Tasa instantánea de interés

Especialización en Administración de Organizaciones Financieras
Modulo 3: Métodos cuantitativos y Cálculo financiero
Apunte teórico-práctico de
Cálculo Financiero básico
Prof.: Clara Speranza
1
Operaciones Financieras
Llamamos operación financiera a toda acción de inversión o financiación que determine
una variación cuantitativa de capital.
Cuando invertimos una determinada suma de dinero se obtiene una variación de su valor
por el transcurso del tiempo. Este incremento de valor del capital invertido
se denomina interés, que sumado al capital inicial da por resultado el monto o capital final
a recibir. Esta sería una operación financiera de inversión.
Pero si se solicita una cantidad de dinero en préstamo por determinado plazo para
devolver, al final de un plazo determinado, el dinero prestado más un interés, estamos
considerando una operación financiera de financiación.
El interés es el costo pagado por el uso de dinero, por un período determinado de
tiempo.
Efectuaremos el análisis y la descripción de las operaciones financieras mediante
modelos matemáticos que no son más que representar en fórmulas las características y
condiciones que rigen el mercado financiero.
Herramientas y nomenclatura:
Las operaciones financieras se representan gráficamente mediante un eje de plazos y
capitales, siendo muy útil su utilización para visualizar los datos de un problema y como se
deben mover para obtener el resultado requerido.
Eje de tiempo
Plazos
Capitales
C0
I(0,n)
Cn = C0 + I(0,n)
Trabajamos con la siguiente nomenclatura:
C0 = Es el capital inicial o valor presente.
I(0,n) = Intereses devengados hasta el periodo n. Es necesario aclarar que el
devengamiento de los intereses es continuo, en cambio la capitalización de
2
los mismos se puede producir en un momento determinado.
Cn = Monto o capital final al momento n. Esta formado por el capital inicial más
los intereses que se han generado por el transcurso del tiempo.
n = plazo de la operación.
i = Tasa de interés en tanto por 1, significa que cada peso invertido generará un
interés de $ i.
Por ejemplo si la tasa es del 12% anual, para trabajar con ella se expresará
en tanto por uno, o sea 0,12. Esto significa que por cada peso invertido se
obtendrá un interés de 12 centavos en el lapso de un año.
Importante:
Tanto la tasa de interés como el plazo deberán estar referidos a la misma
unidad de tiempo ( años, meses, días, etc)
Capitalización y Actualización
Según estemos buscando un capital final o un capital inicial, las operaciones financieras
serán de capitalización o de actualización respectivamente.
En principio trabajamos con 1 solo período ya que en este caso coinciden las fórmulas
para los 2 regímenes de capitalización y actualización que veremos en el ítem siguiente.
Un capital invertido C0 genera intereses I(0,1) que se devengarán durante todo el período,
obteniéndose así un monto C1 al finalizar el mismo.
0
C0
1
I(0,1)
Donde
C1 = C0 + I(1,0)
Siendo
I(0,1) = C0 . i
C1
Reemplazando
C1 = C0 + C0 . i
Sacando factor común se llega entonces:
C1 = C0 (1+i)
3
A este proceso de lo denomina capitalización, siendo (1+i ) el coeficiente de
capitalización.
Si, por ej., invertimos $4000 a una tasa del 12% anual, al año tendríamos:
4000 x (1  0 ,12 )  4480
O sea, hubiésemos ganado $480 de interés.
Si queremos saber cuál es el capital inicial conociendo el capital final, entonces
realizamos el proceso inverso al anterior:
C0 
C1
(1  i )
Capital Inicial o Valor Actual
1
Llamamos a
1  i 
coeficiente de actualización o “factor de descuento”.
La idea de Valor Actual (Valor hoy de un capital futuro) se basa en un principio
financiero básico que es “el valor del dinero en el tiempo”, que dice que un peso hoy
vale más que un peso dentro de un cierto período de tiempo. Y esto se debe a que si
ponemos a trabajar ese peso en el sistema financiero podemos obtener un rendimiento
por esa inversión.
En el futuro llamaremos por comodidad "v" a dicho coeficiente.
Siendo
v  1  i 
1
ó
v
1
1  i 
Ejemplo:
Supongamos que un inversor analiza la compra de un departamento en construcción
cuya entrega será dentro de un año, para venderlo en ese momento a U$S 80.000. Cuánto
podrá invertir hoy el inversor en ese departamento (valor de compra) si pretende obtener al
menos un 18% de rentabilidad en un año?
Para responder a esa pregunta no tenemos más que ver cuánto valen los
4
U$S 80000 al día de hoy, y ese es el cálculo del Valor Actual a una tasa del 18% anual:
C 0  VA 
80000
 67796 , 61
(1,18 )
O sea, que dadas las expectativas de rendimiento del inversor y suponiendo certeza en
obtener los U$S 80.000 al año, éste pagaría como máximo
U$S 67.796,61 en ese departamento.
 Aquí estamos realizando una simplificación del tema a modo de ejemplo, pero en
la realidad el cálculo del valor futuro del bien como el de la tasa de rendimiento
pretendida no es tan sencillo y requiere de cálculos adicionales.
La tasa de rentabilidad del 18% también es conocida como TIR (Tasa Interna de
Retorno) y es el rendimiento propio que origina la inversión.
Si el inversor hubiese pagado U$S 65.000 por el Dto. además de obtener la rentabilidad
pretendida del 18% también obtendría un plus de ganancia por encima de esa tasa y en
este caso, por supuesto, sería conveniente invertir. Si por el contrario, lo comprara a U$S
70.000 no sería conveniente para el invertir, ya que no alcanzaría al rendimiento mínimo
esperado y tendría una pérdida.
Estas decisiones surgen de comparar los costos de la inversión con los beneficios y aquí
estamos usando una herramienta muy usada en finanzas para evaluar inversiones que es el
VAN (Valor Actual Neto)
 Tanto el concepto de TIR como VAN serán explicados con más detalle más adelante
en el ítem de decisiones de inversión.
REGIMENES DE CAPITALIZACIÓN Y ACTUALIZACIÓN
Para períodos mayores a 1, la forma de cálculo de los intereses y por lo tanto de llegar al
monto final cambiará según se trabaje con:
-INTERES SIMPLE
-INTERES COMPUESTO
La diferencia entre ellos consiste en la forma en que se calculan los intereses que se
generan en cada periodo.
INTERES SIMPLE
Por medio de ésta forma de cálculo los intereses que se generan a lo largo de un
período no se agregan al capital para el cálculo de los intereses del período siguiente. De
esta manera el interés resulta ser igual en cada período (siempre y cuando la tasa sea fija)
ya que se calcula siempre sobre el capital inicial (C0). Por lo tanto no se produce la
5
capitalización de intereses.
Es semejante, en el caso de las inversiones, a retirar en cada periodo los intereses
obtenidos y volver a colocar el capital inicial,.
Su aplicación esta limitada solo a algunas operaciones financieras como el cálculo de
intereses punitorios en las deudas fiscales y en los pagos atrasados de alquileres, en el
cálculo de "numerales" efectuados por algunas entidades financieras y que son utilizados en
general en el ámbito de la justicia, etc.
También es semejante a algunas operaciones poco transparentes, como por ejemplo las
operaciones de descuento comercial o bancario y los préstamos por el denominado interés
directo.
Formulas de cálculo:
0
1
l
C0
l
C1= C0 +I(0,1)
C1= C0 + C0 .i
C1= C0 .(1+i)
2
n
l
//
C2= C1+I(1,2)
C2= C1+ C0 .i
C2= C0 + C0 i+ C0 i
C2= C0 (1+2i)
l
generalizando:
Cn= C0.(1+ni)
En conclusión el monto a interés simple será:
Cn = C0.(1+ ni)
 Esta fórmula solo podrá utilizarse de la forma expresada siempre que la tasa se mantenga
igual durante todo el plazo de la operación y siempre que tasa y plazo estén expresados en
la misma unidad de tiempo.
Ejemplo 1: La tasa y el plazo son de igual unidad de tiempo

Se tiene una deuda de $2000 por la cual se cobra el 1% mensual, cuál será el monto
a pagar a los 5 meses?
C 5  2000 x (1  5 x 0 , 01 )  2100
El interés de cualquier periodo t será:
It = C0.i
Intereses totales:
6
I(0,n) = n C0 i
Ejemplo 2: En este caso no coincide el período al que está referida la tasa y la
unidad de tiempo de la operación.

Supongamos que para la deuda del ejemplo anterior se cobrará una tasa anual del
12% por los 5 meses.
Utilizamos para operaciones en general, el “año civil” de 365 días, y
el “año comercial” de 360 días para los préstamos hipotecarios sobre
vivienda y prendarios sobre automotores, como lo establecen las normas del
Banco Central (“Tasas de interés en las operaciones de crédito” – Texto ordenado
al 12/7/2012).
La unidad de tiempo para el mes será siempre de 30 días.
En este caso trabajamos en días, por lo tanto si la tasa de interés es anual (con base
365 días) para adaptarla al tiempo de la operación, o sea 150 días, se utilizará como “n”
a la fracción de tiempo 150/365, cuyo resultado nos indica la cantidad de veces que se
utiliza la tasa anual dentro del plazo de la operación, que para el ejemplo será menos de
1 vez.
Por lo tanto el monto será:
0 ,12


C 150  2000 . 1 
. 150   2098 , 63
365


Estaríamos utilizando una regla de tres simple (o proporciones) ya que para 365 días
corresponde una tasa del 12%, por lo tanto para 150 días seria:
0 ,12
365
. 150  0 , 0493
Tasa para 150 días.
Interés simple con tasa variable
Hasta ahora hemos considerado que la tasa de interés se mantiene constante durante
todo el periodo de la operación, sin embargo es muy común que no sea así, sino que la tasa
sea variable.
7
Cuando esto ocurre no es posible utilizar la formula del monto antes explicada ya que al
multiplicar “n.i” consideramos una tasa uniforme y ahora la i variará.
Por lo tanto el monto quedará conformado de la siguiente forma:
C n  C 0  C 0 .n .i1  C 0 .n .i 2  .....  C 0 .n .i n
C n  C 0 .1  n .i1  n .i 2  ......  n .i n  Monto a interés simple con tasa
variable
 Recordar que “n” será la cantidad de veces que se utiliza una tasa en determinado
tiempo.
Ejemplo 3:

Debido al pago de un juicio, cuya sentencia ha sido 90 días atrás con un monto de
$8.000, se procederá a realizar el cálculo de la liquidación al día de hoy considerando
que se le calcularán intereses a la tasa pasiva del Banco Nación.
La tasa ha sido del 8% anual para los primeros 20 días, del 8,7% anual para
los 37 días siguientes y del 10% anual para los días siguientes.
Calcular:
a) El monto a pagar por el juicio al día de hoy.
b) La tasa única que se hubiese utilizado para los 90 días para obtener el mismo monto.
c) La tasa promedio mensual que se hubiese utilizado para llegar al mismo monto.
Monto  8000 .(1 
a)
0 , 08
365
b)
8177 , 95  8000 .1  i 90
. 20 
0 , 087
365
. 37 
0 ,10
. 33 )  8177 ,95
365

i 90  0 , 0222
c)
8177 ,95  8000 .(1  3 .i 30 )
i 30  0 , 0074
ó
i 30 
0 , 0222
 0 , 0074
3
8
Si no se hubiese tenido el capital inicial y el monto y se quiere calcular la tasa mensual
que equivale a usar las tres tasas anuales en el mismo plazo, se procedería de la siguiente
manera:

0 , 08

365
1  i 30    1 
. 20 
0 , 087
. 37 
365

. 33 
365

010
Esta relación se interpreta como una igualdad de montos considerando capitales iniciales
de $1. Resolviendo se llega a la misma tasa mensual de 0,74%.
INTERES COMPUESTO
En el interés compuesto se calculan los intereses aplicando la tasa al capital al inicio de
cada período. Esto significa que no se calculan los intereses sobre un monto constante, ya
que éste variará a medida que se le sumen los mismos al capital. Se dice, entonces, que
los intereses se capitalizan.
La mayoría de las operaciones financieras utilizan este método ya que, como veremos
mas adelante, es más transparente que el interés simple debido a que la tasa de interés
aplicada es la verdadera tasa de rendimiento de la operación.
Formulas de cálculo
Deducción de la formula del monto:
0
l
C0
1
l
C1= C0 +I(0,1)
C1= C0 + C0 .i
C1= C0 .(1+i)
2
l
//
C2= C1+I(1,2)
C2= C1+ C1 .i
C2= C1 (1+ i)
C2= C0 (1+i )(1+i)
C2= C0.(1+i)2
n
l
generalizando:
Cn= C0.(1+i)n
Monto a interés
compuesto
Ejemplo 1: La tasa y el plazo están expresados en igual unidad de tiempo

Utilizaremos el mismo ejemplo que en Interés Simple donde el Capital inicial era de
$2000. La tasa mensual del 1% y el tiempo 5 meses:
9
Monto:
C 5  2000 x 1  0 , 01 
5
C 5  2102 , 02
Intereses totales
I (0,n) = Cn - C0
= C0.(1+i)n- C0
I (0,n) = C0 [(1+i)n - 1]
I(0,5) = 2102,02 – 2000 =102,02
2000. [(1+0,01)5 - 1] = 102,02
Ejemplo 2:
operación.

No coincide el período al que está referida la tasa y el tiempo de la
Por un adelanto en cuenta corriente de $5000 se cobra una tasa mensual del
3%, cuál será el monto a devolver a los 45 días para saldar la deuda?
45
C 45  5000 .1  0 , 03  30  5226 , 68
 Se observa que la fracción de tiempo (n), que en interés simple se encontraba dentro
del paréntesis, ahora se encuentra en el exponente, y siempre representa la cantidad
de veces que se utiliza la tasa dentro del plazo.
Como la tasa es mensual y el plazo es de 45 días, la misma se usará 1,5
veces (45/30) dentro de dicho plazo.
 Cuando el tiempo está expresado en días, habrá un exponente cuyo numerador son
los días de la operación y cuyo denominador son los días de la tasa.
Este mismo ejercicio podría expresarse a la inversa:

Para cubrir un adelanto en cuenta corriente se han depositado $5226,68. Si el adelanto
se ha efectuado hace 45 días a una tasa mensual del 3%, cuál ha sido el importe del
mismo?
Debemos averiguar el capital inicial o C0:
10
45
C0

 5226 , 68 .1  0 , 03  30
C0 
5226 , 68
45
1  0 , 03  30
 5000
ó
 5000
Recordemos que al capital inicial también lo llamamos (según el contexto) Valor Actual.
Interés compuesto con tasas variables
Si la tasa no es fija para todo el plazo, la formula del monto quedaría:
- Considerando que las tasas capitalizan una sola vez dentro de cada período:
C n  C 0 .1  i1 .1  i 2 .1  i 3 ........ 1  i n 
Ejemplo 3:

Por una deuda de $5000 a pagar en 3 meses se cobrarán las siguientes tasas
mensuales: 1,3%, 1,8% y 2,5% para cada mes respectivamente. Averiguar el monto
adeudado al finalizar el tercer mes y la tasa promedio mensual a utilizar para llegar al
mismo monto.
C 3  5000 .1  0 , 013 .1  0 , 018 .1  0 , 025   5285 , 07
 Este procedimiento de igualar montos para hallar una tasa en función de otras u otra,
es la base de la equivalencia de tasas que veremos más adelante.
- Considerando que las tasas capitalizan varias veces dentro de cada plazo:
Lo vemos directamente con un ejemplo:
Ejemplo 4:

Se han depositado $10000 en una inversión por 90 días. Las tasas aplicadas fueron las
siguientes:
16% anual para los primeros 14 días.
16,5% anual para los 27 siguientes.
11
18% anual para los últimos 49 días.
Calcular:
a- El monto obtenido al final del periodo
b- La tasa promedio mensual de la operación.
c- La tasa única para los 90 días.
14
C 90  10000 .1  0 ,16  365 .1  0 ,165
27
49
 365 .1  0 ,18  365
aC 90  10399 ,89
b- Se buscará una tasa mensual que aplicada 3 veces en 90 días nos dé el mismo monto
que con las tasas anteriores.
10000 .1  i 30   10399 ,89
3
i 30  0 , 0132
ó 1,32% mensual
c- Se buscará una tasa de 90 días que capitalizada una sola vez dentro del plazo nos dé
igual monto:
10000 .1  i 90   10399 ,89
i 90  0 , 04
ó 4% (redondeado)
 Las tasas del punto b- y c- son tasas equivalentes, o sea, tasas de distintos
períodos con las que se llega al mismo resultado en el mismo plazo.
Concepto de Equivalencia Financiera para Interés Compuesto
Existe equivalencia financiera entre capitales de distinto valor y situados en distintos
momentos del tiempo, cuando llevándolos (mediante una misma tasa de interés) a un
mismo momento, sus valores son iguales.
Para igualar los capitales en un momento determinado se utilizará la capitalización o la
actualización.
El banco o prestamista puede aceptar (en un mercado estable) que le paguen el préstamo
en el tercer mes o en el sexto, por ejemplo, ya que estos importes están en equivalencia
financiera entre sí.
Por ejemplo, si existe una tasa de interés fija del 2% mensual para préstamos, y el préstamo
fue de $5000 a devolver en un pago, al prestamista le es indiferente recibir $5306,04
(5000.(1+0,02)3) al tercer mes o $5630,81 (5000.(1+0,02)6) al sexto mes, ya que si lo recibe
12
al tercer mes puede obtener el mismo monto al sexto invirtiendo, el importe recibido, a la
misma tasa por 3 meses más.
Además, ambos importes ( al tercer y sexto mes) actualizados al momento 0 a una misma
tasa del 2% mensual, valen $5000.
Se dice, entonces, que dichos importes son equivalentes financieramente entre si.
 Este concepto solo se verifica en el Interés Compuesto, no siendo así en el
Interés simple.
Concepto de Rendimiento y Costo Financiero
El rendimiento de una operación financiera es la relación entre los intereses de un
periodo determinado y el capital al inicio de dicho periodo. El resultado de ese cociente
también puede llamarse tasa efectiva de interés, o sea es la tasa que realmente rindió una
operación de inversión en un período dado.
Rendimiento para una inversión con un solo flujo de fondos en un período t:
Rt 
It
C t 1
Siendo:
Rt = Rendimiento del período t
It = Interés devengado en el período t
C t-1 = Capital al inicio del período t o final del período t-1

Si, por ejemplo, se quiere saber cuánto rindió (en porcentaje) una inversión de $6000 en
un mes si se obtuvo un interés de $90, efectuamos la división: 90/6000 = 0,015
La inversión rindió entonces, una tasa del 1,5% en un mes.
Cuándo se trata de operaciones de financiación como adelantos en cuenta corriente,
adelantos con tarjetas de crédito, descuentos de documentos, préstamos, etc., la tasa
calculada anteriormente sería un Costo Financiero para el que debe pagar, y cuando le
agregamos los gastos adicionales de la operación ( gtos. adm., sellados, seguros, IVA, etc)
la tasa resultante es el “Costo Financiero Total” o CFT.
Costo financiero total para una deuda a devolver en un solo pago:
CFT = Intereses pagados + gastos + impuestos + …..
Capital recibido
13
 Ambas fórmulas (rendimiento y CFT) solo son utilizables cuando se trata de un
solo pago, o cuando hay una inversión que nos proporciona un solo flujo de
fondos. Cuando hay más que uno (inversiones que nos dan ingresos en forma
periódica o prestamos, por ej. ) se deberá recurrir a otros métodos de cálculo no
tan sencillos de calcular que nombraremos más adelante.
o Estos son dos conceptos muy importantes en el cálculo financiero ya que:
 Será necesario conocer el rendimiento de una inversión, para poder
ser comparado con otras alternativas y así poder tomar decisiones.
 Como también es importante conocer el CFT de las financiaciones para
poder comparar y elegir (si es posible) la de menor costo.
Tipos de tasas de interés
En las operaciones financieras aparecen distintos tipos de tasas de interés y es preciso
definirlas para entender su significado y aplicación.
En principio estudiaremos en este punto las tasas de interés vencidas definiéndose
como tales a aquellas tasas que aplicadas a un capital, generan intereses que se abonan al
finalizar el periodo.
Importante:
Llamamos "m" al periodo al final del cual se capitalizan los intereses, o sea,
si una tasa es de 7 días se escribirá: im = i7.
Definimos también como frecuencia de capitalización al número de veces
que en un periodo determinado, los intereses se incluyen al capital. Por
ejemplo, si el periodo es el año y la tasa a aplicar es de m días, entonces
capitalizara en el año 365/m ó 360/m veces, según la base utilizada.
TNA - Tasa nominal (Jm )
Es la tasa de pacto en una operación, normalmente aparece en la pizarra de los bancos,
en los documentos, en las condiciones de los préstamos, etc.
Esta tasa no representa el rendimiento efectivo de una operación, es una herramienta
para hallar una tasa subperiódica que sí será el rendimiento del periodo al cual pertenece.
Por ejemplo J30 es una tasa nominal anual con capitalización mensual (convertible cada
30 días ó capitalizable cada 30 días), y se utiliza solamente para hallar una tasa de 30 días.
Tasa subperiodica ( im )
14
Es la tasa es proporcional a la tasa nominal ya que se obtiene dividiendo la misma por
la frecuencia de capitalización (365/m). Entonces:
im 
jm
.m
365
Por ejemplo, si para una operación se informa una TNA del 15% para operaciones a 30
días, la tasa mensual será:
i 30 
0 ,15
. 30  0 , 0123
365
ó 1,23%
Si usáramos el año con 360 días será:
i 30 
0 ,15
. 30 
360
0 ,15
12
 0,0125
ó 1,25%
o La tasa mensual generalmente en los bancos la denominan TEM (tasa efectiva mensual)
Es necesario aclarar que para obtener una tasa proporcional de m días es necesario
tener la tasa nominal para operaciones de m días, o sea, una tasa de 90 días se obtiene
directamente de una tasa nominal para 90 días (J90 ), de otro modo se debería realizar una
equivalencia de tasas. Por ejemplo, si se quiere calcular una tasa de 90 días en base a
una J30, primero habrá que calcular la i30 y por equivalencia se calculará la tasa buscada de
90 días.
Si tomamos el ejemplo anterior en donde teníamos la J30 = 0,15 y ya calculada la
i30 = 0,0123 (con base año 365) ; para hallar la i90 se procede de la siguiente forma:
Formamos una ecuación, que es una igualdad de montos, a los 90 días, con un capital
inicial de $1
90
1  0 , 0123  30
 1  i90 
Esto significa que, para que las tasas sean equivalentes, se debe dar que sea lo mismo
calcular un monto con la tasa mensual capitalizada 3 veces (90/30) dentro de los 90 días,
que utilizar la tasa trimestral una sola vez dentro del mismo plazo.
Simplificando el exponente y despejando i90 quedará:
i90 = 0,0374
15
Tasa efectiva anual –TEA (i)
Es el incremento de la unidad de capital en el año y refleja el verdadero rendimiento de
una operación en un año, considerando que al capital se le aplicó el interés compuesto con
alguna tasa subperiódica im.
Hallamos la TEA del ejemplo anterior:
Teniendo como dato la tasa mensual se calcula la efectiva anual sabiendo que esta
producirá en el año el mismo monto que aplicando la mensual 365/30 veces en el año.
Establecemos entonces, una igualdad de montos con capital inicial de $1 que es el
cálculo de equivalencia de tasas.
( 1+ i30)365/30 = ( 1+ i )
Esta igualdad tiene la siguiente lectura:
 Un capital de $1 colocado a una tasa mensual dada, proporciona el mismo monto al
año que el mismo capital pero colocado a una tasa anual.
 Estamos igualando montos pero por comodidad trabajamos con capitales de $1 ya
que de cualquier forma quedarían simplificados.
Reemplazando y despejando:
i  1  0 , 0123
365
 30
1
i  0 ,1604
O sea, la tasa efectiva anual es del 16,04%.
 Esta es mayor a la nominal de la cuál partimos como dato inicial (15%), ya que
contiene los intereses capitalizados 12,17 (365/30) veces en el año a interés
compuesto, mientras que la tasa nominal anual representa la tasa anual del interés
simple ya que no refleja la capitalización de intereses.
 La tasa efectiva del 16,04 % representa los intereses que en un año genera $1 de
capital. En este caso se obtuvo por medio de una equivalencia con una tasa mensual
pero podemos obtener una tasa efectiva por medio del concepto de rendimiento. Por
ejemplo, si colocamos $100 al principio del año y al finalizar el mismo nuestro monto
es de $116,04 significa que el rendimiento fue:
R = 16,04/100 = 0,1604 que no es más que la tasa efectiva de la operación.
16
 Por otro lado las tasas subperiódicas (mensual, bimestral, de 5 días, diaria, etc)
también son tasas efectivas ya que representan el rendimiento dentro del periodo que
corresponden. Por lo tanto podemos hablar de tasa efectiva mensual, tasa efectiva
semestral, etc. Estas son equivalentes a la tasa efectiva anual y entre ellas, ya que
al cabo del mismo período producen el mismo monto pero con distintas
capitalizaciones.
Importante: Como regla general recordar que, en la fracción que figura
en los exponentes de los coeficientes, el denominador representa el
periodo al cual pertenece la tasa dato y el numerador representa el
periodo al cuál pertenece la tasa que se quiere calcular.
Ejemplo 1:

a-
Dada una tasa nominal anual del 12% capitalizable mensualmente hallar:
a- La tasa proporcional mensual.
b- La tasa efectiva anual.
c- La tasa efectiva ( o subperiódica) de 180 días.
d- La tasa nominal que debe informarse para obtener la tasa anterior.
j30 = 0,12
entonces
i 30 
0 ,12
. 30  0 , 0099
365
b- Una vez hallada la tasa mensual hallaremos la efectiva anual sabiendo que esta
producirá en el año el mismo monto que aplicando la mensual 365/30 veces en el año.
Establecemos entonces, una equivalencia de tasas.
365
1  i 30  30
 1  i 
Estamos igualando montos pero por comodidad trabajamos con capitales de $1 ya que de
cualquier forma quedarían simplificados.
Reemplazando y despejando:
i  1  0 ,0099
365
 30
 1  0 ,1273
c- Se debe hallar la i180 , para ello podemos establecer una equivalencia con la
tasa mensual o con la tasa efectiva anual.
No se puede hallar directamente en función de la tasa nominal anual dada, realizando una
división, ya que la misma es para obtener una mensual, pero sí se puede hallar primero la
mensual y luego en base a esta, la equivalente de 180 días.
17
-
Obtenemos la i180 por equivalencia con la i30:
180
1  i 30  30
 1  i180 
El monto que se obtiene en 180 días colocando $1 a una tasa de 45 días, es el mismo que
se obtiene con una tasa de 30 días pero aplicando ésta 6 veces en el periodo (180/30).
Reemplazando y despejando:
i180 = 0,0609
-
Obtenemos la i180 por medio de la tasa efectiva anual:
180
1  i  365
 1  i180 
Reemplazando y despejando:
i180 = 0,0609
Por supuesto en los dos casos obtenemos el mismo resultado ya que estamos trabajando
con tasas equivalentes.
d- Para obtener la tasa nominal anual con capitalización cada 180 días, simplemente
tomamos la tasa de 180 días y establecemos una proporción:
j180 
i180
. 365
180
Reemplazando:
j180  0 ,1234
Tasa instantánea de interés
En realidad los capitales invertidos en una operación financiera no permanecen
invariables durante fracciones de tiempo, sino que hay capitalización continua de
intereses en cada instante de tiempo, aunque el reflejo de ellos se realice en un momento
determinado.
El concepto de capitalización continua se utiliza, por ejemplo, en los instrumentos
financieros derivados como las "opciones", tema vinculado al mercado de capitales.
18
La tasa instantánea de interés δ (delta) es una Tasa Nominal pero cuando la
frecuencia de capitalización tiende a infinito.
Después de un desarrollo matemático quedaría la siguiente equivalencia entre la tasa
instantánea y la tasa efectiva anual.
eδ = (1+i)
Por lo tanto eδ es el monto que se obtiene colocando $1 a una tasa instantánea, o sea
con capitalización continua, siendo este monto igual al que se obtiene con la tasa efectiva
de interés i.
 Tomamos el número e = 2,7183
Ejemplo 2:

Hallar el monto que resulta de invertir $1000 durante 3 meses al 12% anual con
capitalización continua.
C3= 1000. e0,12. 90/365
= $ 1030,03
 Vemos que la tasa instantánea se fracciona de la misma forma que la nominal.
Ejemplo 3:

Sabiendo que la tasa efectiva de 15 días es del 0,3% hallar la tasa nominal anual con
capitalización continua (tasa instantánea).
(1 + 0,003)365/15 = eδ
El monto obtenido capitalizando la tasa de 15 días 365/15 veces al año es igual al monto
que se obtiene con una tasa instantánea anual.
1,0756 = eδ
Para obtener la tasa δ es necesario aplicar logaritmo natural a ambos miembros.
Ln 1,0756 = δ. Ln e
(el Ln e = 1)
19
δ = 0,0729 Tasa instantánea de interés anual
Ejemplo 4:

Se invierten $50.000 durante 12 meses a una tasa nominal anual del 18%. Hallar el
monto al finalizar el periodo si los intereses se capitalizan:
a- semestralmente
b- trimestralmente
c- en forma continua.
Considerar en cada caso el mismo valor de tasa nominal anual.
365
0 ,18

 180
50000
.
1

.
180
 59410 ,88


a365


365
b-
0 ,18


50000 . 1 
. 90 
365


90
 59629 , 05
0 ,18
 59860 , 94
c- 50000 . e
 Comprobamos que a medida que aumenta la frecuencia de capitalización el monto es
más alto, llegando a su tope máximo en el punto c- con capitalización continua.
TASAS EN UN CONTEXTO CON INFLACIÓN
Cuando existe inflación (o deflación) se deben definir tres tipos de tasas:
Tasa real ( ir ): Es la tasa libre de los efectos de la inflación. Esta puede ser positiva,
negativa o neutra, según sea mayor, menor o igual a la tasa de inflación.
Tasa aparente ( ia ): Es la tasa de contratación de una operación y tiene incluida la
inflación.
Tasa de inflación ( π ): Surge de la división de índices monetarios (I).
Por ejemplo, la inflación entre 0 y n surge de la siguiente relación:
20
In
 1   (0, n )
I0
Por ej. Si el índice de enero fue de 188,81 y el de julio fue de 194,87, la inflación desde
principios de febrero hasta fines de julio será:
I
 1   ( febr , julio )
julio
I enero
194 ,87
 1  0 , 0321
188 ,81
O sea, un 3,21% de inflación.
 Los índices de calculan al final del mes, por lo tanto el índice de enero, por ej., es el
de fines de enero o el de principios de febrero.
La relación entre las tasas antes mencionadas es:
1  i a   1  i r .1   
Por lo tanto se podrá calcular la tasa real, que representa el verdadero rendimiento de
una operación (cuando consideramos la inflación), de la siguiente forma:
ir 
1  i a 
1
1   
Entonces, si en el ejemplo anterior, en una inversión colocada el primero de febrero
hasta fines de julio la tasa pagada (tasa aparente) fue del 5% para ese plazo, cuál será la
tasa que realmente se ganó (tasa real) considerando la inflación calculada?.
ir 
1, 05
 1  0 , 0173
1, 0321
Se ganó realmente el 1,73% considerando que hubo una inflación del 3,21% para ese plazo.
Ejemplo 1:
21

Cuál es la tasa aparente o de contratación bimestral si la tasa real es del 1% bimestral y
la tasa de inflación es del 2% promedio mensual.
1  i a   1  0 , 01 .1  0 , 02  2
ia = 0,0508 ó 5,08% bimestral
 Las tres tasas deben referirse al mismo periodo de tiempo, aquí como la tasa real y la
aparente son bimestrales la tasa de inflación, al ser mensual, deberá utilizarse 2 veces.
Ejemplo 2:

Durante los primeros 5 meses del año X el INDEC informo las siguientes variaciones del
Índice de Precios al Consumidor (usado comúnmente para obtener la tasa de inflación):
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
116,52
117,39
118,25
119,20
120,08
Calcular:
a. La inflación de febrero.
b. La inflación entre marzo y mayo (ambas inclusive)
c. Si una operación se contrató a fines de enero por cuatro meses, al 2,87%
cuatrimestral, ¿cual fue la tasa real de todo el periodo?
I
a)
feb
1 
I en
I
 1  0 , 0075
116 ,52
I may
b)
117 ,39
feb
1 
120 , 08
 1  0 , 0229
117 ,39
Nótese que al solicitarse la inflación entre marzo y mayo ambos inclusive, se toma como
denominador el índice de febrero ya que este pertenece a fines de febrero o principios de
mayo.
22
c)
1  0 , 0287   1  i r .
I may
I en
i r   0 , 0018
Se obtuvo una tasa real negativa del 0,18%
CER (coeficiente de estabilización de referencia)- Antecedentes
Normativos
Después de la salida del régimen de convertibilidad, el Poder Ejecutivo Nacional
(PEN) estableció a través del Decreto N° 214 de febrero de 2002 la "pesificación" de
créditos y deudas en moneda extranjera, disponiendo adicionalmente la creación de un
índice de ajuste de las obligaciones denominado Coeficiente de Estabilización de
Referencia (C.E.R.). Este coeficiente es elaborado y publicado el día 7 de cada mes por el
Banco Central de la República Argentina (BCRA), y está compuesto por la tasa de variación
diaria obtenida de la evolución del Índice de Precios al Consumidor (IPC) que publica el
Instituto Nacional de Estadísticas y Censos (INDEC).
Luego, con el fin de atenuar el impacto de la inflación sobre los créditos pesificados, las
Autoridades dispusieron un conjunto de normas complementarias, reglamentarias e incluso
aclaratorias de todo aquello establecido en el Decreto original y en normas subsiguientes.
En este sentido, el PEN dictó el Decreto 1242/02 que reglamentó el artículo 4° del Decreto
762/02, el cual había establecido el sistema de ajuste de determinados créditos,
reemplazando el CER por un nuevo índice de actualización de deudas que tiene base en la
variación de los salarios de los trabajadores, denominado Coeficiente de Variación Salarial
(C.V.S.). Este último es confeccionado y publicado por el INDEC.
Con el fin de incluir algunas situaciones que no habían sido contempladas, el PEN
promulgó en enero de 2003 la Ley 25.713, la cual estableció las formas de aplicación del
C.E.R. y sus excepciones (C.V.S.), en línea con lo previamente reglamentado (Decretos 214
y 1242) e introduciendo algunas modificaciones. En noviembre, a través de la Ley N° 25.796
dispuso la modificación del artículo 4° de la Ley N° 25.713, estableciéndose que a partir del
1° de abril de 2004 no será de aplicación respecto de las obligaciones ajustadas por C.V.S.,
ningún índice de actualización.
Calculo del coeficiente para indexar contratos:
El coeficiente que se aplica para ajustar un importe desde el día t hasta el día (t+n), surge
de la siguiente división:
23
CER t  n
CER t
Donde el numerador y el denominador son índices CER de los días (t+n) y t
respectivamente. Dichos índices son publicados por el INDEC.

Por ejemplo si se tiene que ajustar una deuda de $5000 desde el 7/8/X hasta el 17/8/X,
debemos averiguar previamente los índices de cada fecha:
CER7/8/X = 1,6448
CER17/8/X = 1,6501
(los valores son ejemplos no reales)
El coeficiente a aplicar surge de efectuar el siguiente cociente:
CER (17/8/X) = 1.6501 = 1.0032
CER( 7/8/X)
1.6448
Por lo tanto la deuda al dia 17/8/X será de :
5000 x 1.0032 = $ 5016
Ejercicios resueltos de interés simple, compuesto y tasas
1) Por una deuda adquirida hace 5 años todavía quedan dos cuotas por pagar. La primera
de ellas es de $1.000 a abonar dentro de 1 mes; la segunda cuota es de $2.000 y debe
abonarse dentro de 4 meses.
¿Cuál es la cuota única que debería abonarse dentro de 2 meses para saldar la deuda si el
interés mensual es del 2%? (interés compuesto)
Hay que valuar al mes 2, las dos cuotas que se deben, la primera se capitaliza por un
periodo y la segunda se actualiza por 2 periodos. La suma de estas dos operaciones es
equivalente a la cuota única por pagar.
0
l
1
2
l
1000
CU  1000 .1  0 , 02  
3
l
Cuota única
4
l
l
2000
2000
(1  0 , 02 )
2
CU  2942 ,33
2) Una persona coloca $10.000 en un banco a la tasa de interés efectiva anual vigente en
ese momento. A partir del octavo mes la tasa anual cambia al 12%.
24
En ese momento decide aumentar sus depósitos en $5000 más, y cuatro meses más tarde
retira $1146 en concepto de intereses totales.
¿Cuál fue la tasa anual original y la tasa promedio mensual de la operación por interés
compuesto?
240
120
120




1146  10000 . 1  i  365 .1,12  365  1  5000 . 1,12  365  1




i  0 , 0856
La tasa es del 8,56% anual
Cálculo de la tasa promedio:
240
120
1, 0856  365 .1,12  365
365
 1  i 30  30
i 30  0 , 0075
3) Se invierten $1.000 en dos operaciones: la primera al 1% mensual de interés y la otra al
2% bimestral de interés, ambas durante 24 meses, al cabo de los cuales forman un monto
de $ 1268,65 Calcular el importe de cada uno de los depósitos.
Dep
1
Dep
2
 Dep
2
 1000
 1000  Dep
1
1268 , 65  Dep 1 .1, 01 
Dep
1
24
 (1000  Dep 1 ).( 1, 02 )
12
 273 , 44
Dep 2  726 ,56
4) Que tasa de interés se ganó en 45 días si el capital invertido fue de $1.000 y en ese lapso
de tiempo se pudo retirar $1.020?. Además determinar la TNA y la tasa efectiva anual
correspondiente.
Se deberá hallar la tasa de 45 días, ésta representa el rendimiento en porcentaje de la
inversión de $1000, o sea cuanto representan los intereses ganados sobre el capital
invertido:
i 45 
20
 0 , 02
1000
25
Otra forma de llegar al mismo resultado será:
1020  1000 1  i 45 
1020
 1  0 , 02
1000
- Cálculo de la TNA
TNA 
0 , 02
. 365  0 ,1622
45
La TNA para los 45 días es del 16,22%.
- Para hallar la tasa efectiva anual (TEA) se deberá realizar una equivalencia de tasas entre
la tasa de 45 días y la efectiva anual:
365
1  0 ,02  45
 1  i 
Esto significa que utilizando (365/45) veces la tasa de 45 días en un año, se obtendría el
mismo monto que capitalizando una sola vez en el año con la tasa efectiva anual.
Despejando i:
365
1  0 ,02  45
 1  0 ,1742
La TEA es del 17,42%.
5) Por la compra de los bienes A y B se posee la información del precio de lista (a pagar
con tarjeta a 30 días) y del descuento por pago al contado, calcular el costo financiero
implícito para cada uno de ellos.
A
B
Precio de lista Dto. por pago contado Precio contado
1000
10%
900
1300
11,54%
1150
Recordemos que el costo financiero es la tasa que resulta de dividir la diferencia de
capitales sobre el capital inicial que en este caso es el precio contado:
Bien A :
100
 0 ,111
900
26
Bien B:
150
 0 ,1304
1150
11,10% y 13,04% representan el recargo por pagar los bienes a un mes.
6) En una boleta de TELECOM figura un total a pagar de $96,98 al primer vencimiento el
3/9. Si el cliente paga su factura el 13/9, ésta será afectada por un recargo del 0,77% por
ese plazo de 10 días y además, se cobrará IVA sobre intereses del 21%. Cuál es el CFT
por los 10 días?
3/9
10 días
13/9
$96,98
i10  0 , 0077
IVA  0 , 21
Intereses
 96 , 98 x 0 , 0077  $ 0 , 7467
IVA  0 , 7467 x 0 , 21  0 ,1568
Intereses  IVA  0 , 7467  0 ,1568  0 , 9035
CFT 10 
0 , 9035
 0 , 0093
96 , 98
R: CFT para 10 días: 0,93%
7) Se transcribe una información real de un banco ofreciendo adelanto con tarjeta:
-
Usted podrá obtener en forma inmediata un Adelanto de Efectivo desde su Tarjeta Visa en una
o varias cuotas y acreditar el importe en la cuenta que usted elija. Las cuotas del adelanto se
incluirán en la liquidación de su Tarjeta Visa.
Consulta de adelanto en 1 pago
Pesos
Disponible de adelantos en 1 cuota
$ 2.500,00
T.E.M. de adelanto en 1 cuota
3,41 %
T.N.A. de adelanto en 1 cuota
41,50 %
Cargo sobre monto del adelanto
4 % + IVA
Consulta de adelanto en cuotas
Pesos
Disponible de adelantos en cuotas
$ 18.400,00
Cantidad máxima de cuotas
24
Seguro sobre saldo deudor
0,40 %
27
Cargo sobre monto del adelanto
4 % + IVA
Tasa de financiación (en cuotas)
12
18
24
T.N.A.
41,00 %
43,00 %
45,00 %
T.E.M.
3,37 %
3,53 %
3,70 %
Calcular el CFT mensual del adelanto en un solo pago (en cuotas lo veremos en la parte
de Rentas), considerando que se cobra, además, IVA sobre intereses del 10,5% e IVA
sobre gastos del 21%.
Primero calculamos la tasa mensual para chequear que estén bien los datos del banco:
i 30  TEM 
0 , 4150
. 30  0 , 0341
365
Efectuamos la suma de todo lo que se pagará además de la devolución del capital:
Intereses:
2500 x 0,0341
IVA s/ Intereses: 85,25 x 0,105
Gastos: 2500 x 0,04
IVA s/ Gastos: 100 x 0,21
Total
CFT 30 
= 85,25
= 8,95
= 100
= 21
= 215,20
215 , 20
 0 , 0861
2500
Para solicitar un adelanto con tarjeta de crédito en un pago se deberá pagar un
CFT del 8,61% mensual.
Los bancos utilizan las siguientes siglas para el Costo financiero Total de sus
operaciones, especialmente en préstamos, siempre expresados en porcentaje (es una tasa):
CFT = Costo Financiero Total (es el costo cuando se incluyen gastos y/o impuestos)
CFTNA = Costo Financiero Total Nominal Anual ( es el anterior pero expresado en forma de
tasa nominal)
CFTEA = Costo Financiero Total Efectivo Anual ( es el primero pero en términos de tasa
efectiva anual)
CFTEM = Costo Financiero Total Efectivo Mensual ( expresado en forma mensual)
8) Se disponen $X y se pueden invertir por un plazo de 120 días de la siguiente forma:
28
a) Un depósito al 17% nominal anual para operaciones a 14 días.
b) Un depósito a tasa variable, sabiendo que para los primeros 50 días la tasa será del
16% nominal anual capitalizable en forma continua, y para el plazo restante se estima
que se podrá obtener un rendimiento del 2,3%.
Determinar:
1) Cuál es la alternativa más conveniente considerando el rendimiento cuatrimestral que
ofrecen ambas inversiones.
2) Si en la alternativa b) durante los primeros 50 días se obtiene $0,018 por cada peso
invertido, cual debería ser la TNA para operaciones a 30 días, que debería informarse para
el resto del plazo, para obtener el mismo rendimiento hallado anteriormente?
3) Si para la alternativa a) se considera la tasa hallada como la tasa “aparente” para 120
días y la inflación promedio mensual se estima del 1,8% para dicho plazo, cuál será la tasa
nominal anual “real” para operaciones a 120 días que se obtendría en la operación?
1)
a)
120
1  i120
0 ,17

   1 
. 14 
365


14
 1, 0573
más conveniente
b)
0 ,16
1  i120   e 365
. 50
.1, 023   1, 0457
2)
70
30 

1, 0457  1, 018 . 1  TNA 30 .

365 

30
TNA 30  0 ,1406
3)
120 
4 
(1  0573 )  (1  0 , 018 ) . 1  TNA 120 .

365 

TNA 120  0 , 4121
9) Se tomaron fondos por 87 días a una TNA del 36,50% para operaciones a 30 días.
Determinar cual fue la tasa bimestral de inflación si se sabe que el costo financiero real
mensual fue del 0,5% negativo.
29
87
30  30

 1  0 , 3650 .
  1  0 , 005
365 

87
87
 30 .1   60  60
 60  0 , 0716
DESCUENTO COMERCIAL O BANCARIO
Esta Operatoria consiste en descontar un documento con vencimiento futuro, en una
entidad financiera, para recibir hoy una cierta cantidad de dinero.
El descuento de documentos puede implementarse de dos maneras:


Como descuento de documento de terceros, donde el firmante y quien descuenta el
documentos son dos personas (Jurídicas o físicas) distintas
Como descuento de documentos de sola firma, donde el firmante y quien descuenta
es la misma persona.
Cálculo del descuento comercial:

Por ejemplo, se recibe un cheque de pago diferido por $5000, con fecha de pago
dentro de 60 días. Pero si necesitamos el dinero hoy debemos recurrir a un
prestamista o banco para que nos adelante el dinero, a cambio de la entrega del
cheque. Por supuesto esta operación tiene su costo ya que el banco, por ejemplo,
cobrará los $5000 recién a los 60 días, por lo tanto nos entregará un valor menor
para resarcirse de los intereses por ese periodo (además de gastos y tasas).
 En principio vemos un ejemplo sin gastos para obtener la fórmula básica.
Definimos la siguiente nomenclatura:
d = tasa de descuento en tanto por uno.
N = Valor nominal. (valor final o futuro)
V = Valor actual (capital al inicio)
D = Importe del descuento.
El descuento es la diferencia entre el valor nominal y el actual:
D=N-V
Por otro lado, el descuento en este sistema se calcula sobre N:
D = N.d.n
30
Si reemplazamos en la expresión anterior:
N.d.n = N - V
Despejando V:
V = N - N.d.n
V = N.(1 - dn)
Ejemplo 1:

Si en el ejemplo planteado inicialmente (N = 5000, plazo= 60 días) el banco cobra una
tasa de descuento del 2,4% mensual, el el importe de descuento y el valor a recibir (V)
serán:
D = 5000. 0,024. 2 = 240
V = 5000 - 240 = 4760
(la n es igual a 60/30=2 ya que el plazo es de 60
días y la tasa es mensual)
ó
V = 5000(1 - 0,024. 2) = 4760
Ejemplo 2:

Se efectúa el cálculo con una tasa adelantada (de descuento) anual del 30%, siendo la
operación de 180 días y con un valor nominal de $5000:
180 

V  5000 . 1  0 ,30 .
  5000 .1  0 ,1479
365 


  4260 , 27
Si en esta última operación quisiéramos calcular el Costo Financiero (CF) de la
operación a 180 días, que no es más que la tasa que efectivamente se pagó por la
operación, debemos dividir el importe del descuento sobre el capital al inicio del periodo:
D  5000  4260 , 27  739 , 73
CF  i180 
739 , 73
 0 ,1736
4260 , 27
31
Comprobamos que la tasa efectiva o Costo Financiero para el periodo de 180 días es
del 17,36%, mientras que la tasa de descuento para 180 días que se aplicó en la operación
es de 14,79%.
La diferencia consiste en que la tasa de descuento se aplica sobre un capital futuro (N), y
la tasa efectiva “i” se aplica sobre el valor presente (V).
 Conclusión: La tasa aplicada en la operación de descuento no es el costo financiero
efectivo de la misma, sino una tasa menor que resulta engañosa para la persona o
empresa que pide el descuento del documento, ya que en realidad no es la tasa que
realmente paga, sino una tasa mayor que será incrementada, como veremos a
continuación, por las comisiones, sellados, impuestos, etc. dando origen al CFT de la
operación de descuento.
Sin embargo el descuento comercial es la forma de cálculo que más se usa en
descuento de documentos.
Ejemplo 3:
Se recibe un documento de $12.000 a vencer dentro de 180 días. Se descuenta en un
banco 120 días antes de su vencimiento, a una tasa de descuento del 28% anual. Si el
banco cobra gastos y sellados por $360 más IVA (21%), e IVA sobre el descuento del
10,5%, cuánto recibió del banco y cuál es el CFT de la operación?
Datos:
N = 12000
Gastos = 360
IVA s/ gtos = 21%
IVA s/ dto = 10,5%
D  12000 x
0 , 28
n = 120 días
d = 28% anual
120  1104 , 66
365
Entonces, se descontará en total:
Descuento + Gastos + IVA s/ Dto. + IVA s/ Gtos
1104,66 + 360 + (1104,66 x 0,105) + (360 x 0,21) =
= 1656,24
Recibirá del banco:
V = 12000 – 1656,24 = $10.343,76
El Costo Financiero Total (CFT) para la operación a 120 días es:
CFT 120 
1656 , 24
 0 ,1601
10343 , 76
32
R: V = $ 10.343,76 ,
CFT de la operación = 16,01% por 120 días.
FACTORING FINANCIERO (facturación financiera)
El Factoring es un contrato celebrado entre una empresa y una entidad financiera o bien
una sociedad de factoring, por el cual la primera transfiere a la segunda créditos a cobrar
originados por su actividad comercial o de servicios (ej. facturación de la Pyme, cheques
posdatados, pagarés, etc.), con la finalidad de obtener recursos líquidos. De este modo el
financiamiento se logra a través de la compra de los créditos o documentos seleccionados
por la entidad financiera.
Las Pymes tienen la urgente necesidad de financiar sus ventas, hacer más rápido el
recupero de sus créditos, calzar los plazos de pago con los de cobro y contar con un rápido
retorno de su capital de trabajo, por lo tanto recurren frecuentemente a este sistema de
Descuento de Documentos.
Los participantes son:
Factor: Es la empresa que facilita los servicios conocidos por servicios de factoring.
Cliente: La empresa o comerciante que contrata con el factor la transferencia de los
créditos contra sus compradores.
Deudor o comprador: Empresa que adquiere del cliente (que es el que contrata el
factoring) los productos de éste, mediante la obligación del pago de un precio y que
constituye el deudor del crédito transmitido al factor.
La cesión o venta de créditos es regulada por el Código Civil o por la Ley Cambiaria.
Características:
· La empresa Pyme recurre a esta cesión o venta de créditos con el objeto de obtener
recursos financieros, cuyo costo estará determinado por la tasa de interés que resulte
pactada.
· El factor toma a su cargo el manejo el potencial riesgo de insolvencia de cada uno de los
deudores cedidos, por lo que no puede reclamar al cedente por la falta de pago de algún
crédito negociado.
. Puede existir un anticipo sobre los valores a cobrar, en cuyo caso el factor fija los intereses
correspondientes a la entrega a cuenta y los retiene por adelantado descontándolos del
préstamo.
· Como garantía de posibles devoluciones, si el crédito cedido no está instrumentado en
documentos negociables, se estima un aforo (garantía) sobre el monto transferido. Ante el
33
incumplimiento del deudor, el factor carga al cliente el crédito afectando el aforo. Este aforo
se liquida al cedente al final de la operación.
· La responsabilidad del cedente se limita a la garantía de existencia y autenticidad del
crédito seleccionado y aceptado por el factor.
· El factor puede brindar otros servicios administrativos además del financiero, lo que
optimiza la gestión del cliente asistido.
Beneficios del Factoring:
· Permite contar con una nueva línea de financiamiento.
· Convierte activos no exigibles en activos disponibles.
· Mejora los flujos de caja y la liquidez.
· Posibilita mayor velocidad en la rotación del capital de trabajo en las empresas.
· Aumenta la capacidad de la infraestructura productiva (ventas y endeudamiento).
· Profesionaliza la gestión y disminuye las cargas administrativas.
· En función de la tasa de descuento y la fecha de vencimiento medio de los créditos
cedidos, la venta de cartera puede generar rendimiento financiero adicional.
Si el negocio se limita a que el factor tome solamente a su cargo el manejo de la cobranza
percibiendo una comisión por su gestión, se esta en presencia de un simple servicio
comercial sin financiamiento, que podría denominarse factoring comercial.
Marco Legal:
· La ley 21.526 permite realizar operaciones de factoring a:
- Bancos comerciales
- Compañías financieras
Su regulación se sustenta en el Art. 1197 del Código Civil.
La Ley 24.452 (Cheque de pago diferido) y la ley 24.760 (Factura de crédito), regulan los
dos tipos de crédito idóneos para desarrollar el factoring.
Ejercicios resueltos de Descuento de documentos
1) Un comerciante necesita financiarse por $8500, para ello tiene recurre a un descuento de
cheques a 90 días, la institución financiera le cobrará una tasa de descuento del 3,2%
mensual y se gastos por el 2% del VN. No se cobra IVA.
34
a) De cuánto debe ser el valor nominal del cheque para que descontado quede un valor
actual de $8500?
b) Cuál será el CFT de la operación a 90 días.
V = 8500
d30= 3,2% gtos.:2%
tiempo = 3 meses
a)
8500 = N.(1 - 0,032 x 3 - 0,02 )
N = 9615,38
b) El CFT lo hallamos dividiendo la suma del descuento más los gastos sobre el valor
actual (valor recibido).
D + gastos= 9615,38 – 8500 = 1115,38
CFT = 1115,38 = 0,1312
8500
ó
13,12 % para 3 meses
2) Hoy se descuentan 2 pagarés cuyos valores nominales suman $ 3200, al 18% anual
adelantado. Si un pagaré vence a los 60 días y el otro a los 75, determinar los respectivos
valores nominales sabiendo que sus valores actuales suman $3062,18 y se cobra el 1% de
gastos sobre el valor nominal de cada documento. Cual fue el costo financiero total para el
2do pagaré?
N 1  N 2  3200
N 1  3200  N 2
0 ,18
0 ,18




3062 ,18  3200  N 2 . 1 
. 60  0 , 01   N 2 . 1 
. 75  0 , 01 
365
365




N1 =1700
N2 = 1500
Cálculo del CFT del 2do doc.:
35
D 2  1500 .
0 ,18
. 75  55 , 48
365
gastos  1500 . 0 , 01  15
 gastos  70 , 48
descuento
V 2  1429 , 52
CFT
75
70 , 48

 0 , 0493
1429 ,52
3) Se ha efectuado una venta y queda un saldo a financiar de $3000 que será cancelado
con 2 documentos a 3 y 9 meses respectivamente e incluyen un interés del 15% efectivo
anual. El segundo documento es el doble del primero.
Si el vendedor quisiera descontar dos documentos en un banco el día que los recibió, a
que tasa trimestral adelantada debería efectuarse la operación para obtener los $3000?
Resolución:
3000  Doc .1,15 

90
365
 2 . Doc .1,15 

270
365
Doc  1083 ,16
2 . Doc  2166 , 32
3000  1083 ,16 .1  d   2166 , 32 .1  3 .d 
d  0 , 0329
RENTAS
Definición:
Toda renta es una sucesión de pagos o cobros, iguales o distintos, con vencimiento en
épocas equidistantes.
El periodo es el intervalo de tiempo que media entre dos pagos consecutivos.
Ejemplos de rentas:
o
o
o
o
o
o
Una serie de depósitos destinados a formar un capital en cierto tiempo.
Los depósitos en una AFJP.
Los pagos de los alquileres.
Los pagos para comprar un bien en forma financiada.
Los pagos para cancelar una deuda.
Etc.
 Todos los cálculos de rentas se realizarán a Interés Compuesto.
36
VALOR FINAL DE UNA RENTA (VF)
El VALOR FINAL es un importe que surge de sumar todos los pagos o depósitos que se
realicen en una cuenta, con sus respectivos intereses, hasta un momento dado de
valuación.
Recordemos que, cuando teníamos un solo pago o depósito el capital final o Valor Final se
calculaba:
C1 = C0 (1+i)
Pero si queremos formar un fondo de ahorro por ej., realizando un depósito de 200 al final
del primer mes, 500 al final del segundo y 1000 al final del tercero, y la tasa que me da el
banco es del 1% mensual, cuanto se juntó al final del tercer mes:
VF  200 .(1  0 , 01 )  500 .(1  0 , 01 )  1000  1709 . 02
2
Intereses :
1709 , 02  ( 200  500  1000 )  9 , 02
Cuando las cuotas son todas iguales, vencidas, equidistantes y la tasa se mantiene siempre
igual, por medio de cálculos matemáticos el VF se puede simplificar con la siguiente
fórmula:
VF  C .
1  i  n
1
i
Siendo esta la formula del valor final de n cuotas vencidas e iguales de $C
Importante: Esta fórmula, así expresada, merece las siguientes consideraciones:
 Las cuotas son fijas, vencidas y están todas valuadas al momento del último pago o
depósito “n”.
 En éste caso la “n”, que representa el número de cuotas, coincide con el momento de
valuación de las mismas, pero no siempre sucede así. (veremos ejemplos más
adelante).
 La tasa deberá ser fija y del mismo período que el de las cuotas, por ejemplo, si las
cuotas son bimestrales la tasa deberá ser bimestral.
(1  i )  1
n
A la fórmula
con el símbolo:
i
se la denota, en la nomenclatura internacional,
Sn i
37
siendo
Sn i
el valor final de una renta de pagos de $1.
Por lo tanto:
VF = C. Sn i
Cabe aclarar que hay otro tipo de nomenclatura, muy utilizada en la matemática
financiera en nuestro país, que es la siguiente:
S(1, n, i) = Sn i
El esquema de cálculo será:
0
1
2
3
C
C
C
...
...
n-2
n-1
n
C
C
C
C (1 + i)
C (1 + i)2
C (1 + i)n- 3
C (1 + i)n- 2
C (1 + i)n- 1
Suma = VF
Intereses totales:
Resultan de restarle al fondo acumulado la totalidad de los pagos realizados, que al ser
todos iguales se expresa en forma e producto.
I ( n  0 )  VF  n .C
Cuando las cuotas son adelantadas simplemente utilizamos la formula de cuotas vencidas
pero multiplicada por (1+i).
38
(1  i )  1
n
VF  C .
.(1  i )
Valor final de “n” cuotas iguales y adelantadas de $C.
i
Ejemplo 1:

Si una persona deposita $2000 al final de cada mes por 2 años en un plazo fijo que le
paga una TNA del 14,60%, cuánto dinero tendrá acumulado al momento de efectuar el
último depósito y cuánto ganará de intereses en total suponiendo que la tasa se
mantiene constante?
Primero se deberá calcular la tasa del período de las cuotas, en este caso se calculará la
tasa mensual:
i 30 
14 , 60
. 30  0 , 0120
365
La cantidad de cuotas “n” es 24.
VF = C.
S
24 0,012
VF  2000 .
1  0 , 012  24
1
 55245 , 47
0 , 012
Intereses :
I ( 24  0 )  55245 , 47  24 x 2000  7245 , 47
Ejemplo 2:

Si en el caso del ejemplo anterior se depositaran 24 pagos pero no se retira el dinero,
quedando el fondo en la cuenta 6 meses más, cuál sería el valor final y los intereses
ganados al cumplirse dicho plazo?
Aquí el número de cuotas “n” es menor que el plazo total de valuación, por lo tanto se
calculará el valor final de 24 cuotas y dicho importe se capitalizará por 6 meses más:
VF al mes 30 = C.
S24 0,012 . (1+0,012 )
6
=
59344,40
Intereses totales
39
I ( 30  0 )  59344 , 40  24 x 2000  11344 , 40
Ejemplo 3:

Un padre de familia hace depósitos bancarios por $3500 al principio de cada semestre,
comenzando el día de nacimiento de su hijo: ¿Cuánto tendrá en la cuenta acumulado
cuando su hijo cumpla los 7 años de edad, suponiendo que la inversión reditúa el 16%
nominal anual para operaciones a 180 días?
Primero se deberá hallar la tasa semestral:
i180 
0 ,16
180  0 , 0789
365
Como en 7 años hay 14 semestres la n será igual a 14.
Entonces el fondo acumulado transcurridos los 14 semestres, depositando cuotas en forma
adelantada de $3500 será:
VF  3500 .
1  0 , 0789 14
1
0 , 0789
1  0 , 0789 
VF  90725 , 74
VALOR ACTUAL DE UNA RENTA (VA)
El VALOR ACTUAL, es un importe que representa el valor hoy de una serie de pagos o
cuotas futuras.
 Ya lo hemos visto cuando consideramos un pago único y hemos dicho que es un
concepto muy importante en finanzas ya que es la base para todo plan de
financiamiento, prestamos hipotecarios y decisiones de inversión.
Recordemos que, cuando tenemos un solo pago o (flujo de fondos) el VA será:
C0 
VA ó
C1
(1  i )
Cuando tenemos distintos capitales o flujos de fondos futuros, como por ej., un plan de
financiación con cuotas distintas, quedaría:
VA 
C1

C2
1  i  1  i 
2

C3
1  i 
3
 ......... 
Cn
1  i  n
40
Ejemplo 1:
Cuanto valdría al contado un servicio que puede financiarse con tres pagos de:
$5.000 el primer mes, $ 10.000 el segundo mes y $15.000 el tercero, considerando una
tasa de interés para la financiación del 2% mensual.
VA 
5000
(1  0 , 02 )

10000
(1  0 , 02 )
2

15000
(1  0 , 02 )
3
 28648 , 48
Entonces, el valor hoy de esos pagos, que es lo mismo decir el valor al contado del
servicio, a la tasa del 2% por financiación, será de $ 28.648,48.
Lógicamente que por financiarse se está pagando un interés en pesos que será:
(5000+10000+15000) - 28648,48 = $1351,52
 Esta forma de calcular el VA nos servirá mas adelante para valuar proyectos de
inversión.
Cuando las cuotas son todas iguales, vencidas, equidistantes y la tasa se mantiene para
todo el plazo, el cálculo anterior se puede simplificar en la siguiente fórmula, que surge de
cálculos matemáticos que vamos a obviar:
VA  C .
1  1  i 
n
i
Siendo esta la fórmula del valor actual de n cuotas vencidas de $C.
Importante: Esta fórmula, así expresada, merece las siguientes consideraciones:
 Las cuotas son fijas, vencidas y están todas valuadas al momento anterior del pago
de la primer cuota. En la deducción de la fórmula dicho momento es el “0”, pero
puede ser cualquier otro, como veremos en “rentas diferidas”.
 En éste caso la “n”, que representa el número de cuotas, coincide con la cantidad de
períodos de la operación, pero no siempre sucede así. (veremos ejemplos más
adelante también con rentas diferidas).
 La tasa deberá ser fija y del mismo período que el de las cuotas.
El esquema de cálculo es el siguiente:
41
0
1
2
3
...
n-2
n-1
n
C
C
C
...
C
C
C
C (1 + i)-1
C (1 + i)-2
C (1 + i)-3
..........
C (1 + i)-(n-2)
C (1 + i)-(n-1)
C (1 + i)-n
Suma = VA
Llamamos
an i =
1  1  i 
n
i
al valor actual de n cuotas vencidas de $1
VA = C. an i
Quedando
Para la otra nomenclatura será:
an i = a (1,n,i)
Ejemplo 2:
Si en el ejemplo anterior del servicio, si el plan de financiación fuese de 5 pagos mensuales
de $6000 cada uno, siendo la tasa de interés del 2% mensual, ¿Cuál sería hoy el valor al
contado?
VA  6000 .
1  1, 02 
5

0 , 02
VA  6000 . 4 , 7135
VA  28281
 ¿Cuánto se pagará en total en concepto de intereses?
42
Intereses = 5 . 6000 – 28281 = $1719
 La fórmula de VA es la que se usa para calcular el valor de las cuotas por el
SISTEMA FRANCES que es el más usado para los préstamos hipotecarios,
personales, etc.
Si las cuotas son adelantadas, o sea se pagan al principio de cada periodo la formula será
la misma que la de valor actual con cuotas vencidas pero multiplicada por (1+i):
VA  C .
1  1  i 
n
i
1  i 
Ejemplo 3:
Para adquirir un bien a crédito se deben hacer 36 pagos mensuales de $1500 cada uno,
comenzando en el momento de la entrega del mismo. Si los intereses que se cobran son a
razón del 18% nominal anual. Cuál es el valor al contado del bien?
Hallamos primero la tasa mensual ya que las cuotas son mensuales:
i 30 
0 ,18
 0 , 015
12
El valor al contado será:
VA  1500 .
1  1, 015
  36
0 , 015
1, 015 
VA  1500 x 28 , 08
VA  42113 ,39
El valor sin financiar será de $42.113,39
Ejemplo 4:

¿Cuánto se deberá pagar de cuota mensual y adelantada si se quiere recibir de
préstamo $1941,37 a pagar en 5 meses con una tasa del 1% mensual?
1941 , 37  C .(1, 01 ).
1  (1, 01 )
5
0 , 01
C = 396.04
43
Podemos relacionar el valor final con el valor actual de una renta, siempre considerando
igual cuota, plazo e interés.
VA (1 + i)n = VF
ó
VA = VF (1 + i) -n
Un ejemplo de aplicación de la fórmula de valor actual:
Leasing
Es un instrumento apto para financiarse a mediano y largo plazo en la
adquisición de bienes durables, especialmente utilizado por las Pymes.
El Leasing es un préstamo que en lugar de estar representado por dinero, lo está por un
bien donde el propietario transfiere el uso y goce al tomador en el momento de su entrega y
por esa transferencia el titular recibe un precio que es el canon y le otorga al tomador
(solicitante) una opción de compra al final de pago del canon, por un valor residual que
fijan las partes como un porcentaje del costo del bien.
Características:
· El otorgante conserva el dominio del bien que es su garantía y el tomador utiliza el bien
que le permitirá generar ganancias. De hecho podrán hacerse contratos de Leasing por
equipos cuyo valor supere el patrimonio del tomador.
· Es una forma de crédito que actúa como dinamizador de las Pymes ya que una nueva
máquina incorporada a la empresa debería amortizarse con su propio rendimiento.
· Se financia hasta el 100% del activo físico sin necesidad de inmovilizar capital de trabajo,
ni recurrir al crédito aumentando el pasivo de la empresa.
· En la compra directa de un bien se debe abonar la totalidad del IVA. En el Leasing se
prorratea este pago en tantas cuotas de canon como se hubieran establecido en el contrato.
· La Pyme podrá financiarse a plazos sustancialmente mayores que los comunes en plaza
para créditos sobre bienes de capital, a tasa de interés mucho menores y sin afectar
garantías.
· Durante el período de pago del canon, podrá sustituirse el bien transferido al tomador por
otro de mayor tecnología o simplemente más moderno, de común acuerdo con el titular.
· Se diferencia de un alquiler no solo por la opción final de compra, sino porque la ley
permite el subarrendamiento del bien, es decir el sub-leasing, operaciones que en los
próximos años se esperan en escala (por ejemplo para el caso de los transportes). Es una
forma de compartir el riesgo.
Básicamente las PyMEs mediante el Leasing pueden adquirir maquinarias, equipos
informáticos (software) y de telecomunicaciones, marcas y patentes, transportes de carga,
automóviles e inmuebles para sus empresas (oficinas, depósitos, talleres y fábricas).
44
Ejemplo de leasing:

Una máquina nueva con un valor en efectivo de $13.500 será alquilada por 3 años,
con la opción de comprarla al precio de $ 7.500 al final del período de alquiler. Si el
locatario desea obtener un rendimiento anual equivalente al 14% nominal anual. De
qué cantidad deben ser los pagos mensuales por el alquiler, los cuales vencerán al
principio de cada mes?
En este caso usaremos el año de 360 días.
i 30 
0 ,14
. 30  0 , 01167
360
Cálculo de los pagos por medio del valor actual:
En este caso valuamos al día de hoy el valor residual, actualizándolo hasta el momento 0,
esto será restado del valor en efectivo y lo que queda sería ahora como un monto a
financiar que se pagará en forma de cuotas de alquiler:
7500
1, 01167  36
 4939 , 26
13 . 500  4939 , 26  8560 , 74
Usando fórmula de valor actual:
8560 , 74  C .
1  1, 01167
0 , 01167
  36
.1 . 01167

8560 , 74  C . 29 , 5987
C  289 , 23
Se deberían pagar $289,19 por mes por el alquiler (leasing) de la máquina, quedando la
opción de comprarla a los 36 meses por un valor residual del $7.500.
Rentas Diferidas
Se denomina así a aquella renta en donde la valuación de la misma se efectúa X periodos
antes del pago/cobro de la primer cuota.
Ejemplos de rentas diferidas:
45
 Ciertos préstamos otorgados por los bancos que determinan un "plazo de gracia"
para el pago de las cuotas, haciéndolos mas atractivos para los clientes. Por ejemplo,
en un préstamo hipotecario no se pagan cuotas en los 4 primeros meses.
 Se deposita cierta suma de dinero para formar un fondo del cual se extraen, luego de
cierto lapso de tiempo, cuotas periódicas para pagar una universidad, para tener un
ingreso desde la edad de jubilación, para proporcionar becas en el futuro, etc.
 Algunos bonos, en nuestro país, se han emitido en cierta fecha pudiéndose cobrar el
valor de los cupones recién después de un lapso determinado. (bonos a jubilados)
Ejemplo 1:

En abril un negocio de computación ofrece un plan de venta de “compre ahora y
pague después”. Con este plan una persona compra una computadora que recibe el
2 de mayo, y que debe pagar mediante 5 pagos mensuales y vencidos de $530 a
partir del 2 de agosto del mismo año. Si se considera un interés del 1% mensual,
¿Cuál es el valor al contado de la computadora?
Como los 5 pagos son vencidos, el valor actual de los mismos será al 2 de julio (ya que el
primero se hará el 2 de agosto). Este valor actual será de:
VA  530
1  1, 01 
5
 2572 ,32
0 , 01
Luego se calculará el valor de $2572,32 al momento 0, que es cuando el comprador recibió
la computadora:
Precio al contado =
2572 ,32 .1, 01 
2
 2521 , 63
Podría aplicarse la formula directamente:
VA  530 .
1  1, 01 
0 , 01
5
1, 01   2
VA  2521 , 63
Problemas resueltos de rentas
1)Una persona de 46 años quiere percibir $50000 a los 55 años, para ello decide pagar
cuotas vencidas a una Cia. De Retiro, la cual capitalizará sus depósitos al 8% efectivo
anual, que equivale a una tasa mensual del 0,66%. Calcular el valor de la cuota mensual
pura (sin gastos ni sellados).
46
Resolución:
Desde los 46 a los 55 años hay 9 años o 108 meses.
El valor final de la renta es de 50000, entonces para calcular la cuota mensual aplicando la
fórmula será:
50000  C
1, 0066 108
1
0 , 0066
50000  C . 156 ,81
C 
50000
156 ,81
C  318 ,86
Esta cuota no incluye gastos ni sellados.
Supongamos ahora que dicha persona realice, a los 46 años, un aporte inicial de $5000, y
quiera seguir formando los $50000 al final de los 9 años, de que valor sería ahora su cuota
mensual?
Como los $5000 del inicio también generan intereses, los capitalizamos hasta el final, ya
sea por 9 años usando la tasa anual o por 108 meses usando la tasa mensual (En ambos
casos es lo mismo ya que serían tasas equivalentes).
Entonces se llegaría a un valor final de $50.000 considerando el punto anterior más el valor
final de 108 cuotas mensuales que ahora tendrán un valor menor al anterior ya que se
refuerza con un aporte inicial:
50 . 000  5000 1, 08   C .
9
1, 0066 108
1
0 , 0066
50 . 000  9995 , 02  C . 156 ,81
C 
50000  9995 , 02
156 ,81
C  255 ,12
2) Un bien proporciona ingresos mensuales de $1600. Estos se invierten en una
entidad durante 6 meses al 10% anual. Calcular:
a- el importe que puede extraerse bimestralmente del fondo si se desea efectuar la
primera extracción 3 meses y 1/2 después del último deposito, con un total de 5
extracciones y con el mismo rendimiento.
b- Si se desearan extraer cuotas mensuales de $500 en forma adelantada, en cuanto
tiempo se agotaría el fondo considerando la primera extracción en el mismo momento
que en el punto anterior y la misma tasa de interés.
Resolución:
a) i30 = 0,008
VF = 1600.
i60 = 0,0161
S6 0,008 = 9794,06
47
VA = 9794,06 = C . a 5 0,0161 . (1,008)
-1,5
C = 2078,29
9794,06 = 500. a n 0,008 . (1,008).(1,008)
b)
-3,5
n = 21 meses y 20 días
SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE PRESTAMOS
Amortizar un préstamo es el proceso por el cual se la extingue, ya sea mediante un pago
único o una serie de cuotas.
Existen varios sistemas mediante los cuales se pueden amortizar o devolver los préstamos:
o
o
o
o
SISTEMA FRANCES
SISTEMA ALEMAN
SISTEMA AMERICANO
TASA DIRECTA
SISTEMA FRANCES
Características:




Cuotas constantes
Intereses sobre saldos
Intereses decrecientes
Amortizaciones crecientes.
Gráfico del Sistema Francés:
C
C
INTERESES
AMORTIZACIONES
n
48
 Analizaremos un préstamo efectuando un ejemplo con el desarrollo mensual el
mismo, cuyos datos son los siguientes:
Préstamo V = $20.000
n = 5 años
TNA30 = 0,1268
i = 0,01 mensual
Las cuotas se pagarán en forma mensual, por lo tanto serán 60.
A efectos de ver solo la estructura del sistema puro, por ahora no consideraremos los
gastos adicionales.
La cuota del sistema Francés se calcula del mismo modo que la cuota del valor actual de
una renta de pagos vencidos y constantes:
C V.
i
1  (1  i )
n
Reemplazando:
C = 444,889
Efectuamos el cuadro del desarrollo mensual del préstamo:
Período Saldo Inic.
1
20.000,00
2
19.755,11
3
19.507,77
4
19.257,96
5
19.005,65
6
18.750,82
7
18.493,44
8
18.233,48
9
17.970,93
10
17.705,75
11
17.437,92
12
17.167,41
13
16.894,19
14
16.618,25
15
16.339,54
16
16.058,05
17
15.773,74
18
15.486,59
19
15.196,56
20
14.903,64
21
14.607,79
22
14.308,98
23
14.007,18
24
13.702,36
25
13.394,50
26
13.083,55
27
12.769,50
Cuota
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
Intereses Amortizac.
200,00
244,89
197,55
247,34
195,08
249,81
192,58
252,31
190,06
254,83
187,51
257,38
184,93
259,95
182,33
262,55
179,71
265,18
177,06
267,83
174,38
270,51
171,67
273,21
168,94
275,95
166,18
278,71
163,40
281,49
160,58
284,31
157,74
287,15
154,87
290,02
151,97
292,92
149,04
295,85
146,08
298,81
143,09
301,80
140,07
304,82
137,02
307,87
133,94
310,94
130,84
314,05
127,69
317,19
Am. Acum. Saldo Final
244,89
19.755,11
492,23
19.507,77
742,04
19.257,96
994,35
19.005,65
1.249,18
18.750,82
1.506,56
18.493,44
1.766,52
18.233,48
2.029,07
17.970,93
2.294,25
17.705,75
2.562,08
17.437,92
2.832,59
17.167,41
3.105,81
16.894,19
3.381,75
16.618,25
3.660,46
16.339,54
3.941,95
16.058,05
4.226,26
15.773,74
4.513,41
15.486,59
4.803,44
15.196,56
5.096,36
14.903,64
5.392,21
14.607,79
5.691,02
14.308,98
5.992,82
14.007,18
6.297,64
13.702,36
6.605,50
13.394,50
6.916,45
13.083,55
7.230,50
12.769,50
7.547,70
12.452,30
49
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
SUMA
12.452,30
12.131,94
11.808,37
11.481,56
11.151,49
10.818,12
10.481,41
10.141,33
9.797,86
9.450,95
9.100,57
8.746,68
8.389,26
8.028,26
7.663,66
7.295,41
6.923,47
6.547,82
6.168,41
5.785,20
5.398,16
5.007,26
4.612,44
4.213,68
3.810,92
3.404,14
2.993,30
2.578,34
2.159,23
1.735,94
1.308,41
876,60
440,48
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
444,89
26.693,34
124,52
121,32
118,08
114,82
111,51
108,18
104,81
101,41
97,98
94,51
91,01
87,47
83,89
80,28
76,64
72,95
69,23
65,48
61,68
57,85
53,98
50,07
46,12
42,14
38,11
34,04
29,93
25,78
21,59
17,36
13,08
8,77
4,40
6.693,34
320,37
323,57
326,81
330,07
333,37
336,71
340,07
343,48
346,91
350,38
353,88
357,42
361,00
364,61
368,25
371,93
375,65
379,41
383,20
387,04
390,91
394,82
398,76
402,75
406,78
410,85
414,96
419,11
423,30
427,53
431,80
436,12
440,48
20.000,00
7.868,06
8.191,63
8.518,44
8.848,51
9.181,88
9.518,59
9.858,67
10.202,14
10.549,05
10.899,43
11.253,32
11.610,74
11.971,74
12.336,34
12.704,59
13.076,53
13.452,18
13.831,59
14.214,80
14.601,84
14.992,74
15.387,56
15.786,32
16.189,08
16.595,86
17.006,70
17.421,66
17.840,77
18.264,06
18.691,59
19.123,40
19.559,52
20.000,00
12.131,94
11.808,37
11.481,56
11.151,49
10.818,12
10.481,41
10.141,33
9.797,86
9.450,95
9.100,57
8.746,68
8.389,26
8.028,26
7.663,66
7.295,41
6.923,47
6.547,82
6.168,41
5.785,20
5.398,16
5.007,26
4.612,44
4.213,68
3.810,92
3.404,14
2.993,30
2.578,34
2.159,23
1.735,94
1.308,41
876,60
440,48
0,00
Columna de intereses:
Los intereses en cada período se calculan sobre el saldo de deuda (saldo anterior).
I p  S p 1 .i
Siendo:
I p  Intereses del momento p, o también son los intereses contenidos en la cuota
número p.
S p 1 = Saldo al momento p-1.
Veamos en el cuadro, por ejemplo, los intereses en el período 27:
50
I 27  S 26 .i
127,69 = 12.769,50 . 0,01
Columna de amortizaciones:
Se denomina también a la amortización como "cuota de capital" ya que es la parte de la
cuota total que va a saldar (amortizar) el capital prestado.
Como la cuota constante está compuesta por el interés y la amortización de cada período, la
amortización en un período dado será
tp  C  Ip
Si efectuamos el cociente entre cada amortización y la anterior, por ejemplo:
t2

t1
t3
t2
247 , 34
 1, 01
244 ,89

249 ,81
 1, 01
247 , 34
Si siguiéramos efectuando los cocientes podemos comprobar que el resultado es siempre
(1+i). Por lo tanto podemos decir que las amortizaciones crecen en progresión geométrica
cuya razón es (1+i).
Si despejamos la segunda amortización y la tercera en sus respectivas formulas,
concluimos que cada amortización es igual a la anterior por (1+i):
t p  t p 1 .(1  i )
Por ejemplo:
t 3  t 2 .(1  i )
Si reemplazamos t2 por t1.(1+i):
51
t 3  t 1 .(1  i ).( 1  i )
t 3  t 1 .(1  i )
2
En general podemos expresar cualquier amortización en función de la primera:
t p  t 1 .(1  i )
p 1
Columna de amortizaciones acumuladas:
Como vemos en la tabla la última amortización acumulada es el valor del préstamo, por lo
tanto:
Tn  V
siendo T n la amortización acumulada al momento n.
Pero si se quiere calcular cuál es la amortización acumulada hasta un momento p, o lo que
es lo mismo decir, cuanto se pagó en concepto de capital hasta un período p, se deberían
sumar todas las amortizaciones hasta p:
T p  t 1  t 2  .......... .  t p
Colocando cada amortización en función de la primera y sacando factor común t1 quedará:

T p  t 1 . 1  (1  i )  (1  i )  ..........  (1  i )
2
p 1

Siendo la expresión que está dentro del corchete, igual al valor final de una renta de p
pagos. Quedando la formula de amortización acumulada hasta el período p:
T p  t 1 . Sp i
Si en el ejemplo queremos calcular el total amortizado hasta el mes 48:
T 48  t 1 .
S48 0,01
52
T 48  244 ,89 .
(1, 01 )
48
1
0 , 01
T 48  14 . 992 ,80
Columna de saldos finales:
El saldo al final de un período se calcula luego de pagar la cuota de ese período.
Se entiende como saldo de deuda a la parte del préstamo que aún falta amortizar.
Como surge de la tabla el saldo al final de cualquier momento p se calcula restándole al
saldo anterior la amortización correspondiente a dicho período:
S p  S p 1  t p
Estudiamos dos métodos para el cálculo del saldo:
A- Método prospectivo:
Es el cálculo en base al futuro, o sea, es el valor actual de las cuotas que aún faltan pagar
(excluyendo la cuota del período en el que se calcula):
S p  C . an-p i
Por ejemplo el saldo al momento 43 será:
S 43  444 ,89 .
1  (1, 01 )
 ( 60  43 )
0 , 01
S 43  6923 , 47
B- Método en función de las amortizaciones acumuladas.
Como el saldo en un momento p es lo que falta amortizar hasta ese momento, es lógico
pensar que también resulta de la diferencia entre el valor del préstamo y lo que ya se
amortizó hasta p:
S p  V  Tp
53
En el ejemplo:
S 43  20 . 000  244 ,89 .
(1, 01 )
43
1
0 , 01
S 43  6923 , 47
Intereses totales y parciales:
Si se quiere averiguar el total de intereses pagados en toda la operación, al total de cuotas
pagadas se le resta el valor del préstamo:
I ( n  0 )  n .C  V
I ( 60  0 )  60 . 444 ,889  20 . 000
I ( 60  0 )  6693 ,34
Para calcular los intereses pagados hasta un período p, al total de las cuotas pagadas hasta
ese momento se le deberá restar la amortización acumulada hasta p.
I ( p  0 )  p .C  T p
En el ejemplo los intereses pagados hasta el 5to período serán:
(1, 01 )  1
5
I ( 5  0 )  5 x 444 ,889  244 ,89 .
0 , 01
I ( 5  0 )  975 , 26
Se podrá verificar el resultado sumando los cinco primeros intereses de la tabla.
Los intereses entre un período p y n se calcularán de la siguiente forma:
I ( n  p )  ( n  p ). C  S p
54
SISTEMA ALEMAN
Características:
o
o
o
o
Amortización constante
Interés sobre saldos.
Cuota de interés decreciente.
Cuota total decreciente en progresión aritmética.
Grafico del sistema Alemán
C
INTERESES
AMORTIZACIONES
n
Cuadro del préstamo
 Utilizamos el mismo ejemplo que para sistema Francés:
Préstamo V = $20.000
Período
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Saldo Inic.
20.000,00
19.666,67
19.333,33
19.000,00
18.666,67
18.333,33
18.000,00
17.666,67
17.333,33
17.000,00
16.666,67
16.333,33
16.000,00
15.666,67
15.333,33
15.000,00
14.666,67
14.333,33
14.000,00
n = 5 años
Cuota
533,33
530,00
526,67
523,33
520,00
516,67
513,33
510,00
506,67
503,33
500,00
496,67
493,33
490,00
486,67
483,33
480,00
476,67
473,33
Intereses
200,00
196,67
193,33
190,00
186,67
183,33
180,00
176,67
173,33
170,00
166,67
163,33
160,00
156,67
153,33
150,00
146,67
143,33
140,00
TNA30 = 0,1268
Amortizac.
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
i = 0,01 mensual
Am. Acum.
333,33
666,67
1.000,00
1.333,33
1.666,67
2.000,00
2.333,33
2.666,67
3.000,00
3.333,33
3.666,67
4.000,00
4.333,33
4.666,67
5.000,00
5.333,33
5.666,67
6.000,00
6.333,33
Saldo Final
19.666,67
19.333,33
19.000,00
18.666,67
18.333,33
18.000,00
17.666,67
17.333,33
17.000,00
16.666,67
16.333,33
16.000,00
15.666,67
15.333,33
15.000,00
14.666,67
14.333,33
14.000,00
13.666,67
55
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
SUMA
13.666,67
13.333,33
13.000,00
12.666,67
12.333,33
12.000,00
11.666,67
11.333,33
11.000,00
10.666,67
10.333,33
10.000,00
9.666,67
9.333,33
9.000,00
8.666,67
8.333,33
8.000,00
7.666,67
7.333,33
7.000,00
6.666,67
6.333,33
6.000,00
5.666,67
5.333,33
5.000,00
4.666,67
4.333,33
4.000,00
3.666,67
3.333,34
3.000,00
2.666,67
2.333,34
2.000,00
1.666,67
1.333,34
1.000,00
666,67
333,34
470,00
466,67
463,33
460,00
456,67
453,33
450,00
446,67
443,33
440,00
436,67
433,33
430,00
426,67
423,33
420,00
416,67
413,33
410,00
406,67
403,33
400,00
396,67
393,33
390,00
386,67
383,33
380,00
376,67
373,33
370,00
366,67
363,33
360,00
356,67
353,33
350,00
346,67
343,33
340,00
336,67
26.100,00
136,67
133,33
130,00
126,67
123,33
120,00
116,67
113,33
110,00
106,67
103,33
100,00
96,67
93,33
90,00
86,67
83,33
80,00
76,67
73,33
70,00
66,67
63,33
60,00
56,67
53,33
50,00
46,67
43,33
40,00
36,67
33,33
30,00
26,67
23,33
20,00
16,67
13,33
10,00
6,67
3,33
6.100,00
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
20.000,00
6.666,67
7.000,00
7.333,33
7.666,67
8.000,00
8.333,33
8.666,67
9.000,00
9.333,33
9.666,67
10.000,00
10.333,33
10.666,67
11.000,00
11.333,33
11.666,67
12.000,00
12.333,33
12.666,67
13.000,00
13.333,33
13.666,67
14.000,00
14.333,33
14.666,67
15.000,00
15.333,33
15.666,67
16.000,00
16.333,33
16.666,67
17.000,00
17.333,33
17.666,66
18.000,00
18.333,33
18.666,66
19.000,00
19.333,33
19.666,66
20.000,00
13.333,33
13.000,00
12.666,67
12.333,33
12.000,00
11.666,67
11.333,33
11.000,00
10.666,67
10.333,33
10.000,00
9.666,67
9.333,33
9.000,00
8.666,67
8.333,33
8.000,00
7.666,67
7.333,33
7.000,00
6.666,67
6.333,33
6.000,00
5.666,67
5.333,33
5.000,00
4.666,67
4.333,33
4.000,00
3.666,67
3.333,34
3.000,00
2.666,67
2.333,34
2.000,00
1.666,67
1.333,34
1.000,00
666,67
333,34
-0,00
Amortizaciones:
Las amortizaciones (o cuota de capital) son constantes y surgen de dividir el préstamo por la
cantidad de cuotas:
t 
V
n
En el cuadro será:
56
t 
20000
 333 ,33
60
La suma de todas las amortizaciones es el valor del préstamo, por lo tanto la amortización
acumulada hasta n será:
Tn  V
Y la amortización acumulada hasta cualquier período p:
T p  p.
V
n
por ejemplo: T 30  30 .
20000
 10000
60
Saldos
Sabemos que el saldo de un préstamo es lo que falta amortizar del mismo. Podemos
obtener el saldo de dos formas:
S p  V  p.
V
ó
n
S p  ( n  p ).
V
n
Por ejemplo el saldo al momento 30:
S 30  ( 60  30 ).
20000
 10000
60
 Qué podemos deducir con respecto al resultado anterior?
Intereses
Los intereses se calculan sobre saldos de deuda, siendo la primer cuota de interés:
I 1  V .i
y cualquier cuota de interés:
I p  S p 1 .i
57
I 30  S 29 .i
20000 

I 30   ( 60  29 ).
. 0 , 01  103 ,33
60 

Cuotas
Sabiendo como se calcula la amortización y el interés en cada período ya podemos calcular
la cuota en cualquier momento.
C1 
V
Cp 
V
C 30 
 V .i
n
 S p 1 .i
n
20000
 10 . 333 , 33 * 0 , 01  436 , 667
60
Comprobamos que las cuotas son decrecientes y si efectuamos la resta entre dos cuotas
consecutivas nos da un valor constante de decrecimiento, formando una renta en progresión
aritmética, valor que se comprueba en la columna de intereses ya que la parte de la cuota
que varía es la cuota de interés.
Por otro lado observamos que los intereses decrecen en un valor constante que es igual al
último interés, en este caso $3,33. Entonces la razón de decrecimiento (R) es siempre igual
al último interés, y éste se calcula:
In  R 
V
.i
n
Intereses totales y parciales
Los intereses totales son el resultado de la suma de todas las cuotas menos el préstamo, o
bien simplemente, son la sumatoria de los intereses de cada período. Como en ambos
casos resulta ser la suma de una progresión aritmética, recordemos la fórmula de la misma:
Suma 
1erT  ultimo .T
.n
2
Por lo tanto hay dos maneras de hallar los intereses totales:
Por medio de las cuotas:
58
I (n  0) 
C1  C n
.n  V
2
Por medio de las cuotas de interés:
I (n  0) 
I1  I n
.n
2
Si en la expresión anterior reemplazamos las cuotas de interés por sus respectivas fórmulas
y efectuamos los cálculos matemáticos necesarios quedará la siguiente fórmula simplificada
de intereses totales:
I ( n  0 )  V .i .
( n  1)
2
Recordar que esta última fórmula solamente se puede utilizar para intereses totales y
no parciales.
Cálculo de los Intereses entre 0 y p:
I (0, p ) 
I0  I p
.p
2
Cálculo de los intereses entre p y n:
I ( p, n) 
I p 1  I n
.( n  p )
2
SISTEMA AMERICANO
Características:
o Periódicamente sólo se pagan cuotas de interés.
o La amortización del préstamo se realiza toda al final.
0
1
2
n-1
V
CI
CI ............................CI
n
CI + V
V = Valor del préstamo
Cuota de interés (CI):
59
Es la cuota que corresponde al sistema en sí, y consiste solo en el pago de los intereses
sobre el saldo de deuda. Como no se pagan cuotas de capital hasta el final, dicho saldo es
siempre el préstamo (V ), por lo tanto la cuota de interés será:
CI = V.i
Al ser los intereses constantes, los intereses totales serán:
I(0-n) = V.i.n
Efectuamos el cuadro con los mismos datos de los otros préstamos:
Período
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Saldo Inic.
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
Interés
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
Amort.
Cuota total
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
Saldo final
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
60
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
SUMA

200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
20.000,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
200,000
20.200,000
12.000,0000
20.000,00
32.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
-
Se transcribe la publicidad de un banco como ejemplo del Sistema Americano:
Préstamo XX
El Préstamo Personal flexible que se adapta a sus necesidades.
Porque paga una cuota mensual mínima y tiene hasta 24 meses
para cancelar el capital como quiera.
Desde $ 1.000 hasta $ 10.000
Plazo de 24 meses para devolver el capital del préstamo.
Tasa Fija y en Pesos.
CFT: 43,93% Tasa Nominal Anual Fija : 25,60%; Tasa Efectiva Anual : 28,83%.
Amortización Sistema Americano. Costo Financiero Total (CFT) para un préstamo de $
10.000 a 24 meses con devolución total del capital en la cuota 24 (incluye gasto de
otorgamiento, tasa de interés, administración de cuota, IVA sobre intereses y paquete de
productos Ahorro).
TASA DIRECTA
Más que un sistema de préstamos, corresponde a un método de cálculo de cuotas.
Está bastante difundido en la práctica por su simplicidad, especialmente en las ventas en
cuotas de artículos para el hogar, en los préstamos o financiaciones que realizan
prestamistas particulares, etc.
Características:
61

La principal característica es que los intereses siempre se calculan sobre la deuda inicial.
A diferencia del sistema Americano en el que no se amortizaba nada hasta el final, en
este método sí hay amortizaciones periódicas, por lo tanto el hecho de que se calculen
los intereses sobre la deuda al principio es totalmente injusto y usurero ya que no tiene
sentido pagar intereses sobre un valor que ya se pagó. ( por ejemplo cuando ya pasaron
5 meses y se reembolsó parte del capital )

Los intereses entonces, son constantes y se calculan aplicando una tasa que
llamaremos r (tasa directa) para diferenciarla de la tasa efectiva i.

Las amortizaciones son constantes.

Por lo tanto las cuotas son constantes.
Gráfico de Tasa Directa
C
INTERESES
AMORTIZACIONES
n
Cuadro del préstamo
 Con los mismos datos del sistema Francés y el Alemán se realizará el cuadro de
marcha. Recordamos los datos:
V= 20.000 ;
n= 60
r = 0,01
Reemplazamos la tasa de interés i por la tasa directa r dándole el mismo valor a efectos de
comparar con los demás sistemas nombrados.
Período
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Saldo Inic.
20.000,00
19.666,67
19.333,33
19.000,00
18.666,67
18.333,33
18.000,00
17.666,67
17.333,33
17.000,00
16.666,67
16.333,33
16.000,00
15.666,67
Cuota
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
Intereses
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
Amortizac.
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
Am. Acum.
333,33
666,67
1.000,00
1.333,33
1.666,67
2.000,00
2.333,33
2.666,67
3.000,00
3.333,33
3.666,67
4.000,00
4.333,33
4.666,67
Saldo Final
19.666,67
19.333,33
19.000,00
18.666,67
18.333,33
18.000,00
17.666,67
17.333,33
17.000,00
16.666,67
16.333,33
16.000,00
15.666,67
15.333,33
tasa efva del per.
0,0100
0,0102
0,0103
0,0105
0,0107
0,0109
0,0111
0,0113
0,0115
0,0118
0,0120
0,0122
0,0125
0,0128
62
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
SUMA
15.333,33
15.000,00
14.666,67
14.333,33
14.000,00
13.666,67
13.333,33
13.000,00
12.666,67
12.333,33
12.000,00
11.666,67
11.333,33
11.000,00
10.666,67
10.333,33
10.000,00
9.666,67
9.333,33
9.000,00
8.666,67
8.333,33
8.000,00
7.666,67
7.333,33
7.000,00
6.666,67
6.333,33
6.000,00
5.666,67
5.333,33
5.000,00
4.666,67
4.333,33
4.000,00
3.666,67
3.333,34
3.000,00
2.666,67
2.333,34
2.000,00
1.666,67
1.333,34
1.000,00
666,67
333,34
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
533,33
32.000,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
200,00
12.000,00
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
333,33
20.000,00
5.000,00
5.333,33
5.666,67
6.000,00
6.333,33
6.666,67
7.000,00
7.333,33
7.666,67
8.000,00
8.333,33
8.666,67
9.000,00
9.333,33
9.666,67
10.000,00
10.333,33
10.666,67
11.000,00
11.333,33
11.666,67
12.000,00
12.333,33
12.666,67
13.000,00
13.333,33
13.666,67
14.000,00
14.333,33
14.666,67
15.000,00
15.333,33
15.666,67
16.000,00
16.333,33
16.666,67
17.000,00
17.333,33
17.666,66
18.000,00
18.333,33
18.666,66
19.000,00
19.333,33
19.666,66
20.000,00
15.000,00
14.666,67
14.333,33
14.000,00
13.666,67
13.333,33
13.000,00
12.666,67
12.333,33
12.000,00
11.666,67
11.333,33
11.000,00
10.666,67
10.333,33
10.000,00
9.666,67
9.333,33
9.000,00
8.666,67
8.333,33
8.000,00
7.666,67
7.333,33
7.000,00
6.666,67
6.333,33
6.000,00
5.666,67
5.333,33
5.000,00
4.666,67
4.333,33
4.000,00
3.666,67
3.333,34
3.000,00
2.666,67
2.333,34
2.000,00
1.666,67
1.333,34
1.000,00
666,67
333,34
-0,00
0,0130
0,0133
0,0136
0,0140
0,0143
0,0146
0,0150
0,0154
0,0158
0,0162
0,0167
0,0171
0,0176
0,0182
0,0187
0,0194
0,0200
0,0207
0,0214
0,0222
0,0231
0,0240
0,0250
0,0261
0,0273
0,0286
0,0300
0,0316
0,0333
0,0353
0,0375
0,0400
0,0429
0,0462
0,0500
0,0545
0,0600
0,0667
0,0750
0,0857
0,1000
0,1200
0,1500
0,2000
0,3000
0,6000
Interés del periodo
I P  V .r
Intereses totales
63
I ( 0  n )  n .V .r
Amortización del periodo
t 
V
n
Cuota
C 
V
 V .r
ó
n
1

C  V .  r 
n

Amortización acumulada al momento p
T p  p.
V
n
Saldo al momento p
S p  (n  p )
V
n
 Se ha agregado una nueva columna (tasa efectiva del periodo) para comprobar cual es
el verdadero rendimiento en cada periodo. Este rendimiento es la tasa de interés (i) que
se aplicaría en un sistema de interés sobre saldos.
Si queremos calcular la tasa de interés o costo financiero será:
Intereses del periodo / Saldo al inicio del período
Siendo éste el cálculo que se efectúa en la última columna del cuadro de marcha.

Se transcribe un texto publicado en la página de Proconsumer (Asociación
Protección Consumidores del Mercado Común del Sur):
“Por nuestra parte, como seria advertencia al consumidor que acostumbra a comprar en cuotas, sobre todo
electrodomésticos y artículos para el hogar, aclaramos que la genuina tasa de interés es la efectiva, vencida y
sobre saldos. Generalmente se publica una tasa mensual o anual que aparentemente es razonable, aunque la
verdadera trampa está en la forma de aplicarla. Si uno compara la tasa directa, que es la que se utiliza para el
cálculo de las cuotas en este tipo de venta a crédito, con la tasa sobre saldos, sinceramente no pueden quedarle
al consumidor ganas de realizar una operación de estas características nunca más, ante la magnitud de los
intereses que se abonan. Por ejemplo: si nos informan una tasa directa del 2 % mensual, para la compra de un
bien cuyo precio de lista es de $ 1.000.-, a pagar en 12 cuotas de $ 103,33 y siendo su precio de contado de $
64
900.-, esto equivale a una tasa efectiva real sobre saldos del 5,31 % mensual. Si tomamos una tasa directa del
24 % anual, la tasa efectiva real sobre saldos equivalente para el mismo ejemplo es de 87,7 % anual. Traducido
en pesos para un mejor entendimiento del ejemplo dado tenemos que: las 12 cuotas que deberíamos pagar son
de $ 85,10 cada una, lo que hace un total de $ 1.021,24 contra los 1.240.- (103,33 x 12) que nos cobran. Los
costos financieros evidentemente son desmedidos, pero pasan desapercibidos por lo irrisorio que parecen las
cuotas, lo que en general y lamentablemente, termina tentando y perjudicando al consumidor”.
Sistema Francés y Alemán considerando los gastos
En los siguientes cuadros (tomados de un banco real) tenemos el desarrollo por ambos
sistemas de un préstamo personal por $ 9000 en los que se incluyen también los gastos.
Analizar en ambos casos el cálculo del costo financiero total (CFT) y comprobar todos los
cálculos efectuados para elaborar las planillas.
Nombre
Personal
TNA
29.00%
Sistema
Francés
Tipo Tasa
fija
Moneda
Pesos
Plazo
12
Monto Ingresado
9,000.00
Monto Max.
10,000.00
CFT
53,23%
TEA
33.18%
872.96
872.96
872.96
872.96
872.96
872.96
872.96
872.96
872.96
Seg. de Vida
Sobre Saldo
20.25
18.78
17.26
15.72
14.13
12.51
10.85
9.15
7.40
45.68
42.35
38.94
35.45
31.88
28.22
24.47
20.63
16.70
Cuota a
Pagar
938.89
934.09
929.17
924.13
918.98
913.69
908.28
902.74
897.07
60.35
872.96
5.62
12.67
891.26
40.71
20.60
872.96
872.96
3.79
1.92
8.55
4.33
885.30
879.21
Cuota
Saldo
Capital
Int.
Cuota Pura
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9,000.00
8,344.54
7,673.23
6,985.71
6,281.57
5,560.41
4,821.82
4,065.38
3,290.67
655.46
671.30
687.53
704.14
721.16
738.59
756.44
774.72
793.44
217.50
201.66
185.44
168.82
151.80
134.38
116.53
98.25
79.52
10
2,497.23
812.61
11
12
1,684.62
852.36
832.25
852.36
IVA
Gastos totales del Crédito seleccionado
Concepto
2% + IVA sobre el monto del
préstamo.
Total de Gastos
Valor
Tasa
Iva
Total
180.00
2.00%
37.80
217.80
37.80
217.80
180.00
65
Nombre
Personal
TNA
29.00%
Sistema
Alemán
Tipo Tasa
fija
Moneda
Pesos
Plazo
12
Monto Ingresado
9,000.00
Monto Max.
10,000.00
CFT
53,23%
TEA
33.18%
Cuota
Saldo
Capital
Int.
Cuota Pura
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9,000.00
8,250.00
7,500.00
6,750.00
6,000.00
5,250.00
4,500.00
3,750.00
3,000.00
2,250.00
1,500.00
750.00
750.00
750.00
750.00
750.00
750.00
750.00
750.00
750.00
750.00
750.00
750.00
750.00
217.50
199.38
181.25
163.13
145.00
126.88
108.75
90.63
72.50
54.38
36.25
18.13
967.50
949.38
931.25
913.13
895.00
876.88
858.75
840.63
822.50
804.38
786.25
768.13
Seg. de Vida
Sobre Saldo
20.25
18.56
16.88
15.19
13.50
11.81
10.13
8.44
6.75
5.06
3.38
1.69
IVA
45.68
41.87
38.06
34.26
30.45
26.64
22.84
19.03
15.23
11.42
7.61
3.81
Cuota a
Pagar
1,033.43
1,009.81
986.19
962.57
938.95
915.33
891.71
868.09
844.48
820.86
797.24
773.62
Gastos totales del Crédito seleccionado
Concepto
Gastos Administrativos.
Valor
180.00
Total de Gastos
180.00
Tasa
2.00%
Iva
37.80
Total
217.80
37.80
217.80
Cálculo del CFT (costo financiero total) por medio del Excel.
Se seguirá el ejemplo del sistema Francés.
Se colocan en una columna: primero los datos de lo percibido por el que pide el préstamo,
que en este caso es $8782,20 (los 9000 de préstamo menos los 217,89 de gastos iniciales),
después todas las cuotas totales que se pagarán, o sea, con seguro e IVA incluido.
Si lo vemos desde el punto de vista del banco los $8782,20 va en negativo ya que es una
salida de fondos para el mismo, y las cuotas en positivo ya que son ingreso de fondos.
La lista quedará así:
-8782,20
938,89
934,09
929,17
924,13
918,98
913,69
908,28
902,74
897,07
66
891,26
885,30
879,21
En la parte de funciones seleccionar “funciones financieras”
Luego seleccionar “TIR” (tasa interna de retorno)
Marcar toda la lista.
Así se obtendrá la TIR mensual de 0,0357 ó 3,57% ( ya que las cuotas son mensuales).
Esta representa el rendimiento de esta operación, más adelante volveremos con este tema.
Pero como las informaciones sobre las tasas de interés son dadas generalmente en forma
anual debemos hallar la TIR anual, que no es ni más ni menos el CFT anual del préstamo.
Esto significa hallar cuál es la tasa de interés que contempla todos los gastos y que es el
verdadero costo financiero de la operación.
Realizando la equivalencia de tasas quedará 52,34%, que será el Costo Financiero Total
Efectivo Anual (CFTEA) de la operación.

A continuación se transcribe una parte de un informe de la Subsecretaría de Defensa
al consumidor del Ministerio de Economía y la Comunicación “A” 4621 con respecto
al CFT:
Costo Financiero Total de los Créditos Hipotecarios
La Secretaría de Coordinación Técnica, en el marco de
las políticas de transparencia
tendientes a brindar información relevante y veraz a los consumidores, difunde
habitualmente información referida al Costo Financiero Total de los créditos hipotecarios.
Los datos correspondientes a cada banco reconocen como fuente la información presentada
por las entidades en cumplimiento del “Régimen Informativo de Transparencia”, iniciativa
conjunta del Banco Central de la República Argentina y la Secretaría tendiente a facilitar el
acceso a información sobre distintos productos bancarios (como tarjetas de créditos, cajas
de ahorro, transferencias, entre otros).
En el caso de los créditos hipotecarios el dato relevante para los consumidores a fin de
poder efectuar comparaciones entre las ofertas de las distintas entidades es el COSTO
FINANCIERO TOTAL (CFT) del crédito, el cual incluye no sólo la tasa de interés percibida
por el financiamiento otorgado sino también al resto de los gastos asociados al crédito
(seguros de vida e incendio, gastos de tasación y/o evaluación, cargos por mantenimiento
de cuentas, comisiones administrativas, etc.)
BANCO CENTRAL DE LA REPÚBLICA ARGENTINA
COMUNICACIÓN “A“ 4621 01/02/2007
A LAS ENTIDADES FINANCIERAS:
Ref.: Circular
OPRAC 1 - 599
Normas sobre “Tasas de interés en las
67
operaciones de crédito”. Publicidad del
costo financiero total (CFT) en diversos
medios de prensa.
____________________________________________________________
Nos dirigimos a Uds. para comunicarles que esta Institución adoptó la siguiente resolución:
“- Sustituir, con efecto -como máximo- a partir del 1.4.07, la Sección 4. de las normas sobre
“Tasas de interés en las operaciones de crédito” por la siguiente:
“Sección 4. Publicidad.
4.1. En recintos de las entidades financieras.
Las entidades deberán exponer en pizarras colocadas en los locales de atención al público
información sobre las tasas de interés de las líneas de crédito (hipotecario, prendario,
personal, comercial, tarjetas de crédito, etc.) que ofrezcan a sus clientes, por operaciones
en pesos, en moneda extranjera o en títulos valores, con el siguiente detalle:
4.1.1. Tasa de interés nominal anual.
4.1.2. Tasa de interés efectiva anual.
4.1.3. Costo financiero total en los créditos de operatorias específicas (tales como
préstamos hipotecarios para vivienda o prendarios para automotores).
4.1.4. La mayor y la menor de las tasas de interés, cuando respecto de la línea expuesta
exista más de una tasa, con su expresión en los términos de los puntos precedentes.
4.1.5. Tasa de interés activa promedio ponderada por operaciones concertadas en el mes
anterior al que corresponda.
En todos los casos, las tasas deberán expresarse en tanto por ciento con dos decimales.
4.2. En medios gráficos o en otros medios distintos de los previstos en el punto 4.3.
El ofrecimiento publicitario, a través de cualquier medio masivo o individual (periódicos,
revistas, carteleras en la vía pública o en obras en construcción, internet, folletos,
correspondencia, etc.), o en otros lugares distintos de los locales de atención al público, en
los que se promocionen créditos específicos -tales como préstamos hipotecarios para
vivienda, prendarios para automotores, personales o mediante tarjetas de crédito-,
haciéndose mención de la cantidad de cuotas y/o el importe de ellas y/o la tasa de interés,
determinará que las entidades deban exponer en forma legible y destacada la siguiente
información:
4.2.1. Tasa de interés nominal anual.
4.2.2. Tasa de interés efectiva anual.
4.2.3. Costo financiero total.
4.2.4. Carácter fijo o variable de la tasa de interés.
Las tasas deberán exponerse en tanto por ciento con dos decimales, discriminando las que
correspondan a operaciones en pesos de las de moneda extranjera.
Sin perjuicio de ello, la publicidad del costo financiero total deberá efectuarse en una
tipografía de tamaño mayor o igual a la más grande que se utilice para informar el nivel de la
tasa nominal anual y/o la cantidad de cuotas y/o su importe.
4.3. Publicidad por medios radial, televisivo o telefónico.
En la publicidad radial o televisiva de las operatorias mencionadas en el punto 4.2. y solo
cuando se haga referencia a importes de cuotas y/o al nivel y/o clase de tasa de interés,
procederá informar en forma adicional exclusivamente el costo financiero total, otorgándole
idéntico tratamiento en cuanto a duración y tipografía de la gráfica que se exponga, dicción,
cantidad de repeticiones y nivel de audición que el que se adjudique a la mención y/o
exposición de los importes de cuotas y/o nivel y/o clase de tasa de interés.
4.4. Publicidad de cuotas.
En la publicidad -cualquiera sea el medio- de valores de cuotas respecto de casos concretos
(tales como financiación de una determinada unidad de vivienda o de un vehículo o
68
préstamo personal), el importe que se exponga deberá resultar del cálculo que incluya todos
los conceptos que estarán a cargo de los prestatarios (amortización de capital, interés,
primas por seguros exigidos en el contrato, gastos de mantenimiento de cuentas asociadas
al préstamo, impuesto al valor agregado (IVA) y demás conceptos que se incluyan en la
primera cuota -integren o no el costo financiero total, excepto los impuestos, distintos del
IVA, y las tasas y contribuciones que puedan gravar las operaciones según la jurisdicción de
que se trate, los cuales no se considerarán-), además de observar las exigencias
establecidas en los puntos 4.2. y 4.3., según corresponda.
Se aclarará si los importes son fijos o variables en función de modificaciones en la tasa de
interés.
4.5. Uso de siglas.
Solo podrán utilizarse siglas o abreviaturas para identificar las tasas de interés nominal y
efectiva anuales, el costo financiero total u otros conceptos luego de haberlos citado con la
respectiva aclaración en forma completa.
4.6. Responsabilidad de las entidades.
Las entidades serán responsables de hacer observar las exigencias establecidas en materia
de publicidad de tasas en los casos en que empresas constructoras, industriales,
comerciales, agentes inmobiliarios, etc., publiciten la venta de inmuebles o de otros bienes o
prestación de servicios en avisos en que se mencione su posible financiación a través de
alguna entidad comprendida en la Ley de Entidades Financieras, en la medida en que se
haga mención de cantidad de cuotas o su importe o de tasas de interés.”
Les hacemos llegar en anexo las hojas que, en reemplazo de las oportunamente provistas,
corresponde incorporar en el texto ordenado de las normas sobre “Tasas de interés en las
operaciones de crédito”. Asimismo, se recuerda que en la página de esta Institución
www.bcra.gov.ar, accediendo a “normativa” (“textos ordenados”), se encontrarán las
modificaciones realizadas con textos resaltados en caracteres especiales (tachado y
negrita).
Saludamos a Uds. muy atentamente.
BANCO CENTRAL DE LA REPUBLICA ARGENTINA
Darío C. Stefanelli Juan C. Isi
Gerente de Emisión de Normas
Gerente Principal de Investigación y Emisión Normativa
Problemas resueltos de préstamos
1) Ejemplo de un préstamo por sistema Francés que después de la 6ta cuota no paga las 2
siguientes y refinancia el saldo pagando 2 cuotas más por sistema Alemán:
V
n
i
Cuota
Per.
SI
1000
10
0,01
105,58
C
I
A
SF
69
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1000
904,42
807,88
710,38
611,90
512,44
411,98
416,10
420,26
210,13
105,58
105,58
105,58
105,58
105,58
105,58
0
0
214,33
212,23
1060,05
10
9,04
8,08
7,10
6,12
5,12
4,12
4,16
4,20
2,10
60,05
95,58
96,54
97,50
98,48
99,46
100,46
-4,12
-4,16
210,13
210,13
1000,00
904,42
807,88
710,38
611,90
512,44
411,98
416,10
420,26
210,13
0,00
Total pagado:
6 cuotas del sistema Francés + 2 cuotas sistema Alemán = 1060,05
Intereses totales pagados:
Int. Del Francés + Int. De 2 meses sin pago de cuota + Int. Sistema Alemán= 60,05
2) Ejemplos del sistema francés con tasa variable:
a) Caso en que aumenta la tasa, pero se mantiene el nro. de cuotas y cambia el valor de
las mismas:
Datos
Monto del préstamo:
Cantidad de periodos:
Tasa de interés (TNA):
Tasa mensual


Cambia la tasa desde la cuota 5 inclusive en un porcentaje del 2,5% mensual.
Cuotas faltantes desde el cambio de tasa: 8
Período Saldo Inicial
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
20000
12 meses
20%
1,67%
20.000,00
18.480,64
16.935,96
15.365,54
13.768,94
12.192,85
10.577,35
8.921,47
7.224,19
5.484,47
3.701,27
Interés
Amort.
Cuota
Amort.
Ac
333,33
308,01
282,27
256,09
344,22
304,82
264,43
223,04
180,60
137,11
92,53
1.519,36
1.544,68
1.570,42
1.596,60
1.576,09
1.615,50
1.655,88
1.697,28
1.739,71
1.783,21
1.827,79
1.852,69
1.852,69
1.852,69
1.852,69
1.920,32
1.920,32
1.920,32
1.920,32
1.920,32
1.920,32
1.920,32
1.519,36
3.064,04
4.634,46
6.231,06
7.807,15
9.422,65
11.078,53
12.775,81
14.515,53
16.298,73
18.126,52
Saldo F
18.480,64
16.935,96
15.365,54
13.768,94
12.192,85
10.577,35
8.921,47
7.224,19
5.484,47
3.701,27
1.873,48
70
12
1.873,48
Total
46,84
1.873,48
1.920,32
2.773,30
20.000,00
22.773,30
20.000,00
0,00
b) Caso en que se mantiene el valor de la cuota pero no la cantidad.


Se supone que la tasa desde el mes 5 será del 4% mensual.
Se calculará el nuevo plazo tomando el saldo de $13768,94, la cuota de$1852,69 y la
tasa del 4%. Resulta un plazo de 8,99 cuotas más a partir de la nro. 5.
Per
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Saldo
Inicial
20.000,00
18.480,64
16.935,96
15.365,54
13.768,94
12.467,01
11.113,00
9.704,83
8.240,33
6.717,26
5.133,26
3.485,90
1.772,64
Interés
Amort.
Cuota
333,33
308,01
282,27
256,09
550,76
498,68
444,52
388,19
329,61
268,69
205,33
139,44
70,91
2.773,30
1.519,36
1.544,68
1.570,42
1.596,60
1.301,93
1.354,01
1.408,17
1.464,50
1.523,08
1.584,00
1.647,36
1.713,25
1.772,64
20.000,00
1.852,69
1.852,69
1.852,69
1.852,69
1.852,69
1.852,69
1.852,69
1.852,69
1.852,69
1.852,69
1.852,69
1.852,69
1.843,55
22.773,30
última
cuota
(1772,64 *
1,04) =
Amort. A Saldo F
1.519,36
3.064,04
4.634,46
6.231,06
7.532,99
8.887,00
10.295,17
11.759,67
13.282,74
14.866,74
16.514,10
18.227,36
20.000,00
18.480,64
16.935,96
15.365,54
13.768,94
12.467,01
11.113,00
9.704,83
8.240,33
6.717,26
5.133,26
3.485,90
1.772,64
0,00
1.843,55
Otra forma de calcular la última cuota es la siguiente:
13768,94 = 1852,69 .
C’ = 1843,55
a8 0,04 + C’.(1,04)-9
3)Una persona obtiene un préstamo de $5000 cancelable por el Sistema Francés con una
tasa del 1% mensual y por 15 meses.
Por problemas financieros no pudo pagar las cuotas 2, 3, 4 y 6.
El prestamista le ofrece refinanciar el saldo impago en 4 cuotas mensuales a una tasa
directa del 0,7% mensual (al final de los 15 meses)
Determinar:
a-El valor de las 4 cuotas de tasa directa.
b-Tasa efectiva sobre saldos correspondiente al segundo periodo de tasa directa.
c-Intereses totales abonados por toda la operación (en los 2 sistemas)
d-La marcha progresiva por el sistema Francés hasta el tercer periodo inclusive.
Resolución:
71
a-115 0,01
C = 5000 .
C = 360,62
Cálculo del saldo impago:
S3 0,01. (1,01)11 + 360,62 . (1,01)9
SI = 360,62 .
SI = 1613,51
a) C TD 
b) i 2 
1613 ,51
 1613 ,51 x 0 , 007  414 , 67
4
Int
S1
Int  1613 , 51 x 0 , 007  11 , 29
S 1  1613 , 51 
i2 
11 , 29
1613 , 51
 1210 ,13
4
 0 , 0093
1210 ,13
c)
Int. Totales = (11 x 360,62 + 4 x 414,67) – 5000 = 625,5
d)
Per
1
2
3
Saldo
Inicial
Interés
Amort.
Cuota
5000
4689,38
4736,27
50
46,89
47,36
310,62
(46,89)
(47,36)
360,62
-
Amort. A Saldo F
310,62
263,73
216,37
4689,38
4736,27
4783,63
PROYECTOS DE INVERSION
Se puede definir como inversión a las erogaciones que se precisan realizar para crear,
ampliar o restituir una cierta capacidad y/o calidad de producción de bienes y servicios.
Asignar fondos a un proyecto de inversión implica tomar una decisión y optar entre las
múltiples alternativas que se le presentan a una empresa.
72
La formulación de un proyecto no exige necesariamente una actividad nueva. Son
innumerables las oportunidades de inversión dentro de una empresa en marcha.
Ejemplos: el cambio de una maquina vieja por otra de última tecnología, la ampliación del
depósito o la modernización de las comunicaciones internas, son todos actos de inversión
que plantean similar problemática a la de un emprendimiento nuevo.
El costo del capital
El “costo del capital” también lo podemos llamar “costo de oportunidad” ya que cada vez
que se decide invertir dinero en un proyecto o negocio, también se esta decidiendo dejar de
invertir en otro.
El uso de capital tiene un costo, ya sea porque la compañía utiliza fondos de terceros
( por ej. Bancos) o por la rentabilidad alternativa de la utilización de los fondos propios en
otros negocios.
Evaluación de los proyectos de inversión
Hay varios métodos para valuar los proyectos de inversión y decidir cual es el más
conveniente. Aquí se efectuará una breve introducción a dos métodos fundamentales para
la toma de decisiones, que son:
El Valor Actual Neto (VAN)
La Tasa Interna de Retorno (TIR)
VAN
Se llama "Valor Actual Neto" de una inversión a la diferencia entre el valor inicial de la
misma y los flujos futuros de fondos esperados. Estos flujos deben ser netos o sea los
positivos menos los negativos, y se deberán actualizar, al momento de la valuación a una
tasa llamada "costo de capital" (k), que es el mínimo rendimiento que se le exige a una
inversión, que no es otra cosa que el rendimiento de otra alternativa de riesgo comparable.
Al “costo del capital” también lo podemos llamar “costo de oportunidad” ya que cada vez
que se decide invertir dinero en un proyecto o negocio, también se esta decidiendo dejar de
invertir en otro.
El uso de capital tiene un costo, ya sea porque la compañía utiliza fondos de terceros
( por ej. Bancos) o por la rentabilidad alternativa de la utilización de los fondos propios en
otros negocios.
Características del VAN:
1- Los flujos de fondos pueden ser positivos o negativos, uno o varios.
2- Los importes no obedecen a reglas, pueden ser iguales o distintos.
3- Los intervalos de tiempo son en general iguales pero pueden ser distintos.
En fórmulas:
n
VAN   A 0 

A j .(1  k )
j
j 1
73
Donde:
A0 = Inversión IniciaL.
Aj = Valor de los flujos futuros de fondos netos.
k = tasa de interés de la valuación (costo de capital)
 Efectuamos un ejemplo sencillo para entender el concepto básico:
Una persona piensa realizar una inversión que consiste en la compra de un terreno que
cuesta $85.000. Está segura de que al año siguiente el terreno costará $91.000, obteniendo
un beneficio de $6.000. ¿Debería efectuar la inversión si la tasa de interés bancaria es del
10% anual?
En el eje de tiempo será:
0
-85.000
1
91.000
Un simple cálculo servirá para que esta persona se dé cuenta que no es un negocio
atractivo, ya que invirtiendo la misma cantidad en un banco a una tasa de interés del 10%
en un año obtendría:
85.000.(1,10) = 93.500
Entonces, recibiría $2500 más que comprando el terreno.
De otra manera, dicha persona podría calcular el valor actual del precio de venta del terreno
al año siguiente:
Valor actual = 91.000 = 82.727,27
1,10
Ya que el valor actual del precio de venta al año siguiente es menor que el precio de compra
de este año de $85,000, este análisis también indica que no debe comprar el terreno.
Si se quiere determinar el costo o beneficio de una inversión en forma exacta, utilizamos el
método del VAN de la siguiente forma:
VAN = -85.000 + 91.000
1,10
VAN = -2.273
Ya que el valor da negativo no es conveniente la inversión.
En este ejemplo la tasa del 10% representa a la tasa k (costo de capital), o sea lo que
hubiera obtenido si se invertía en el banco.
Este ejemplo, obviamente es bastante irreal ya que se supone que hay certeza de ganar
$91.000 por la venta del terreno.
Pero la gente de negocios a menudo desconoce los flujos de fondos futuros, entonces a la
tasa k usada anteriormente se le deberá adicionar un porcentaje que representa el riesgo de
la inversión.
74
Ya que el tema del costo de capital no es nada sencillo, de aquí en más tomaremos a la
tasa K como un porcentaje dado.
 Planteamos otro ejemplo:
Supongamos que se está planeando un negocio cuya inversión inicial es de $8000 y que
proporcionará 4 flujos de fondos:
$2500 al final del primer año.
$3000 al final del segundo año.
$3200 al final del tercer año.
$4100 al final del cuarto año.
Se quiere saber que sucede si se descuentan a una tasa del 18% anual o, dicho de otra
forma, se quiera que la inversión rinda al menos esa tasa.
El cálculo del VAN será:
VAN   8000 
2500
(1,18 )

3000
(1,18 )
2

3200
(1,18 )
3
4100

(1,18 )
4
VAN  335 ,55
Este resultado significa que el negocio es capaz de:
a- devolver el capital
b- pagarnos el 18% de interés.
c- proporcionar un excedente de $335,55
Entonces:
 Si el VAN es positivo el proyecto paga a) b) y c) y el mismo resulta conveniente, ya
que aumentará el patrimonio de la empresa.
 Si el VAN da 0 el proyecto paga a) y b) por lo tanto hay indiferencia y no seria
aceptado.
 Si el VAN es negativo el proyecto será rechazado y pueden pasar tres cosas:
1- que pague solo a) y parte de b)
2- que pague solo a), en este caso la TIR = 0
3- que pague solo parte de a), la TIR será negativa.
REGLA DE DECISIÓN DEL VAN
Efectuar todas aquellas inversiones cuyo VAN sea positivo y rechazar
aquellas en que el VAN sea nulo o negativo, dándole un orden de prioridad a
los proyectos de mayor VAN.
75
TIR (tasa interna de retorno)
Si bien se considera al VAN como el mejor planteo para evaluar los proyectos de
presupuesto de capital, el estudio estaría incompleto si no se tuvieran en cuenta otros
métodos alternativos. Entre ellos el más importante es la TIR (tasa interna de retorno o de
rentabilidad).
La razón fundamental de la TIR es que trata de encontrar un valor particular, en términos
relativos o porcentaje, que resuma los méritos del proyecto. Dicho valor no depende de la
tasa de interés que rige en el mercado de capitales (costo de capital). Por eso se llama tasa
interna de retorno, ya que es un valor interno o inherente al proyecto y no depende de nada,
salvo del flujo de caja del mismo.
En otras palabras, la TIR no es más que la tasa de interés sobre saldos o tasa de
rendimiento que conocimos hasta ahora.
 Por ejemplo, si se considera un proyecto simple en donde:
A0 = -100
A1 = 110
0
I
-100
plazo: 1 año
1
I
110
El VAN sería:
VAN   100 
110
(1  k )
Y la TIR la hallamos igualando el VAN a 0:
0   100 
110
(1  TIR )
Despejando la TIR = 0,10
Si hubiéramos usado una tasa k = 0,08
VAN   100 
110
 1,85
(1, 08 )
Con una K = 0,12
VAN   100 
110
  1, 79
(1,12 )
La conclusión en este ejemplo es muy simple:
76
 Si la tasa k = 0,10 no convendría invertir pues se supone que colocando el dinero a
interés se obtendría el mismo rendimiento sin los "riesgos" que supone toda actividad
empresarial.
 Si k < 0,10 la empresa debería aceptar el proyecto.
 Si k > 0,10 "
"
"
rechazar "
"
La regla general de inversión es clara:
 Aceptar el proyecto si la TIR > k.
 Rechazar el proyecto si la TIR < k
Esto acompaña, en este ejemplo, a la regla de decisión del VAN ya que en el primer caso el
resultado es positivo y en el segundo negativo.
Pero, como el mundo financiero no es tan sencillo, las reglas de la TIR y el VAN son iguales
solo para ejemplos simples. En las situaciones más complicadas surgen inconvenientes
que restringen su campo de aplicación.
TIR con varios flujos de fondos:
En el ejemplo que nos dejó un VAN de $335,55 dijimos que el proyecto está en condiciones
de pagarnos una tasa del 18% y dejarnos, además, un adicional de
$ 335,55.
Si en el ejemplo queremos calcular la TIR:
0   8000 
2500
(1  i )

3000
(1  i )
2

3200
(1  i )
3

4100
(1  i )
4
Usando la calculadora financiera o el Excel la tasa resulta ser de 19,9742%
Como se ve, aquí la TIR es mayor que la tasa k por lo tanto se acepta el proyecto, decisión
que también se había tomado utilizando la regla del VAN.
A diferencia del VAN, que mide la diferencia en términos absolutos entre el valor de
la inversión y el valor de los flujos actualizados; la TIR mide la rentabilidad de la
inversión en términos relativos por unidad de capital invertido. Y si hay varios
proyectos la elección de los mismos se efectúa ordenándolos en orden
decreciente según la TIR.
FLUJO DE FONDOS DE UN PROYECTO
El flujo de fondos (FF) debe entenderse como la enumeración de los ingresos y egresos que
tendrá el proyecto durante el período de vida. Al efecto se debe confeccionar el FF del
“proyecto puro”, sin financiación externa, y el “proyecto financiado”, con el objeto de
77
visualizar su comportamiento ante la financiación externa con que se pueda contar.
En general, el FF variará en su formato y contenido de un proyecto a otro, es decir que no
hay dos flujos de fondos iguales.
Ejemplo:
Se compra un terreno para desarrollar un proyecto de fraccionamiento y venta de tierras.
Se proyecta desarrollar 375 unidades o lotes que se venderán en 4 años de la siguiente
manera:
Año
Cantidad a
vender
1
140
2
120
3
90
4
25
Total
375
Las variables a considerar son las siguientes:
VARIABLES
Superficie del terreno
valor por m2
Valor total del terreno
Sup. Promedio por unidad
Cantidad de unidades
Superficie vendible total
Precio de vta. Por m2
Precio promedio por unidad
Costo de desarrollo o infraestructura
IVA costo de infraestructura
Gastos de comercialización por unidad vendida
IVA gastos de comercializac. (0,21 * gastos)
Aprobaciones
Otros gastos anuales
Impuesto a las ganancias
Costo de escritura del terreno y vta de lotes
300.000 m2
$ 12
$ 3.600.000 (300000*12)
600 m2
375
225.000 m2
$ 50
$ 30.000
(50 * 600)
$ 1.301.653
(1.301.653 *
$ 273.347
0,21)
$ 743,80
$ 100.000
$ 20.000 por año
35%
2%
Modalidades de venta:
Al boleto de compra-venta
Refuerzo
Posesión
30%
20%
50%
Financiación del costo de infraestructura:
Se financia un 50% de este costo pidiendo un préstamo bancario en el primer año a una tasa del
12% anual.
Se cancela totalmente el préstamo con sus intereses en el segundo año.
Se paga 21% de IVA sobre los intereses del
préstamo.
78
Aclaración:
En este caso, el crédito de IVA está considerado como un costo, ya que al ser un proyecto de
fraccionamiento de tierras, la venta del lote no abona el pago de IVA. Para un proyecto que incluya
lote mas construcción, se debe considerar el saldo de IVA que se abonará al fisco.
CONSTRUCCION DEL FLUJO DE
FONDOS
AÑO
Ingresos
Unidades vendidas
Importe al boleto compra-venta
Refuerzo
A la posesión
0
TOTAL INGRESOS
1
2
140
$ 1.260.000
$ 840.000
$ 2.100.000
120
$ 1.080.000
$ 720.000
$ 1.800.000
90
25
$ 810.000 $ 225.000
$ 540.000 $ 150.000
$ 1.350.000 $ 375.000
$ 4.200.000
$ 3.600.000
$ 2.700.000 $ 750.000
-72.000,00
-54.000,00 -15.000,00
-89.256,00
-18.743,76
-20.000,00
-66.942,00 -18.595,00
-14.057,82 -3.904,95
-20.000,00 -20.000,00
EGRESOS
Costo de compra del
terreno
-3.600.000,00
Costo de escritura
-72.000,00
-84.000,00
Costo de infraestructura
-1.301.653,00
IVA infraestructura
-273.347,13
Aprobaciones
-100.000,00
Gastos de comercialización
-104.132,00
IVA gastos comercialización
-21.867,72
Otros gastos
-20.000,00
3
4
TOTAL EGRESOS
-$ 3.672.000
-$ 1.905.000
-$ 200.000
-$ 155.000 -$ 57.500
FF ANTES DE LA FIN.
(INGRESOS - EGRESOS)
-$ 3.672.000
$ 2.295.000
$ 3.400.000
$ 2.545.000 $ 692.500
FINANCIACION
Aporte del banco (50% del costo de infr.)
Interés bancario (12% anual)
IVA sobre interés
Cancelación del préstamo
$ 650.827
-$ 78.099
-$ 16.401
-$ 650.827
FF DESPUES DE
FINAN.
$ -3.672.000
$ 2.945.827
$ 2.654.674
FF ACUMULADO
$ -3.672.000
-$ 726.173
$ 1.928.500
$ 2.545.000 $ 692.500
$
$ 4.473.501 5.166.001
$ -674.975
$ -890.750 $ -242.375
$ 1.979.699
$ 1.654.250 $ 450.125
Impuesto a las ganancias (35%)
FF DESPUES DE IMP.
$ -3.672.000
$ 2.945.827
79
EVALUACION DEL PROYECTO
TIR
43,69%
anual
Supongamos que la tasa de oportunidad o "costo de capital" es del 20%,
podemos calcular el VAN
VAN
$ 1.332.041,09
Este análisis nos indica que el rendimiento de este proyecto, si se mantienen las variable,
sería del 43,69% anual, por otro lado, al efectuar el cálculo del VAN con una tasa del 20%
anual, nos estaría dando positivo, esto implica que el proyecto estaría dándonos una
ganancia adicional de $ 1.332.041,09.
APALANCAMIENTO FINANCIERO
Supongamos que el proyecto es financiado totalmente con capital propio, o sea no se pide
prestado al banco.
Entonces el flujo de fondos final y la TIR
quedarían como sigue:
Año
FF SIN FINANCIACION
FF ACUMULADO
Impuesto a las ganancias
FF DESPUES DE IMP.
TIR
0
1
2
-$ 3.672.000 $ 2.295.000 $ 3.400.000
-$ 1.377.000 $ 2.023.000
-$ 708.050
-$ 3.672.000 $ 2.295.000 $ 2.691.950
3
4
$ 2.545.000 $ 692.500
$ 4.568.001 $ 5.260.501
-$ 890.750 -$ 242.375
$ 1.654.250 $ 450.125
41,30%
Se demuestra que cuando se financia una parte del proyecto con préstamo bancario el rendimiento
del mismo es mayor
que en el caso sin financiamiento externo. Este hecho se denomina "apalancamiento financiero".
Será beneficioso "apalancarse" siempre y cuando la rentabilidad del negocio (TIR) sea mayor al costo
que hay que abonar por el uso del capital ajeno.
.
TITULOS PUBLICOS – BONOS
Los Títulos Públicos son títulos de deuda que emite el Estado Nacional, las Provincias o los
Municipios. Como cualquier título de deuda, el emisor (en este caso el Estado) se obliga al
80
pago del capital invertido más una ganancia (representada generalmente por intereses). En
otras palabras, quien adquiere un título público ya sea nacional, provincial o municipal; le
“presta” dinero al Estado a cambio de la devolución del mismo en un período determinado
más una suma de intereses.
La Nación, Provincias y Municipios, utilizan los fondos así adquiridos para refinanciar
deudas anteriormente contraídas o para cubrir su déficit en el gasto público (diferencia entre
ingresos y egresos).
La compra de títulos públicos, ofrece diferentes ventajas para el inversor:





Diferentes alternativas de inversión a corto, mediano y largo plazo.
Variedad de condiciones de pago de intereses y amortización.
Generalmente ofrecen mayores rendimientos que el sistema financiero tradicional.
Gran liquidez debido a la existencia de un mercado secundario que posibilita vender
los títulos cuando el inversionista requiera disponer del dinero invertido.
Se encuentran exentos del Impuesto a las Ganancias, los resultados provenientes de
la compra, venta, cambio, permuta, conversión y disposición de títulos públicos, como
así también los intereses, actualizaciones y ajustes de capital; en beneficio del
inversor.
Los organismos de control de las transacciones con bonos son:
-
Comisión Nacional de Valores
Banco Central de la Republica Argentina
Tipos de bonos
Existen diferentes tipos de títulos públicos, entre ellos encontramos:





LETES y LEBACs: Son letras de corto plazo que emite la tesorería y el Banco
Central. Este tipo de títulos otorgan el derecho a su tenedor al cobro de su valor
nominal al vencimiento. La ganancia que se obtiene por la adquisición de los mismos
está dada por la diferencia entre el precio de compra (se venden con descuento, es
decir, a un precio menor a su valor nominal) y el valor nominal cobrado al
vencimiento.
BONTES: Son bonos emitidos por la tesorería a mediano plazo. Quien adquiere este
tipo de bonos tiene el derecho a cobrar una suma correspondiente a intereses
periódicamente y el capital invertido al vencimiento.
BONOS GLOBALES: Son bonos a largo plazo. Al igual que los BONTES, otorgan el
derecho a su tenedor al cobro de intereses periódicos y del valor nominal al
vencimiento.
BODENs: Emitidos luego del default, estos bonos se caracterizan por pagar intereses
semestrales y amortizaciones parciales a partir de una fecha determinada. Es decir,
quien adquiera este tipo de títulos recibe pagos de intereses y devolución de capital
semestrales a partir de la fecha estipulada en el bono.
Bonos de Consolidación ajustables por CER: También emitidos luego del default,
realizan pagos de renta y amortización mensualmente luego de una fecha
determinada.
81
-
De acuerdo a su estructura financiera, los títulos públicos o bonos existentes en los
mercados pueden clasificarse básicamente en los siguientes tres tipos:
a- Amortizing (amortizables):
Son títulos por los cuales el gobierno se compromete a pagar periódicamente servicios de
renta y de capital. Por ej: un bono a 10 años de plazo, que amortiza anualmente un 12.5%
del capital por un período de 8 años y paga una tasa semestral cada seis meses.
b- Bullet: (bala):
Son títulos por los cuales el gobierno se compromete a pagar periódicamente servicios de
renta, pero amortizan integralmente al vencimiento. Por ej: un bono que paga
semestralmente un cupón de interés, y amortiza integralmente en el año XX.
c- Cupón cero:
Son títulos por los cuales el gobierno se compromete a pagar renta y capital íntegramente al
vencimiento (generalmente son títulos a descuento), tienen una estructura financiera muy
sencilla, siendo común su utilización para obligaciones a largo plazo y con un elevado
descuento y en el caso particular de los bonos de cupón cero del Tesoro de los EEUU son
utilizados como referencia, ya que se los considera inversión sin riesgo para evaluar
distintas calidades crediticias que ofrecen los emisores en los mercados.
Principales elementos que configuran un Bono
Fecha de emisión: es la fecha en la cual se emite el título. Indica el momento a partir del
cual tiene vigencia el instrumento de deuda.
Plazo: indica el tiempo de vida o madurez del título que se emite, rige a partir de la fecha
de emisión hasta la total extinción de las obligaciones asumidas por el emisor.
Moneda de emisión: Corresponde a la moneda en que se ha emitido el titulo.
Valor nominal: es el valor por el cual fueron emitidos los títulos. También es llamado face
value o valor facial.
Período de gracia: en los títulos amortizing se define como período de gracia al período en
el cual el título no devenga cupones de amortización del capital.
Cupones de renta: consisten en el pago de las cuotas (cupones) de interés. Los intereses
representan la ganancia que percibe el tenedor del bono, y se calculan sobre el saldo de
deuda, aplicando la tasa de interés que se fijan en las condiciones de emisión.
82
Cupones de amortización: La amortización representa el reintegro o reembolso del
capital; el porcentaje que se aplica para el pago de la amortización depende del plazo del
título, del periodo de gracia y de la regularidad del pago. La regularidad con que los títulos
de deuda pública pagan los servicios tanto de renta como de amortización puede ser
mensual, trimestral, semestral o anual.
Tasa de interés del bono: es la tasa que se aplica al valor nominal par obtener el importe
de los cupones de interes o renta. Esta tasa puede ser fija o variable (flotante).
Generalmente se toma la LIBOR como referencia.
Flujo de pagos: el conjunto de cupones de renta y amortización integran el flujo de pagos
comprometido por el gobierno según condiciones de emisión.
Precio de emisión: es el precio que se fija a la colocación del título que determina el
monto a desembolsar por el acreedor por cada 100 de valor nominal del título emitido. El
mismo puede ser bajo la par, sobre la par o a la par (100%), según este precio sea menor,
mayor o igual al valor nominal respectivamente.
Títulos escriturales y carturales: los títulos escriturales tienen la característica de que son
títulos cuyas planchas no se imprimen. La titularidad de los mismos está registrada en
"cajas de valores", razón por la cual sus titulares acreditan su tenencia mediante certificados
de depósito emitidos por dichas instituciones. A su vez los Títulos carturales son aquellos
cuyas planchas son impresas y sus cupones son cortados físicamente para su cobro. Antes
los bonos estaban representados por láminas, pero ahora por razones de comodidad y
seguridad se emiten en forma escritural, es decir como registro electrónico
Cotización de los títulos: Una vez emitido el título y colocado en el mercado primario, el
mismo se cotiza en forma permanente en los mercados secundarios previstos en su
emisión, los que le confieren liquidez al papel de deuda.
Mercados:
-Mercados de Valores (Sistema bursatil):

SINAC (sistema de negociación asistido por computador): Negociación
electrónica desde las oficinas de cada agente que están interconectados entre
sí y con el mercado por una red de computadoras donde realizan sus ofertas
de compra y venta. Se negocia a precio único al que se le suman las
comisiones.
 Sistema de negociación continua:
Sistema de compraventa a diferencia de precios, donde hay comisiones
implícitas.
-MAE :
Es el mercado extrabursátil. Tiene un sistema de diferencia de precios con
comisiones implícitas. No hay centralización ni física ni electrónica de las
operaciones. Es igual que el mercado de cambios.
83
Precio de mercado: es el precio que surge del libre juego de la oferta y la demanda
establecida en la cotización del M.A.E. (Mercado Abierto Electrónico), la bolsa u otros
mercados.
En cuanto al precio de colocación, habitualmente se realiza una subasta, donde
potenciales compradores realizan su oferta respecto al precio que están dispuestos a
pagar.




El proceso de colocación primaria suele hacerse en todos los mercados mediante
una licitación pública, que puede ser local o internacional, donde los potenciales
compradores ofertan cantidades y precios que están dispuestos a pagar.
Suele haber dos tramos de licitación:
 el tramo competitivo: ofertan cantidad y precio
 el tramo no competitivo o minorista: ofertan cantidad y compran al precio de
corte.
El emisor, una vez recibidas las ofertas establece el precio de corte, o sea el máximo
precio que le permite colocar todos los títulos o al menos, la cantidad que necesita
colocar.
Existen dos forma de adjudicación:
 precio único
 precios múltiples.
El precio de la cotización diaria, expresa el rendimiento que el inversor pretende para
ingresar al mercado en contraprestación por un flujo de pagos comprometido por el gobierno
en las condiciones de emisión, condiciones que no varían en el tiempo. A mayor precio
menor rendimiento del inversor y a menor precio mayor rendimiento del inversor, dado que
el flujo de pagos del gobierno, es independiente de la cotización diaria en los mercados.
Dicho rendimiento requerido por el inversor, es una medida del riesgo país reflejado en el
"spread" (diferencial de tasa de rendimiento con respecto a otra inversión equivalente usada
de referencia)
Intereses corridos (o cupón corrido): son los intereses devengados entre la fecha de
emisión o de inicio del cupón corriente y la fecha de referencia.
•
•
Cómputo de días para intereses corridos
– 30/360
– Actual/360
– Actual/365
– Actual/Actual
Precio según incluya o no los intereses corridos
– Precio dirty o sucio
– Precio clean o limpio
Valor residual (capital no amortizado): es el valor que resulta de descontar a los valores
nominales las amortizaciones que se van produciendo y en aquellos casos particulares en
los que se capitalizan intereses, sumarle los intereses capitalizables a la fecha.
Valor técnico o Valor actualizado: es el que resulta de adicionar al valor residual los
intereses corridos a la fecha. Es el valor que se le debería pagar a los tenedores de los
bonos en el caso de que el emisor quiera rescatarlos anticipadamente (valor de rescate).
84
Paridad: es el cociente entre el precio de mercado y el valor técnico de un título. Se utiliza
para saber si un título cotiza a la par, sobre la par o bajo la par.
Rescate anticipado: el Tesoro tiene la facultad de retirar de circulación un título antes de su
fecha de vencimiento. Como ejemplo, podemos citar los rescates anticipados cuando se
utilizan los títulos para adquirir activos del sector público (privatizaciones) o cancelar pasivos
frente al mismo (como en el caso de moratorias impositivas o previsionales).
LIBOR ( London Interbank Offered Rate, Tasa interbancaria ofrecida en Londres): Es la tasa
de referencia en dólares más utilizada en el mundo. Es una tasa nominal en general
utilizada (a veces mas un plus) para el calculo de los cupones de intereses.
TIREM: Tasa interna de retorno efectiva mensual. Rendimiento efectivo mensual que se
obtiene por comprar un bono a un precio determinado y mantenerlo hasta la fecha de
vencimiento final.
TIREA: Tasa interna de retorno efectiva anual. Igual a la anterior pero en términos anuales.
Es la tasa de interés que determina que el valor actual del flujo de fondos previsto en las
condiciones de emisión sea igual al precio de mercado.
La Tasa interna de retorno variará en función del precio del bono y de la eventual variación
de la tasa de interés de los flujos futuros en caso de tratarse de un bono a tasa flotante.
Respecto al precio, diremos que si el mismo cotiza a la par, la TIREA será igual a la tasa de
interés del título o bono que corresponda; si cotiza sobre la par la TIREA será menor a la
tasa de interés y si cotiza bajo la par la TIREA será mayor que la tasa de interés.
TASA DE TREASURY STRIPS: Tasa interna de retorno de los bonos del Tesoro
Norteamericano. La mayoría de los bonos emitidos a mediano y largo plazo están ligados a
una tasa flotante, generalmente LIBOR. Por lo tanto el flujo de fondos del bono deberá
calcularse con una tasa LIBO proyectada, y una manera de proyectarla es utilizando las
TIRes de bonos considerados “libres de riesgo” como los bonos del tesoro americano.
"Duration" o Promedio Ponderado de Vida: Se define como "duration" de un bono al
plazo promedio ponderado del flujo de fondos integrado por los pagos formados por capital
más intereses. La "duration es un mejor estimador que la vida media del tiempo que resta
para la cancelación de la obligación por parte del Gobierno, como así también de la
inmovilización de la inversión por parte del inversor.
(Mas adelante se aclarará un poco más este tema)
Spread: Es la diferencia entre el rendimiento de un bono y el rendimiento de otro bono que
es tomado como referencia. Dicha diferencia es expresión del riesgo-país. Habitualmente se
comparan rendimientos de bonos de similar vida promedio. Los spreads se expresan en
"puntos básicos", siendo estos un centésimo de un uno por ciento. Así, un spread de 1.56%
es igual a 156 puntos básicos.
El riesgo de cesación de pagos por parte del deudor soberano es prácticamente el único
riesgo que corre una persona que tiene bonos en su cartera de inversiones. Para un país
soberano este riesgo se denomina riesgo país y se refleja en la tasa de interés y en el
rendimiento del bono. Las percepciones del mercado sobre el aumento o disminución del
riesgo país hacen que suban o bajen los precios de los bonos.
85
Ejemplo:

Para conocer la mecánica de la valuación de un bono vemos el caso de un Boden
X, que se asemeja a los Boden vigentes en nuestro país.
Las condiciones de emisión son las siguientes:
Moneda: Dólares estadounidenses.
Plazo: 3 años y 3 meses. Se emitieron el 30/10/X y vencen el 30/1/X+4
Cupón de interés: semestral, excepto el primer periodo que vence el 30/07/X+3.
venciendo los restantes periodos, el 30/7 y 30/1 de cada año.
Amortización: 3 cuotas anuales y consecutivas, equivalentes las dos primeras, al 30% y la
ultima al 40% del monto emitido, venciendo la primera de ellas el 30 de enero del año X+2.
interés: LIBOR variable, para operaciones a 180 días.
El cronograma de pagos de este bono es el siguiente:
30/10/X 30/07/X+1 30/1/X+2
P
R
A+R
30/7/X+2
30/1/X+3
R
A+R
30/7/X+3
R
30/1/X+4
A+R
30/6/X+3
Donde:
P: precio que se paga por el bono, que puede ser inferior, superior o igual al valor nominal.
R: Renta o cupón de interés
A+R: Cupón de amortización y renta
Para analizar un bono en un momento determinado efectuamos su valuación en una fecha
dada, como ejemplo tomamos el día 30/6/X+3.
La información está dada para U$S 100 de valor nominal.
Nos es útil contar los días necesarios para cálculos posteriores:
Vemos que desde la fecha del último cupón pagado (30/1/X+3) a la fecha de valuación hay
152 días y desde la fecha de valuación hasta el vencimiento del presente cupón hay 30
días. El último semestre cuenta con 184 días exactos.
Los ítems a considerar son los siguientes:
1) Número de cupón:
5, consiste en el numero del periodo en que se encuentra la fecha a considerar.
2) Contenido del cupón:
86
R (renta), es lo que se paga al final del cupón.
3) Fecha de vencimiento del cupón:
30/7/X+3
4) Capital Residual:
U$S 40.
Es lo que falta amortizar del total del valor nominal. En este caso ya se pagó el 30% del VN
el 30/1/X+2 y el 30/1/X+3.
5) Renta anual del periodo en curso:
2,96% nominal anual.*
Es la LIBOR correspondiente a la fecha considerada, dicha tasa se utilizará para el cálculo
del cupón corriente.
6) LIBOR anual proyectada:
3,69% nominal anual.*
En los casos de bonos con tasa flotante, como el que estamos estudiando, en necesario
tener una tasa proyectada para el cálculo de los próximos cupones.
7) Amortización final o fecha de vencimiento del titulo:
30/1/X+4
8) Valor Actualizado, también llamado valor técnico o valor de rescate:
Consiste en el valor que debería cobrar el poseedor del bono si el emisor decidiera
rescatarlo (o saldarlo) en la fecha que estamos considerando.
Su cálculo es el siguiente:
VA= Capital Residual + Intereses corridos
Interés corrido = VR * j(m)/m * días corridos
Los intereses corridos son los devengados entre la fecha del pago del último cupón y la
fecha a estudiar, y se calculan sobre el capital residual.
Como han pasado 152 días entre ambas fechas, entonces:
IC = 40 . i152
IC = 40 x 0,0296 x 152 = 0,49
360
Entonces:
VA = 40 + 0,49 = 40,49
9) Precio o Valor de Cotización:
87
Es el precio que se debería pagar (o recibir) si se desea comprar (o vender) el bono en el
mercado.
Se tomará el valor de cotización en el Mercado Abierto Electrónico (MAE) en U$S, que en
este caso suponemos un valor de U$S 39,90 por cada U$S 100 de VN.
Por otro lado, podemos decir también que el precio de un bono es el “valor presente” de su
“flujo de fondos esperado” “descontado” a su tasa de rendimiento. (esta es una definición
que se entenderá mas adelante con el calculo de la TIREA)
10) Paridad:
Es la relación porcentual que existe entre el valor de cotización y el valor actualizado.
P 
VC
* 100
VA
P
39 ,90
P  98 ,55 %
* 100
40 , 49
Siendo la paridad menor del 100%, decimos que el bono en la fecha que estamos
analizando, se encuentra bajo la par.
Si la paridad fuese mayor del 100% estaría sobre la par y si fuese 100% estaría a la par.
11) Tasa Interna de Retorno Efectiva Anual (TIREA):
Es el rendimiento anual del bono que se obtendría a partir de la fecha considerada,
proyectando los futuros cupones a cobrar con la LIBOR actual y la proyectada (en el caso
de bonos con tasa flotante).
En otras palabras, si una persona quisiera adquirir el Boden X el día 30/6/X+3, pagaría un
precio de U$S 39,90 por cada 100 de valor nominal y además esperaría un rendimiento
anual del 6,25% (ya veremos su cálculo) siempre y cuando sigan las mismas condiciones,
se mantenga el bono hasta el final y se reinviertan los cupones a la misma tasa.
Cálculo de la TIREA (columna “Total” del Ambito):
Como ya hemos visto en el capitulo de VAN y TIR, la tasa de retorno es aquella que hace
que se igualen los futuros flujos de fondos, descontados a dicha tasa, al capital invertido.
En este caso los flujos de fondos son los cupones a recibir y el capital invertido será el valor
de cotización o valor de mercado en la fecha a considerar.
Entonces para este cálculo es necesario saber primero el valor de cada cupón futuro:
En este caso, si nos situamos al 30/6/X+3 vemos que nos faltan 2 cupones, el del 30/7/X+3,
y el del 30/1/X+4. Veamos la composición de cada uno:

Cupón del 30/7/X+3:
Está compuesto por renta:
Se calculara el interés semestral sobre el capital residual que en este caso es de 40, por lo
tanto será:
88
R  40 .
0 , 0296
 0 ,5920
2
El cupón al 30/7/X+3 será igual a 0,5920.

Cupón del 30/1/X+4:
Compuesto solo por renta y amortización:
El capital residual es de 40 y se calcularan los intereses semestrales sobre este valor pero
en este caso con la tasa LIBO proyectada ya que excepto el cupón corriente, los demás
cupones se calcularán con la proyectada cuando se trate de un bono con tasa flotante:
R  40 .
0 , 0369
 0 , 7380
2
Por lo tanto el valor del cupón al 30/1/X+4 será de 0,7380 + 40 = 40,7380.
Entonces para calcular la TIREA deberemos igualar el valor actual de los cupones al
30/6/X+3 al valor de mercado (o bien considerar el cálculo del VAN =0):
39 ,90 
0 ,5920
30
1  TIREA  365

40 , 7380
214
1  TIREA  365
Los números de los exponentes representan los días que faltan desde la fecha de valuación
hasta el vencimiento de cada cupón.
Efectuando los cálculos la TIREA resulta del 6,25% anual (que es la que figura en la
columna de TIREA Total en las info financieras de los diarios).
 Analizando la fórmula para obtener la TIREA, podríamos concluir que ésta variará
en función del precio del bono y de la eventual variación de la tasa de interés de
los cupones futuros, en caso de tratarse de un bono a tasa flotante.
Reconocemos, entonces, algunos principios sobre la tasa de interés o rendimiento:
Principio 1: el precio de un bono se comporta en sentido contrario a la tasa de interés: si el
precio baja la tasa sube, y si el precio sube la tasa baja.
Principio 2: el precio se mueve al revés que el plazo para una misma tasa de interés.
Si el plazo del bono aumenta, para una misma tasa de rendimiento anual le corresponde un
precio del bono menor, o bien, para que el precio se mantenga intacto cuando el bono estira
su plazo, la tasa debe bajar. En otras palabras: para una misma tasa de interés, el precio
baja si el plazo sube.
Y los dos principios anteriores nos llevan de la mano a un tercero. Vimos que el precio se
89
mueve de manera inversa a la tasa, y al plazo.
Esto último es así porque el "impacto" de la misma tasa anual se "potencia" por la
simple acumulación de años: duplica para dos años, triplica en tres años, etc. Entonces, la
sensibilidad del precio de un bono ante cambios en la tasa de interés es mayor en bonos
largos que en bonos cortos. Con esto estamos en condiciones de formular un último
principio básico.
Principio 3: la sensibilidad del precio del bono frente a cambios en la tasa de interés es
creciente a medida que aumenta el plazo del bono.
Principio 4: La tasa TIR es la tasa de rendimiento del bono sólo si los cupones sé
reinvierten hasta el vencimiento y a esa misma tasa TIR. La TIR como tasa de rendimiento,
supone la reinversión de los cupones a esa misma tasa. Y naturalmente esto es algo que
sucede sólo por casualidad.
12) Promedio Ponderado de Vida (PPV)
Concepto de “Duration”
El concepto fue desarrollado por Frederick Macaulay, quien observó que el plazo de
vencimiento de un bono solo daba información acerca de la fecha final en la cual se recibiría
el pago final, pero no consideraba todos los pagos intermedios.
La duration es un índice que representa un promedio ponderado de cada uno de los
cupones de un bono, donde el factor de ponderación es el valor actual de cada uno de esos
pagos como porcentaje del precio de mercado del bono, que es en realidad el valor actual
de todos los pagos que generara dicho bono.
En otras palabras, es la manera de hacer "comparable" el plazo de un bono con el plazo
de otro. O sea, la duration es la unidad de medida del plazo de un bono. Dos bonos con
riesgo similar y de igual "duration" deberían rendir lo mismo. Ahora sí tenemos elementos
para optar entre uno y otro: a igual "duration" elegiremos el de mayor TIR, y para igual TIR
optaremos por el de menor "duration".
Con respecto a este tema podemos establecer los siguientes principios (en todos los
casos manteniendo constantes las demás variables) :
1. La "duration" de un "bono cupón cero" coincide con el plazo al vencimiento o maturity:
porque no hay cupones intermedios.
2. La "duration" baja cuando la TIR sube: porque el impacto de una tasa más alta es más
sensible en los cupones más largos que en los cortos reduciendo el "peso relativo" de estos
en el precio.
3. A mayor tasa de cupón, mayor "duration": porque un mayor cupón incrementa
relativamente el peso de su valor presente en el precio.
4. A cada TIR le corresponde una única "duration". No tiene ningún sentido la TIR sin una
"duration" asociada. Pero la "Macaulay Duration" - o simplemente "duration" - tiene otra gran
utilidad práctica: si a su valor se lo divide por un coeficiente que sea (1 + TIR) obtenemos la
famosa "duration modificada" ó "modified duration" que no es más que una buena
aproximación a la variación porcentual del precio de un bono si cambia la TIR en un punto
porcentual. Sirve para aproximarse rápidamente a la sensibilidad del precio a cambios en la
TIR.
90
Calculo de la Duration o Promedio Ponderado de Vida
El PPV (en días) se calcula ponderando cada cupón, ya descontado por la TIR, por el plazo
que falta transcurrir para llegar a su vencimiento. Finalmente, la sumatoria de los cupones
así descontados y ponderados se divide por el precio de mercado.
Veamos en el ejemplo del Boden X:
0 ,5920
30
PPV 
1, 0625  365
. 30 
40 , 7380
214
1, 0625  365
39 ,90
. 214
 211 dias
Ejercicios
1) Se deposita $1.500 en un banco que abonaba el 4% trimestral de interés. A los cuatro
trimestres la tasa aumenta en un 1% por lo que se decide hacer un nuevo deposito. Si luego
de dos trimestres más el saldo de la cuenta era de $3.900. ¿Cuánto se deposito por
segunda vez? (Interés Compuesto)
R: $1.782,63
2)Calcular la tasa efva. Anual de interés que produce igual monto que el obtenido
capitalizando bimestralmente el 18% nominal anual.
R: 19,42%
3)Completar el siguiente cuadro:
Plazo
30 días
60 días
90 días
TEA
15%
-
TNA
9%
-
TEM
0,6%
4)Completar los exponentes de las siguientes expresiones de manera que se verifique la
equivalencia con la primera de ellas ( considerar el año de 360 días):
(1 + i120)15
,
(1 + i)
,
(1 + J180 . 180 )
360
,
eδ
5) Ordenar de mayor a menor las siguientes tasas para el caso en que todas
ellas generen igual monto al cabo de igual plazo:
91
J30 ;
i
;
i180
:
J90
;
J7
;
i5 ; δ
6)El 18/04/0X se descuenta en el Bco. X un documento en cartera que posee una
empresa por $1.744 con vencimiento dentro de 85 días; el banco cobra una comisión de $
30 y un interés del 2% mensual adelantado. a) Que valor recibirá la empresa? b) Cual es el
costo financiero de la operación a 85 días?
R.: a) 1615,16
b) 7,98%
7)Se recibe un documento de $12.000 a vencer dentro de 180 días. Se descuenta en un
banco 120 días antes de su vencimiento, a una tasa de descuento del 28% anual. Si el
banco cobra gastos y sellados por $360 más IVA (21%), e IVA sobre el descuento del
10,5%, cuánto recibió del banco y cuál es el CFT de la operación a 180 días?.
R: V = $ 10.343,76 ,
CFT de la operación = 16,01%
8)Cuál sería la cuota constante y vencida que deberá pagarse para constituir un monto de
$50.000 al final del tercer mes, si las tasas son de 0,8% para el primer mes, 1,2% para el
segundo y 1,8% para el tercero. ¿Qué intereses se ganaron en toda la operación?
R: C: $16.403,03 y I: $790,91
9)Una sociedad de ahorro y préstamo publicita un plan de ahorro constituido por 36
cuotas iguales, mensuales y consecutivas.
Además de las cuotas mensuales, se deben abonar 6 cuotas aguinaldo de $500 cada
una, a los 6,12,18,24, 30 y 36 meses de iniciada la operación.
¿ A cuánto ascendería la cuota mensual de ahorro si se reconoce un interés del 0,5%
mensual por los depósitos y se deben ahorrar $25000?
R: 553,20
10)Calcular en cuanto se reduce la cuota de un auto si en lugar de pagar 36 cuotas
trimestrales de $1.800 al 10% anual con capitalización trimestral, entrego $5.000 de
anticipo.
R: $211,13
11)Una persona desea cobrar a partir de los 55 años una renta mensual de $1.500 durante
20 años, ¿Qué depósitos mensuales deberá realizar desde los 30 años para obtener dicha
renta? Tasa 0,45% mensual.
R: C: $347,66
12) Un préstamo de $1.000 se cancela mediante 20 cuotas anuales, iguales y vencidas que
incluyen el 5% anual de interés. (Sistema Francés)
Calcular:
a) Intereses totales.
92
b) Si luego de abonadas 17 cuotas anuales quisiéramos seguir pagando el préstamo
mediante cuotas mensuales dentro del plazo original y con el mismo rendimiento,
cuál sería la cuota mensual?
R:a) $604,85 b) $6,54
13)Se solicita un préstamo que se cancela en 25 cuotas mensuales e iguales. Sabiendo que
las cuotas de amortización de los períodos 20 y 21 son de $30.073,23 y $31.576,90
respectivamente, se pide:
a) Determinar la tasa de interés mensual de la operación.
b) Servicio de deuda (cuota).
c) Importe del préstamo.
d) Si la tasa de interés aumenta en un punto porcentual luego de haber pagado la cuota
20, cuál será el pago extraordinario a realizar en dicha cuota para seguir abonando la
cuota original.
R:a) i: 0,05 b) $40.301,07 c) $568.000 d) $4.719,77
14)Un individuo recibe un préstamo de $2.500 amortizable en 20 cuotas iguales, mensuales,
venciendo la primera 6 meses después de recibido el mismo. Determinar:
a)
El valor de cada cuota si la tasa de interés es del 1,4% mensual.
b)
Si la tasa varía después de hacer 5 pagos, al 1,6% mensual, ¿cual sería a
partir de allí el valor de la cuota.?
R: a) $154,56 b) $156,93
15)Para demostrar la poca conveniencia de adquirir un préstamo por el Banco X, el Banco Z
efectuó un anuncio en un diario, haciendo una comparación entre lo que ofrecen ambos
bancos.
Condiciones generales:
Banco X : cuota $97,81 por cada $10.000 de préstamo. Plazo: 30 años. TNA 11,50%
Banco Z: TNA 11,50%, Plazo: 10 años
Completar el siguiente cuadro para un capital de $10.000 y efectuar una conclusión. (en
ambos casos las cuotas son mensuales)
Plazo
Banco Z
Banco X
Intereses pagados
A los 10 años
Capital adeudado
a los 10 años
10 años
30 años
16)Se solicita un préstamo de $7.000 a un banco por Sistema Alemán. Se recibió el dinero
el 1/3/X con amortización en 5 años, con pagos trimestrales, el primero de los cuales se
hará el 1/6/X. La tasa de interés fue del 8% nominal anual. Se pide calcular:
a) La cuota número 2.
b) La deuda pendiente de pago al 1/12/X.
c) El capital que será amortizado el 1/12/X.
d) El capital total amortizado al 1/12/X.
R:a) $483; b) $5.950; c) $350; d) $1.050
93
17)Dado un préstamo de $38.400 pagadero en 48 cuotas mensuales y vencidas con cuota
de capital constante y que devenga un interés del 4% mensual, determinar:
a) La primer cuota de servicio y la 26º.
b) Los intereses devengados durante el 1º y 3º año de vigencia del contrato.
R:a) $2.336 y $1.536; b) $16.320 y $7.104
18)Se contrae una deuda de $10.000 a amortizar en cuotas constantes considerando
intereses directos del 2% mensual y abonados en 10 cuotas. Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
Cuota constante.
Total amortizado luego del 5º pago.
Saldo de deuda luego del 8º pago.
Intereses acumulados hasta el 7º pago.
Tasa de interés mensual sobre saldos.
R:a) $1.200; b) $5.000; c) $2.000; d) $1.400; e) 3,46%
19) Una casa de artículos para el hogar desea promocionar un sistema para que los clientes
compren en cuotas. Su asesor financiero, comunica que la tasa efectiva mensual que debe
cobrarles a los clientes es del 4%. Cuál es la tasa directa que debe “informar” a los clientes
para el cálculo de la cuota en los siguientes planes?
PLAN
A
B
C
Nº de CUOTAS
12
24
36
20) Completar el siguiente cuadro, realizar un eje con la cant. de cuotas en la absisa y las
tasas efectivas en la ordenada. Comparar con la tasa directa y sacar conclusiones. Cuál es
el período en el que la diferencia entre tasa directa y efectiva es máxima?
Préstamo
Tasa directa -r-
100
10%
Cantidad de
períodos o nro
de cuotas
Cuota
1
2
3
4
5
6
7
8
110,00
60,00
43,33
35,00
30,00
26,67
Tasa
directa
Tasa
efectiva
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10,00%
13,07%
14,36%
14,96%
15,24%
15,34%
94
9
10
11
12
10%
10%
10%
10%
21) Dado un préstamo de $ 10.000 a pagar en 20 cuotas mensuales a un costo efectivo
mensual del 5%, completar el siguiente cuadro:
S10
t5
T (8-18)
I (11-13)
Sist. Alemán
Sist. Americano **
Tasa Directa
** Sin cuota de ahorro.
Considerando que los tres sistemas tienen el mismo costo efectivo, cual de ellos
conviene más?
Prácticos de Bonos
1)Hallar el rendimiento de una Lebac (bono cupón 0) a 392 días, si el precio de adquisición es de
$88,02 por cada $100 de valor nominal.
R: 12,62%
2)Se piensa comprar un bono cero cupón a 140 días de plazo. Si se desea un rendimiento del
11,745%, cuál será el precio a pagar por cada $100 de valor nominal?
R: $95,83
3) Calcular el precio de un bono bullet a 5 años con cupones semestrales, si la tasa nominal anual
del bono es del 10% y la tasa de rendimiento requerida es del 6% semestral. (VN 100).
Rta,: 92,64
4) Teniendo los siguientes datos sobre los Bonos Previsionales en U$S:
- Plazo: 4 años
- Vencimiento del titulo: 01/04/13
- Amortización: 47 cuotas mensuales del 2,08 % y la ultima del 2,24%, pagaderas el
primero de cada mes.
- Intereses: Se pagarán mensualmente, venciendo el primero de cada mes.
a) Completar el siguiente cuadro considerando que corresponde a la información del 22/06/12 y
los valores están dados para cada U$S 100 de valor nominal.
Nº de
Contenido Vencimiento Capital
Renta
Valor
Precio de Paridad
Tirea
95
cupón
39
del cupón
del cupón
Residual
Anual
Actualizado Mercado
21,05
19,55
12,66
R: a) I+A; 1/7/12; 20,96; 7,47% ; 92,87%
5)Teniendo los siguientes datos sobre el BON0 A :
- Fecha de emisión: 28-12-0
- Plazo: 10 años
- Amortización: 8 cuotas anuales del 12,5 % que operan el 28/12 de cada año.
El primer servicio es el 28/12/3.
-
Intereses: Tasa Libo de 180 días variable. Se pagaran semestralmente el 28/06 y el
28/12 de cada año.
Tasa LIBO proyectada: 6,27%
Completar el siguiente cuadro considerando que corresponde a la información del 14/04/9 y los
valores están dados para cada U$S 100 de valor nominal.
Nº de
cupón
Vencimiento Capital
Renta
Valor
Contenido del cupón
Residual Anual
Actualizado
del cupón
5,1738%
Precio
Paridad
de
Mercado
24,3
TIREA
Dejar expresado el cálculo de la TIREA.
R: 17; R ; 28/06/9 ; 25 ; 25,38 ; 95,74%; 10,49% anual
6) Se posee un bono en U$S emitido el 15/1/03 por un plazo de 10 años, sin periodo
de gracia.
- Las amortizaciones se pagan anualmente con vencimientos el 15/1 de cada año, siendo todas
iguales menos la ultima que es del 37% del VN.
- Los intereses son semestrales venciendo los 15/7 y los 15/1 de cada año (el primero venció el
15/7/03).
- Al 30/6/12 (fecha de valuación) la tasa del periodo en curso es del 8% nominal anual, la
proyectada es del 9% nominal anual y la TIREA es del 12%.
Completar, para la fecha de valuación, el siguiente cuadro:
Nro de Cupón
Vencimiento
Cupón
Valor Actualizado
Precio de
Mercado
PPV
R: 19; 15/7/12; 38,36 ; 37,87; 184 días
7) Calcular la Duración (en años, convención 360/30) del siguiente bono:
Cupón de interés, 10% anual
Amortización del capital: 25% por año VN: 100
TIREA: 8%
Plazo: 4 años
¿Cuál es la variación porcentual del precio ante un aumento de un 1% en la TIR?
R: 2,135 años; 2,13%
96
97