estadis ejercicios6

EJERCICIOS TEMA 6
6.1.-Una Comisaría lleva registro de la evolución de denuncias sobre robos que superan cierta cantidad, confeccionando la siguiente tabla:
Año
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
Robos
67
85
89
78
97
105
93
112
88
117
115
Se desea saber:
a) Los números índices elementales tomando como año base 1993.
b) Los números índices elementales tomando como referencia el año anterior.
c) Los números índices elementales tomando como referencia la media del periodo
1993-2003
d) Comente el significado de los diferentes índices calculados y represéntelos gráficamente.
Resolución:
xi
x − x0
× 100 y ∆I i = i
× 100 = Ii – 100,
x0
x0
según se trate del índice ordinario (sin incrementar) o del índice incremental (o variación del
índice), donde x0 = 67 es el valor base (los robos en 1993). Los resultados son los siguientes:
a) Las fórmulas aplicables, en %, son: Ii =
Año
Robos
1993
67
1994
85
1995
89
1996
78
1997
97
1998
105
1999
93
2000
112
2001
88
2002
117
2003
115
Ii (%) 100’00 126’87 132’84 116’42 144’78 156’72 138’81 167’16 131’34 174’63 171’64
∆Ii (%)
0’00
26’87
32’84
16’42
44’78
56’72
38’81
67’16
31’34
74’63
71’64
b) Las fórmulas aplicables son similares a las anteriores, sólo que ahora el valor base x0 es el
dato del año anterior, por lo que el índice para 1993 no lo podemos calcular ya que no nos
dan los ros que hubo en 1992. Los resultados son los siguientes:
Año
Robos
1993
67
1994
85
1995
89
Ii (%)
---
126’87 104’71
87’64
∆Ii (%)
---
26’87
–12’36
4’71
1996
78
1997
97
1998
105
1999
93
2000
112
2001
88
2002
117
2003
115
124’36 108’25
88’57
120’43
78’57
132’95
98’29
24’36
–11’43
20’43
–21’43
32’95
–1’71
8’25
c) Las fórmulas aplicables son similares a las anteriores, sólo que ahora el valor base x0 es la
media del periodo 1993-2003, x0 = (67 + 85 + 89 + ... + 115) / 11 = 1.046 / 11 = 95’09. Los
resultados son los siguientes:
Año
Robos
1993
67
1994
85
1995
89
1996
78
Ii (%)
70’46
89’39
93’59
82’03
–29’54 –10’61
–6’41
–17’97
∆Ii (%)
1997
97
1998
105
102’01 110’42
2’01
10’42
1999
93
2000
112
2001
88
2002
117
2003
115
97’80
117’78
92’54
123’04 120’94
–2’20
17’78
–7’46
23’04
20’94
-1-
d) Los índices sin incrementar representan el porcentaje que suponen los
robos denunciados en cada año en relación con los de la base (los que hubo
en 1993, los del año anterior o en relación con el número medio de ese
periodo de tiempo 1993 a 2003); su representación gráfica es:
180%
160%
140%
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
1993
1994
1995
1996
Base = 1993
1997
1998
1999
Base = Año Anterior
2000
2001
2002
2003
Base = Media Periodo
Los índices incrementales representan el porcentaje de variación (positiva si
ha habido aumento o negativa si ha habido disminución) que suponen los
robos denunciados en cada año en relación con los de la base (los que hubo
en 1993, los del año anterior o en relación con el número medio de ese
periodo de tiempo 1993 a 2003); su representación gráfica es:
80%
60%
40%
20%
0%
1993
-20%
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
-40%
Base = 1993
Base = Año Anterios
Base = Media Periodo
-2-
6.2.- Las acciones de una importante empresa suponen el 8% de todas las que se cotizan en
Bolsa. Si éstas bajaran un 10%, determine cuánto deberían subir otras acciones que participan
sólo con el 1% del total para que el índice general de la Bolsa no se modificara. (Nota: El
resto de acciones no cambian de valor).
Resolución:
IE = Índice de la empresa, ∆IE = – 10%, wE = peso de la empresa = 8%
IO = Índice de esas otras empresas, ∆IO = ?, wO = peso de esas otras empresa = 1%
IR = Índice del resto de empresas, ∆IR = 0%, wR = peso de ese resto = 100 – 8 – 1 = 91%
IB = Índice de la Bolsa, ∆IB = 0%, es un índice ponderado:
∆I B =
w E ∆I E + wO ∆ IO + w R ∆I R
wE + wO + wR
8 × (−10) + 1 × ∆I O + 91× 0
0=
100
⇒ – 80 + ∆IO = 0 ⇒ ∆IO = 80%
luego las acciones de esas otras empresas tienen que subir un 80%.
6.3.- Aceptando que los productos que entran a formar parte del Índice de Precios al Consumo no modificaran su valor y que la gasolina disminuyera su precio actual en un 7%, calcule la disminución del I.P.C. originado por esta bajada del precio de la gasolina. (Dato: La participación o "importancia" de la gasolina en el I.P.C. es del 6%).
Resolución:
I = I.P.C. es un Índice Ponderado
IG = Índice de la gasolina, ∆IG = – 7%, wG = “importancia” de la gasolina = 6%
IR = Índice del resto, ∆IR = 0%, wR = “importancia” del resto = 100 – 6 = 94%
∆I =
w G ∆I G + wR ∆I R 6 × (−7) + 94 × 0 − 42
=
=
= – 0’42%
wG + w R
100
100
el I.P.C. bajaría un 0’42%.
6.4.- El comité de centro de una empresa reclama subidas salariales basándose en los datos
de la tabla:
Año
Salario (Euros)
∆ I.P.C.
2002
880
---
2004
930
7%
2006
970
6%
a) Calcule los números índices del salario y compararlos con las variaciones del
I.P.C.
b) Haga una representación gráfica que muestre las pérdidas de valor adquisitivo.
-3-
c) ¿Qué salario medio deberían cobrar en 2006 para que su poder de compra fuera el
mismo de 2002?.
Resolución::Las variaciones del I.P.C. son respecto al periodo anterior, por lo que con los
salarios adoptaremos el mismo criterio.
a) El índice incremental de los salarios ha sido:
930 − 880
× 100 = 5’68%
880
970 − 930
∆I 2006 / 2004 =
× 100 = 4’30%
930
∆I 2004 / 2002 =
que son menores que los del I.P.C., por lo que ha habido una pérdida de valor adquisitivo.
b) Las pérdidas de valor adquisitivo han sido del 7 – 5’68 = 1’32% en 2004, respecto de
2002, y del 6 – 4’30 = 1’70% en 2006, respecto de 2004, que podemos representar, por
ejemplo, mediante un diagrama de barras:
c) Para que el poder de compra en 2006 fuera el mismo que en 2002, los incrementos
salariales tendrían que haber sido los mismos que los del I.P.C., por lo que en 2004 el salario
medio tendrá que haber aumentado un 7% respecto del de 2002:
S2004 = 880 + 7% 880 = 941’60 euros
y luego, este salario medio se tendría que haber aumentado un 6%, por lo que el el salario
medio que deberían cobrar en 2006 tendría que haber sido:
S2006 = 941’60 + 6% 941’60 = 998’10 euros
6.5.- En las cinco semanas que se lleva controlando un fenómeno de interés policial, se han
registrado diariamente los casos que se muestran en la tabla.
DIA
LUNES
MARTES
MIERCOLES
JUEVES
VIERNES
SABADO
DOMINGO
1ª
624
814
816
824
975
996
936
2ª
621
816
812
830
973
987
942
3ª
614
804
812
830
972
988
930
4ª
617
798
809
824
964
984
936
5ª
603
794
808
817
969
945
930
-4-
a) Calcule las medias atendiendo al día de la semana.
b) Calcule la media diaria durante el periodo de cinco semanas estudiado.
c) Calcule los índices diarios medios tomando como referencia la media del periodo y
representarlos.
d) Interprete los resultados obtenidos en el apartado anterior.
Resolución: La siguiente tabla resume los resultados:
Semana
Día
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
TOTAL
Medias
I
I
L
624
621
614
617
603
3079
615’80
72’53%
-27’47%
M
X
J
V
S
D
814
816
824
975
996
936
816
812
830
973
987
942
804
812
830
972
988
930
798
809
824
964
984
936
794
808
817
969
945
930
4026
4057
4125
4853
4900
4674
805’20
811’40
825’00
970’60
980’00
934’80
94’84%
95’57%
97’18%
114’33%
115’43%
110’11%
-5’16%
-4’43%
-2’82%
14’33%
15’43%
10’11%
TOTAL 5985 5981 5950 5932 5866
29714
848’97
a) Para calcular las medias de cada día de la semana basta con sumar los 5 datos respectivos
y dividir por 5.
b) La media diaria en ese periodo es la suma dde los 35 datos dividida por 35.
xi
x − x0
× 100 y ∆I i = i
× 100 = Ii – 100,
x0
x0
según se trate del índice ordinario (sin incrementar) o del índice incremental (o variación del
índice), donde x0 = 848’97 es el valor base (la media del periodo). Una representación gráfica de I sería:
c) Las fórmulas aplicables, en %, son: Ii =
Índice (ordinario o sin incrementar)
d) Hay un efecto de fin de semana (viernes, sábado y domingo) para disminuir los lunes.
-5-
6.6.- En una Comisaría se ha registrado la evolución anual del número de robos que superan cierta cantidad de euros (Robos) así como del correspondiente índice incremental simple
(respecto al año anterior), ∆Iaa, según se muestra en la siguiente tabla incompleta:
Año
1996
Robos
77
∆Iaa
---
1997
1998
1999
2000
88
107
23’38 4’21
2001
2002
2003
103
122
7’48
2004
2005
2006
–19’67 29’59 –1’57
Responda a las siguientes cuestiones: a) Complete la tabla, b) Obtenga los números índices
elementales tomando como referencia la mediana del periodo 1996 - 2006. c) Realice una
representación gráfica de ambos índices.
Resolución:
xi − x 0
× 100 , donde xi es el núx0
mero de robos que ha habido en el año para el que se quiere calcular el índice, y x0 es el número de robos que ha habido en el año anterior, de donde también se obtiene
∆ Iaa × x 0
xi = x 0 +
(el dato del año anterior se modifica según el correspondiente porcen100
taje del índice incremental), con lo que se obtienen los siguientes resultados:
a) Para completar la tabla tenemos en cuenta que ∆Iaa =
Año
1996 1997 1998
Robos
77
∆Iaa
---
95
1999
88
99
2000 2001
2002
2003
2004
2005
2006
107
103
122
98
127
125
115
23’38 4’21 –11’11 21’59 7’48 –10’43 18’45 –19’67 29’59 –1’57
b) Ahora el valor de referencia x0 es la mediana del periodo, como son n = 11 datos (impar),
y e = n/2 = 5’5 (decimal), tomamos el 6o valor de los robos al ordenar éstos de menor a
mayor:
77, 88, 95, 98, 99, 103, 107, 115, 122, 125 y 127 ⇒ Me = 103 = x0
x − x0
obteniendo los índices simples incrementales ∆IMe = i
×100 que se muestran en la
x0
siguiente tabla:
Año
1996
1997
1998
1999
Robos
77
95
99
88
∆IMe –25’24 –7’77
2000 2001 2002 2003
107
115
–3’88 –14’56 3’88 11’65
103
0
122
2004
2005
2006
98
127
125
18’45 –4’85 23’30 21’36
-6-
c) Representación gráfica:
6.7.- El número de accidentes entre 2007 y 2008, en una determinada zona, se han clasificado según el sexo del conductor y el tipo de vehículo: moto, coche y camión; y se han considerado unos pesos o ponderaciones del 10% para motos, 30% para coches y 60% para camiones
(pesos que están relacionados con los costes para una Compañía de Seguros). Los datos se recogen en la siguiente tabla incompleta:
Moto
Año
Hombres
Coche
Mujeres
2007
Hombres
Mujeres
Hombres
Mujeres
45
63
1
10
2008
35
Índice
109’38
12
Camión
98
41
103’16
2
95’24
200
a) Complete los datos que faltan en la tabla. b) Calcule el índice compuesto ponderado sin
incrementar, para los hombres, tomando como base el año 2007.
Resolución:
a) Lo primero es decidir qué año se ha utilizado como base de la tabla de datos, para lo cual
observamos la última columna que contiene toda la información, y teniendo en cuenta que el
x
índice es I = i × 100 comprobamos que el año base ha sido el 2007, pues de esa forma el
i
x0
2
índice es efectivamente el dato del año 2008 respecto del 2007, I = × 100 = 200 , es decir,
1
x0 va a ser el dato del año 2007, xi el del 2008, e Ii el índice, lo cual ya nos permite completar la tabla, en la que la cantidad de accidentes se ha redondeado a los respectivos enteros
más próximos.
Moto
Coche
Camión
Año
Hombres
Mujeres
Hombres
Mujeres
Hombres
Mujeres
2007
32
10
95
45
63
1
2008
35
12
98
41
60
2
Índice
109’38
120’00
103’16
91’11
95’24
200
-7-
Los cálculos han sido los siguientes:
12
× 100 = 120%
10
98
Coche-Hombres: 103’16 =
×100 ⇒ x0 = (98×100)/103’16 = 95
x0
Moto-Mujeres: Ii =
41
×100 = 91’11%
45
x
Camión-Hombres: 95’24 = i ×100 ⇒ xi = (95’24×63)/100 = 60
63
Coche-Mujeres: Ii =
b) La base sigue siendo el año 2007, luego el índice compuesto ponderado sin incrementar,
para hombres, es:
Icp =
10 × 109’38 + 30 × 103’16 + 60 × 95’24
= 99’03%
10 + 30 +60
6.8.- En la siguiente tabla incompleta se recogen homicidios (H) y lesiones (L) entre los
años 2005 y 2010, así como valores porcentuales de índices simples y compuestos ponderados:
Año
2005
2006
Homicidios
935
908
Lesiones
14.886
12.306
IH
100
89’30
IL
100
95’96
2007
2008
2009
954
1014
11.731
2010
Ponderaciones
7
11.006
1
102’46
78’44
Icp
∆Icp
Se pide: a) Que complete la tabla. b) Si para el año 2011 fuera el ∆Icp = –1’33%, y hubiera
962 homicidios ¿cuántas serían las lesiones?.
Resolución:
x
×100 , donde x son los casos de homicidios o lesiones del año en curso y x0 los del
x0
año base, que es el 2005, porque en él los índices simples (sin incrementar) son el 100%, por
la que x0 = 935 para los homicidios y 14.886 para las lesiones. Como las ponderaciones o
pesos para homicidios y lesiones son 7 y 1, respectivamente, los índices compuestos ponde7 IH + IL
rados, sin incrementar, de cada año son Icp =
, y para calcular los índices com8
puestos ponderados incrementales basta restarles 100 (expresados en %) .Los resultados, en
recuentos (redondeados a números enteros) y porcentajes, son los que se muestran en la siguiente tabla:
a) I =
-8-
Año
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Ponderaciones
Homicidios
935
908
835
954
1.014
958
7
Lesiones
14.886
11.006
1
IH (%)
100
97’11
89’30
IL (%)
100
95’96
82’67
78’44
Icp (%)
100
96’97
88’47
99’08 104’75 98’90
∆Icp (%)
0
14.285 12.306 11.677 11.731
102’03 108’45 102’46
–3’03 –11’53 –0’92
78’81
4’75
73’94
–1’10
b) Si para 2011 fuera ∆Icp = –1’33% (= Icp – 100%) el índice sin incrementar sería
Icp = 100 –1’33 = 98’67%, y si hubiera 962 homicidios su índice para ese año sería:
IH =
962
× 100 = 102’8877%
935
por lo que:
98’67 = Icp =
7 IH + IL
7 ×102’ 8877 + I L
=
8
8
de donde podemos despejar el valor de IL:
IL = 8×98’67 – 7×102’8877 = 69’1461%
con lo cual, llamando x a las lesiones en 2011 obtenemos que:
69’1461 = IL =
x
× 100
14.886
de donde se obtiene x = 69’1461×14.886/100 = 10.293’09 = 10.293 lesiones
(redondeando a un número entero). En estos últimos pasos también se puede calcular x
utilizando el hecho de que para las lesiones el índice en 2011 respecto de 2005 ha salido
69’1461%, lo que significa que en 2011 las lesiones son el 69’1461% de las habidas en
2005, por lo que:
x = 69’1461% de 14.886 = 69’1461×14.886/100 = 10.293’09 = 10.293 lesiones.
6.9.- Supongamos que en los años 2009 y 2010, una Comisaría ha registrado los delitos que
se muestran en la siguiente tabla:
-9-
Tipo de Delito
2009
2010
Pesos
Contra la propiedad
6.469
6.433
5
Contra la libertad y seguridad
1.933
2.274
15
Riesgo
1.600
2.145
12
Contra las personas
812
1.197
Seguridad interior
648
536
18
Otros delitos
1.715
1.600
10
Se pide: a) Que calcule los índices incrementales simples con base el 2009. b) Si el índice
incremental compuesto ponderado con base el año 2009 es de 19’05% ¿cuál es el valor del
peso que falta en la tabla (redondee el resultado al entero más cercano)? c) Si el valor que
falta en la tabla fuera de 40 ¿cuál sería el índice compuesto ponderado con base el año
2009?.
Resolución:
a) ∆I (10/ 09) =
xi − x0
× 100 , donde x0 es el dato correspondiente al año 2009, con lo cual
x0
los índices son:
6.433 − 6.469
× 100 = – 0’56%
6.469
2.274 −1.933
Contra la libertad y seguridad ∆I(10/09) =
×100 = 17’64%
1.933
2.145 − 1.600
Riesgo ∆I(10/09) =
×100 = 34’06%
1.600
1.197 − 812
Contra las personas ∆I(10/09) =
×100 = 47’41%
812
536 − 648
Seguridad interior ∆I(10/09) =
×100 = – 17’28%
648
1.600 − 1.715
Otros delitos ∆I(10/09) =
×100 = – 6’71%
1.715
Contra la propiedad ∆I(10/09) =
b) La fórmula general es ∆I cp =
19’05 =
w1∆I1 + w 2∆I 2 + K + w n ∆I n
, luego
w1 + w 2 + K + w n
5 × (−0’56) + 15 × 17’64 + 12 × 34’06 + w × 47’41+ 18 × (−17’28) + 10 × (−6’71)
=
5 + 15 + 12 + w + 18 + 10
292’38 + 47’41w
=
60 + w
por tanto: 19’05 × (60 + w) = 292’38 + 47’41w ⇒ 1.143 + 19’05w = 292’38 + 47’41w
de donde se obtiene:
1.143 – 292’38 = (47’41 – 19’05)w ⇒ 850’62 = 28’36w ⇒ w =
850’ 62
= 29’99
28’ 36
- 10 -
luego el peso correspondiente al índice de los delitos contra las personas es
w = 30
c) Si el peso que falta fuera w = 40, entonces el índice compuesto ponderado con
base el año 2009 sería:
∆Icp =
=
w1∆I1 + w 2∆I 2 + K + w n ∆I n
=
w1 + w 2 + K + w n
5 × (−0’56) + 15 × 17’64 + 12 × 34’06 + 40 × 47’41+ 18 × (−17’28) + 10 × (−6’71)
=
5 + 15 + 12 + 40 + 18 + 10
=
2.188’78
= 21’89%
100
- 11 -