ECUACIONES DIFERENCIALES ♦♦♦ VIBRACIONES MECÁNICAS UNIDAD VI

ECUACIONES DIFERENCIALES
♦♦♦
VIBRACIONES MECÁNICAS
UNIDAD VI
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1. Resuelva:
3
1
10
sen4t  cos 4t  
, t  3.
2
2
2
2n  1
 ; n  4,5,6,
Sol. t n  0.08043 
8
t
t
  5 , t  7.
b)  2sen  cos
3
3
Sol. t n  1.94275 6n ; n  1,2,3,
5
c)  4 sen 2t  3 cos 2t  .
3
Sol. t n  1.72262 n ; n  1,2,3,
~
t  0.49167 n ; n  1,2,3,
a)
n
2. Un cuerpo que pesa 20 libras sujeto al extremo de un resorte lo estira 0.32 pies. El peso
se desplaza 6 pulgadas hacia abajo de la posición de equilibrio y desde ahí se le
comunica una velocidad dirigida hacia arriba de 5 pies/s.
a) Determine la ecuación de movimiento.
b) ¿En qué instantes pasa el cuerpo por la posición de equilibrio en dirección hacia
arriba por tercera vez? ¿Qué velocidad lleva?
c) ¿En qué instantes está el cuerpo un tercio de pie abajo de la posición de
equilibrio?
d) ¿En qué instantes alcanza el cuerpo sus desplazamientos extremos hacia uno u
otro lado de la posición de equilibrio?
Sol. (a) xt  
1
1
cos 10t  sin 10t , (b) En t=1.34 segundos, con una velocidad de
2
2
n
n
tn    0.02945 , n  0,1,2, 
-7.071 ft/s. (c) t n    0.1865 , n  1,2,3,  , ~
5
5
2n  1
  0.23562 , n  1,2,3, 
(d) t n 
20
3. Una fuerza de 2 libras alarga un resorte 1 pie. Una masa que pesa 3 libras se une al
resorte, luego se sumerge el sistema en un medio que ofrece una fuerza de
amortiguamiento igual a β1 veces la velocidad instantánea, donde β1 es la mitad de la
constante β0 del amortiguamiento crítico.
a) Encuentre la ecuación de movimiento si inicialmente se libera la masa desde el
reposo en un punto situado a 1 pie por encima de la posición de equilibrio.
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma Aet sint    .
c) Calcule la primera vez en la cual la masa pasa a través de la posición de
equilibrio en dirección hacia arriba.
4
t
3
1
2 


e
sin 4t  , (b) xt  
  cos 4t 
3
3


(c) t  1.309019 s .
Sol. (a) xt   e

4
t
3
sin 4t  4.1887
4. Este problema se refiere a un modelo de automóvil altamente simplificado que pesa
3200 lb. Suponga que el sistema de suspensión del automóvil actúa como un resorte
simple y su sistema de absorción de choques como amortiguador simple, de modo que
sus vibraciones verticales satisfacen la ecuación mx  x  kx  0 con valores
apropiados de sus coeficientes.
a) Encuentre el coeficiente de regidez k del resorte si el auto sufre vibraciones
libres a 80 oscilaciones por minuto (ciclos/min) cuando sus amortiguadores se
desconectan. Sol. k≈ 7018 lb/pie.
b) Estando conectados los amortiguadores, el automóvil es puesto en vibración al
hacerlo cruzar un “tope” y las vibraciones amortiguadas resultantes tienen una
frecuencia de 78 ciclos/min. ¿Después de cuánto tiempo la amplitud variable
tendrá un valor igual 1% del inicial? Sol. Alrededor de 2.47 s.
5. Una masa que pesa de 12 lb es sujeto a un resorte. Se sabe que al comprimirse la masa
ésta alcanza 6 pulgadas arriba de la posición de equilibrio. Si la masa parte del punto de
equilibrio y del reposo y además al inicio (al tiempo t=0) una fuerza dada por
F (t )  2 cost es aplicada al sistema.
a) Si la fuerza de amortiguamiento, en pounds, es numéricamente igual a 3
dx
,
dt
dx
es la velocidad instantánea, en pies por segundo, determine la
dt
donde
frecuencia de resonancia práctica del movimiento resultante y encuentre el
desplazamiento como función del tiempo cuando la fuerza externa está en
resonancia con el sistema.
Sol.
2 2

; x(t ) 
e 4t ( 3sen4 3t  cos4 3t )
2sen4 2t  cos4 2t

18
18
b) Asumiendo que no existe amortiguamiento, determine el valor de  para el
cual habrá resonancia pura y encuentre el desplazamiento como función del
tiempo en este caso. Sol. 8; x(t ) 
tsen 8t
.
3
6. Un peso de 20 lb es sujeto a un resorte. El peso cuando llega a estar en reposo el resorte
ha sido alargado 6 pulgadas. Varias fuerzas externas de la forma F (t )  cost son
aplicadas al sistema y se encuentra que la frecuencia de resonancia es de 0.5 ciclos por
segundo. Asumiendo que la resistencia del medio, en pounds, es numéricamente igual a

dx
dx
, donde
es la velocidad instantánea, en pies por segundo, determine el
dt
dt
coeficiente de amortiguamiento. Sol. β=6.50293.
7. Una masa de 1 slug se sujeta a un resorte cuya constante es de 9 lb/ft. El medio ofrece
una resistencia al movimiento numéricamente igual a 6 veces la velocidad instantánea.
La masa se suelta desde un punto que está 8 pulgadas sobre la posición de equilibrio
con una velocidad dirigida hacia abajo de v0 ft/s. (a) Clasifique el tipo de movimiento
amortiguado del sistema, (b) Determinar los valores de v0 de modo que posteriormente
la masa pase por la posición de equilibrio. Sol. v0>2 ft/s.