EQUIVALENCIA FINANCIERA

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EQUIVALENCIA FINANCIERA
Antes de abordar situaciones financieras un poco más complejas, debemos
tener claridad acerca del concepto de equivalencia financiera ya que esta es la
herramienta fundamental de análisis y solución de los diferentes problemas.
Este principio combinado con el diagrama económico es el eje metodológico
para interpretar y plantear cualquier problema financiero.
M
0
n
P
Si relacionamos el valor presente P con el valor futuro o monto M tenemos:
M = P x (1 + i) n
Este diagrama tiene la siguiente interpretación: Si hoy invertimos una suma P a
una tasa de interés periódica i, dentro de n períodos tendremos un capital M.
Es decir un capital P hoy equivale a una suma M dentro de n períodos. Debe
tenerse en cuenta que en la suma M están contenidos los intereses generados
durante los n períodos.
De una manera más gráfica, el valor presente de M es P y si transladamos el
vector M al origen con la misma orientación vectorial hacia arriba, nos da un
vector de la misma longitud que P pero de sentido contrario ilustrándose la
equivalencia financiera en el hecho de que si sumo estos dos vectores su suma
es cero.
M/(1+i)n
M
n
0
P
Equivalencia en Sistemas de amortización
Ilustremos el principio de equivalencia financiera a través de diferentes
sistemas de pago para un crédito. Cuando empleamos el término amortización,
nos referimos al sistema de cuotas que definen el pago periódico de un capital
y de los intereses que el mismo genera.
Veamos como diferentes sistemas de amortización de un préstamo en
idénticas condiciones de tasa y de número de cuotas producen resultados
financieros equivalentes. Supongamos que se va a amortizar un préstamo de
$1.000.000 al 1,2% mensual a 5 meses, bajo tres modalidades: Amortización
constante, amortización creciente y amortización total al final.
Amortización Constante
Cuando se amortiza un préstamo con amortización constante (este sistema es
llamado comunmente cuota capital constante en el sistema financiero
Colombiano), la amortización al capital es exactamente la misma en cada uno
de los períodos y se calcula como el valor del préstamo dividido por el numero
de períodos. La cuota o valor a pagar se calcula para cualquier sistema como
la suma de la amortización y los intereses. Finalmente, los intereses se hallan
para cada período como el producto de la tasa periódica por el saldo de la
deuda al comienzo de cada período.
Mes
Deuda Inicial
Intereses
Amortización
Cuota
1
1.000.000
12.000
200.000
212.000
2
800.000
9.600
200.000
209.600
3
600.000
7.200
200.000
207.200
4
400.000
4.800
200.000
204.800
5
200.000
2.400
200.000
202.400
Gráficamente:
1.000.000
1
212.000
En este punto,
2
3
4
5
209.600
207.200
204.800
202.400
sugerimos como ejercicio
para el lector que la tabla de amortización anterior sea construida en Excel, ya
que este programa facilita muchísimo la elaboración de la misma.
Amortización Creciente
Supongamos ahora que vamos a efectuar amortizaciones al capital de manera
que vayan creciendo con el tiempo. Sea por ejemplo 100.000 la amortización
del mes 1, 150.000 la del mes 2, 200.000 la del mes 3, 250.000 la del mes 4 y
los restantes 300.000 en el último mes. Observe que si se suman las cinco
amortizaciones, el total es igual al valor del préstamo, un principio que siempre
debe cumplirse.
Mes
Deuda Inicial
Intereses Amortización
Cuota
1
1.000.000
12.000
100.000
112.000
2
900.000
10.800
150.000
160.800
3
750.000
9.000
200.000
209.000
4
550.000
6.600
250.000
256.600
5
300.000
3.600
300.000
303.600
Gráficamente:
1.000.000
1
112.000
2
3
4
5
160.800
209.000
256.600
303.600
Amortización Total al Final
Bajo esta modalidad, en cada período se cancelan simplemente los intereses y
en el último mes se cancela la totalidad del capital más los intereses de ese
mes.
Mes
Deuda Inicial
Intereses
Amortización
Cuota
1
1.000.000
12.000
0
12.000
2
1.000.000
12.000
0
12.000
3
1.000.000
12.000
0
12.000
4
1.000.000
12.000
0
12.000
5
1.000.000
12.000
1.000.000
1.012.000
Gráficamente:
1.000.00
0
1
12.000
2
3
12.000
12.000
4
5
12.000
1.012.000
La pregunta ahora es: ¿Cual es la diferencia financiera entre los tres sistemas
de amortización? La respuesta es bien simple: Ninguna, los tres sistemas son
equivalentes y vamos a ilustrarlo con el valor del dinero en el tiempo.
Analicemos el primer sistema. Vamos a calcular el valor presente de cada una
de las cuotas. Recordemos que:
M = P x (1 + i)n y por lo tanto P = M x (1 + i) –n
Sistema Amortización Constante
Mes
Cuota
Cálculo
Valor Presente
1
212.000
212.000 x (1+0,012)-1
209.486
2
209.600
209.600 x (1+0,012)-2
204.659
3
207.200
207.200 x (1+0,012)-3
199.916
4
204.800
204.800 x (1+0,012)-4
195.258
5
202.400
202.400 x (1+0,012)-5
190.681
TOTAL
1.000.000
Gráficamente:
1.000.000
1
212.00
2
209.600
3
207.200
4
204.800
5
202.400
0
209.486
204.659
199.916
195.258
190.681
Que relación hay entre el valor futuro de una cuota y su valor presente?
Miremos el caso de la cuarta cuota: Su valor futuro es 204.800 y el valor
presente 195.258. Esto simplemente quiere decir que si hoy ( mes 0) invierto
195.258 al 1,2% mensual, dentro de 4 meses tendré 204.800. Es decir, hay una
relación financiera entre el valor presente de cada cuota y su valor futuro.
También es importante observar, que para poder sumar el valor de las cuotas,
es absolutamente necesario calcular su valor en el mismo instante de tiempo,
para nuestro caso, el mes cero. Una vez acá todos estos valores los sumamos
y obtenemos un total de $1.000.000
Miremos ahora la misma situación en el segundo método de amortización.
Sistema Amortización Creciente
Mes
Cuota
Cálculo
Valor Presente
1
112.000
112.000 x (1+0,012)-1
110.672
2
160.800
160.800 x (1+0,012)-2
157.009
3
209.000
209.000 x (1+0,012)-3
201.653
4
256.600
256.600 x (1+0,012)-4
244.644
5
303.600
303.600 x (1+0,012)-5
286.022
TOTAL
1.000.000
Observemos que si hallamos el valor presente de cada una de las cuotas, es
decir traemos cada una de ellas al momento cero y luego sumamos todos estos
valores, el valor total pagado entre las cinco cuotas a pesos de hoy, suman
$1.000.000
Gráficamente:
1.000.000
1
112.000
157.009
110.672
157.009
201.653
244.644
286.022
2
3
4
160.800
209.000
256.600
5
303.600
303.600
Por último miremos el tercer sistema de amortización propuesto:
Sistema Amortización Total al Final
Mes
Cuota
Cálculo
Valor
Presente
1
12.000 12.000 x (1+0,012)-1
11.858
2
12.000 12.000 x (1+0,012)-2
11.717
3
12.000 12.000 x (1+0,012)-3
11.578
4
12.000 12.000 x (1+0,012)-4
11.441
5
1.012.000 1.012.000 x (1+0,012)-5
953.406
TOTAL
1.000.000
Podemos decir, que la suma de las cinco cuotas descontadas al momento cero,
a una tasa del 1.2% mensual, es igual a $1.000.000.
Gráficamente:
1.000.000
1
12.000
11.858
11.717
11.578
11.441
953.406
2
12.000
3
12.000
4
12.000
5
1012.000
Conclusión:
Para los tres métodos, el valor presente de todos los pagos es igual al valor
del préstamo, y por lo tanto los tres métodos de amortización propuestos son
Equivalentes.
Esto nos permite ir más allá: calculemos el valor de todas las cuotas de los tres
métodos de amortización en cualquier instante del tiempo, por ejemplo, en el
mes tres:
Sistema Amortización Constante
Mes
Cuota
Cálculo
Valor en el mes
3
1
212.000 212.000 x (1+0,012)( 3-1 )
217.119
2
209.600 209.600 x (1+0,012)( 3-2 )
212.115
3
207.200 207.200 x (1+0,012) ( 3-3 )
207.200
4
204.800 204.800 x (1+0,012)( 3-4 )
202.372
5
202.400 202.400 x (1+0,012)( 3-5 )
197.628
TOTAL
1.036.434
Sistema Amortización Creciente
Mes
Cuota
Cálculo
Valor en el mes
3
1
112.000 112.000 x (1+0,012)( 3-1 )
114.704
2
160.800 108.800 x (1+0,012)( 3-2 )
162.730
3
209.000 209.000 x (1+0,012) ( 3-3 )
209.000
4
256.600 256.600 x (1+0,012)( 3-4 )
253.557
5
303.600 303.600 x (1+0,012)( 3-5 )
296.443
TOTAL
1.036.434
Sistema Amortización Total al final
Mes
Cuota
Cálculo
Valor en el mes
3
1
12.000
12.000 x (1+0,012)( 3-1 )
12.290
2
12.000
12.000 x (1+0,012)( 3-2 )
12.144
3
12.000
12.000 x (1+0,012) ( 3-3 )
12.000
4
12.000
12.000 x (1+0,012)( 3-4 )
11.858
5
1.012.000
1.012.000 x (1+0,012)( 3-5 )
988.142
TOTAL
1.036.434
La conclusión anterior puede ser entonces generalizada a cualquier instante del
tiempo. Si calculamos el valor de cualquier sistema de amortización, el valor
calculado en el mes tres es 1.036.434. Ahora bien, llevemos el valor del
préstamo del mes cero al mes 3:
M = 1.000.000 x ( 1 + 0.012 )3 = 1.036.434
Observemos como este valor coincide con la sumatoria de las cuotas de todos
los sistemas de amortización
llevadas al mes tres,
principio de equivalencia financiera.
cumpliéndose así el
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