Integracion por partes -Metodo Tabular para IP

Lcdo Eliezer Montoya
Integracion por partes
Métodos y técnicas de integración
El siguiente tema sugerido para tratar en clases es el método de integración por
partes veamos de donde surge y algunos ejemplos propuestos
( 2º ) Método de Integración por partes: ∫ u.dv = u.v − ∫ v.du
La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir de la regla de la
derivada de un producto de funciones. Veamos:
Es conocida la dificultad que encuentra el estudiante al aplicar la formula de
integración por partes ∫ u.dv = u.v − ∫ v.du tal dificultad comienza con la elección
las funciones u y v. Además se sabe que existen integrales que no pueden ser
resueltas por partes como por ejemplo
ex
sin x
x
− x2
2
4
e
arcsin
xdx
;
∫
∫ x dx ; ∫ e dx ; ∫ x dx ; ∫ sin x dx y ∫ 1 + x dx
Para ello se usa la palabra nemotécnica ILATE para la elección de u , donde :
I: Funciones Inversas trigonométricas
L: Funciones Logarítmicas
A: Funciones Algebraicas
T: Funciones Trigonométricas
E: Funciones Exponenciales
se toma la primera función que ocurra de izquierda a derecha en correspondencia
con la palabra ILATE, esta elección apoya la experiencia de lograr que la
segunda integral sea más fácil
Veamos ahora algunos ejemplos de integración por partes, tomados de los
ejercicios propuestos por Louis Lehithold en el capítulo 7.1; apoyándonos del
1
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Integracion por partes
trabajo realizado por el profesor Luís Beltrán en su solucionario del libro;
evalúe la integral indefinida. Verifique la respuesta mediante diferenciación.
2.∫ x.cos x.dx (♣)
Solución. EliezerMo ntoya
Sea:
⇒
du = dx 
 (1)
dv = cos dx ⇒ v = senx 
u=x
aplicando la fórmula de integración por partes; ∫ u .dv = u .v − ∫ v.du ,
con los datos de ( 1 ) en (♣) se obtine:
∫ x.cos x.dx = x.senx − ∫ senxdx = x.senx + co s x + c
⇒ ∫ x .cos x.dx = x.s e nx + cos x + c
Verificacíón F ´( x ) = f ( x )
d
( x.senx + co s x + c ) = senx + x.cos x − senx = x.cos x
dx
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Integracion por partes
4.∫ x.3x dx
Solución:Eliezer Montoya
∫ x.3 dx
x
(♣)
Sea:
au
u

a
du
=
+c

∫
ln a
3x  (1) recuerde que :
x
dv = 3 dx ⇒ v =
u
u

ln 3 
∫ e du = e + c
u = x ⇒ du = dx
Aplicando la fórmula de integración por partes, ∫ u.dv = u.v- ∫ v.du
con los datos de (1) en (♣) se obtiene:
x
∫ x.3 dx = x.
3x
3x
3x
1
−∫
dx = x.
−
ln 3
ln 3
ln 3 ln 3
∴ ∫ x.3x dx = x.
(
)
x
∫ 3 dx = x.
3x
3x
−
+C
ln 3 (ln 3) 2
3x
3x
−
+C
ln 3 (ln 3) 2
Verificación :
  3x x.3x ln 3 3x ln 3

d  3x
3x
.
−
+
+
−
+ 0  = x.3x
x
C

=
2
2
dx  ln 3 (ln 3)
ln 3
(ln 3)
  ln 3

5 .∫ ln 5 xdx
Solución : Eliezer Montoya
∫ ln 5 xdx (♣)
Sea :
u = ln 5 x ⇒ du =
dv = dx ⇒
(5 x )´
dx
dx =
5x
x
∫ dv = ∫ dx ⇒ v = x + c
(1) recuerde que : D x (ln t ) =
Dxt
t
aplicando la formula de int egración por partes : ∫ udv = u .v − ∫ vdu ,
con los datos de (1) en (♣) se obtiene :
∫ ln 5 xdx = (ln 5 x ) x − ∫ x.
dx
dx = x.ln 5 x − ∫ dx = x ln 5 x − x + c
x
∴ ∫ ln 5 xdx = x ln 5 x − x + c
Veri ficació n :
D x ( x ln 5 x − x + c ) = ln 5 x + x.(5 / 5 x ) − 1 + 0 = ln 5 x + 1 − 1 = ln 5 x
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Integracion por partes
(ln t )2
dt =
t
Solución:-Eliezer Montoya
7.∫
(ln t ) 2
∫ t dt =
Usando sustitución o cambio devariable:
dt
t
(ln t )2
u3
1
nos queda:∫
dt = ∫ u 2 .du = + C = (ln t )3 + C
t
3
3
2
(ln t )
1
∴∫
dt = (ln t )3 + C
t
3
Verificación:
u = ln t ⇒ du =
d 1
1 (ln t )2
1
3−1 d
( (ln t )3 + C ) = 3 ( ln t ) . (ln t ) + 0 = (ln t )2 . =
3
dx
t
t
dx 3
Veamos otra forma de resolver el problema número 7 usando integración por
partes.
(ln t ) 2
dt =
t
S o lu c ió n : − E lie z e r M o n to y a
7 .∫
(ln t ) 2
(ln t ).(ln t )
dt = ∫
d t (♣ )
t
t
u s e m o s in te g r a c ió n p o r p a r te s
∫
u = ln t ⇒ d u =
dv =
ln t
dt ⇒
t
dt
t
∫ dv = ∫
ln t
dt ⇒ v =
t
∫


 (1 )
2
2
w
(ln t )
wdw =
+c =
+ c

2
2
a p lic a n d o la fo r m u la d e in t e g r a c ió n p o r p a r te s :
∫ udv
= uv −
∫ vdu
c o n lo s d a to s d e (1 ) e n ( ♣ ) s e o b tie n e :
(ln t ) 2
(ln t ) 2
(ln t ) 2 d t
(ln t ) 3
1 (ln t ) 2
d t = ln t .
− ∫
=
− ∫
dt
t
2
2
t
2
2
t
s i p a s a m o s a l p r im e r m ie m b r o e l in t e g r a n d o
∫
(ln t ) 2
dt +
t
3 (ln t ) 2
⇒
dt
2 ∫
t
(ln t ) 2
⇒ ∫
dt =
t
∫
⇒
∴
∫
( ln t ) 2
(ln t ) 3
dt =
+C
t
2
(ln t ) 3
=
+C
2
2 (ln t ) 3
1
+ C = (ln t ) 3 + C
3
2
3
1
2
∫
(ln t ) 2
1
d t = (ln t ) 3 + C
t
3
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Integracion por partes
8 .∫ x . s e c 2 x d x
s o lu c ió n :
∫ x.sec
2
x d x (♣ )
Sea :
u = x ⇒ du = dx

 (1 )
d v = s e c x d x ⇒ v = ta n x 
2
a p lic a n d o la fo r m u la d e in t e g r a c io n p o r p a r te s , ∫ u d v = u v −
∫ vdu ,
c o n l o s d a t o s d e (1 ) e n ( ♣ ) s e o b t i e n e :
∫ x.sec
2
x d x = x ta n x −
s in x
∫ ta n
∫ cos x dx ⇒
xdx =
t = cos x

dt
 d t = − s e n x d x  ⇒ − ∫ t = − ln t + C


⇒
∫ ta n
xdx =
⇒
∫ ta n
x d x = − ln c o s x + C = ln c o s x
−1
+ C = ln s e c x + C
lu e g o :
∫ x.sec
2
x d x = x . t a n x − ln s e c x + c
v e r ific a c ió n :
d
dx
( x. ta n
x − ln s e c x + c ) = t a n x + x s e c 2 x −
s e c x. ta n x
+ 0 = x.sec 2 x
secx
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Integracion por partes
10.∫ ln( x 2 + 1)dx
Solución :
Aplicando int egración por partes en : ∫ ln( x 2 + 1) dx
= u.v − ∫ vdu
dv
(1)
u
2x


u = ln( x 2 + 1) ⇒ du = 2
dx 

( x + 1)
tenemos que :


 dv = dx ⇒

v
=
x


sustituyendo (2) en (1)
x2
dx + c1
( x 2 + 1)
resolviendo el segundo miembro de (3)
2
2
∫ ln( x + 1)dx = x.ln( x + 1) − 2∫
2∫
( 2)
(3)
x2
1 

−1
dx = 2 ∫  1 − 2
dx = 2 x − 2 tan x + c2
2
x +1
( x + 1)

⇒ ∫ ln( x 2 + 1)dx = x.ln( x 2 + 1) − 2 ∫
x2
dx = x.ln( x 2 + 1) − 2 x + 2 tan −1 x + C
x2 + 1
∴ ∫ ln( x 2 + 1)dx = x.ln( x 2 + 1) − 2 x + 2 tan −1 x + C
Verificación :
2x
2
−2+ 2
+0=
x +1
x +1
2x2
2x2 − 2 + 2
= ln( x 2 + 1) + 2
−
= ln( x 2 + 1)
2
x +1
x +1
Dx ( x.ln( x 2 + 1) − 2 x + 2 tan −1 x + C ) = ln( x 2 + 1) + x.
2
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Integracion por partes
El método Tabular:
Muchas veces nos vemos obligado a repetir varias veces el método de integración
por partes, para esto es mucho mejor utilizar un atajo conocido como el método
Tabular .Para ver como este método trabaja suponga que u y v son funciones y
considere la tabla:
u
derivada de u → u1
v
v1 ← antiderivada de v
derivada de u1 → u2
v2 ← antiderivada de v1
derivada de un −1 → un
vn ← antiderivada de vn −1
derivada de un → un +1 vn +1 ← antiderivada de vn
Multiplique cada función –en forma horizontal- la primera columna por la función
correspondiente en la segunda columna, cambie el signo de cada dos productos
(alternándolos comience con + luego – y asi sucesivamente) y agregue los
términos resultantes para obtener una suma S :
u
u1
u2
u
3
p or
p or
( +)
( −)
v1
p or
p or
un
v
v2
v3
u n +1
p or
− u 1v1
( +
)
( −)
p or
+ uv
+ u 2v2
+ u 3v3
vn
( ∓)
S
∓ u nvn
← sum a
v n +1
El mismo puede ser probado usando el principio de inducción matemática
∫ udv = u.v − u1v1 + u2v2 − u3v3 + ... ± ∫ un +1dvn +1
∫ udv = S ± ∫ u
dvn +1
n +1
Donde el signo más (+) es usado si n es impar y menos (-) si n es par.
** Si u es un polinomio de grado n , entonces la (n+1)derivada de u es cero , por
lo tanto ,
u n+1 = 0 y el método tabular nos produciría la formula simple:
∫ udv = S + C
Donde C es la constante de integración.
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Integracion por partes
Visualiza los 4 casos, cuando podemos usar este método:
(A) Integrales de la forma
(B) Integrales de la forma
1.∫ pn ( x)sin axdx
4.∫ e ax sin bxdx
2.∫ pn ( x) cos axdx
5.∫ e ax cos bxdx
3.∫ pn ( x)eax dx
donde pn ( x) es un polinomio
de grado n
Usando la palabra “ILATE” se hace
u = Pn (x) en todas estas integrales,
pues es la función Algebraica. La
derivada de (n+1)-ésima de u es 0.
(C) Integrales de la forma
6.∫ sin ax.cos bxdx
7.∫ sin ax.sin bx dx
8.∫ cos ax.cosbxdx
donde a ≠ b
Estos casos se tratan de la misma
manera que el caso B, u puede ser
cualquiera de las dos funciones seno o
coseno, como u nunca podrá ser 0,
para esto nos detendremos cuando el
producto de la diagonal sea igual al
integrando, salvo el factor constante.
Para este caso usando la palabra ILATE
u= sin bx (cos bx), Como puedes notar
la derivada de u nunca podrá ser 0, para
esto nos detendremos cuando el
producto de la diagonal sea igual al
integrando, salvo el factor constante.
(D) Integrales de la forma
p ( x)
9.∫ n
dx
(ax + b)r
donde pn ( x) es un polinomio
y r no es un entero positivo.
Igual que para el caso A considera u =
dx
Pn (x) y v = ∫ dv = ∫
(ax + b)r
Ejemplo Nº 11 Use el método tabular para evaluar ∫ (2 x 4 − 8 x3 )e −3 x dx
Solución:
10
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∫ (2 x
4
Integracion por partes
− 8 x3 )e −3 x dx
Sea u = 2 x 4 − 8 x3 y dv = e −3 x dx
tenemos : ∫ (2 x 4 − 8 x3 )e−3 x dx = ∫ u.dv
Por Sustitución


t = −3 x 


1
1
1
de aqui v = ∫ dv = ∫ e −3 x dx ⇒  dt = −3dx  ⇒ − ∫ et dt = − et + c0 = − e−3 x + c0
3
3
3
 dt

 − = dx 
 3

1
v = ∫ e −3 x dx = − e−3 x + c0
3
(por)
u = 2 x 4 − 8 x3
→
u1 = u´= 8 x3 − 24 x2
→
(por)
(por)
u2 = u1´= 24 x 2 − 48x
→
(por)
u3 = u2´= 48x − 48
→
(por)
u4 = u3´=
48
u5 = u4´=
0
→
(por)
→
1
v = − e−3 x
3
1
v1 = e−3 x
9
1
v2 = − e−3 x
27
1
v3 = e−3 x
81
1 −3 x
v4 = −
e
243
1 −3 x
v5 =
e
729
(+)
→
(−)
→
(+)
→
( −)
→
(+)
→
1
+ (2 x4 − 8x3 )(− e−3 x )
3
1
− (8 x3 − 24 x2 )( e−3 x )
9
1
+ (24 x 2 − 48x)(− e−3 x )
27
1
− (48 x − 48)( e−3 x )
81
1 −3 x
+ (48)(−
e )
243
_____________________________________________
S
Sumando los términos de la columna obtenida S y simplificado
tenemos
∫(2x −8x )e
4
3
−3x
dx = S +C
1
1
1
1
1
⇒+(2x4 −8x3)(− e−3x) −(8x3 −24x2)( e−3x) +(24x2 −48x)(− e−3x) −(48x −48)( e−3x) +(48)(− e−3x) +C
3
9
27
81
243
 2 8 8 8 8 16 16 16 16
⇒− x4 + x3 − x3 + x2 − x2 + x − x + − e−3x +C
9 27 27 81
 3 3 9 3 9
 2 16 16 32 32
⇒− x4 + x3 + x2 + x + e−3x +C
9
9
27 81
 3
 2 16 16 32 32
∴∫(2x4 −8x3)e−3xdx =− x4 + x3 + x2 + x + e−3x +C
9
9
27 81
 3
11
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∫ (6 x
Ejemplo Nº 11
Integracion por partes
2
+ 3 x + 5)e x dx
Solución:
x − 3 x + 5) e
dx =
∫ (6
2
x
dv
u
como u es un polinomio y
v = ∫ dv = ∫ e x dx = e x + c
usando el método tabular
( por )
u = 6 x 2 − 3x + 5
(+)
v = ex
→
( por )
v1 = e x
→
v2 = e x
→
( por )
u2 = u1´=
12
u3 = u2´=
0
+ (6 x2 − 3x + 5)(e x )
(−)
→
u1 = u´= 12 x − 3
→
→
− (12 x − 3)( e x )
(+)
( por )
+ (12)(e x )
( −)
→
v3 = e x
→
0
_____________________________________________
S
Sumando los términos de la columna obtenida S y simplificado tenemos
x − 3 x + 5) e
dx = ∫ udv = S + C
∫ (6
2
x
dv
u
= (6 x 2 − 3 x + 5)e x − (12 x − 3)e x + 12e x + C
= 6 x 2 − 3 x + 5 − 12 x + 3 + 12  e x + C
= ( 6 x 2 − 15 x + 20 ) e x + C
∴ ∫ (6 x 2 − 3 x + 5)e x dx = ( 6 x 2 − 15 x + 20 ) e x + C
Ejemplo Nº 12
∫ 5x
4
sinh 2 xdx
Solución:
12
Lcdo Eliezer Montoya
∫ 5x
4
Integracion por partes
sinh 2 xdx
u = 5 x 4 (es derivable)
1
v = ∫ dv = ∫ sinh 2 xdx = cosh 2 x + c0
2
1
1
v1 = ∫ cosh 2 x = sinh 2 x + c1
2
4
Usemos el método tabular
( por )
1
u = 5x4
→ v = 2 cosh 2x
( por )
1
u1 = u´= 20 x3 →
v1 = sinh 2 x
4
( por )
1
u2 = u1´= 60 x2 → v2 = cosh 2 x
8
( por )
1
u3 = u2´= 120 x → v3 = sinh 2 x
16
( por )
1
u4 = u3´= 120
→ v4 = 32 cosh 2x
( por )
1
u5 = u4´= 0
→ v5 = 64 sinh 2x
∫ 5x
4
(+)
→
(−)
→
(+)
→
( −)
→
(+)
→
1
5
+ (5x4 )( cosh 2 x) = x 4 cosh 2 x
2
2
1
− (20 x3 )( sinh 2 x) = −5 x3 sinh 2 x
4
1
15
+ (60 x2 )( cosh 2 x) = x 2 cosh 2 x
8
2
1
15
− (120 x)( sinh 2 x) = − x sinh 2 x
16
2
1
15
+ (120)( cosh 2 x) = cosh 2 x
32
4
( − ) _____________________________________________
→
S
sinh 2 xdx = S + C
5
15
15
15
= x 4 cosh 2 x − 5x3 sinh 2 x + x2 cosh 2 x − x sinh 2 x + cosh 2 x + C
2
2
2
4
5
3
3 

=  x 4 + 3x2 +  cosh 2 x − 5  x3 + x  sinh 2 x + C
2
2
2 

2
12 x + 36
Ejemplo Nro 13 ∫ 5
dx , este problema lo resolvemos utilizado repetidas
3x + 2
veces integración por partes
Solución:
13
Lcdo Eliezer Montoya
∫
Integracion por partes
12 x 2 + 36
dx
3x + 2
u = 12 x 2 + 36 ⇒ du = 24 xdx
5
Por sustitución

 t = 3 x + 2 

 1 dt 1
dx
dx
1 t4/5
5
dv = 5
⇒ v = ∫ dv = ∫ 5
⇒  dt = 3dx  ⇒ ∫ 1/ 5 = ∫ t −1/ 5 dt =
+ c = t4/5 + c
3 t
3
3 4/5
12
3x + 2
3x + 2
 dt

 = dx 
3

dx
5
v=∫5
= (3 x + 2) 4 / 5 + c
3 x + 2 12
Usemos el método tabular
______ u n _______________ vn _________________________ u n vn ____________
12 x 2 + 36
(
por )
24 x
(
por )
24
(
por )
5
(3 x + 2) 4 / 5
12
25
(3 x + 2) 9 / 5
324
125
(3 x + 2)14 / 5
1360 8
5
(
+) + (12 x 2 + 36) (3 x + 2) 4 / 5
12
25
(
−) − (24 x )
(3 x + 2) 9 / 5
324
125
(
+) + (24)
(3 x + 2)14 / 5
13608
________________________________________________________________________________________________
0
S
Sumando los términos de la columna obtenida S y simplificado tenemos
12 x 2 + 36
∫ 5 3x + 2 dx = S+C
12 x 2 + 36
5
25
125
2
4/5
9/5
14 / 5
∫ 5 3x + 2 dx = 12 (12 x + 36)(3x + 2) − 24 x. 324 (3x + 2) + 24.13608 (3x + 2) + C =
50
125
= (5 x 2 + 15)(3 x + 2) 4 / 5 −
x(3 x + 2)9 / 5 +
(3x + 2)14 / 5 + C
27
567
50
125
= (5 x 2 + 15)(3 x + 2) 4 / 5 −
x(3 x + 2)(3 x + 2) 4 / 5 +
(3x + 2)2 (3x + 2)4 / 5 + C
27
567
50
125


= (3x + 2) 4 / 5 5 x 2 + 15 −
x(3 x + 2) +
(3 x + 2) 2  + C
27
567


50
100
125 2 500
500 

= (3x + 2) 4 / 5 5 x 2 + 15 − x 2 −
x+
x +
x+
+C
9
27
63
189
567 

200
9005 
10
= (3x + 2) 4 / 5  x 2 −
x+
+C
189
567 
7
14
Lcdo Eliezer Montoya
Ejemplo 14:
∫e
ax
∫e
ax
Integracion por partes
cos bxdx
cos bxdx
como a ≠ b
Aqui: u = cos bx ⇒ du = −b.sin bx
Sustitución o
Por
Cambio
de Variable



 t = ax

1
1
1
v = ∫ dv = ∫ eaxdx ⇒  dt = adx  ⇒ ∫ et dt = et = eax

 a
a
a
 dt = dx 
 a



Usemos el método tabular (como la derivadas de u no son cero nos
detendremos cuando el producto de la diagonal sea igual al integrando, salvo
el factor constante.)
(por)
(+)
1
1
1
u = cos bx → v = eax
+ (cos bx)( eax ) = + eax cos bx
→
a
a
a
(por)
( −)
1
1
b
u1 = u´= −b.sin bx → v1 = 2 eax → − (−b sin bx)( 2 eax ) = + 2 eax sin bx
a
a
a
( +)
du1
u2 =
= − b2 cos bx v2 = ?
→
dx
_____________________________________________
S
1 ax
b
e c o s b x + 2 e a x s in b x + ∫ v1 d u 1 + C
a
a
1
b
1
= + e a x c o s b x + 2 e a x s in b x + ∫ ( 2 e a x )( − b 2 c o s b x ) + C
a
a
a
1
b
b2
= + e a x c o s b x + 2 e a x s in b x − 2 ∫ e a x b co s b x ) + C
a
a
a
P a s a n d o a l p r im e r m iem b ro , S u m a n d o té r m i n o s s e m e ja n te s y s im p lifica n d o
∫e
ax
co s b x d x = +
ax
∫ e co s b x d x +
b2
a2
∫e
ax
 a2 + b2 
1 ax
ax

 ∫ e cos bxdx = e
2
a
a


∫e
ax
1 ax
b
e c o s b x + 2 e a x sin b x + C
a
a
b
co s b x + 2 e a x s in b x + C
a
b cos bx =

a2
co s b x d x =  2
 a + b2

 1 ax

a2
e co s b x +  2

 a
 a + b2


 b ax


a2
C
 2 e s in b x +  2
2 
 a
a
+
b



 e ax 
 e ax 
ax
e
b
x
d
x
a
b
x
b s in b x + C
co
s
=
.
c
o
s
+
 2
 2
2 
2 
∫
a +b 
a +b 
 e ax 
ax
e
co
s
b
x
d
x
=
a . c o s b x + b .s in b x ] + C
 2
2 [
∫
a +b 
15
Lcdo Eliezer Montoya
Integracion por partes
 e ax 
Como: ∫ e ax cos bxdx =  2
a.cos bx + b.sin bx ] + C
2 [
a +b 
Quedará como ejercicio y verificar la fórmula de recurrencia siguiente:
 e ax 
ax
e
sin
bxdx
=
a sin bx − b cos bx ]
 2
2 [
∫
a +b 
(con estas formulas de recurrencia puedes resolver los problemas 53 y 54
En fin la integración por partes se aplica para calcular las primitivas de las
funciones siguientes:
*El producto de una función polinómica por una función exponencial
*El producto de una función polinómica por una función seno o por un coseno
*El producto de una función exponencial por un seno o por un coseno
*El producto de una función polinomica por una función logarítmica.
*Funciones trigonométricas inversas: Arc sin , Arc cos , Arc tan, Arc sinh , Arc
cosh, Arc tanh
*Ciertas raíces cuadradas
16
Lcdo Eliezer Montoya
Integracion por partes
Ejercicios propuestos
En los problemas 1 al 12 , use integración por partes para evaluar cada integral.
∫ x. cos 2 xdx
3) ∫ x.e dx
5) ∫ ln 5 xdx
7) ∫ cos xdx
9) ∫ sec xdx
11) ∫ t. sec t. tan t.dt
1)
3x
2) ∫ x. sin kxdx
4) ∫ x.e −4 x dx
6) ∫ x. ln 2 xdx
−1
8) ∫ x 3 ln (x 2 )dx
−1
10) ∫ sin −1 xdx
12) ∫ tan −1 xdx
En los problemas 13 al 22 use repetidas veces integración por partes para evaluar
cada integral
∫ x . sin 3x.dx
15) ∫ (3 x − 2 x + 1). cos xdx
3
13)
14)
2
16)
 x2

17) ∫  + x .e 2 x dx
 2

−x
19) ∫ e cos 2 xdx
∫x
∫ (x
2
2
. sin 2 xdx
)
− 3 x + 2 .e − x dx
18) ∫ x 2 . sec x. tan xdx
20) ∫ e 2 x . sin xdx
***21) ∫ csc 3 xdx
22) ∫ e ax . sin bx.dx
En los problemas 23 al 26 use una sustitución conveniente para expresar la
integral en una forma tal que la integración por partes sea aplicable .Entonces
evalué la integral:
23)
∫x
25)
∫
3
2
.e x dx
1 + x 2 dx
24) ∫ x3. sin 2x 2 .dx
26) ∫ cos x. tan −1 ( sin x ) dx
En los problemas 27 al 46 evalué cada integral:
27) ∫ ( 2 x − 1).e − x dx
∫ x.e sin xdx
**31) ∫ (ln x ) dx
33) ∫ x. csc x.dx
**29)
x
2
2
∫ x. sinh xdx
30) ∫ ln(1 + t ) dt
32) ∫ sin x dx
34) ∫ cosh xdx
28)
2
−1
17
Lcdo Eliezer Montoya
x3
35)
∫
37)
∫ x.
39)
1− x2
11
∫
π /9
0
3
dx
cos x 4 dx
4 x 2 sin 3 x.dx
Integracion por partes
x2
36)
∫
38)
∫
x 3 / 2 cos x .dx
40)
x.e x
∫0 (1 + x) 2 .dx
x2 −1
dx
1
∫ sec dx ver el ejercicio Nº 09 y luego evaluar
42) ∫ cos xdx ver el ejercicio Nº 07 y luego evaluar
π
43) ∫ (5 x − 2 x + 1) sin x.dx
44) ∫ . sin (ln x )dx
π
45) ∫ x. sin xdx
46) ∫ x.tan
xdx
41)
−1
2
1
−1
−1
/4
e
2
0
0
/2
3
2
−1
0
0
En los problemas 47 al 50, use el método tabular para evaluar cada integral.
∫ x . cos 2 xdx
49) ∫ t .e .dt
51) ∫ ( 2 x − 3 x + x ) .cosh xdx
53) ∫ e sin 5 xdx
47)
4
4
−t
3
6x
2
∫ (x − 2 x + x ).e dx
50) ∫ (x − x + x ).e .dx
52) ∫ ( 8 x − 5 x ) .sinh 5 xdx
54) ∫ e cos3 xdx
48)
3
5
3
2
3
x
−x
2
−4 x
1
Munem M.A. Foulis D.J. (1984) Calculus with Analytic Geometry . II edicion.Edit.
Worth Publishers, Inc. USA.
18