Geometría II Analítica: Vectores - UNaM

Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Vectores
1
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
2
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
3
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Ubicación de puntos en sistemas de ejes coordenados 𝑹𝟐 y 𝑹𝟑 .
𝑅3
Planos coordenados: los tres ejes en el sistema determinan tres planos coordenados, que se
denominan plano xy, plano xz y plano yz. El plano xy contiene a los ejes x e y , es simplemente el
plano con el que usted ha trabajado como plano real. Lo mismo con los otros dos planos y ejes.
Al tener la estructura construida de ejes coordenados y planos, se puede escribir cualquier punto P en
𝑅 3 de la siguiente manera:
P (x , y , z)
Donde x, y , z con las coordenadas del punto P. Son las distancias del punto a los planos coordenados.
x es la distancia del punto P al plano yz, y es la distancia del punto P al plano xz, z es la distancia del
punto P al plano xy.
4
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Componentes de un vector
En 𝑅 2 , sea el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 :
𝑎 = 𝑥𝑄 − 𝑥𝑃 proyección del vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 sobre el eje x 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ sobre el eje y 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑦 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑏 = 𝑦𝑄 − 𝑦𝑃 proyección del vector 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 = (𝑎 , 𝑏)
P(1 , 2)
Q (6 , 5)
5
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄
Q - P Esto está mal. No se restan puntos.
a=6–1=5
b = 5 -2 = 3
⃗⃗⃗⃗⃗ = (5 , 3)
𝑃𝑄
lo represento con origen en origen de coordenadas O (0 , 0) y extremo en el punto
indicado por las componentes del vector A (5 , 3).
M (7 , 5) y N (12 , 2)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁
a = 12 – 7 = 5
b = 2 – 5 = -3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 5 , −3)
𝑀𝑁
En 𝑅 3 , sea el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 :
6
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
𝑎 = 𝑥𝑄 − 𝑥𝑃 proyección del vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 sobre el eje x 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ sobre el eje y 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑦 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑏 = 𝑦𝑄 − 𝑦𝑃 proyección del vector 𝑃𝑄
𝑐 = 𝑧𝑄 − 𝑧𝑃 proyección del vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 sobre el eje z 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑧 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎 , 𝑏, 𝑐)
𝑃𝑄
P (1 , -2 , 4)
Q ( -2 , 0 , 5)
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎 , 𝑏 , 𝑐) = (−2 − 1 , 0 − (−2) , 5 − 4) = ( −3 , 2 , 1)
𝑃𝑄
Ejemplo:
Encontrar las componentes del vector definido por el origen P(2, 1, 3) y el extremo Q (5 , 3 , 5).
Elementos de un vector
Los elementos de un vector son: módulo, dirección y sentido.
Módulo: El módulo de un vector es la distancia entre los puntos origen y extremo del vector, es la
longitud del segmento orientado.
7
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
En el triángulo rectángulo (por construcción) PRQ, aplicando el Teorema de Pitágoras:
Cateto = 3
cateto= 4
hipotenusa = 5
32 + 42 = 52
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √𝑎2 + 𝑏 2
O bien, dado el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 = ( 𝑎 , 𝑏) el módulo se calcula haciendo: |𝑃𝑄
En 𝑅 3 :
8
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Sentido: El sentido de un vector está definido por los puntos origen y extremo del vector.
⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 𝑄𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄
𝑣 = (2 . −4 , 7)
Origen: coordenadas del punto origen de coordenadas O (0, 0 , 0)
Extremo: en el punto Q (2 , -4 , 7)
componentes del vector 𝑣.
coordenadas de un punto indicados por las
Dirección: La dirección de un vector es el o los ángulos, medidos en radianes, que forma el vector
con el lado positivo de los ejes coordenados.
9
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
𝑣 = (5 ,3)
dirección:
3
𝜃̂ = 𝑎𝑐𝑡 tan (5) = 30°57´ 49"
3
𝜃̂ = 𝑎𝑐𝑡 tan (5) = 0,54 𝑟𝑎𝑑
-----------------------------------------------------------------------------------------------REVISIÓN TRIGONOMETRÍA
MEDICIÓN DE ÁNGULO
Sistema Circular de medición de ángulos
En aplicaciones científicas que requieren cálculo integral, se acostumbra usar medidas de ángulos en
radianes. Consideremos una circunferencia de radio r. En ángulo central de un círculo es un ángulo
̂ , del
cuyo vértice está en el centro del círculo. Si 𝜃̂ es el ángulo central, decimos que el arco AP, 𝐴𝑃
̂.
círculo, subtiende a 𝜃̂, o que 𝜃̂ está subtendido por 𝐴𝑃
10
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Un radián es la medida del ángulo central de un
círculo subtendido por un arco igual en longitud al
radio del círculo.
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜
𝜃̂ 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
Perímetro de una circunferencia = 2𝜋𝑟
La medida del ángulo correspondiente a una circunferencia completa, medida en radianes es:
2𝜋𝑟
𝑟
= 2𝜋
Ángulo recto 
𝜋
2
Ángulo llano  
Equivalencia entre el sistema Sexagesimal y el Circular
Se puede establecer una equivalencia entre estos sistemas, considerando el cociente (en radianes)
entre la longitud de una semicircunferencia de perímetro ( radio) y el radio. Este sector circular
corresponde a un ángulo llano que mide 180 º (sexagesimales), por lo que se obtiene la relación:
 radianes = 180 °
En general, si α° es un ángulo en el sistema sexagesimal y α r es un ángulo en radianes, se tienen las
siguientes expresiones:
 
180

. r
r 

180
. 
Razones Trigonométricas definidas en un triángulo rectángulo
Consideremos un triángulo rectángulo:
11
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Sea 𝜃̂ uno de los ángulos agudos:
0° < 𝜃̂ < 90°
𝜋
0 < 𝜃̂ < 2
o
Se pueden establecer seis razones usando las longitudes a ,
b y c de los lados del triángulo rectángulo.
Se definen las razones trigonométricas:
sen  =
cos  =
tan  =
cotan  =
sec  =
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
cosec  =
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
𝑎
𝑏
=
=
𝑐
𝑎
=
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
𝑎
𝑏
=
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
𝑐
=
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
𝑏
=
𝑐
𝑎
𝑐
𝑏
se lee “seno de tita”
se lee “coseno de tita”
se lee “tangente de tita”
se lee “cotangente de tita”
se lee “secante de tita”
se lee “cosecante de tita”
Tabla con los valores de sen α, cos α y tan α para algunos ángulos más utilizados, del primer
cuadrante:
𝝅
𝝅
𝝅
𝝅
0° ~ 0 rad
30° ~ 𝟔 rad
45° ~ 𝟒 rad
60° ~ 𝟑 rad
90° ~ 𝟐 rad
seno
√0
2
0
1
tangente
0
√2
2
√2
2
√2
2
1
√3
2
√3
2
1
2
√3
√4
2
1
coseno
√1
2
1
2
√3
2
√3
3
0

12
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
--------------------------------------------------------------------------------------
Ejemplo: Calcular las direcciones de
13
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
iii)
2
1
√3
𝜃̂ = 𝑎𝑟𝑐 tan (
= 𝑎𝑟𝑐 tan (− ) = 𝑎𝑟𝑐 tan (− )= 150°
)
−2 3
3
3
√
𝜃̂ = - 30°
√
𝜃̂ = - 30° + 360° = 330°
𝜃̂ = 330° - 180° = 150°
14
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
En 𝑅 3 :
15
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Propiedad
fundamental entre los cosenos directores:
16
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Justificación
17
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
18
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Igualdad entre vectores (relación entre vectores)
Sean los vectores 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )
y
𝑏⃗ = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) . Estos vectores son iguales cuando sus
componentes homónimas son iguales.
En símbolos:
𝑎 = 𝑏⃗  𝑎1 = 𝑏1
, 𝑎2 = 𝑏2
, 𝑎3 = 𝑏3
⃗⃗⃗⃗⃗ , determine las coordenadas de A si B(5 , -2 ,-1)
Ejemplo: Dado el vector 𝑢
⃗ = (−3 , 6 , 2), si 𝑢
⃗ = 𝐴𝐵
Solución:
𝑎 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 → 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 − 𝑎

𝑥𝐴 = 5 − (−3) = 8
𝑏 = 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 → 𝑦𝐴 = 𝑦𝐵 − 𝑏

𝑦𝐴 = −2 − 6 = −8
𝑐 = 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 → 𝑧𝐴 = 𝑧𝐵 − 𝑐

𝑧𝐴 = −1 − 2 = −3
𝐴( 8 , −8 , −3)
19
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Operaciones entre vectores
Suma
Método del paralelogramo
20
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Método del polígono
Suma:
𝑹𝟑 + 𝑹𝟑 → 𝑹𝟑
es una operación interna en 𝑹𝟑
Resta
𝑎 = (1 , 2 , 3)
𝑏⃗ = (−2 , 0 , 5)
𝑎 − ⃗⃗⃗
𝑏 = (1 – (-2) , 2 – 0 , 1 – 5) = (3 , 2 , -4)
21
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Producto de un vector por un escalar
𝑹𝟑 × 𝑹 → 𝑹𝟑
es una operación externa entre 𝑹𝟑 y R
22
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Vector unitario o Versor
⃗ = ( 𝟏 , 𝟏) ¿ 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐𝒓? 𝒏𝒐, 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 |𝒗
⃗ | = √𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 = √𝟐 ≠ 𝟏
𝒗
23
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Versores Fundamentales
24
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
𝑣 = (2 , −3 , 4) = 2𝑖̆ − 3𝑗̆ + 4𝑘̆ = 4𝑘̆ + 2𝑖̆ − 3𝑗̆
𝑢
⃗ = −𝑖̆ + 4𝑘̆ = (−1 , 0 , 4)
𝑤
⃗⃗ = −𝑗̆
si está en 𝑅 2 : 𝑤
⃗⃗ = (0 , −1)
si está en 𝑅 3 : 𝑤
⃗⃗ = (0 , −1 , 0)
25
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Vector unitario en una dirección dada
⃗⃗⃗ = ( 𝟏 , 𝟏)
𝒘
⃗ ⃗𝒘⃗⃗ =
𝒖
𝟏
√𝟐
⃗ ⃗𝒘⃗⃗ : se lee “vector unitario en la dirección del vector 𝒘
⃗⃗⃗ ".
𝒖
(1 , 1) = (
𝟏
√𝟐
,
𝟏
√𝟐
)
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
⃗ ⃗𝒘⃗⃗ | = √( ) + ( ) = √ + = 1
Verificación: |𝒖
𝟐
𝟐
√𝟐
√𝟐
|𝒘
⃗⃗⃗ | = √𝟐
En símbolos:
26
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Producto entre vectores
Producto Escalar o producto punto
𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 . 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 → 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓 (𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒓𝒆𝒂𝒍)
Producto Vectorial o producto cruz
𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 × 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 → 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓
Producto Mixto
27
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
(𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 × 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓). 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 → 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓
(𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 . 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓)𝒙 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 → 𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒕á 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐
Producto Escalar o producto punto
Aplicaciones del Producto Escalar
-
Ángulo entre vectores
28
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Para triángulos cualesquiera, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados
menos el doble producto de las longitudes de esos lados por el coseno del ángulo opuesto
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 cos 𝛼
O también:
Demostración de 𝑎 . 𝑎 = |𝑎|2
𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )
2
|𝑎|2 = (√(𝑎1 )2 + (𝑎2 )2 + (𝑎3 )2 ) = (𝑎1 )2 + (𝑎2 )2 + (𝑎3 )2
𝑎 . 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ). (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) = 𝑎1 𝑎1 + 𝑎2 𝑎2 + 𝑎3 𝑎3 = (𝑎1 )2 + (𝑎2 )2 + (𝑎3 )2
29
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
30
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Sean 𝑎 y 𝑏⃗ dos vectores y  el ángulo entres ellos: 𝑎 . 𝑏⃗ = |𝑎|| 𝑏⃗| cos 𝜃
-
Proyección de un vector sobre la dirección de otro
31
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
32
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑎⃗ 𝑏⃗ =
𝑎. 𝑏⃗
|𝑎|
La proyección escalar de un vector en la dirección de otro dado es igual al número real que se obtiene haciendo
el cociente entre el producto escalar entre los vectores y el módulo del vector sobre el que se hace la proyección.
Estas son proyecciones escalares de un vector en la dirección de otro.
Proyección escalar del vector 𝑢
⃗ en la dirección del vector 𝑣:
⃗ ∙𝑣
⃗
𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢⃗ 𝑣 = |𝑢⃗|
proy
También se puede hallar el vector que proyecta el vector 𝑢
⃗ en la dirección del vector 𝑣. Esta es
la denominada “proyección vectorial” de un vector en la dirección de otro dado.
⃗ ∙𝑣
⃗ 𝑢
⃗
𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢⃗ 𝑣 = |𝑢⃗| |𝑢⃗|
proy
⃗ ∙𝑣
⃗
𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢⃗ 𝑣 = |𝑢⃗|2 𝑢
proy
⃗
⃗ ∙𝑣
⃗
𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢⃗ 𝑣 = |𝑢⃗||𝑢⃗| 𝑢
proy
⃗
33
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢⃗ 𝑣 =
proy
𝑢
⃗ ∙𝑣
⃗
𝑈
|𝑢
⃗ | 𝑢⃗
En el ejemplo:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢⃗ 𝑣 = (−2,4) (
proy
𝑢
⃗ = (2 , 2)
𝑣 = (2 , −3)
⃗ .𝑣
⃗
𝑢
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣⃗ 𝑢
⃗ = |𝑣⃗|
⃗ .𝑣
⃗ 𝑣
⃗
𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣⃗ 𝑢
proy
⃗ = |𝑣⃗| |𝑣⃗|
2
,
−3
1
,
√14 √14 √14
)
|𝑣| = √4 + 9 = √13
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣⃗ 𝑢
⃗ =
4−6
√13
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣⃗ 𝑢
proy
⃗ = −
=−
2
√13
≈ −0,55
2
2
3
√
√
√
4
6
( 13 , − 13) = (− 13 , 13) = (−0,3 ; 0,46)
13
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢⃗ 𝑣 = (−1,28 ; 1,92 ; −0,64)
proy
-
Vectores paralelos
34
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
35
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
-
Vectores perpendiculares
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗  𝑏
𝑎
Ejemplo: Calcule el valor de  para que los vectores 𝑚
⃗⃗ = (−2 , 3 ,1) y 𝑝 = (1 , 0 , 𝛽) sean
perpendiculares.
Producto Vectorial o producto cruz
Sean los vectores 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) y 𝑏⃗ = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), el producto cruz o producto vectorial entre estos
dos vectores es otro vector, que se simboliza de la siguiente manera:
con:
Dirección: Perpendicular a la dirección de ambos vectores. 𝑎 × 𝑏⃗ es un vector ortogonal a 𝑎 y a 𝑏⃗.
𝑎 × 𝑏⃗ ⊥ 𝑎
⃗ ∧ 𝑎 × 𝑏⃗ ⊥ ⃗𝑏
36
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
El producto cruz tiene la propiedad de ser anticonmutativo, es decir, el orden de los factores altera el sentido
⃗ y 𝑏⃗ × 𝑎, son vectores con igual
del resultado. Si se realiza cuando se permutan los factores, 𝑎 × 𝑏
dirección pero sentidos opuestos.
Sentido: el sentido de 𝑎 × 𝑏⃗ sigue la “regla de la mano derecha”.
Módulo:
37
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
( ver propiedad 3)
Que surge de hacer:
O bien:
38
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Ejemplo: Sean los vectores 𝑢
⃗ = 2𝑖̌ + 3𝑗̌ − 𝑘̌ y 𝑣 = −2𝑖̌ + 𝑗̌ − 2𝑘̌ , hallar un vector 𝑛⃗ que sea perpendicular
a𝑢
⃗ y 𝑣.
𝑖
𝑗 𝑘
𝑣 x𝑢
⃗ = |−2 1 −2| = (-1 – (-6)) i – (2 – (-4)) j + (-6 – 2) k = 5 i - 6 j -8 k
2 3 −1
𝑣 x𝑢
⃗ = (5 , -6 , -8)
39
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Aplicaciones del Producto vectorial
-
Área de un paralelogramo
Ejemplo: Calcule el área del triángulo determinado por los puntos A(1, -2 , 4) , B(-3, 2, 5) y C(2 , 0 -1)
A
B
C
40
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐴 =(-1 , -2 , 5)
⃗⃗⃗⃗⃗ = (-5 , 2 , 6)
𝐶𝐵
𝑖
𝑗 𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐴 X 𝐶𝐵 = |−1 −2 5| = -22 i – 19 j -12 k
−5 2 6
⃗⃗⃗⃗⃗ X 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ | =√(−22)2 + (−19)2 + (−12)2 = 31,44
|𝐶𝐴
Área del triángulo ABC =
-
⃗⃗⃗⃗⃗ X 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝐶𝐴
2
área del paralelogramo determinado por CA y CB
= 15,72
Determinación de vector perpendicular a un plano.
Ejemplo: Halle un vector perpendicular al plano determinado por los puntos no alineados
A(1, -2 , 4) , B(-3, 2, 5) y C(2 , 0 -1).
A
C
B
⃗⃗⃗⃗⃗ = (-4 , 4 , 1 )
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (1 , 2 , -5)
𝑖̆
𝑗̆
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 × ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = |−4 4
1 2
𝑘̆
1 | = (−20 − 2)𝑖̆ − (20 − 1)𝑗̆ + (−8 − 4)𝑘̆
−5
= −22 𝑖̆ − 19 𝑗̆ − 12𝑘̆
41
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Producto Mixto
42
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
Aplicaciones del Producto mixto
-
Volumen de un paralelepípedo (interpretación geométrica del resultado del producto
mixto entre tres vectores)
“El valor absoluto el producto mixto representa el volumen del paralelepípedo
determinado por los tres vectores en producto”
-
Determinación de la coplanaridad de vectores.
43
Geometía II – Analítica – Prof. en Matemática – Prof. en Física - FCEQyN - UNaM
𝑣 = ( 1 , 1 , 2)
¿es un vector unitario? No es un versor, porque el módulo es distinto de 1.
|𝑣| = √12 + 12 + 22 = √6
¿cómo buscamos otro vector que tenga módulo 1 y que tenga la misma dirección y sentido que 𝑣?
𝑢̆𝑣⃗ =
( 1 , 1 , 2)
√6
=
1
√6
( 1 , 1 , 2) = (
1
,
1
,
2
)
√6 √6 √6
44