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UNIDAD 4
OPERACIONES CON POLINOMIOS
EJERCICIOS RESUELTOS
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que
apliques las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de
polinomios.
Objetivo 1.
Diferenciarás monomios, binomios, trinomios y polinomios en general.
Ejercicios resueltos:
a.)
Identifica con una P si la expresión es un polinomio
y con una X si no lo es:
1.)
6 x5 y 6
z
(
)
( X )
2.)
x- y
(
)
( P )
3.)
x2  5x  6
(
)
( P )
4.)
x2 y
4a 3
(
)
( X )
2a 3b 4c
x 1
5.)
(
)
( P )
b.)
Identifica con una M si la expresión es un monomio, con una B si es un binomio y
con una T si es un trinomio:
1.)
7a - 9b
(
)
( B )
-71a 3
2.)
(
)
(M )
3 2 1 2
a b - a b  a2b
5
2
3.)
(
)
( T )
x 2 y 3a
4.)
(
)
(M )
Objetivo 2.
Identificarás y determinarás el grado de un monomio y el de un
polinomio.
Ejercicios resueltos:
Determina el grado de los polinomios:
1.) x 3 y
La variable x está elevada a la tercera potencia, y la variable y a la primera. El
grado del monomio es 4.
2.)
7 3 2
c p m
12
La suma de los exponentes de c, p y m es 3 + 2 + 1.
El grado del monomio es 6.
3.) P  x   x 4  x 3  x
El término de grado más alto es el primero, que es de grado 4.
El polinomio es de grado 4.
4.) P  x   5
En el polinomio solamente aparece una constante, diferente de cero.
El grado es 0.
5.) x 4  4 x 3  6 x 2 y 4  4 xy 5
Los términos que aparecen en el polinomio son, respectivamente, de grados 4, 3,
6 y 6.
El polinomio es de grado 6.
Objetivo 3.
Reducirás términos semejantes en un polinomio.
Ejercicios resueltos:
Reduce los términos semejantes:
1.) x  2 x
x  2 x = 3x
2.)
1
1
a a
2
2
1
1
a  a = a.
2
2
3.) 3 x3  4 x 2 y  3xy 2  2 x 3  yx 2  y 2 x
Agrupando los términos se obtiene
 3x
3
 2 x 3    4 x 2 y  x 2 y    3 xy 2  xy 2 
  x 3  3x 2 y  4 xy 2
4.) m 2 n  7 m 2 n  3nm 2  m3  2
Reacomodando las variables en los términos, queda
m 2n  7 m 2 n  3m 2 n  m3  2
y agrupando
m3   m 2 n  7m 2 n  3nm 2   2
 m3  5m 2 n  2

 
5.) 2 xy 2  4  7 xy 2  12

Quitando paréntesis y reagrupando queda
2 xy 2  4  7 xy 2  12
  2 xy 2  7 xy 2    4  12 
 5 xy 2  8
Objetivo 4.
Determinarás cuándo dos polinomios son iguales.
Ejercicios resueltos:
Identifica, si lo hay, cuál polinomio de la columna izquierda es igual al de la columna
derecha:
1.) 3 x 2  6 xy
2
 2 x 2 y  6 y 4 x5  7
2
2.) x y  9 xy  xyz
5
2
2
 5 x y  4 xy  yx
3
3 x 3 y 7  6 x 4 y 4  3x 3 y 4
4.) xy 3  4 xy 2  5 x 2 y 2
6 yx  3x 2
5.) 6 x 3 y 7  6 x 3 y 4  12 x 4 y 4
 7  6 y 4 x5  2 yx 2
Ejercicios resueltos:
2
2
3.) 6 x y  2 x y  7
Objetivo 5.
4
3
 
 
 
 
 
 3
 4
 
1
 3
Recordarás el procedimiento general para sumar y restar polinomios.
a) Sumas:
1.) Suma los monomios: 2 xy, 5 xy 2 , 8 xy , 3 xy 2 , z 2 .
Solución:
2 xy  5 xy 2  8 xy  3 xy 2  z 2
Se reducen los términos semejantes:
2
 8  xy   5  3 xy 2  z 2
El resultado final es:
10 xy  8 xy 2  z 2 .
2.) Suma los monomios:
 2 5 x 2 , 3 4 xy , 2 3 y 2 ,  1 2 xy, 310 x 2 ,  1 3 y 2 .
Solución:
  2 5 x   3 4 xy  2 3 y    1 2 xy   310 x    13 y 
2
2
2
2
Se reducen los términos semejantes:
  2 5  310  x   3 4  1 2  xy   2 3  13  y
2
2
El resultado es:
 110 x 2  1 4 xy  13 y 2 .
3.) Suma los polinomios: 3 x 2 y  5 xy 2 , 3 xy 2  5 x 2 y, 8 xy 2  2 x 2 y .
Solución:
 3x
2
y  5 xy 2    3xy 2  5 x 2 y    8 xy 2  2 x 2 y 
Se eliminan paréntesis::
3 x 2 y  5 xy 2  3xy 2  5 x 2 y  8 xy 2  2 x 2 y
El resultado se obtiene al reducir los términos semejantes:
4 x 2 y  6 xy 2 .
4.) Suma los polinomios: 3 x 2 y  4 xy  y,
Solución:
x 2 y  2 xy  3 y  2 .
3 x 2 y  4 xy  y
x 2 y  2 xy  3 y  2
4 x 2 y  2 xy  4 y  2
5.) Suma los polinomios:
4 x 2  6 x  3, 5 x  2 x 2  1,  2 x 2  4 x  12, 4  x 2  2 x .
Solución:
4 x2  6 x  3
2 x2  5 x  1
2 x 2  4 x  12
 x2  2 x  4
3x 2  x  6
b) Restas:
1.) Resta: 4xy , de 2xy .
Solución:
2 xy  ( 4 xy )
Es decir:
2 xy  4 xy
Se reducen términos semejantes y se obtiene:
2xy , que es el resultado final.
2.) Resta: 4 x 2 y 2 , de 3 x 2 y 2 .
Solución:
3 x 2 y 2   4 x 2 y 2 
Es decir:
3x2 y 2  4 x 2 y 2
Se reducen términos semejantes y se obtiene:
7x 2 y 2 , que es el resultado final.
3.) Resta: 2 x 2  4 x  4, de 3 x 2  4 x  3 .
Solución:
3x2  4 x  3   2 x2  4 x  4 
Es decir:
3x2  4 x  3  2 x2  4 x  4
Se reducen términos semejantes y se obtiene:
x 2  7 , que es el resultado final.
4.) Resta: 2 x 2 y  3 y 2  4, de x 2 y  4 xy 2  5 .
Solución:
x 2 y  4 xy 2
2
5
2
2 x y
 3y  4
 x 2 y  4 xy 2  3 y 2  1
5.) Resta: 6 y 2  3 y  4, de 9 y 2  3 y .
Solución:
9 y2  3y
6 y2  3 y  4
15 y 2  6 y  4
Objetivo 6.
Recordarás la multiplicación de monomios.
Ejercicios resueltos:
Multiplica los monomios que se dan:
1.)
 3a b  2a b 
 3a b  2a b   6a
5 4
2
5 4
2
5 2
 2b 41  1  6a 7b5
2.)
 2xy z   x yz 
 2xy z   x yz   2x
2
3
2
3.)
2
3
2
 2 x  4 x 
 2 x  4 x   8x
4
1 3
y 2 1 z1 2  2x 4 y 3 z 3
3
4
Objetivo 7.
3
4 3
 8x 7
Recordarás la regla para la multiplicación de polinomios por un
monomio.
Ejercicios resueltos:
Efectúa los productos indicados:
1.) 3 x 2 por  6 x3  5 x 2 
 3x  6 x
2
3
 5 x 2   3 x 2  6 x 3   3x 2  5 x 2   18 x5  15 x 4
2.)  x por  3 x  2 yz 2 
  x   3x  2 yz 2    x  3x   x  2 yz 2   3x 2  2 xyz 2
3.)  6a 2b 4c 3  2a 2b 3c  por 2ab 2c 2
 6a b c
2 4 3
 2a 2b3c  2ab 2c 2    6a 2b 4c 3  2ab 2c 2   2a 2b3c  2ab 2c 2
12a 3b6 c 5  4a3b5 c3
Objetivo 8.
Recordarás el procedimiento general para la multiplicación de
polinomios por polinomios.
Ejercicios resueltos:
Efectúa las multiplicaciones indicadas:
1.)
3  2 x 
 4  x  3  2x   4 3  2 x   x 3  2x 
 4  3  4  2 x   x  3  x  2 x 
4  x
2
por
2
2
2
 12  8 x 2  3x  2 x3
 2 x 3  8 x 2  3 x  12
2.)
x 2 
4x
por
2
 9x  2
4 x2  9 x  2
x2
 8 x 2  18 x  4
4 x3  9 x 2  2 x
4 x 3  x 2  20 x  4
3.)
 5xy
2
 3 xy  por
 5xy
2
 3 xy 
5 xy 2  3xy
5 xy 2  3 xy
15 x 2 y 3  9 x 2 y 2
25 x 2 y 4 15 x 2 y 3
25 x 2 y 4
Objetivo 9.
9 x 2 y 2
Recordarás la división entre monomios.
Ejercicios resueltos:
Efectúa las divisiones indicadas:
1.)
22 x3 y 2 z entre 4 xyz 2
2
2
22 x3 y 2 z  22   x3  y 2   z 
       2 
4 xyz 2
 4   x  y   z 
11 x 2 y

2 z
12a5b 7 entre  3ab3 c 2
2.)
12a 5b7  12   a5  b7   1 

  
3ab3c 2  3   a  b3   c 2 

4a 4b 4
c2
18 p 3 r 2t 3 entre  3 p 2 r 2t 2
3.)
18 p 3 r 2t 3  18   p 3  r 2  t 3 

   
3 p 2 r 2t 2  3   p 2  r 2  t 2 
 6 pt
Objetivo 10.
Recordarás la regla para la división de un polinomio entre un
monomio.
Ejercicios resueltos:
Efectúa las divisiones indicadas:
1.)
a 2  ab entre a
a 2  ab a 2 ab
 
 a b
a
a
a
2.)
3 x 2 y 3  5a 2 x 4 entre  3 x 2
3 x 2 y 3  5a 2 x 4 3 x 2 y 3 5a 2 x 4
5


  y3  a2 x2
2
2
2
3 x
3 x
3 x
3
x m 2  5 x m  6 x m1  x m1 entre x m 2
3.)
x m  2  5 x m  6 x m 1  x m 1 x m 2 5 x m 6 x m 1 x m1
 m 2  m 2  m 2  m 2
x m 2
x
x
x
x
 x 4  5 x 2  6 x3  x
Objetivo 11.
Recordarás el procedimiento general para la división de
polinomios entre polinomios.
Ejercicios resueltos:
1.)
Divide: a 2  2a  3 , entre a  3 .
a 1
a  3 a 2  2a  3
 a 2  3a
 a 3
a3
0
2.)
Divide: f  x   x 5  12 x 2  5 x , entre g  x   x 2  2 x  5 .
x 3 2x 2  x
x 2  2 x  5 x 5  0 x 4  0 x 3  12 x 2  5 x
 x5  2 x 4  5 x 3
2 x 4  5 x 3  12 x 2
 2 x 4  4 x 3  10 x 2
 x3  2 x 2  5x
x3  2 x 2  5 x
0
3.)
Divide: p  a   a x 3  a x , entre q  a   a  1 .
a x  2 a x1 a x
a  1 a x 3  0a x  2  0a x 1  a x
 a x3  a x  2
 a x2
a x  2  a x 1
a x1  a x
 a x 1  a x
0
4.)
Divide:
1 2 5
1
1
1
a  ab  b 2 , entre a  b
6
36
6
3
2
1
1
a b
2
3
1
1 1
5
1
a  b a 2  ab  b 2
3
2 6
36
6
1
1
 a 2  ab
6
4
1
1
 ab  b 2
9
6
1
1
ab  b 2
9
6
0
Objetivo 12. Aplicarás las operaciones con polinomios en la resolución de
ejercicios algebraicos.
Ejercicios resueltos:
Obtén el resultado de las operaciones indicadas:
1.)
 2a 2 b  3ab 2 

  3ab  b  2a  3ab  
ab


2a 2b  3ab 2
 2a  3b
ab
y
 3ab  b  2a  3ab   6a 2b  9a2b2  2ab  6ab2
Por tanto:
 2a 2 b  3ab 2 

  3ab  b  2a  3ab  
ab


  2a  3b  6a 2b  9a 2 b 2  2ab  6ab 2 
 12a 3b  18a 3b 2  4a 2b  12a 2b 2
18a 2b 2  27a 2 b3  6ab2  18ab3
 12a 3b  18a 3b 2  4a 2b  30a 2b 2  27a 2b3  6ab 2  18ab3
2.)
 a b
2 2
 a 2  3ab 2  2a 2b  2b  b 2  4ab  
 a 2b  a 3  4a 2 b 2  4ab3  2ab  6ab 2  a3b  4b 2 


a  2b


Solución:
 a b
2 2
 a 2  3ab 2  2a 2b  2b  b 2  4ab  
 a 2b  a 3  4a 2 b 2  4ab3  2ab  6ab 2  a3b  4b 2 


a  2b


  a 2  2a 2 b  a 2b 2  4ab  3ab 2  2b  b 2 
 a 3  a3b  a 2b  4a 2b 2  2ab  6ab 2  4ab3  4b2 


a  2b


Como:
a 2 a 2b 3ab 2ab 2 2b
a  2b  a 3  a 3b  a 2b  4a 2b 2  2ab  6ab 2  4ab3  4b 2
a3
 2a 2b
a 3 b  3a 2 b  4a 2 b 2  2ab  6ab 2  4ab3  4b 2
 a 3b
2a 2b 2
3a 2b  2a 2b 2  2ab  6ab 2  4ab3  4b 2
3a 2b
 6ab2
2a 2b 2  2ab
 4ab3  4b 2
2a 2b2
 4ab3
2ab
 4b 2
2ab
 4b 2
0
Entonces:
a
2
 2a 2 b  a 2b 2  4ab  3ab 2  2b  b 2  
 a 3  a 3b  a 2b  4a 2b 2  2ab  6ab 2  4ab3  4b 2 


a  2b


  a 2  2a 2 b  a 2b 2  4ab  3ab 2  2b  b 2  
 a
2
 a 2 b  3ab  2ab 2  2b 
 3a 2b  a 2b 2  ab  5ab 2  b 2 .
3.)
 x3  5x 2  5x  2

 2 x 2  3 x  1   x 3  2 x 2  3 x  2   
  x 2  4 x  3 


x2


Solución:
Como:
 2x
2
 3 x  1   x 3  2 x 2  3 x  2 
 2 x 2  3 x  1  x 3  2 x 2  3x  2
  x3  3
y:
x 2 3x -1
x  2 x3  5x 2  5x  2
 x3  2 x 2
3x 2  5 x  2
 3x 2  6 x
x2
x2
0
entonces:
x3  5x 2  5x  2
  x 2  4 x  3
x2
 x 2  3x -1   x 2  4 x  3
 x 2  3x -1  x 2  4 x  3
 x  4
y queda:
2
 3

 2 x 2  3 x  1   x 3  2 x 2  3 x  2    x  5 x  5 x  2   x 2  4 x  3 


x2


3
   x  3   x  4
 x 4  4 x 3  3 x  12
4.)
 2 xy  3 x  y  x  z  1   2 x 2 y  xy  zy 
x  y  z 1
Solución:
2 xy  3x  y
x  z 1
2 xy  3 x  y
2 xyz  3xz  yz
2 x2 y  3x 2
 yx
2 x 2 y  3 x 2  2 xyz  3xz  yz  yx  3x  y
Por lo que:
 2 xy  3 x  y  x  z  1   2 x 2 y  xy  zy 
  2 x 2 y  3x 2  2 xyz  3 xz  yz  yx  3 x  y 
  2 x 2 y  xy  zy 
 2 x 2 y  3 x 2  2 xyz  3 xz  yz  yx  3 x  y  2 x 2 y  xy  zy
 3x 2  2 xyz  2 xy  3 xz  3x  y  2 yz
y como:
3x 2 yz 5y
x  y  z  1 3x 2  2 xyz  2 xy  3 xz  3x  y  2 yz
3x2
 3 xy  3xz  3 x
2 xyz  5 xy
 y  2 yz
2 y 2 z
 2 xyz
5 xy  2 y 2 z
 2 yz  2 yz 2
 y  4 yz  2 yz 2
 5 y  5 yz
5 xy
2 y2z
 5 y2
 6 y  9 yz  2 yz 2  5 y 2
queda:
 2 xy  3 x  y  x  z  1   2 x 2 y  xy  zy 
x  y  z 1
 3 x  2 yz  5 y 
Objetivo 13.
2 y 2 z  6 y  9 yz  2 yz 2  5 y 2
x  y  z 1
Aplicarás las operaciones con polinomios en la resolución de problemas
de casos reales.
Ejercicios resueltos:
1.)
En una comisión del Congreso los diputados del PRD son la mitad que los
PRI. Los del PRI con los del PAN suman 8 y los del PT son la mitad que
los
del
del
PAN ¿Cuántos diputados forman la comisión?
Solución:
La información del enunciado establece que el número de los diputados de los
diferentes partidos es:
PRD 
1
PRI
2
PRI  PAN  8
PT 

PRI  8  PAN
1
PAN
2
Al sumar a los diputados de todos los partidos y sustituir las igualdades anteriores
queda
PRD  PRI  PAN  PT 

1
1
PRI   8  PAN   PAN  PAN
2
2
1
1
 8  PAN    8  PAN   PAN+ PAN
2
2
1
1
 4  PAN  8-PAN  PAN  PAN
2
2
 8  4  12
La comisión tiene 12 miembros.
2.) Una persona camina a un ritmo de 2 kilómetros por hora al subir una cuesta y al de 4
kilómetros por hora al bajarla. ¿Cuál es la velocidad media para el recorrido total?
Solución:
Sea L la longitud de la cuesta. El tiempo que tarda en subirla es L/2; mientras que el
tiempo que tarda en bajarla es L/4; entonces el tiempo total será:
T 
L L 3L
 
4
2 4
Como el recorrido total es de 2L , la velocidad media es:
Vm 
2L
T

2L
8
  2.666 km/h
3L
3
4
3.) El depósito del anticongelante de un autobús contiene 8 litros de una mezcla de 60% de
agua y 40% de anticongelante puro. Sin embargo, las bajas temperaturas invernales
requieren que la mezcla contenga 60% de anticongelante. ¿Qué cantidad de la mezcla
actual deberá desecharse y reemplazarse por anticongelante puro para que se obtenga la
cantidad requerida?
Solución:
La cantidad de anticongelante puro en la mezcla actual es el 40% de 8 litros:
0.4  8   3.2 litros;
La cantidad que debe tener la nueva composición es:
0.6  8   4.8 litros.
Cuando se desechan x litros de la mezcla actual se debe añadir una cantidad igual de x
litros de anticongelante para mantener el volumen total, pero con el desecho se pierden
0.4x litros del mismo anticongelante.
Entonces, para obtener una mezcla con el 60% de anticongelante se tiene la expresión:
3.2  x  0.4 x  4.8
o bien
x 1  0.4   4.8  3.2
0.6 x  1.6
x 
1.6
 2.666 litros
0.6
4.) Un padre al morir dejó establecido que el hijo mayor recibiría $100,000 más la quinta
parte del resto. El siguiente recibiría $200,000 más la quinta parte del nuevo resto. Y en
la misma forma cada hijo iría recibiendo $100,000 más que el anterior y la quinta parte
del resto. Con esta forma de repartir la herencia, el padre se aseguró que todos
recibieran la misma cantidad. ¿Cuántos herederos había y qué cantidad recibió cada
uno?
Solución:
Sea H el importe total de la herencia. El primer hijo recibió
100,000 
H  100,000
5
El segundo hijo recibió $200,000 más la quinta parte de lo que quedaba después de que
el primero recibió su parte y de los 200,000 que le correspondían a él:
1
H  100,00

200,000   H  100,000 
 200,000
5
5

Como cada hijo debe recibir la misma cantidad, se igualan los dos polinomios para
obtener el valor de H:
100,000 
H  100,000
5
1
H  100,00

 200,000   H  100,000 
 200,000
5
5

Después de hacer las operaciones queda
100,000 
H
H
H
 20,000  200,000   20,000 
 4,000  40,000
5
5
25
y, al despejar
H
 200,000  20,000  4,000  40,000  100,000  20,000
25
H  25  64,000
H  1,600,000
Entonces, dado que la herencia era de $1,600,000 y cada hijo recibió la misma cantidad,
eran 4 hijos y cada uno recibió $400,000.
5.)
La edad de Juan es el doble de la que tenía Pedro cuando Juan tenía la que
ahora tiene Pedro. En total suman 49 años. ¿Cuáles son sus edades?
Solución:
Sea x la edad actual de Juan. Dado que la suma de las edades de ambos es 49, la edad
actual de Pedro será
 49  x  .
La expresión algebraica sobre la comparación de las edades: “la edad actual de Juan es
el doble de la que Pedro tenía cuando Juan tenía la que tiene ahora Pedro” se obtiene
como sigue:
Pedro es menor que Juan y la diferencia de edades entre ellos es
 x   49  x   .
En aquel momento, la edad de Juan era la edad actual de Pedro:  49  x  ; al restar a
ésta la diferencia de edades entre ambos, se obtiene la edad que tenía Pedro cuando
Juan tenía  49  x  y, como la edad actual de Juan es el doble de ésta entonces:


x  2  49  x    x   49  x  
x  2  49  x    x  49  x 
x  2 49  x  2 x  49
x  2 98  3 x
x  196  6 x
7 x  196
x  28
Y la edad de Pedro es: 49  28  21
6.) Encuentra tres números enteros consecutivos tales que cuando se forman las 6
fracciones posibles tomados de dos en dos, la suma de ellas es un número entero.
Solución:
Sean x  1 , x y x  1 los tres números enteros consecutivos que se buscan. Las 6
fracciones que se pueden formar con ellos, tomados de dos en dos son:
x 1
,
x
x
,
x 1
x 1
,
x 1
x 1
,
x 1
x
,
x 1
x 1
x
Y la suma de las seis fracciones será:
x 1
x
x 1 x 1
x
x 1





x
x 1 x  1 x 1 x  1
x


( x  1)2 ( x  1)  x 2 ( x  1)  x( x  1) 2  x( x  1)2  x 2 ( x  1)  ( x  1)( x  1) 2
x( x  1)( x  1)
x3  x 2  x  1  x3  x 2  x3  2x 2  x  x3  2x 2  x  x3  x 2  x3  x 2  x  1
x( x  1)( x  1)

6x3
6x2

x( x 2  1) x 2  1
Ahora bien, x 2 y x 2  1 son números primos entre sí porque difieren en una unidad,
por lo tanto esta fracción será un número entero sólo si x 2  1 divide a 6, lo que ocurre
para x  2 , por lo tanto, los tres números buscados son: x  1  1 ; x  2 ; x  1  3 .