theroems of l Sine and Cosine- ETA

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Escuela Técnica Robinsoniana P .S. S. S. “Venezuela”
Barinas Edo Barinas
Resumen del contenidos 5.(*3.2) sobre el Teorema del coseno y el Teorema del
seno
Observa los siguientes triángulos:
Ahora veamos dos teoremas importantes:
Teorema del Coseno:
“ En todo triangulo de ángulos α , β y γ y lados opuestos correspondientes a, b y c ,un
lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble
producto de ellos dos por el coseno del ángulo comprendido entre ellos
a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c.cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos γ
Nos preguntamos ¿Cuando podemos usar la ley del coseno o teorema del coseno para
resolver triángulos?
Existen dos criterios básicos:
1º Criterio L.A.L: Lado-Angulo-Lado (Cuando se conocen dos lados y el ángulo
comprendido entre estos entonces se puede calcular el lado frente a dicho ángulo)
2º Criterio L.L.L. Lado-Lado-Lado (Cuando se conocen las longitudes de sus tres
lados entonces se pueden calcular sus tres ángulos respectivamente)
Teorema del Seno:
“ En todo triángulo de ángulos α , β y γ y lados opuestos correspondientes
donde cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto y viceversa.
sin α sin β sin γ
a
b
c
O su recíproco :
=
=
=
=
sin α sin β sin γ
a
b
c
a, b y c ,
1
Y por otro lado, ¿Cuando podemos usar la ley del seno o teorema del seno para
resolver triángulos?
Existen dos criterios básicos:
1º Criterio A.LA Angulo-Lado –Angulo (Cuando se conoce un lado y sus dos ángulos
básales entonces se puede calcular uno de los dos lados que quieras)
2º Criterio L.L.A :Lado-Lado Angulo (Cuando se conocen dos lados y un ángulo
correspondiente, puedes calcular uno de los dos ángulos que desees)
Veamos en resumen lo que queremos decir en la siguiente tabla:
Fórmula
( Criterio)
L.A.L
(conoces un lado
y el ángulo entre
ellos dos )
A.LA
(Conoces dos
ángulos
adyacentes al
lado conocido )
L.L.L
(Conoces los tres
lados )
L.L.A ( conoces
dos lados
consecutivos y el
ángulo opuesto a
uno de ellos)
a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c.cos β
Tu puedes calcular
Lado
c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos γ
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
Lado
b2 + c2 − a 2
2.b.c
2
a + c2 − b2
cos β =
2.a.c
a2 + b2 − c 2
cos γ =
2.a.b
sin α sin β sin γ
=
=
a
b
c
Angulo
cos α =
Angulo *
2
Ejercicios propuestos
1) Calcular el lado indicado en cada triángulo :
2) Calcular el ángulo indicado en cada triángulo, conocidos sus tres lados:
3) Calcula el área y el perímetro de cada triangulo en los ejercicios anteriores
utilizado la fórmula de Heron :
A = s.( s − a ).( s − b).( s − c) A es el área del triangulo conocidos sus tres lados
s=
a+b+c
2
donde “s” es el semi-perímetro.
3
4) Calcula el lado indicado en cada triángulo:
5) En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo,
mientras que α , β y γ son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados,
respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso:
a)
a = 10 cm.
b= 12 cm.
γ = 35º
b)
a = 7 m.
b = 6 m.
c = 4 m.
c)
c = 10 cm.
α = 40º
β = 70º
d)
a = 12 cm.
b = 16 cm
β = 43º
e)
γ = 53º
f)
α = 48º
β = 75º
β = 68º
c = 30,5 cm.
c = 47,2 mm.
Integremos contenido, viendo algunas aplicaciones:
En ciencia y en ingeniería, para determinar complementariamente entidades físicas
tales como la velocidad, la aceleración y fuerzas es necesario conocer no solamente la
magnitud sino también su dirección
4
Si conocen las fuerzas de acción F1 y F2 sobre
una partícula y el ángulo θ que se forma
entre ellas a través de la ley del coseno ,
obtenemos la fuerza resultante:
2 2 2
FR = F1 + F2 − 2. F1. F2 .cos (180 − θ )
FR =
2 2
F1 + F2 − 2. F1 . F2 .cos (180 − θ )
Si conocen las velocidades de acción
V1 y V2 sobre una partícula y el ángulo θ que
se forma entre ellas , obtenemos la velocidad
real :
2 2 2
VR = V1 + V2 − 2. V1 . V2 .cos (180 − θ )
2 2
VR = V1 + V2 − 2. V1 . V2 .cos (180 − θ )
Si el ángulo θ = 90º el teorema del coseno
se transforma en conocido teorema de
Pitágoras
Si conocen los desplazamientos de un móvil
o partícula X 1 y X 2 y el ángulo θ que se
forma entre ellas , obtenemos el
desplazamiento real :
2 2 2
X R = X 1 + X 2 − 2. X 1 . X 2 .cos (180 − θ )
XR =
2 2
X 1 + X 2 − 2. X 1 . X 2 .cos (180 − θ )
6) Calcular la fuerza, la velocidad y el desplazamiento real o resultante en cada caso :
a)
F1 = 10 New.
F2= 12 New.
θ = 35º
b)
F1 = 7New.
F2= 11 New.
θ = 135º
c)
V1= 35m/s
V2= 26m/s
θ =60º
d)
V1= 70 m/s
V2= 82m/s
θ =90º
e)
X1= 60m
X2= 54m
θ =80º
θ =120º
7) Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un
ángulo de 35º. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qué distancia se
encuentran separados después de dos horas de viaje.
f)
X1= 60m
X2= 54m
5
8) Dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo
de 128,70º y siguiendo trayectorias rectas. Cuando los aviones han recorrido 230Km
¿A que distancia se encuentran?
9) En geometría plana. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un
ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal
menor
10) Determina las longitudes de los lados de un paralelogramo si una de sus diagonales
mide 72,83 pulgadas y forma con los con los lados ángulos de 27º 52´ y 16º 41´ ,
respectivamente.
11) En una circunferencia de radio 96,54 pulgadas, ¿Cuánto mide un Angulo del
centro que subtiende una cuerda de 40,3 pulgadas?
12) Uno de los lados iguales de un triangulo isósceles mide 6,73 pulgadas y uno de los
ángulos básales mide 27º 10´ . Determine la base y la altura.
13) Determina el área de un paralelogramo cuyos lados miden 33,7 y 15,2 pulgadas si
el ángulo entre ambos mide 67º 40´.
14) Tres circunferencias con radio 35cm, 50cm y 65 cm respectivamente son
tangentes cada una ala otra. Hallar el ángulo de el triangulo formado por los vértices
de el centro de cada circunferencia
15) En cualquier polígono regular de “n” lados inscrito en una circunferencia de radio
r:
Se tiene que :
360 2π
El ángulo central es θ =
=
n
n
El ángulo entre dos de sus lados es ϕ = 180º −θ y el
ángulo basal interno al triángulo AOB es α =
ϕ
2
Por tanto aplicando el teorema del coseno
Encontramos que la medida de sus lados l vienen
dado por : l = r. 2.(1 − cos θ )
Y su apotema
A)Calcular el área de un pentágono
ϕ 
inscrito en una circunferencia de
a = r.sen α = r.sen  
radio: 3 cm ,
2
B) Calcular el área de un hexágono
El perímetro P = n.l (donde “n” es el numero de
regular inscrito en una
lados y l la longitud de cada lado del polígono)
circunferencia de radio 4 cm
C ) Calcular el área de un
El área del polígono regular inscrito se encuentra :
Octágono regular inscrito en una
P.a n.l.a n. r. 2.(1 − cos θ ) ( r.senα )
circunferencia de radio 4 cm
A=
=
=
2
2
2
(
)
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Barinas Edo Barinas
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Guía didáctica Nro 01- Objetivo 1-2009-2010
1) Dadas las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas siguientes determinar las raíces
a) x 2 − 2 x + 4 = 0
b) x 2 − 2 x + 6 = 0
−b ± b 2 − 4.a.c
2.a
2
c) x − 2 x + 7 = 0
d) x 2 − 2 x − 6 = 0
e) 2 x 2 + 8 x + 9 = 0
f) x 2 + 9 = 0
g) x 2 + 7 = 0
h) 5 x 2 + 2 = 2 x
i) 0 = 3 x 2 − 2 x + 2
j) a) 7 x 2 − 2 x + 2 = 0
k) 2 x 2 + x + 4 = 0
l) 3 x 2 − 14 x − 5 = 0
o soluciones de cada una: *use la ecuación de segundo grado x =
Al resolver cada una de las ecuaciones anteriores vemos la necesidad de crear un
nuevo conjunto numérico los números complejos C, para darle solución
**Realiza las operaciones indicadas, luego haya el valor de x
a) x 2 + ( x + 1) 2 + ( x + 2) 2 = −1
c)
x−2 x−4
=
3x
x+2
1
2
−
=1
x −1 x − 2
x 2 − 2 x + 1 3x − 1
d)
=
x2 + 1
x+2
b)
2) Calcular las potencias sucesivas de i sabiendo que:
i0 = 1
i1 = i = −1
i2 =
(
−1
)
2
= −1
i 3 = i 2 .i = (−1).i = −i
i 3809
2 12069
i
3
7 i1240
125i 72085
−6i1570 + 3 i 631
2i15647
3) Dados los números complejos en forma binomica siguientes represéntalos en el
plano complejo o de Argand
Z1 = 4 + 5 i
Z2 = 3 − 7 i
Z 3 = −6 + 3 i
Z 4 = −4 − 3 i
Z5 = 3 − 3 i
Z6 = 6 − i
¿Cómo podemos calcular la Adición (suma) o resta (sustracción )de números
complejos en forma binómico?
Para sumar (restar) dos números complejos Z1 = a + b i y Z 2 = c + d i ; sumamos
8
(restamos) su parte real y su parte imaginaria respectivamente así:
Z1 ± Z 2 = ( a + b i ) ± ( c + d i ) = ( a ± c ) + ( b ± d ) i
Re( z )
Im( z )
4) Con los números complejos dados en el problema 3, realiza ahora las
operaciones siguientes:
1) Z1 + Z 2
2)
Z3 + Z 2
3)
5)
6)
−4( Z1 + Z 2 )
7)
9)
3.Z1
( Z1 + Z 2 ) + Z3
10) ( Z 6 − Z1 ) + ( Z 4 − Z 5 )
Z 6 + Z1
3
1
  .Z1 +   Z 2
4
2
5
3
11)   .Z1 −   Z 2 + Z 4
4
7
4) Z 4 + Z 5
8) 7.Z 4 + (3 8).Z 5
12) −3Z 5 + 6 Z 2 − 7 Z 3
9
2.1) Calcular la norma y el argumento de cada número complejo
Dado un número complejo Z = x + y i = x, y donde x es la parte real, y la parte
imaginaria entonces
*La norma o modulo, viene dada por: z = x 2 + y 2
θ

*El argumento o ángulo viene dado por: tan α = y ⇒ θ
θ
x

θ
=α
si esta en el I Cuadrante
= 180 − α si esta en el II C
= 180 + α si esta en el III C
= 360 − α si esta en el IV C
Todo número complejo en forma binomica Z = x + y i = x, y se puede escribir en su
forma polar o trigonométrica de la siguiente manera: Z = z cos θ + z sin θ .i = z CiSθ
x
y
2.3) Escribir el conjugado de cada número complejo dado en forma binomica:
Z1 = 4 + 5 i
Z2 = 3 − 7 i
Z 3 = −6 + 3 i
Z 4 = −4 − 3 i
Z5 = 3 − 3 i
Z6 = 6 − i
El conjugado de cada uno de los números complejos anteriores viene a ser:
Z1 = 4 − 5 i
2.4) Resolver en forma binomica cada uno de los problemas siguientes:
*Para multiplicar dos números complejos Z1 = a + b i y Z 2 = c + d i recuerda que:
Z1.Z 2 = [ a + b i ].[ c + d i ] = a.c + a.di + b.ci + b.di 2 = ( ac − bd ) + ( ad + bc) i (No es
Re( z )
Im( z )
necesario que te aprendas de memoria la forma anterior, solo recuerda la propiedad
distributiva de la multiplicación)
Z
Para dividir dos números complejos 1 , multiplica por el conjugado del
Z2
denominador como vez a continuación:
Z1 Z1 Z 2
= .
Z2 Z2 Z2
1) Z1.Z 2
2)
Z 3 .Z 2
3)
5)
6)
( Z1 + Z 2 ) / Z 3
7) Z 6 Z1
(3.Z1 ) / Z 2
Z 6 .Z1
4) Z 4 .Z 5
8) Z 4 ÷ Z 5
10
9)
( Z1.Z 2 ) .Z3
10)
( Z 6 .Z1 )
( Z 4 .Z 5 )
 5 
3 
11)   .Z1 −   Z 2  .Z 4
7 
 4 
12) −3Z 5 + 6 Z 2 − 7 Z 3
11