FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS

FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS
LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO – GUIA DE PRODUCTOS NOTABLES
DOCENTE: IDALY MONTOYA A.
PRODUCTOS NOTABLES
Productos Notables: Es el nombre que reciben
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito
multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas.
resolución de muchas multiplicaciones habituales.
fórmula de factorización.
aquellas multiplicaciones con expresiones
por simple inspección, sin verificar la
Su aplicación simplifica y sistematiza la
Cada producto notable corresponde a una
CUADRADO DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
(a+b)
2
2
= a
+ 2ab + b
2
Y ( a - b )2
2
= a
- 2ab + b
2
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble
producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
EJEMPLOS:
1. (5x + 7) ²=
2
a) El cuadrado del 1er término es (5x)(5x) = 25x
b) El doble producto de ambos términos es 2(5x)(7)=(10x)(7) = 70x
c) El cuadrado del 2do término es (7)(7) = 49
Entonces ( 5x + 7 )
2
= 25x2 + 70x + 49
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el
doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
EJEMPLO:
1) (3x – 8y²)²
2
a) El cuadrado del 1er término es (3x)(3x) = 9x
2
2
2
b) El doble producto de ambos términos es 2(3x)(8y ) = (6x)(8y ) = 48xy
2
2
4
c) El cuadrado del 2do término es (8y )(8y ) = 64y
2 2
Entonces ( 3x - 8y )
= 9x2 - 48xy2 + 64y4
Resuelve aplicando el cuadrado:
1.
2.
3.
4.
5.
(a − 3)2
(2a + 5)2
(2a + 4b )2
(5a − 6b )2
(8a − 3)2
7. (14abc − 2d )
2
8.
9.
3 
5
 a − b
5 
3
(15a b
10.
2
2
2
− 16ab 3
(0,9a − 1,3b )2
)
2
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DOCENTE: IDALY MONTOYA A.
(7a c + 2)
2
2
6.
CUBO DE UNA SUMA Y DE UNA DIFERENCIA
(a+b)
3
3
=a
2
2
+ 3a b + 3ab + b
3
Y
(a-b)
3
3
=a
2
2
- 3a b + 3ab - b
3
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del
cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el
cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.
EJEMPLO: (2x + 4y)³= (2x)³+ 3 (2x)² (4y) + 3 (2x)(4y)² - (4y)³ = 8x³ +48x²y+96xy²+64y³
El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del
cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el
cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.
EJEMPLO:
(6x – 2y)³= (6x)³- 3 (6x)² (2y) + 3 (6x)(2y)² - (2y)³ = 216x³ - 216x²y+72xy² - 8y³
Desarrollar:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(a + 2)3
(x − 1)3
(m + 3)3
(1 − a )
2 3
(4n + 3)3
(a − 2b )
(2 + y )
3
2
2 3
(5 x − 4 y )3
(5 xy − 2)3
(2 x − 4)3
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PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
2
(a+b)(a-b)=a
-b
2
La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término
menos el cuadrado del segundo término.
EJEMPLO:
= 16x2 - 81y2
( 4x + 9y )
( 4x - 9y )
3
3
( 10x + 12y ) ( 10x - 12y ) = 100x2 - 144y6
Utilice el modelo anterior para hallar el resultado de los siguientes ejercicios:
1. (x+y) (x-y)
2. (m-n)(m+n)
3. (2 a -1) (1+2 a )
4. (n-1) (n+1)
5. (1-3ax) (3ax+1)
6. (1-8xy) (8xy+1)
7. (2m+9) (2m - 9)
8.
(a
3
)(
9.
(a
x +1
10.
(3x
− b2 a3 + b2
a
)
)(
− 2b x −1 2b x −1 + a x +1
)(
− 5 y m 5 y m + 3x a
)
)
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PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN
2
(x + a )(x + b ) = x
+ (a+b) x + ab
El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado
del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común
más el producto de los términos no comunes.
EJEMPLO:
2
1) (x + 2)(x + 7 ) = x + (2 + 7) x + (2)(7)
2
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x
b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
2
Entonces: (x + 2)(x + 7 ) = x
+ 9 x + 14
2
2) (y + 9)(y - 4 ) = y + (9 - 4) y + (9)(-4)
2
+ 5 y - 36
Entonces: (y + 9)(y - 4 ) = y
Escribir, por simple inspección, el resultado de:
1. (a+1) (a+2 )
2. (x+2) (x+4 )
3. (n-19 ) (n+10)
4. (x-5) (x+4)
5. (x²-1)( x²-7)
6. (ab+5) (ab-6 )
7.
(á
8.
(a b
9.
(a
x +1
10.
(a
x
6
)(
+ 7 a6 − 9
2
2
)
)(
− 1 a 2b 2 − 7
)(
− 6 a x −1 − 8
)(
− 3 ax + 8
)
)
)