CharlaUN FisicaClasicaFisicaCuantica

Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Fı́sica clásica en la Fı́sica cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
100 años de saltos cuánticos
Universidad Nacional de Colombia
Jorge Mahecha Gómez
Universidad de Antioquia, Medellı́n
Bogotá, 15 de abril 2013
Identidades
de
correspondencia
1 / 48
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
1
Ptolomeo, Newton, Fourier, Madelung
2
Bohr, Sommerfeld, Einstein
3
Huygens, Schrödinger, Feynman
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
4
Cuántica a escala macroscópica
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
5
Identidades de correspondencia
6
Conclusiones
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
2 / 48
Resumen
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Con frecuencia se dice que la mecánica cuántica es la única teorı́a
válida para describir los átomos, las moléculas y los sistemas
subatómicos. Pero existen muchas evidencias de que una afirmación
tan categórica no es apropiada. En la charla se describirán algunas
situaciones del ámbito atómico en las cuales los conceptos y métodos
de la mecánica clásica son aplicables, e incluso insuperables por la
mecánica cuántica. Además se explorarán varios elementos de la
mecánica cuántica que se incorporaron directamente de la mecánica
clásica. El objetivo central consiste en identificar las mayores
diferencias entre los modelos clásicos y cuánticos.
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
3 / 48
Ptolomeo
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Ptolomeo describió el movimiento planetario con base en
superposición de movimientos circulares. La grandeza de su
aporte consistió en ser capaz de hacer predicciones válidas
desde el punto de vista geocéntrico. El sistema de Ptolomeo no
pretendió ser una teorı́a de los planetas, sino sólo un método de
cálculo. Le tenı́an sin cuidado las “imperfecciones” implicadas
en su modelo.
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
4 / 48
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
Tomado de:
5 / 48
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
Tomado de:
6 / 48
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
Tomado de:
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Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
Tomado de:
8 / 48
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
Tomado de:
9 / 48
Ley de gravitación universal
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Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
El problema gravitacional de dos cuerpos se describe a partir de
la ley de gravitación universal de Newton,
1
V (r ) = −GMS MP ,
r
la cual da lugar a una dinámica análoga a la que resulta de la
interacción dos cargas eléctricas Q1 y Q2 de signos opuestos,
V (r ) = −
Q1 Q2 1
,
4πǫ0 r
Ambas interacciones son de la forma
1
V (r ) = −k .
r
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Otras fórmulas
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
k
F (r ) = − ;
r
k=
q1 q2
, o k = GMs mp .
4πǫ0
rmax + rmin = 2a
"
2 #1/2
rmax − rmin
b
ǫ=
= 1−
2a
a
m 1/2
0≤L≤k
−2E
Area = πab = πa2
E=
L
Lmax
k
mk 2
=− 2
2a
2Lmax
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Órbita kepleriana
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clásica en
la Fı́sica
cuántica
La energı́a y otros parámetros de la órbita se pueden expresar
en términos de ciertas constantes, llamadas acciones,
E =−
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
I2
a=
;
mk
mk 2
2I 2
(Iθ + Iϕ )I
b=
;
mk
ǫ=
r
1−
b2
.
a2
mk 2
ωr = ωθ = ωφ = 3
I
r
2π
m 3/2
τ=
a
= 2π
ωr
k
Las acciones son cuantizadas por Bohr-Sommerfeld.
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Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
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escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
R. Fitzpatrick. A Modern Almagest an Updated Version of
Ptolemys Model of the Solar System. 2010.
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Movimiento de la distancia radial entre
el planeta y el sol (Madelung)
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Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
La dependencia temporal de r está dada por una serie de
∞
P
Fourier, r (t) =
rn cos(nωt + δ):
n=0
∞
X
r
1
ǫ2
=1+
+ǫ
[Jn+1 (ǫn) − Jn−1 (ǫn)] cos(nϕr )
a
2
n
n=1
La parte constante de r ,
ǫ2
a 1+
2
,
define la deferente. Los otros términos son los epiciclos.
Bohr consideró órbitas circulares, ǫ = 0, o sea
r =a=
I2
~2
= n2
.
mk
mk
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Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
θ0
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
x-
z
y-
x′
θ
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Schrödinger,
Feynman
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escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
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Movimiento en el plano de la órbita
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la Fı́sica
cuántica
La dependencia temporal de las coordenadas está dada por:
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
∞
X1
3
x
=− ǫ+
[Jn−1 (ǫn) − Jn+1 (ǫn)] cos(nϕr )
a
2
n
n=1
∞
X1
2p
y
1 − ǫ2
=
Jn (ǫn) sen (nϕr )
a
ǫ
n
n=1
x y y son las coordenadas de la partı́cula en el plano de la
órbita.
Identidades
de
correspondencia
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Radiación del dipolo hertziano
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la Fı́sica
cuántica
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Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
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Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
El sistema ligado formado por dos partı́culas cargadas emite
radiación electromagnética. El momento de dipolo del sistema,
d = Z1 er1 + Z2 er2 , se puede escribir como:
Z2
Z1
−
r
d = µe
m1 m2
µ es la masa reducida. En el átomo de hidrógeno puede
escribirse como,
d = −er.
Identidades
de
correspondencia
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Radiación del dipolo hertziano
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Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
El momento de dipolo se puede expandir en serie de Fourier y
la intensidad radiada de frecuencia nω0 , donde ω0 = ϕ̇r
está dada por la fórmula:
In =
ω04 n4
|dn |2
3c 3
dn es un vector en el plano de la órbita que depende de x y y .
La intensidad de la radiacion de frecuencia nω0 es:
64n2 e 4
Z2 2 ′2
1 − ǫ2 2
Z1
In = 3 2 2
−
Jn (ǫn)
Jn (ǫn) +
ǫ2
3c Z1 Z2 m1 m2
Identidades
de
correspondencia
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Elementos de Delaunay
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la Fı́sica
cuántica
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Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
φ0 , θ0 , φr , Iφ , Iθ + Iφ , I = It + Iθ + Iφ se conocen como los
elementos de Delaunay de la órbita en astronomı́a. Determinan
todos los elementos orbitales. Estos son las cantidades que
especifican una órbita kepleriana:
radio mayor, excentricidad, frecuencia del movimiento de la
longitud media, frecuencia de movimiento de la anomalı́a
media, longitud media en la época, anomalı́a media en la
época, inclinación, frecuencia de movimiento en el argumento
medio de la latitud, el argumento medio de la latitud en la
época.
Identidades
de
correspondencia
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θ′
y
α
θ0
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Cuántica a
escala
macroscópica
θmin
y′
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
z
z
Fı́sica
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la Fı́sica
cuántica
x
ψ′
y
ϕ′
x′
Identidades
de
correspondencia
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Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
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escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
O. Montenbruck, T. Pfleger. Astronomy on the personal
computer , 1994
21 / 48
Movimiento en d=3
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Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
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Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
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escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
En el espacio tridimensional se tiene la siguiente solución:
(
∞
3 −i ϕr X e −i ϕr ′
+
z = a cos θm − ǫ
Jn (nǫ) cos(nϕr )
4
n
n=1
−i
√
)
1 − ǫ2
e i ϕθ
Jn (nǫ) sen (nϕr )
ǫ
+a cos θm
+i
√
(
∞ i ϕr X
3
e
− ǫe i ϕr +
Jn′ (nǫ) cos(nϕr )
4
n
n=1
)
1 − ǫ2
e −i ϕθ
Jn (nǫ) sen (nϕr )
ǫ
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Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
#
∞
3ǫ −i ϕr X e −i ϕr ′
+
J (nǫ) cos(nϕr )
x + iy = i (−1 + sin θm ) − e
4
n n
n=1
)
√
∞
1 − ǫ2 X e −i ϕr
Jn (nǫ) sen (nϕr )
− (−1 − i sin θm )
e i ϕϕ
ǫ
n
n=1
(
"
#
∞
3ǫ −i ϕr X e −i ϕr ′
+ i (1 + sin θm ) − e
J (nǫ) cos(nϕr )
+
4
n n
! ∞ n=1
)
√
1 − ǫ2 X e −i ϕr
− 1 + i sin θm
Jn (nǫ) sen (nϕr )
e i (ϕϕ −2ϕθ )
ǫ
n
(
"
n=1
Identidades
de
correspondencia
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Reglas de selección clásicas
Fı́sica
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Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
La serie de Fourier del dipolo es tridimensional porque depende
de las variables angulares φr , φθ , φϕ . Los coeficientes de
Fourier dependen de n, nθ , nϕ .
Vemos que se anulan todos los coeficientes para los cuales nϕ y
nθ son diferentes de:
nϕ = 0, 1, −1 ;
nθ = 0, ±2
En cuanto a n no hay ninguna restricción.
Identidades
de
correspondencia
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Radiación del dipolo hertziano en d=3
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cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
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escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
En este caso la intensidad está dada por:
In, nθ , nϕ =
h
2 i
2 ω04 4
τ
+
B
A
n, nθ , nϕ
n, nθ , nϕ
3c 3 n, nθ , nϕ
τn, nθ , nϕ es un número que describe el orden del armónico de ω0
radiado, y A y B son los coeficientes de Fourier de z y de
x + iy respectivamente. Vemos que solamente es posible la
radiación asociada a los nθ y nϕ que cumplen las citadas reglas
de selección.
M. Born. The Mechanics of the Atom. Noviembre 1924. En el
prefacio escribe: “El Dr. W. Heisenberg constantemente me
ayudó con consejos y contribuyó con algunas secciones del libro
(por ejemplo, la última acerca del átomo de helio).”
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Bohr, Sommerfeld, Einstein
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cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Como Bohr consideró solo órbitas circulares, la única condición
de cuantización es,
I = n~
Pero Sommerfeld extendió la idea de Bohr al caso completo en
d = 3, donde se sigue cumpliendo la cuantización de Bohr.
Posteriormente Brillouin y otros modificaron esas reglas de
cuantización:
1
1
Ir = nr +
~, Iθ = l − m +
~, Iφ = m~.
2
2
I = Ir + Iθ + Iφ = (nr + l + 1)~ = n ~.
Identidades
de
correspondencia
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Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
Las frecuencias radiadas coinciden con los armónicos de la
frecuencia kepleriana, lo cual contradice la teorı́a de Bohr
misma, ya que según Bohr,
Ei − Ef
1
1
mk 2 1
mk 2 1
ω=
−
−
=− 2
.=−
~
2
2~
Ii2 If2
ni2 nf2
El dipolo depende solo de las acciones correspondientes a una
órbita kepleriana. Por lo tanto las frecuencias radiadas
dependerı́an solamente de acciones de dicha órbita.
El salto cuántico de Bohr hace depender las frecuencias de las
acciones de las dos órbitas inicial y final.
Conciliar esta discrepancia era un reto para los fı́sicos en los
años anteriores a 1925.
27 / 48
Contribución de Heisenberg
Fı́sica
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cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
Heisenberg fue alumno de Sommerfeld en Munich en 1922,
tenı́a 20 años y cursaba el cuarto semestre con miras al
doctorado. En los años 1922-1923 estuvo trabajando con Max
Born en Gotinga, quien era de la misma escuela de Bohr y
Sommerfeld. Conocı́an que las frecuencias radiadas coinciden
con los armónicos de la frecuencia kepleriana solo para números
cuánticos grandes (principio de correspondencia).
Heisenberg logró resolver el problema aplicando el siguiente
principio:
La teorı́a cuántica solo debe usar cantidades que dependan a su
vez de cantidades observables. En particular, las variables
angulares φ0 , φr no son observables. Por lo tanto no pueden
aparecer en los dipolos.
La implementación de esta idea conduce a un cambio en la
cinemática, pero no en la mecánica.
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Fı́sica
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la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
W. Heisenberg. 1925. Reinterpretación cuántico-teórica de
relaciones cinemáticas y mecánicas. Zs. Phys. 33 (1925) 879.
“El presente artı́culo busca fundamentar la mecánica cuántica
teórica exclusivamente en relaciones entre cantidades que en
principio sean observables”.
“Las reglas de Bohr-Sommerfeld son exitosas para describir el
átomo de hidrógeno y su efecto Stark. Pero fallan en el
problema del átomo de hidrógeno en campos eléctrico y
magnético no paralelos, en el problema del átomo de hidrógeno
en una onda electromagnética, y en el átomo de dos electrones,
por ejemplo.”
Identidades
de
correspondencia
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la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
En teorı́a cuántica la frecuencia de la radiación depende de dos
cantidades,
En − En−α
ωn,n−α =
~
y en teorı́a clásica de la forma,
ωn,α = αωn = α
1 dE
,
~ dn
luego de usar I = n~.
Identidades
de
correspondencia
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Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
Heisenberg examina las reglas de combinación de dos
frecuencias.
Teorı́a clásica:
ωn,α + ωn,β = ωn,α+β
Teorı́a cuántica:
ωn,n−α + ωn−α,n−α−β = ωn,n−α−β
El cuadrado de una componente de Fourier de x,
∞
X
xα (n)xβ−α (n)e i ωn (α+β−α)t
α=−∞
El punto crucial, es que tanto xα como xβ−α están evaluados
en el mismo n. Heisenberg propone
∞
X
xn,n−α xn−α,n−β e i ωn,n−β t
α=−∞
31 / 48
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
- Es decir, una serie de Fourier de la forma
X
x(t) =
xα e i αωt
α
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
debe sustituirse por
x(t) =
X
xn,n−α e i ωn,n−α t
α
- La nueva teorı́a debe ser compatible con el principio de
correspondencia de Bohr.
- Se debe aplicar una regla matemática de la forma
α
1 dE
En − En−α
= ωn,n−α =
~ dn
~
- La segunda ley de Newton en la forma ẍ + f (x) = 0 debe
mantenerse pero la x pierde el significado de una posición.
32 / 48
Método dialéctico en acción
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
TESIS: El dipolo del átomo de hidrógeno está formado por una
serie de Fourier construida con la frecuencia del movimiento
kepleriano y sus armónicos. Esta depende de acciones
cuantizadas mediante las prescripciones de Bohr y Sommerfeld.
El dipolo depende de los parámetros de Delaunay de la órbita.
ANTITESIS: Las variables angulares no son observables. El
dipolo no puede depender de éstas. Por el contrario, depende
de las acciones cuantizadas correspondientes a los estados
inicial y final involucrados en el salto cuántico.
SÍNTESIS: La teorı́a cuántica de Heisenberg. Conduce no solo
a los dipolos que determinan las intensidades observadas sino a
las energı́as de los estados cuánticos y a las frecuencias del
espectro.
Es revolución en la cinemática, las leyes de Newton sobreviven.
33 / 48
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
La relatividad es una revolución en la cinemática y la mecánica.
TESIS: La relación energı́a momento es la que se deriva de la
mecánica de Newton:
p2
E=
2m
ANTITESIS: La anterior relación es válida solo a bajas
velocidades. No es consistente con la relación para fotones,
E = pc.
SÍNTESIS: La mecánica relativı́stica en la cual
E 2 = p 2 c 2 + m2 c 4 ,
Esta fórmula no solo predice los lı́mites de altas y bajas
velocidades sino la energı́a de reposo E = mc 2 . Y la idea de
partı́culas y antipartı́culas.
34 / 48
Sistema de un grado de libertad
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
El espacio de fases se forma por (x, v ). Si el sistema es
acotado, las trayectorias de fase son isomórficas a un cı́rculo.
35 / 48
Toroides invariantes
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Toro
1
0.5
0
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
-0.5
-1
1.5
1
0.5
-1.5
-1
0
-0.5
0
-0.5
0.5
1
-1
1.5-1.5
Las trayectorias en el espacio de fases de un sistema integrable
con n grados de libertad son isomórficas a hélices en un toro de
dimensión n.
36 / 48
Toroide invariante
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ir , Iθ , Iφ determinan los elementos de Delaunay θ0 , Iφ , Iθ + Iφ ,
I = Ir + Iθ + Iφ . Con ello definen un toroide en el cual las
coordenadas curvilı́neas sobre la superficie son φ0 , φr .
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
ϕ2
ϕ1
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Heisenberg y Schrödinger
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
En los cursos convencionales de mecánica cuántica se estudia la
conexión entre la mecánica cuántica de Schrödinger y la de
Heisenberg. Schrödinger se basa en la función de onda y
Heisenberg en las matrices. Con notación de Dirac, los
elementos de la matriz del dipolo eléctrico, por ejemplo, están
dados por,
da,b = ha|d̂|bi
El principio de incertidumbre de Heisenberg se expresa de
manera igualmente clara en los dos formalismos. Pero el
principio de superposición se expresa mejor en el de
Schrödinger:
|ψi = A|ai + B|bi
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Huyghens y Feynman
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
N
α′′
α′
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
α
r′
r″
T
Σ′
r
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
Σ
S″
S′
S
Según el principio de Huygens, cada punto del frente de ondas
S genera ondas secundarias Σ, la envolvente de las ondas
secundarias en el tiempo t es el frente de ondas S ′ que se ha
propagado en el espacio.
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Percepción de la fı́sica cuántica
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
“Al final y al cabo, la fı́sica teórica y la cuántica (nunca supe
cual era el lı́mite que las separa) no tienen mucha aplicación en
nuestra sociedad y mucho menos en nuestras necesidades.”
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
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Cuántica a escala macroscópica
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
El tamaño de los átomos es de 0.0000000001 m = 10−10 m, el
de las moléculas unas 10 veces el de los átomos, el de los
protones y neutrones (nucleones) es de 10−15 m, el de los
núcleos atómicos es unas 10 veces mayor que el de los
nucleones, el de los quarks que componen los nucleones es mil
veces menor que el de éstos, el de los electrones es de
3 × 10−15 m. Es atrevido asignarles un tamaño a los electrones
y a los quarks dado su “carácter cuántico”.
Con frecuencia se define la fı́sica cuántica como el conjunto de
fenómenos que exhibe la materia en las escalas atómicas,
moleculares, y en las sub-atómicas (por debajo de 10−15 m).
Pero, ¿es verdad que la fenomenologı́a cuántica solo se
manifiesta a esas escalas? o, por el contrario, ¿la fenomenologı́a
cuántica aparece en la escala macroscópica?
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Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Basta acudir a los imanes y a la electricidad del ámbar para
darse cuenta de que los espines de los átomos y los electrones
están muy cerca de nosotros.
La galena, esa piedra que el hombre primitivo conocı́a, es un
material semiconductor, sus propiedades solo se pueden
entender a partir de las bandas de energı́a de los electrones en
el cristal.
La sustancia más común de nuestro mundo, el agua, es una
molécula formada por dos átomos de hidrógeno unidos a uno
de oxı́geno formando una estructura con la forma de la letra
“V”, donde el ángulo es de 105◦ .
Identidades
de
correspondencia
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Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
Edmund Stoner y Wolfgang Pauli en 1924-1925, cuando
acababa de inventarse la mecánica cuántica, explicaron las
capas de electrones en los atómos por medio del llamado
principio de exclusión. Las partı́culas que lo obedecen tienen
espı́n 1/2 y se les llama fermiones.
La diversidad de elementos catalogados en la tabla periódica
solo puede ser entendida a partir del carácter fermiónico de los
electrones, un efecto netamente cuántico.
Es verdad que hay inventos modernos que no se pudieron haber
logrado sin la partición de la teorı́a cuántica. Por lo tanto la
comprensión de los fenómenos cuánticos tiene importancia
cultural y su estudio deberı́a posibilitársele a toda la población
en la educación básica primaria y secundaria.
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Identidades de correspondencia
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
Los discı́pulos de Bohr y luego de Heisenberg y Schrödinger se
encargaron de echar los resultados de Ernest Rutherford de
1911 al baúl de los recuerdos. Rutherford con un cálculo clásico
simple halló la sección eficaz diferencial para la deflexión de las
partı́culas α. Muchos años más tarde un cálculo puramente
cuántico darı́a lugar a una fórmula idéntica.
Hubo que esperar hasta 1953 a que alguien se atreviera a usar
la mecánica clásica para describir una propiedad atómica.
Gregory Wannier dedujo una ley para describir la ionización de
un átomo en cercanı́as del umbral cuando es golpeado por un
electrón.
Phys. Today 65(5) (2012) 40. P. Grujić, N. Simonović. Insights
from the classical atom.
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Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
En el átomo de hidrógeno se cumple el principio de
correspondencia cuando las distancias son asintóticamente
grandes,
~2
r≫
8mk
Nótese que el radio de la primera óbita de Bohr es
aB = ~2 /(mk).
Pero hay dos casos en los cuales los resultados cuánticos
coinciden con los semiclásicos para todos los valores de los
números cuánticos: para el átomo de hidrógeno y el oscilador
armónico.
Identidades
de
correspondencia
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Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Wannier calculó la sección eficaz de ionización cerca al umbral,
σ = C E κ,
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
si E → +0. Para un sistema coulombiano de 3 cuerpos
Wannier halló,
s
16 1 + 2m
1
q2,3
m2,3
3
1+
− , q=
, m=
κ=
4
9 1 + q/4 4
q1
m1
Para q = −1 y m1 ≫ m2 , la ionización del hidrógeno por un
electrón, κ = 1,1269.
Son solo algunos ejemplos de la aplicabilidad directa de los
métodos clásicos en el dominio atómico.
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Conclusiones
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
La primera evidencia documentada del concepto de átomo
se atribuye a Leucipo, predecesor del filósofo Demócrito,
en el siglo quinto AC.
El Almagesto en el siglo primero DC recopila el saber
astronómico. Fue usado durante 1500 años hasta finales
de la Edad Media, dio lugar a la mecánica clásica.
La teorı́a de Bohr y Sommerfeld se basa en la
descomposición de Fourier del movimiento kepleriano,
presente en la descripción del movimiento planetario de
Ptolomeo con deferente y epiciclos.
Bohr unió el concepto de fotón al modelo planetario del
átomo mediante su idea de los saltos cuánticos.
Fue Heisenberg quien le dio un soporte mecánico riguroso
a la propuesta de Bohr. De allı́ surgió la moderna
mecánica cuántica.
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Perspectivas
Fı́sica
clásica en
la Fı́sica
cuántica
Ptolomeo,
Newton,
Fourier,
Madelung
Bohr,
Sommerfeld,
Einstein
Huygens,
Schrödinger,
Feynman
Cuántica a
escala
macroscópica
Identidades
de
correspondencia
La mecánica cuántica dio lugar a conceptos extraños,
como la superposición y el entrelazamiento, y los
fermiones.
Un desarrollo fructı́fero de la mecánica cuántica fue la
teorı́a cuántica de campos, soporte de la teorı́a actual de
las partı́culas elementales. Los experimentos con partı́culas
elementales podrı́an clarificar dichos conceptos de la
mecánica cuántica.
Las modernas observaciones astronómicas condujeron a la
evidencia de partı́culas desconocidas, la materia oscura y
la energı́a oscura.
Se espera que la incorporación de la gravedad en la
mecánica cuántica será clave para entender la materia
oscura y la energı́a oscura y muy posiblemente dará lugar
a una teorı́a más general que la mecánica cuántica.
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