libro completo

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
Instituto de Ciencias Básicas
Carrera: Ingeniería Civil
ALGEBRA
Profesora: Isabel Arratia Z.
Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas
1
TRIGONOMETRÍA PLANA
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2
La palabra trigonometría proviene del
griego: trigom que significa triángulo y metra
que significa medida.
De ahí que la
trigonometría estudia las relaciones entre los
ángulos y los lados de un triángulo, es decir,
medidas de los triángulos.
La trigonometría se desarrolló a partir de los esfuerzos
hechos por avanzar en el campo de la astronomía. El
matemático y astrónomo Hiparco (180-125 a.C.) es
considerado el padre de la trigonometría, pues encontró
algunas relaciones entre los lados y los ángulos de un
triángulo. Contribuyeron también en el tema Ptolomeo y
Aristarco de Samos.
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En el año 1600, Pitiscus (1561-1613)
publica en la Universidad de Heidelberg,
Alemania, un texto con el título
Trigonometría en el que desarrolla
métodos para la resolución de triángulos.
Los cálculos trigonométricos tuvieron un
mayor desarrollo gracias al matemático
escocés John Neper (1550-1617) quien
inventó los logarítmos. En el siglo XVIII,
el matemático suizo Leonard Euler
(1707-1783) hizo de la trigonometría una
ciencia aparte de la astronomía.
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Originalmente, la trigonometría desarrolló la resolución
numérica (algebraica) de los triángulos. Se definen las
funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un
triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los
lados del triángulo; el dominio de definición de estas
funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el
ángulo [0°, 180°].
Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita sus
aplicaciones a los triángulos, sino que también responde al
interés de describir ciertos fenómenos físicos: el movimiento
ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, la
elasticidad.
Para lograr esto, es necesario ampliar el
concepto de función trigonométrica a una función de variable
real, que es lo que haremos en esta unidad.
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Ángulos y sistemas de medición
Un ángulo está formado por un rayo OA fijo y un rayo OB
móvil que gira alrededor de O. En cada posición de giro, se
determina el ángulo AOB.
Si la rotación es en el sentido
contrario a las manecillas del reloj, la medida del ángulo se
considera positiva; si el giro es en el sentido de las manecillas
del reloj, la medida del ángulo es negativa.
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Las unidades habitualmente usadas para medir los ángulos
son los grados sexagesimales y los radianes.
Un grado es la medida del ángulo AOB que se genera cuando
la rotación, en el sentido de las manecillas del reloj, es
de la vuelta completa.
Cada grado se considera
dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en
60 segundos.
Un radián es la medida del
ángulo AOB que subtiende un
arco cuya longitud es igual al radio
de la circunferencia.
En consecuencia, una rotación
completa subtiende un arco igual
en longitud a
.
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Consecuencia de la igualdad
Fórmulas de conversión:
1° =
rad
son las siguientes
1 rad =
Ejercicio:
a) Convierta a grados los ángulos dados en radianes
b) Convierta a radianes los ángulos dados en grados
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8
Recuerde que cuando se trabaja con calculadora hay que
poner atención a la configuración de ella. Si se trata de Class
Pad 300, se procede así: En el Menú escoger Principal y tocar
Settings, Configuración y Formato Básico.
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Las funciones circulares o trigonométricas
Se llama círculo unitario (o círculo trigonométrico o círculo
goniométrico) a aquel cuyo centro coincide con el origen de
coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio es la unidad. En
este círculo denotemos por C a la circunferencia unitaria.
Si t es un número real, consideremos el ángulo de t radianes
en posición normal, esto significa que su lado inicial coincide con
el semieje positivo de abscisas y su vértice está en el origen.
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Para cada número real t, existe un único punto P(x, y) que es
la intersección de la circunferencia unitaria C con el lado terminal
del ángulo de t radianes. En estas condiciones se definen las
coordenadas de P como,
x = cos t,
y = sen t
C
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Una consecuencia inmediata de la definición anterior es el
Teorema de Pitágoras:
Además, surgen de inmediato los valores de seno y coseno
de ciertos ángulos, por ejemplo,
sen 0 = 0, cos 0 = 1
sen
= 0, cos
¿Cuál es el valor de seno y coseno para
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= -1
?
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Ejercicio: Usando el Teorema de Pitágoras y con la ayuda
de las siguientes figuras, complete los valores de la tabla:
t =30°
Modo DEG
0°
t =60°
t =45°
30°
45°
60°
90°
180° 270° 360°
sin t
cos t
Modo RAD
Verifique lo anterior con su calculadora
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Las funciones seno y coseno
Hemos visto que para cada número real t, existen únicos valores
(x, y) = (cos t, sen t) en la circunferencia unitaria C. Este hecho
nos permite definir las funciones seno y coseno, ambas con
dominio el conjunto
de los números reales. Además,
como
, ellas tienen recorrido [-1, 1].
Gráfico de la función seno
Observe que,
sen t = 0
,
con k número entero
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El gráfico lo puede obtener con su calculadora:
El gráfico se apreciará mejor
al escoger Resize o Zoom
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Gráfico de la función coseno
Observe que,
cos t = 0
con k número entero
,
La periodicidad: Las funciones seno y coseno son periódicas
de período
, esto significa que para k número entero,
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¿Y si los ángulos
difieren sólo en
el signo?
La paridad:
P(x, y)
t
-t
P(x, -y)
La función seno es una función
impar, esto significa que
sen(-t) = -sen t.
La función coseno es una
función par, esto significa que
cos(-t) = cos t.
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¿Hay más funciones
trigonométricas?
Las funciones trigonométricas son seis. Hasta ahora
hemos mencionado sólo dos; las otras se definen a
partir de seno y coseno, a saber,
Tangente:
Cotangente:
Secante:
Cosecante:
Ejercicio: Si
es un ángulo agudo y
, determine
los valores de las restantes funciones trigonométricas de .
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Gráfico de la función tangente
y = f(x) = tan x
Dom f =
=
Rec f =
Tangente es periódica,
es un período.
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Ejercicio:
Use una calculadora o computadora
para graficar las funciones cotangente, secante y
cosecante. Determine el dominio y el recorrido de
cada una de ellas y si se trata de funciones
periódicas, funciones pares o impares.
Ejercicio: Determine el dominio de la función
y = senx + tan x y los valores de x tales que y = 0
(ceros de la función).
Con su calculadora o
computadora grafique esta función y compare
los resultados obtenidos de manera gráfica y de
modo algebraico.
Ejercicio: ¿Por qué se obtiene un mensaje de error en la
calculadora cuando se trata de evaluar
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?
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Propiedades adicionales
Ángulos complementarios:
Dos ángulos se dicen
complementarios si suman
(90°).
t=
t=
La figura nos muestra que los
dos triángulos rectángulos
tienen iguales medidas. De
ahí que,
Ejercicio:
Deduzca a qué es igual tangente, cotangente,
secante y cosecante de
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21
Ángulos suplementarios:
Dos ángulos se dicen
suplementarios si suman
(180°).
La figura nos muestra que los
dos triángulos rectángulos
tienen iguales medidas. De
ahí que,
t=
t=
Ejercicio:
Haga la deducción para tangente, cotangente,
secante y cosecante de
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Gráficos de ondas sinusoidales
Se llaman ondas o curvas sinusoidales a aquellas
que resultan de trasladar, defasar, ampliar o
reducir las curvas seno y coseno.
Estas curvas
tienen una expresión general,
y = A + B sen(Cx + E)
o
y = A + B cos(Cx + E)
Para graficar las curvas antes mencionadas, basta hacer el
gráfico de una parte que se extienda por una longitud horizontal
igual al período, es decir, graficar un ciclo de la curva.
Como Cx + E = C(x +
), analizaremos las curvas
y = f(x) = A + B sen C(x + D)
o
y = f(x) = A + B cos C(x + D)
y de ellas, aquellas con C>0, puesto que si C<0 usamos la
paridad de coseno y el hecho que seno es impar.
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23
(1) La curva y tiene período
puesto que,
y = sen(4x),
(período )
y = sen(x)
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(2) El gráfico de y = f(x) es |B| veces más grande (o pequeño)
verticalmente que el de la función seno o coseno, es decir, la
onda tiene un alto vertical total de 2|B|. Por esta razón se
llama a |B| la amplitud de la onda.
y = sen(x)
y = 3sen(x),
(amplitud 3)
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(3) El gráfico de la curva está desfasado D unidades a la
izquierda si D>0 y D unidades a la derecha si D<0. Por esta
razón, el número real D se llama cambio de fase.
y = sen(x+Pi/2),
(defasado
izq.)
y = sen(x)
Observe que y = sen(x+
) = cos(x)
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(4)
El gráfico de la curva
verticalmente A unidades.
y = f(x) está trasladado
y = 1 + sen(x)
y = sen(x)
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Ejemplo: Gráfico de y = 1 + sen(x + )
Período =
Amplitud =
Desfase
izq.
Ejercicio: Grafique, indicando período, amplitud y desface
de las curvas y = 2sen(x + Pi) e y = 1 + cos(x – Pi).
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Solución con
Class Pad 300
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Problema: En un circuito de corriente alterna la intensidad A
medida en amperes debe satisfacer
, donde t es
el tiempo medido en segundos. ¿Cuántos ciclos hay en un
segundo? ¿Cuál es la máxima intensidad en la corriente? Con
su calculadora grafique dos ciclos de A.
Problema: Las funciones de la forma
, en
donde a, b, w, t0 son constantes reales, se usan con frecuencia
para simular la variación en la temperatura. Suponga que para
proporciona la temperatura en
grados Celsius de F a t horas después de la medianoche de
cierto día. ¿Cuál es la temperatura a las 8:00 a.m.? ¿A qué hora la
temperatura es 23°C? ¿Cuáles son las temperaturas máxima y
mínima
y
a
qué
hora
se
alcanzan?
Con su calculadora grafique F.
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Funciones de dos ángulos
Fórmulas de sustracción: Pretendemos deducir expresiones
para seno y coseno de
, para ello consideremos las figuras
B
Q
P
A
El arco de P(cos
A(1, 0) a B(cos
, sen ) a Q(cos , sen
, sen
); luego
) es igual al arco de
. Entonces,
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Elevando al cuadrado, desarrollando los binomios al cuadrado y
usando el teorema de Pitágoras obtenemos,
Y de aquí,
Usando el hecho que sen t = cos
, tenemos que
Ejercicio: Demuestre que
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Fórmulas de adición
Escribiendo
y usando las fórmulas de sustracción
podemos determinar las fórmulas de adición:
Fórmulas de ángulo doble
Como
; usamos las fórmulas de adición para obtener:
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Fórmulas de ángulo medio
Deduciremos una fórmula para seno de
manera análoga para coseno de
.
. Se procede de
Por lo tanto,
En estas igualdades la elección del signo dependerá del
cuadrante en el que esté situado el punto terminal del ángulo .
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Ejemplo: Determinemos el valor exacto de:
Ejercicio:
Verifique con su
calculadora los valores obtenidos
en el ejemplo precedente.
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Ejercicio: En ciertas condiciones, la ecuación del
movimiento de una cuerda en vibración estirada entre dos
puntos sobre el eje X es:
donde t es el tiempo y A, w, k son constantes.
Demuestre que y puede ser representada de la forma
equivalente
.
Ejercicio: Considere un rayo de luz que
pasa de un medio (como el aire) a otro
(como el cristal). Sea
el ángulo de
incidencia y
el ángulo de refracción.
Según la ley de Snell, hay una constante c
que depende de los dos medios
senα
como cos
. Suponga que para que la luz
ϑ =c
pase del aire al cristal, c = 1,326 para
determinar
de modo que
.
€
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Identidades trigonométricas
Una identidad trigonométrica es una igualdad que involucra
funciones trigonométricas y que se verifica para cualquier valor
de las variables en el dominio de esas funciones.
Ya mencionamos una identidad fundamental, el Teorema de
Pitágoras,
. De aquí,
Y realizando sencillas operaciones se obtienen las
Identidades Pitagóricas:
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Frecuentemente es aconsejable transformar o reducir una
expresión trigonométrica dada, originando de este modo otra
identidad trigonométrica. Por ejemplo, de las fórmulas de
ángulo medio se obtienen las identidades
La expresión
se reduce a
dando origen a la identidad,
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38
Una calculadora gráfica o una computadora es muy útil para
verificar gráficamente una identidad. Las gráficas siguientes
verifican en
la identidad
(1 – cos x)(1 + sec x) cot x = sen x
¿Es esta una identidad en los reales?
¿Qué dice su calculadora al respecto?
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¿Cómo demostrar una
identidad trigonométrica?
No hay un método general para demostrar que una
igualdad es una identidad trigonométrica.
Mostraremos algunos ejemplos.
Demostremos la identidad:
En las demostraciones está
implícito el supuesto que la
identidad es válida sólo para
aquellos valores de
para
los cuales las funciones que
aparecen estén definidas.
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Demostremos la identidad:
Por otra parte,
Por lo tanto se trata de una identidad trigonométrica.
No es correcto tratar la identidad planteada como
si fuese una ecuación, es decir, realizar las misma
operaciones algebraicas a ambos lados. Recuerde
que la igualdad será tal después que usted la
demuestre.
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41
Ejercicio :
Demuestre las siguientes identidades
conocidas como Fórmulas de productos.
Si encontramos un valor en el dominio de la
funciones para el cual la igualdad es falsa,
habremos probado que esta no es una identidad
trigonométrica. En ese caso estamos frente a una
ecuación trigonométrica.
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42
Ejercicio :
Demuestre las siguientes identidades
conocidas como Fórmulas de sumas.
Ejercicio: Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.
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43
Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que
aparecen una o más funciones trigonométricas; la incógnita es el
ángulo común de las funciones trigonométricas. No existe un
método general que permita resolver cualquier ecuación
trigonométrica; sin embargo, mostraremos algunos procedimientos
a través de ejemplos.
Ejemplo 1: Determinemos las soluciones en
ecuación
de la
.
Según lo aprendido, los valores del
ángulo los podemos determinar
utilizando el círculo unitario:
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44
Pero ¿cómo proceder si la ecuación es:
= 0,669 ?
Con la experiencia en la resolución de ecuaciones algebraicas,
exponenciales y logarítmicas surge la idea de obtener el valor de x
usando la función “inversa de seno”, aquella función que la
calculadora denota
y que se llama arcoseno.
La función arcoseno
La función seno con dominio
consideramos su restricción
no posee inversa; sin embargo, si
obtenemos
una biyección y por lo tanto una función que posee inversa. Esa
inversa es arcoseno:
Es decir, arcoseno de x es el número (ángulo medido en
radianes)
cuyo seno es x.
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45
Una solución de la ecuación
la calculadora:
la obtenemos con
Pero
también es una soluci
que debe ser deducida por nosotros.
Del mismo modo para
entregará sólo
la calculadora
Y debemos deducir la solución
. Más aún, por la
periodicidad de seno, podemos afirmar que esta ecuación tiene
múltiples soluciones en
; estas se expresan así,
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Las funciones arcocoseno y arcotangente
Las funciones
son biyectivas; sus inversas se llaman arcocoseno y arcotangente
respectivamente y se describen a continuación.
Ejercicio: Encuentre todas las soluciones i) en
ii) en
de a) sec x = − 72
b)
c)
Compruebe sus resultados con la
€ calculadora gráfica o computadora.
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Ejemplo 2: Resolvamos en
la ecuación sen 2x = sen x
Usando la identidad del ángulo doble, la ecuación se transforma en
2 sen x cos x = sen x
sen x (2 cos x - 1) = 0
Y de aquí, sen x = 0
o
cos x =
; luego las soluciones son:
Hay que considerar que cuando el lado terminal de un ángulo
realiza cierto giro, se genera otro ángulo cuyo seno también es
cero o cuyo coseno también es
. En consecuencia, existen
múltiples soluciones, en el conjunto
de los números reales,
para la ecuación planteada que se expresan,
, con k número entero.
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Ejemplo 3: Resolvamos en
ecuación
La ecuación es
y luego en
la
cosec x + cotan x = 1
equivalente a 1+cosx = sen x.
Elevando al cuadrado queda,
, de donde
cos x ( cos x + 1) = 0
Y de aquí, cos x = 0
o
cos x = -1 ; luego las soluciones serían:
Sin embargo, hay que descartar a
puesto que este número no
está ni en el dominio de cosec ni en el de cotan. Además, las
operaciones algebraicas muchas veces conducen a seudosoluciones; en este caso
no satisface la ecuación. Por lo tanto,
la única solución en
es
y las soluciones en el conjunto
de los números reales son
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49
Ejemplo 4: Resolvamos en
,
Factorizando tenemos
Y de aquí, cos t = 0
o bien,
o
y las soluciones son
Es común proceder a simplificar la ecuación por cost; esto es
posible siempre que se verifiquen como posibles soluciones los
valores de t para los cuales cost = 0. En caso contrario,
habríamos perdido las soluciones
¿Cuáles son las soluciones en
de la ecuación del ejemplo 3?
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50
RA
D
Problema:
Un generador de corriente alterna
produce corriente dada por la ecuación
donde t es el tiempo en segundos y E está dada
en amperes. Encuentre el menor valor de t, con
cuatro cifras decimales, de modo que se
produzcan 25 amperes.
Ejercicio: Resuelva i) en
ii) en
las siguientes
ecuaciones,
a)
b)
c)
Verifique con
d)
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51
Ejercicio: Calcule el valor de
Problema: Demuestre que para a, b números reales,
Ejercicio: Encuentre
que satisfagan,
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52
Resolución de triángulos
Muchas de las aplicaciones de la trigonometría requieren
“resolver” un triángulo.
Esto significa determinar las
longitudes de los lados y las medidas de los ángulos del
triángulo.
Triángulos rectángulos
Si el triángulo es rectángulo, es
posible resolverlo siempre que
se conozcan dos de sus cinco
elementos: a, b, c,
,
excepto que esos dos sean los
dos ángulos agudos.
A
B
c
a
b
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C
53
B
P
A
Q
C
El triángulo ABC y el
triángulo APQ, dentro del
círculo unitario, son
semejantes; luego sus
lados son proporcionales,
es decir,
O equivalente
Y de aquí la definición,
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54
Ejemplo: Resolvamos el triángulo rectángulo ABC si c = 27cm
y
.
Como
luego a
Por otra parte,
20,683. Finalmente,
y b 17,355
Problema: Desde un punto A en
la orilla de un río se ve un árbol
justo enfrente. Si caminamos 100
metros río abajo, por la orilla recta
del río, llegamos a un punto B
desde el que se ve el árbol
formando un ángulo de 30º con
nuestra orilla. Calcule la anchura
del río.
Ancho x = 100tan30° 57,735 m.
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55
Ángulos de elevación y de depresión
El ángulo entre la línea con la que un observador mira un
objeto y la horizontal tiene un nombre especial.
Si el observador está mirando hacia
abajo, el ángulo visto desde la
horizontal hacia la línea de visión se
denomina ángulo de depresión.
Si el observador está mirando hacia
arriba, el ángulo desde la horizontal
hacia la línea de visión se denomina
ángulo de elevación.
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56
Problema: Desde un punto
se observa un edificio cuya
parte más alta forma con el
suelo un ángulo de 30º, si
avanzamos 30 metros, el
ángulo pasa a ser de 45º.
Calcular la altura del edificio.
Problema: La siguiente
figura muestra la
demarcación
de
estacionamientos en un
mall. Calcule la distancia d.
Estacionamientos
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57
Problema: Un salvavidas se encuentra en una
torre a 20 metros del nivel del mar. Descubre a
una persona que necesita su ayuda con un ángulo
de depresión de 35º. ¿A qué distancia de la base
de la torre se encuentra esa persona.
Si en el problema anterior el ángulo de depresión varía según la
siguiente tabla, con la ayuda de su calculadora, determine cómo va
variando la distancia.
Ángulo 20°
27°
31°
37°
39°
40°
42°
dist
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58
Resolución de un triángulo cualquiera
Consideremos el triángulo ABC con ángulos
y con
lados opuestos a, b y c. Si se conoce la longitud de un lado y
otros dos elementos del triángulo, entonces es posible
resolverlo. Esto se realiza a través de la Ley del seno y de la
Ley del coseno.
C
Teorema del seno: Los
lados de un triángulo son
proporcionales a los senos
de los ángulos opuestos, es
decir,
b
A
h
c
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a
B
59
Demostración del teorema del seno: Consideramos la altura h
que se indica en la figura; entonces
Procediendo con las otras alturas se obtienen las otras relaciones.
Ejercicio: Resuelva el triángulo ABC si se sabe que el lado
AB mide 72 cms.,
Se tiene que
y
.
. Por otra parte,
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60
Problema: Los árboles más grandes del mundo crecen en el
Parque Nacional de Redwood en California, EE.UU. Estos
árboles (sequoia semprevirens) son más grandes que el largo
de un campo de fútbol. Calcule la altura de uno de esos
árboles, a partir de la información que se entrega en la figura.
pies
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61
C
Teorema del coseno: En el
triángulo ABC se tiene que:
b
A
Demostración del teorema del seno:
h = CD; entonces
a
h
c
D
B
Consideramos la altura
. De aquí,
Por “rotación” se obtienen las otras relaciones.
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62
Ejercicio: Resuelva el triángulo ABC si se sabe que el lado
AB mide 12 cms., AC mide 9 cms., y BC mide 7 cms.
Problema: Dos coches, con velocidades respectivas de 60km/h
y 90km/h, toman dos carreteras que se bifurcan con un ángulo de
70º ¿Cuál será la distancia entre ellos a los 10 minutos de viaje?
En 10 minutos, el primer móvil
habrá recorrido un sexto de 60, es
decir, 10Km.
El segundo móvil
habrá recorrido un sexto de 90, es
decir, 15Km.
El teorema del coseno nos permite
calcular x,
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63
Problema: Una goma elástica está sujeta, sin estirarla, a
los puntos A y B que distan 1,5 m. La deformación de la
goma es proporcional al peso que soporta. Del centro C de
la goma se cuelga un peso y el centro pasa a ocupar la
posición D. Si se aplica el doble del peso el centro, éste
pasa a ocupar la posición E.
Si se sabe que el ángulo
a = 19º, determine el ángulo b.
Peso
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64
Problema: Tres personas están en tres puntos distintos de
la orilla de un lago, la primera dista de la segunda 1 km, la
segunda de la tercera 1,5 km y ésta de la primera 2km ¿Qué
ángulos forman entre sí dichas personas? ¿Qué superficie
tiene el lago, si ésta es los 5/3 de la superficie del triángulo
que se forma con las 3 personas?
C
2
A
1,5
1
B
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65
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
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66
El plano cartesiano
Se llama plano cartesiano o plano rectangular al conjunto
de pares ordenados de números reales. El
sistema de ejes se conoce como sistema de coordenadas
rectangular, por estar formado por dos rectas reales que se
cruzan en ángulo recto en el origen 0 de cada una, o sistema
cartesiano en honor del matemático francés René Descartes
(1596-1650)
eje Y
eje X
Origen 0
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67
Los ejes dividen el plano
cartesiano en cuatro regiones que se
llaman cuadrantes y se numeran I, II,
III y IV.
Los puntos P sobre este plano se
localizan según la distancia que hay
desde P a los ejes coordenados.
El punto P(x, y) se dice que tiene
coordenadas (x, y); el número x,
del eje X, se llama abscisa de P y
el número y, en el eje Y, es la
ordenada de P.
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68
Ejercicio: Grafique en el plano cartesiano los puntos dados:
Ejercicio: Suponga que (a, b) es un punto del
cuadrante II, determine el cuadrante en el cual
se localiza: (-a, -b), (-a, b), (a, -a), (b, a) y
(-b, a).
Ejercicio: Describa y grafique los siguientes conjuntos del
plano cartesiano:
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69
Distancia entre dos puntos
Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos del plano cartesiano. La
distancia entre P y Q se calcula mediante la expresión
que se deduce del teorema de Pitágoras, como se aprecia en la
figura.
P
|y2-y1|
|x2-x1|
Q
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70
Por ejemplo, la distancia entre P(4, -1) y Q(-2, 6) es
Ejercicio: ¿Cuál de los puntos A(-7, 2) o B(4, 6) está más
cerca de P(1, -2)?
Se puede demostrar que para puntos P, Q, R cualesquiera,
Cuando d(P, Q) = d(P, R) + d(R, Q), se dice que los
puntos P, Q y R son colineales.
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71
Por ejemplo, A(3, 5), B(1, -1) y C(-4, -16) son colineales.
Ejercicio:
Dos de los vértices de un
triángulo equilátero son los puntos A(-1, 1)
y B(3, 1). Encuentre las coordenadas del
tercer vértice.
Ejercicio: Escriba la ecuación algebraica
que expresa el hecho que el punto P(x, y)
equidista de A(-2, 4) y B(9, -5).
Ejercicio: Encuentre un punto P equidistante de A(1, 7),
B(8, 6) y C(7, -1).
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72
División de un segmento en una razón dada
Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos
P2
puntos del plano cartesiano y
consideremos el segmento
P
que los une. Se dice que un
punto P(x, y) divide al segmento
en la razón r si
.
Teorema:
En las condiciones
anteriores, las coordenadas de P son
P1
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73
En efecto, los triángulos P1MP y
PNP2 son semejantes; luego
P2
y2-
P
y-
Corolario: Si P es el punto medio
de P1P2, entonces r = 1 y por tanto,
y1-
N
P1
M
|
x1
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|
x
|
x2
74
Algunas observaciones
(1) r = -1
(2)
que
Para segmentos el signo tiene relevancia en el sentido
(segmentos dirigidos).
(3) Cuando el punto P divide el segmento
en una razón
negativa, P se encuentra en la prolongación del segmento
.
Ejercicio: Muestre que el punto
divide al segmento P1(1, 7)
razón r = -1/2.
a
P(-4, 17)
P2(6, -3) en la
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75
Ejercicio:
Determine el punto P que divide al segmento
A(-2, 1) a B(3, -4) en la razón r = -8 /3.
Ejercicio:
Uno de los extremos de un
segmento rectilíneo de longitud 5 es el
punto (3, -2). Si la abscisa del otro extremo
es 6, encuentre la ordenada.
Ejercicio: Los vértices de un triángulo son A(-1, 3), B(3, 5)
y C(7, -1). Si D es el punto medio del lado AB y E es el
punto medio del lado BC, demuestre que la longitud del
segmento DE es la mitad de la longitud del segmento AC.
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76
Usando calculadora
Escojamos
en el Menú de la Class Pad 300
La barra de menú
nos proporciona
múltiples opciones. Dibujamos el segmento de extremos A(-5, -2)
y B(10, 10) así:
Y ubicamos
los puntos
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77
Determinemos el punto medio del segmento de extremos A y B.
Escogemos Dibujo en la barra menú, tocamos Construir y
finalmente Punto medio.
Construir
Punto medio
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78
Rectas en el plano
Una línea recta está representada por una ecuación de primer
grado en dos variables,
Ax + By + C = 0,
con A, B, C números reales, A y B no ambos nulos.
recíprocamente, la ecuación
representa una recta.
Y
Si A = 0, la recta es paralela al eje X.
Si B = 0, la recta es paralela al eje Y.
Si C = 0, la recta pasa por el origen (0, 0).
Por ejemplo, las ecuaciones 5x – 2y = 3, x + y = 0, y – 5 = 0,
x = 2 representan rectas.
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79
La recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y
P2(x2, y2) tiene ecuación:
(Ecuación punto-punto de una recta)
El número
se llama pendiente de la
recta.
Este número m es positivo si y sólo si la recta asciende de
izquierda a derecha, m es negativo si y sólo si la recta desciende
de izquierda a derecha y m = 0 si y sólo si la recta es paralela al
eje X. Las rectas paralelas al eje Y tienen pendiente
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.
80
La pendiente de la recta corresponde a la inclinación que ella
tiene y está determinada por la rapidez con que la recta sube o
baja conforme nos movemos de izquierda a derecha.
En
consecuencia, la pendiente de una recta es la razón entre la
elevación (lo que sube o baja la recta) y el desplazamiento (lo que
recorre hacia la derecha).
y2-
elevación
y1desplazamiento
|
x1
|
x2
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81
La ecuación punto-punto de una recta la podemos reformular
en los siguientes términos:
La recta que pasa por el punto P1(x1, y1) con
pendiente m tiene ecuación:
(Ecuación punto-pendiente de una recta)
Observe que esta ecuación es del tipo:
y= mx+b
pendiente
Intersección eje Y u
ordenada al origen
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82
Ejemplos:
1) La recta que pasa por P(5, -2) y Q(-3, 4) tiene ecuación:
Su ecuación general es 3x + 4y – 7 = 0, que equivale también a
2)
La recta de ecuación general 6x + 3y – 15 = 0
tiene
pendiente
m = -2
y ordenada al origen igual a 5,
puesto que
equivale a y = -2x + 5.
Ejercicio: Determine la ecuación de la recta que intercepta
al eje X en el número a y al eje Y en el número b.
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83
Existen múltiples problemas de la vida real cuya solución
utiliza rectas.
Problema:
Encuentre la ecuación de la recta que
relaciona la temperatura C en grados Celsius con la
temperatura F en grados Fahrenheit, sabiendo que el
agua se hiela a 0ºC, 32ºF y hierve a 100ºC, 212ºF.
Grafique la recta encontrada.
La recta pedida pasa por los puntos
(0, 32) y (100, 212);
pendiente es
.
luego su
Su ecuación es
o bien,
para una mejor comprensión,
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84
Problema: Una industria textil adquiere
maquinarias por un valor de $825 millones.
Se estima que tendrán una vida útil de 25
años tras los cuales su valor será de $75
millones. Encuentre la ecuación de la recta
que representa la depreciación lineal de las
maquinarias en estos 25 años. ¿Cuál será
el valor de las maquinarias transcurridos 5
años desde su adquisición?
El ejercicio anterior corresponde a efectuar una interpolación
lineal, esto es, se pide determinar un punto de la recta ubicado
entre los dos puntos dados. Cuando se encuentra un punto de la
recta que está fuera de los dos puntos dados, se trata de una
extrapolación lineal.
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85
Problema: Un fabricante de cobertores
encuentra que si produce x de estos
artículos en un mes, su costo total de
producción está dado por y = 6,5 x + 180
(en miles de pesos). Grafique la recta
determinada por esta ecuación.
¿En
términos del problema qué representa la
pendiente de esta recta y el valor
180.000?
Ejercicio:
Muestre dos problemas de la
vida real cuya solución se obtenga a través
de rectas.
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86
Ejercicio:
Determine la ecuación de la recta que pasa por
A(-2, -4) y tal que la suma de sus interceptos es 3.
Dos rectas se dicen paralelas si tienen igual
pendiente y se dicen perpendiculares cuando
el producto de sus pendientes es -1.
Ejercicio: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por
P(2, -3) y es perpendicular a la recta que pasa por A(4, 1) y
B(-2, 2).
Ejercicio:
Determine el valor del número k de manera que
la recta de ecuación 3x – ky - 7 = 0 sea paralela a la recta
cuya ecuación es 5x + 2y – 9 = 0.
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87
Distancia entre un punto y una recta
Consideremos la recta de
l
ecuación l : Ax + By + C = 0 y
el punto P(x1, y1).
l tiene pendiente
y la recta l’ perpendicular a l
La recta
Q
que pasa por P tiene ecuación:
Sea Q(x2, y2) el punto de intersección de las rectas
entonces Q satisface el sistema:
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P
l y l’ ;
88
Resolviendo este sistema obtenemos las coordenadas de Q:
Finalmente,
de donde obtenemos,
Ejercicio: Determine la distancia entre el punto P(4, 6) y la
recta de ecuación 5 – 2y = x.
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89
Ángulo entre dos rectas
El ángulo
que se aprecia
en la figura se llama ángulo
de inclinación de la recta L.
La tangente del ángulo de
inclinación de la recta con el
eje X es la pendiente o
coeficiente angular de la recta:
Q
y2y1-
P
x1
Por ejemplo, si
= 0º, m = tan0º = 0 y si
x2
= 90º, m = tan 90º=
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90
Queremos determinar el ángulo
entre las rectas L1 y L2 que
se aprecian en la siguiente figura:
L2
L1
Observe que
lo que implica,
Luego,
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91
Por lo tanto, podemos enunciar: El ángulo
L1 y L2 está dado por:
entre las rectas
donde m1 y m2 son las pendientes de las rectas L1 y L2
respectivamente.
Por ejemplo, consideremos las rectas L1 y L2, cuyas ecuaciones
son x + 7y – 14 = 0 y 3x – 4y + 3 = 0 respectivamente.
Entonces las pendientes son m1=
y m 2=
; luego el ángulo
entre estas rectas es:
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92
Ejercicios
(1) Encuentre la ecuación de la recta paralela
a 12x – 5y - 15 = 0 a una distancia igual a 4.
(2)
Calcule la distancia entre las rectas paralelas de
ecuaciones 3x – 4y + 8 = 0 y 6x – 8y + 9 = 0.
(3) Determine el valor de k de modo que la distancia del
origen a la recta de ecuación x + ky – 7 = 0 sea igual a 2.
(4) Calcule el ángulo entre las rectas de ecuaciones 6x + 3y =1
y x + y = 3.
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93
Secciones cónicas
Las secciones cónicas, o simplemente cónicas, son curvas que
se forman al intersectar un plano con un par de conos
circulares. Estas curvas tienen cuatro formas básicas llamadas
circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.
Circunferencia
Elipse
Parábola
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Hipérbola
94
Dicho corte también puede ser un punto, una recta o dos rectas
en el caso especial que el plano esté en contacto con los vértices
de los conos.
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95
Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron
denominadas secciones cónicas; Apolonio (262-190 a.C.) escribió
una obra de 8 volúmenes sobre el tema. Los resultados obtenidos
por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Descartes
(1596-1650) y Fermat (1601-1665), en una de las primeras
aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema.
La importancia fundamental de las cónicas radica
en su constante aparición en situaciones reales:
Los planetas se mueven en órbitas elípticas
alrededor del Sol, las trayectorias de proyectiles
lanzados hacia arriba formando ángulo con la
horizontal son parábolas, la construcción de un
telescopio reflector se basa en las propiedades de
parábolas e hipérbolas. En los últimos tiempos se
han aplicado las cónicas en la radionavegación,
medicina, mecánica, ingeniería, entre otras.
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96
Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los
trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad
de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión
puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que
incorporaba las nociones de coordenadas y distancia.
Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares
geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en
términos de distancia. Posteriormente se estableció una teoría
algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe
como curvas cuadráticas.
El estudio que haremos de las cónicas
comenzará con la definición geométrica de ellas y
de ahí se llegará a la expresión algebraica que las
representa.
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97
La circunferencia
Es el conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano
(lugar geométrico) que están a una misma distancia r, llamada
radio de la circunferencia, de un punto dado C(h, k), que es el
centro de la circunferencia.
(h,, k)
Observe que
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98
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia con
centro C(h, k) y radio r,
es:
Si el centro de la circunferencia es C(0, 0), su ecuación es
Por ejemplo,
es la ecuación de la
circunferencia centrada en C(5, -2) y con radio r =
.
Observe que
De manera más general se puede enunciar,
Teorema: Una circunferencia está representada por una
ecuación de segundo grado en dos variables de la forma
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99
¿Toda ecuación de la forma
x2+y2+Dx+Ey+F representa
a una circunferencia?
No, sin embargo se tiene lo siguiente,
Teorema: Consideremos
a) Si D2+E2 - 4F > 0 ,
representa una circunferencia.
b) Si D2+E2 - 4F = 0 ,
representa un punto.
a) Si D2+E2 - 4F < 0 ,
no representa una circunferencia.
Ejemplo: ¿La ecuación x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 representa
una circunferencia? Esta ecuación equivale a:
x2 + 2x +1 + y2 – 4y + 4 = 11 + 1 + 4
que es (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16. Por lo tanto, se trata de la
circunferencia centrada en (-1, 2) con radio 4.
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100
Ejercicio:
Demuestre el teorema precedente. Además
determine el centro y el radio de las circunferencias,
a) x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0
b) x2 + y2 - 8x + 6y + 22 = 0
Observación: La circunferencia cuyo centro está en el eje X
tiene ecuación general de la forma x2 + y2 + Dx + F = 0. Si el
centro está en el eje Y, esta ecuación toma la forma x2 + y2 + Ey
+ F = 0.
Ejercicio: Determine la ecuación de la circunferencia
a) Centrada en C(5, -2) y que pasa por el punto P(2, 1).
b) Centrada en C(-4, 2) y tangente a la recta 3x + 4y - 16 = 0.
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101
¡Más ejercicios!
(1) Determine la ecuación de la circunferencia
que pasa por A(2, 3) y B(-1, 1) y tiene su
centro en la recta L de ecuación x – 3y = 11.
(2) Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por
A(-2, 1) y es tangente a la recta 3x - 2y - 6 = 0 en el punto
B(4, 3).
(3) Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por
los puntos A(5, 3), B(6, 2) y C(3, -1).
Problema: Un punto se mueve de tal modo que la suma de
los cuadrados de sus distancias a los puntos (2, 0) y (-1, 0)
es siempre igual a 5. Identificar el lugar geométrico que esto
describe.
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102
Recta tangente a una circunferencia
Mostraremos, a través de ejemplos, cómo encontrar la recta
tangente a una circunferencia
a) en un punto de ella,
b) con una pendiente dada
c) que pase por un punto exterior dado.
Ejemplo 1: Hallemos la ecuación de la recta tangente a la
circunferencia de ecuación x2 + y2 - 8x – 6y + 20 = 0 en el punto
P(3, 5).
La recta que pasa por P tiene ecuación y – 5 = m(x – 3).
Reemplazamos y = m(x - 3) + 5
en la ecuación de la
circunferencia y reordenamos para obtener:
x2(1 + m) – (6m2 + 4m + 8)x + (9m2 – 12m + 15) = 0
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103
Esta ecuación cuadrática debe tener una solución real, es decir
su discriminante D debe ser cero; resolvemos D = 0 para obtener
m = ½. Luego la recta tangente pedida es y – 5 = ½(x – 3).
Ejemplo 2:
Hallemos la ecuación de la recta tangente a la
circunferencia de ecuación x2 + y2 = 13 con pendiente
La recta con pendiente
tiene ecuación
.
.
Reemplazando y en la ecuación x2 + y2 = 13 y reordenando,
obtenemos la ecuación cuadrática
que
debe tener discriminante D = 0 para que tenga una solución real
para x. Resolvemos D = 0 y obtenemos
; luego el
problema tiene las soluciones
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104
Ejemplo 3: Encontremos la ecuación de la recta tangente a la
circunferencia de ecuación x2 + y2 = 4 que pasa por
.
La recta que pasa por P tiene ecuación
.
Siguiendo el mismo procedimiento de los ejemplos anteriores
llegamos a obtener
; luego las rectas tangentes son
dos:
Ejercicio: Determine la ecuación de la
recta tangente a la circunferencia de
ecuación 2x2 + 2y2 - 8x - 4y -15 = 0 que
pasa por P(6, -4) .
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105
La parábola
Es el conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano
(lugar geométrico) que equidistan de un punto fijo y
de una recta fija.
El punto fijo F se llama foco y la
recta fija d se llama directriz de
la parábola.
La recta
perpendicular a la directriz y que
pasa por el foco se llama eje de
simetría. El eje corta la parábola
en un punto V llamado vértice y
que está a la misma distancia del
foco y de la directriz.
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106
La cuerda con extremos en la parábola, que pasa por el foco
y es perpendicular al eje se llama lado recto y su longitud
(diámetro focal) es 4 veces la distancia entre el vértice y el foco.
Para encontrar una expresión algebraica que
represente a una parábola P, escogeremos
aquellas cuyo vértice es el origen (0, 0).
Si F(p, 0) es el foco y
P(x, y)
P
x = -p
es la ecuación de la directriz,
d(P, F) = d(P, d)
Por lo tanto,
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107
La ecuación de la parábola con vértice en (0, 0) y eje coincidiendo
con el eje X es de la forma
El foco está en F(p, 0) y la ecuación de la directriz es x = -p. Si
p > 0, la parábola abre hacia la derecha y si p < 0 abre hacia la
izquierda. El lado recto tiene longitud 4|p|
foco
directriz
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108
Si el vértice de la parábola está en (0, 0) y el eje coincide con el
eje Y, la ecuación de ella es de la forma
El foco está en F(0, p) y la ecuación de la directriz es y = -p.
Si p > 0, la parábola abre hacia arriba y si p < 0, abre hacia
abajo. El lado recto tiene longitud 4|p|
, p)
= -p
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109
Ejemplos:
(1) La ecuación
representa una
parábola con vértice V(0, 0) que abre hacia la derecha. Su foco
es
, la ecuación de la directriz es
y el lado
recto tiene longitud .
El gráfico de la parábola está
realizado con calculadora:
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110
(2) Encontremos la ecuación de la parábola que abre hacia la
izquierda, con vértice V(0, 0) y cuya directriz es la recta x = 3.
En este caso, |p| = d(V, d) = 3; como la parábola abre hacia la
izquierda, p = -3. Luego la ecuación de la parábola es:
Confirma los
puntos de
interés de la
parábola con
Resolución G
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111
Cuando el vértice de la parábola es V(h, k) y su eje
de simetría es paralelo al eje X, la ecuación de ella
es de la forma:
, con |p| = d(V, F).
Si el vértice de la parábola es V(h, k) y su eje de
simetría es paralelo al eje Y, la ecuación de ella
es de la forma:
, con |p| = d(V, F).
Ejercicio:
Procediendo como en el caso V(0, 0),
demuestre las afirmaciones anteriores.
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112
Ejemplos:
(1) La ecuación
representa una parábola.
Con el fin de describirla, modificamos esta ecuación así:
En consecuencia, la parábola abre
hacia la izquierda, p = -2 y tiene
vértice V(-4, 3). El eje de simetría
es y = 3, el foco está en F(-6, 3),
la directriz tiene ecuación x = -2.
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113
(2) ¿Cuál es la ecuación de la parábola cuyo foco es F(6, -2) y
tiene a la recta x = 2 como directriz? Los puntos P(x, y) de la
parábola satisfacen:
d(P, F) = d(P, d)
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114
Ejercicio: Determine el vértice, foco, ecuación de la directriz,
longitud del lado recto y grafique cada una de las siguientes
parábolas.
Ejercicio: En cada caso, encuentre la ecuación de la
parábola que satisface lo pedido.
a) Vértice V(-2, 1) y directriz de ecuación x = 1.
b) Foco F(2, 2) y directriz de ecuación x = -2.
c) Vértice V(0, 2), eje de simetría el eje Y y pasa por P(4, 1).
d) Directriz la recta y = 1, eje de simetría el eje Y, abre hacia
abajo y tiene lado recto de longitud 8.
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115
Problema: Una cuerda de la parábola y2 – 4x = 0 es un
segmento de la recta de ecuación x – 2y + 3 = 0. Calcule la
longitud de la cuerda.
Problema :
Demuestre que la
ecuación de la recta tangente a la
parábola
es
x2 = 4py en el punto (a, b)
Ejercicio: Encuentre la ecuación de la tangente a la parábola
y2 – 8x = 0 cuya pendiente es -1.
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116
Problema: El arco de una ventana de una
iglesia tiene forma parabólica. La altura del
arco por el punto medio es de 16 pies y el
ancho en la base es de 7 pies. Se quiere
deslizar a través de esta ventana una caja
rectangular. Si la caja tiene una altura de 12
pies, ¿cuál es el máximo ancho que puede
tener la caja?
Problema: La trayectoria de un proyectil disparado hacia
arriba desde el suelo es una parábola que logra una altura
máxima de 80 metros y su alcance horizontal es de 640
metros. Si una persona está en el suelo a 200 metros del
punto donde fue lanzado el proyectil y en su dirección, ¿a qué
altura de la persona pasa el proyectil?
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117
La elipse
Es el conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano
(lugar geométrico) tales que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos del plano es constante.
Los puntos fijos F1 y F2 son los
focos de la elipse y el punto medio
del segmento
es el centro C
de la elipse. La recta que contiene a
los focos F1 y F2 corta la elipse en
dos puntos
V1
y
V2 llamados
vértices. El segmento
es el
eje mayor
y el segmento
determinado por la perpendicular a
que pasa por C es el eje menor.
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118
Elipse
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119
La elipse se puede definir también como el
conjunto de puntos tales que la razón de sus
distancias a un punto fijo y a una recta fija es
igual al número e < 1
llamado
excentricidad de la elipse. El punto fijo es
un foco y la recta d1 o d2 son las
directrices de la elipse. El concepto de
excentricidad lo abordaremos más adelante.
Pretendemos ahora encontrar la expresión algebraica más
sencilla que represente a una elipse E. Para este objetivo
escogeremos aquella cuyos focos están en el eje X.
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120
Sean F1(-c, 0) y F2(c, 0) los focos; entonces el centro de la
elipse es C(0, 0).
Por comodidad llamaremos a la (constante)
suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos como
2a. Entonces tenemos que:
P(x, y)
E
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
Elevando al cuadrado esta igualdad y simplificando obtenemos
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121
Como necesariamente a > c, tenemos que a2 - c2 > 0; luego
podemos dividir por a2(a2 – c2) la última igualdad para obtener:
Llamemos b2 = a2 – c2; entonces b > 0, b2 < a2, b < a y la
ecuación precedente se reescribe como:
Por lo tanto estamos en condiciones de enunciar lo siguiente:
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122
(1) La ecuación de la elipse con centro en (0, 0) y eje mayor en el
eje X es
(2) Si el eje mayor está sobre el eje Y, la ecuación de la elipse es
En el caso (1) los vértices son V1(-a, 0) y V2(a, 0) y el eje mayor
tiene longitud 2a. El eje menor tiene extremos B1(0, -b) y B2(0,
b), y por tanto longitud 2b. Los focos están sobre el eje mayor en
F1(-c, 0) y F2(c, 0), donde
.
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123
En el caso (2) los vértices son V1(0, -a) y V2(0, -a), el eje mayor
tiene longitud 2a y el eje menor tiene longitud 2b. Los focos
están sobre el eje mayor en
siempre
.
F1(0, -c)
y
F2(0, c), donde c es
La elipse será más ancha o se
aproximará a una circunferencia
dependiendo de cuan cerca esté c
e = 0,5
de a. Esta desviación de la elipse se
mide por la razón
llamada
excentricidad. Observe que 0< e < 1.
e = 0,85
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124
.
Tanto en el caso (1) como en el (2), la
cuerda perpendicular al eje mayor en los
focos tiene longitud
es la razón
, la excentricidad
, siempre menor que 1, y
las directrices son perpendiculares al eje
mayor a distancias
mismo, a distancias
o, lo que es lo
del centro.
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125
x = d1
x = d2
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126
Ejemplo
La ecuación
representa una elipse con centro
en el origen (0, 0). En este caso a = 5 (denominador mayor) y
la elipse tiene eje mayor en el eje Y, es decir, es larga
verticalmente. Además b = 2 y por tanto
.
La longitud del eje mayor es 10 y del eje menor es 4. Los focos
son
y los vértices
La excentricidad es
Como
.
.
, las directrices tienen ecuación
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127
El gráfico de la elipse
calculadora:
está realizado con
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128
Cuando el centro de la elipse está en el punto
ecuación de ella toma la forma
C(h, k), la
con a > b si el eje mayor es paralelo al eje X, y será
con a > b cuando el eje mayor sea paralelo al eje Y.
La longitud del eje mayor sigue siendo 2a y la del
eje menor 2b.
Los focos se encuentran a
distancia c del centro, donde
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.
129
Ejemplo
La ecuación
representa una elipse con
centro en el punto (4, -2). En este caso a = 5 (denominador
mayor) y la elipse tiene eje mayor paralelo al eje X, es decir, es
larga horizontalmente. Además b = 3 y de ahí
.
La longitud del eje mayor es 10 y del eje menor es 6.
Los focos están a distancia 4 del centro; por lo tanto ellos son
F1(0, -2) y F2(8, -2). Los vértices son V1(-1, -2) y V2(9, -2) y
el eje menor tiene extremos B1(4, -5) y B2(4, 1).
La excentricidad es
distancias
y las directrices están a
del centro; luego sus ecuaciones son
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130
El gráfico de la elipse
con calculadora:
está realizado
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131
Ejemplo
La ecuación
representa una elipse.
Con el fin de describirla, modificamos esta ecuación así:
Por lo tanto la elipse tiene centro en
C(1, -1) y continuamos su análisis
como se hizo en el ejemplo anterior.
Verificamos con la calculadora
escogiendo Análisis y luego
Resolución G.
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132
Ejemplo
Determinemos la ecuación de la elipse cuyo centro es C(3, 1), un
foco en F(0, 1) y un vértice en V(-1, 1).
Como los focos están siempre en el eje mayor y dada la posición
del vértice V (o del centro C), la elipse tiene eje mayor paralelo al
eje X y de longitud 2a = 8 puesto que a = 4 es la distancia que
separa C de V. Además la distancia entre F y C es c = 3; luego
Por lo tanto la ecuación de la elipse es:
Ejercicio:
Grafique la elipse
encontrada antes.
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133
Ejercicio: Determine el centro, vértices, focos, longitud de los
ejes, excentricidad, ecuación de las directrices y grafique cada
una de las siguientes elipses.
Ejercicio: Encuentre, en cada caso, la ecuación de la elipse
que satisface lo siguiente,
a) Centro C(0, 0), un foco en F(2, 0) y eje menor de longitud 6.
b) Focos en
y longitud del eje mayor igual a 4.
c) Extremos del eje mayor en (4, 2), (4, 13) y un foco en (4, 4).
d) Excentricidad
y focos en
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134
Ejercicio:
Demuestre que todas las
elipses representadas por la ecuación
con k > 0, tienen los mismos focos,
independientemente del valor de k.
Ejercicio: Un punto se mueve y es tal que la suma de sus
distancias a los puntos A(4, 2) y B(-2, 2) es constante 8.
Encuentre la ecuación y el tipo de cónica que esta situación
determina.
Ejercicio:
Determine el lugar geométrico de un punto en
movimiento tal que su distancia al punto A(4, 0) es siempre la
mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0.
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135
Problema: Desarrolle una técnica
para dibujar elipses sobre una tabla
de madera, usando 2 tachuelas, una
cuerda y un lápiz.
¿Qué longitud
debe tener la cuerda?
Problema: Un carpintero desea cortar una pieza de madera
rectangular en forma elíptica con el fin de confeccionar la
cubierta de una mesa de comedor con esa forma. Si la pieza
de madera rectangular mide 5 pies por 4 y quiere utilizar toda
la longitud y el ancho disponible, cuál debería ser la longitud
de la cuerda que utilice y donde debería situar las tachuelas
para dibujar la elipse según la técnica desarrollada en el
problema precedente?
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136
Problema:
La órbita que describe la
Tierra alrededor del Sol tiene forma
elíptica. Si la longitud del eje mayor es
de 186 millones de millas y la
excentricidad es e = 0,017, estime la
distancia más cercana de la Tierra al Sol.
Problema: El arco de un puente es
semielíptico con eje mayor horizontal.
Si la base del arco abarca los 20
metros de ancho que tiene la
carretera y la parte más alta del
puente está a 8 metros sobre la
carretera, calcule la altura del arco a
cuatro metros del centro de la
carretera.
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137
La hipérbola
Es el conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano
(lugar geométrico) tales que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es
constante.
Los puntos fijos F1 y F2 son los
focos de la hipérbola y el punto
medio del segmento
es el
centro C de la hipérbola.
El
segmento
corta la hipérbola
en dos puntos V1 y V2 llamados
vértices. El segmento
se
llama eje transverso.
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138
Hipérbola
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139
También se puede definir la hipérbola como
el conjunto de puntos tales que la razón de
sus distancias a un punto fijo y a una recta
fija es igual al número e > 1
llamado
excentricidad de la hipérbola. El punto fijo
es un foco y la recta d1 o d2 son las
directrices de la elipse.
Pretendemos ahora encontrar la expresión algebraica más
sencilla que represente a una hipérbola H,
para ello
escogeremos aquella cuyos focos están en el eje X.
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140
Sean F1(-c, 0) y F2(c, 0) los focos; entonces el centro de la
hipérbola es el punto medio de
, es decir, C(0, 0). Llamemos
a la diferencia (constante) de las distancias a los focos 2a. Sea
P(x, y) un punto de la rama derecha de la hipérbola; entonces
P(x, y)
H
d(P, F1) - d(P, F2) = 2a
Elevando al cuadrado esta igualdad y simplificando obtenemos
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141
Del triángulo que se aprecia en la
figura concluimos que
d(P, F2) + d(F1, F2) > d(P, F1), es
decir,
d(F1, F2) > d(P, F1) - d(P, F2)
Luego 2c > 2a y de aquí, c > a, c2 >
a2 y c2 – a2 > 0. Dividiendo por
a 2 (c 2 - a 2 ) la última igualdad
obtenemos:
Llamemos b2 = c2 – a2; entonces la última ecuación queda:
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142
Por lo tanto podemos enunciar lo siguiente:
(1)
La ecuación de la hipérbola con centro en (0, 0) y eje
transverso sobre el eje X es
(2) Si el eje transverso está sobre el eje Y, la ecuación de la
hipérbola es
En el caso (1) los vértices son
transverso tiene longitud 2a.
F2(c, 0), donde
V1(-a, 0)
y
V2(a, 0)
y el eje
Los focos están en F1(-c, 0) y
.
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143
El segmento de recta que pasa por el centro de la hipérbola,
perpendicular al eje transverso y con extremos B1(0, -b) y
B2(0, b) se llama eje conjugado. Los extremos del eje conjugado
no están sobre la hipérbola pero son útiles cuando se quiere
graficarla.
En el caso (2) los vértices son
V1(0, -a)
y
transverso está en el eje Y y tiene longitud 2a.
V2(0, -a), el eje
Los focos son
F1(0, -c) y F2(0, c), donde c es siempre
.
La excentricidad de una hipérbola se define
como la razón
, es decir, distancia
entre los focos es a distancia entre los vértices y
ella es siempre mayor que 1.
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144
.
¿Qué relación hay entre los valores
cercanos a 1 o lejanos a 1 que alcance la
excentricidad con la forma que adquieren
sus ramas (gráfica)?
¿?
Tanto en el caso (1) eje transverso en el eje X, como en
el caso (2) en que el eje transverso está en el eje Y, la
cuerda perpendicular a la recta que contiene al eje
transverso y que pasa por los focos (ancho focal) tiene
longitud
, la excentricidad es
mayor que
1 y las directrices son perpendiculares al eje transverso
a distancias
del centro.
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145
Las rectas
son las asíntotas de la hipérbola centrada
en el origen con eje transverso en el eje X.
Si el eje transverso está en
el eje Y, las asíntotas de la
hipérbola son
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146
Ejemplo
La ecuación
representa
una hipérbola con centro en el origen (0, 0). En este caso el eje
transverso está en el eje Y, tiene longitud 2a = 6 (a = 3) y los
vértices de la hipérbola son
conjugado tiene extremos
distancias
. Como b = 5, el eje
. Los focos están en eje Y a
del centro; ellos son
La excentricidad es
Las directrices tienen ecuación
.
.
o bien
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147
El gráfico de la hipérbola
calculadora:
está realizado con
Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas
148
Cuando el centro de la hipérbola está en el punto C(h, k), la
ecuación de ella toma la forma
si el eje transverso es paralelo al eje X, y será
cuando el eje transverso sea paralelo al eje Y.
La longitud del eje transverso será 2a y la del eje
conjugado 2b.
Los focos se encuentran a
distancia c del centro, donde
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.
149
Ejemplo
La ecuación
, que podemos darle
la forma,
representa una hipérbola con
centro en el punto (-3, 1) y eje transverso paralelo al eje X de
longitud 2a = 6; luego los vértices de la hipérbola son V1(-6, 1) y
V2(0, 1).
.
El eje conjugado tiene longitud 2b = 8 y extremos B1(-3, -3) y
B2(-3, 5). Los focos están a distancia
c = 9 + 16 = 5 del centro;
por lo tanto ellos son F1(-8, 1) y F2(2, 1).
La excentricidad es
y las directrices están a distancias
€
del centro; luego sus ecuaciones son
y
Las asíntotas son las rectas
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150
El gráfico de la hipérbola
con calculadora:
está realizado
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151
Ejercicio:
Determine el centro, los vértices, los focos, la
excentricidad, y las asíntotas de cada una de las siguientes
hipérbolas. Además grafíquelas.
Ejercicio: Encuentre, en cada caso, la ecuación de la
hipérbola que satisface lo siguiente,
a) Centro C(0, 0), un foco en F(5, 0) y un vértice en V(3, 0).
b) Focos en (2, -4) y (2, 2) y un vértice en (2, -3)
c) Vértices en
y asíntotas
d) Centro C(-2, 3), eje transverso vertical de longitud 6 y foco
en F(-2, 7).
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152
Ejercicio: Se dice que dos hipérbolas son
conjugadas si el eje transverso de cada
hipérbola es el eje conjugado de la otra.
Encuentre la ecuación de la hipérbola que es
conjugada de 9x2 – 4 y2 = 324 .
ambas hipérbolas.
Grafique
Ejercicio:
Se dice que una hipérbola es
rectangular si sus asíntotas son
perpendiculares. Demuestre que la hipérbola
de ecuación x2 – y2 +5x – 3y – 1 = 0
es
rectangular.
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153
Problema:
Algunos cometas, como el Halley, son parte
permanente del sistema solar y describen órbitas elípticas
alrededor del Sol. Otros atraviesan el sistema solar sólo una
vez y describen una trayectoria hiperbólica, con el Sol en uno
de sus focos.
Si la trayectoria de uno de esos
cometas es la rama de la hipérbola
que se muestra en la gráfica, deduzca
la ecuación de ella suponiendo que lo
máximo que se acerca el cometa al Sol
es de 2 x 109 mi y que la trayectoria
que traía antes de acercarse al sistema
solar forma ángulo recto con la
trayectoria con que continúa después
de dejar ese sistema.
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154
Problema:
El sonido de una explosión se oye a
diferentes horas en dos puntos A y B. De esto se deduce
que la explosión ocurrió 1.000 metros más cerca de A que
de B. Si A y B están a 2.600 metros de distancia el uno
del otro, muestre que la ubicación de la explosión está en
una rama particular de una hipérbola y encuentre la
ecuación de ella.
P(x, y)
(-1300, 0)
(1300, 0)
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155
La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si se une cualquier
punto P de la hipérbola con sus focos el ángulo que forman los
radios focales con la tangente en ese punto, son iguales. Esta
propiedad es usada en la construcción de espejos de luz y sonido.
La emisión, de luz o
sonido, desde el foco se
refleja en la dirección de la
recta que une el otro foco
con el punto.
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156
La elipse también tiene la propiedad: Si se une cualquier punto P
de la elipse con sus focos, el ángulo que forman los radios focales
con la tangente en ese punto son iguales. Este hecho también se
utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la
emisión, de luz o sonido, desde uno de los focos se refleja en el otro
foco.
Tangente en P
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157
LENGUAJES SIMBÓLICOS Y
NÚMEROS NATURALES
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158
Lógica de proposiciones
La lógica es la rama del conocimiento que trata los
métodos de razonamiento mediante reglas y técnicas
con el fin de determinar si un argumento dado es
válido.
En este curso, nos ocuparemos de la lógica usada en matemática
que, además de servirnos de base al razonamiento matemático,
contribuirá a mejorar nuestra expresión escrita y oral.
Los
elementos básicos con que trabaja la lógica son las proposiciones.
Una proposición es una oración gramatical (enunciado), con
sentido en un lenguaje, de la cual se puede afirmar que es
verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.
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159
Por ejemplo, son proposiciones,
• Mario Toral es un diputado chileno.
• El IPC del mes recién pasado fue de 0,8.
• 13 es un número primo.
No son proposiciones:
• Me das un dulce.
• La dinámica rotacional de un cuerpo rígido.
• 5x + 3
Se acostumbra denotar a las proposiciones con las letras p, q, r.
Si p es una proposición verdadera, se dice que p tiene el valor de
verdad V. Cuando p es falsa, su valor de verdad es F.
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160
Observe que la frase correspondiente a la
negación de una proposición p, también es una
proposición, que será denotada Np, y ella
será verdadera cuando p sea falsa.
En el lenguaje común y, en particular, en el lenguaje matemático
es habitual encontrar expresiones como las siguientes:
• Los ingenieros estudian matemática y física.
• Galileo Galilei hizo contribuciones a la Física y a la Astronomía.
• Si el objeto es más pesado, entonces caerá más aprisa
• Si x es un número negativo, entonces log(x) no existe.
Estos enunciados están conformados por dos proposiciones
unidas por “y” , “o”, o condicionadas “si ……, entonces ……”
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161
Conectivos y su álgebra
Los conectivos son símbolos que conectan dos proposiciones
dando origen a las llamadas proposiciones compuestas. Los
conectivos más usados se simbolizan:
y los describimos en la siguiente tabla:
Nombre
Símbolo
Notación
Se lee
Conjunción
p y q
Disyunción
p o q
Implicación
p implica q
Si p entonces q
Equivalencia
p equivalente a q
p si y sólo si q
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162
La conjunción
es verdadera sólo cuando ambas
proposiciones p y q lo son. En cambio, basta que una de las
proposiciones p o q sea verdadera para que la disyunción
también lo sea.
En la proposición
, p se llama
antecedente y q se llama consecuente. La
proposición
es falsa sólo cuando el
antecedente p es verdadero y el consecuente
q es falso.
La equivalencia
es verdadera
cuando ambas proposiciones p y q tienen el
mismo valor de verdad.
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163
Ejercicio: Considere las proposiciones
p: 245 es un múltiplo de 7
q: 2 + 3 = 6
5 + 9 es un número par
¿Cuál es el valor de verdad de
?
Ejercicio: Muestre que las proposiciones
y
tienen los mismos valores de verdad.
Concluya que la proposición
es siempre verdadera.
Ejercicio: Si p es una proposición verdadera, q es falsa y
r es falsa, determine el valor de verdad de la proposición
compuesta
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164
Una proposición que es siempre verdadera, sin importar los
valores de verdad de las proposiciones que la forman se llama
tautología. Por ejemplo,
es una tautología.
En cambio, una proposición que es siempre falsa,
independientemente de los valores de verdad de las
proposiciones que la componen se llama contradicción o
absurdo. Por ejemplo,
es un absurdo.
De la gran cantidad de tautologías que existen,
algunas de ellas se distinguen por la incidencia que
tienen en temas posteriores; entre ellas están las
leyes del álgebra proposicional.
Dos proposiciones compuestas P, Q son lógicamente equivalentes
si
es una tautología, en cuyo caso se anota
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165
Se recomienda que las siguientes tautologías sean analizadas
hasta lograr reconocerlas positivamente como elementos propios
del razonamiento y lenguaje cotidianos.
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166
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167
Si denotamos por T a una tautología y por C a una
contradicción, entonces
Ejercicio: Exprese
de
en términos
y/o negación.
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168
Ejercicio:
tabla,
Se define el conectivo & mediante la siguiente
p
q
p&q
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
a) Demuestre que (p&p) Np.
Demuestre que
b) c) Exprese
sólo
en términos de & y negación.
Ejercicio:
Demuestre usando las leyes del “álgebra
proposicional” que,
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169
Lógica de cuantificadores
Un término es una expresión con la que se nombra o designa
un objeto, por ejemplo, 1, A U B, 5x - 9xy. Cuando las letras
se utilizan como términos pero sin que representen objetos
particulares, se denominan variables.
Si x es una variable y p es una proposición
que depende de la variable x, se escribe
cuando exactamente
todos los elementos x del conjunto A
satisfacen la proposición p. El símbolo se
llama cuantificador universal y se lee,
indistintamente, todo o para todo, cada o para
cada, cualquier o para cualquier.
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170
Ejemplos:
1. La proposición “Todos los científicos estiman la edad del
Universo en
años” admite la simbología
2. La proposición
es verdadera.
3. La proposición
es falsa.
Si solamente algunos elementos x del conjunto A satisfacen la
proposición p se escribe
. El símbolo
se llama
cuantificador existencial y se lee existe, hay, algún (a).
Ejemplos:
1. La proposición “Algunas ingenieros crean sus propias
empresas” tiene una expresión simbólica
2. La proposición
es verdadera.
3. La proposición
es falsa.
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171
¿Cómo negar una
proposición que
tiene cuantificador?
La respuesta la entregan la “Leyes de De Morgan”
que enunciamos a continuación.
Proposición
Negación
Ejercicio:
Extraiga de titulares de los
periódicos de la semana dos proposiciones
que contengan cuantificador.
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172
Ejercicio: La proposición “Algunas empresas se dedican a
las importaciones” tiene una expresión simbólica
donde A es el conjunto de empresas y p es la “función
proposicional” o “proposición abierta”, p = dedicarse a las
importaciones. Su negación, en símbolos, es
que se lee “Todas las empresas no se dedican a las
exportaciones”
,
Ejercicio: Escriba la frase que corresponde a la negación de
las siguientes proposiciones:
1. Todos los chilenos están alfabetizados.
2. Algunas universidades están en proceso de acreditación.
3. Ningún Ministro de Estado es ingeniero.
4. Existen números complejos que tienen parte real cero.
5. Todas las ecuaciones de segundo grado tienen
soluciones reales.
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173
Consideraciones finales – Reglas de deducción
Las proposiciones relativas a los objetos o términos de una
teoría matemática deben encadenarse de acuerdo a reglas que
constituyen un proceso de deducción.
Es común que las
proposiciones verdaderas de una teoría reciban el nombre de
teorema.
Si t es una teorema, se entiende por demostración de t a una
sucesión a, b, c, …., t de proposiciones donde cada una de ellas
es un axioma o un teorema ya demostrado o se obtiene de una
proposición que la precede en la sucesión usando alguna regla
de deducción.
Mencionamos a continuación algunas Reglas de deducción:
1. Modus ponens:
2. Reducción al absurdo:
,
donde C es una contradicción.
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174
3. Transitividad de la implicación:
4. Contrarecíproco o contrapositivo:
5. Hipótesis auxiliar:
6. Descomposición en casos:
Los contraejemplos:
Cuando se quiere establecer que
la proposición
es
falsa, basta encontrar un x en A que
cumpla Np; este elemento x
constituye el contraejemplo.
Ejercicio: Demuestre, a través de un contraejemplo, que la
siguiente afirmación es falsa:
movimiento están en equilibrio”.
“Todos los cuerpos en
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175
Elementos de la Teoría de conjuntos
¿Qué es un
conjunto?
Conjunto es un concepto primitivo,
no se define, pero admitiremos que
colección es un sinónimo de conjunto.
Ejemplos:
1. Las vocales
2. Los números reales positivos
3. Las chilenos menores de 18 años
Ejercicio: Muestre tres ejemplos de conjuntos.
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176
Las componentes individuales de un conjunto constituyen los
elementos del conjunto.
¿Cómo anotamos
los conjuntos?
Nombre del
conjunto
Elementos
del conjunto
Conjunto definido por extensión
Conjunto definido por comprensión
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177
Ejercicio: Muestre un ejemplo de un conjunto
a) Que se escriba por extensión pero que sea imposible
expresarlo por comprensión.
b) Que se exprese por comprensión y no se pueda expresar
por extensión.
Es habitual llamar a los conjuntos con las letras mayúsculas A, B,
C, ……. Y a sus elementos con letras minúsculas. Si x es un
elemento del conjunto A se escribe
y si x no pertenece al
conjunto A se anota
VoF
Ejercicio: Si A = { a, b, {c} }, indique si es
verdadero o falso que:
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178
El conjunto vacío
Existen conjuntos que no tienen elementos, por
ejemplo,
Tales conjuntos se dicen vacíos y se denotan
El conjunto universal
El conjunto universal es aquel que contiene a todos los
conjuntos que se consideran en un análisis dado; lo
denotaremos U.
Por ejemplo, el conjunto
de los números reales se puede
considerar como conjunto universal para aquellos problemas
relacionados con conjuntos de números.
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179
Igualdad e inclusión de conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si
tienen los mismos elementos. En símbolos
esto se expresa así:
Por ejemplo, los conjuntos
son iguales.
Si A, B y C son conjuntos de un universo U, entonces:
 A = A
 A = B
B=A
 (A = B
B = C)
A=C
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180
Se dice que el conjunto A es un subconjunto del
conjunto B (o que A esta contenido en B o que B
contiene a A) si y sólo si todos los elementos de A
pertenecen a B. En símbolos esto se expresa así:
Por ejemplo, el conjunto A = { x
IN / x < 9 } está contenido
en el conjunto B = {
/ x es dígito }.
Si A, B y C son conjuntos de un universo U, entonces:
 A
A
 (
 (
 (
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181
¿Cuándo
usamos la
notación
?
Y se dice que A es un subconjunto propio de B.
Ejercicio: Si A = { 2, 3, 6, 8, 9 },
B = { x / x es entero
positivo} y C = { x / x divisible por tres y 0 < x < 12 } , indique
si es verdadero o falso que:
Ejercicio: Escriba todos los subconjuntos de A = { a, b, c }
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182
Diagramas de Venn-Euler
Muchos de los conceptos relacionados con los conjuntos
se pueden representar mediante ciertos diagramas. En
ellos se dibuja un rectángulo que representa al conjunto
universal y dentro de él, los conjuntos como figuras planas
(círculos, elipses, rectángulos).
Estos diagramas se
denominan Diagramas de Venn- Euler.
A
A
B
A
U
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BB
U
183
Ejercicio: Construya conjuntos A, B, C, D que verifiquen
el siguiente diagrama:
B
A
C
D
U
Si el número de elementos de un conjunto se
puede determinar, el conjunto se dice finito.
Si un conjunto finito A posee n elementos, se
dice que A tiene cardinalidad n y, en este caso,
se anota card (A) = n o bien #(A) = n.
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184
Uniones e intersecciones
Con los conjuntos A y B de un universo U se pueden realizar
ciertas operaciones dando origen a nuevos conjuntos, a saber,
La unión de A y B es el conjunto
La intersección de A y B es el conjunto
Por lo tanto,
Ejemplo: Consideremos los conjuntos A y B siguientes
A = { x IN / x es par y x <10 }, B = { x
Entonces A U B = { 0, 1, 2, 4, 6, 8 } y A
}
B={6}
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185
Ejercicio: Forme la unión y la intersección de los
conjuntos A y B siguientes:
La unión de dos conjuntos se
representa en diagramas de
Venn así:
A
A
B
U
B
A
U
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B
U
186
Representaremos
ahora la intersección
de dos conjuntos
A
A
B
U
B
A
U
B
U
A
q
u
í
y los conjuntos se
dicen disjuntos
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187
Entregamos una lista de teoremas, relativos a la
unión e intersección de conjuntos, que es
conveniente analizarlos hasta lograr
comprenderlos.
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188
Además:
Y si A y B son finitos, entonces
Con las uniones e intersecciones podemos resolver los
siguientes problemas
Problema: Una librería puso en liquidación
los best seller y la literatura infantil. Al término
del día se encontró que 48 personas habían
comprado best seller, 27 literatura infantil y 6
ambos productos.
¿Cuántas personas
aprovecharon la oferta?
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189
Problema: Se encuestó a 250 personas sobre
lo que consumían al desayuno y el resultado
fue el siguiente: 30 personas toman té con
leche, 40 toman café con leche, 80 toman leche,
130 toman té o leche y 150 toman café o leche.
a) ¿Cuántas personas toman té puro?
b) ¿Cuántas toman leche pura?
c) De las encuestadas, ¿cuántas personas no
consumían ni té ni leche ni café al desayuno?
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190
Complemento y diferencia
Si A es un conjunto contenido en un universo U,
el complemento de A en U es el conjunto:
El complemento de A se denota también A’ y se puede
establecer que:
A
A’
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191
Si A y B son conjuntos de un universo U, la
diferencia A menos B es el conjunto:
A
A
B
B
B
A
U
U
A-B
A-B
U
A-B
Observe que,
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192
¿Qué conjunto
representa la
región coloreada?
A
B
U
corresponde a
o lo que es lo mismo,
se llama diferencia simétrica de A y B.
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193
Ejercicio: Indique si es verdadero o falso
VoF
que:
Ejercicio: En el universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
considere los conjuntos A = {2, 3, 4, 8, 9, 10}, B = {1, 4, 7, 8} y
C = {3, 4, 5, 7, 10, 12}. Determine las operaciones que hay que
realizar con los conjuntos A, B y C para obtener
a) {5, 6, 11, 12}
b) {3, 4, 7, 10}
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194
Problema: En una encuesta realizada a 180
estudiantes universitarios se encontró que
52 practican fútbol y 42 básquetbol. Además,
18 practican fútbol y básquetbol, 21 fútbol y
natación, 86 fútbol o natación y finalmente,
16 básquetbol y natación. Si 82 estudiantes
no practicaban ninguno de los tres deportes
mencionados, determine,
a) ¿Cuántos estudiantes practican sólo fútbol?
b) ¿Cuántos practican básquetbol pero no
natación?
c) ¿Cuántos encuestados practican los tres
deportes mencionados?
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195
Problema: La automotriz RUN S.A. vendió 40 automóviles la
semana pasada. Todos los que contaban con CD también
tenían cierre centralizado (CC) de puertas. 16 que tenían aire
acondicionado (AA) no tenían CD, 11 con CC no contaban ni
con CD ni AA, 22 no tenían AA, 8 contaban con AA y con CC.
Finalmente 16 automóviles que tenían CC eran sin AA.
Determine cuántos automóviles se vendieron,
a) con alguno de estos equipamientos (CD, CC, AA).
b) con CD y AA.
c) con AA pero sin CC.
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196
Problema: Suponga que hay cuatro grupos de personas que
llamaremos G1, G2, G3 y G4, cada uno con 1000 integrantes.
Dos grupos cualesquiera de ellos tienen 100 personas en
común, tres grupos cualesquiera de ellos tienen 10 personas
en común. Si hay una persona que pertenece a los cuatro
grupos, determine cuántas personas,
a) hay en total.
b) pertenecen a un único grupo, por ejemplo el grupo G1.
c) pertenecen a G1 o G2, ambos inclusive.
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197
Sumatorias: Introducción - Sucesiones
¿Qué es una
sucesión?
La mayoría de las personas hemos escuchado
frases como “una sucesión de acontecimientos”, “una
sucesión de pedidos”, “una sucesión de valores” .
Intuituvamente usamos el término sucesión para
describir una lista de eventos, objetos o números que
vienen ordenadamente uno después de otro.
Por ejemplo,
Lunes, Martes, Miércoles, ………., Domingo
3, 5, 7, 9, ……………….
son ejemplos de sucesiones.
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198
Cada objeto de la lista se llama término de la sucesión.
El primer ejemplo trata de una sucesión finita. En el segundo
caso, no se indica el último término y decimos que estamos
frente a una sucesión infinita.
En esta unidad nos interesa estudiar las sucesiones infinitas de
números las que llamaremos simplemente sucesiones.
Una sucesión en
es un conjunto
ordenado de números reales:
Tercer término
Primer término
Segundo término
formados de acuerdo con una
determinada ley.
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199
Por ejemplo,
es el término general de la sucesión:
3, 5, 7, 9, …….
El décimo término de esta sucesión es
Ejercicio:
Escriba los diez primeros términos de la
sucesión cuyo término general es:
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200
Resolvamos con calculadora
Explicit
anE=
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201
En algunos casos una sucesión admite más de una expresión
para su término general. Por ejemplo,
-1, 1, -1, 1, -1, . . . . .
se describe mediante
y también
incluso
Esta última forma de expresar la sucesión se llama fórmula de
recurrencia puesto que para describir un término se recurre al
anterior.
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202
Ejercicio: Determine si es verdadero o falso que
VoF
a) El 9° término de la sucesión
16
b) El 12° término de la sucesión
es
es
c) Los números 25 y 120 corresponden al tercer y
cuarto término de la sucesión definida por
recurrencia así
Ejercicio: Determine el término general de la sucesión
a) 0, 3, 8, 15, 24, . . . .
b) 28, 32, 36, 40, 44, . . . .
c) 1 - 1/2, 1 - 1/3, 1 - 1/4, 1 – 1/5 , . . . .
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203
Ejercicio:
Con la ayuda de su calculadora
complete la siguiente tabla:
n
10
50
100
500
1000
5000 10000
Cuanto mayor sea el valor asignado a n,
tanto más cerca se está del número
irracional e ( e es aprox. 2, 7182 ) base
de los logaritmos naturales.
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204
Sumatorias
Consideremos la sucesión de números reales
La suma de los n primeros términos de esta sucesión
se denota por
y se lee “sumatoria de los
hasta n”.
, con i variando desde 1
Por ejemplo,
La suma
se escribe
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205
Observaciones:
1. En
la letra i es “muda”, esto significa que
2. Si k < n,
3. Si C es una constante real,
Ejercicio: Determine si es verdadero o falso que:
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206
Propiedades de la sumatoria:
1. es aditiva:
2.
es homogénea:
3. Propiedad telescópica:
Ejercicio: Si
determine el valor de
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207
Algunas sumatorias importantes
1 + 2 + 3 + ……………. + 98 + 99 + 100 = 50 (101)
101
101
101
Fórmula de Gauss:
Ejercicio: Encuentre una expresión para la suma de los
n primeros números impares. Además calcule el valor de
43 + 45 + 47 + 49 + . . . . . . . + 373
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208
Otras sumatorias: Para cualquier número natural n,
1.
2.
3.
Ejercicio: Encuentre una expresión para la suma de los
n primeros términos de la sucesión:
2(10), 4(11), 6(12), 8(13), . . . . . . . .
Con su calculadora, determine los valores de los
términos 800° y 804°
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209
Ejercicio: Calcule el valor de n de modo que se cumpla que:
El promedio de los datos
es
Ejercicio: Calcule el promedio de los valores en los casos
siguientes:
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210
Sumatorias dobles
La sumatoria doble
corresponde a
o, lo que es lo mismo,
Si n = m,
se puede escribir
Ejercicio: Muestre que
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211
El Principio de Inducción Matemática
El Principio (o axioma) de Inducción Matemática se puede
enunciar de varias formas; escogemos una muy simple:
Sea P una proposición (enunciado), que depende de
la variable n, con n número natural.
Si
i) 1 satisface la proposición P y
ii)
k satisface P
(k + 1) satisface P,
entonces todos los números naturales satisfacen P.
La suposición que k satisface P, hecha en ii), se acostumbra
llamar “Hipótesis de inducción”.
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212
El Principio de Inducción Matemática se usa para demostrar
proposiciones que dependen de una variable n, donde n es una
número natural.
¿Cómo realizar
una demostración
por inducción?
Si se quiere establecer que cierto enunciado es verdadero para
todos los números naturales, se procede a verificarlo para el
número 1 y luego, supuesta su validez para un número natural
arbitrario k, se demuestra el enunciado para el número k+1.
En una demostración por inducción, la hipótesis de inducción
juega un papel fundamental.
Mostraremos algunos ejemplos:
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213
Ejemplo 1: Demostremos que
.
El número 1 verifica lo planteado puesto que
.
Supongamos que para el número natural k se tiene la igualdad
y demostremos que
Se tiene,
; es decir,
y k+1 también satisface lo planteado.
En virtud del Principio de Inducción Matemática, la igualdad
enunciada es válida para todos los números naturales.
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214
Ejemplo 2: Demostremos que
es múltiplo de 3 (o es divisible por 3).
Para n = 1, n3+ 2n = 3, que es un múltiplo de 3; luego 1 verifica
el planteamiento.
Supongamos que para el número natural j, j3+2j es un múltiplo
de 3 (Hipótesis de inducción), y demostremos que (j+1)3+2(j+1)
también es un múltiplo de 3.
En efecto,
Es decir, (j+1)3 + 2(j+1) es un múltiplo de 3.
Por lo tanto, el enunciado es válido para todos los números
naturales.
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215
Ejemplo 3: El planteamiento
no lo
verifican todos los números naturales; sin embargo,
podemos demostrar que
Procedemos a usar la Inducción Matemática de la siguiente
manera: Para n = 3, (n+1)2 = 16, que es menor que 2n2 = 18;
luego el número 3 verifica el planteamiento.
Supongamos que para el número natural k,
(Hipótesis de inducción), y demostremos que
¡demuestre que
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!
216
Ejercicio:
Demuestre, usando el Principio de Inducción
Matemática, que:
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217
En una demostración por inducción es importante el
primer paso i) y él no se puede omitir. Por ejemplo,
considere el enunciado
Si suponemos que para n = k se tiene esta igualdad, es posible
demostrar que también ella es válida para n = k+1; efectivamente,
Sin embargo, el enunciado es absolutamente falso, más aún,
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218
Ta m p o c o e s p o s i b l e s a c a r c o n c l u s i o n e s
apresuradas derivadas solamente de verificar cierto
hecho para los primeros números naturales.
Por
ejemplo, considere el enunciado
n2 + n + 41 es número primo,
Use su calculadora para listar
los valores de esta expresión
para n
variando desde 1
hasta 50. Observará que los
primeros 39 valores son
números primos, lo que
podría conducirlo a afirmar
algo que es falso puesto que
para n = 40, n2 + n + 41 =
1681 = 41 x 41.
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219
Progresiones
Se dice que la sucesión de números reales
o forma una progresión aritmética (P. A.) si existe
que
para todo n > 1.
está
tal
El número real d se llama diferencia de la progresión aritmética
puesto que
Observe que en la P. A.
Lo cual sugiere la siguiente expresión para el término general de
la P. A.:
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220
Ejemplo: Los 6 primeros términos de la P. A. cuyo primer
término es -5 y diferencia d = 4 son -5, -1, 3, 7, 11, 15.
El término general de esta P. A. es
Con la expresión del término general podemos calcular
cualquier término de la progresión; por ejemplo, el término
83° de esta P. A. es
O simplemente,
¿Qué lugar ocupa el número 175 en esta progresión?
Ocupa el lugar 46°
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221
Es posible obtener una expresión para la suma de los n primeros
términos de la progresión aritmética
En efecto,
Por lo tanto, hemos demostrado el siguiente teorema
Teorema: La suma de los n primeros términos de la progresión
Aritmética, cuyo primer término es
y con diferencia d, es:
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222
Ejercicio: Calcule la suma de
a) Los primeros 72 números pares positivos.
b) Los 48 primeros múltiplos positivos de 6 .
c) Los primeros 35 términos de la progresión 13, 4, -5, -14 . . .
Ejercicio:
¿Cuántos términos de la progresión -2, -0.5,
1, . . . . . . deben considerarse para que la suma sea 2712.5?
Problema:
Un padre ofrece a su pequeño
hijo ahorrar en su alcancía $10 el 1° de enero,
$11 el 2 de enero, $12 el 3 de enero, y así
sucesivamente hasta llegar al 31 de diciembre.
¿Cuánto dinero reunirá el hijo al completar el
año?
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223
Se dice que la sucesión de números reales
o forma una progresión geométrica (P. G.) si existe
tal que
está
para todo n > 1.
El número real r se llama razón de la progresión geométrica ya
que
Observe que en la P. G.
Esto sugiere la siguiente expresión para el término general de la
P. G.:
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224
Si el tercer término de una P. G. es 3 y el séptimo es
3/16, ¿cuál es el noveno término de esta progresión?
Entonces el noveno término es
Ejercicio:
números
geométrica.
Determine el valor de k de modo que los
2k + 2, 5k - 11, 7k – 13 estén en progresión
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225
Teorema: La suma de los n primeros términos de la progresión
geométrica cuyo primer término es
y razón
es:
Ejercicio:
Demuestre el teorema
anterior. ¿Cuál es el valor de la suma
Sn si la razón es r = 1?
Ejercicio:
En una progresión geométrica la suma de los 10
primeros términos es 244 veces la suma de los 5 primeros
términos. ¿Cuál es la razón de esta progresión?
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226
Con ayuda de la calculadora resuelva
Ejercicio:
En cada caso, determine la razón, el décimo
término y la suma de los diez primeros términos de las
progresiones geométricas,
Entregue los resultados en su expresión exacta
y,
si corresponde, con una aproximación
decimal con 4 cifras decimales.
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227
Problema: Un paciente es víctima de una
infección que esta afectando su motricidad.
Se ha encontrado una colonia bacteriana
con 8 x 107 bacterias. Se ha determinado
que con un tratamiento adecuado se
eliminan 800.000
bacterias por día
devorándose entre sí. ¿Cuántos días habrá
que tratar la infección con el fin de
eliminarla?
Problema: Un cuerpo al caer recorre 4
metros en el primer segundo. Si en cada
segundo la distancia recorrida aumenta en
1,6 veces. ¿De qué altura cae este cuerpo
si demoró 10 segundos en tocar el suelo?
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228
Los términos ubicados entre dos términos de
una progresión aritmética (respectivamente
progresión geométrica)
se llaman medios
aritméticos (respectivamente medios
geométricos).
Es común el siguiente problema:
Problema: Interpolar 5 medios aritméticos entre 43 y 79.
Se trata de completar la siguiente progresión aritmética:
43, ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , 79
Como el primer término es 43 y el séptimo es 79, se tiene que
43 + 6 d = 79, de donde 6d = 36 y d =6 .
Luego, los 5 medios aritméticos buscados son 49, 55, 61, 67 y
73.
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229
De manera análoga resuelva lo siguiente,
Interpolar 3 medios geométricos entre 27/8 y 2/3.
Cuando se interpola un medio aritmético M entre los
números a y b, este M se llama promedio o
media aritmética.
Si a, M, b están en progresión aritmética, b – M = M – a,
aquí, a + b = 2M; luego
de
es la media aritmética.
Cuando se interpola un medio geométrico P entre los números a
y b, este P se llama media geométrica o media proporcional.
Problema: Muestre que
es la media geométrica
entre a y b.
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230
Una progresión armónica es una sucesión de números
cuyos recíprocos forman una progresión aritmética.
Entonces resulta evidente que los problemas que tratan de
progresiones armónicas se pueden resolver considerando la
progresión aritmética correspondiente.
Por ejemplo, 1/3, 3/8, y 3/7 son los tres primeros términos de
una progresión armónica. ¿Cuál es el 15° término?
En este caso, la progresión aritmética correspondiente tiene como
primeros términos a 3, 8/3 y 7/3; su diferencia es -1/3 y el
término 15° de ella es -5/3. Por lo tanto, el 15° término de la
progresión armónica es -3/5.
Problema:
a) Interpolar 4 medios armónicos entre -1/2 y 1/13.
b) ¿Cuál es la media armónica entre los números a y b?
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231
Factoriales y números combinatorios
El producto de los n primeros números naturales
se llama n factorial o factorial de n y se anota n!
Por ejemplo,
Observe que
, igualdad que para n = 1 nos da
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232
Para
se definen los números
(se lee “n sobre k”) llamados números combinatorios.
El número n sobre k indica, justamente, el número
de combinaciones que se pueden realizar con n
elementos tomados de a k.
Por ejemplo, si
queremos saber cuántos grupos de 5 alumnos se
pueden formar en un curso de 20 alumnos,
calculamos:
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233
Comúnmente, las calculadoras científicas traen a la
vista el botón n!. En la Class Pad 300, usted
encontrará n!, y también el cálculo directo de “n
sobre r”, al escoger Principal en el Menú, abrir el
teclado y luego tocar CALC.
Escribir directamente n!
To c a r y e s c r i b i r
(valor de n, valor de r)
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234
Ejercicio: Simplifique
Se puede demostrar que:
Los números combinatorios también son llamados
coeficientes binomiales; la razón quedará establecida al
observar los desarrollos de las potencias del binomio
.
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235
Si en cada línea rescatamos los coeficientes, podemos
ordenar estos de la siguiente manera:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
3
6
Triángulo de Pascal
1
1
4
1
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236
Los valores que aparecen en el Triángulo de Pascal,
corresponden a los números combinatorios:
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237
En consecuencia, no debería sorprendernos lo que nos asegura el
Teorema siguiente respecto al desarrollo de
:
• Tiene n+1 sumandos.
• El primer término es an y el último es bn.
• La suma de los exponentes de a y de b en cada término es n.
El Teorema del Binomio de Newton
Para n número natural se tiene que:
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238
Además, el término
ocupa el lugar (k+1)-ésimo en este desarrollo.
Ejemplo: El 8° término en el desarrollo de
Como el desarrollo de
es
tiene n+1 términos, cuando n
es un número par, el término central es
.
Cuando n es impar, los términos centrales son
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y
.
239
Ejercicio: Determine el término central del desarrollo de
Ejercicio: Determine el término independiente de x y el
término que contiene a
en el desarrollo de
Ejercicio: Obtenga el coeficiente de
en el desarrollo de
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240
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241
NÚMEROS COMPLEJOS Y POLINOMIOS
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242
Números complejos
La ecuación cuadrática
no tiene solución en el
conjunto
de los números reales. Las soluciones de esta
ecuación se encuentran en el conjunto de los números complejos
que presentamos a continuación.
El término
se llama unidad imaginaria, se le representa con
el símbolo i y tiene la propiedad
.
Un número complejo es una expresión de la forma
a + bi
donde a y b son números reales e i es la
unidad imaginaria.
El conjunto de todos los números complejos lo
denotaremos por C.
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243
Observe que el número complejo i es una
solución de la ecuación
; la otra es -i.
Más aún, todas las ecuaciones cuadráticas
tienen sus dos soluciones en C.
Si z = a+bi C, el número real a se llama parte real de z y, el
número real b, es la parte imaginaria del número complejo z;
anotaremos Re(z) = a y Im(z) = b. En consecuencia,
z = Re(z) + i Im(z)
Por ejemplo, los números complejos
z = 7–2i, w = 4i, u = 5
son tales que Re(z) = 7, Im(z) = -2,
Re(w) = 0, Im(w) = 4,
Re(u) = 5 y Im(u) = 0.
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244
Se han usado las palabras “imaginaria”
e
“imaginario” para referirse a ciertos números
complejos, pero no en el sentido literal de ellas. Es
momento de comentar que todos los números son
creaciones (“imaginados”) de la mente humana.
Los números complejos se justifican no sólo por su utilidad en
matemática, a saber, en el estudio de las ecuaciones
polinomiales en el álgebra, sino también en otras ciencias, como
la física, en ingeniería eléctrica y aeroespacial.
La calculadora Class Pad 300
tiene la unidad imaginaria en
su teclado:
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245
Configuremos la calculadora en Formato complejo.
En el Menú de su calculadora elija el ícono
Principal, escoja Acción, Complejo y encontrará
los comandos re e im:
Parte real: re(a + bi)
Parte imaginaria: im(a + bi)
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246
Dos números complejos son iguales si sus partes
reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.
a + bi = c + di
(a = c
b = d)
Sea z = a + bi
C.
El conjugado de z es el número complejo
El módulo de z es el número real
Por ejemplo, si z = 9 – 2i,
= 9 + 2i
.
.
y
Ejercicio:
Use su calculadora para
determinar la parte real, la parte
imaginaria, el conjugado y el módulo de
los números complejos z = 7 – 5i, z = -2
y z = 3i.
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247
Operaciones en el conjunto C
Los números complejos se suman (restan) y se multiplican
(dividen)
del mismo modo que se suman y multiplican las
expresiones algebraicas a +bx con c + dx, sólo hay que tener
presente que
.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
por reducción de términos semejantes
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bd i2
= ac + (ad + bc)i – bd
= (ac – bd) + (ad + bc)i
agrupando términos semejantes y
recordando que
.
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248
Sean z = a+bi, w = c+di dos elementos de C.
La suma de z y w es el número complejo
z + w = (a+c) + (b+d)i
La multiplicación de z y w es el número complejo
La suma de números complejos es asociativa y conmutativa,
posee elemento neutro (cero) 0 = 0 + 0i y cada elemento
z = a + bi posee inverso aditivo -z = -a – bi.
La multiplicación de números complejos es asociativa y
conmutativa, posee elemento neutro (unidad) 1 = 1 + 0i y cada
elemento, no cero, z = a + bi, posee inverso multiplicativo
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249
Además se verifica la ley distributiva, es decir,
C, z· (u + v) = zu + zv.
En consecuencia, C es un cuerpo. A diferencia de los números
reales, el cuerpo de los números complejos no es ordenado.
Ejercicio:
Realice las operaciones indicadas; para ello
tenga presente que
(2 + 7i) – 3i + (-4 + 12i),
3(3 + 2i) - (5 – i)2,
(6 + 5i)(6 – 5i) + 2i2
(5 + i) : (4 - 3i).
y
Problema: Determine las primeras nueve
potencias enteras positivas de i. ¿Descubre
algún patrón de comportamiento? Calcule
i23, i57 e (-i)94.
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250
Existe una manera bastante cómoda de realizar la división de
dos números complejos; la mostraremos al dividir 5 - 2i con
4 + 3i.
En ciertos problemas ni siquiera es necesario realizar una
división; por ejemplo,
Problema: Si z es el número complejo
, muestre
que
Tenemos que
Entonces
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251
Se puede demostrar que si z y u son elementos de C,
Por ejemplo, demostremos 6)
Sea z = a + bi un elementos de C, entonces
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252
Problema: Determinemos los números complejos z
que verifican
Sea z = a + bi un elementos de C, entonces
Por otra parte,
Reemplazando tenemos
y la solución es
Ejercicio: Demuestre las siguientes afirmaciones,
C
C
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253
Representación gráfica de C
Un número complejo queda determinado por dos números
reales: su parte real y su parte imaginaria. Entonces podemos
definir una correspondencia biunívoca entre C y
C
a+bi
(a, b)
Y además, esto nos sugiere representar a C en
un sistema rectangular XY, donde las partes
reales se indicarán en el eje X, que pasará a
llamarse eje real, y en el eje Y estarán las
partes imaginarias por lo que será llamado eje
imaginario.
El plano determinado por estos
dos ejes se conoce como plano complejo.
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254
El plano complejo:
Eje imaginario
b
· z=a+bi
a
Eje real
La expresión z = (a, b) para el número complejo z = a + bi se
llama notación cartesiana de z. Recuerde que en este par
ordenado, la primera componente es siempre la parte real de z y,
la segunda componente, es la parte imaginaria de z.
Ejercicio:
Escriba con notación cartesiana y normal, y
luego grafique, en un mismo plano los números z, 2z, -z y
el conjugado de z, si
a) z = i
b) z = (-5, 0)
c) 2 – 3i
d) z = (-6,
2)
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255
Subconjuntos del plano complejo:
Grafiquemos el subconjunto de C, S = { z /
< 3 }.
S = { a + bi /
} = <{ 9(a,
<3
b) /
}
En la desigualdad
reconocemos el complemento del
círculo abierto centrado en el origen con radio 1.
En
<9
distinguimos el círculo abierto con centro en el origen de radio 3.
Realizando la intersección podemos concluir que la
representación gráfica de S es:
1
3
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256
Ejercicio:
Grafique, en el plano complejo, los siguientes
subconjuntos de C:
Existen otras maneras de representar a los números complejos,
a saber, la forma polar o forma trigonométrica que estudiaremos
a continuación.
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257
Forma polar o trigonométrica de
los números complejos
Sea z = a + bi = (a, b) un número complejo y |z| su módulo, que
corresponde a la distancia entre z y el origen. Si
es un ángulo
en posición normal como se muestra en la figura, entonces
b
|z|
·z
a
La expresión
denotada
, que también será
, se llama forma polar o trigonométrica
del número complejo z.
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258
El ángulo
se llama amplitud o
argumento de z.
Forma polar de un
número complejo
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259
Ejemplos:
1) Sea z = 1 + i; entonces
Luego,
es la forma polar de z.
2) Sea u = -2 – 2 i; observe que z está en el tercer cuadrante y
entonces su argumento es un ángulo entre 180º y 270º. En
este caso,
es la forma polar de z.
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260
La expresión en forma polar o trigonométrica de un número
complejo z no es única. En efecto, si
entonces
,
, con k número
entero, son otras representaciones de z.
Ejercicio:
Exprese en forma polar o trigonométrica, con
argumento entre 0º
complejos:
y
360º, los siguientes números
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261
La calculadora Class Pad 300
tiene comandos que nos
entregan el argumento, la forma polar y la forma
trigonométrica de un número complejo.
Escoja Principal en el Menú.
Toque Acción,
Complejo y encontrará los comandos.
Argumento: arg(
F. polar: compToPol(
F. trigon: compToTrig(
)
)
)
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262
Las operaciones multiplicación y división de números complejos
tienen su expresión en forma polar o trigonométrica:
Si
y
• equivalente, si
, entonces
y
,
entonces
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263
Potencias de números complejos
Sea
polar; entonces
un número complejo, expresado en su forma
Usando un razonamiento inductivo se demuestra el siguiente
teorema:
Teorema (Fórmula de De Moivre)
Sea
un número complejo y
; entonces
En particular, si z es tal que |z| = 1,
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264
La forma trigonométrica de la Fórmula de De Moivre es:
toda vez que z es el número
Ejercicio:
.
Use inducción matemática para
demostrar la Fórmula de De Moivre en su
forma trigonométrica.
Ejemplo: Consideremos
Como |z| = 2 y
y calculemos z6.
, entonces
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265
Ejercicio: Calcule z7 y z9 si
Problema: Determine los valores de los números p y q de
modo que el número complejo z = 1 + i sea una raíz de la
ecuación z5 + pz3 + q = 0.
Compruebe su respuesta con la calculadora.
El Teorema de De Moivre es válido para cualquier exponente n
real o complejo. Sin embargo, su demostración no es fácil para
exponente
.
Ejercicio: Calcule
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266
Raíces de números complejos
Examinaremos el caso zp con p exponente racional. Para ello
basta estudiar
, es decir, raíces de números
complejos.
Teorema: Todo número complejo
raíces enésimas diferentes.
entonces
Si
tiene exactamente n
,
es una raíz enésima de z. Las n raíces enésimas de z están
dadas por
donde
es la raíz enésima principal de z y k = 0,1,2,..., n -1.
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267
Gráficamente, estas raíces son los vértices de un polígono
regular de n lados inscrito en una circunferencia con centro en el
origen (0, 0) y de radio
(raíz enésima principal de |z|).
Ejemplo: Calculemos las 4 raíces cuartas de
La expresión trigonométrica del número z es
z = 16(cos 120º + i sen 120º)
Las 4 raíces cuartas de z están dadas por
con k = 0, 1, 2 y 3. Reemplazando los valores de k obtenemos:
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268
La representación gráfica de estas raíces es:
Se aprecia que las cuatro
raíces son los vértices de un
cuadrado inscrito en una
circunferencia centrada en el
origen con radio 2.
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269
Las raíces quintas del número
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270
Las raíces quintas del número
Visión geométrica
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271
Ejercicio: Calcule las 6 raíces sextas
del número complejo
.
Ejercicio: Calcule las 5 raíces quintas de la unidad
z = 1, es decir, las 5 raíces que la ecuación x5 = 1 tiene
en el cuerpo C de los números complejos.
Ejercicio: Calcule las raíces cúbicas
del número complejo
.
Ejercicio: Si n es un número natural, demuestre que
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272
Polinomios
Un polinomio sobre
en la indeterminada
x es una expresión algebraica de la forma
donde
son números
reales llamados coeficientes del polinomio y
Si
entonces se dice que n es
el grado del polinomio. Los polinomios de grado 0 se
llaman polinomios constantes, los de grado 1 son los
polinomios lineales y los polinomios de grado 2 son
llamados cuadráticos.
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273
Por ejemplo,
es un polinomio cuadrático y
5x +1 es un polinomio lineal.
El conjunto de todos los polinomios en x con coeficientes
reales lo denotaremos por
¿Qué operaciones se
pueden realizar con
los polinomios?
Los polinomios se suman (restan)
y se multiplican (dividen).
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274
son dos elementos de
q(x) es el polinomio:
, entonces la suma de p(x) y
Y ¿cuál es el grado de p(x) + q(x)?
El grado de p(x) + q(x) es menor o
igual al máximo entre n y m.
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275
Ejemplo: Sean p(x), q(x) y r(x) los polinomios
entonces
Ejercicio: Demuestre que la suma en el
conjunto R[x] es asociativa y conmutativa.
Compruebe que el polinomio cero,
es el elemento neutro y que, cada polinomio
posee inverso aditivo
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276
Los polinomios
también se multiplican
La multiplicación de los polinomios
es
donde
se forma sumando todos los productos
tales
que i + j = t. El grado de p(x) q(x) es la suma de los grados de
p(x) y de q(x).
Ejercicio:
Aplique la definición anterior para multiplicar
los polinomios
¿Es conmutativa la multiplicación de polinomios?
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277
La multiplicación de polinomios es asociativa, conmutativa y
distributiva con la suma; además posee elemento unidad.
¿Los polinomios tienen las
mismas propiedades
algebraicas que los números
reales?
No,
no es un cuerpo; los únicos elementos
que poseen inverso multiplicativo son los
polinomios constantes no nulos.
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278
El algoritmo de la división
Si p(x) y s(x)
, s(x) 0, entonces existen
únicos polinomios q(x) y r(x) en
tales que
p(x) = s(x) q(x) + r(x)
donde r(x) = 0, o bien, el grado de r(x) es menor
que el grado de s(x).
El polinomio q(x) se llama cuociente y r(x) es el resto o
residuo.
Ejercicio: Determine el cuociente y el resto realizando la
división algebraica entre los polinomios p(x) y q(x)
siguientes:
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279
División sintética
Si se quiere dividir un polinomio p(x) por un binomio, la operación
puede resultar larga al utilizar la división algebraica ordinaria.
Existe un método para realizar, de manera más rápida, esta
división conocido como división sintética. Mostraremos este
método realizando la división de
por s(x) = x – 3.
coeficientes de p(x)
2
-7
6
5
-3
-3
6
-4
9
2
-1
2
3
5
3
coeficientes de q(x)
resto
r(x) =5
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280
Ejercicio:
Obtenga el cuociente y el resto realizando
división sintética entre los polinomios p(x) y q(x) dados.
Consideremos el polinomio
Para cada número real a, podemos evaluar el polinomio p(x) en
x = a; por ejemplo, si
, p(0) = -2 y p(3) = 34.
Un número real a se llama cero o raíz
del polinomio p(x) si p(a) = 0
Por ejemplo, a = 1 es una raíz del polinomio
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281
El siguiente teorema es de mucha utilidad puesto que nos
permite conocer el resto de ciertas divisiones sin necesidad
de realizar la división.
Teorema del Resto:
Si se divide el polinomio p(x) por (x – a),
con a número real, el resto es igual a p(a).
Por ejemplo, el resto que se obtiene al dividir el polinomio
por x – 2 es p(2) = -6.
Ejercicio:
Obtenga el resto de la división entre los
polinomios p(x) y q(x) dados, usando el Teorema precedente.
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282
Ahora que conocemos el Teorema del Resto, con la ayuda de la
calculadora, podemos determinar rápidamente el resto que se
produce al realizar ciertas divisiones. Repitamos el ejemplo
anterior con la calculadora:
En el Menú escogemos Principal e ingresamos el
polinomio
. Activamos mth, OPC,
tocamos | (tal que) y escribimos x = 2; Ejecutamos y obtenemos
la evaluación p(2) = -6.
Resto -6
| x=2
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283
Ejercicio: Determine el valor de k de modo que el resto de
la división entre los polinomios
y q(x) = x +1 sea cero. Hágalo con lápiz y papel y después
con su calculadora.
El teorema del resto nos permite establecer otro importante
resultado matemático de gran utilidad, el teorema del factor.
Teorema del factor:
El número a es una raíz del polinomio p(x)
si y sólo si (x – a) es un factor de p(x).
En consecuencia, el binomio (x – a) es un factor del polinomio
p(x) si y sólo si p(a) = 0.
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284
Ejercicio: Determine si el binomio dado
es un factor del polinomio p(x).
Ejercicio: Demuestre que el binomio x – 3 es un factor
del polinomio
y encuentre los factores restantes.
Ejercicio: Muestre que x = 2 y x = -4 son raíces del
polinomio
y encuentre las raíces restantes.
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285
Teoría de factorización y ecuaciones polinomiales
Un problema importante del álgebra y que
constituye un objetivo fundamental de dicha materia
es determinar las raíces de la ecuación p(x) = 0,
donde p(x) es un polinomio de
.
En lo que sigue, p(x) será un polinomio de
de grado n,
Y nos referiremos indistintamente a las raíces de p(x) o a
las raíces de la ecuación p(x) = 0.
Para n = 1, la ecuación p(x) = 0 toma la forma ax + b = 0,
ecuación lineal, cuya solución única es
.
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286
Para n = 2, la ecuación p(x) = 0 corresponde a la ecuación
cuadrática
y sus soluciones se obtienen
mediante
.
La naturaleza de estas soluciones dependen del
discriminante
.
• Son reales y distintas cuando D > 0.
• Son complejas conjugadas si D < 0.
• Cuando D = 0, las dos soluciones son reales
iguales.
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287
No siempre es posible expresar las soluciones de p(x) = 0
mediante una fórmula algebraica que involucre a los
coeficientes del polinomio p(x).
Debemos observar que esto es factible para la
ecuación p(x) = 0, con n = 3 y n = 4, pero
estas son poco prácticas para las aplicaciones y
además laboriosas de obtener. Sin embargo, se
ha demostrado que esto no es posible para n > 4.
Entonces es natural preguntarse ¿existe algún modo de
resolver ciertas ecuaciones p(x) = 0 de grado mayor que 2?
Buscaremos responder a esta interrogante.
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288
El teorema fundamental del álgebra
El hecho que una ecuación lineal tenga una raíz real y que
una ecuación cuadrática tenga dos raíces reales o complejas son
casos particulares de un teorema general que señala
exactamente cuantos ceros existen para un polinomio de
determinado grado.
Teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio p(x) de
grado
tiene por lo menos una raíz, ya sea real o compleja.
Usando un razonamiento inductivo se puede demostrar el
siguiente teorema:
Teorema: Todo polinomio p(x) de grado n, con
, tiene exactamente n raíces en
el conjunto C de los números complejos.
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289
Las raíces de p(x), o de la ecuación p(x) = 0, a las que se
refiere el teorema anterior pueden ser reales o complejas y
además pueden estar repetidas.
Si en la factorización de p(x) aparece el factor (x – ) repetido k
veces, se dice que
es una raíz de multiplicidad k y
se
cuenta como k raíces.
Ejercicio: Determine una ecuación polinomial
que tenga como raíces a -2 de multiplicidad 2,
a 1-2i y a 1+2i.
Ejercicio: Sabiendo que 2 es una raíz de multiplicidad 2 de
, factorice el polinomio
p(x). Verifique esta factorización con su calculadora.
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290
Ejercicio: Muestre que a = 4 y a = - 1 son
raíces de
y
encuentre las raíces restantes. Grafique en su
calculadora y = p(x), en un rectángulo de
visualización apropiado, con el fin de
comprobar lo obtenido.
Ejercicio:
Determine los valores que deben tener los
números reales a y b de modo que x = 2 y x = - 3 sean
raíces de
Ejercicio: Determine el número que debe sumarse al
polinomio
para que sea divisible por x + 4.
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291
Continuamos buscando información
acerca de las raíces de p(x) = 0. El
siguiente teorema se refiere a las
raíces complejas.
Teorema: Si el número complejo a + bi es raíz de p(x) = 0,
entonces su conjugado a – bi
ecuación.
también es raíz de esta
El teorema anterior asegura que las raíces complejas de p(x) = 0
se presentan de a pares. En consecuencia tenemos lo siguiente:
Teorema: Si el grado de p(x) es un número impar, entonces
p(x) = 0 tiene por lo menos una raíz real.
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292
Combinando los dos
últimos teoremas tenemos
que:
Todo polinomio p(x)
puede expresarse como el
producto de factores lineales y cuadráticos con
coeficientes reales, correspondiendo cada factor lineal
a una raíz real y cada factor cuadrático a un par de
raíces complejas conjugadas.
Ejercicio: Suponga que a = 1 + 2i es raíz del polinomio
. Determine las raíces
restantes de p(x) y exprese este polinomio como un
producto de factores lineales y/o cuadráticos.
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293
¿Podemos aislar los
ceros reales de un
polinomio?
Si p(x)
es tal que p(a) y p(b) tienen
signos distintos, entonces p(x) tiene por lo
menos una raíz real entre a y b.
Por ejemplo, el polinomio
tiene al menos un cero real en el intervalo [ 1, 2 ].
Ejercicio: Muestre que el polinomio
real en el intervalo
calculadora.
tiene al menos una raíz
[ 2, 3 ]; verifique esto con su
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294
Localización de los ceros racionales de ciertos polinomios
S
i
es un polinomio con coeficientes enteros y si
el número racional
, con a y b primos
entre si, es una raíz de p(x), entonces a es
un factor del término constante
y b es un
factor del coeficiente principal
.
Este teorema no asegura que un polinomio con coeficientes
enteros tiene ceros racionales; simplemente establece que si
esto sucede, entonces estos deben satisfacer ciertas
condiciones.
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295
¿Cómo utilizamos el
teorema de los
ceros racionales?
Consideremos el polinomio
Los posibles ceros racionales de p(x) son
, donde a
es un factor de 4 y b es un factor de 2. En consecuencia,
los posibles ceros de p(x) son:
Evaluando p(x) en estos puntos se concluye que – 2, y
son los ceros racionales de p(x).
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296
Ejercicio: Determine las raíces racionales de la
ecuación
Ejercicio:
Encuentre las cuatro raíces de la
ecuación
La Regla de los signos de Descartes
El siguiente teorema, conocido como Regla de los signos de
Descartes, nos ayuda a determinar el número posible de raíces
reales de un polinomio p(x)
.
Si
polinomio de
escrito en la forma de potencias descendentes
de x y omitiendo las potencias x0, excepto el término constante,
entonces diremos que ocurre una variación en el signo siempre
que coeficientes adyacentes tengan signos opuestos.
Por
ejemplo,
tiene 3 variaciones en el signo.
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297
Teorema: Sea p(x) un polinomio con coeficientes
reales.
a) El número de ceros reales positivos de p(x) es
igual al número de variaciones en el signo de p(x)
o es menor, en un entero par, que éste.
b) El número de ceros reales negativos de p(x) es
igual al número de variaciones en el signo de p(-x)
o es menor, en un entero par, que éste.
Por ejemplo,
tiene 2 variaciones en el signo;
usando el teorema precedente, podemos afirmar que p(x) tiene
dos o ninguna raíz real positiva. Como
tiene
2 variaciones en el signo, p(x) tiene dos o ninguna raíz negativa.
Por lo tanto, p(x) tiene o 4 o 2 o ninguna raíz real.
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298
Ejercicio: Use la Regla de los signos de Descartes para
determinar el número de ceros positivos y negativos que
puede tener cada uno de los siguientes polinomios.
Verifique la respuesta, utilizando su
calculadora para graficar y = p(x) e y = q(x).
Problema: En cada caso, proporcione un ejemplo de,
• Un polinomio de grado 4 que no tenga ceros reales.
• Un polinomio de grado 3 que tenga tres ceros reales, con
sólo uno de ellos racional.
• Un polinomio de grado 4 que tenga 4 ceros reales,
ninguno de ellos racional.
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299
¿Se pueden acotar
las raíces de
p(x)=0?
Sí, y para ello es de utilidad el siguiente teorema:
Teorema: Sea p(x) un polinomio con coeficientes reales.
• Si al dividir p(x) por (x - a), usando división sintética, la fila
de los coeficientes del cuociente y del resto tiene valores que
son alternadamente no positivos y no negativos, entonces a es
una cota inferior para las raíces reales de p(x) = 0.
• Si al dividir p(x) por (x - b), usando división sintética, la fila
de los coeficientes del cuociente y del resto no tiene ningún
valor negativo, entonces b es una cota superior para las raíces
reales de p(x) = 0.
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300
Por ejemplo, a = -3 y b = 5 son, respectivamente, cotas inferior
y superior para las raíces de
En
efecto, realizamos la división sintética de p(x) por (x+3) y (x-5).
1
-2
-9
2
8
1
-3
-5
15
6
-18
-16
48
56
1
-2
-9
2
8
1
5
3
15
6
30
32
160
168
-3
5
Fila con signos alternados;
luego -3 es cota inferior
para las raíces de p(x) = 0.
Fila con valores positivos;
luego 5 es cota superior
para las raíces de p(x) = 0.
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301
Bibliografía
Lehmann Ch., Álgebra, Editorial Limusa, 1990
Lehmann Ch., Geometría Analítica, Editorial Limusa, 1990
Stewart, J., Precálculo, Internacional Thomson editores, 2001
Zill D. & Dewar J., Älgebra y Trigonometría, Mc Graw Hill, 1999
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