Razones trigonometricas para triangulos rectangulos -ETA

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Escuela Técnica Robinsoniana P .S. S. S. “Venezuela”
Barinas Edo Barinas
Guía didáctica Nro 04- Objetivo 4- 2009-2010
I. Dada el valor de cada razón trigonométrica encontrar las 5 restantes considerando el
cuadrante en donde esta ubicado (usa las identidades 1 al 8 de la tabla anexa)
3
( I Cuadrante)
2
1
2) sin θ = −
( III Cuadrante)
2
3) tan θ = 3 ( III Cuadrante)
1) cos θ =
II. Demostrar a través de las identidades fundamentales (use el resumen de la tabla
anexa) el valor exacto de:
1) cos(75º ) = cos(45º +30º )
2) cos(15º ) = cos(45º −30º )
3) cos(7.5º )
4) sin(105º ) ≡ sin(60º +45º )
5) sin(15º ) ≡ sin(45º −30)
6) sin(120º ) ≡ sin(2 x60º ) ≡ sin(90º +30º )
III. Resolver un triangulo rectángulo de catetos 12 y 5 cm .
IV. Sobre una circunferencia de 16cm de diámetro se quiere construir un
polígono regular de 12 lados. Calcula el lado de cada polígono.
V. Resolver un triángulo Isósceles cuyos lados iguales miden 8 cm.
VI. Calcular el valor de la hipotenusa a de la figura 1-A :
VII. Calcular el área y el perímetro de un triangulo rectángulo cuyos catetos
miden 5 y 7cm
VIII. Calcular la altura y el área de un triangulo Equilátero cuyos lados miden
2.5cm . ( Sol 2.2 cm -2.75cm2 )
IX. Resuelve un triangulo rectángulo sabiendo que un ángulo mide 25º y que
uno de sus catetos mide 4.3 m.
X. Observamos el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 72º sobre la
horizontal. Si nos alejamos 350 metros, lo vemos bajo un ángulo de 31º. ¿A
qué altura se encuentra la Torre?.
XI. Dos ciclistas A y B en la vuelta al Táchira filmados por TRT desde un
helicóptero que esta a una altura de 70 m. Observan al camarógrafo con
ángulo de elevación de 45º y 30º respectivamente. Calcular la distancia entre
los ciclistas.
XII. Un poste de 3 m. proyecta una sombra de 2 m. ¿Qué altura tiene un árbol
que a la misma hora proyecta una sombra de 4.5 m. ( Sol: 6.75m )
XIII. Hallar la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56m, a la misma
hora que un árbol de 21 m proyecta una sombra de 24 m ( Sol :49m)
XIV. Hallar las diagonales de un Rombo de lado 8cm y ángulo menor igual a
38 grados
XV. Al recorrer 3 km por una carretera, cuyo ángulo de inclinación es constante,
hemos ascendido 280 m ¿Qué ángulo forma la carretera con la Horizontal?.
XVI. Hemos colocado un cable sobre un mástil según la figura 2-A ¿Cuánto
mide el cable y el mástil?
Figura 2-A
Figura 1-A
Razones trigonometricas para triángulos rectángulos
El triangulo
Las razones trigonometricas Seno coseno
y tangente (Sin , Cos ,Tan) y sus
recíprocos multiplicativos son:
y cat.opu
r
=
⇒ Csc θ =
r
hip
y
x cat.ady.
r
Cos θ = =
⇒ Sec θ =
r
hip
x
y cat.opu.
x
Tan θ = =
⇒ Cot θ =
x cat.ady
y
Recuerde el teorema de Pitágoras:
Sin θ =
El triangulo rectángulo formado por el
punto P(x,y) en el plano cartesiano nos
indica que “y” es el cateto Opuesto
“x” el cateto adyacente y “r” es la
hipotenusa
r 2 = x 2 + y 2 de donde
r = x2 + y 2
Tabla de las Principales Identidades trigonométrícas
Identidades trigonométricas
Cosecante (csc), Seno(sin), Secante(sec), Coseno(cos),Tangente(tan) y Cotangente(cot)
Reciprocas
Cocientes
Pitagóricas o
fundamental
1
1.csc θ =
sin
θ
6) cos 2 θ + sin 2 θ = 1
sin θ
4.tan θ =
cos θ
1
7)1 + tan 2 θ = sec 2 θ
2.sec θ =
cos θ
cos θ
5.cot =
8)1 + cot 2 θ = csc 2 θ
sin θ
1
3. tan θ =
cot θ
Suma de ángulos
9.sin(−θ ) = − sin θ
10.cos(−θ ) = cos θ
11.tan(−θ ) = − tan θ
12.cot(−θ ) = − cot θ
13.sec(−θ ) = sec θ
14.c sec(−θ ) = − csc θ
Angulo doble
Si α = β lo
sustituyo en 15 ,16 y 17nos queda
21).sin 2α = 2sin α.cosα
22)cos 2α = cos2 α. − sin2 α
cos2α = 2cos2 α − 1 = 1 − 2sin2 α ( usando 6)
2tan α
23).tan(2α ) =
1 − tan2 α.
15.sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cos α
16.cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β
tan α + tan β
1 − tan α .tan β
Diferencia de ángulos
18.sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cos α
19.cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β
tan α − tan β
20. tan(α − β ) =
1 + tan α .tan β
Angulo mitad
1
24) cos 2 θ = (1 + cos 2θ )
2
1
25) sin 2 θ = (1 − cos 2θ )
2
Productos a sumas de ángulos
17.tan(α + β ) =
26) sin s. cos t = 1 sin( s + t ) + 1 sin( s − t )
2
2
1
27) sin s. sin t = cos( s − t ) − 1 cos( s + t )
2
2
28)
cos s.cos t =
1
1
cos( s + t ) + cos( s − t )
2
2
Tablas de algunos valores exactos de ángulos notables ( tomadas del texto de Murray
Spiegel )