703 ANALISIS DE LA EFICIENCIA ECONOMICA EN LAS ESCUELAS RURALES DEL PAIS MEDIANTE INDICES DE MALMQUIST 2011

Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
Proceedings – Vol. 4, año 2011
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7.03 ANÁLISIS DE LA EFICIENCIA ECONÓMICA EN LAS ESCUELAS RURALES DEL
PAÍS MEDIANTE ÍNDICES DE MALMQUIST.
JUAN CARLOS MIRANDA CASTILLO
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[email protected]
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AUTORES:
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LUIS OJEDA SILVA
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[email protected]
GASTÍN VERGARA DÍAZ
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de
[email protected]
Universidad Austral de Chile
Instituto de Estadística
Casilla Nº 567 – Valdivia - Chile
Teléfono: 56-63-221202
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Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
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RESUMEN
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El objetivo de esta investigación fue analizar la eficiencia económica de un conjunto de
escuelas rurales ubicadas en diferentes Regiones de Chile: la técnica utilizada consistió en la
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aplicación de modelos del análisis envolvente de datos (DEA), con aplicación de los Índices de
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Malmquist y su descomposición, considerando la prueba SIMCE como variables relevante sobre
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los indicadores.
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Palabras Claves: Análisis envolvente de datos (DEA), Índice de Malmquist, eficiencia, Escuela
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Rural, SIMCE
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ABSTRACT
es
The objective of this research was to analyze the economic efficiency of a set of rural
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schools located in different regions of Chile: the technique used was the application of models
to
of data envelopment analysis (DEA), with application of Malmquist Index and their
de
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decomposition, considering the relevant variables SIMCE on indicators.
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Key Words: Data envelopment analysis (DEA), Malmquist Index, efficiency, Rural School, SIMCE
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1. Introducción
La política educacional del Estado de Chile se ha constituido en un tema de País, por su
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rol como herramienta insustituible para promover tanto el desarrollo social como el
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económico, así como la competitividad de los países en un mundo cada vez más globalizado, lo
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que obliga a medir con mayor precisión los recursos que se asignan y las contribuciones que
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por esa vía se alcanzan (Donoso et al, 1999). Se busca de esta forma mejorar la calidad de la
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educación, lograr equidad y proponer la participación de todos los jóvenes en el proceso
-E
educativo (Araya y Miranda, 2002).
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Una distinción urbano-rural tiene una proyección referida a los logros de aprendizajes
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registrados por el sistema nacional de medición del rendimiento escolar. Las escuelas rurales
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muestran niveles de logro inferior a las urbanas. Los puntajes más bajos se observan en
rR
es
pequeñas escuelas multigrado, caracterizadas por el aislamiento geográfico y su instalación en
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comunidades rurales de difícil acceso y contextos culturales de carácter tradicional.
Au
Estas escuelas, tradicionalmente excluidas de iniciativas pedagógicas, representan unos
de
de los sectores más críticos respecto de la calidad de las prácticas pedagógicas y sus resultados,
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(Miranda, y Araya 2003).
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así, como de mayor inequidad en el sistema educacional chileno subvencionado por el Estado
De
En lo que respecta a la prueba SIMCE (Sistema de Medición de Calidad de la
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Educación), este es un Sistema Nacional de Evaluación de resultados de aprendizaje del
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Ministerio de Educación de Chile. El SIMCE es un estimador parcial de la calidad educacional de
ed
un establecimiento ya que provee antecedentes acerca del grado de incidencia de algunos
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factores sobre los estimadores de calidad de la educación. Por lo que resulta de interés
Pr
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conocer cómo estas escuelas mejoran sus posibilidades de obtener buenos resultados en ella.
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Su propósito principal es contribuir al mejoramiento de la calidad y equidad de la educación,
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informando sobre el desempeño de los estudiantes en diferentes subsectores del currículum
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nacional, y relacionándolos con el contexto escolar y social en el que ellos aprenden. El
Ministerio de Educación es el responsable de su diseño, aplicación y procesamiento de la
información, entregando orientaciones de apoyo a los establecimientos educacionales. A partir
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del año 1988, alternadamente, se aplica el SIMCE a los 4º y 8º años básicos de todo el país que
tienen ocho alumnos o más en el curso. (SIMCE, 2010)
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Hasta el año 2005, la aplicación de las pruebas se alternó entre 4º Básico, 8° Básico y 2°
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Medio. A partir del año 2006, se evalúa todos los años a 4° Básico y se alternan 8° Básico y 2°
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Medio. Desde el año 2010 se incorpora la evaluación en 3° Medio del subsector Inglés. (SIMCE,
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2010)
-E
Una vez contextualizado el estudio señalamos que en esta investigación se aplicó el
os
modelo de Análisis Envolvente de Datos (DEA) y el Índice de Malmquist para la medición de la
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productividad del sector educacional, específicamente en lo que respecta al programa
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MECE/RURAL y utilizando como variable básica de interés, los resultados de la prueba SIMCE.
es
De lo anteriormente señalado, se puede señalar que la técnica DEA permitió medir e identificar
to
rR
las unidades escolares más eficientes en la aplicación de una política pública.
Au
A continuación se explica la metodología aplicada y los fundamentos teóricos de los
de
modelos que se utilizan. Luego, se presentan los resultados obtenidos y las conclusiones sobre
os
la aplicabilidad de estas herramientas para la medición de la productividad en el sector
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educacional, específicamente de las escuelas rurales insertas en el programa MECE/RURAL de
De
nuestro País. (MINEDUC, 1998)
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2. Material y metodología de análisis
ed
El proceso de evaluación de la eficiencia a través del modelo DEA se inicia con la
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selección de las unidades de decisión que serán objeto de análisis, que en este estudio
Pr
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corresponden a una parte de la matriz de datos levantada en el “Estudio de Evaluación de la
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Línea de Educación Rural del Programa MECE” que fuera realizado por investigadores de la
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Universidad Austral de Chile (1997).
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Los datos utilizados en el análisis provienen de una muestra probabilística de escuelas
rurales que forman parte de toda la población distribuida en las regiones del país. El total de la
muestra que fue de 504 escuelas se obtuvo a través de un muestreo estratificado con afijación
din
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proporcional, bajo los criterios de 95% de confianza, con un error del 4% y asumiendo una
varianza teórica del 0,25.
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Del total de escuelas señaladas anteriormente y después de la depuración de las bases
Pr
de datos consideradas en el análisis en el período 1999-2009 se consideraron para el estudio,
FA
sólo 19 registros (escuelas) del total País.
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En relación con los indicadores, las variables de entrada y los resultados del programa
-E
MECE/RURAL, estimados para realizar la aplicación del método, estos son atribuibles a la
os
puesta en marcha del programa MECE/RURAL (endógena) y otras son propias del proceso
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educativo, como los resultados de la Prueba SIMCE (exógena) tal y como se muestra en el
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cuadro 1.
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Cuadro 1: Indicadores de Input y Output educativos
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Fuente: Elaboración propia a partir de Miranda (2003)
El tratamiento metodológico del modelo que se utilizó para la obtención de los
resultados que a continuación se muestran, fue el Análisis Envolvente de Datos (DEA) y el
din
gs
Índice de Malmquist en una aplicación al sector educacional, específicamente a las escuelas
rurales del programa MECE/RURAL. Con el objetivo de analizar la eficiencia interna de las
ee
escuelas dentro de la muestra.
Pr
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En lo que respecta al tratamiento informático de los datos, éste se realizó por medio
FA
del programa DEAP (A Data Envelopment Analysis computer program) versión 2.1, desarrollado
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por Tim Coelli, Centre for Efficiency and Productivity Analysis University of Queensland.
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3. Marco de referencia del estudio
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En la literatura pueden encontrarse diversas aserciones respecto a terminologías
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importantes que se tratarán en este estudio. Según lo que señala Álvarez (2002) y citado por
es
Chirinos y Urdaneta (2007), la idea de comparar empresas según su comportamiento es de
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indudable interés para el análisis económico. En este sentido surgen conceptos como los de
Au
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productividad y eficiencia, a los que recientemente se ha unido el de competitividad, por lo que
es de fundamental importancia la definición de estos conceptos, destacando sus diferencias.
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Por lo cual debemos referirnos al trabajo de Farrell (1957), considerado el precursor de las
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medidas modernas de la eficiencia. De acuerdo con Farrell, la eficiencia técnica nos indicará si
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los recursos y la tecnología disponibles están siendo aprovechados de manera adecuada.

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siguientes enfoques:
De
Por tanto, para cuantificar la eficiencia técnica será necesario considerar alguno de los
Orientación al producto: en este enfoque se tendrá como objetivo primordial medir la
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eficiencia considerando la máxima producción alcanzable dada cierta cantidad de
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insumos (eficiencia centrada en el producto).
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 Orientación al insumo: la medida de la eficiencia debe estar en relación con la mínima
combinación de insumos posible para una cantidad de producción (eficiencia centrada
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en el insumo).
La eficiencia es uno de los determinantes de la productividad: mientras que la eficiencia se
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refiere a qué tan bien se desempeña una unidad productiva con la tecnología existente, la
Pr
productividad se refiere a la cantidad producida por insumo.
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Según Álvarez (2002) y citado por Chirinos y Urdaneta (2007), la maximización del beneficio
Debe elegir la producción (Output) que maximice el beneficio, de todos los niveles de
os
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exige que una empresa tome correctamente las tres decisiones siguientes:

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producción posibles.
Debe elegir la combinación de insumos (inputs) que minimiza el costo de producción,
es
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de entre todas las combinaciones de insumos que permiten obtener el producto
La empresa debe producir el bien o servicio elegido con la cantidad mínima de insumos
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
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anterior.
de
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posible, lo que es lo mismo, optimizar el uso de los recursos.

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En este sentido establece el autor tres tipos de eficiencia:
Eficiencia de escala: cuando una empresa está produciendo en una escala de tamaño
Eficiencia asignativa: cuando la empresa combina los insumos en la proporción que
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óptima, que es la que le permite maximizar el beneficio.
Eficiencia técnica: cuando la empresa obtiene el máximo de producción posible con la
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
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minimiza el costo de producción.
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combinación de insumos empleada.
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En lo que concierne a Productividad esta se entiende como el ratio entre productos generados
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e insumos utilizados por una unidad productiva (Sanin y Zimet, 2003). Por ende, la misma
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puede variar tanto por diferencias en la tecnología existente, recogida en la función de
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producción, como por diferencias en la eficiencia del proceso productivo o por diferencias en el
entorno en que se produce.
Álvarez (2002) y citado por Chirinos y Urdaneta (2007), señala que estos términos son
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usados en el sentido de que es bueno para las empresas una mejora en cualquiera de ellos, lo
que induce a que en ocasiones se usen de forma indistinta. Sin embargo, según este autor, eso
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es un error, ya que no sólo los conceptos hacen referencia a aspectos diferentes de la
Pr
producción, sino que no es cierto que siempre sea bueno un aumento de los mismos. No
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siempre una mejora en la eficiencia lleva asociada una mejora en la productividad y viceversa.
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La clave está en entender que fijando una de las variables (input o output) ambos conceptos
-E
son equivalentes, pero cuando ambos varían, la productividad se ve afectada necesariamente
os
por un efecto tamaño que incorpora la ley de los rendimientos decrecientes; esto implica que
va
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mayores producciones, manteniendo la tecnología constante, sólo pueden alcanzarse a costa
rR
es
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de una menor productividad.
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Para comprender mejor lo expuesto anteriormente, nos referiremos a lo que señalan
Au
Guerrero y Rivera (2009) los cuales indican que resulta útil considerar un proceso de
de
producción en que solo se emplea un insumo para elaborar un producto.
os
La relación entre la cantidad del producto y la cantidad del insumo puede interpretarse
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gráficamente, como se muestra en el gráfico 1, donde la curva OB representa la frontera de
De
producción. La eficiencia quedará definida al comparar la producción observada con respecto a
esa frontera, es decir, que a las empresas que operen por sobre la frontera se las considerará
ing
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técnicamente eficientes.
ed
Por ejemplo, si una empresa opera en el punto A del gráfico 1 se puede deducir
ce
fácilmente que es ineficiente, pues podría incrementar su producción hasta el punto B
Pr
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empleando la misma cantidad de insumos, o bien producir lo mismo usando menos insumos
A
(punto C). De acuerdo a la definición de productividad analizada anteriormente, esta quedaría
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representada por la pendiente de la recta que parte del origen y pasa por el punto en cuestión.
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De esta manera, se puede observar que las empresas eficientes son también más productivas,
pues, como se aprecia en el gráfico 1, las pendientes de las rectas OB ó OC (puntos eficientes)
son mayores que las de la recta OA.
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Figura 1: Métodos de Estimación Frontera de Producción
er
Fuente: Esteban, J. y Coll, V. (2003)
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Después de haber establecido lo que se entenderá por eficiencia y productividad se
to
revisará los modelos de frontera que son útiles para el análisis de la eficiencia relativa. En
Au
estudios empíricos sobre análisis de fronteras se distinguen tres enfoques: el análisis
de
envolvente de datos, los modelos de fronteras de producción estocástica y aquellos que usan
las técnicas estadísticas multivariadas (componentes principales y análisis de factores,
re
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principalmente). En tanto los dos primeros fueron desarrollados explícitamente para el estudio
empírico de las fronteras para determinar una jerarquización de las unidades (individuos,
De
entidades) en términos de las eficacias productivas, el tercero no es sino una utilización de las
s-
características básicas de esas técnicas.
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ing
4. Modelos de frontera: Fundamentos teóricos y metodológicos
Pr
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La metodología frontera parte de la existencia de una frontera que estará representada
por una función que puede ser de producción, de beneficios o de costos y que se puede
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estimar a través de técnicas de carácter paramétrico o no paramétrico.
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La Figura 1 siguiente muestra una descomposición del método de Esteban y Coll (2006).
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Gráfico 1 Fronteras de producción y eficiencia técnica
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Fuente: Revista Cepal-Cambio en la productividad total, Guerrero y Rivera (2009)
de nuestro estudio.
De
A continuación describiremos los modelos no paramétricos que son base fundamental
ed
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5. Modelos no paramétricos
ce
ERIAS REY (1998) explica que los modelos no paramétricos a diferencia de los modelos
Pr
o
paramétricos, pretenden estimar una frontera de producción eficiente sin una forma funcional
explícita previa (Cobb-Douglas, translog, entre otras), con el objeto de identificar la eficiencia
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técnica y la eficiencia asignativa del conjunto de observaciones objeto de estudio.
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ÁLVAREZ (2002) señala que la metodología no paramétrica para medir los índices de
eficiencia siguen tres pasos:

Descripción de los supuestos de las propiedades de la tecnología de producción
din
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que permiten establecer aquellos planes de producción que se consideran
realizables;
Definición del tipo de índice que se desea estimar y;

La construcción de un programa matemático que calcule el índice que se desea
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
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estimar.
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En cuanto a las propiedades de la tecnología de producción, éstas permiten describir la
-E
tecnología con la que se realiza la actividad de producción, es decir delimitar el conjunto de
os
planes de producción que se consideran tecnológicamente realizables.
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d
ÁLVAREZ (2002) dice: "La caracterización no paramétrica de la tecnología se completa
er
formulando una serie de supuestos adicionales acerca de las propiedades teóricas que
es
satisface la tecnología. Por lo tanto, el hecho de aceptar los supuestos implica incluir en el
rR
Conjunto de Posibilidades de Producción (CPP) algunos procesos productivos que no han sido
de
Algunos de los supuestos definidos son:
Au
to
realmente observados”.
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1. Es tecnológicamente posible no producir nada.
2. Si dos procesos productivos pertenecen al CPP, todas las combinaciones lineales de estos
De
dos procesos, también pertenecen al conjunto CPP
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3. Hay dos versiones sobre la eliminación de inputs:
ed
a. La versión estricta, que establece que es posible desechar el exceso de inputs a coste
ce
cero. Una unidad productiva es capaz de producir la misma cantidad de Output
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utilizando una cantidad mayor de cualquier input.
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b. La versión débil, establece que es posible mantener el nivel de producción siempre que
se produzca un incremento equiproporcional en la cantidad empleada de todos los
inputs.
din
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4. Rendimiento constante de escala, implica re-escalar la actividad de cualquier proceso
ee
productivo perteneciente al conjunto de procesos productivos.
oc
Para ambos casos (paramétrico y no paramétrico) se interpretará como unidades
Pr
eficientes aquellas que se localicen sobre la frontera de producción, de beneficios o de costes,
FA
e ineficientes las que se sitúen por debajo de la función de producción y de beneficios o por
NE
encima de la frontera de costes. La frontera de producción es aquella función que determina el
os
-E
producto máximo que se puede alcanzar dada una cierta combinación de recursos.
va
d
La medición de la eficiencia se basa principalmente en comparar la actuación real de
una empresa con respecto a un óptimo, es decir, comparar lo que hace la empresa con lo que
es
er
debería haber hecho para maximizar el beneficio.
rR
La técnica de frontera genera una superficie o frontera en un espacio que tiene como
to
ejes a los recursos o factores productivos y a los productos y servicios que genera como ejes
de
Au
adicionales.
os
La técnica de frontera genera una superficie o frontera en un espacio que tiene como
re
ch
ejes los insumos y los productos, tal y como se muestra en el gráfico 1. En el espacio de entrada
y salida cada punto representa una entidad, la línea segmentada ilustra la frontera eficiente,
De
generada por un modelo probando cada entidad en particular, en relación con su eficiencia.
s-
Cada vértice de la frontera es una entidad que destaca sobre el resto, el conjunto de
ing
posibilidades de producción; es decir, los puntos ubicados por debajo de ella representan el
ce
ed
espacio en el cual es factible que se sitúen las entidades afines (Mercado et al., 1998).
Pr
o
Las entidades situadas en la frontera tienen valores de eficiencia o productividad en el
modelo de optimización iguales a 1 (100%). Sin embargo sólo se consideran eficientes, si las
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restricciones se satisfacen en el sentido estricto.
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Con lo estudiado anteriormente, se ha llegado a definir una frontera eficiente
compuesta de aquellos procesos que permiten obtener el mayor producto dado un conjunto
de inputs, o bien, obtener el mismo producto reduciendo el vector de inputs. Estas dos
din
gs
orientaciones se las denomina input y output y son las que se emplean para llegar a la frontera
eficiente.
oc
ee
Dentro de los modelos no paramétricos se encuentra el DEA (acróstico de Data
Pr
Envelopment Analysis) cuyo marco conceptual-metodológico se desarrollará a continuación.
NE
FA
6. Análisis envolvente de datos (DEA)
-E
La metodología empleada en este estudio para medir las eficiencias comparativas y
os
determinar cambios de productividad, se denomina Análisis Envolvente de datos y
va
d
corresponde a una importante y altamente fructífera herramienta basada en técnicas de
er
programación lineal con que se producen bienes y se proporcionan servicios. Es una
es
metodología eminentemente comparativa, ya que entrega medidas de eficiencia para cada
rR
Unidad de toma de decisión (DMU por sus siglas en Inglés) comparándola con cada una de las
Au
to
restantes DMU que conforman la muestra. Se asume que cada DMU emplea unos recursos
(input) para entregar productos (output) y aquellas DMU que se incluyen en los modelos se
de
asumen como homogéneas, es decir emplean el mismo tipo de entrada para producir los
re
ch
os
mismos tipos de salida.
De
Las medidas de eficiencia corresponden a la relación de las salidas sobre las entradas,
las cuales se ponderan para cada DMU, logrando para cada una los mejores índices de
ing
s-
eficiencia, lo cual da la ventaja fundamental sobre cualquier otra técnica de las técnicas
ed
tradicionales- Igualmente permite trabajar unidades que producen varias salidas haciendo uso
EN
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de diversos insumos.
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Los pesos ponderados asignados a las entradas y salidas, se obtienen a través de
modelos de programación lineal, que a través de restricciones, evitan que las eficiencias
superen el 100%.
din
gs
La técnica DEA fue desarrollada inicialmente por Charnes, Cooper y Rodhes en 1978,
para calcular el índice de eficiencia técnica, resolviendo un programa matemático de
ee
optimización el cual puede ser considerado como una aplicación al caso de múltiples outputs
Pr
oc
del análisis tradicional de ratios propuesto por Farrell en 1957.
FA
El análisis de frontera permite comparar unidades de ejecución en una organización o
NE
sector, basado exclusivamente en las mediciones de entrada (insumos) a la unidad y en su
os
-E
desempeño medido en sus salidas (productos).
va
d
Cuando se tiene un insumo (entrada) para obtener un producto (salida), la eficiencia de
es
er
la unidad de decisión, está dada por: EF = Y/X, donde: Y= output; X= input
rR
En caso de que se utilice más de un insumo (entradas) para producir varios productos
to
(salidas), se deben ponderar tanto las entradas como las salidas, obteniéndose la siguiente
de
Au
definición para la eficiencia del DMU: EF = aiYi / biXi
os
La frontera de eficiencia está conformada por aquellas DMU eficientes, es decir, está
re
ch
determinada por el número máximo de productos que se pueden fabricar utilizando diversas
De
combinaciones de recursos, con los mínimos costos de producción. Después que se obtiene la
función de producción, se compara cada unidad del conjunto de producción con la frontera,
ce
ed
producción.
ing
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bajo el supuesto que las desviaciones existentes son comportamientos ineficientes de
Pr
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De acuerdo con las características del caso que se desea estudiar, se puede medir la
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eficiencia de un DMU: la orientada a la entrada cuando se minimiza la cantidad de insumos
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(recursos) utilizados para obtener el mejor nivel de producción; y, orientada a la salida, cuando
se maximiza la cantidad de productos elaborados usando un nivel fijo de insumos.
din
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Existen tres tipos de estimación disponibles cuando se utiliza un solo insumo y un solo
producto, a saber: retornos constantes a escala, retornos no crecientes a escala y retornos
ee
variables a escala. De ellas debe resaltarse que la forma de estimación más exacta es la de
oc
retornos variables a escala.
Pr
A través del DEA se puede construir una frontera o un hiperplano de producción que
FA
permita medir la eficiencia relativa de un conjunto de unidades de decisión que producen
NE
similares productos a partir de un conjunto común de insumos. La eficiencia se puede medir en
-E
términos de insumos, donde la cantidad utilizada de insumos es la variable que se puede
os
alterar, ya que el nivel del output es considerado como un valor dado; o bien en términos de
va
d
producción, interpretándose como la cantidad máxima de producción que se alcanzaría a partir
es
er
de un conjunto de insumos dado (Seijas, 2004).
rR
La técnica DEA ofrece información muy completa e individualizada de las unidades de
to
decisión analizadas y permite conocer aspectos de interés tanto de las empresas eficientes
Au
como de las ineficientes. Junto a esto, permite incorporar variables no discrecionales, de
de
naturaleza categórica o, incluso, añadir información procedente de opiniones de expertos, para
re
ch
os
delimitar el conjunto de empresas eficientes.
De
De un modo general, se puede establecer que el DEA es una técnica encaminada a la
evaluación de la eficiencia de una serie de elementos objeto de estudio habitualmente
ing
s-
denominados DMU, siendo los elementos de juicio para dicha evaluación múltiples variables de
entrada y de salida para cada una de las DMU consideradas. En contraste con los tradicionales
ce
ed
métodos paramétricos, cuyo propósito es optimizar un ajuste de regresión a los referidos
Pr
o
datos, el DEA realiza una optimización para cada observación individual, con el objetivo de
calcular una frontera constituida por intervalos graduales y delimitados por un conjunto de
EN
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DMU´s eficientes.
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En estas condiciones, el DEA produce una superficie de producción extrema de carácter
empírico, la cual en términos económicos representa la que se muestra como la frontera de la
din
gs
mejor práctica productiva posible; es decir, la máxima salida empíricamente obtenible para
cualquier DMU en la población observada, dado su nivel de entradas. Para cada DMU
ee
ineficiente (cualquiera que se encuentre bajo la frontera), el DEA identifica las fuentes y el nivel
oc
de ineficiencia para cada una de las salidas y de las entradas. El nivel de ineficiencia se
Pr
determina por comparación respecto a una DMU de referencia o respecto a una combinación
-E
NE
nivel de entradas, y que produzcan el mismo o un mayor nivel de salidas.
FA
convexa de otras DMU de referencia situadas en la frontera eficiente, que utilicen el mismo
os
El cuerpo conceptual y metodológico del DEA encuentra su implementación práctica en
va
d
una serie de modelizaciones, que en función de sus diferentes concepciones, arrojan
er
resultados que dan pie a una variedad de posibilidades interpretativas. A la hora de decantarse
es
por un modelo concreto es preciso fundamentalmente, considerar dos cuestiones. Por un lado
rR
definir la caracterización geométrica de la frontera empírica que determinará la práctica de
to
mayor eficiencia. Ésta frontera puede ser convexa o no, lo cual es equivalente a decir que el
Au
modelo seleccionado permita la consideración de retornos de escala variables (en el caso de
de
frontera convexa) o constantes (en el caso de frontera no convexa). La otra cuestión objeto de
os
consideración es si se debe orientar la formulación del modelo hacia la consecución de una
re
ch
maximización de las salidas, una minimización de las entradas o bien otorgar el mismo énfasis
De
al conjunto de entradas-salidas (Chirinos y Urdaneta (2007).
ing
s-
Utilizando técnicas de programación lineal, se traza una frontera de eficiencia (Gráfico
2) que se construye a partir de las DMU´s más eficientes y que define el nivel máximo de
ce
ed
output que pueden conseguir con los inputs utilizados. Las DMU´s más eficientes son aquellas
Pr
o
que se sitúen en la frontera eficiente, previamente calculada por el modelo (Pedraja y Salinas
EN
EF
A
1994).
2507
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
Proceedings – Vol. 4, año 2011
ASFAE
NE
FA
Pr
oc
ee
din
gs
Gráfico 2 Output orientados al DEA
er
va
d
os
-E
Fuente: Pedraja y Salinas 1994, El Análisis Envolvente de Datos (DEA) y su aplicación al Sector Publico: una nota
introductoria
es
La formulación del modelo matemático DEA, en forma de programación lineal,
rR
considerando la notación de MIRANDA (2003) es la siguiente:
t
max( vi , wk )
W X
V Y
t
i 1
m
k
i ic
kp
1
os
k 1
Wk X kc
(1)
re
ch
0
i ip
Au
i 1
m
de
Sujeto a:
to
V Y
De
k 1
Vi, Wk >0  i y j
ing
s-
c=1,…,p,…,z y
ed
Yic y Xkc son respectivamente los valores observados de outputs e inputs de las "j"
ce
DMUs de la muestra; así las variables de ponderación o soluciones del modelo serían V i y Wk.
Pr
o
La optimización produce un conjunto de valores positivos o nulos que denominaremos V* y
A
W*, que generarán el óptimo, para la función de máximo igual a 1. Por tanto, la función
EN
EF
objetivo siempre tomará valores entre 0 y 1 para las distintas unidades estudiadas.
2508
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
Proceedings – Vol. 4, año 2011
ASFAE
Para resolver la ecuación anterior (1), es necesario convertir el modelo a una forma
lineal equivalente, fijando el denominador a una constante (la unidad) y maximizando el
numerador de la siguiente forma:
(2)
din
gs
Sujeto a:
t
m
W X
i
kp
1
-E
NE
FA
i 1
oc
y
k 1
Pr
i 1
ee
max(
vi , wk m)ViYip
t
1
para c=1,…,p,…,z
ViYic  iW
k X ic
os
Vi, Wk >0  i y j
va
d
La importancia de los resultados de la metodología propuesta se ve reflejada cuando
esta permite identificar las unidades escolares en las que se están usando eficientemente los
es
er
recursos.
rR
Finalmente se señala una clasificación de los modelos DEA, siguiendo a autores como
Au
to
Coll y Blasco (2006), entre otros.
os
de
7. Caracterización de los modelos DEA
re
ch
Los modelos DEA pueden ser clasificados, básicamente, en función de:
De
a) El tipo de medida de eficiencia que proporcionan: modelos radiales y no radiales.
b) La orientación del modelo: input orientado, output orientado o input-output
ing
s-
orientado.
ed
c) La tipología de los rendimientos a escala que caracterizan la tecnología de producción,
ce
entendida ésta como la forma (procedimientos técnicos) en que los factores
Pr
o
productivos (inputs) son combinados para obtener un conjunto de productos (outputs),
EN
EF
A
de tal forma que esa combinación de factores puede caracterizarse por la existencia de
rendimientos a escala: constantes o variables a escala.
2509
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
Proceedings – Vol. 4, año 2011
ASFAE
Dentro del contexto anterior, se exponen los modelos DEA básicos, DEA-CCR y DEA-BCC:

Modelos CCR, que supone rendimientos a escala constantes. Fueron establecidos
por Charnes, Cooper y Rhodes (1978) como programas fraccionales lineales que

din
gs
pueden ser formulados y resueltos como programas lineales.
Modelos BCC, que estiman la frontera de producción con rendimientos variables,
oc
ee
haciendo posible rendimientos a escala constantes, crecientes y decrecientes en
Pr
diferentes tramos de aquella. Fueron introducidos por Banker, Charnes y Cooper
NE
FA
(1984).
-E
En ambos tipos de modelos se pueden distinguir dos orientaciones: output e input. La
os
primera se ocupa del máximo movimiento hacia la frontera vía proporcional aumento de los
va
d
outputs, mientras que la segunda se centra en el máximo movimiento hacia la frontera a través
es
er
de una reducción proporcional de los inputs.
rR
Por lo tanto, parece razonable suponer que la obtención de mejores niveles de
to
producción a partir de los recursos disponibles es el objetivo más adecuado. Por otro lado, BCC
Au
o rendimientos variables a escala porque la medida de eficiencia obtenida es una medida de
de
eficiencia técnica pura, es decir, netas de cualquier efecto escala, aunque también se aplicará
re
ch
pura y eficiencia de escala.
os
el modelo DEA-CCR para poder descomponer la eficiencia técnica global en eficiencia técnica
De
En el gráfico 3 se ilustra el caso de dos unidades A y B que a partir de un único input
obtienen un único output. Se han representado la frontera de rendimientos constantes y la de
ing
s-
rendimientos variables a escala. Considerando una Orientación Output, puede observarse
ed
como la eficiencia de la unidad B viene dada por el cuociente CB/CB2 bajo los supuestos de
ce
rendimientos constantes a escala (RCE), mientras que si la unidad B opera con tecnología de
Gráfico 3 Rendimientos Constantes y Variables de Escala
EN
EF
A
Pr
o
rendimientos variables, la eficiencia vendría dada por CB/CB1.
2510
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
Proceedings – Vol. 4, año 2011
ASFAE
y
din
gs
B2
B1
A
oc
RCE
ee
RVE
-E
NE
FA
Pr
B
x
os
C
to
rR
es
er
va
d
Fuente : Esteban, J. y Coll, V. (2006)
Au
La diferencia entre una medida y otra, es decir, la distancia B2B1, es la eficiencia de
de
escala (EE), que puede ser interpretada como la parte de la ineficiencia presente en la
os
eficiencia técnica global (ETG) que obedece a la escala de producción de la unidad que se
re
ch
evalúa, es decir, es el resultado de descontar a la ETG la eficiencia técnica pura (ETP). Por lo
De
tanto, ETG = ETP · EE.
Si EE = 1 entonces ETG = ETP, lo que indica que la unidad no presenta ineficiencias de
ing
s-
escala y por lo tanto, opera en una escala óptima.
ed
El modelo DEA- CCR, Orientación Output en su forma envolvente puede expresarse de
Max Zo =  + ε (Is+ + Is-)
EN
EF
A
Pr
o
ce
la siguiente forma:
2511
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ASFAE
Sujeto a:

yo
–

Y
s+
+
=
0
din
gs
(3)
X  + s- = xo
FA
Pr
oc
ee
 ,s+, s- ≥ 0
NE
Donde s+ y s- representan las variables de holgura, l es un vector fila cuyas
-E
componentes son todas igual a la unidad y ε es un infinitésimo no-arquímedeo.- La idea de esta
Is+ + Is- , entre aquellas
os
formulación es maximizar la suma de las variables de holgura
va
d
soluciones que maximizan . Al multiplicar esta suma por un ε suficientemente pequeño como
para no alterar el valor  , se le asigna una prioridad menor a la maximización de las variables
es
er
de holgura frente a la maximización de .
rR
Entonces, para determinar la eficiencia de una unidad se examinan todas la
Au
to
combinaciones lineales de las otras unidades que consumen como máximo tanto como la
unidad que se está analizando en las m dimensiones del input y que a lo largo de las s
os
de
dimensiones del output produzcan una cantidad mayor de outputs.
re
ch
 indica la proporción en la que todos los outputs podrían aumentarse mientras se
mantienen los inputs constantes si la unidad analizada actuara también como la unidad
De
hipotética con la que es comparada. Más aún, podría haber una actuación mejor de algún input
s-
y output si alguna de las variables de holgura fueran positivas. Por lo tanto, una unidad es
ing
eficiente si * = 1 y todas las variables de holgura son cero. Una unidad es ineficiente si * > 1
ed
y/o las variables de holgura son no nulas. La eficiencia técnica output de la unidad evaluada
Pr
o
ce
será igual a 1/.
El modelo DEA-BCC, en su forma envolvente, permite determinar la puntuación de
EN
EF
A
eficiencia técnica pura (ETP) y su formulación matemática orientación output es la siguiente:
2512
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
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ASFAE
+
Max Zo =  + ε (Is + Is )
Sujeto a:

–

Y
s+
+
=
0
din
gs
Yo
oc
ee
(4)
NE
FA
Pr
X  + s- = Xo
va
d
os
-E
I =1
es
er
 ,s+, s- ≥ 0
rR
A diferencia del modelo (3) este problema añade una restricción adicional, restricción
to
de convexidad, I  = 1 pero a igual que el modelo (3) en este modelo la eficiencia técnica
Au
output, que en este caso es la eficiencia pura, viene dada por 1/ e indica en qué medida los
de
niveles outputs de la unidad que se está analizando pueden ser aumentados radialmente dado
os
sus niveles de inputs. La unidad será evaluada como eficiente si y solo si  = 1 y las variables de
re
ch
holgura son todas nulas. A partir de los valores óptimos de la solución para cada unidad del
modelo (2) pueden determinarse valores objetivos, conjuntos de referencia para las unidades
De
ineficientes, porcentajes de mejora input/output, porcentajes de contribución input/output,
ing
s-
etc.
ed
Por otro lado, para determinar si los rendimientos a escala son constantes (CRS),
ce
crecientes (IRS) o decrecientes (DRS) se seguirá a Färe et al. (1985) quienes sugieren un
Pr
o
método de dos pasos para estimar los retornos a escala. Si la EE =1 indica que la unidad que se
evalúa tiene rendimientos constantes a escala y si EE < 1 indica que puede tener rendimientos
EN
EF
A
crecientes o decrecientes. Cuando EE < 1 se resuelve el programa lineal ( 1 ) pero con la
2513
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ASFAE
restricción I  ≤ 1 para determinar si la ineficiencia de escala se asocia con IRS o DRS. Este es
el modelo NIRS (Non Incremental Return to Scale), ya que al agregar esta restricción no se
permiten rendimientos crecientes a escala. Por lo tanto, se tienen tres modelos el CRS o
din
gs
rendimientos constantes a escala, el VRS o rendimientos variables a escala y el NIRS.
ee
Entonces si:
oc
 Los modelos CRS, VRS y NIRS producen exactamente la misma medida de
Pr
eficiencia, entonces la unidad exhibe rendimientos constantes a escala.
FA
 La eficiencia de los modelos CRS y NIRS son iguales y menores que la eficiencia del
NE
modelo VRS, entonces la unidad tiene rendimientos locales crecientes en la región
-E
de la frontera.
os
 La eficiencia de los modelos VRS y NIRS son iguales y mayores que la eficiencia del
va
d
modelo CRS entonces la unidad presenta rendimientos locales decrecientes en la
rR
es
er
región de la frontera.
to
Además, cuando se resuelven estos modelos, cada unidad que resulta eficiente obtiene
Au
una puntuación del 100% o la unidad, las unidades ineficientes tienen una puntuación menor
de
por lo que su ordenación no presenta problema. El método DEA no jerarquiza las unidades que
os
resultan eficientes por lo que en este trabajo se recurre a dos métodos planteados en la
re
ch
literatura para poder ordenar las unidades eficientes, ya que no necesariamente todas las
eficientes son igualmente eficientes. Uno de los métodos es el Global Leader y el otro es el de
Global Leader. Este método introducido por Oral y Yolalan (1990) destaca a la unidad
ed
i)
ing
s-
De
la Puntuación de Supereficiencia.
ce
que puede ser considerada como la que presenta mejor rendimiento. Consiste en
Pr
o
detectar las unidades que aparezcan con mayor frecuencia en los conjuntos de
EN
EF
A
referencia de las unidades ineficientes. Si una unidad eficiente no actúa como
2514
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
Proceedings – Vol. 4, año 2011
ASFAE
referencia de ninguna de las restantes unidades ineficientes puede significar que dicha
unidad eficiente solo lo es en un sector o bien que posee una combinación
input/output muy poco común.
din
gs
ii) Puntuación de Supereficiencia. Propuesto por Andersen y Petersen (1993) consiste en
comparar la unidad que se está analizando, con una combinación lineal de todas las
ee
otras unidades que se están considerando, donde la unidad que se analiza (unidad o)
oc
es excluida.
Pr
Este modelo se propone para rendimientos constantes a escala y es el
NE
FA
siguiente:
-E
Max Zo =  + ε (Is+ + Is-)
er
va
d
os
Sujeto a:
rR
es
Σ  j X j + s - = xo
to
jo
os
de
Au
(5)
re
ch
 yo-Σ j Xj + s+ = 0
s- ,s+, j ≥ 0
EN
EF
A
Pr
o
ce
ed
ing
s-
De
jo
2515
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
Proceedings – Vol. 4, año 2011
ASFAE
8. Índice de MALMQUIST
El análisis de rendimiento descansa en el concepto de función de distancia, que por su
din
gs
capacidad para caracterizar la tecnología de producción, se está convirtiendo en la actualidad
ee
en la piedra angular del análisis de eficiencia y productividad en las actividades. (Álvarez, 2002).
oc
La formulación del modelo se realiza a través del concepto de función de distancias y
Pr
su aplicación para definir índices de productividad. La instrumentación empírica exige
FA
caracterizar la tecnología empleando la técnica de optimización del análisis envolvente de
-E
NE
datos (DEA).
os
Mientras la metodología DEA emplea lo que se denomina, en la literatura, “funciones
va
d
distancia”, que representan la inversa de la medición original de Farrell (1957) de eficiencia
er
técnica. Esta metodología utiliza solamente información sobre cantidades, tanto de los
rR
es
productos, como de los insumos empleados.
to
Los Índices Malmquist fueron introducidos originalmente en el ámbito de la teoría del
Au
consumo. Esta propuesta fue posteriormente aplicada a la medición de la productividad, por
de
Caves, Christensen y Diewert (1982), en un contexto de funciones de producción, y por Färe et
re
ch
os
al 1994), en un contexto (DEA) no paramétrico.
Este índice permite medir el crecimiento de la productividad entre dos períodos t y t+1.
De
La metodología de Índices de Malmquist propuesta por Caves, Christensen y Diewert (1982), se
s-
basa en el cálculo de la distancia que separa a cada DMU de la tecnología de referencia en cada
ing
período utilizando para ello la función distancia (calculada mediante la técnica DEA).
ed
El cálculo del Índice de Malmquist es uno de los métodos más utilizados para analizar la
ce
evolución de la productividad y sus componentes a lo largo del tiempo. Dado que solamente se
Pr
o
necesitan datos relativos a cantidades, no es necesario realizar supuestos sobre la forma
EN
EF
A
funcional de la función de producción y permite descomponer la productividad total de los
2516
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
Proceedings – Vol. 4, año 2011
ASFAE
factores de una unidad productiva en el cambio debido a la mejora de la eficiencia técnica (y
ésta a su vez en eficiencia pura y eficiencia de escala) y el debido al cambio técnico o progreso
tecnológico. Es por ello que ha sido extensamente utilizado en el sector público.
din
gs
La representación gráfica del Índice de Malmquist es posible si consideramos
nuevamente el proceso de producción de un producto mediante el empleo de un insumo. En el
oc
ee
gráfico 4 se muestran las “distancias” que deberán obtenerse para medir el cambio que existió
Pr
entre la productividad desde el punto E (t+1) al D (t), considerando como fronteras las
FA
tecnologías de ambos períodos.
re
ch
os
de
Au
to
rR
es
er
va
d
os
-E
NE
Gráfico 4 Representación gráfica del Índice de Malmquist
De
Fuente: Coelli, D.S. Prasada Rao y G.E. Battese, An Introduction to Efficiency and Productivity Analysis, Boston,
ing
s-
Kluwer Academic Publisher, 1998.
ed
Una de las ventajas de esta metodología es que no requiere información sobre precios
Pr
o
ce
y solamente utiliza datos sobre unidades físicas de insumos y de productos.
Tampoco
requiere
hacer
supuestos
sobre
maximización
de
beneficios
o,
EN
EF
A
alternativamente, sobre minimización de costos, y está libre de los errores de una mala
2517
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
Proceedings – Vol. 4, año 2011
ASFAE
especificación en la forma funcional. Sin embargo, una de sus debilidades es que no distingue
entre “noise” e ineficiencia técnica, como ocurre en las estimaciones realizadas a través de
fronteras estocásticas. Cualquier desviación de la frontera sería considerada, en este caso,
din
gs
como ineficiencia. Debido a ello, los shocks externos desfavorables, que afecten la
performance de una economía, serían captados como ineficiencias (al no computar los efectos
oc
ee
aleatorios, la metodología DEA podría sobreestimar la medición de aquéllas).
Pr
En lo que sigue se emplea la propuesta de Färe et. al. (1994), que hace uso de las
FA
funciones distancia. Estos autores miden el crecimiento de la productividad como una media
NE
geométrica de dos índices de productividad Malmquist. (Caves et. al., 1982)
-E
NAVARRO (1999) explica que el Índice de Malmquist puede establecerse desde dos
va
d
os
enfoques:
er
1) El Índice de Malmquist de productividad basado en el output y;
rR
es
2) El Índice de Malmquist de productividad basado en el input
to
El primer caso; analiza las diferencias de productividad como las diferencias en el máximo
Au
output alcanzable dados unos niveles de inputs. El segundo caso; analiza las diferencias de
os
niveles de outputs determinados.
de
productividad como las diferencias en el mínimo nivel de inputs que permite producir unos
re
ch
CAVES et. al. (1982), quien demuestra que ambos índices proporcionan idénticos
De
resultados tan sólo en el caso de que los rendimientos a escala sean constantes.

t
DCit ( xit , yit )  min  : ( xit , yit )  TCCR

EN
EF
A
Pr
o
(6)
ce
ed
ing
s-
La función de distancia en insumos se define con respecto a dicha tecnología como:
2518
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
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ASFAE
t
Donde TCCR
representa la tecnología CCR que satisface los supuestos formulados en el
trabajo de Charnes, Cooper y Rhodes (1978), el conjunto de procesos productivos que se
consideran factibles bajo dichos supuestos (rendimientos constantes a escala, eliminación
din
gs
gratuita de insumos y producción). La función de distancia indica la proporción a la que pueden
reducirse todos los inputs para obtener la misma productividad que la empresa más
oc
ee
productiva, siendo por tanto una medida de productividad relativa.
Pr
Esta función se define coma la inversa de la expansión proporcional máxima del vector
FA
de outputs yt, dados los inputs xt, para que el individuo (xt,yt) sea eficiente y se encuentre
NE
situado en la frontera del período t. DCt(xt, yt ) toma valores inferiores a la unidad, si y sólo si,
-E
(xt, yt), y toma el valor unitario, si y sólo si, (xt,yt) se sitúa en la frontera de producción. En este
os
último caso, la unidad evaluada será técnicamente eficiente.
va
d
Dado que se trata de comparar la evolución de la productividad, el Índice de Malmquist
rR
es
posterior t+1, la función de distancia se define como:
er
precisa funciones de distancia con respecto a diferentes períodos de tiempo. Así, en un período


Au
to
t
DCit 1 ( xit 1 , yit 1 )  min  : ( xit 1 , yit 1 )  TCCR
os
de
(7)
re
ch
Esta función mide el máximo cambio proporcional en los outputs necesario para que
De
(xt+1,yt+1) sea factible con la tecnología del momento t. En este caso, el valor de la función
distancia puede exceder la unidad, debido a que la observación evaluada no es posible con la
ing
s-
tecnología de otro período.
ed
A partir de estas funciones de distancia, Caves, Christensen y Diewert (1982) definen el
ce
índice de productividad de Malmquist el cual mide la variación acontecida en la productividad
Pr
o
relativa de una empresa entre dos períodos, manteniendo fija la tecnología; es decir, la escuela
EN
EF
A
que se utiliza como referencia óptima:
2519
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
Proceedings – Vol. 4, año 2011
ASFAE
t
M CCD

DCit ( xit 1 , yit 1 )
DCit ( xit , yit )
din
gs
(8)
t
Un índice M CCD
> 1 indica que la productividad en el período t+1 es superior a la del
ee
período t, puesto que la expansión necesaria en los outputs del período t+1 para que la
oc
observación sea factible en t es inferior a la aplicable a los outputs del período t. Por el
FA
Pr
t
contrario, un M CCD
< 1 indica que la productividad ha descendido entre los períodos t y t+1.
NE
De la misma manera se puede definir este índice referido al período t+1, para lo cual se
os
DCit 1 ( xit 1 , yit 1 )
DCit 1 ( xit , yit )
va
d
t 1
M CCD

-E
deben utilizar las correspondientes funciones distancia, de forma que:
to
rR
es
er
(9)
Au
Con el fin de evitar caer en la arbitrariedad de optar por mantener el periodo de
os
anteriormente expresados.
de
referencia en t o en t+1, es habitual tomar la media geométrica de los dos índices
1
2
De
re
ch
 DCit ( xit 1 , yit 1 ) DCit 1 ( xit 1 , yit 1 ) 
M CCD ( xit 1 , yit 1 , xit , yit )  

t
t
t
t 1
t
t
 DCi ( xi , yi ) DCi ( xi , yi ) 
ed
ing
s-
(10)
ce
En el caso de que M CCD ( xit 1 , yit 1 , xit , yit ) , ese incremento en la productividad relativa
Pr
o
de la empresa puede deberse a varias causas. En primer lugar es posible que la empresa haya
EN
EF
A
mejorado de hecho su eficiencia relativa, la empresa ha mejorado más que la empresa óptima.
2520
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
Proceedings – Vol. 4, año 2011
ASFAE
En segundo lugar, es posible que la tecnología disponible haya mejorado, pero se debe
recordar que se ha mantenido fijo el referente tecnológico. Färe et. al. (1994) propusieron una
descomposición del índice que permite separar ambas fuentes de variación en la
DCit 1 ( xit 1 , yit 1  DCit ( xit 1 , yit 1 ) DCit 1 ( xit 1 , yit 1 ) 
M CCD ( x , y , x , y ) 


DCit 1 ( xit , yit )  DCit ( xit , yit ) DCit 1 ( xit , yit ) 
t
i
1
2
t
i
NE
FA
Pr
M CCD ( xit 1 , yit 1 , xit , yit )  cambio en la eficiencia * cambio técnico 
,t 1
 EFi t ,t 1 * tCCR
,i
ee
t 1
i
oc
t 1
i
din
gs
productividad:
va
d
os
-E
(11)
er
El primer cociente de la expresión refleja el cambio que se ha producido en la eficiencia
es
relativa de la empresa, variación en la distancia que la separa de su frontera contemporánea;
rR
mientras que el segundo término (entre corchetes) refleja el cambio en la productividad que
to
puede atribuirse al movimiento de la frontera CCR de la empresa de comparación entre los
Au
periodos t y t+1. Nótese que, aunque este último componente se refiere al cambio técnico,
de
aparece con el indicador de la empresa i, puesto que para su cálculo se parte de los vectores de
os
actividad de dicha empresa. Por tanto, el índice de cambio técnico mide el desplazamiento de
re
ch
la frontera al nivel de output producido por la empresa evaluada definiéndose como una media
geométrica con el fin de evitar decidir el nivel de actividad de referencia. Si han existido
s-
De
mejoras tecnológicas, tendrá un valor superior a uno.
ing
Por lo tanto, un Índice de Malmquist superior a la unidad indica mejoras de la
ed
productividad, mientras que si toma valores inferiores a la unidad, implica pérdidas.
ce
Además, debe tenerse en cuenta que, aunque el producto del cambio en la eficiencia
Pr
o
técnica y el cambio técnico debe ser, por definición, igual al Índice de Malmquist, estas dos
EN
EF
A
componentes pueden tener comportamientos en direcciones opuestas.
2521
Proceedings del XXVII Encuentro Nacional de Facultades de Administración y Economía ENEFA
Proceedings – Vol. 4, año 2011
ASFAE
El índice de cambio en la eficiencia puede ser a su vez descompuesto en un índice de
cambio en la eficiencia pura calculado con respecto a la tecnología con rendimientos variables
y un índice residual de cambio en eficiencia de escala. Siendo,

din
gs

t
DVi t ( xit , yit )  min  : ( xit , yit )  TCCR
ee
(12)
oc
La función de distancia definida con respecto a la tecnología TtBCC, que corresponde con
Pr
los supuestos formulados en Banker, Charnes y Cooper (1984). Al abandonar el supuesto de
FA
rendimientos constantes, es posible construir un índice de eficiencia de escala comparando las
-E
os
DCit ( xit , yit )
DVi t ( xit , yit )
va
d
EEit ( xit , yit ) 
NE
dos funciones de distancia definidas anteriormente,
er
(13)
de
DCit 1 ( xit 1 , yit 1 ) DVi t 1 ( xit 1 , yit 1 ) EEit 1 ( xit 1 , yit 1 )


 EPi t ,t 1 * EEit ,t 1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
DCi ( xi , yi )
DVi ( xi , yi )
EEi ( xi , yi )
os
EFi
t 1
Au
to
rR
es
Y por lo tanto,
re
ch
(14)
De
Con lo que el Índice de Malmquist queda descompuesto en tres índices que miden la
variación en la eficiencia pura (relativa a la frontera con rendimientos variables), en la
ing
s-
eficiencia de escala (posición relativa del referente en la frontera con rendimientos variables
con respecto al óptimo en la frontera con rendimientos constantes) y un índice de cambio
ce
ed
técnico (que refleja el desplazamiento de la frontera de rendimientos constantes).
Pr
o
Es posible mejorar la descomposición de Färe et al.(1994) separando dos componentes
A
del índice de cambio técnico. Ray y Desli (1997) propusieron calcular el índice de cambio
EN
EF
técnico utilizando como referencia la tecnología de rendimientos variables. La diferencia entre
2522
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ASFAE
los índices de cambio técnico de Färe et al. (1994) y de Ray y Desli (1997) puede recogerse en
un índice residual de cambio de escala (en qué medida la posición del referente sobre la nueva
frontera con rendimientos variables se acerca más al tamaño óptimo reflejado en la frontera
din
gs
con rendimientos constantes), como sugieren Simar y Wilson (1996) y Zofío y Lovell (1998),
DCit 1 ( xit 1 , yit 1 )  DCit ( xit 1 , yit 1 ) DCit ( xit , yit ) 
M CCD ( x , y , x , y ) 


DCit ( xit , yit )  DCit 1 ( xit 1 , yit 1 ) DCit 1 ( xit , yit ) 
t
i
1
2
t
i

oc
t 1
i
Pr
t 1
i
ee
quedando de la siguiente forma.
1
NE
FA
DVi t 1 ( xit 1 , yit 1 ) EEit 1 ( xit 1 , yit 1 )  DVi t ( xit 1 , yit 1 ) DVi t ( xit , yit )  2


 *
DVi t ( xit , yit )
EEit ( xit , yit )  DVi t 1 ( xit 1 , yit 1 ) DVi t 1 ( xit , yit ) 
1
va
d
os
-E
 EE t ( x t 1 , y t 1 ) EEit ( xit , yit )  2
  t i1 it 1 it 1
t 1
t
t 
 EEi ( xi , yi ) EEi ( xi , yi ) 
t, t 1
t, t 1
 EPit, t 1 * EE it, t 1 * TBCC,
i * E i
to
rR
es
er
(15)
Au
Para calcular el Índice de Malmquist es necesario resolver las funciones de distancia
de
correspondientes a través del DEA. Así, el cálculo del Índice de Malmquist requiere buscar la
solución de cuatro programas de optimización para las n unidades productivas. En notación
De
re
ch
os
matricial tenemos que:
ing
s-
Programas Programación Lineal (PL)
ce
ed
DC ( X ,Y 
t
0
1
t
t
 max  
EN
EF
A
Pr
o
PL 1:
2523
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Sujeto a:
 y0t  Yt   0
x0t  X t   0
(16)
din
gs
 0
ee
Donde x0t y y0t son los vectores de inputs y outputs asociados a la unidad 0 y λ es un
oc
vector de pesos que de forma flexible ponderan las matrices Xt y Yt. El parámetro  indica la
Pr
máxima proporción en la que los outputs de la unidad 0 pueden ser expandidos tal que
FA
(x0t,y0t/) siga siendo factible tomando en consideración el desempeño del resto de unidades
-E
NE
(Xt,Yt).
t 1
0
( X t 1 , Yt 1

1
 max  
va
d
DC
er
PL 2:
os
Los otros tres programas son:
es
Sujeto a:
(17)
t 1
, Yt 1

1
 max  
s-
De
t
0
re
ch
DC ( X
os
de
0
PL 3:
to
Au
x0(t 1)  X t 1  0
rR
 y0(t 1)  Yt 1  0
Pr
o
ce
ed
ing
Sujeto a:
 y0(t 1)  Yt   0
x0(t 1)  X t   0
0
EN
EF
A
(18)
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ASFAE
DC
t 1
0
PL 4:
( X t , Yt

1
 max  
Sujeto a:
din
gs
 y0t  Yt 1  0
x0t  X t 1  0
(19)
oc
ee
0
Pr
En los últimos dos programas la eficiencia se calcula con las unidades de un período
FA
pero tomando como referencia la frontera productiva de otro período. Ello puede suponer que
NE
 pueda tomar valores menores que la unidad, lo que no se produciría en datos de sección
-E
cruzada. Para el cálculo de la eficiencia de escala los dos primeros programas deben ser
os
calculados también asumiendo rendimientos variables a escala añadiendo la restricción de que
va
d
Σ λn = 1.
rR
es
er
9. Resultados
to
Con la finalidad de calcular el Índice de productividad de Malmquist, se determinaron
Au
en primer lugar los índices de eficiencia de cada una de las escuelas rurales analizadas para los
de
períodos estudiados (T0=1999y T1=2009), mediante el análisis envolvente de datos (DEA). Se
os
utilizó una orientación a la salida (maximización de outputs) y se analizaron los modelos de
re
ch
rendimientos constantes a escala (CRS, por sus siglas en inglés) propuesto por Charnes, Cooper
y Rhodes (1978) y de rendimientos variables a escala (VRS, por sus siglas en inglés) propuesto
De
por Banker, Charnes y Cooper (1984).
ing
s-
Tomando como base las distancias de cada uno de los períodos con respecto a la
frontera de rendimientos constantes y rendimientos variables a escala, calculadas mediante el
ed
DEAP, se determinó el Índice de Malmquist según fórmula original y posteriormente se realizó
Pr
o
ce
la descomposición de este índice en los índices de eficiencia técnica y eficiencia relativa y este
EN
EF
A
a su vez en eficiencia pura y eficiencia de escala, según lo propuesto por Färe et al (1994).
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10. Medición de la eficiencia en las escuelas rurales
En el Cuadro 4 se puede notar que en los dos períodos estudiados las escuelas que
din
gs
alcanzaron la eficiencia de escala fueron las DMU´s 3,6 8, 12, 15 y 17. Estas escuelas fueron las
únicas que resultaron eficientes al considerar tanto la frontera de rendimientos constantes
ee
como la de rendimientos variables a escala. (Ver apéndice 1 para visualizar los DMU asociados
Pr
oc
a cada una de las escuelas)
FA
En el caso de las escuelas señaladas, se puede notar que su eficiencia de escala es igual
NE
a su eficiencia global, ya que su eficiencia técnica es del 100%. Esto significa que su ineficiencia
os
A
Pr
o
ce
ed
ing
s-
De
re
ch
os
de
Au
to
rR
es
er
va
d
Cuadro 2 Eficiencias de escala
-E
se debe al nivel de escala en el cual operan.
EN
EF
Fuente: Elaboración propia
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Después de haber determinado y analizado las distancias con respecto a las fronteras
oc
ee
mejora o desmejora de la eficiencia de cada una de las escuelas de un período a otro.
din
gs
eficientes en los dos períodos estudiados, se calculó el Índice de Malmquist para evaluar la
Pr
El cuadro siguiente, muestra el Índice de Malqmist y los Índices de eficiencia relativa y técnica,
FA
respectivamente.
Pr
o
ce
ed
ing
s-
De
re
ch
os
de
Au
to
rR
es
er
va
d
os
-E
NE
Cuadro 3 Índices de Malmquist e Índices de eficiencia relativa y técnica
EN
EF
A
Fuente: Elaboración propia
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La causa que origina que se mantenga la mejora del índice de productividad de las
escuelas 12, 15, 17 y 19 es su eficiencia técnica. Esta afirmación se fundamenta en el hecho que
din
gs
estas escuelas se ubican en la frontera eficiente en los dos períodos, por lo que su índice de
oc
la Productividad, causada mayormente por el incremento de su eficiencia relativa.
ee
eficiencia relativa es igual o superior a 1. En el resto de las escuelas se observa una mejoría de
Pr
El índice de eficiencia relativa, a su vez, se descompuso en dos índices más -
FA
considerando la frontera con rendimientos variables a escala-, a saber: el de eficiencia pura y el
-E
NE
de eficiencia de escala. Los resultados se muestran en el Cuadro 4
ed
ing
s-
De
re
ch
os
de
Au
to
rR
es
er
va
d
os
Cuadro 4 Descomposición del índice de Eficiencia Relativa
EN
EF
A
Pr
o
ce
Fuente: Elaboración propia
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Como puede observarse en el cuadro anterior, aunque algunas de las escuelas
mejoraron su eficiencia relativa, sólo las DMU 2, 5 y 14 mejoraron su eficiencia pura (en
relación con la frontera variable). La mejoría que se observa en el resto de las granjas
din
gs
corresponde a que incrementaron su eficiencia de escala, lo cual evidencia que el tamaño de
escala al cual operan se ha acercado al óptimo de escala.
oc
ee
Por su parte, la DMU 10 fue la única que desmejoró tanto su eficiencia pura como su
Pr
eficiencia de escala, teniendo esta última (el alejamiento del nivel de escala más productivo),
FA
un mayor impacto en la disminución de su eficiencia relativa.
-E
NE
11. Conclusiones
os
El análisis de los modelos DEA y los índices de eficiencia resultan útiles para la medición
va
d
de la productividad del sector educacional, especialmente de las escuelas rurales. Al
er
determinar cuáles son las escuelas más eficientes de la integración, se puede realizar un
rR
es
análisis sobre cuáles son los mecanismos utilizadas en ellas, con el fin de aplicarlos al resto de
to
las escuelas que muestran algún nivel de ineficiencia.
Au
En el análisis realizado de 19 escuelas rurales asociadas a un programa MECE/RURAL,
de
mediante la aplicación de los Modelos DEA se determinó que las escuelas que utilizan más
os
eficientemente sus recursos son las DMU´s 3, 6, 8, 12, 15 y 17, por cuanto en los dos períodos
re
ch
analizados resultaron tener el mayor porcentaje de eficiencia y sirvió de parámetro de
De
comparación para el resto de las escuelas.
s-
Mediante la descomposición realizada del índice de Malmquist, además de conocer la
ing
evolución de la productividad de un período a otro, se pudo determinar cuáles fueron las
ed
principales causas que originaron el incremento o la disminución de la productividad en cada
ce
una de las escuelas analizadas.
Pr
o
Se observó que la mayoría de las escuelas, mejoraron su eficiencia de un período a
EN
EF
A
otro, debido mayormente al acercamiento a la escala óptima de producción. Esta circunstancia
2529
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se tradujo en la mejora de su eficiencia relativa, así como en el progreso de la tecnología
utilizada, que se observa en el índice de eficiencia técnica.
La disminución de la eficiencia de la DMU 10 se debió principalmente a la desmejora de
din
gs
su eficiencia pura, lo cual evidencia que los recursos no están siendo utilizados adecuadamente
EN
EF
A
Pr
o
ce
ed
ing
s-
De
re
ch
os
de
Au
to
rR
es
er
va
d
os
-E
NE
FA
Pr
oc
ee
por esta escuela.
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