Números complejos Parte I-II

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Escuela Técnica Robinsoniana P .S. S. S. “Venezuela”
Barinas Edo Barinas
Guía didáctica Nro 01- Objetivo 1-2009-2010
1) Dadas las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas siguientes determinar las raíces o
a) x 2 − 2 x + 4 = 0
b) x 2 − 2 x + 6 = 0
−b ± b 2 − 4.a.c
2.a
2
c) x − 2 x + 7 = 0
d) x 2 − 2 x − 6 = 0
e) 2 x 2 + 8 x + 9 = 0
f) x 2 + 9 = 0
g) x 2 + 7 = 0
h) 5 x 2 + 2 = 2 x
i) 0 = 3 x 2 − 2 x + 2
j) a) 7 x 2 − 2 x + 2 = 0
k) 2 x 2 + x + 4 = 0
l) 3 x 2 − 14 x − 5 = 0
soluciones de cada una: *use la ecuación de segundo grado x =
Al resolver cada una de las ecuaciones anteriores vemos la necesidad de crear un nuevo conjunto
numérico los números complejos C, para darle solución
**Realiza las operaciones indicadas, luego haya el valor de x
a) x 2 + ( x + 1) 2 + ( x + 2) 2 = −1
c)
x−2 x−4
=
3x
x+2
1
2
−
=1
x −1 x − 2
x 2 − 2 x + 1 3x − 1
d)
=
x2 + 1
x+2
b)
2) Calcular las potencias sucesivas de i sabiendo que:
i0 = 1
i1 = i = −1
i2 =
(
−1
)
2
= −1
i 3 = i 2 .i = (−1).i = −i
i 3809
2 12069
i
3
7 i1240
125i 72085
−6i1570 + 3 i 631
2i15647
3) Dados los números complejos en forma binómico siguientes represéntalos en el plano
complejo o de Argand
Z1 = 4 + 5 i
Z2 = 3 − 7 i
Z 3 = −6 + 3 i
Z 4 = −4 − 3 i
Z5 = 3 − 3 i
Z6 = 6 − i
Lcdo. Eliezer Montoya & Lcdo. Pedro Peraza
Números Complejos
1
1
¿Cómo podemos calcular la Adición (suma) o resta (sustracción) de números complejos en
forma binómico?
Para sumar (restar) dos números complejos Z1 = a + b i y Z 2 = c + d i ; sumamos
(restamos) su parte real y su parte imaginaria respectivamente así:
Z1 ± Z 2 = ( a + b i ) ± ( c + d i ) = ( a ± c ) + ( b ± d ) i
Re( z )
Im( z )
4) Con los números complejos dados en el problema 3, realiza ahora las operaciones
siguientes:
1) Z1 + Z 2
2)
Z3 + Z 2
3)
5)
6)
−4( Z1 + Z 2 )
3
1
  .Z1 +   Z 2
4
2
5
3
11)   .Z1 −   Z 2 + Z 4
4
7
15)
15 12 Z 6 − 16 12 Z1
9)
3.Z1
( Z1 + Z 2 ) + Z 3
13)
2 2 Z1 + 5 2 Z 2
10) ( Z 6 − Z1 ) + ( Z 4 − Z 5 )
14)
5 3Z3 + 12 3Z 2
7)
Lcdo. Eliezer Montoya & Lcdo. Pedro Peraza
Z 6 + Z1
4) Z 4 + Z 5
8) 7.Z 4 + (3 8).Z 5
12) −3Z 5 + 6 Z 2 − 7 Z 3
16)
7 300 Z 4 + 8 53.23 Z 5
Números Complejos
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Barinas Edo Barinas
Guía didáctica Nro 02- Objetivo 2 -2009-2010
2.1) Escribir el conjugado de cada número complejo dado en forma binomica:
Z1 = 4 + 5 i
Z2 = 3 − 7 i
Z 3 = −6 + 3 i
Z 4 = −4 − 3 i
Z5 = 3 − 3 i
7
Z6 = 6 − i
2
El conjugado de cada uno de los números complejos anteriores viene a ser:
Z1 = 4 − 5 i
¡Es bueno recordar!
*Para multiplicar dos números complejos Z1 = a + b i y Z 2 = c + d i recuerda que:
Z1.Z 2 = [ a + b i ].[ c + d i ] = a.c + a.di + b.ci + b.di 2 = ( ac − bd ) + ( ad + bc) i
Re( z )
Im( z )
(No es necesario que te aprendas de memoria la forma anterior, solo recuerda la
propiedad distributiva de la multiplicación)
Para dividir dos números complejos
Z1
, multiplica por el conjugado del
Z2
denominador como vez a continuación:
Z1 Z1 Z 2
= .
Z2 Z2 Z2
2.2) Resolver en forma binomica cada uno de los problemas siguientes:
1) Z1.Z 2
2)
5)
6)
9)
(3.Z1 ) / Z 2
( Z1.Z 2 ) .Z3
Z 3 .Z 2
( Z1 + Z 2 ) / Z 3
( Z .Z )
10) 6 1
( Z 4 .Z 5 )
3)
Z 6 .Z1
4) Z 4 .Z 5
7) Z 6 Z1
11)
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8) Z 4 ÷ Z 5
[.Z1 − Z 2 ].[ Z 4 + Z5 ]
Z3
Z  Z 
12)  6  .  2 
 Z1   Z3 
Números Complejos
3
¿Cómo calcular la norma y el argumento de cada número complejo?
Dado un número complejo Z = x + y i = x, y donde x es la parte real, y la parte
imaginaria entonces
*La norma o modulo, viene dada por: z = x 2 + y 2
θ

*El argumento o ángulo viene dado por: tan α = y ⇒ θ
θ
x

θ
=α
si esta en el I Cuadrante
= 180 − α si esta en el II C
= 180 + α si esta en el III C
= 360 − α si esta en el IV C
Por tanto, Todo número complejo en forma binomica Z = x + y i = x, y se puede
escribir en su forma polar o trigonométrica de la siguiente manera:
Z = z cos θ + z sin θ .i = z Cisθ
x
y
2.2) Calcular la norma y el argumento de cada número complejo
Z1 = 3 + 3 i
Z 2 = −1 + 3i
Z3 = − 2 − 2 i
Z 4 = 2 − 12 i
Z5 =
3
3
+
i
2 2
1
3
Z6 = − −
i
3 3
Quedaría representado asi (copia tus resultados allí):
Z1 = 2 3 Cis(30º )
¿Cómo multiplicar (dividir) números complejos en forma polar o trigonométrica?
Para multiplicar (dividir) varios números complejos en forma Polar o trigonométrica
1º Se multiplican (dividen) sus módulos
2º Se suman (restan) sus argumentos
 Z1.Z 2 = (m1.m2 ).Cis (θ1 + θ 2 )
 Z1 = m1.Cisθ1

⇒ Z
Sea 
1
 Z 2 = m2 .Cisθ 2
 Z 2 = ( m1 m2 ) .Cis(θ1 − θ 2 )
Por ejemplo:
a ) (3 Cis 20º )(4Cis50º ) = (3.4)Cis (20º +50º ) = 12Cis 70º
(
)
b ) (2 Cis30º )(4Cis 20º )( 2Cis100º ) = 2.4. 2 Cis(30º +20º +100º ) = 8 2Cis150º
2 Cis80º  2 
1
=   Cis(80º −20º ) =   Cis 60º
4Cis 20º  4 
2
4 Cis 20º  4 
d)
=   Cis (20º −100º ) = 2Cis ( −80º ) Para transformar el ángulo negativo a positivo se
2Cis100º  2 
resta a 360º , tenemos -80= 360º - 80 = 280º tendríamos que 2 Cis (280º)= 2Cis (-80º)
c)
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Números Complejos
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2.3) Con la transformación realizada de los números complejos del ejercicio 2.2 calcula las
operaciones siguientes:
1) Z1.Z 2
2)
5)
Z1 / Z 2
6)
9)
( Z1.Z 2 ) .Z3
Z 3 .Z 2
3)
( Z1.Z 2 ) / Z 3
( Z .Z )
10) 6 1
( Z 4 .Z 5 )
Z 6 .Z1
7) Z 6 Z1
11)
[ Z1.Z 2 .Z 4 .Z5 ]
( Z 3 .Z 3 .Z 3 .Z 3 .Z 3 )
4) Z 4 .Z 5
8) Z 4 ÷ Z 5
Z  Z 
12)  6  .  2 
 Z1   Z3 
Potenciación y Radicación de Números Complejos en Forma Polar o Trigonométrica
Para potenciar un numero complejo en forma polar o trigonométrica se potencia el
modulo y se multiplica el argumento por el exponente
r
∀ Z = m.Cisθ ⇒ Z r = ( m.Cisθ ) = m r .Cis(r.θ ) (Conocido como Teorema de Moivre)
Ejemplo:
a) (4Cis50º )3 = (43 )Cis (3.50º ) = 64Cis150º
6
6
b)  2Cis ( −100 )  =  2Cis ( 260 )  = 26 Cis6.260º = 23.Cis1560º = 8Cis120º
Dividiendo 1560º por 360º son cuatro vueltas completas (4x360º) más 120º
Para calcular la raíz n-esima de un número complejo en forma Polar o trigonométrica
1º El modulo es el valor aritmético de la raíz.
2º El argumento se calcula mediante la siguiente fórmula:
α i = argumento de la raiz

α + 2kπ α = argumento del radicando
αi =
∴
n
k = número entero que vale 0,1,2,3...<n
n = indice de la raiz
En conclusión
α + 2 kπ 

∀ Z = m.Cisθ ⇒ Z 1/ n = n m.Cisα = n m .  Cis
 ∴ k = 0,1, 2...., n − 1
n


Por ejemplo
 3 64 = 3 26 = 26 / 3 = 22 = 4



50º
α
=
=
16,
6

 0
3


3
64Cis50º = 
50º
α + 2kπ 50º +360º.k 
=
+ 120º = 136, 6
α1 = α 0 + 120º =
α i =
n
3
3


α 2 = α1 + 120º = 136, 6 + 120 = 256, 6





 w0 = 2Cis16, 6

3
64Cis50º =  w1 = 2Cis136, 6 Tiene 3 raices o soluciones respectivamente

 w2 = 2Cis 256, 6
Lcdo. Eliezer Montoya & Lcdo. Pedro Peraza
Números Complejos
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2.4 Dados los siguientes números complejos en forma polar o trigonométrica:
Z1 = 2 3 Cis(30º )
Z 2 = 2 Cis (120º )
Z3 = 2 Cis(225º )
Z 4 = 4 Cis(300º )
Z5 = 3 Cis (30º )
Z 6 = (2 / 3) Cis (120º )
Calcular:
1) Z15 .Z 24
5)
9)
3
4
Z2
Z1
2)
6)
( Z3 .Z 2 )
6
7
Z4
5 1/ 3
10) ( Z1 ) 


3)
 Z 62 .Z 34 
7)
11) 6 Z 5
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Z 23
3
Z4
Z 3 
4)  6 3  .Z 46
 Z2 
8)
5
Z3
12) Z 3
Números Complejos
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