Física DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA.

Física
Departamento de Física Aplicada.
Facultad Ciencias Químicas. U.C.L.M.
DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA.
1. Una masa puntual de 2 Kg, describe una curva en el espacio. La curva tiene por ecuaciones:
x=t3 ; y=t-2t2 ; z=t4 /4, siendo t el tiempo. Calcular al cabo de 2 segundos:
a) Los vectores velocidad y aceleración.
b) El vector cantidad de movimiento.
c) El momento angular respecto a un eje que pasa por el origen y el punto (2/3,2/3,1/3).
d) La fuerza que actua sobre la masa puntual.
Sol.:


a)
v   3t 2 ,1  4t, t 3  ; a   6t,4,3t 2 


b)
p  mv  2 3t 2 ,1  4t, t 3 
 
2
2
1
L'  L  ueje  L x  L y  Lz
c)
3
3
3
3 4
t6
Lx  t  t 5
Ly  
Lz  2t 4  2t 3
4
4

2
d)
F  2 6t,4,3t 
2. Un globo de masa M comenzó a descender con una aceleración constante e igual a a0.
Determinar la masa de lastre que es necesario tirar por la borda, para que el globo ascienda con
la misma aceleración.
Sol.
m
2· M· a0
g  a0
3. Un cuerpo se desliza por un plano inclinado que forma con la horizontal un ángulo de 45º. La
relación entre la distancia s recorrida por el cuerpo y el tiempo, viene expresada por la ecuación
s=Ct2 , donde C=1.73 m/s2 . Hallar el coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo.
Sol.:
g sen 45º 2C

g cos 45º
4. El chófer de un automóvil empieza a frenar a 25 m de distancia de un obstáculo que hay en la
carretera. La fuerza de rozamiento que ejercen las zapatas de los frenos del automóvil es
constante e igual a 3840 N. El automóvil pesa una tonelada. ¿Cuál es la máxima velocidad que
puede llevar, en el momento de accionar los frenos, para no chocar con el obstáculo?.
Sol. Vo=13,85 m/s
5. El cuerpo de la figura, de masa m=5 Kg, se encuentra sobre una superficie cónica lisa y girando
alrededor del eje AB con una velocidad angular de 20 rev/min. Calcular:
a) La velocidad lineal del cuerpo.
b) La reacción de la superficie sobre el cuerpo y la tensión del hilo.
c) ¿Cuál debería ser la velocidad angular para que el cuerpo comenzara a separarse de la
superficie cónica?.
Datos:  =45º. Longitud del hilo, l=1 metro.
Sol.: siendo r = l sen ()
2
v
 (m/s)
a)
3
b)
N  m g sen    2 r cos  
T  m 2 r sen   g cos  
c)
o 
g
tg 
r
6(*). Un niño se desliza, sin rozamiento alguno, por un montículo semiesférico de 10 metros de
radio. Suponiendo que su velocidad inicial (en la cima) fuera nula, calcular el lugar donde
abandona el montículo y la velocidad con la que choca contra el suelo.
Sol.:
1 2
h
a)
 vo  2gR altura a la que se desprenderá del montículo.
3g

1 R  46
10 
 2   5
b)
v  vi i  
vi  gt'  j donde t' 


 y v i es la velocidad de salida
3
3 g 3
3
 3

del montículo.
7. Un carrito de masa M=500 gramos está unido a una carga de masa m=200 gramos mediante una
cuerda. En el momento inicial, el carrito tenía una velocidad v0 =7m/s y se movía a la izquierda por
un plano horizontal. Determinar el valor y sentido de la velocidad del carrito, el lugar donde se
encontrará y el trayecto que recorrera despues de pasar t=5 segundos.
Vo
Sol. V= -7m/s. Se vuelve a encontrar en el mismo sitio y con la misma velocidad pero en sentido
opuesto. El espacio total es 17.5 m
8(*). En el dispositivo de la figura tenemos rozamiento diferente entre el cuerpo M2 y el suelo (2)
y entre el cuerpo M1 y el M2 (12)
a) Determinar el máximo valor que puede tener M3 para que M1 y M2 se muevan
conjuntamente.
En el caso de que M3 valga el doble del valor anterior, m3’=2·m3
b) Determinar la aceleración de cada cuerpo del sistema.
En el caso en que M3 valga la mitad de ese valor crítico (m3’’=m3/2)
c) Determinar la aceleración común del sistema.
Sol.:
a)
m3  (m1  m2 )
b)
a1=12g
c)
a
 2  12
1  12
2m3 g   2 (m1  m2 ) g  12 m1 g
m2  2m3
m3 g   2 (m1  m2 ) g
a 2  a3 
m1  m2  m3
m1
m2
m3
9. El cuerpo A de la figura, cuya masa es 1Kg., está unido por una cuerda inextensible y sin peso
con el cuerpo B, de 2Kg. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo A y el plano inclinado vale
0.2 y entre el cuerpo B y el plano 0.3, calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión de la
cuerda que los une. (Dato,  =30º).
B
Sol. T=[(mb-ma)a-gsen(mb-ma)+gcos(mb b-ma a)]/2
A
10. Sobre un plano inclinado que forma un ángulo , con la horizontal se colocan dos masas en
contacto. Sus masas son iguales y los coeficientes de rozamiento entre el plano inclinado y las
masas son 1 y 2 respectivamente, siendo 1 > 2. Hallar:
a) La fuerza de interacción entre las dos masas en el proceso de movimiento.
b) El valor mínimo del ángulo  con el cual se inicia el movimiento.
Nota: La masa 1 es la que se encuentra más cerca de la horizontal y durante
todo el proceso permanecen en contacto entre sí.
Sol.:
m
F12  g cos   2  1 
a)
2
m   m2  2  1   2
b)
tg   1 1

m1  m2
2
11. (examen) Sobre una superficie esférica de radio R se encuentra un cuerpo de masa m. El
coeficiente de fricción entre el cuerpo y la esfera es .
a) Estando la esfera en reposo, determinar el ángulo máximo max a que se puede encontrar la
masa m sin deslizar.
b) También con la esfera en reposo, y suponiendo que el cuerpo se encuentra en una posición
dada por 0<<max, determinar la fuerza de rozamiento sobre el cuerpo.
c) Suponiendo que la esfera pueda rotar, determinar la máxima velocidad angular max con que
puede hacerlo si la posición de la masa m esta dada por un 2.
g ( cos 2  sin 2 )
Sol. max=arctg 
Fr=mg sin()
 2 max 
Rsin 2 (·sin 2  cos 2 )
12. Un tren se mueve con una velocidad constante de 200 Km/h. Del techo de un vagón cuelga una
masa m inicialmente en reposo. Repentinamente los pasajeros observan como dicha masa se aparta
10º de la vertical y en dirección perpendicular a las ventanas. ¿Con estos datos, pueden estimar los
pasajeros el sentido y radio de la curva por donde se mueve el tren?.
v2
Sol R 
Desviación de la masa hacia fuera de la curva.
g ·tg
13. Un barco que se mueve con una velocidad vo se ve frenado por la acción de una fuerza de
rozamiento que depende de la velocidad de la forma F  b·expv  . Hallar el tiempo que transcurre
hasta que se para y la distancia recorrida. NOTA:
 log( ax )dx  x log( ax )  x
Sol.:
to 
m
1  exp  vo  ;
b
d
m
1  1  vo  exp vo 
 2b
14. Por el interior de una superfície cilíndrica de radio R y eje horizontal, se lanza desde el punto A,
que forma un ángulo o con la vertical, una partícula de masa m y con una velocidad inicial vo,
tangente a la superficie cilíndrica. Calcular, suponiendo la ausencia de rozamiento:
(a) La velocidad angular y la reacción de la superficie cilíndrica en función del ángulo .
(b) El valor de vo para que la citada reacción sea nula en el punto C.
Sol.:
2g
cos   cos  o 
 2   o2 
a)
C
R
 vo2

N  mg
 3 cos   2 cos o 
 Rg

b)


vo  Rg3  2 cos o 
1
2
A
Vo
15. Analizar en el conocido rizo de una montaña rusa, el valor de la altura desde la que debe dejarse
caer la barquilla para que lo ejecute completamente, suponiéndolo de radio R. Distinguir el caso en
que la barquilla va enganchada a la pista (y por tanto no se cae aunque se pare arriba del todo) de aquel
en que sólo va apoyada en ella. Analiza en varios puntos de la trayectoria qué fuerza o fuerzas actúan
como fuerza centrípeta. ¿Dónde toma en cada caso la reacción de la pista su mayor valor? (Este será el
punto de más fácil rotura de la pista).
Sol. Enganchada h=2R. Apoyada h=5R /2
16 (examen). a) En el sistema de la figura 1, donde no existe ningún tipo de rozamiento ni es
apreciable la masa de las poleas, determinar el valor que hay que dar a m2 para que el sistema
permanezca en equilibrio.
m
m +m
2
1
m
m
2

1
h


Figura 1
Figura 2
b) Suponiendo ahora que la masa m1 se coloca sobre la masa m2, eliminándola de su
posición original, y que existe rozamiento entre la
masa m y el plano inclinado (=0.5). Determinar
m
el tiempo que tardarán las masas 1 y 2 en llegar al
suelo, a h=3m de los cuerpos cuando se inicia el
movimiento. (Figura 2). Considerar en este
m1
apartado m2=100Kg.

c) Ahora eliminamos del sistema la masa
m2, quedando el sistema como muestra la figura 3.
¿Sería en este caso suficiente considerar como
coeficiente de rozamiento entre m y el plano
Figura 3
inclinado =0.9 para que el sistema permanezca
en reposo? ¿Qué valor tiene la fuerza de
rozamiento en este caso? (Figura 3)
DATOS:
m=100 Kg
Sol. a) m2=58.7Kg
m1=10 Kg
b) t=2.77s
h=3 m
m2(sólo apartado b)=100 Kg
=30º
c)Fr=574.87N
17. Un tren de masa M sube la ladera de una montaña de pendiente  en medio de una fuerte lluvia.
Debido a ésta los vagones recogen en total L litros de agua cada segundo. La densidad del agua es
. Determinar la fuerza que debe ejercer la máquina para que el conjunto ascienda con velocidad v
constante.
Sol. F(t)=(M+L t)g sen()+Lv