guia potenciacin y radicacin

FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS
LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO – GUIA DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
DOCENTE: IDALY MONTOYA A.
1. POTENCIACIÓN
Llamamos potencia de un número relativo, al producto de tomarlo como factor tantas veces como se
quiera. Si a es un número relativo cualquiera y
es un número natural, tendremos la notación
,
que se lee a elevado a la enésima (infinita) potencia, e indica que a debe tomarse como factor n veces.
Así:
En la notación
, llamamos potencia al producto , base al número que tomamos como factor
, y exponente a , que nos indica las veces que debemos tomar como factor a . A la operación de
, la llamamos potenciación o elevación a potencia. Ejemplo:
hallar el producto
La Potenciación es una operación binaria que está conformada por tres partes, a saber:
BASE (a), EXPONENTE (n) y POTENCIA (p).
an = p
BASE (a):
EXPONENTE (n):
POTENCIA (p):
Es el número que se multiplica tantas veces por sí mismo, como lo indique el
exponente.
Es el número de veces en que se multiplica la base por sí misma, para obtener la
potencia.
Es el resultado de multiplicar la base por sí misma tantas veces como lo indica el
exponente.
Ejemplo:
2 4 = 16
(− 4)3 = −64
Por que
Por que
2 × 2 × 2 × 2 = 16
(− 4)(− 4)(− 4) = −64
Por que
La potenciación satisface cuatro condiciones, que son:
CONDICIÓN
Si la base es un número entero positivo, y el
exponente es un número par positivo, la potencia
es un número entero positivo
Si la base es un número entero positivo, y el
exponente es un número impar positivo, la
potencia es un número entero positivo
Si la base es un número entero negativo, y el
exponente es un número par positivo, la potencia
es un número entero positivo
Si la base es un número entero negativo, y el
exponente es un número impar positivo, la
potencia es un número entero negativo
Ing. Idaly Montoya Aguilar
SIMBOLOGÍA
a ∈ ℜ ,∧, n ∈ ℵ, n es par,
⇒, p f 0
3 4 = 81
a ∈ ℜ + ,∧, n ∈ ℵ, n es impar,
⇒, p f 0
2 5 = 32
a ∈ ℜ − ,∧, n ∈ ℵ, n es par,
⇒, p f 0
(− 2)4 = 16
a ∈ ℜ − ,∧, n ∈ ℵ, n es impar,
⇒, p p 0
(− 3)3 = −27
Si
Si
Si
Si
EJEMPLO
+
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LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO – GUIA DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
DOCENTE: IDALY MONTOYA A.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
La operación de Potenciación satisface las siguientes propiedades:
PROPIEDAD
POTENCIA DE IGUAL BASE
POTENCIA DE UNA POTENCIA
POTENCIA DE UN PRODUCTO
OPERACIÓN
a ×a = a
n
m
(a )
n m
(a × b )n
n+m
= a n×m
= an × bn
n
POTENCIA DE UN COCIENTE
an
a
=
 
bn
b
POTENCIA DE UN COCIENTE DE
IGUAL BASE
an
= a n− m , n f m
m
a
POTENCIA DE UN COCIENTE DE
IGUAL BASE
an
1
= m− n , n p m
m
a
a
EJEMPLO
2 × 2 × 2 6 = 2 3+ 4+ 6 = 210
3
4
((− 3) )
4 5
= (− 3)
4×5
= (− 3)
20
(3 × (− 4))5 = 35 × (− 4)5
2
2
3
9
3
  = 2 =
16
4
4
8
5
= 5 8−3 = 5 5
3
5
9
(− 3) = 1 = 1
(− 3)15 (− 3)15−9 (− 3)6
La potencia de un número positivo siempre es positiva. La potencia de un número negativo será positiva
si el exponente es entero y par: negativa si el exponente entero es impar. Así:
a. PRODUCTO DE DOS POTENCIAS DE IGUAL BASE. Para multiplicar dos potencias de igual base, se
eleva dicha base a la potencia que resulte de la suma de los exponentes respectivos. Ejemplo:
b. POTENCIA DE UNA POTENCIA. Para hallar la potencia de una potencia se multiplican los exponentes
y se mantiene la base primitiva. Ejemplo:
Hay que poner especial cuidado en no confundir la potencia de una potencia, con la elevación de un
número a una potencia cuyo exponente, a la vez esté afectado por otro exponente. Así, no es lo mismo
.
c. DIVISION DE NUMEROS RELATIVOS. Teniendo en cuenta las Leyes formales de las operaciones
fundamentales con números reales7 de las leyes formales de la multiplicación, que de acuerdo con el
axioma “principio” VI (existencia del inverso), a todo número real
, corresponde un número
real, y sólo uno, , de modo que
Este número
se llama inverso o recíproco de , y
se representa por
.
El inverso o recíproco de un número relativo cualquiera distinto de cero tiene su mismo signo:
Podemos enunciar tres casos de la elevación a potencia de un número cualquiera.
1. Si un numero cualquiera
, se eleva a la potencia
, es igual a
Ing. Idaly Montoya Aguilar
. Así:
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2. Si un número cualquiera
reciproco
de
la
, se eleva a un exponente negativo cualquiera
es igual al
potencia
,
de
exponente
positivo.
Así:
3. La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la potencia que dé la
diferencia de ambos exponentes. Así:
d. EXPONENTES FRACCIONARIOS POSITIVOS.
se
Si
define
2. RADICACIÓN: La Radicación es una operación binaria que está conformada por tres partes, a saber:
n
INDICE (n), CANTIDAD SUBRADICAL (p) y RAÍZ (a).
p = a
INDICE u ORDEN DEL RADICAL (n): Es el número de veces en que se multiplica la raíz por sí mismo, para
obtener la cantidad subradical. El índice de un radical siempre es un número natural mayor que uno.
CANTIDAD SUBRADICAL o RADICANDO (p): Es el número que se busca, multiplicando la raíz por si misma
tantas veces como lo indique el índice.
RAÍZ (a): Es el número que multiplicado por sí mismo tantas veces como lo indica el índice da como
resultado la cantidad subradical. Ejemplo:
4
16 = ±2
3
Puesto que:
(− 2) ∗ (− 2) ∗ (− 2) ∗ (− 2) = 16
(− 4) ∗ (− 4) ∗ (− 4) = −64
2 × 2 × 2 × 2 = 16 ó
− 64 = −4 Puesto que:
La Radicación satisface cuatro condiciones, que son:
CONDICIÓN
Si la cantidad subradical es un número entero
positivo, y el índice es un número par positivo, la
raíz puede ser un número entero positivo o un
número entero negativo
Si la cantidad subradical es un número entero
positivo, y el índice es un número impar positivo,
la raíz es un número entero positivo
Si la cantidad subradical es un número entero
negativo, y el índice es un número par positivo, la
raíz no existe en los números reales
Si la cantidad subradical es un número entero
negativo, y el índice es un número impar positivo,
la raíz es un número entero negativo
Ing. Idaly Montoya Aguilar
SIMBOLOGÍA
Si
EJEMPLO
p ∈ Ζ + ,∧, n ∈ ℵ, n es par,
⇒, a f 0,∨, a p 0
Si
Si
Si
p ∈ Ζ + ,∧, n ∈ ℵ, n es impar,
⇒, a f 0
p ∈ Ζ − ,∧, n ∈ ℵ, n es par,
⇒, a ∉ ℜ
p ∈ Ζ − ,∧, n ∈ ℵ, n es impar,
⇒, a p 0
2
4
16 = ±2
3
125 = 5
− 64 =∉ℜ
3
−64 = −4
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LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO – GUIA DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
DOCENTE: IDALY MONTOYA A.
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
La operación de Radicación satisface las siguientes propiedades:
PROPIEDAD
OPERACIÓN
RAIZ DE UN PRODUCTO
n
RAIZ DE UN COCIENTE
ab = n a × n b
a
=
b
n
RAÍZ DE UNA RAÍZ
n m
n
RAIZ DE UNA POTENCIA
n
n
n
a
n
b
1
am = a
an = a
n
n
4
81× 16 = 4 81 × 4 16 = 3 × 2 = 6
3
a = n× m a
a =a
EJEMPLO
− 1000
=
27
2 5 4
m
3
n
= a1 = a
3
− 1000
3
27
5 =5
a =
Raíz de una potencia:
n
a
Ejemplos:
1
2
•
81 = 2 81 = 9
•
(− 8)3
•
814 = 4 81 = 3
1
= 3 (−8) = −2
1
a
m
n
=
n
am
Ejemplos:
•
( 16x ) = ( 2 x ) = (2x) 
•
5
5
4
2
5
4
4
4
5
2
2
= (2 x ) 5
8
3
•
8 = 5 23 = 2 5
2
3
8 = 3 82 = 4
n
Raíz de un producto
Ejemplos:
•
5 × 3 = 15
Ing. Idaly Montoya Aguilar
a ×b = n a × n b
1
57 = 5
53 = 5
3
3
3
7
3
= 51 = 5
La radicación se puede indicar como potenciación, pero en exponente fraccionario
Donde n es el índice de la raíz y representa el denominador del fraccionario.
1
n
=
− 10
3
13 = 2×5×4 13 = 40 13
3
n
3
FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS
LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO – GUIA DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
DOCENTE: IDALY MONTOYA A.
1
•
•
16 * 4 = 4 16 * 4 4 = 4 ( 2) 4 4 ( 2) 2 = 2( 2) 2
33 2
12
3
3
9
3a × 43 9ab 3 = 3 3a 2 × 9ab 3 = 3 (3) 3 a 3 b 3 = (3ab) = ab
8
8
2
2
2
4
a
=
b
n
Raíz de un cociente
n
a
n
b
Ejemplos:
5
•
3
=
5
3
48 x 3 y
•
4 3xy
=
 1  4x x
1 48 x 3 y 1
1
1
1
1
=
16 x 3−1 y 1−3 =
16 x 2 y −2 = (4 x) 2 = (4 x)  =
=
3
4 3xy
4
4
4
4
y
 y  4y y
m n
Raiz de una raíz
a =
mn
a
Ejemplos:
•
6
729 = 3×2 729 = 3
•
10
1024 = 5×2 1024 = 5
2
729 = 3
2
2
(3) 6 = 3
(2)10 = 5
2
2
((3) 3 ) 2 = 3
((2) 5 ) 2 = 5 2 5 = 2
BIBLIOGRAFIA
•
Título Algebra elemental. Autor. Aurelio Baldor. Editor Cultural Venezolana, 1973
•
Titulo Algebra elemental. Autor. Barnett Rich, Ph. D. McGraw-Hill. 1990
•
Titulo Introducción a la Matemática Moderna. Autor. Elbridge P. Vance. Fondo Educativo
Interamericano 1995
Ing. Idaly Montoya Aguilar