba y abajo y de 2 cm de margen en cada lado. ¿Qué dimensiones debe tener el
cartel para que el gasto de papel sea mínimo?
22. Halle la longitud de los rectángulos de perímetro P que tengan área máxima. R:
23. Halle el punto de la recta
p p
*
4 4
y  2 x  3 más cercano al origen. R: (1.2, - 0.6).
24. Demuestre que de todos los rectángulos con un área dada, el que tiene el perímetro menor es
el cuadrado.
25. Demuestre que de todos los rectángulos con un perímetro dado, el que tiene el área mayor es
el cuadrado.
26. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en circulo de radio
r. R: Cuadrado de lado
2 *r
27. Un fabricante de recipientes está diseñando una caja sin tapa y con base cuadrada que debe
tener un volumen de 32 cm 3. ¿Qué dimensiones debe tener la caja de manera que la cantidad
de material usado sea mínima? R: 4X4X2 centímetros.
28. Una caja de base cuadrada sin tapa va a fabricarse con 192 cm 2 de material, ¿qué
dimensiones debe tener de manera que su volumen sea máximo? R: 8X8X4 cm.
29. Un cartel rectangular de cartón debe tener 150 cm cuadrados para material impreso;
márgenes de 3 cm arriba y abajo y de 2 cm a cada lado: Encuentre las dimensiones del cartel
de manera que la cantidad de cartón que se use sea mínima. R: 10X15 cm.
30. Una lata cilíndrica sin tapa debe tener un volumen k (en unidades cúbicas). Demuestre que si
se usa la cantidad mínima de material, entonces el radio y la altura serán iguales a
31. Una lata cilíndrica sin tapa va a fabricarse con una cantidad k de material.
volumen sea máximo, demuestre que el radio y la altura deben ser iguales a
3
k / .
Para que el
k / 3  .
32. Se va a construir un depósito en forma de paralelepípedo rectangular de base cuadrada y
volumen se 144 metros cúbicos. El material de las caras cuadradas cuesta $ 2.000 el metro
cuadrado y el de las caras laterales cuesta $ 3.000 el metro cuadrado. Determine las
dimensiones del depósito para que su costo sea mínimo. 6*6*4 metros.
33. Encuentre una expresión para el radio y la altura de un vaso cilíndrico, dado que su volumen
es de v unidades cúbicas de longitud y de tal manera que la cantidad de material sea mínima.
34. De una cartulina cuadrada se desea construir una caja sin tapa. Para ello se cortará un
cuadrado pequeño a cada una de las esquinas y se doblaran hacia arriba las pestañas
formadas. Si el lado de la cartulina cuadrada mide a unidades de longitud, determine una
expresión para el volumen máximo de la caja. R: El lado del cuadrado a recortar debe ser de
a / 6 unidades de longitud. Determine también una expresión para la cantidad de material
utilizada.
x de cierto producto está dado por la función:
1
C x   75  2 x  2 x 2  x 3 miles $
2
35. El costo de producir una cantidad
¿Qué cantidad del producto se debe producir de tal manera que el costo promedio sea
mínimo? R: 5 unidades.
36. Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos partes. Una parte del alambre se dobla
para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero (quiere decir que todos
sus lados son iguales). ¿Cómo debe cortarse el alambre de tal manera que el área total
encerrada sea:
a. Máxima. R: Todo el alambre para el cuadrado.
b. ¿Mínima? R:
40 3
m para el cuadrado.
94 3
42. Se desea construir una caja rectangular sin tapa con una pieza de cartón de 30 cm por 12 cm.
Para ello se cortarán cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y se doblarán los lados
resultantes hacia arriba. Si la caja debe contener el máximo volumen, determine la cantidad de
material utilizado.
43. El propietario de un terreno de forma rectangular de 1.400 metros cuadrados de área quiere
cercarlo y dividirlo en 6 lotes iguales, con 7 cercas paralelas a uno de los lados extremos.
¿Cuál es el mínimo número de metros de cerca necesarios a utilizar?
44. Para un monopolista, el costo por unidad en la producción de un artículo es de $ 5000 y el
modelo de demanda es: p(q)  30  0.2q $miles ¿Cuál precio dará la utilidad máxima?