Documento 214754

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA
EL ESTUDIO DEL MEDIO AMBIENTE
UNIVERSIDAD
DE MURCIA
PROF. JOSÉ ÁNGEL ORTEGA DATO
CURSO 2006/2007
CAPÍTULO 5
5.5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
Una matriz diagonal es mucho más fácil de estudiar y manejar que una que no lo es. A
continuación se expone un procedimiento para convertir una matriz cuadrada en diagonal, bajo ciertas
condiciones.
5.5.1 VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que  es un valor propio de A si existe un
vector x tal que:
A x    x .
 a11

Tomando A  
a
 n1
A x    x

En este caso a x se le llama vector propio asociado a .
a1n 

 , y x como un vector columna,
ann 
 a11


a
 n1
 x1 
 
x
x   2  , se tiene:
 
 
 xn 
x 
 x1 
a1n   1 


x2 
  x2 






ann 



 x 
x 

 n
 n
5.5.2 POLINOMIO CARACTERÍSTICO
Tenemos que:
A x    x  A x    x  0  ( A    In )  x  0
donde In es la matriz identidad de orden n, y 0 es la matriz nula de dimensión nx1. Es decir:
 a11




 an1
a1n 
1








0
ann 

 x  0
0   1   
   x2   0 

  

 

1
 
 

x 
 
 n  0
(*)
Operando podemos obtener un sistema lineal homogéneo con incógnitas x1, x2, …, xn.
Para que este sistema tenga soluciones distintas de la trivial, debe ser nulo el determinante de la
matriz de coeficientes, es decir: A   I n  0 .
Entonces  es un valor propio de A cuando A   I n  0 .
A P( )  A    I n se le llama polinomio característico de A, y sus raíces son los
valores propios de A.
1
5.5.3 GRADO DE MULTIPLICIDAD DE LOS VALORES PROPIOS
Se dice que  es un valor propio simple de A si es una raíz simple de P(). Y  es un valor
propio de multiplicidad m(), si  es una raíz de multiplicidad m() de P().
5.5.4 MATRIZ DIAGONALIZABLE
Una matriz cuadrada A se dice que es diagonalizable si existe una matriz invertible P, llamada
1
matriz de paso, tal que: P  A  P  D , siendo D una matriz diagonal.
Cuando A es diagonalizable, la matriz D es la que tiene en su diagonal los valores propios
de A, repetidos tantas veces como indique su grado de multiplicidad.
Y la matriz de paso P es la que tiene por columnas a los vectores propios asociados a los
valores propios de A.
TEOREMA
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces, A es diagonalizable sí y sólo si todas las
raíces del polinomio característico son reales, y además, la multiplicidad de cada valor propio coincide
con el valor de n  rg ( A    I n ).
Es decir:

1. P( ) tiene solo raices reales.
A es diagonalizable  

2. m(i )  n  rg  A  i  I n  , i
Se puede probar que: si las raíces de P() son todas simples A será siempre diagonalizable.
Cuando P() tiene alguna raíz múltiple, hay que verificar también la condición 2.
5.5.5 CÁLCULO DE LA MATRIZ DIAGONAL Y DE LA MATRIZ DE PASO
PASO1. Calculamos el polinomio característico P( )  A    I n , y lo igualamos a cero,
obteniendo sus raíces 1, 2, …, r que son los valores propios de A.
PASO 2. Comprobamos las dos condiciones para que A sea diagonalizable:
1. 1 , 2 ,..., r son todos numeros reales.
2. n  rg  A  i  I n   m(i ), i  1, 2,..., r
Cuando se verifiquen las condiciones anteriores, A es diagonalizable, y la matriz diagonal es:
 1 0 0 0 


0 1 0 0 

D
0 0
0


 0 0 0 r 
PASO 3. Para calcular la matriz de paso P, se calculan los vectores propios asociados a los
valores propios de A. Para ello, se resuelve para cada i el sistema (*) de la página 1.
Si el conjunto de soluciones tiene un solo grado de libertad, se le da al parámetro un valor
cualquiera particular y se consigue el vector propio asociado.
Si el conjunto de soluciones tiene varios grados de libertad, se obtienen soluciones particulares
seleccionando los vectores linealmente independientes que generan las ecuaciones paramétricas.
La matriz de paso P será entonces la que tiene por columnas a estos vectores propios.
2
EJEMPLO. Estudiar si es posible diagonalizar la siguiente matriz y, en caso afirmativo,
1
encontrar una matriz diagonal D y una matriz de paso P tales que P  A  P  D .
 5 0 4 


A  0 3 0 
 2 0 1 


5.5.6 APLICACIÓN: CÁCULO DE LA POTENCIA n-ésima DE UNA MATRIZ
Se pretende calcular An  A  A 
 A.
1
Si A es diagonalizable, sabemos que existen matrices D y P tales que P  A  P  D .
1
1
1
1
Entonces: D  P  A  P  P  D  P  P  (P  A  P)  P .
Y aplicando la propiedad asociativa del producto de matrices:
P  D  P1  (P  P1 )  A  (P  P1 )  P  D  P1  I  A  I  A .
1
Luego tenemos que A  P  D  P . Y entonces:
An  A  A 
A
 ( P  D  P 1 )  ( P  D  P 1 ) 
 P  D  ( P 1  P )  D  ( P 1  P ) 
 PDD
En conclusión:
 ( P  D  P 1 ) 
 ( P 1  P )  D  P 1 
 D  P 1  P  D n  P 1.
An  P  D n  P 1
Es decir, para calcular una potencia de la matriz A sólo es necesario calcular la misma potencia
de la matriz diagonal D, que es muy sencilla, y multiplicar luego por las matrices P y P-1.
EJEMPLO. Calcular la potencia n-ésima de la matriz del ejemplo anterior.
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