Elementos de Cálculo Actuarial - Libro de texto de matemáticas actuariales

OSÉ GONZÁLEZ GALÉ
de la Academia Nacional de Ciencias Económicas
Profesor honorario de la Universidad Nacional de Buenos Aires
_ALC
CUARTA EDICIÓN
ELEMENTOS DE CALCULO ACTUARJAI,
DEL MISMO AUTOR
Cálculos prácticos, Buenos Aires, 1904. (Agotado).
Álgebra financiera, Buenos Aires, 1910. (Agotado).
Cálct1lo rápido, Buenos Aires, 1912. (Agotado).
El seguro en caso de enfermedad, Buenos Aires, 1914 (Agotado).
Un problema nacional, Buenos Ai1es, 1918. (Agotado).
El seguro de vida y la hipoteca, Buenos Aires, 1920. (Agotado).
Apuntes sobre el cálct1lo de las probabilidades, Buenos Aires, 1926, 1935. (Agotado).
Las bases técnicas del seguro social, Buenos Aires, 1926. (Agotado).
Jubilaciones y segt1ro social, Buenos Aires, 1929.
El problcr1ia de la po!Jlació11, Buenos Aires, 1933, 1945. (Agotado).
La enseñanz;a de las ciencias ccon·ómicas, Buenos Aires, 1933. ( Agptado).
Las leyes de la niortalidad, Buenos Aires, 1934. (Agotado).
El problema de las ju/Jilacio1ies, Buenos Aires, 1934. (Agotado).
Baja la natalidad, Bt1enos Aires, 1940, 1945. (Agotado).
Bodas de oro de la enseñanza comercial, Buenos Aires, 1940. (Agotado).
El azar, Buenos Aires, 1941.
El sexo desde el p11nto ele i;ista estadístico, Buenos Aires, 1941, 1945. (Agotado).
Una artmética española del si¡rlo X\'II, Buenos Aires, 1941.
Afatemáticas financiera.';:
Primera parte: ''Intereses y anualidades ciertas", Buenos Aires, 1916, 1925,
1935, 1943 y 1948.
Sc.. gu11(l,t parte: "Elementos de cálculo actuarial'p, Buenos Aires, 1942, 1945.
Problemas demográficos del mo111ento, Buenos Aires, 1944.
Prf:.·ci.) ión social, Buenos Aires, 1947.
Probabilidades '1 diferencia.Y finitas, Buenos Aires, 1948.
Ence;ecer, Buenos Aires, l 9E52. ( A~ota\:lo).
El grave prol1lema de las ¡r1l1ilacioncs, Buenos Aires, 1956. (Agotado).
TR~.\DUCCIO:\ES
C. V. I~. Charlic·r, Elementos de e~tadística matcrrtática, Buenos Aires, 19.1 6.
Sonc tus escol!idl1.\· de "\I iguel Át•gel, ver~ión castellana, Buenos Aires, 1955.
¡H acl~ ~¡a tantl> ti<- n1po! . . . l'rimera ta11cl,1 <le recuerclc1s. l'rólogo (1c Roberto F.
( ;iusti, But-11os Aires, 1955.
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Lc>nclc>r1, 19.=)3 •\' 1957.
7
-=
A MANERA DE PRÓLOGO
Una antigua carta
Hace casi medio siglo -en 1910- ¡)ublicaba yo mi primer
libro -Algebra F·i nanciera- sobre estas cuestiones, que entonces eran casi ignoradas, en gen~ral. ~~l prin1ero que había
acometido su enseñanza, en la Escuela Nacional de Comercio
-hOl' ''Carlog Pellegrini''- era D. Augusto Larguier, profesor sabio, hábil y comprensivo. Cuando yo, que había. sido
su discípulo durante cuatro afios con$ecutivos - -de 1893 a
1898- di a las prensas mi ' ' ...\lgebra Fi11anciera'' le S<>licité
un prólogo, )' él me contestó en el ac to cnviándornc una carta
que encabezaba aquel volumen, )' que encabeza, también,
éste - que puedo llan1ar del cinc1.lenten.a.rio- . no para engreírme ni var1agloriarme -a mi edad eso sería ridículo- sino
para rer1dir tributo de gratitud al que fue 1ni exirnio maestro,
y para que la actual generación recuerde su notnhre.
SR. D. JosÉ Go~zÁLEz GALÉ
Prfsente.
Mi querido ani-igo:
lle recibido las 176 primeras páginas de sil «.!lgebra
Financiera-. y, al mismo ti·empo, itna carta de V d., rri1ty a1nable, que me ha
alarmado un poquito puesto que en ella me pide Tld. t11t prólogo para su obra.
iHum! - me he dicho - ·mi amigo González Galé, de quien úi1i bue1i tJS
recuerdos tengo de cuando era discípulo mío, a cattsa de sits excelent.es disposiciones para las matemáticas y de Sll facilidad de a s imila c 1~ón~ ¿liabrá degeneraclo hasta el punto de 11ceesitar u11 prólogo?
Un buen libro se presenta por .~í lnismo. Sólo 11 ti 1-ibro me(liocre 1it,cesila
una introducción, firrriada con ?ltl riombre 1nás (J 1t1 f 1tos corioci<ú>.
Ast pues, al empeza·r a leer sit obra, l<J hic<' cori cifrto te1nor, perv descle
las primeras pdgi·rias me senti cal,lil'allo y la leí toda entera co1i t,anto mayor
-X-
a
placer cuan.to q11e había llega.do a dcsco1ifiar. Por eso me aprr>suro enmendar
mis yerros reconociendo lealmente que su libro es de aquellos que se impor~en
por sí mismos, sin necesitar padrinazgos de ninguria clase.
Todas las cuestiones que traw l 7 d. están expuestas con esa siniplicidad
y esa claridad qite le son a V d. familiares, y el profundo conocimiento qtte
tiene V d. de la mat.eria.
A ttguro, pues, u1i buen éxito a su libro que viene (y el viejo clisé no e&
esta t'cz ·u1ia vana fórmula) a llenar una sentida n.ecesidad, no sólo por ser
el primer trabajo que entre nosotros se publica dedicado al estudio de esas
cuestiones, sino también por la forma y el método expositivos que ha seguido
Vd. en él.
En la mayorw de las obras extranjeras andlogas q·ue conozco pred-0mi1ia
el afán de demostrar la profunda erudición del autor. V d., al contrario, aún
poseyendo igual erudició·n, ha tratado de subordinarlo todo a la claridad y
a la sencillez, entendiendo que la sencillez de una fórm·ula no depende del
mayor o menor número de signos emplea.dos en ella, sino de la niayor o menor
fac·ilidad que presenta para desarrollarla, parct recordarla, y hasf,a para vincitlarla can otras análogas. Por otra pa1·fR, nada hay 1nds bonito que una fórmitla,
pites la fórmula es el alnia del álgebra.
Todas las que se refieren a las anualidades, a las rentas, y a las cuestiones
-tan interesantes- de amortizacio·nes, con o sin lotes, están magistralmente
deducidas, y será·1i de gran tlfilidad a más de uno ... sin conúir a los empleados
del J.1 [iºrz isterio de Hacienda.
Si cree V d. qite estas lirieas, escrit,as en estilo f a1nili'ar, pueden serle de
alguna utilidad para su libro, le hago abandono de ellas. Délas V d. el uso
que más le plazca.
Por mi parte, si las entrega lrd. a la publicida<l, me sentiré orgtllloso al
ver figurar mi nombre al frente de esas páginas en la.() c11ales me siento revivir
mejorado.
Siempre suyo
Augusto Larguier.
B11eno,c; Aires, febrero 12 de 1910.
INTRODUCCION
EL AZ •.\R
I
iEI azar! Mucho antes de que se le diera un nombre, siglos y siglos
a11tes de que dos matemáticos ge11iales Pascal y Fermat
soñaran en
son1eterlo a cálculo, el azar gravitaba pesadamente sobre todos los actos
·de la vida del hombre. Se ha dicho luego lo veremos co11 mayor detalleque el azar es hijo de 11uestra ignorancia, que a medida que ésta se disipa
se restri11ge más y mtis el campo de acción de aqt1él. Y, si ello es así por
lo menos e11 parte - , imagi11é11se hasta qué pt111to se vería .sometido al
azar el hombre primitivo para quien todos los fenómenos de la naturaleza,
hasta los más simples y cotidianos, eran motivo de ·t emerosas co11jett1ras.
Y pienso que se puede afirmar, sin temor, que fué ese estado de á11imo;
esa perpetua aprensió11 del futuro; ese continuo aprestarse para la lucha, en
pre,·enci()n de imprecisos peligros -más temidos cuanto menos previsiblesuno de los ma)rores estímulos del progreso humano. Y que ahi se han ele
b,u scar las raices de ese temerario espíritu de aventura que disti11gue al
ho.mbre. Ese espíritu de ª'"entura que mueve, a la vez, sus más nobles y
s-us más , . iles se11timientos; que le lleva a realizar actos de sublime heroísmo,.
o a co-m eter crímenes horrer1dos; (¡ue le hace afrontar el n1artirio, si con él
espe·r a beneficiar a sus sen1ejantes, o le induce a desencade11ar u11a gtterra
i11justa y atroz, para satisfacrr los más bajos y despreciables apetitos.
(1) De la. clase de de~pedi<la., d:1<la, e11 lu l~:tcultad de Ciencias Eco11ómicas de la l rnivereida<I <le llueuos J\ire~, el 25 tle al>ril <le 1941.
-
XII
II
Si l)l1::;c:11n<)S <~r1 t111 <li eri<>tlttrio la (ltin1<)l<Jgía ele la pal rt.l1ra rtzrtr, i1os e11tcraremos <l(~ (¡ue pro\~ic11c del árabe y que sig11ifi ca rlrtrlo, o, tal \·( z co11 maj or
propiedad, s1J.erte de liarlos, pues l1ay C'i crt~t i11cPrtidt1ml)re al respe ct(>.
J.. ~t palabra suerte pr<.lcede, p<)r su part(', <lcl latí11 j" tic~ne el n1i~1no origen
r¡ue salir. F~~ decir, ({tlC la 8ll crte se ,·i11 r t1l;t a Ja proclt1 r rión de u11 hecho
f ortt1ito: \ Crosímilmcnte, la sali(]a de lt11 <l(~termir1ado ¡J1l1ilo e 11 los dados.
1'~ lt11a dcri \"ació11 a11áloga tiene la p alal)ra c!ia11 ~e, que, aunr1uc f ra11ecsa,
se. usa en ciert<)8 aml)ie11tes c11tre 11osotros: viene de choir, ca<~r. Segú11 caiga11 los dacios, así será la suerte.
ese, 1>ues, que, movido el hombre por ese espíritt1 de aventt1ra a que me
acal)o de referir y no contento con los azares naturales de la vida, creó nue\ras
formas de azar: inve11tó el juego.
En realidad, los dados 110 so11 sino u11 perfeccionamiento de otro jt1eg<l
prin1iti,ro, el del a.."trágalo, del <1uc se l1a11 l1allaclo hucll ~ts e11 tiempos IllUj'
remotos.
Es el astrágalo u11 l1t1esecillo que sr. (~11cu(\11tra e1t la ¡>at[t tr~i~errt - e11 la
cor\ra o jarrete, para n1ayor pre e i~i()11 - de ciertos ar1imales t' <1r110 la cal)ra
J el carnero. Por su forma alargada, el ,L;.; t rágalo sól<> ptl(~tl<.~ <)Í rccer a la ,.i.st 't
~l caer, u11a de las cuatro car~ts lateral<':;, a la~ q tl (~ se h~i cía l~orrcspo11 (lc r
los números 1, 3, -1: y. 6.
En el juego se t1sal)an, 11ormaln1e11te, r t1atro astrágalos (1ue se agi t ~1l) ~t11
an 1111 c ttl)]lf)t c - tal co1110 se hace ho,·
co11 los clad<)S--·- ar1tcs <lf\ echarlos .
•
Los \ral<)r(~S atribt1ídos a las \"arias comlJi11a cione~ (¡Ue f orn1alJa11, al caer,
las caras de los disti11tos a~trágalos empleados, no correspondcr1, e11 verdad,
a la tlificultad real (le su fo1·1naci~n1: al \'a.l(>r de 8tt f('specti\· ~l fr(~cue11ci:t.
Pero ello 110 impidió 11u11ca <1uc el jt1eg(> gc>z:tse de gran })redi cam~11to.
Después de i11\"ent.ados los dados, st1bsistió at'111 el jl1ego del astrágalo,
por algún tiempo. 8ul)sÍ:-,lió. sobre todo, su rec~ucrdo y el se11ti111ie11tt) que
le atribuía. u11a cierta vi11culació11 con la inoc·encia y con Ja gracia i11f a11tiles.
K. G. Hagstrom, en 1111 bellísimo opúsculo titulado « I"os prclt1dios a11tiguos del cálculo de las probabilidades \>, l ita u11 poema de Antipater c¡ue
figura e11 la Antologfa y e11 el cual hallamos la más acaba<la expresión del
sentido que ~~igr1aban aquellos hon1brcs :il astrágalo, aparte de st1 mero
valor como i11strume11to de jucgc).
El poeta dcscul)re, grabados sobre t111a tt1n1l>~1, tltl(~ \"(' astrág~tlos: los cuatro prime-.·os forma11 la cumhinaci t.'H1 cott<>Ci<la C<>rt <\l 11oml)rc ,fe .i:tiro (l<"
Alejandro >: ; 108 otr<>s ct1a.tr<> el llan1a<lo «tire) (1<~1 (\frl><> , J.. , p<>r fi11, (\l tíltimo dado, 1nt1Pstra la '':lra c1c 1L<)tt1i11ad,l (. (;J1ic>.~ ·· , tic f11r1~~t:t sigr1ifictt(·i <)11.
Y (le todc> t~llo. <leducc, A11tipat<·r, 'fll<' c·l n1t1<·1·t,, (•ra t111 a<.lolesccnte dt)
1
1
'r
1
Chi()~ Jla111:l(ll> .-\lt~ja11(lro .
1
-
XIII -
III
Pero a todo esto, i10 tenemos aún t111a \rerdadera defir1i ción del azar.
La mayor parte de los que se l1a11 ocupado del tema ha11 optado, más qtte
por definirlo, por nega1·lo. David I-It1me, e11 su «Trata.d o ele la X aturaleza
h11mana», dice textualmente que «el azar 110 es sino la 11egació11 <le tina
causa», y como 110 admite que esa causa pueda nunca faltar, dedttct~ que
el azar es sólo la ignorancia en que nos hallamos de las verdaderas causas
de los fenómenos.
Laplace, el admirable autor de_la «Teorfa analfti ca de las probabilidades>
ha expresado esas mismas ideas con ui1a elegancia y una belleza hasta hoy
no igualadas.
cTodos los acontecimientos -escribe- aún aquellos que por su pequeñez
p ·a recen escapar a las grandes leyes de la naturaleza, provienen de ellas tan
necesariamente como los movimientos del sol. En la ignorancia de los vínculos que los unen al sistema entero del universo, se los ha hecho depender
de causas finales o del azar, según st1 producción sea regular o se sucedan
sin orden aparente; pero esas causas imaginarias van retrocediendo a la.
par que se ensanchan los límites de 1111estro saber, y desaparecen del todo
ante la sana filosofía que no ve en ellas sino la expresión de la ignorancia
en que nos hallamo..~ respecto a las causas verdaderas ».
Y más adelante agrega: <Debemos, pues e11carar el estado actual , él
universo como el efecto de su estado anterior y con10 la causa del que le
seguirá. U11a i11teligencia que, e11 u11 mome11to dado, conociese toda.s las
fuerzas que animan a la naturaleza y la situació11 respectiva de los e11tes
que la componen, y fuese, a la vez, suficie11teme11te amplia para someter
esos datos al análisis, abarcaría en u11a única fórmula los movimier1tos de
los mayores cuerpos del universo y los del más le\·c átomo: nada serla incierto para ella y lo mismo el pasado que el-futuro estarían presentes ante
•
SUS OJOS».
Cien años antes que Laplace, había expresad<> ideas a11álogas, t1110 de lt•s
primeros que se ocuparon del cálculo de las probabilidades: Pedro Remond
de l\fontmort. E.n el prólogo de su «Ensayo de a11álisis sobre los jt1egos de
azar>, figura el siguiente párrafo: «Si se ha de hablar co11 exactitud, 11a(la.
depe11de del azar; quién estt1dia la 11aturalez~t se conve11<\e pr<>11to de c1ue su
Autor procede de una ma11era ge11eral y u11if orme, que tie11e (~l rarártcr de
una 8abiduría y u11a prescie11cia i11fi11ita::;. 1\sí, para. <lar a c~a ¡>al~tbra azar
u11 8entido <111e ésté de acuerdo <·011 la verdadera f i l<)8ofía, se l1a <.le pen~~11·
que todas las cosas están reguladas st•gl1n un orde11 <¡ue, a menudo 11os es
desronl>Cido. Para nosotros depende11 del azar aqt1ellas <~uya causa 11atural
no conocemos. Dada esta dcfir1ií·iú11, pod<.~111cJs decir <ttie -la \ ida del hombre
es u11 juego en el r1ue reina el azar».
1
---ft
XIV -
IV
E11riqt1e Poincaré, el esclarerido matemático fra11cés r.011temporá11eo. (lc··dicó no pocos afa11es a dilucidar la naturaleza del azar.
En un artículo publicado en 1907, en la «Revt1e dt1 Mois», incorporado
posterio11ne11te al libro «l.. a ciencia y el método», dice: «....\nte todo ¿.qué es
el azar? Los antigt1os distinguían los fenómenos que parecen obedecer a le);es
harmo11iosas, establecidas una vez para sien1pre, y los que atribuían al
azar, aquellos que no podian prever porque eran rebeldes a toda }Qy» .. .
cEn esta co11cepciór1 la palabra azar tenia un sentido preciso, objetivo: lo
que era azar para uno lo era también para los de1nás, y aún para los dioses.
Pero esta concepción no es la 11uestra; 11os hen1os vuelto determi11istas absolutos, y hasta los que quieren co11servar las leyes del libre albedrío humano
dejan, al me11os, qt1e el determinismo impere sin oposición ei:i el mundo
, .
1norga111co'>.
.
Pero en otro ·libro posterior, «El ,·alor de la ciencia», . al o<!uparse del azar
y al ,·er la parte importante que juega e11 las moder11as teorías de la física,
se pregu11ta si, cuando se identifica e11 cierto modo- nuestra ignorancia
co11 el azar, 110 será preciso aclarar conceptos y añadir:
«~le pedís q11e os prediga los fe11ómenos que van a producirse. Si, por
desgracia, conociera yo las leyes de tales fenómenos, 110 podría conseguir lo
qtte qt1créi8 si110 media11te cálculos i11extrirables, y debería rent1nciar a co11testaros; pero como teng(> la suerte de ignorarlas, os ''ºY a contestar e11 el
acto. Y lo n1ás extraño es que mi respuesta será acertada».
I>oi11caré po<lí:t expresarse ~';Í porque el cálculo de las probabilidades
-del que fué i11supc\rable maestro- le permitía don1inar las leyes del azar,
qtic existe11 y son bien ronorid~, a pesar de c¡ue la palabra azar sugiere,
e11 el acto ausc11ria de toda ley.
t;n pa~-;o má.'; -)"' de gran trascendencia- han dado Jos matcmátic·os de
11uestros clías, e11 el sentido de atribt1ir al azar t111 papel prcpor1dera11te e11
la cienria y que i10 se vincula e11 modo alguno a 11uestra ignorancia.
Sir James Jeans, el eminente físic·o inglés, autor de tantos y tan profu11dos
y bello::; libro8, hace notar e11 u110 de los más rel·iente8 -<Los nue\·os fu11tlamentos de la c·icn<·ia»-, <1ue hablar de prol>abilidad en la \·ida ordi1taria
presupo11e una cierta imperfect·ión en 11uestros ~011ocimit.)11tos. ...\si, si un
'\"Íajcro dcsee:t <.·ruzar el ra11al de la :\I a11rha y c¡tti{)re avcrigttar, ar1te8, ::;i el
mar estará o no tranqt1ilo e11 un n1on1ento dado, la re~puest a c¡uc obte11ga
de un profano te11drá lllL ,·alor meramente ('011jetura]; pero 110 ocurrirá lo
mism<> cor1 la (jUC le pueda dar t1n metereólogo pose~<.l<Jr (le datos precisos
y f el1ac·ic11 te~~.
<E11 fisica -dice Jea11s, textualme11te-, tc11emos 11ecesida<I de hal>l~tr
...,..... XV_...
de probabilidad, con respecto a la producción de acontecimientos futuros,
0 •a los resultados de un experimento, por cualquiera de estas dos razones:
p-tiede ocurrir que en las condiciones act.t1ales- nuestros conocimientos
sean inadecuados, o puede suceder que, aun cuando se c11mplan las condiciones presentes, subsista cierta incertidumbre en cuanto al futuro. En otras
palabras, la unifor111idad de la naturaleza puede f aliar>.
Notemos que es Jeans quien ha dicho en otro libro anterior que el
universo se asemeja más a un gran pensamiento que a una gran máquina;
un pensamiento cuyas caracteristicas especiales le inducen a calificarlo de
mate111 ático.
Si, después de barajar las opiniones de tantos hombres ilustres~ ·nos quedamos como estábamos, es decir, sin una definición concreta del azar, no
culpemos a nadie: es la natt1raleza misma del tema abordado la que así lo
•
impone.
Pero, después de todo -como dijo Bertrand, hace ya medio siglo :
<Sobre un tema, vagamente definido, se puede i·azonar si11 equivocos».
Por eso subraya que sería un er1·or apartar al químico de sus hornillos para
exigirle r1ue, antes, se pronuncie sobre la ese11cia de la materia, o postergar
el estudio del transporte de la energfa eléctrica hasta que se conozca, a
ciencia cierta, qué es la electricidad.
Y por ello nosotros basamos confiadamente en el azar au11que no tengamos de él una definición precisa- la teoría y la práctica de los seguros:
sobre todo, de los que a la vida se refieren.
,
INDICE
p''·
BIBLIOGRAFÍA • . • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
A MANERA DE PRÓLOGO
IX
INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XI
INDICE • . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVII
. .. .. .. .. . ... . . .. .. .. . . .. .. . ... .. . ... . .
LIBitO
PUI~fERO
LAS FUNCIONES BIOM~TRICAS
CAPÍTULO 1
TABLAS DE l.VIORTALIDAD
1.
11.
111.
IV.
V.
Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J,as funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La función L z • • • . • . • • . .. . . . . . . • . . . • . . . . . . . . . . . . . • . • • . .
Tasa central de mortalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probabilidades relativas a periodos superiores a un año . .
1
3
7
10
12
CAPÍTlTLO II
VID ..~ l\fEDIA, VIDA l)llOBABLE, Mf\S PROB...\BLE
DURACIÓ~ Dl~ L¿.\ VID ...\
l.
Cantidad de existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Vida media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111. Vida media diferida - v"ida meclia tern ¡Joraria . . . . . . . . . . .
IV. - Vida probable - Más probable (lt1rarión (},~ Ja ,·ida - ' ' ida
media de una población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
11.
20
23
CAPÍTULO 111
LA TASA INSTANT ÁKEA DI~ !\IOR1"ALIDAI)
Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . .
11. - Determinación de las f unrioncH })iométricas, mcdia11tc tJ.z • . .
1.
29
31
-i
XVIII P ie.
111.
IV.
Cálculo aproximado de tJ.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . •
Coeficie11tc diferPncial de las fu11ciones biométricas . . . . . . .
33
35
,
CAPITlTLQ IV
HIPÓTESIS REI.J ...\.TIV..c\S ...e\ LA TASA INSTANTÁNEA
DE MORTALIDAD
l.
II.
111.
I\'.
,....
A11tercde11tes .......... . .. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hipóte~is de (~ompertz . . . ... . ...... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hipótesis de Gompertz-~·Iakeham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cálcl1lo de las consta11tes.. . ... . . . ...... . .. .. ..........
I . a segu11da f órn1ula de l\fakeham - La fórmula de Lazarus
39
40
42
43
46
,
CAPITULO \"
PitOI~ :\BILID . \Dl~S
DE VID ..\. Y ~IUEiiTE REFERENTES
..\ GRUPOS DE DOS O l\!ÁS PERSONAS
1.
II.
Probabilidades de \tida: dos personas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probabilidades de 1nuerte: dos personas . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probabilidades relati \"as a más de dos vidas . . . . . . . . . . . . .
Propiedades de las fórmulas de Gompertz y de Gompertz-M~-
49
50
keh am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
'\'. - Propiedad lle iJ.ruz· .. . .. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · •
VI.
Vida media de t1n grupo . .... . .... : .................. .
VII.
Probabilidades de supervi,"e11cia . . ....................... .
59
62
llI.
IV.
.
.
55
63
65
'·
CAPITGLO
VI
TABL ..\S DE :\lORT.\I.,IDAD DE ..\SEGUR. \DOS
l.
11.
111.
Distintos tipos de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Expuestos al riesgo
Tablas de <ª<>11ju11to . . . . . . . . . . . . . . .
Tablas selectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
70
72
CAPÍTULO VII
.<\JCS1',.\ :\lll·:~TO Dl~ I.JAS TABLAS
1. I I. 11 I. IV. -
Condicione~ genera les
. .. . ..... .... .. .. .. .. .......... ..
Método g1 áf ico . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mét0<lo merániro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~f étCKlo analíti<•,> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
78
79
85
-XIX-
LIBRO
SEGCNDO
SEGlTROS SOBRE LA VIDA
CAPfTULO VIII
NOCIONES FUNDAMENTALES
Pir:.
I. 11.
111.
IV. -
Definicio11es del seguro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El seguro sobre la vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capital diferido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ·. . . . . .
Tablas de conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
88
89
91
CAPfTULO IX
RENTAS \rITALICIAS CONSTANTES
l.
I 1.
Renta inmediata ................................ ., . . . . .
Renta diferida . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.
Renta temporaria . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV. - Renta interceptada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . .. . . . .
V. · Valores de conmutación ................... ·...... ·. . . . . .
VI.
Rentas anticipadas ...................... .· .........· . . . . .
VII.. La renta diferida en ·función de la. inmediata ..... ·. . . . . . .
VIII. - Algunas relaciones interesantes ............ . .·. . . . . . . . . . . .
92
93
94
95
95
97
99
99
CAPfTULO X.
RESTAS VITALICIAS V.A\.RIABLES
.
.
l.
Rentas inmediatas .. ~ ....... . ... ; ~ ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
'
11. Rentas temporarias y diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111. - Rentas anticipadas ... ·.. ~ ..................... ·. . . . . . . . .
103
105
107
CAPÍTtJLO XI
REST.\S PAGAl)ERAS EN SUBPERIODOS DE A'RO
l. - Re11tas inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. - Rentas diferidas y temporarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111. - Mejorando la aproximaci611. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
111
112
,
CAPITliLQ XII
SEGUltOS E~ CASO DE l\IUERTE
l. - Seguros de vida entera .. .. .. . ............... · · · · · · · · · ·
II ·
Seguros dºf
. . .. . ... .. . . ... . . . .. .. · · ·
1 er1ºd os y tem porar1os
11 I. - Segu ro mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · · · · · ·.· · · · · · · · · · · · ·
116
118
120
_..,. XX CAPfTUI"O XIII
LOS SEGUROS E~ CASO DE MUERTE EN FUXCIÓN
DE J, ..\.S REXT:\S
Pag ..
1.
II.
111.
Seguro de vida en tera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Seguros diferidos, temporarios )r mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . .
Seguros pagaderos al ocurrir el deceso . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
123
124
CAPÍTULO XIV
SEGUROS VARIABLES
l.
Seguro de vida entera .................... . ....... . ....
127
II.
Seguros diferidos y temporarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
CAPÍTULO XV
P R I l\f A S P E R 1 Ó D I C A S
l.
II.
III.
IV.
Primas anuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Las primas anuales en Í\111eió11 de las rer1tas . . . . . . . . . . . .
Algunas relaciones interesant~s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primas pagaderas en periodos menores de un año . . . . . . .
132
135
137
139
CAPfTL""LO XVI
R E N T A S C O l\I P L J~ T A S
l.
II.
Rentas anuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rentas pagaderas en subperíodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
111. -
Buscando mejor aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
•
141
CAPÍTl~LO XVII
FOR~fAS ESP~:CIALES DE
SEGl:Ro
I.
Seguro a capi tal doblado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. Ténnino fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.~ Seguro de rentas
• • • • •
•
•
• •
• •
• • •
• • • • •
•
•
·
•
• •
•
•
• • •
•
•
• •
•
•
•
•
148
148 .
149
CAPfTt;LO X\. III
P R I \I /\ S D l: T A l l I F :\
l. - Gastos f¡tte recargan la 1>rimct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.
Primas úni eas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. - Primas a11t1ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•
152
153
154
-XXI -
,
CAPITULO XIX
RECARGOS ESPECIALES
I. - Riesgos complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. - La doble indemnización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
JII. - La invalidez .. . ......... .. .................. : . . . . . . . . .
IV.
La participación er1 las utilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
157
159
161
CAPÍTULO XX
REEMBOLSO DE PRIMAS
Cómo surge el problem~t .............................. .
.
, .
P rimas umcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
111. - Primas anuales • • • • • • • • • • • • • •
• • • • •
• • • •
• •
• •
l.
11.
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
165
165
166
CAPfTULO XXI
RESERVAS MATEl\IÁTICAS-RESERVAS PURAS
I.
Lo que es la reser\'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. - La prima natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. · Reservas negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV. El método de previsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.
Método retrospectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.
Método de Fouret o de rect1rrencia .............. , . . .. . .
VII.
Prima de riesgo y prima de ahorro ............ ; .. . . . . . .
VIII.
Reservas de balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
169
170
171
172
175
178
179
181
CAPfTULO XXII
RESERVAS MATEMÁTICAS-RESERVAS CARGADAS
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
Qué son reservas cargadas .............................
El método de Zillmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cuándo son útiles las reservas cargadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
Influencia de la selección médica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Método de Ferguson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Método de selecció11 y final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Consideraciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
184
187
189
190
192
193
CAPÍTULO XXIII
MODIFICACIO~ES EN L ..\S PÓLIZAS
1·
11.
Origen del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.
Préstamo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rescate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
196
198
___,i
XXII PAsr.
IV.
V.
\ .T I.
VII. -
Póliza saldada • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Prolongación de vigencia o prórroga ................... .
~I0<lificaciones no pre, istas en el ''Cuadro de va1ores'' ..... .
Ejereic~ios 11uméricos .................................. ,
•
•
•
1
l{JS.
199
201
203
,
CAPITULO XXIV
LA CUE~T1\ DE G...\~A:N"CIAS Y P~RDIDAS
I.
Las fuentes de las ganancias o pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . .
La mortaJidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
209
III. -- I11terés )' mortalidad...................................
I\'.
Estado de ga11anrias y pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.0
212
II. -
CAPÍTULO XXV .
RENTAS SOBI!E VARIAS VIDAS EN CONJUNTO
1.
Ca1litales diferidos sobre dos vidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1I.
Rentas \·italicias sobre dos vidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
Rentas sobre más de dos vidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I\'. - Re11tas pagaderas e11 :subperíodos de año . . . . . . . . . . . . . . . .
\'.
Cálct1los numéricos . . . . . . . . . . . ... . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215-
216.
218
221
222
CAPÍTULO X.XVI
SEGUROS SOBRE VARl ..\S VIDAS E~ CONJUXTO
l.
I I.
III.
I\'.
,....
'rl.
Seguros (le \'i(l~t ente1a sol)re dos vidas . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reguros dife1 i(los y temporarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
227
Seguros mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Seguros pagaderos en el momento de la muerte . . . . . . . . . 228
Seguros solJre más <lP dos vidas, pagaderos a la primera muerte 229·
8Pgltros sobre n1ás de dos \ridas que no se pagan a la primera
231
n1ul~rtc .............................................. .
232.
•
•
• • • • • • • • • • • • •
•
•
CAI>JTULO XXVII
REXT..~S Y SEGUROS DE SUPERVIVEXCI.:\
Re11ta~ de supc)r\·i \·e11<·ia. sol>rc dos \"iclas ............... .
234
JI.
J{entas de st1}>l~r\·i,·cr1(·Í~t p2.. ru grt1pos de más de dos ''idas.
l l I. -- ~egt1ros <le ~uper\·i \'et i<·ia :sol1re clos ,. i<las . ............. .
I \'. - - Scgl1r<):-5 (le super\·i \·crieia sol>rc más .<le dos \"idas ....... .
\"'. -· J>rin1:t ~ a11t1r1.les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\·I. - l{eHt•r\·ti~ r11~ttcn1:ítit·ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,. 1I. - Ejem¡>los 11t1111~rit·c>s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
')'> ~)
I.
--·>·
237
240
245
247
247
-
XXIII -
LIBRO
TERCERO
•
SEGUROS VINCULADOS AL DE VIVA
CAPfTULO XXVIII
LA INVALIDE· z
P&~.
l.
II.
111.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII~
IX.
Probabilidades de invalidez ............................
Mortalidad de inválidos ........ ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Construcción de la tabla básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probabilidades de vida y muerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rentas de invalidez ............................... . .. ·.
Rentas pagaderas por cuotas en subperíodos de año . . . . .
El método de las ''Cajas de Pensiones'' ..... ~ . . . . . . . . . .
Seguros en caso de muerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primas anuales y reservas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
253
254
258
260
262
263
265
266
CAPÍTULO XXIX
SEGURO DE ENFERl\IEDAD
1. - Las tasas de morbilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
268
11.
270
272
El subsidio de enfer111edad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.~ Prünas anuales y reservas .............................
TABLAS
Tabla de Mortalidad, Hm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. - En\'ejecimiento uniforme. Tabla de Mort9.lidad Hm. Edades
•
iguales . . . . . . . . . . . . . . . . _. . . . . . . . . . ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
Conmutaciones al 4 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
Constantes al 4 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.
Invalidez. Tasa de invalidez de Behm. Ivlortalidad de inválidos - ferro viarios alemanes -- Zimmermann . . . . . . . . . . . . .
VI.
Invalidez. Sobrevivientes válidos e inválidos . . . . . . . . . . . . .
VII. - Enfermedad. Tasas de morbilidad, en sema11as. Ma11chester
275
lJnity, 1893-97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
287
I.
•
280
281
284
285
286
LIBRO PRIMERO
,
LAS
FUNCIONES BIOMETRICAS
CAPITULO PRIMERO
TABLAS DE MORTALIDAD
I
GENERALIDADES
Un distinguido actuario escocés, G. Low, ha dicho que ''el seguro
'' sob re la vida
co11siderado como u11 negocio
está fundado sobre el
'' p:r incipio de que el número de muertes que pueden ocurrir, en 110 grupo
'' suficientemente n11meroso de personas, 110 es enteramente arbitrario,
'' sino que está sometido a leyes de promedios cuyo grado de 11niformid&d
'·' y exactitud permite establecer bases de cálculo sobre las cuales pueden
'' arrie9gar, sin temor, los a.~guradores, su capital, y los asegurados, el por,,, venir de áquellos por qt1ienes deben v'"elar.
1
'
De conformidad con este principio, se han construido wblas de mort.a'' lidad, en las cuales, utilizando datos obtenidos en diversos lugares ~r cir'' cunstancias y depurados por procedimientos variados que presentan un
'' mayor .o menor grado de exactitud, se da, para un grupo inicial de pers~
'' nas, en número arbitrario y de tina edad dada, arbitraria también -usual'' mente la edad cero, que corresponde al instante er1 que se nace-- el nú'' mero de personas que sohreui11en eri cada ariiversario, y , por consiguiente, el
''de las que han fallecido en el transcurso del año.
'' ,.fales tablas permiten a las compafiía." rle segurc>s fijar las tasas de
'' contribució11 que corresponden a sus clientes. )' de la suficie11cia de la
'' tabla de mortalidad, fijada en cada caso. depe11cf P taml)ién la. suficiencia
''de las primas que las compañfas cohrara li ~uR t~Iic11~s''.
·1,
1
-2Por su parte, GEORGE l\:rso, el reputado autor del primitivo ''1'ext
Book'', define la tabla de mortalidad diciendo que es ''el instrumento destinado a medir las probabilidades de vida y de muerte''. Y, para dar a st1s
lectores una idea de como puede formarse una tabla semejante, supor1e un
numeroso grupo de recién nacidos cuya vida va siguiendo año por año hasta
la total extinción del grupo.
S. Es evidente que tal cosa no se puede hacer. Si el grupo fuera suficientemente n11meroao como para que las observaciones hechas pudieran
tener algún valor, ese grupo t.ardaría alrededor de un siglo en extinguirse.
Aparte de la imposibilidad material de seguir sus evoluciones, se nos })resenta un hecho mucho más interesante de señalar, pues nos evita caer en
la tentación de reemplazar el grupo originario por una serie de grupos st1bsidiarios que, año por afio y con leves diferencias, pudieran tomar el lugar
del primitivo. En una centuria, las condiciones de vida varían considerableme11te merced a múltiples causas, unas favorables y otras co11trarias.
Los adelantos de la higiene; los progresos de la medicina, sobre todo e11 lo
relativo a enfermedades infecciosas; la realización de obras sanitarias en las
ciudades y pueblos, han contribuido a prolongar la vida humana. En cambio, la industrialización siempre creciente, que va transformando braceros
rurales en obreros urbanos; la exacerbación de la lucha por la existe11cia,
que produce cierta agitación en los espfritus, y desgasta -como consecue11cia los cuerpos, son causas que diSJninuyen la vitalida de la especie. Y no
digamos nada de las amenazas que representa la llamada era atómica.
Es, pues, imposible, au11 en el caso de que se disponga de u11 grupo de
población que a ello se preste
cosa que nunca ocurre
construir una
tabla de mortalidad siguiendo a un n11meroso grupo de individuos desde
la cuna hasta la tumba. Si tal tabla llegara a construirse, carecería de todo
~lor al ser terminada, desde que ·.responderla a condicio11es de vida suce:aivas y pasadas y no actuales y coexistente,s.
Otros son los procedimientos que se emplean para construir las tablas
de mortalidad~ En vez de tomar un grupo de individuos para seguirlo dura1lle
toda su vida yaeten11i11ar el número de los que sobreviven a cada edad,
deducie11do de dicho i1úmero de sobrevivientes las probabilidades de ,·~da
y muerte, S(' prefiere determinar -mediante grupt>S de perso11as fácilmente observahles y respo11diendo. cada gn1po a tina misma edad -las
prol)abilidacl<\~ de ,·icl:t <) de 1nuerte par<1 cada una de esas edades, y dE.aducir
dP tales prol>al)i licla<les el correspon<lie11te númerc> dt· sobre,"ivie11tes, part.ienc l<t <le 1111 11(uner(' l>ásie,, <{U(\ se da de antema1to para la edad i11icial.
y r¡tte pt1e<le ser la ~'<l~t<l cero.
Dicl1c> 111'im(lr<> s<~ lla.n1a l1a.~e ,, raíz <le Ja tahla.
-3-
11
LAS FUNCIONES ELEMENTALES
s.
Representemos por l :e,
l inicial de la palabra i11glesa living, viviente , el número de personas que, de un grupo inicial dado, aloonzan
exactamente una deter1ninada edad, x, indicada por el subíndice respectivo.
Si es a la edad inicial de la tabla, la representa el número de vivientes a
dicha edad a y, a la vez, la base o rafz de la tabla. Ya queda dicho que esa
edad a suele ser la edad cero.
La función lz es, pues, una función esenc~almente decreciente, toda vez
que el grupo, en el transcurso del tiempo, va disminuyendo por las bajas
naturales que en él produce la muerte.
Si representamos por ds d inicial de la palabra inglesa dying, agonizante, moribundo , el número de personas del grupo que mueren después
de cumplir la edad x y antes de c11mplir la edad x + 1, tenemos:
(1)
Si, por otra parte, a partir de la edad x se suma el número de personas
que mueren en cada uno de los años 8Uhsiguientes, hasta la edad Jfmite
de la tabla, es decir, hasta la t,ot,al extinci6n del, grupo, esa suma es igual
al número de personas lz que componían el grupo inicial:
1- w-1-z
~
lz =
i
==o
dz+a
(2)
representando por la letra griega w la edad de la tabla para la cual no queda
ya ningú1i sobreviviente de modo que se tenga:
lw-1 = d., l•
lw =O
4. . Rea, ah<>ra, Pz la probabilidad c¡ue tiene una persona, que acaba de
cumplir la edad .r, de vivir un afio más, es decir, de cumplir la edad z + l.
Esa pr<>l)abi lidad es
'Pz =
(3)
de acuerdo co11 los principios ~lcmentales del cálculo de las probabilidades.
Del mismo modo, la probabilidad que tiene una persona, que acaba
de cumplir x años de edad, de no mirir un año más y que se representa
por qz- es
6.
(4)
= 1-
•
(5)
••
Se ha llegado, así, a determinar las cuatro columnas principales
de una tabla de mortalidad: la que da el n1ímero de sobrevi\'ientes, año
6.
130000
IOQOOO
70000
t~
• .,,,,..,,,..,,.,,,,.
ti Ceder edad' 4
I0.000
o
w
m
~
~
A
-
N
oo
~
O
~
~
~
~
S
Fig1Jra 1
por año; la que da el n1ímero de los que mueren entre dos edades co11secutivas, y las que dan, respectivamente, Jas probabilidades de \·ivir u11 año
md8 y de morir dentro del, año. Esas -y otr&B col1Jmnas más, que se verá.11
en seguida- corresponden a lo que se ha llamado fundones bi,01nétricas,
porque se utilizan para medir la vida.
La función de supervi\·encia es decreciente. El grupo básico - \·erdadero
o supuesto va desgranándose a lo largo del tiempo. El gráfico -figura 1-
-5refleja claramente su ma.rcha. En los tramos inicial y final, que corresponden
la primera infancia y a la senilidad, la curva cae rápidamente: asf opera
8
la mortalidad. Hacia el medio de la vida, la curva desciende muy suavemente: la muerte en ese lapso, apenas se hace sentir.
La eurva que pone de manifiesto la marcha de los decesos -f'.gura 2ofrece caracterfsticas interesantes.
\
I
----..... ...
..,.. . ... .
~ .
;..~
.
..-.
~
~
...... . . ...
•
,, ,,
.....,
.... .. ... __
~
on
1
J
M
--- ---
V
100 AÑOS
Figura 2
El gráfico indica la proporción de las muertes sobre ttn número inicial de 1.000 recién
nacidos. El trazo grueso marca la marcha gc11eral del fenómeno. Cinco curvas int.eriores
muestran la descomposición del misn10. La primera - trazos largos cortados- ter1nina.
en 1 (primera infancia) y nace antes del O inicial. Es que 8e i11cluy·en muertes p renata1'A. La segunda, asimétrica con respecto a un eje marcado con N (nif1ez), indica las muertes en esta éPoCa de la vida. La tercera, cuarta y quinta, simétricas o casi simétricas
con respecto a. los ejes J (juventud), M (ma durez) y V (vejez) indican las muertes en
cada una de esas épocas. Las cifras en ese a la vertical indican el nún1ero de muertes entre
lo8 mil component~s del grupo inicial.
Un demógrado alemán GUILLERMO LEx1s, hizo notar que el número de
mu,e.r tes llega, en general, a su máximo hacia una edad algo superior a los
setenta años. Es la edad en torno a la ct1al normalmente se debería morir,
si no mediaran circunstancias ad\·ersas. Las muertes normales -llamémoslas &Bf- se adensan alrededor de esa edad y forman una curva casi simétrica. Las otras muertes se deben, entonces, a causas pPrturbadoras que se
presentan en las distintaB edades de la vida. En el gráfico se .ven - claramente diferenciadas- las cinco curvas pardales que, según LEXIB, componen la curva total. Si las ca.usas perturbadoras se fueran eliminando,
-6poco a poco, las curvas correspondientes te11derían a desaparecer. E11 can1llio
se iria elevando la curva senil.
La curva que da las probabilidades de muerte t.iene la forma de una
jota -figura 3-. Es que esas probabilidades son altas en la niñez, poco
importantes en la ju\"e11tud y en la madt1rez ~;, otra vez altas
cada vez
más altas- a medida que ava11za la edad.
7.
400
100
o
1Q
30
40
A
•
"
SO
60
O
10
80
10
·IOO
a
Figura S
En cuanto a la cur\"a representati,·a de las probabilidades de vida, es la
complementaria de la anterior.
8. Si se dan -a partir de 11na edad determinada todos los valores
de una cualquiera de esas cuatro funcio11es, es fácil deter111i11ar las series
de valores que corresponden a las ·otras tres.
Las fónnulas (1) y (2) permiten pasar de la función l a la función d, y
recíprocamente. \·~ tenie11do esas dos funcio11es, las fór1nt1las (3) y (5) dan,
en el acto, las otras dos.
Conocer los '"alores de polos de q es, pues, indiferente, ya que de los unos
se pasa a los otros mediante la expresión (4) puesta bajo la fo1ma
Pr = 1 -
(6)
Qr
Pero i11teresa \ter cómo, con<Jcieiido p o q, se pueden calcular l o d. Para
ello se utiliza la (3). Sea x la edad inicial; so11:
/ r--r-1
li:
:
Pz+1 =
. .
P .r-r1 - l =
lz+.t
l.+,.-1
-7y, multiplica11do ordenadamente, i·esulta
•
• •
•
••
·Pz-rn-1 =
• • •
(7)
Relación que permite calcular los distintos valores de l, sin más condición
que la de elegir una base (o rafz) oonveniente para la:, siendo x la edad inicial.
III
LA FUNCIÓN L~
Admftase· que existe una región
pafs o ciudad
cuyas condiciones de ,,.ida son realmente excepcionales y tales que su población permanece estacionaria. El movimiento migratorio y el aumento vegetativo son
nulos, compensándose en cada momento las cifras de los nacimientos y de
las defunciones. Más aún: el n1ímero de fallecimientos se distribuye año
tras año del mismo modo, de manera que la composición de la población
es 8'iempre la misma. El censo levantado hoy es la exacta reproducción
del levantado hace n afios y un anticipo inevitable del que se ha:brá de
levantar dentro de otros m. Este censo da el número de personas que, al
levantarlo, han cumplido
la edad x la edad x + 1, ... , x + n, ... . ¿Es
Hcito asimilar esos valores a la función lz: de la tabla de mortalidad? No:
la función lz da el número de personas que c11mplen exactamente la edad x,.
mientras que el censo que se ha supuesto da el número de personas simque, habiendo cumplido la edad x, no han alcanzado
bolizado por LJ;
aún la edad x
l.
Por lo tanto, a igualdad de edades, los valores de L son menores que
los de l.
Si se admite que las muertes está11 igualmente distribuidas en todo el
año, el número Lz puede considerarse aproximadamente igual al de lz+~
personas que tienen exactamente la edad x + ~·
9.
ya
+
(8)
Pero ese número de personas no se halla tabulado; luego, es preferible adoptar
otra forma de representación. Evidentemente, la hipótesis hecha equivale
a admitir que Lz es igual al número de personas que te-nían exacta11ze·nte
x años de edad, menos la mitad de los fallecidos e11 el año~
•
(9)
-8lo que es igual al n1ímero de personas que llegan exactamente a la
edad x + 1, más la mitad de los muertos entre esa edad J' la anterior
o
L:z; ~ z.+1 + Y2llz
(9 a)
S11mando la (9) y la (9 a) se obtiene
Ls ~ Y2 (lz + l:.:+1)
(10)
es decir, .que Ls es aproximada~te igual al promedio del n1ímero de sobrtftvientes que cumplen ezactamente las edades x y x + 1.
10. Se ha hecho notar que las fót_!llulas anteriores son sólo a¡woxi:madas.
En efecto, creciendo, por lo común, con el variar de la edad las probabili130.000
IDOOOO
7QOOO
AQOOO
10.000
o
10
20
30
40
A
50
so
10
t1
O
S
•
eo
90
100
Figura 4
dades de muerte, es lógico suponer que, entre los que componían el grupo lz
el ntímero de muertes sea menor a poco de c11mplir la edad x, que cuando
estén por llegar a la edad x + l. Esto, sin tomar en cuenta la influencia
notoria de las distintas estaciones del afio en la mortalidad, según las distintas edades. Pero, salvo en los primeros a.fios de la vida, el error que se
,comete es de esc&B8 importancia. Se usarán, por lo tanto, las fórmulas
anteriores como si fueran exactas.
-911. Considérese la curva que da el número . de sobrevivientes, l z· El
área encerrada entre la curva y los ejes representa el n1ímero de afios vivf-.
dos en conjunto por todos los componentes del grupo inicial -figura 4-.
Si se traza una ordenada a la derecha de la inicial, el área comprendida
entre la curva, los ejes y la nueva ordenada A B da el número de años
vi,uidos por todos los componentes del grupo ~esde su nacimiento ha.sta
que alcanzaron la edad x -sea x la distancia O ,A,.-. Y el área compren130000
190.000
40.000
10.000
o
10
20
AD
30
40
A
SO
60
Ñ
O
70
60
90
IOO
S
Figura 5
dida entre la curva, la ordenada A B y el eje de las abscisas, da el número
de atios que deben aún vivfr entre todos los componentes del grupo.
Luego, considerando la franja· vertical ABCD - figura 5
comprendida entre las edades consecutivas x y x
1, esa franja represe11t.a el número de años vivi,dos en conjunto y durante un afio, por todo el gr·u.po. O, si
se prefiere, el n1ímero de personas que
en promedio
han estado en
vida durante todo ese año. En otras palabras, Lz.
Y, si se considera que, en el trapecio mixtilíneo ABCD, puede sustituirse,
sin grave error, el segmento de curva BC por una recta, su área es igual a:
+
-
10-
*12 El área e11cerrada e11 el trapecio mixtilíneo ABCD es, evidentemente, la integral de la función lx tomada entre los limites x J~ x + l. es
decir
1
Lr =
lz+tdl =
(11)
o
1
-
(lz: -
tdz)dt =
t2ds 1
tli: =
2 o
como antes (9).
IV
TASA CENTRAL DE MORTALIDAD
13.
La probabilidad de que muera dentro del año una persona de
edad x, es
(5)
Ese coc~ente se llama ta8a de nwrtalidad. Si se compara ahora, el número ds de los que mueren entre las edades x y x + 1 con el número de
los que, en un momento dado
al hacer un censo, p. ej. , tkclaran tenBT
la edad x, lo que como se ha visto- equivale ~ considerar el n1'Jmero Ls
de personas que tienen todas las edades posibles, entre x y x + 1, el cociente es
(12)
que se llama tasa central de rnort.al,idad.
Pero, como,
resulta
lz -lz+t
=2--lz + lz+t
%(lz + lz+J)
lz - lz+t
o, dividiendo numerador )'"' denominador por lz.
(13)
valor de mz, en función de Pr·
--- 11 --
14.
Para tener m.c e11 función de q., basta sustituir en la (13) Px por
1- q. y 1 p;& por q z· Es, entonces~
(14)
Despejando Pa: en
( 13) se obtiene
(15)
Y como,
queda
. (16)
15. Las relaciones (13) a (16) permiten calcular los ""&lores de l. d,
p y q en función de m, y recíprocamente.
Pero, para poder determi11ar tales valores, hace fa.Ita partir de datos iniciales tan exactos como sea posible. L~ obtenidos directjtDlente en las distintas fuentes que los recogen libros del Registro civil, fichas de los censos
registros parroquiales, archivos de la.s compañf.as de seguros, etc. presentan
mayor o menor grado de exactitud según su procedencia. Pero, en general,
están afectados por pequeños errores que es preciso eliminar hasta donde
sea factible. Además, esos datos dado su origen- no pueden suministrar
7Jrobabilidades, sino frocuendas, y éstas no presentan, en su conju11to, el
grado de regularidad que la naturaleza del fenómeno estudiado presuporie.
Depurar y i·egqlarizar los datos reunidos es el objeto de una operació11 que,
e11 el tecnicismo profesional, se llama aju.~tam.iento. Más adelante se le
dedicará alg11na atención. Jlor ahora basta i11dicar que los disti11tos procedimientos de qt1e se 'rale se pueden separar en tres grupos: los gráficos, los
mecánicos y los analfticos. Los primeros se propo11en sustituir por una
curva, lo más regular que se pueda, la línea poligo11al i·esultante de registrar
gráficame11te las observaciones hechas. Los segundos aspiran a llegar al
mismo resultaclo t1tilizando, en \"ez de· 1as orde11adas de la cur\·a, proniedios
numéricos determinados mediante ciertos procedimientos de cálculo, puramente mecdnicos. En ct1anto a los últimos, trata11 de hallar un·a expresión
analítica f)tte, al ,·ariar, refleje con toda la exactitt1<l posible las variaciones
de la función biométrica observada.
Los procedimientos a11alfticos son, pues, muy super~ores a los gráficos Y
a l<>s mecánicos, desde c¡l1e te11ie11cl(> la fon11a <le la ecuación es fácil trazar
-12-
la curva que la representa. En cambio, implica una seria dificultad poner
una curva empírica en ecuación. Como queda dicho se volverá más tarde
sobre este pu11t.o.
Las distintas tablas construídas no concuerdan entre sí y es lógico
que así suceda. La mortalidad difiere bastante de región a región por razones de clima, cultura, facilidad de medios de subsistencia, etc. Además,
aun en una misma región, una tabla construida con datos que se refieren
a la población general, diferirá, y no poco, de otra basada en datos que se
refieran a un grupo especial determi11ado: asegurados de una o de ''arias
compañia.a; miembros de una asociación gremial; individuos que ejercen
profesiones peligrosas, etc. Pero, ahora, se prescindirá de estas cuestiones,
y se admitirá que se posee una tabla que merece entera fe, de modo que
sea factible emplearla como base de cálct1lo.
16.
V
PROBABILIDADES RELATIV:\.S A PEitÍODOS SUPERIORES A C~ AÑO
17.
La probabilidad de que una persona de edad x -a la que e11 adelante, para abreviar, se designará por (x)- viva aún dentro de ti años,
probabilidad que se indica con el símbolo n p z, es
(17)
nPz =
El subindice colocado a la izquierda del signo principal, p, indica los
años por los que se difiere el acontecimiento.
18. Si, por el contrario, se quiere determinar la probabilidad de que
la persona (x) 110 alcance la edad x. + n, la -probabilidad buscada, que se
representa por ,/ nq z, es la contraria de la anterior:
(18)
lz+n
= 1---
lz
•
••
(19)
Se ha introducido un signo nuevo: la barra inclinada, /, que requiere una explicación. Antes, al tratarse de la probabilidad de vivir aún
n afios, no se usó barra alguna porque el hecho es preciso: se vive o no se
vive. Pero si se trata de muerte, ésta puede ocurrir dentro de los n años
19.
13 0 después de ellos. En el primer caBo, l1ay u11a probabilidad temporaria
0
temporal-·-, en el otro, la probabilidad es dijerida.
Por eso, en lo sucesivo y cuando se trate de eventualidades que puedan
ser d~feridas o temporarias, se utilizará la barra de que ahora se ha hecho
uso, colocándola a la izquierda del subíndice cuando se trate de una probabilidad temporaria, y a la derecha cuando se trate de u11a diferida.
Así, ,,./nq ~ indica la probabilidad que tiene una persona (x) de morir
después de corridos m años y dentro de los n siguientes.
Es cost11mbre suprimir el subíndice n cuando su valor es uno. Por eso,
al determinar las probabilidades de que (x) viva aún un año más o muera
dentro del primer año, sólo se ha escrito p z y q z·
to.
Se tiene la expresión (7)
•
• •
(20)
Luego, la probabilidad que tiene (x) de vivir ·n años más es igual al producto de las n probabilidades que tiene de vivir un año; de que, habiendo
vivido ese año, viva aún el siguie11te; de que habiendo vivido también éste,
viva otro más ... y asi sucesivamente.
,
Lo que, por otra parte, no es sino una aplicación del principio de las
probabilidades compuestas, cuando los acontecimientos no so·n independientes
S1. La probabilidad de que una perso11a de edad x muera, precisamente,
el año enésimo, y que se representa por n-1/q z, diferida por n- l años
y temporaria por uno, que no se escribe
es, de acuerdo con los principios
del cálculo de las probabilidades, igual al número de los que mueren entre
las edades x + n
1 y x + n, dividido por el de los que tienen exactamente
la edad x, es decir
(21)
I
n-1/ Q r =
o, también, por la (1),
l.r+n--1 - - lz+,.
n-1/q .e = - - - --- -
.
n-1 / Qz = n- tPz -
l ;r
nPr
•
••
(22)
o sea, a la diferencia entre las probabilidades de empezar y de termi11ar
en vida el afio enésimo. Lo que es evidente.
-- 14 !2. Si se multiplica )., se di,,ide el segu11do mien1bro de la (21) poi·
ls+n-1, queda
n-1
I
·qz =
'
n-1, q z
•
••
•
= n-lP x•q z+n-1
(23)
Es decir, que esa probabilidad es, asimismo, igt1al a la de empezar en vida
el, año, poi· la de morir dentro de él, supuesto que se lo llegó a empezar. Lo
que también, es evide11te.
~S.
.m3:> =
Ejercicios.
l. Dadas las tasas centrales de mortalidad,
0.00865;
maa = 0.00889;
ma1 =
0.00914;
mas = 0.00942
y un número base, las = 30 000, se piden los valores de 136, l3,, las y la9.
La fórmula ... (15)
da
.
1'31 = 0.99115;
pu = 0.99139;
'Pa7 = 0.99090;
Pu = 0.99062
Con la fó11nula
se obtie11e
/3e == 30 000 X. O.Y9.139 = 29 742
y análogamente,
/37 = 29 479;
/33 = 29 211;
l39
= 28 937
Se observará que los valores de l correspondientes a x = 37, 38, 39,.~. se
hallan indistintamente, baoiendo, por ejemplo
o
puest<> <1u l'
-
15 --
JI. Calcular, con los datos del problema a11terior~ los , . alores de (/3¡,
daa, d31, y das supuesto las = 86 137.
Conocidos los '"alores de p x fácil es encontrar los de q x desde que
Son a.si
t¡n = 0.00861;
qa& = 0.00885; ·
q37
= 0.00910;
X
Y de la (5) se deduce:
d11 =
86 137 X 0.00861 = 742
Como
•••
laa = 86 137
742 = 85 395
Repitiendo el procedimiento se tiene
d11
= 756;
da1 = 770;
daa = 786.
Qas = 0.00938
CAPITULO SEGUNDO
VIDA MEDIA, VIDA PROBABLE,
MAS PROBABLE DURACIÓN DE LA VIDA
1
CANTIDAD DE EXISTENCIA
•s4.
Se vió
11
que el área encerrada entre la curva de supervivencia, el eje de las abscisas y una ordenada cualquiera, correspondiente
a una edad dada que puede, muy bien, ser la edad cero da el número
de años que, a partir de esa edad, vivirán entre Ü>dos los componentes del
grupo, y hasta que el grupo se extinga. Es lo que se llama cantidad de eristenciá, y se simboliza por T
•
:i:
00
lr+tdt ==
Tz =
o
1
2
lz+tdl + · · ·
lz+tdi +
=
o
•
••
1
(25)
•
••
w-z
(26)
t
=l
· S5. Se puede llegar a esta última expresión por otro camino.
Admitir
como hasta aqui
que las muertes se reparten, dentro de
cada año, uniformemente, equivale a aceptar en este caso que todas las
muertes del año ocurren al promediar éste. Se compensan, así, las que se
producen antes y las que tienen lugar después.
-
17 -
Luego -si se parte de la edad J.~ ·- los dx <1ue muere11 dttrante el prin1er
año han vivido, e1i pro1nooio, 1nedio añp cada uno~ y, en conj·u.nto 72 dz.
Los que mt1eren al a.ño siguie11te, dx+1, han , . . j\·icl<J 'l'i atio más que los
anteriores, es decir 3/2 dz+1, e11 co11junto.
Los que muere11 un año después, han ,.i,tido otro ario más, <J sea dos a11.o.-;
y medio cada urto: en total, 5./2 dz+2. Y así, sucesi\ramente, hasta el final.
Es dable, pues, e~ribir.
T z = /2d z +
+ 51¡2d z +2 + 7/ 2d x +- 3 + . . . =
1
= / 2dz + 1/ ?ftz+l + l;/ 2dx+2 + 1,12dz+1 + · .. +
31
1 2d z + i
1
+
fl z + 1 +
d.& -r2 -t-
d X +3 + ••· +
+
dx+2 +
d x+3 + · .. +
d ·- 3 + . . . +
+
•
¡¿
+ ...
La primera línea da la mitad del nú1nero total <.le 111uertes habida..;; año
por año, desde la edad x hasta la exti11ció11 del grt1po. es decir, .t / 2 l x puesto
que por la (2) es:
t =
(ll -
lx =
% -
l
}:
t
=o
dz+t
Análogamente, la segunda es igt1al a l J;+1; la tercera a l .c+2, y asi st1cesivamente.
Por lo tanto
(26)
11
VIDA MEDIA
!6. Esa cantidad de existencia ha sido disfrutada por todos los individuos
del· grupo iniciai muy desigualmente. Unos vivieron apenas tinos pocos dias,
Y aún algunos segundos. Otros llegaron a la extrema vejez. Si se la hubiese
distribuido eq·uif,alivamente entre todos los i11tegrantes del gru1><l inicial , a
cada uno le habrían · tocado· tantos años como indict1 el cocie11t(:.
()
f .r
('27)
lL
Es lo que se llruna vida ·merlia ('(J1ll/Jlel<l, y He simlJoliza r><>r ~~-
-- 18 -
Se define, pues, la vida, 111edia diciendo que es el n1ímero de años que
le correspondería vivir a u11a persona de edad x, si todos l~ años que debe
vivir el grupo l:r:, de que dicl1a persona forma parte, se repartieran por igual
entre todos los componente~ del grupo. Como se ve, para calcular la t'ida
me.(lia es preciso tener ese grupo inicial, lz, es decir, es preciso tener 11.1ia
tabla de m.orta,lidad. Reemplazando en la (27) el valor de T z sacado de la
(26) , se tiene:
~/2l:r:
n
e~=
+ ls+l + l%+2 + ...
(28)
l:e
o, también,
o
l s+ 1 + l s +2 + · · ·
e:r: = }1 + -------- =
lz
(28 a)
(28 b)
Poniendo -de acuerdo con la notación de la tabla dada al fin del volument= ~-z
NI
l.
%
-
~
-
-
f
*27.
=1
Si se reemplaza T :r: por el valor que tiene según la (24), queda
00
00
l:r:+tdl
r.+i dt =
;. =.,_o_ _ _ -
l:r:
00
•
0
,p.,dt
(29)
o
Z:r:
~8.
Si, en lugar de admitir que todas las muertes ocurren al mediar
el año, se admite que tienen lugar al, princi'[J'io del mismo, se tiene lo que
se llama la vida media abreviada. Según esta nueva hipótesis, cada uno
de los componentes del grupo ha vivido medio año men.os. Representando
por ez esta vida mooia abreviada, resulta
•
••
(30)
•
(31)
••
o
e. == e~+ Y2
(28 e)
-
S9.
19 --
De la (31) se deduce
l z -+-2
l z+a
lz + _l_z_ + ...
e z = P z + 2P z + aP z + . . .
ez =
so.
,,, = 1
•
••
~
••
(32)
(33)
mPz
Es, (27)
Pero, por Ja (25),
T % = Lz + Lz+l + Lz+2 + ...
Por ·otra parte, se puede poner
l% = lz + lz+l
lz+t
lz+2 + lx+2 - lx+3 + lz+3 - .. .
= (lz + l z+i) - (lz+l + l ;;+2) + (lz+2 + l z+a) - .. .
= 2Lz -· 21-'z+l + 2Lz+2 - 2Lz+3
= 2(Lz -- Lz+l + Lz+2 - Lz+3 + . ·.)
+ ...
Luego,
Lz + Lz+l + Lz+2 + Lz+3 .+ · ..
2(JJz -- Lz+l + Lz+2
o, también,
Lz+3
+ · · ·)
T.
e% = Y2. - - - - - - - - - - - - - º
Lz -
Lz+i
+ Ls+2
Lz+3 + •• ·
. (34)
(35)
Dada una tabla de valores de la función es, se puede construir la
de la función Pz y, por consiguiente, las de las demás funciones vistas hasta
31.
aqui.
Es, en efecto,
lz+t + lz+2 + lz+a + • ..
lz
multiplicando n11merador y denominador por lz+1, resulta
lz+1(lz+1 + lz+t + lz+a + · •·)
lz.lz+t
+
lz+l + lz+t
ls+a
ls+t
+ · ·.
•
••
•
••
·-
l .c.+l
-lx
e~=
20 -
+
L+2 + l,+3 +
1
lx+l
Pero el factor exterior es p x y el segu11do térn1i110 de la r-;wna er1cerrada
en el paréntesis es ez:+t· Luego,
,
(36)
(37)
32.
o
Si en lugar de los valores .de ez se tie11en los de e z basta utilizar la
'(30)
Substituye11do, queda:
Px =
(38)
III
VIDA MEDIA DIFERIDA
VIDA MEDIA TEMPORARIA O TEMPORAL
SS. Vida media diferida es aquélla en la cual sólo se empiezan a contar
los años de vida a partir de la edad x
n..
Sea la vida media abreviada:
+
l z +1 + l z; +i + l z; + 3
lz
+.. . . = - - = "'=~._, -z,,.p ~
Nz
l.
I
m=l
Para calcular la vida media diferida por n años, se inicia la s11ma a partir
de l.+"+1. Luego, si es "/ez: esta vida media diferida abreiriada, queda:
,./ez =
lz+"+l + lz+n+2
l:r
m =
~4.
I~a
+ lr+n+3 + · · ·
<&a - ·
~
•
••
:r
m = n + l
mPx
(39)
vida media temporaria -o temporal-- por n años abarca los
tañoa de que prescinde la vida media diferida.
Si se la representa por / ne z es:
-
21-
puesto que -referidas a u11 n1ismo lapso
vida media inmediata.
· Entonces,
/nex =
y
N' z
se complementan )r dan la
N
N' z+n
I X -
- - ---
N' z+
¿
Pe
=-----
(41)
/,.e" = Zz+1 + lz+2 + l:.+a + ... + l:.+ ..
{42)
lz
lx
. l .r
_y, también~
/nez =
"' = n
~
(43)
mPz
m=l
S5.
Si se trata de la vida media diferida completa basta, como en el
easo anterior, correr n lugares el término inicial
Se tiene, asi:
Y2lz+n + lz+n+l + lz+n+2 + · · ·
o
n/e z = - - - - - - - - - - - - - [ .e
Multiplicando numerador y denominador por lz+n,
+
lz+n+l + lz+n+2 + · · .)
n/ez = ---~~~-~~~-~~~-~~ =
lz+n(~lz+n
o
lz.lz+,.
•
=-- •
•••
0
I•
,./ez = 11Pz.ez+11
(44)
36. La vida media temporaria es, como ~e hizo 11otar, igual a la inmediata mer1os la diferida. Por l<) tanto:
ft
11
1n e:& --
1
, ,
e' % -
(45)
·e
n· · %
Substituyendo n,1; z por ~u valor (44) ql1eda:
o
/ taf z
o
= er -
12
p
(•
zC z
(45 a)
+•
o
37. Es posilJle calcular directan1c11te t~l valor de /ne z y darle otra
fonna:
o
/nez =
Y2lz + lz+l + lz+'l + · · ·
- ~
l~
-
·-
-- -
-22-
l .r
= 11:+1 + 11:+! + l r+3 + ... + lr+n + ~(l., fx
o
¡·,.e~ = ,· ne:&
S8.
l,,+
11 )
lz
+ ~{l -
nP z)
(46)
Como la vida media diferida es
o
o
o
" ¡'e r = e z -
/ne z
queda, tomando e11 cue11ta la (28 e) y la (4())
o
.
n/ tz = ez
+ !~ - /·~ez - 31 + ~•Pz
•
••
o
n/ez = n11ez + 72nPz
(4:7)
Se llama vida media interceptada a la que es, a la vez, diferida por
n &dos y temporaria por m y que es igual a una vida media diferida por
n años, menos otra diferida por n. + m.
Es decir:
39.
o
n
40.
o
¡' mC z = n,1ez
o
• +n
/e
X
(48)
Al calcular la vida media se procede como si todos los individuos
que componen el grupo l:e hubieran. de vivir lo mismo. Es decir, se considera
que se reemplaza la cur\'& de supervivencia por un segmento de 1·ecta paralelo al eje de las abscisas.
En la figura 6, el punto ·B corresponde a la edad x. Se toma O B = i·.
La ordenada Be es, entonces, igual a z~. La vida media a la edad X está
representada por el segmento B D. Ello significa que el área del rectángulo
B CE Des igual a la comprendida entre la ordenada B C, el eje de las ·abacisa.s y el segmento de curva C F G, o lo que es igual, que las áreas de los
triángulos mixtilfneos C E F y F D G son iguales.
-23-
1\.
VIDA PROBABLE
MÁS PROBABLE DURACIÓN DE LA VID.~
VIDA MEDIA DE UNA POBLACIÓX
· .~1. Si se toma el punto medio, H, de la ordenada C B y se traza por él
una paralela al eje de las abscisas, se deter1nina en la curva un punto, N,
euya ordenada M N" es igual a 72 lz ~.. qtte correspo11de a una edad x + t,
en:' la que t puede ser o no entero .
...
130.000
100.000
E
·~ · --·-·-·-,
•
1
•
1
•
T0.000
40.000
10.000
•
o
10
zo
!
so
40
-
A
"
'
D t1
60
70
o
&O
90
lOO
s
.La igualdad
l r+c -- 1/ .2/l .r
•
••
(49)
•
• •
define una f u11cjó11 que se llama iida probable a la etlad .r, o sea el número
de afios <1ue f aJtan para que el grupo i11icial l x qt1ede rcdt1cido a la mita<l.
O, ~i se prefiere, el número de años que faltan para llegar a una edad en
-
24 --
que tanto la probabilidad de alcanzarla como la de morir a11tes sean iguales
a un nieil?:o.
42.
la curva de los decesos - - figura 2- hay -como se hizo 11•Jtar haci,a l~ setenta años, y en todas las tablas, un máximo, sólo superado
durante los dos o tres primeros años de la vida. Es la edad a la que muere
mayor número de personas- descartada, dicho está, la primera infa11cia- .
Una persona de edad x tiene, por lo tanto, mayor probabilidad de morir
a esa edad que a cualquier otra. El cociente
E11
que corresponde a la probabilidad de morir, precisamente, en el año en.éBi,mo toma su mayor valor cuando d z+n-1 alcanza su máximo. E11 la tabla
usada aqui eso ocurre cuando x + n - 1 = i3.
Teniendo e11 ·cuenta esas circunstancias, se llama m.ds 'J.lrobable dilració1i
de W, z1ida al nlímero de años que faltan para llegar a aquél e11 que l1a:r'" ma)·o1
probabilidad de morir. Asf, para una persona de 25 años. la máR probable
duración de la 'rida es de 48 años y fracció11 -el mayor número de rnt1ertes
ocurre entre los 73 y los 74 años-. La ,·ida media es, seg(111 la misma tabla,
de 38,382, y la vida probable, de 41 años ~,.. 3 meses y medio, aproximadamente.
43.
Se ha ,,isto que '"l~ z es la caritidad de existencia que correspo11de
a las lx personas que tienen exactamente la edad x. Lt1ego, T z+1 es la cantidad de existencia correspondiente a las lz+1 personas de x + 1 años de
edad. Y, por lo tanto, ~ (T z + T z+1) es la cantidad de existencia correspondiente a
personas. Del mismo modo, cada u11a de la::; expresiones
Y2(T .r + ~ + rr z+3); . . .
indica, respectivamente, la cantidad de existencia <¡t1e corresponde a cada
uno de los grupos
Y la suma, Y :r, de todas esas caritida<lcs de e.rt~stenc1·a
•
• •
(50)
-25es Ja ca.ntidad rle existencia f4ue corresponde al lo!A1.l de las Lx+ J_.. .r + 1 + Lz+ 2 +
+. . . pers<lnas que forma11 la población hipotética cuya composición con-
cuerda co11 la (le la tabla de mortalidad.
Por consiguiente. el cociente
y .e
'1~ .r
•
es la tida mooia completa de toda la población Qlie tie1ie X O M.(s años de efiad.
Es una· función de u11 valor muy relati\ro y de poco o ningún uso. Por
·lo tanto, ni Y z ni el cociente Y x :T = se tabulan, por lo ger1eral.
#.
Fácil es ver que Y x es, 110 sólo la ca11tidad de existe11cia de la población total -es decir, el número de años (1ue le q1,edan por vil'ir~ sino,
también, el 11úmero de años vividos por ella, a partir del momento en qlte
cada -itno de sus componentes cumplió la edad x.
E11 efecto, las Lx personas de edad x, han vi,·ido. desde ese n1on1ento,
medio año cada una, las Lz+1, de edad x + 1, han , . i,,·ido un año y medio,
las Lz+2, de edad x
2, han vivido dos años y medio .. .
+
Entre todas han 'rivido, pues,
~Lz +
/2Lz+1 + /2Lz+2 + ,12Lz+3 +
3
= ~(Lz
5
7
--
+ Lz+l + L.r+2 + .. .) +
+ L.z+1 + Lx.+2 + . . . +
+ Lz+2 + . . . +
-
+ ...
45.
Es decir c1ue Y r es, a la \"CZ , el r1úmero de a,ños ''iVi(los ----a partir
de la edad x-- por la població11 est.acioriari~, ) .. el 11ún1ero ele años qt1e Je
qu\eda11 poi· ':-i\·ir. Cuando la edad inicial .r es ig11al a cer<J la po/Jlació1i ha
vivido exactamente la n1itad de su existencia.
46.
Si se toma la población de x o más años de edad, los años 1,-i1·idos
por ese núcleo de p<Jblación -a partir de la edad x-- so11 Y x· · ' cacla perYz
sona i e tocan, por lo tanto,
. Y la r(/afl m1Y{ia tle ca<la t.1110 de ellos
1,z
es, ento11ces: .r +
\~
z •
1' .r
\~ ~
Si a esa edad se le sumar1 lo8
... ar1o~ <le ,·idtt fll(' ('<)rre:-.: 1)<>11J._·r1 :1ú11
1
"l~ z
·- 26 -
a oada uno, se deter111ina la 00,ad, media a "'1, muerte de las personas que
hoy tienen edades iguales o superiores a x
2 y .r
x+-Tz
Considerando wda la població1i, x se reduce a cero ). queda co1no
edad media a la muerte. ·
47.
2Yo
To
o
Valor muy diferente de la vida media completa ea. Esta se refiere a un grupo
de. personas de igual ooad. La nueva expresión se aplica a wdo el conjurtf,o
de la población .
48.
.
La vida media es una función
hay que insistir en ello- que
presta hoy muy relativa utilidad. Muchísimo menos importante aún es la
nueva función que se acaba de ver someramente.
Tanto una como otra deben usarse con suma cautela para evitar sensibles
errores. Y no perder nunca de vista que, aunque al definirla se habla de
población, esa población no es ni puede ser otra que la poblacióri hipotética flte coincide e.ractament.e con la tabla de mortalidad de que se derivan
esas funciones.
49. EjerC'icios. l. Calcular la vida media completa interceptada
:
o
s/ i.stco
Por la {48) es
o
o
o
20/f.40
s./ ue4-0 = 5..le,o
Pero la (44) da
o
o
t45
o
o
r,,/ eto = &P•o •
/
:!o e,.o = 20P.ao • e~o
En consect1e11 cia
o
o
r,.1i~to = c,P•o • e,á -
o
20P•o • eao
De la tabla H'" se sacan los siguientes valores:
[40
= 82 277
/45
= 77 918
l&o =:= 58 842
o
e.:; = 23,778
o
eeo = 13,808
.....- ·)- 1 --
Reemplazando qt1eda:
,,
•
"·
15P4q
7i918 X 23.778
= - - - --
- --·- ·-
8227i
,)8842 X 13.808
- -· - · - - - - - -·-· .. =
8227i
= 12,fl-!3.
11. El perso11al de u11a empresa :se recluta de modo que todos los añ.-\~
ingresan exactamente 500 empleados de 20 años de edad que so11 inmediata ..
me1't e afiliados a u11a Caja de retiros. Este es facultati,r<> a los 60 año..q
y obligatorio a los 65.
. ~\dmitiendo que no .hay secesiones, que la mortalidad coi11cide co11 la de
cierta tabla de mortalidad Ji. que la mitad de los qtte alca11zan los 60 años
se acogen al retiro \"oluntario, e11 tanto que el resto aguarda los 65 años,
se p1regunta:
(a) El núme1·0 total de cotizantes;
(b) El número actual de pensionados, y
(e) El rtúmero total de años futuros que se ha de acreditar a los actuales cotizantes.
Soltteión. (a) El 11ún1ero total de contribuye11tes actuales 8ería:
(L20 + L!1 + . . .
= (Tio
+ L6t)
Tas)
+ La1 + . . . + Le.) =
%(T 60 - T 1r>) = Tto - %(T &o + T &6)
%(Leo
si el número de entrantes, a Jos 20 años, fu era lio. Como sólo entran 500'
el número de cotizantes es
500 [T20- _Y:?(Tao + T66)]
l20
(b)
El número total de pe11sionados es:
500
l
[1·2(Lr.., + J.61 + . . . + L•• ) + (L,~ + LH + .. . )] =
~·)
=
500
l '; 0
· ~~(T6o +Ter,)
Hallado este \~alo1· se tiene, en el acto, el número de cotizantes determillado en (a). E11 efecto, éstos son todos los entrados en distintos años
que sobreviven hoy
es decir,
500
l20
T1o
,
menos los pensionados.
-28(e)
Se vió -43- que
.~(T20
+ T21);
!·2(,.f21 + T2~): ...
es la cantidad de existencia que correspo11<le, respectivamer1te, a las L20,
L21 ... pe1·sonas r1ue tienen 20, 21, . . . años ele eda.<l. Pero, e11 cada caso
hay qt1e desco11tar los vi\·idos despl1és del retir(J, () sea
~1T 60
+ %T = ,!1(,.f + T
65
60
65)
ya que la mitad se retira a los 60 añ<)S, y los demás, a los 65.
IJt1ego, queda
~(T20
+ 1"21) -
~~(,.f 60
+ T Gr.) + >-~('"1"21 + ,.1"22) - }/2(T &o + ,.l. 6¡,) +
+ ... + ~,, 2(Tr>9 + T
~ 2(1"6o + T 6s) =
60) -
z:z
~T2o+T21+ . T22+ ... +Ts9+ ~ ..f6o-20(T6o+Ts5)
=
,72T20 + T21 + . . .
= Y20 -
Yto -
(>~TGo
20(T6o
=
+ T61 + ... ) - 20(T~o + Ta0)
+ T65).
Además, a los ~ L6o, ~ L61, ... ~ ·2 Let en1pleados <1ue siguiero11 trabajando hasta los 65 años se les ha de compt1tar esos años de ser\·icio. Son,
respectivamente,
~/2 [}-2(T 60 + 1"'s1) - ..I . 67)]
% [>-2(,.l.,61 + 1~62) - T 6:)]
. . ... . . . . .. . . . . . . . .
,.
En total
.
procediendo como ant('S-· ::;e tie11f~
~/2(\~ 60 -1"" 6s -
,1T s;,)
Por lo ta11tt), la cantidad total de existe11t·ia. (!UP reprt1 ~c11ta futuros
años (le ser\·icio es --tomando en clienta <1t1e cada atic> ingr~sa11 500 empleados500 [Y2 0 -Yco-'..JO(T&o + T6~) + ~2(Yfili-Ym,-5T&b¡)·
120
C1\PITlJJ.,t) 1'1~RCEllO
LA TASA IXST...\~TÁNEA. DE l\f()RTALID ..\D
1
DEFINICIÓN
50.
Según se ha \"Ísto, es
(5)
la ÚlSa de mortal·idad.
S,i en lugar de calcular esa tasa por un periodo de un año, se considerase
t1B periodo menor: un semestre, un mes, un dia ... y se multiplicara, luego,
el resultado por dos, por doce, por trescientos se.senta y cinco ... , se obtendria una probabilidad de muerte anual, pero respondiendo a la hipótesis
de que, durante todo el año la mortalidad conserva la misma intensidad
que tenla durante el primer semestre, el primer mes, el primer dfa ...
Si es 1/t, p. ej,. el subperfodo anual adoptado, la tasa correspondiente
al subperiodo es:
(51)
Y la co~respondiente al año, supuesta la ·mortalidad del año dada por la
de la primera fracción l/t (un doceavo, si se trata de meses, un trescientos
·sesenta y cincoavo, si de dias, etc.) es
(t) -
q% - l
lz -
l z + l /f
lz:
(52)
Eso -ya se hizo ·notar antes- no es exacto. En las primeras
edades, la intensidad es me11<)f a medida que tra11scurre el tiempo. En el
r~sto de la· vida, por lo general, crece con los años. Si se considera la intensidad de la mortalidad con relació11 a un tiempo infinit,amente pe,queño,
al inst,ante mismo e11 que se llega a cleterminada edad~ se tiene lo <¡ue se
51.
llamá la Ülsa i ·nsfanúínea de ·mortalidad, o ftterza de la rr1orla.Z·idad, o intensi,dad de la mortalidad, c¡ue todos esos nombres recibe.
Es u11a f u1ieión de alto i11terés, no sólo teórico. sin~ práctico. Para simbolizarla se usa la letra griega µ (mu), a la <1ue se añade ttn subíndice indicador de la edad.
En la tahla de mortalidad Hm -dada al fi11al del \'olume11- puede
\.\"e rse que, hasta los doce a1ios de edad, la tasa i1isf,a1itánea es mayor que la
tasa a11ual de mortalidad: dura11te esa época de la ,·ida la fuerza de la mortalidad va disminuyendo.....\ los trece años una y (ltra so11 iguales: 0.00342
) .., en lo sucesi\·o, Ja tasa i11sta11tánea es menor: la acción de la mortalidad
empieza a ganar fuerza
en lt1gar de perderla a medida que el tiempo
transct1rre. Al llegar a los 73 años -edad que marr.a el rna~"or númerc) de
muertes e11 la tabla: la cima 111ás alta de la cttrva respectiv·a- \'uel,·e11
ambas tasas a ser iguales. Y, de ahí en adelante -parece u11a paradoja-la ta.~a instantánea se hace superior. Es que, pasados los 73 años, la ct1r'"ª
de supervivencia cae rápidamente, pero con cie1·to destnayo: parecería <¡ue,
cada dia transcur1·ido, fuese algo a.~i como u11 obstáct1lo st1perado, t111a
razón más para seguir vi,·iendo.
•
li2.
~e define, pues, la tasa instantánea de mortalidad para u11a edad .r
- <1ue puede ser entera o fraccionaria, poco importa- como la re1ació11
entre el número de muertes que debería haber en el a1io con ·respecto al de
perso11as que tie11en exactamente la edad x, si dttrante todo el año la i·ntertsi,dad <le la mortalidad permaneciese i1ivariada, de útl n1odo qtte el 1z.1í111ero
de personas en observación Juera siempre igual sie1ido inmediatamente reemplazadas las vidas extinguida.~ por otras de idlntica edad.
53. Un ejemplo aclarará este concepto. Sea u11 automóvil q11e e11 tres
horas hace un recorrido de 150 Km. Se dice que su velocidad es de 50 Iún
por hora. Pero esa velocidad no es sino un promedio de las distintas velocidades que ha lleva.do durante el curso de su carrera. Si tal automó,ril
ht1biese causa.do una desgracia al cruzar una esquina, es evidente que nadie
se contentaria con ese promedio de 50 Km para establecer si llevaba una
velocidad excesiva en el momento del accidente. Se trat.aria de encerrar
el momento en cuestión entre limites mucho más estrechos y, asf, interesaría
averiguar Jos instantes precisos en que se hallaba, p. ej., a cie11 metrt)S
de dicha esc1uina, antes y después de cruzarla. Y el dato obtenido de c8e
modo tendria un verdadero valor informativo, para la investigación.
Y, del mismo modo que la velocidad, aun correspo11diendo a u11 tiempo
mínimo -un segundo, si puede ser- se expresa con relació11 a la hora,
la tasa instantánea de mortalidad se refiere al año entero, aun cuando para
<~alcularla se utilice u11 lapso mucho me11or.
-
31 --
•54.
Se ha visto que, al calcular la tasa anual de nwrkllid'1.d en funció11
de la correspondiente a un periodo 1/t de año, se llega a la expresió11:
'•)
q~·
lz -
l ,.+1¡e
= t-----
(52)
lz
y la tasa i·1zstantánea de nwrtalidad, µ.z, no es si110 el límite hacii1 el cual
osea, cuando I ¡'t tiende a hacerse
tiende q~> cuando t crece indefinidamente,
infinitamente pequeño.
tJ.z =
l -
lz+t ¡t
lim q~) = lhn t • --:-·-z- - - =
,_. oo
t •oo
lz
-
= lím1/ t-+O
1
•
•
••
1/t
tLz = - - • -
1z
(53)
d.r
La rosa instantáne,a de mortalidad es igual a la deri , . ada de l z, co11 respecto a x, con signo cambiado, ·dividida por la misma función, l z·
Pero la derivada de una f11nción, dividida por dicha función, es la derivada del logaritmo natural de esa misma función: queda, pues,
(54)
tJ.z =
11
DETERMINACIÓN DE LAS FUNCIONES BIOMÉTRICAS MEDl:\NTE llz
*55.
Siendo (53)
dlz
1
fl
.-s --
-
o
•
lz
es
1
-
l
dx
o
dlz+t dt
dt
•
••
1
1
(5.5)
o
- -- 32 -
*56.> •
Por lo ta11to
l
(56)
Y, COffi()
tP:r =
es, también
1
(57)
()
y
''•
n•
tP i:µ. .r +tdl = ..1
n-1
,.,,
-
J ,. dl :e+ t
l r..
dt
dt =
d r + n-1
--l.x
•
• •
n-1
(58)
n-1
*57.
Puesto que
se tiene
r
d log. l%
----dx = -
•
µz(ix = -
o
[
dx ·
]x
lz
loge lz = - log., 0
lo
o
n
--o
~
Y, pasando de los logaritmos a los números,
... n
nPz =
/ {J.z+,dt
. o
(59)
-J:+n¡¡.dx
=e
(59, a)
=
e
-
-!
:¡¡,,+1dl
l.+. = lz e
-- l .t (>,,
·z+a
-
(60)
d
l z '-4-s X
(60, a)
- - 33
III
CÁLCULO APROXIMADO DE µz
*iS.
Si se admite que l.., es una función de segundo grado se tiene:
l:c = a + bx + cx 2
•
••
d lz
dx=b+2cx
¡y para x =O
=b
si se dan, ahora, a x los valores 1 y -
l1
1, sucesivamente,
=a+ b +e
b+c
l-1=a
l-1
l-1
l1 =
l1
2
2b
=-b = -
1, x + 1 y x
Poniendo en vez de 1 y
d l :r:
1, y dividiendo por lz, queda
l.., 1 - lz+l
----- - 2lz
(61)
(\')
*69.
Si se admite que la función es de cuarto grado resulta:
l z = a + bx + cx 2 + dx 3 + ex 4
d l :r:
-
dx
= b + 2cx + 3dx 2 + 4ex3
=b
Ahora,
l1 = a + b + e + d + e
l-1 = a
b +e- d + e
l-1 - l1 = - 2b - 2d
·-
34 -
Además,
l2 = a + 2b + -!e + 8d + 16e
l.--2 = a - 2h + 4c - Sd + I6e
l-2 - l2 = - 4b -- l 6d
Pero
8(l- 1 - l1) = - 16b -
16d
Luego,
8(l-1
li) -
(l-2 -
l1)
(l~ -
~)
S(l-1
~)
=-
12b
=_ h=_
d lz
dx z - o
12
Y, entonces,
(62)
*60.
Como
lz · e
l.a:+2 = l.
y
2
l. + l. - lz+l + lz+l - l:s+~ =
= d11 2 + dr--J + ds + dz+l
lr--1 + lz--1
a la (61) se le puede dar la fonna
(6Í, a)
y a la (62)
(62, a)
*61.
Recordando la fór1nula interpolatoria de NEWTON
u..,+ ,,4 = u.., + nA u ~ +
n(n 2
!
1)
A 2u.., +
1) (n -
n(n -
3
!
2)
A 3u ~ +
Hacit~ndo
u.z = l z,
h = 1'
1l
= t'
se tillne
l z + t = l z + t.il z +
t(t -
2!
l)
'1 21r +
t(t -
1) (t -
3!
2)
A3l z + . . .
.. .
l z -+ t -- - f z
•
••
35 ·-
+
t- -}
(t - 1) ( f - 2)
u ..,
- - ~2l . +
Ji3/ +
__,A l •
2!
t
3!
z
z
y al tender t hacia cero, queda
d lx
"d; = az
x -
11
2
- _ 2a :r:
l
+ 13l1 l
1
3
z -
¡ ,11•1 + . . .
1
%
Por lo tanto
fJ _
rx
--
*62.
-
1 d lz
•
-lz dx
(63)
-
Si se aplica ese procedimiento a la fón11ula
(J.z .=
d logJz
dx ·
se obtiene
Pere
y
Luego
(64)
. IV
COEFICIENTE DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES BIOMÉTRICAS
*63.
Por ser
(65)
*64.
Además, como
..1.
-
36 -
1
resulta
=
d
dx
lz+tdl =
o
df(x + t)
df(x + t) ,
desde que
dx
=
dt
, luego
•
••
(66)
*65.
Como
queda, por la (66)
.. d Lz -
1
(\')
L.
N
dx
d lJ:+~
1
-
lz+~
•
• •
•----
dx
(67)
*68.
Por otra parte
• (X)
o
CX>
(X)
d
<f z
d
l
:r: +' d t lz+tdl =
dt
dz
dxel
.1
o
o
[z %+' t
(X)
o
•
••
(68)
*67.
Análogamente, como
Yz =
T z+edl
o
se halla
dYz __ T
e
dx
(69)
--- 37 -·-
*88.
Como
1
-·--=
dx
resulta
diPz
dx
= -
tPz("z+t -
lJ.z)
(70)
.,69. Ejerci,cios.
(62) y (64).
(a) Es
l. Calcular el valor de {.1.15 mediante las fórmulas
B(la" - laa) - (l33 - l31)
~36 =
=
12l35
8(86 866 -
85 395) -
(87 585 -
84 639)
= - - - - - - - - - - - - - = 0.00853.
12 X 86 137
(b) Se tiene
µa6
deteniendo el cálculo en las segundas diferencias=
colog.p35
1
,
1/ 3 ~ 2 cologepa5.
/2a corogeP3s
+
.
.
Para simplificar la labor se usan los logaritmos decimales y se mt1Jtiplican, luego los resultados por el módulo 2,302585.
Las tablan dan:
-·
logp 35 = 1. 99624;
-
logpa& = l.Y9614;
-
logp31 = 1.99603.
Luego
colog Pas = 0.00376
0.00010
0.00001
colog p3r, = 0.00386
0.00011
colog p31 = 0.00397
Por lo tanto
'135
= 2.302585(0.00376 - 0.00005 + 0.000003) =
= 2.302585 X 0.00371 = 0.00854.
valor idéntico al que da la tabla.
-38II.
Calcular [J.32 por la fórn1ula (64) t1~a11do clirectame1ite Jos logaritmoa
•
neper1a110~.
Ha.y qt1e hallar los logaritmos de
Ps-2 = 0,99197
= o.99179
P3t = 0 ,99161
p33
Las tablas de c.~LLET datl
10086
log(. 992 = 6,899i 231
-10
10076
log~ 993
= 6,900i 307
I11terpola11{lo se tie11e
loge 991,61 = 6,8993297
loge 991,79 = 6,8995112
log,.. 991,97 = 6,8996928
.
Pero se necesitan los logaritmos de
0,99161 = 991,61 : 1000
0,99179 = 991,79 : 1000
0,99197 = 991,97 : 1000
Hay, pues, que restar e11 cada caso,
log~ 1000· =
6,9077553
o, mejor atí11, restar de este últim(> l(,~ a11teriores logaritmos desde que lo
que se busca es el cologaritmo:
pr
cologe]J z
107 -~
107 .~ 2
32 0,99197 0,0080625
1816
33
0,~~17~J
() ,0<)8:!-1-l J
-1
1815
3-!
o,~19101
0,008425t)
:J.~~ = 0,()()8(){>2·) -·· ().0000~}(}8 =
0,00797.
C..-\PlTULO CUARTO
HIPÓTESIS RELATIV. ~S
. A L ..\ TASA IXSTANTÁNEA
DE MORTALIDAD
I
ANTECEDE~TES
*70.
Desde que se realizaron los primeros estudios acerca de la mortalidad, a pri11cipios del siglo xv111, se trató de hallar una expresión analítica que representara la función lz. Se trataba, de esa manera, de simplificar· los cálculos en que intervenían las probabilidades de vida de varias
personas.
una hipótesis que parecía plausible era la de admitir que esa fu11ción
decrecía en progresión geométrica con la edad. Es decir, que era
(71)
Pero pronto se 'J'ió que tal hipóte~is no convenía pues, aparte de que, en
realidad, no llegaba nunca a anularse, por mucho que creciese x, daba,
par a todas las edades, la misma tasa de mortalidad .
•
l r - - l r _¡_¡
,
- - - - - - = 1--r
(72)
También hubiera dado la. misma tasa instantá11ea
r.rlog,.r
= -
- -·-- = -
rr
log"r
(73)
..i\BI~AHAM Di·: l\f 01\·RE - n1atemático fra11cés refugiad(> en Inglaterra-. a quie11 se atrihu~·t1 la hipótesis ru1terior -pronto abru1clonatla ¡Jor
él n1isn10--· forn1t1l<', <)tra <ttte tt1\·o algt111a ma~'or fort.t111a, pt·ro <'llte trunP<><'o ha I>(•<liJo pt·rd11rar .
*71.
Consistia esa nueva hipótesis en admitir que la función l:c decrccla en
progresión aritmética
lz = A - - nx
(74)
Más concretamente, y a partir de los 12 años de edad, l)E MoIVRE hacia
lz = 86-x
(75)
La función tenia la forma de 11na recta que cortaba el eje de las abscisas
·a los 86 años. Por lo tanoo, la tasa instantánea de mortalidad hubiera resultado todos los años igual a la tasa de mortalidad
(86-x)- [86-(x + 1)]
lz -lz+l
1
qs = - - - - =
=--86-x
86-x
ls
µz = -
d(86 -
(86
x)
x) dx
1
=---
86-x
(76)
(77)
Estos ensayos -y otros menos divulgados que se hicieron posteriormente
consideraban sólo la función lz. Es que la función lL:c no había
nacido aún. Tuvo su origen, precisamente, cuando GoMPERTZ enunció ~'1
famosa hipótesis.
II
HIPÓTESIS DE GOMPERTZ
*72. La hipótesis de DE Mo1vRE data de 1725. Un siglo después, -en
1825
BENJAMIN GoMPERTZ formuló otra mucho más racional y científica, en una comunicación dirigida a la «Royal Society» de Londres.
Decia GoMPERTZ en su célebre memoria:
· '' Es posible que la muerte sea la consecuencia de dos causas generalmente
'' coexistentes: una, el azar, sin disposición previa a la muerte o al dete'' rioro; otra, una deterioración o una impotencia creciente para resistir
''a la destruc.ción. Si, por ejemplo, existiesen ciertas enfermedades a las
'' que jóvenes y viejos estuvieran igualmente expuestos, y que fuesen igual'' mente funestas para viejos y para jóvenes, es e'ridente que las muertes
''por esta causa, en ambos grupos, gt1ardarían entre sí la misma proporción
''que ]os grupos dados, con tal de <it1e los 11úmeros fueran suficienternent~
''grandes como para que pudiesen operar las leyes del azar. La intensidad
''de la mortalidad podría tenerse por co11stante. Si no hubiera otras enfer'' meda.des, la vida tendría, en toda,.,':) las edades, el mismo valor y, ta11to
''el número de sobrevivientes como el de muertos, decrecería con la edad
-
41-
,, eti progresión geométrica, mientras las eda~es crecian en progresión arit-
,, mltica.''
,, Pero 8 ¡ el género humano adquiere, de día en dia, gérmenes de ·indis,, posición, 0 -dicho en otros ténl1inos- está cada vez más expuesto a
414 mlfi>:
r ir -lo que parece ser una hipótesis verosimil, por lo menos, para
,, una gran parte de la vida, y aun cuando lo contrario pueda ocurrir en
,, ciertos periodos-, ·fuerza es deducir que el número de sobrevivientes~
,, a partir de cierto número de personas de igual edad, decrece, en inter'' valos iguales de tiempo, más rapidamente que la progresión geométrica,
·' y q~e, asf, las probabilidades de ofr decir que un deter1ninado hombre
· '' ha llegado a un determinado punto de la vejez, disminuyen en una pro''' gresión mucho más rápida, aunque no haya límite alguno con respecto
'' a la edad que pueda alcanzar''.
'' Si el agotamiento del poder del hombre para evitar la muerte fuera tal
'' ciiae, en promedio, y al fin de períodos de tiempo infinitamente pequeños,
'' pero de igual duración, perdiera, también, porciones iguales del poder
''de oponerse a la muerte que tenía al principio de dicho intervalo, entonces,
,, s ba edad x, la intensidad de la mortalidad podrfa ser represe11tada por
,: a q", siendo a y q co11stantes a determi11ar.''
*7S.
La hipótesis de GoMPERTZ equivale, pues, a escribir
o, en notación más moderna,
(78)
Fácil es, ahora, llegar a la forma de la función lz.
Se tiene, en efecto.
d log,. lr
---dx
=
B cr
- d logtlr
B rd
-----dx = e x
dx
Integrando, queda
dlogJz=-
log. lz = -
B
Bc.cdx = - - log,,. e
R
- - c ·r + co11stante
loge e
•
••
-·---· 42 -
Haciendo, ahora,
- -
13
loge e
•
= log,.y
resulta
•
••
. f r = kgC':r
(79)
(80)
111
,
HIPOTESIS DE GOMPERTZ-MAKEHAM
*7.i.
"'frei11ta y ci11co años más tarde, en 1860, otro emine11te actuario,
Gt·1L1,ERMO ~!ATEO lVIAKEHAM, dió a conocer un estudio sobre ''La ley de
la mortalidad'', e11 el que toma como punto de partida los trabajos de
GoMPERTZ.
Al aplicar la fórmula de GoMPERTZ advierte MAKEHAM claramente que
no ajusta las tablas con la precisión que fuera de desear, pero reconoce que
''las mejores prá·c ticas en la construcción de tablas de mortalidad habrán
de ser alca11zadas mediante la ley de GoMPERTz''.
Ensaya di,rersos procedimientos y comprueba que los \"alores ajustados
correspo11den mejor a la realidad sometiendo la fórmula de GoMPERTZ a
una modificación <¡ue equivale a tomar
(81)
-corrección <1ue 110 hace, e11 definitiva, más que introducir en la fórmula
una co11sta11te r1uc) repre~er1ta el azar, ese azar a que el mismo GoMPERTZ
~e hal)ía refcrido, y al que 1\tlAKEHA:M recurrió -hay que decirlo todo110 por ha9cr reco11ocido a priori la omisión en que había incurrido GoMPERTZ
sino para st1perar difict1ltades materiales surgidas en la práctica.
•
*75. Segtí11 la hipótesis de GoMPEil.TZ-MAKF~HAM -nombre co11 que
se la co1i<lce P11 defir1iti\·a-, la tasa inHtantá11ea de mortalidad tier1e la
forma
:J, x
•
= .;\
+ Be r
(81)
Se pttede, p11e..,, e:-;cribir:
•
• •
- -· · 43 -•
logr l .r = -
I t:\ + Bl· :
.\.r - - B
)ri:t = -
r'·
· + t•<)ll~f.
l(lg .. r
Haciendo
..t\ = log" .~
-
B
- - = l<)g,. fl
log( e
co11sta11te = logt. k
(queda
•
••
(82)
,
CALCCLO DE LAS CONSTANTES
*76.
Si en la (82) se hace x = O, resulta
o o
= kg
lo= ks g'
Es la raf,z de una tabla que empieza e11 esa edad. Como se ve, k és independiente de la edad y eso per111ite fijar la ralz de la tabla a voluntad.
Las constantes a determinar -incluso k- son cuatro. Hacen falta cuatro
valores equidist.antes de l.
Sean éstos los Qtle corresponden a las edades X, X + t, X + 2t y X + 3t..
se tiene:
log l z
= log i· + ·
x log s + c.r
log g
log l.r+t = log k + (x + t) log s + cz+t log g
log l z+2t = log k + (x + 21) log 8 + c -r+ 2 t log g
log 1z+Jt = log ~- + (.r + 3t) log s + cr+ 3 t log g
1"'oma11<lo pri1neras difere11cia.-~
a log l .c
= t l<>g .~ + e
~ log l r + t
= f l<>g 8 + e r + t (et - 1) log g
~ log lr+21 = t log .~
r
(e t -
1) l og g
+ rr+?t (é' - 1) log g
T<lmartdll <li ft're11 t·ia."; :st~g1111da.."
= r ·'.(<'
l):? log g
.l ~ log l z t = e r. + ' (e ' - l ) :1 1og g
~ ~ l()g l i ·
t -
.J-
-44Dividiendo, ahora, estas diferencias segundas
d 2 log l:+t
cr+t(c' -
1) 2 log g
d log lz
cz(ct -
1) 2 log g
--- =
2
=e'
y tomando logaritn1os, nuevamente, se llega al valor de e
log(a 2Ioglz+t) -
log(d 2loglz) = t log e
log(d 2loglz+t) -
1ogc =
log(á 2loglz)
t
Conocido el valor de e, la ecuación
'1 2 loglz = cz(c' -- 1) 2log g
permite caJcular el de g. Y, obtenido éste, la ecuación
'1 log lz = t Iogs + c:r(ct
1) log g
da el valor de s. Finalmente, la ecuación
loglz = log k + x log s + cz log g
suministra el de k.
*77.
La tabla ajustada así se basa en sólo cuatro valores experimentales. Para obviar ese inconveniente se ha imaginado tomar cttatro grupos
de cuatro edades cada uno. Con esos diez y seis valores de lz se obtienen
cuatro grupos de constantes que -promediadas debidamente
permiten
obtener un nuevo grupo basado en diez y seis datos experimentales.
Las cuatro series de valores son, p. ej., las correspondientes a las edades
15, 35, 55 y 75
20, 40, 60 y 80
25, 45, 65 y 85
30, 50, 70 y 90
u otros que enlacen de un modo análogo.
Si se hace
.
l = 11
Z
,
-4
z<Z 1> • z<X 2) • z<Z3 > • l<%1
>
resulta
+ log l~ ) + log l~ ) + log l~ ) =
= /,[log k + log k2 + log k3 + log k,] +
+ .x [log 81 + log s2 + log 83 + log 8,] +
+ 1/.[c1z log g1 + c2z log + log ga + c,z log g.]
log l:.: =
1/,[log z~l)
1
1
2
3
1
/
g2
C3z
4
]
-- 45 --
Y, por lo tanto,
log k = 1/ .[log ki
+ log ~ + log ka + log k.]
log s = 1/ ,[log s1 + log s2 + log sa + log 84)
y
+
czlog g = 1/,[c1zlog U1 + C2% log U2
C3z log ga + c,z log g,]
r,z+ 1log g = 1/.[c1z+t log gi + C27.+t}og g2 + C3z+tlog g3
C4z+e log g,]
+
Se hacen, ahora, respectivamente, iguales a A y B los segundos miembros
de las expresiones anteriores cuyo cálculo es fácil, pues todos sus elementos
son conocidos .
cz log g =A
cz+• log g = B
B
e'= -A
•
••
log B-log A
log e = - - - - - -
y
t
Y, hallado e, se tiene
A
logg = cz
*78. GEORGE K1NG y G. F. HARDY, ajustaron la tabla H"' (Healthy
que va al final de este vol11men- mediante un
men, hombres sanos)
procedimiento que consiste en formar cuatro series de sumas de los valores experimentales de l z·
Asl, siendo x la edad inicial y t el n1ímero de edades que intervienen en
cada serie, se tiene:
s+t-1
~
log l:i: = t log k
+ (x + x + 1 + ... + x + t - 1) log 8 +
+ (c.t: + cz+t + ... + cr+t-1) log g =
= t log k
+
(2x
ª + '' - 1
~
log l z = t log k
z+t
z + sc-1
l:
%+11
z + .Ct- t
t
a+st
+ t - l)t log s + cz(c' - l) log g
c-1
2
+
(
2x + 3t 2
(2x
1) t
e z + ' (e' - 1)
log s +
log g
c-1
+ 5t - l)t
log lz == t log k + ·- - - - - log 8
2
(2x + 7t -
logl:i: = tlogk +-...---2
1)t
logs
+
+
c%+ 21 (c' -1)
c-1
cr+ 3•(ct c-l
log g
1)
logg
-46'fomando diferencias, ahora, queda, poniendo simpleme11te ~ z, ~ z+t .. . ,
para abreviar la escritura
1)2
cr(ct -
a z = t 2 log s + - - - - log g
e
áJ:+t = t 2 log s
1
ex+ '(e' -
+
1) 2
c-1
log g
Tomando diferencias segundas
4 2z =
cz(c'
e
1) 3
1
logg
•
Dividiendo, ahora, est~ dos ecuaciones, se tiene
•
• •
log ~ 2 z+t -
log 4 2 .s
log e = - - - - - - - t
V
LA SEGUNDA FÓRMUL..\. DE MAKEHAM -
LA FÓRMULA DE LAZARUS
*79. La fórmula de GoMPERTZ-MAKEHAM no se puede extender a las
primeras ni a las últimas edades de la vida.
Para darle mayor flexibilidad ideó MAKEHAM agregar a tLz un término
Hx proporcional a la edad. La (81) se torna, entonces:
µ.z = A
+ Hx + Bcz
(83)
lo que equivale a hacer
(84)
Como aqui hay u11a constante más, es preciso tomar -para determi~
nar esas consta11tes- ci11 ce) \ralores equidistantes o ci11co series de valores
cuando se adopta el procedimiento de KING y HARDY. Hay asimismo, necesidad cie calcular las clifere11cias terceras.
El término 11uevo agrega<lo 110 añade mayores complicaciones puesto
que se trata de u11a f t111ciór1 de segu11do grado, cuyas diferc~11cias segunclas
son co·nsta1' tes, y nulas, por c~<)tl8ig11 ie11te, las terí·era~.
-47*80.
•
.
l~11 actuario alemá11, {}1r1LLEitMO I.JAZARUS, entendió que para dar
eitastiicidad a la f ónnttla de GoMPERTZ-MAKEHAM lo <:¡ue correspondía er&
~J:a,rle la f orn1a
(85)
(86)
En ellas las constantes U2 y c2 eiJ.uilibran, por decirlo asf, la influencia
<!te gi Y C1.
Como en este caso las constantes son seis, es preciso tomar seis series
se valores o seis valores equidistantes .
El detalle del cálculo es al principio idéntico ~ de la fórmula de GoMPAER"z-MAKEHAM. Pero, al llegar a las segundas diferencias, surgen las
•
e:~uac1ones
•
Haciendo en ellas
•
(c1' - 1) 3
- - - - log g1 = a1
C1-l
(Ct'
1) 3
- - - - log g2 = ll2
C2- l
queda
a
2z
= a1 C1z + a2 C2r
(a)
a 2 ..e+ t = al C1 .e+ t + a2 C2 + t
(~)
l 2 ,, +2 / = a i ei .e+ 2 ' + a2 C2 .e+ 2 '
A :?
. t = a 1 e 1 .1·-+ :l' + a~
'-1
.r r· .t
.. c4)
.. .t: + ~'
( )')
.r
(e)
-
48-
Multiplicando
la (ci) por c1 t c2'
la (~) por - (c1' + c2 ')
y sumando con la (r) las ecuaciones asi obtenidM, resulta
Y, pr~oediendo con las ecuaciones (~) (y) y (a) del mismo modo resulta
Estas dos últimas expresiones toman la forma
q d 1 z + p d 2 z+I + a 2 z+2t = 0
q A 2 z+t + p A 2 z+2t + A 2 z+3t = O.
si se hace
-
(c1 t + C2') = p
C1 t • C2t
=q
Y de ese sistema de ecuaciones de primer grado se obtienen, en el acto, p y q.
La ecuación de segundo grado
x2 + px + q =O
tiene, ahora, por raices, c1' y et', debiendo ser ambas positivas para que
la curva exista. Y conocidos esos valores, se determinan, mediante procedimientos similares a los detallados más arriba, las d~más constantes.
CAPITULO QUINTO
PROBABILIDADES DE VIDA Y MUERTE
REFERENTES A GRUPOS DE DOS O MÁS PERSONAS
1
PROBABILIDADES DE VIDA: DOS PERSONAS
BJ..
¿Cuál es la probabilidad de . que, dadas dos personas (x) e {y);
estén en vida las dos dentro de n a.fios?
La probabilidad de ·que (!t) viva aútt n años es (17)
..
Análogamente, la de que (y) viva aún n años es
Y la de que vivan una y otra al cabo de los n años
que se escribe asi
nPs11 =
(87)
Tratándose de símbolos literales, los dos puntos colocados entre laB edades no son indispensables, cuando cada edad se escribe con 11na sola letra.
No sucede lo mismo tratándose de números, pues entonces su omisión
Puede dar lugar a confusiones.
BS.
¿Cuál es la probabilidad de que, dadas dos person~ (x) e (y) 11na
de ellaa, por lo menos, viva aún n at\os?
-
50-
Hay <1t1e co11siderar tres e\"e11tualidades c¡ue se cxclu)·en:
a) que viva (x) :,r no (y); b) ftue viva ·(y) y no (x); e) que vivan ambas.
Las probabilidades respectÍ\"as son, e11 cada caso:
a)
La de que viva (x)
,,p z
la de que no,..¡,. ª (y)
1 - ,,p11
y la de que viva (x) y no (y)
b)
Correlativamente, la probabilidad de qt1e viva (y) y no (x) es
aPw(l
e)
(17)
(18)
. ,.·p z,) = raPv
rtP ZIJ
Y la de que vivan las dos (87)
Sumando y simplific&11do, se tiene
nP%; = .p z + ,.p 11
,.p.:f,
(88)
Usase en e,i,e caso un i1uevo signo: la barra horizontal colocada sobre
las edades. &e signo indica que la probabilidad se refiere al úUimo sobreviviente del grupo y no al grupo consi,derado como una unidad.
Asf,
da la probabilidad de que subsista fntegramente el grupo, para lo cual han
de vivir ú:>das las personas que lo componen.
En cambio
es la probabilidad de que viva el tUtimo sobrevivie?ite del grupo. Este puede
haber sido disuelto o 110; nada importa. J"o esencial es que viva urio de
sus componentes, por lo men0t'5.
JI
PROBABIJ,IDADES DE
~ff.ERTE:
DOS PERSONAS
;.Cuál es la probabilidad de <111e 11inguna de las dos personas (Jel
grupo <¡ue f<>rmar1 (.r) e (y) viva aú11 rt años'?
J.,a probabilidad <le <¡t1e (x) muera f1r1te8 de la etla<l .r + rL _es (18)
85.
¡' ,. q :r : : 1 -
,, p •
-- 51 --
ve1l mismo modo se tiene para (y)
y la probabilidad de que ni uno. ni otro \·ivan aún n años, y que se reprt. o sobrevit,iente, es:
sein ta por / "q-zu' porque se trata del últim
•
••
•
/ ,.q;¡¡ = •1 . nPz
nP11 + nPz11
(89)
a, terúendo en cuenta la (8S)
. I
/ ,,q;; = 1 - ,.p;;
(90)
eooación que se podfa haber establecido directamente con sólo tener eIA
euenta que la probabilidad de que no viva ·n inguno de los dos es la contraria
de la de que '\"iva por lo menos u110.
84.
_¿Cuál es la probabilidad de que, dadas dos pe1~onas (x) e (g), u·na
~ lo menos muera durante los primeros 1i años?
F'8 la contraria de la de que viva11 las dos al cabo de esos n años
(91)
que puede, tambié11, det.erminarse directamente sum&11do lM probabilidades de la~ tres eventualidades excl1tyentes que concurren a fonnarla:
a) <1ue viva (x) y muera (y); b) que viva (y) y muera (x); e) que mueran
amb·as. Sus probabilidades respectivas son:
nP z ( 1
11Pu (1 -
nP11) ~ nP z
11Pz) = 11Pu
tiP ZI/
nPzy
(91)
8:j.
Da.el~ dos p(_.rso11as (.r) e (y), determi11ar la probabilidad de c¡ue
la primera muerte ocurra el año e11ésim(J.
C~om() ti<~ trata de la primera muerte -disolt1ció11 del grupo- - se usa
@I ~íml>olo n---i/'<J L'J·
'"fr(\~ l'\·<·11tt1,t.li<l<t<l<·~ hR)'~ <itte ('<J11:-:i(l<l: · ~u·: a) <1t1c 11lt1er~i ,_.r) ·'· ,.¡\' tt (y);
b) 'fll<· \.¡,.,t (.r) ~, 1nt1era ~.t/); (~) 'fll<' 111tl{~l'ttr1 :tml>~~-
•
-- 52 --
Sus probabilidades son
nP z) nP11 = n-lP z: • nP11 -
n-tÍ q z. • nP11 = (n-lP z:
nP z • n-1/q11 = nP z (,.-1p 11 n-1/q z • n.-1/q11 = (n-lP z
nP s) (,.-1P11
nP :e • n-lP11 -
n-lP zu -
=
nP 11) = nP z • n-lP 11 -
nP z:11
nP :&1J
nP11) =
n,--1P z • ,.pfl + nP ZJI
S11m&ndo, queda
,.-1/q XJI = n-lP z11 -
nP Zfl
(92)
¿Cuál es la probabilidad de que, dadas dos personas (x) e (y), la
seg11nda muerte tenga lugar el año enésimo?
..:\.qui corresponde usar el símbolo n-Jq;y puesto que se trata del último
sobreviviente.
Tres son, también, las eventualidades a considerar: a) que muera (x)
el año enésimo habiendo muerto antes (y); b) ·que muera (y) el año enésimo
habiendo muerto antes (x); e) que muer.a n an)bas en el añó enésimo. Morir
antes del año enésimo significa morir dentro de los n - 1 años anteriores,
luego, las probabi1idades que corresponden a esas eventualidades son
86.
n-1/q:c • / n-lqy = (n-lPz: - nPz:) (1 - n-1P11) =
/ n-lQz • n-1/ q11
= n-lP z:
nP z
n-lP z11
+ nP z: • n.-1P11
= n-lP11 -
nP11 -
n-1Pz11
+ n-lPz • nP11
n-1/qz • n-:-1/q11 = (n-lPx - nPz) (n-1P11
= •-lP zy -
n.-lP z • nP11
,.pu) =
nP s • n.-1P11 + nP Z:fl
Sumando queda
n-1/qZ'IJ = n-lP z -
nP z
+
n-1P11 -
nP11 -
n-lP z11
+ nP xu
Agrupando los términos de dos en dos y tal como se presentan, queda
-recordando la (22) y la (92)(93)
Agrupando los tér111inos impares y los pares, por separado, y recordando
la. (88), queda
n-1/qz11 = n-1P-;j¡ -
nP:c¡¡
(94)
Nótese la analogfa que existe entre las f ór1nulas (22), (92) y (94) y entre
la (88) y la (93).
-
.
81
53 -
¿Cuál es la probabilidad de que tanto (x) como (y) mueran el afio
enésimo?
Es,
n-1/qz • n-1/q:¡ = (n-lPz
= n-tP z11
nPz) (n-lPu
11Pu) =
nP11 • n-lP z + nP z11
nP z • n-lPt1
Esta p_robabilidad de que ambas muertes ocurran en el año enésimo no
debe eonfundirse con
n-1/qz11
'J)rimer fallecimiento el afio enésimo- ni con
n-1/q:z;11
-&timo fallecimiento en dicho enésimo año .
88.
Es costumbre escribir
Serfa, pues, incurrir en un grave error querer hacer
p.uesto que
d s • d., = (l %
l z+i) (lu
: ·zu+1) =
= lzu
lx: J.1+1 -
lz+l: 11
+ lz+l: 11+1
¿Cuál es la probabilidad de que, dad88 dos personas, (x) e (y),
sólo una sobreviva al cabo de 1i años?
Hay dos eventualidades: a) que viva (x) y haya muerto (y); b) que haya
muerto (x) y viva (y).
Sus probabilidades son :
89.
,.p z • / nq JI = nP z (1
/ nq z • nP11 = (1
nP 11) = nP z
nP Zl/
nP z) nP11 = nP11
nP ZJI
Sumando, queda
(95)
o, recordando la (88),
(96)
- · 54 -
El símbolo [ l j i11dica el nitmero de vidas que ~obreviven al car)O de los
n año.'. Tratándose de do~ \"idas parecería ocioso su empleo -aurlque
re:-;t1lt ~t (1t i l para <listi11guir esta nue""ª probabilidad--. Aparte de st1 11er.e..
sidau c·t1andrJ se trata de más de dos vida.~.
90.
l~jercicios.
l. f)os personas t.iene11, respectivamente, 20 )t -10 <ttio8
de l~dad . J.,a probal)ilidad de que no viv"a11 las dos de11tro de 20 años es
0,38823. y se sabe <1ue~ de 96223 persona8 de 20 añ<>S de edad, f)358 mueren
a11te~ de c~umplir l<>s 30. Cor1 estos datos se pide la probabilidad que tie11e
t.111a perso11a de 30 año:; de morir ar1tes de cumplir los 60 .
.,"\olttci,)n. I .. a probabilidad que se pide es
/i~30 = 1 - 3oPa(l = 1 -
Los datos son:
1-
120
l,o -
l30
= O,38823
20P20 : 40
= 96223
= 6358
•
l3o
••
= 89865
Pero
zoPto:40 =
1-
l4-0:&o
lso:•o
20P2o:t(' =
l•o·l6o
leo
1-to
l1o•l40
-
l&o
1-
•
••
= 0,38823
120,
l~o = O 61177
/.,_o
.
'
leo = 0,61177 .l~o = 0,61177 X 96223 = 58866
/ 3o</30
= 1-
l 60
58866
3099~)
-- = 1 =
= o 3~495
l3o
89865
89865
·'
II. Dos personas tienen, respecti\ramente, 25 }" 50 años de edad. La
probabilidad de que ambas \pivan dentro de 25 años es 0,27516, y se sabe
que de 93044 personas de 25 años de edad, 82277 llegan a loa ~~ . ;,Cuál
'
es la protJabilidad de que una persona de 40 años llegue a los 75?
Solución.
I"a probabilidad que se pide es
-55J"os datos son :
l2s = 93044
l.ao = 82277
•
••
l1s = 0,27516 • ~5 = 0,27516 X 93044 = 25602
Luego
:1sp40 =
25602
82277
= O,31117
III
PROB ..\BILIDADES RELATIVAS .~ MÁS DE DOS VIDAS
Sean tres personas (x), (y), (z). La probabilidad de que dentro
de 11 años estén e11 vida las tres es:
91.
.
La de qué sólo vivan dos, es:
"p,) + rtPz1 (1 - ,.p11) + •Pu• {l -
,.pZfl (1
= aP z11
+ ,.p + "P11~
n'l'z) =
(~)
3 • "p ru•
z1
La de que sólo viva una, es:
•Pz (l - rtP11) (1
,.p,)+,.p,, (1
= nP z
+ ,.pi/ + ,.p,
(1 -
= 1-
rePz) {1 -
..p~)+,.p. (1 -
2 [,.p z¡, + "p zi + "P111:]
nP z) (1 -
nP11) (1 -
11Ps) (1
+ 3 • •P
aP11) =
rr1•
{ "t)
"Pz111
(8)
nP:)
(,.pr + nPu + nPz) + (nPz11 + "Pzz + nP~z) -
Y, naturalmente.
(a) -t- (~) -t- (y)
+ (3) == 1
la rerteza. puc~to <Jllf- se har1 encarado todas las eventualidades posibles.
*92. (.,<Jnsidérese, ahora, la probal>ilidad de qne, dad~ m vidas, tod~~
de igual t~dad ..r. r \:ida~,. er.pre.~am1>nl1-· determittada.~. sobrevi\·art dentro
de n años.
·
--.f4
56 -
La probabilidad pedida es,
(nPz)'(l
nPz)m-r
Pero, si no se especifica de antemano quien debe sobrevivir, si da lo mismo
11na persona que otra, esa probabilidad aumenta. Se hace tantas veces
mayor que la anterior como combinaciones se pueden hacer con m objetos
tomándolos de r en r. Si se la simboliza. por
,.p
(rJ
%ZZ ••• (m)
donde (m) indica el n1ímero de vidas considerado, y [r] el de las que deben
sobrevivir exactamente queda
m!
[r]
,.p -=-z-...-(.---) = r! (m
m!
= - - - - ) , (nPs)" 1 r! (m-r.
+
(m
r) (m
2!
1)
r
r) • nPz
(m -
+
r) (m-r-1) (ni-r-2)
----------(nPz)ª+ · • ·
3!
(m
(.p ..) 2
n
,.p,,)m-r =
r)! (,.p,,)r (1
-
m!
m! (m-r)
= ---- (
)r
(nPz)r+l +
r! (m - r)! nP:e -- r! (m
r)!
+
mi (m
r) (m
2'.r.t ( m
r-
)"+ 2 _
1) ( .
r)'.
•Pz
, m! (m . r) (m
r
l)·(m
3!r! (m - r)!
r - 2) (
) +i +
,.pz ,.
...
Pero
m! (m - r)
m!
m!
- - - - = - - - - - = - - - - - - - - (r
r!(m-r)!
r!(m
r-1)!
(r+I)!(m-~-1)!
m! (m
= (r
+ 1) c:-,.+
r
1)
r) (m
+ 1) =
1
m!
---------------------=-----------------=
~!r! (m
r - 2)!
2!r! (m
r) !
m!
----------·
(r + 2)! (m-r-2)!
(r
+ 1) (r + 2) 2!
-
(r
+ 1) (r + 2) cr+2
2!
•
-
~
-57-
y asi sucesivamente. Luego
+
(r + 1) (r + 2) cr+2 ( )r+2_
m
nP z
· ••
2!
Si en vez de personas todas de igual edad se trata de personas de edádes
diferentes, x, y, z, w, . .. , se formarán en cada caso ta.nt~ grupos de
vidas como combinaciones se pueden hacer con m objetos tomados de
r en r, de r + 1 en r + 1, de r + 2 en r + 2, ...
Así, si se trata de cuatro vidas tomadas dos a dos, se tiene:
a), .si las vidas son iguales
b), si son distintas :
nPz11
+ nPxz + nPzw + nPy z + nPuto + nPzw•
(z)
Es decir que, para aplicar a vidas distintas la fórmula hallada para vida~
iguales, basta sustituir los valores
( p )r·
Crmn
z 1
cr+l
(np z )r+l · · · cr+t
(n p z )r+t
m
m
por sumas de probabilidades de la forma de (e:).
Simbolizando esas sumas por .z·r +' (t = O, 1, 2, ... ), queda
..p
•as.
(r) = zr -
z~ . .. (m)
(r + 1) zr+l + (r + 1) (r + 2) zr+2 2!
...
Nótese, ante todo, que el símbolo Z no es un número.
(97)
No es,
tampoco, un signo operatorio como los que se usan, p. ej., en el cálculo de
las diferencias fi1iitas. Pero se le puede manejar como si lo fuera.
Se escribe, pues,
-~(r) =
nPz71no .•• (tn)
zr 1 . (r + 1) z +
_
(r
(r
+ 1) (r + 2) z2 2!
+ 1) (r + 2) (r + 3) z3 + ...
3!
-58y, recordando el desarrollo del bi11omio de NEWTON para exponentes negativos, se puede po11er, en lugar del corchete,
1
(1 + Z)-<r+1> = _ _ __
(1
Z)r+1
+
siempre que se tenga prese11te que todos los térmi11os del desarrollo en que
el exponente es superior a m se anulan. Lo que surge de la natt1raleza mis-
ma de la cuestión, ya que es m el número total de vidas consideradas.
I""a f <>rmt1la antericJr se hace asi:
"
p - - - [rJ
- = .._- - - .rvzw . .• (m)
(
1
+ Z) r+
(98)
1
*94. Si e11 vez de buscar la probabilidad de que sobrevivan r personas
exactamente, se busca la de qt1e sobre\"ivan r por lo menos, se tiene suprimiendo e11 este caso el paréntesis cuadrado que encierra el número de
sobrevivientesfrl
r
Ir+ lJ
,.p ryaw-. .. (111) = raP X!JZfl! .•• (m) + ,.p ZJIZW . . . (111) + · · · =
zr
= (1 +
zr+l
Z)•+ 1 + -(-1_+_Z_),.-+2 + ...
(99)
Suma que se puede tratar como la de una progresión geométrica decreciente de infinito número de tér1ninos -ya se sabe que se anulan todos
los términos desde el momento en que se tiene r + t > m-. Queda pues,
,.
(1
+ Z)r+1
·1' ---- = - - - -z rfP1D . .. (M)
•
••
l----
1+z
r
=
J~'jemplos.
(100)
r(r + 1)
zr - rzr+• + ---- zr+~ - ...
2!
( 100~ a)
l. 8eart cuatro vidas, (x), (.11), (z) y (w), y sean exactamente tres las que har1 de sobrevivir dentro de n años.
*.9:;.
-591. a (97) }" la (98) dan:
Z'
ral - - - - -- = Z:J - ..¡zt =
P
n
TIJZW
(l + Z)"
El cálculo directo da
,.p r11i( 1 - ,.pw) + nP zutc(} -
nPi) + nP r.zw( 1 -
nPu)
+ nP11zw( 1 -
nP .r)
cuyo desarrollo coincide co11 el anterior.
II. Si se trata de que sobre\ti\ran, por lo mencJ-s dos, de las cuatro vidas,
la (100) da:
2
Z:!
P
"
Z'Jll'D -
---(
1 + z) 2
= nP z11 + nP r.? + nP
- 2(nP zuz + 11P ZIJW
=
Z%-2Z3 + 3Z"' =
+ nPuz + nPuw + nPzw + nP + nP11zw) + 3 nP zvzw·
z10
.cz1c
II. Si se quiere (¡ue de tres personas una ~actamente sobreviva dentro
d.e n años, se tiene -aquí es necesario poner el ( 1) porque no se trata del
que .hemos llamado 1íltimo sobrevilfiente en un gru¡>0 de dos personasr11
,.p %1.JZ
z
=
(l + Z)
== ,.p z + ,.pi/ + nP:
2
=
z-2z
+ az*
2
2(,.p ~11 + ,.p z3 + •Pui) + 3 ,.p ~"'
Resultado que concuerda con el hallado directamente el el pá.rrafo 91 (y).
IV
,
PROPIED.\.D DE LAS FOR'ML"LAS DE GOMPERTZ
Y DE GOMPERTl-MAK.EHA\l
*96.
I. .a probabilidad de c¡ue (x) viva atí11 ri años es
,.p& =
/ z+n
l .c
Aplicando la fórmula de (~OMPEHTZ
= IJC
,.pz =
kg ''
J
.r(c" -
l)
-60Análogamente, es, para (y)
c"(c" -
nP11 = g
1)
Y, por lo tanto,
cx(c"-1) + c"(c"-1)
nP Z'IJ = g
•
••
(101)
Es decir, que siendo válida la hipótesis de GoMPERTz, se puede reemplazar dos vidas (x) e (y) por una tercera (z), siempre que sea:
(102)
Pero la hipótesis que se adopta no es la de GoMPERTZ, sino la de
GoMPERTZ-MAKEHAM. En tal supuesto las probabilidades de vivir n años
más de (x), de (y), y del grupo (x) (y), son .respecti\rame11te:
*97.
•
n
nP11 =
s"g
_ _8 2ng (c:z:
P :Z:fl -
c"(c" -
•
1)
+ e") (e"
••
1)
(103)
•
Si, en vez de dos· vidas de edades· diferentes, (x) e (y), se trata de dos
vidas de igual edad, z, es
.
2cir
(e"
1)
(104)
2
nPis = s "g
.
.
O sea, que es licite» sustituir
dos vidas
de distinta edad por dos vidas
.
.
de la misma edad, siempre que sea:
2c' = cz +e"
e' = ~(cz +e")
•98.
Si es X la edad menor serán
y= X+ h,
siendo, necesariamente, t < h.
Z =X+ t,
•
••
(105)
..
-- 61 Si en la fórmula {105) se reemplazan z e y por sus valores en función
de x queda
cz+ t = Y2 (el:
cz+h)
•
••
+
e' = 72 (1 + e")
(106)
.Es decir, que el valor de t no depende de x ni de y sino de su diferencia h.
~ la propiedad que los actuarios ingleses designan con el nombre de ''1Lni-
Jorni seniority'', y que se expresa en castellano por envejecimiento uniforme.
*99. Si se trata de más de dos vidas, el procedimiento es el mismo.
Sean tres las edades x, y. y w.
Se toma las dos menores, x e y y se halla la edad común que las· reempl&Za, z. Y se busca la nueva edad poniendo
2 Cz + Cw = 3 e"' .
Como w es . la. edad.mayor se tiene:
w = z + k;
u=z+r
•
••
2 e• + c~+k = ac•+r
.
.
r <k
•
••
•
••
.
e" = 1/a (2 + ck)
*100. Al fin del .volumen van dos tablillaB -una para dos vidas,_otra
para tres- que dan, respectivamente, los Vf:'lores de h y de r para las distintas diferencias de edades. De conformidad, una y otra, con la tabla de
mortalidad Hm.
Si se tienen dos vidas de 32 y 47 años -diferencia de edades~ 1.5-, la
tabla da para h el valor 9,89. Luego, se puede reemplazar esas dos \'idas
por otras dos cuya edad común sea 32
9,89 = 41,89.
+
Si se trata de tres vidas de 32, 39 y 46 años de edad, se reducen las dos
P'r imeras a una edad comú11: para h·= 7, es t = 4,05. Luego la edad común
Para las dos vidas más jóvenes es 36,05. La tablilla relativa a tre'i vidas:
da para k igual a 9 y a 10, respecti \·amente, los valores de r correla,ti vos:
3,88 y 4,42 que difieren en 0,54. l\fediante una interpolaciór1 lineal se halla
0,54 X 0,95 = 0,513
El nuevo valor de res, aBi, 3,88
+ 4,39 = 40,44.
+ 0,51 = 4,39 y la edad común 36,05 +
-62 -
V
PROPIEDAD DE
tJ.zr•· ..
*1O1.
Cual<¡uiera <1ue haya 8Ído la manera de ajustar la tabla, se pt1ede
detern1i11ar -de u11 modo aproximado- la edad comw1 z, <¡ue i·eemplaza
a las edades distintas x, y, ·w, . .. de un grupo de m vidas.
Er1 efecto, por ser (54)
d log~z
dx
es tambié11
-
+
logJw + logJ..,)
=------- = - ----------d (logJz
dt
dt
iJ. ZJlto = ¡1 %
+ lJ.rt + ¡¿te
•
••
( 107)
.
Se puede tomar, ahora, 3 vidas de la misma e:la'i z, y tales que se. tenga
... -
•
• •
·.A,.
...
-
Si son x = 25, y = 32, w = 44 es:
:iz
•
= ------
••
3
Busc!ar1do los \·alores de ti2r,. tJ.32 y µ.4-1 c r1 la t ah la de mortalidad H ,.. , c¡ueda
1
µ, =
\J.31
{·11¿t ~(·11<·illt1.
0,00701
+ 0.00798 + 0,01153 = 0,00884
3
= (),()()~)() l ;
'..136
= 0,0087f)
ir1terp<>lafli('>11 li11Pal da z = ~fi,32 = 3ti añ«>s. :~ 1nese~ y 25
di as .
. 1>(\-Tc>. i11(lt1<J,tl>)(~n1<•1tt<•. ~i ltt t.~tl>la 11<> l1a si<l(> aj11stafJa por la fórm11lt~ c'l('
f;oMI,t-:tt.1'Z-:\f AKJ·;HA~f. tr UJlS<!tlrrici<> :il~t'ttl tiempo, \'. gr .. 7 a11<>."i, el envrj<-
- 63 -
·mierilo <lel grt1po de tres edades iguales 110 será el mismo <1ue el ctJl'l'<~~­
:mdiente a las tres edades distint~; es decir que será
"#- tJ.32 + tJ.39 + iJ.;,1
t1•3,32: -13,32: 43,:l2
•
La cliferer1cia será tanto menos importa11te cuanto mas
r.epresent.ablc
p0,r u11a ct1r,·a <le GoMPERTZ-~IAKEH."-M sea la tabla.
VI
VID..'- MEDIA DE 'CN GRt:'PO
102.
'"'ª ttida medüz abreviada de un ·grupo de dos o más pen.;o~as se
simboliza ele t111 modo análogo al usado para una sola. . :\sf, dadas dos vidas
(x) e (y), la \"ida media abre\·iac:la del grupo, e z 11, es:
•
ez., =
lz 11 + la11 + lz11 + · · ·
lr 11
1
e .z11 =
2
3
1/ :ru
•
••
eZJI
• •
3[ .r11
+
= -- +
lzy
(108)
. + ...
l z !I
•
,,- ,,p
11 := C.> -
•
• •
• •
r.
(109)
.r .1/
n= 1
*J0.3.
Er1 cuant(J a la ,·ida media completa, 8e podría, como cuando
se trataba <f~ uua sola vida, t1tilizar la ccuacic)11 aproximada
o
(' r
= (' .r + ~, :Í
percl Sl' (•c>mc~t .~ria t111
err<)l' l><>r t'X<'t..:-\t >.
E11 ef(~<·t<>: st'<Lll lz ,.itl~~ ti<' e<la<i .r ~· l!I cit~ fl(l ,t.<l !I· ~i =-'<' f<>r111:trt ~rt1p'->~
de dos pers•>11as. u11a. de edad .r y otra de· eda<l y . <'l t<>tal dt' grttpl>=-' «[tlt~ ~~
pueciP11 f or111 :tr (~:4 l L l !J •
1
( .
:L<fa pt~fSt)lllt dt~ {~(f~tll .r ft)rlll<Ll'á. Jl<ll' )el t:Lll t l).
/ ,,
gr11r>~>~: ltl<'.l ;l), :--;Í
f~t.
Prin1t~l'<L J>t~rstllttL <(lit' tntt<'t't' <'~. f''>r t•j .. <ltª t•;l:t'. I .r . ~(~ tli st >l\-t'r:í~1. :\l prc)tlt1~in;e <lielt:t. Tlltlt'rt<'. / ,, (lt• l<)S grllJ><)S ft>l'OltLll()~.
-64 ·Pero cuando muera la última persona .de edad x, ya han debido morir
algunas d~ edad y. Sea r el número de los fallecidos. Quedarán aún en vida
l 11
r; luego, la última persona de edad x ·que fallece disuelve solamente
lu
r grupos.
El primer (x) fallecido disuelve mayor número de grupos que el último.
Es decir, que cada muerto de edad x disuelve un número decreciente de
grupos. Y lo mismo puede decirse de los (y).
De ahí se desprende que no es posible compensar los grupos desaparecidos al principio del año con los desaparecidos al final.
Para obviar el inconveniente se echa mano de la fórmula de EuLERMACLAURIN,
n
n
,1,.,. =~
~ u~
UJ;UW
+ 72
tL(uO
. .
/··(u,.'
~
1
u r.) -
u'c) -
1
o
Si en ella se hace:
n=w-x
dx ;: dt
•
queda, tomando sólo los tres primeros términos del desarrollo,
1
-
1
l~+1dl = ~
teniendo en cuenta que, para t = w - x son
d lz+t
dt
y
=o.
Por lo tanto queda, tomando e 11 cuenta la corrección:
w-z
o
ez
=-
l
lz
lz+tdt =
•
••
o
(110)·
Del mismo modo, para un grupo de vidas (x), (y), (z) resulta
o
ez11•
e::
ez111
+ Y2- 1/ u '1z111
(111)
-
or la (107)
o, m
y
o
e ~l/Z = eZJI•
+ Y2
65 - --
l// 12
(µ.z
+ + µ.,)
µ11
(111, a)
Siendo l6) = O, cualquier otro valor de x superior a w
dra, tam~ién, para el correlativo valor de lz un valor cero. Por eso es indiferente escribir en el limite superior de la integral w - x 6 oo, como se
suele hacer corrientemente, aún cuando usualmente se prefiere el segundo
Observaci6n.
valor.
VII
PROBABILIDADES DE SUPERVIVENCIA
Dadas dos personas (x) e (y) ¿cuál es la probabilidad de que (x)
muera el año enésimo e,stando aún (y) e11 vida? En otros términos, ¿cuál
es la probabilidad de que (y) sobreviva a (x), si (x) muere el año enésimo?
104.
Dos eventualidades, que se excluyen, se pueden presentar: a) que muera
(x) el año n, e (y) después de ese año; b) que mueran ambas personas el
aio n, pero (x) antes que (y).
En el primer caso la probabilidad buscada es
En el segundo, se toma la mitad de la de que mueran ambas:
Se toma 72. considerando que (x) e (y) tiener1 igual probabilidad de
sobrevivirse. Eso no es exacto sino en contadas ocasiones, pero puede acep. tarse como aproximación. En total se tiene, simbolizando por n-1/q!u la.
probabilidad buscada,
ft
-1/q!i, = (,.-1p z - nP z) 11P11 + J1(" ··-1P z -
nP x) ( n-lP11 -
nPu) =
nP z) (riP11 + ,Yzn-tPu - .YínP11)
•
••
"- 1/Q!u = ~ (n-1P z~ - nP x) ("-1P11 + ,.p,,)
ll 12)
= (n-JP z -
~;n general,
interesa la probabilidad de que (y) 8obreviva a. (x),
·~ea r;·ual sea el año en que P.ste muera .
lOli.
-66La probabilidad buscada es la suma de las (iue se obtienen dando er1 la
(112) a n todos los valores posibles desde 1 hasta w - :r.
Si es q!Y esta probabilidad, se tiene
n= (&)-X
1 -~
/ l
qxy
-'
n-1 Qzy
'f1
(113)
=1
o sea
n=w-z
q!y = ~1
~
1l
,,p z) (n-1P11 + ,.p11) =
(,.-¡p z -
=1
n=w-z
= 72
~
n=l
Pero
ly+n-1
l,,-1
•
l JI
l,,-1
•Pv-1
=--Pv-t
Por lo tanto,
.
,.p.a. • n-1P11 =
p,,--1
y
•
nP'll • n-tP z =
n=w-z
q!i, = ~
~
n
=1
••
11P11:z-1
n-lP z11 -
,,p zy + - - - p z:--1
w-x
nP z-1:11
n = l
Pz-1
•
••
Pv-t
Pr-1
Pero,
n-=w-z
!:
riP z11) = l
(n-lP zy -
n= 1
porque al darle a n, todos los valores posibles entre 1 y w - :r, se van anulando todos los tén11inos de la suma con excepci611 del p·rimPro y el último~
que son respecti \"ame11te iguales a una. y a cero.
Además, (109), ·
,, = ,.,,., - 6..A
1:
= '" - .r
'\.,
,.p r--J: /1
n=l
....
n = 1
J'
= --------Pz--1
p z -- t
er-1: 11
Pz- ·t
-67y
n=
X
fo) -
~
n = t
nP x:u-1
C:.c:y--J
Pir-1
Pv-1
Por lo tanto
(113, a)
106. Esa es la probabilidad de que (y) sobrevi\Ya a (x). La de que (x)
sobreviva a (y) se halla reemplazando (x) por (y) y viceversa
1 + e z: u-1
1L
72
1 -
q:ry -
-
.
P"JJ- - 1
e11: r-1
(113, b)
Pr-t
Como ambas probabilidades comprenden todos Jos ~a..c;os posibles,
su suma ha de dar - y da- la certeza
107.
Hacie11do x = y, q11eda
q!x + qr! = 1
q!~ =
Y2
Para persor1as de igual edad la probabilidad de que una de ellas sobreviva a la otra es igual a 72. Lo (¡ue, por otra parte, es evidente.
108.
La probabilidad de que (x) mt1era antes, es igual a la de que
(y) muera despttés, es decir:
Bus<Jliemos la probabilidad de que (y) sobreviva a (x) dentro de
un plazo determinado de 1i años.
Basta bajar hasta n el limite superior de la ( 113). Se tiene
109.
1 - "Pzu
,.,.....
n=n
1l
I
t1
P r · - t : y = I '' (~ .r ·- 1 : ¡¡
= 1
n =1
t¿
"= 1
P
~
.I : ! 1
1 ·-
'
/ '°
I
f)
11
L : ll
-68Por lo tanto,
(114)
.t 10.
S11mada esa probabilidad con la de que (x) sobreviva a (y) no
se obtiene ya como s11ma uno, sino
(91)
puesto que la probabilidad de que en el término de n años- uno de
ellos sobreviva al otro, es la contraria de que ambos alcancen a vivir esos
n años, es decir, c11mplan las edades x + n e y + n respectivamente.
CAPITULO SEXTO
TABLAS DE MORTAI~IDAD DE ASEGURADOS
I
DISTINTOS TIPOS DE TABLAS
En el capitulo primero quedó somera.merite esbozado cómo puede
construirse una tabla de mortalidad general. Teniendo un censo de población y el n1ímero de defunciones, por edades, durante el año del censo se
determina el cociente
111.
mx=.L~
(12)
del cual se deduce sin dificultad toda la tabla, después de hacer, claro está,
los ajustamientos del caso.
Pero las compañías de seguros no pueden utilizar esas tablas.
· Los asegurados constituyen una población especial, que ingresa al seguro
en la mayor parte de los casos previo un examen médico en el que
q;uienes no gozan de perfecta salud sólo son admitidos en condiciones espeeiales riegos farados , o son, sencillamente, rechazados.
Esta selección así se dice en el lenguaje profesional, y eso constituye,
en realidad, el examen médico influye sobre la mortalidad del grupo
durante cierto tiempo. En general, se admite que sus efectos duran cinco
años, y, n.aturalmente, año por ~ño, esos efectos van decreciendo.
Se
tiene,
entonces
en
el
campo
asegurador-t·
r
es
clases
de
pobla•
ctón, y por lo tanto tres tipos de tablas de mortalidad: a) las tablas Beloctas,
que ofrecen la mortalidad de los primeros años -usualmente cinco, a veces
Crea- durante los cuales se admite actúa la selección, y dan esa mortalidad
elasificada, no sólo por edades, sino, también, por antigüedad en el seguro
en la selección ; b) las tablas.finales, que consideran la mortalidad de los
112.
•
e
-70-
ias
asegurados cuya ar1tigüedad excede el tiempo que dura la selección, e)
tablas de conjunto -aggregate-, en las cuales se da la mortalidad de wdos
los asegurados en corij·unto, si11 hacer distingos respecto a la antigüedad.
113. Se comprende, sin esfuerzo, que la mortalidad dada por las tablas
selectas irá creciendo
a paridad de edades- a medida que aumente la
antigüedad, hasta alcanzar un máximo e11 la tabla llamada final. La tabla
de conjunto dará, en tanto, una mortalidad comprendida entre la minima
-primer año de selección, antigüedad cero- y la · máxima, de la tabla
final.
II
EXPlJESTOS AL RIESGO -
114.
TABLAS DE CONJUNTO
La ta~a de mortalidad (5)
lr-lz+t
=---lz
se b~a e11 el número de perso11a.') qt1e alcanzan a cumplir exacla1riente las
edades x, x + 1, . . . )~ , por lo tanto, están expuestas al riesgo de muerte
ditrante todo el ario.
Al prepararse tal)las de asegt1rados debe buscarse el equivalente de esos lz.
lo que se llama los expuestos al riesgo, porc¡ue corren el riesgo de morir durante el año completo. Pero se compre11de, sin dificultad, que los asegt1rados
-que entran y salen dura11te todo el ejercicio por diversas causas- no
están todos erpueslo8 al riesgo de muerte por el mismo tiempo. La prin1era
tarea, pues, (1ue se pre.se11ta es la de calcular, lo más exactame11te posil)le,
el número de los expt1esto~ al riesgo. Y el modo de calcularlo variará, como
es lógico~ segú11 se trate de tablas selectas o de tablas de conju11to.
115.
,~ an1os co11 éstas. X atura.lme11te, 110 es el c~o de entrar er1 detalles
minuci<>Sf)s. p<>rque ~e t rat ~l. de t111 tema muy amplio, pero 110 es difícil dar
una idea clara (le cómo se procede.
Los clemer1tos pri11cipale8 (1ue contribuyen a formar los expuestos al
riesgo -que se represP11ta11 por Ex-· sor1:
a) El número de e11tra11tes: ttx
b) El de los existe11t.es al cierre ele la iri\~estigación, es <leeir, e11 el mome11to er1 <1ue se clausura el periodo considerado: veinte, treinta años, los
que ::;e~tr t: <' x
e) T. a~ secrsiotie.~, 1r z, --withdrawals, e11 ir1glés- , o sea los a..~egtirados
que - pc,r t111a <> por <>tra raz()11 - al>a11<l<)nan el seguro a11tes de tier11po,
~r <1t1t~<lar1. Jl<>r l<) ta11tc), ft1Pra dl"'l campo <le ol>serva<!ió11 .
-71dl I. . as terminaciones, T r; seguros que llegan durante el curso de la
investigación, a su vencimiento, o término natural.
e) I . . as muertes, d ~·
· 116.
..~ntes de proceder a determinar el n(tmero de los expuestos al ries-
go, para cada edad, se recogen en fichas individuales los datos referentes a
eada asegurado, de modo que se tenga11 entre otros datos- la fecha de
nacimiento, la de entrad~ al seguro, la de salida y la causa de la salida.
Es dable, así, establece·r : a) la edad más próxima a la entrada, desdeiando las f raccio11es de año inferiores a 6 meses y computando c~mo u11
año entero las de 6 meses o más; b) la duración real, y e) la usada en el
cálculo. Para determi11ar esta última se tendrá prese11te que, cuando la
causa <le salida es la muerte, se desdeña toda fracción, desde que una persona que n1t1ere a los 29 años y 11 meses se registra en la.~ t.ablas como
si hubiera muerto a los 29 años. En cambio. cuai:1do la causa de salida es
otra, es preciso emplear métodos de compensación. l~110 de ellos co11siste
en desdeñar las f raccio11es de tiempo inferiores a 6 meses y calcular con10
un año entero las que lleguen a medio año, o sea11 mayores aún.
Respecto a los existentes al cierre de la in \restigación, se tomru1 e11 cttenta
hasta el último aniversario ''encido, y se presci11de de ellos después. Por
eso, en
. el cuadro que sigue se restan, pues corresponden a tiempos residuales .
Se llega, de ese modo . para la edad n1ás baja- a la expresión
,
(115)
pues 110 es presumible que ha)·a terminacio1ies. \-! para las sucesivas,
(115, a)
117.
Sea, p. ej., el cuadro c¡ue· sigue
d
er
Wr
T .r
-
J
20
1532
76
102
148
222
287
15
18
. . .
. . .
. . .
. . .
.r
1l r
9•)
--
1529
23
1617
2-!
·)-
_;J
1
J..
E.&
-
'
11
1
T.. a rolumr1a Er se calcula como sigue:
1529 - 148 = 1381
E 2 3 = 1:381 -+· ltil i - (222 + 20 + 7~> + 5) = 2fi75
E22
=
,
·E:?i
= 2fii5 + l,~32 - (287 + 11 + 102 + 15) = 3792
-
72 - ··
Las tasas brutas de mortalidad son, ahora,
5
15
18
q21 = 1381 = 0,00362; q23 = 2675 = 0,00561; Q2• ·= 3792 = 0,00475
118. Al determinar los expuestos al riesgo se puede -según las circ11nstancias y los elementos de que se disponga modificar un tanto el
procedimiento esbozado, en procura de mayor precisión. Pero entrar en
detalles nos lleva.ria demasiado lejos. El lector interesado hallará tales
detalles en alguno de los trabajos monográficos publicados sobre el tema.
III
TABLAS SELECTAS
119. Si se trata de una tabla selocta hay que efectuar, por separado,
el cálculo para ooda una de la8 edades a la entrada. El elemento etitrantes
figura, pues, solamente en la primera edad de cada grupo.
Se ha, de advertir que la notación se modifica un tanto. En el subi11dice
que indica la edad se usa para señalar la edad de entrada, un paréntesis
cuadrado. Así, los tres valores
representan la probabilidad de muerte de una persona de edad x, pero
corresponden a tres grupos de población muy diferentes en su composició11:
el primero comprende perso11as recién ingresadas al seguro -no vencido
aún el primer afio , el segundo y tercero, personas que e11traron al seguro
bajo selección hace 2 y t años, a los x - 2 y x - t de edad, respectiv:amente. Se tiene, pues, para los expuestos al riesgo las fórmulas: para el
•
primer
afio
(116)
Y, para los sucesivos:
(116, a)
-73-
1so.
Sea 110 grupo de 1499 personas de 30 años de edad que entran
ál seguro, bajo selección, y que evoluciona del modo que sigue:
-
-
n[3oJ = 1499
[x] + t e1.z:J+t
t
o
1
2
30
31
4
5
TrzJ+t
-
35
30
140
101
60
30
45
2
48
29
,5
45
27
32
33
34
35
3
W[xj+t
d [x]+t
ElxJ+t
6
17
8
-
10
7
11
11
6
Los expuestos al riesgo, en cada año, son:
EraoJ
=
30 = 1469
1499
+ 140 + 17 + 6) = 1261
E1ao1+2 = 1261- (27 + 101 + 8 + IO)· = 1115
Erao1+1 = 1469
(45
Del mismo modo se tiene:
E1aoJ+3 = 1013;
Y por fin
E 1ao1+.i = 925
el valor correspondier1te a la tabla finalE¡301+s = 832
Y se obtiene, en seguida, como antes, las tasas brutas
=o '00408·'
q [30J+l = 0,00793;
q (30) +2 = 0,00628;
q [30J+3 = 0,01086;
q (30)+• = 0,01189;
qao+& = 0,00721
q[30]
Una vez ajustadas las tasas de mortalidad se ha de tener -como
Y& se indic~, para una. misma edad
lSJ.
Lo que puede verse oon toda claridad en el c11adro siguiente, extra.ido
de las tablas A, 1924 29, en las que el plazo de selección se redujo a tres
aftos
-
74-
•
Edad
de
entrada
Valores de qlzl+t
[x]
t
=o
t = 1
t = 2
0,00156
166
176
186
10
0,0010()
0,001-10
o 00165
11
12
113
120
127
1-18
13-!
157
165
174
175
184
193
202
216
225
141
182
210
231
¡;~
14
15
'
196
206
10
11
12
13
14
15
16
17
. 18
Obsér\:ese, p. ej., como crece la probabilidad de morir a los 12 años de
edad, a medida que se aleja la época de la selección.
q[12]
= 0,00120;
.
q[11)+1
= 0,00148;
q[10J+2
= .0,00165;
q12
= 0,00176
La figura 7 ilustra gráficamente, ro11 \·e11taja, la explicación que antecede.
260
240
L..
Z20
200
~
1l
\O
t;
12
1}
\4
I!.
lb
17
tO
75 -
122. Podría pe11sarse que la tabla tie1te una raíz disti11ta para cada
edad de selecció11. Fácil es \"er c¡ue no es asi. En la tabla .-\, 1924- 29 se toma com<.> raíz el i1timero 9.999.999 -prácticamente diez millones- para
el valor l10 correspo11diente a la tabla final. Por el procedimiento dado en
(7) se obtiene los distintos \"alores de l :z:, y luego, con ellos se obtienen su<!esiva1nente los de l[xJ+2; ltzJ+1; lrxJ.
En efecto, para [x] = 10, es:
P [z)+2 = 1
l r+3 = 9950282,
qlxJ+2 = 0,99835
r. uego
Pr rJ+2 =
l (.r}+2 = 9950282 : 0~99835 = 9966727
Del mismo modo se obtiene
E11 ge11eral,
l{r)+t
= lrzJ+t+1 : Pir)+t
El cuadro qt1e da los distintos \"aloreE de l tiene la forma
Edad
J~da(t
f rxi
[.r]
•
lrrJ+1
J
l .r+a
x+3
9.999.9Y9
9.984.399
9.967.825
10
/ [x )+2
-
10
9.991.291
11
9.975.20-l
....... ..
9. 921.03-!
..
1-l
9.966.727
9.980.700
9.963.9:t2
... .... . .
u. ~)07. 740
9. 9-1:9. 185
. . . . .....
9.890.501
9.950.282
9.931. 77-1
12
13
1-!
. .. . . . . . .
. .
9 .s-o ,;)_
-~)·J
...
'
y, el de las d
•
[.r]
d [z 1
d [r} +2
drrJ+1
:i.~+3
rlx+3
--
-
15()0()
l f ).) 7-!
17~343
10 1 l0;j9]
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1-17·17
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¡;397~
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1:3
1-l
. .
1
1
..1
li
17
-76-
donde, para [x] = 10
dlz)
= Zlz] -
l[zl+l = 9.991.291 -
dt:z:]+l = l(zJ+t
9.980.700 = 10591
= 9.980.700 -
l[z]+2
9.966.727 = 13973
drzJ+2 = lrz1+2 - lr+3 = 9.966.72i - 9.950.282 = 16445
dz+3
= lz+3 -
lz+4 = 9.950.282 - 9.931.774 = 18508
En otras tablas se asigna la raiz al primer valor considerado de li:rJ, es
decir, el que corresponde a la edad [x] inicial. Pero el procedimiento de
enlace es, evidentemente, análogo al bosquejado aquí.
Y las probabilidades de vida y muerte se calculan, ahora, como las de
las tablas de . .conjunto, cuidando sólo de tomar los elementos de acuerdo
con el tiempo considerado
•
PlzJ =
'
l14
l (10 l
d(.r)
q(zJ =
l
(z)
q(14]
=
q 114 }+2 =
5PlzJ =
ltzJ
9.931.774
= - - - - = 0,994
9.991.29.1
•
'
13.294
9.921.034
19.979
9.890.501
= 0,00134
= 0,00202
CAPITULO S~PTIMO
AJUSTAMIENTO DE LAS TABLAS
I
CONDICIONES GENERALES
Se ha hablado de probabilidades de vida y muerte. Pero los valores observados, ya se hizo notar antes -15~, sólo dan frecuencias, frecl!Iencias qt1e -como se ve en el cuadro qtie va más adelante -131-,
están muy lejos de ofrecer la r~ula1·idad que uno cree tener derecho a esperar
euando se trata de un fenómeno como el que se está considerando. Ello
induce a pensar que hay errores que afectan a los resultados obtenidos:
insuficiencia de datos; inexactitud
voluntaria o involuntaria- de las
declaraciones; influencia de causas adversas, v. gr., una epidemia, o, por
el contrario, un conjunto de circunstancias excepcionalmente favorables ...
El hecho es. que, para pSBar de las frecuencias a las probabilidades -o a lo
que usualmente se acepta como probabilidades- es preciso efectuar una
serie de operaciones que se conoce11 con el nombre de ajustamiento. Y este
ajustamiento debe dar, no sólo regularidad, sino también fidelidad, es decir,
debe reflejar lo más aproximadame1ite posi,ble los datos originales.
123.
Ha.y sobre el ajustamiento una copiosa literatura y no es éste
el momento de extenderse desmesuradamente sobre el tema. Pero es imprescindible dar un concepto claro de sus propósitos y sus métodos.
Los propósitos quedan esbozados: eliminar errores -cualquiera que sea
su origen-. En cuar1to a los métodos -ya se anticipó e11 el capitulo primero- se pueden distinguir tres: el grá.fico, el mecánico y el analítico.
De este último se vió lo esencial al analizar las hipótesis de CxoMPERTZ,
de ÜOMPERTZ-1\'IAKEHA~I, y las que de ellas se origina11. Se postl1la que
la función ciue representa el fenómeno co11siderado tiene una forma dada;
80 determinan, por tales o cuales medios, las constarites -Jos parámetrosque corresponden, er1 cada· caso y, lue~c>, no hay más que ir <J&ndo· a la
124.
-
,...,_,
'º -
- ,·arial>le ir1J{\p~11diente sus distint<.>.4:-> \~atores -dent1·0 (le los lin1ites (\n <¡tte
es válido el ajt1stamie~1to-. 6i\.sí, la hipótesi8 de Go.\·fPJ<~ltTz-::\1.~KEHA}t 110
es válid~t pa.r a <\<lades jtl\·?f~11iles lli para edades den1a:-;ia<l<» altas. I)ara t·ll~is
habrá que segt1ir <)tro camir10. Tomar, p. ej., ciertos val<lres ejes, y aplicar
una funció11 de tercero o ct1art<.> grado. ,
125.
&.\11te todcl hay que señalar las principales co11diciones c¡ue u11 ht1en
ajustamie11t<J debe ret1nir. E11 ge11eral, se exigen las siguientes:
a)
Regularidad ge11eral.
b) Concordancia
lo más exacta posible
lores obser\"ados y los ajustados.
entre la s11ma de los
''ª-
Igualdad de la suma de los valores absolutos de los desvíos positivos
y de los negativos.
e)
d)
Pequeñez de los desvíos acumttlados.
e)
Frecue11cia del (~ambio ele sig110 de los desvíos.
JI
,
,
METODO GRAFICO
126. No basta trazar u11a curva que pase cerca de los pu11tos observados y que tenga un trazo limpio y suelto para decir que se ha hecho un
ajustamie11to gráfico.
Las reglas que se acaba11 de se11tar orientan debidamente al i·especto:
a)
I.Ja curva debe ser limpia y suelta
no hay duda, pero, además.
b) I. . as áreas c¡ue se agregue11 -e.rteriores a la poligonal dada por los
datos brutos- debe11 <·ompensarse co11 las áreas interiores de que se prescinda.
Esa compe11sació11 dc~be produ<~irse, no sólo e11 el total, sirio, además,
y e11 lo posibl(\, er1 la.~ distir1 tas zonas parciales.
e)
d)
Y er1 esa.s zona.~ parciales <lel)e tratarse <le\ e¡tll~ las difer(~ncias :-;ean
pe<1t1eñas: <~ua11t() má.~ fJC,1t1eñas, mejor.
El gráfico a<ljt111t() -tomado de u11 c~as<> práctic<) real- es 8Uman1e11te
i lustrat i ,~,,. I . a <~tir\·a . .\ :\11 ¡Jasa p<)r e11tre lc>s distintos pt111to:; de la 1)olig<>r1al
AllC l) . . . .J , pt")r<l s,)J<) P' >r <~x <~<~p<~i <)11 <ª<>i 11 <~i<i<l 0011 algt1110 cie c~llus. f~r1
cam l>i <>, la~ :íreét.~ <~ort a<i~l8 arri l>a y al>aj <' (J{~ ella S(' <·or11 r>{'t1~a1 t ,·isi l>IC'm<•11 te.
--· 79 ·1
1
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•1
J
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l
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1
••
•' i
'
1
'1· J''
Figura 8
Desde luego, en este método tienen una influencia preponderante el
criterio personal y la habilidad manual del operador. Es su principal \~entaja
y stt mayor ineo11\ eniente, a la vez.
1
III
MÉTODO MECÁNICO
Este método se basa e11 el empleo de fórmulas algebráicas deducidas del c.á lculo de las diferencias finitas o de alguna hipótesis simple,
para -conser\·ando en lo posible los datos originales- darles una distribt1ción más l1armónica haciendo desaparecer las asperezas de la serie original.
Consiste, en lo esencial, en surniir grupos de valores de Ja función, reiteradas veces y e11 cierta f orina, y obtener de esas sumas un valor medio que
se toma como valor ajustado del valor central.
127.
1~8.
El primero que recurrió a ese procedimiento fué JoHN F1NLA1so~.
Aunque la fórmula <¡ue él dió no es hoy más que u11a curiosidad histórica,
se da aquí -por comodidad
para si11tetizar el mo<l1t.~ operandi.
Sea la serie <>hser,·ada,
llz ; ILz-t-1, · · ·
•
••
-80-
Y repitiendo con la serie de las y, asi obtenida, el procedimiento anterior
'
queda si se adopta este nuevo promedio, como valor ajustado, u'"' de
la serie primitiva-,
.
u' n = 1/6 (Yn-2 + Yn-1 + y,. + Yn+i + Yn+2)
Si se simboliza con [5] Un la suma de los cinco valores de uz, cuyo valor
central es Un, se tiene:
.
5 Yn = [5)u,.
5 u'n = ~]y,.
•
••
•
(117)
••
.
El exponente indica la repetición de la operación, tantas veces como él
expresa.
•
Hechos los cálculos resulta
1
U n
= 1/11 (u.-.
+ 2 Un-3 + 3 Un-2 + 4 Un-1 + 5 'Un + 4 U"+l +
+ 3 Un+2 + 2 Un+3 + Un+4)
Pílniendo
Yt = Un-1 + Un+l;
Y2 = u,.-i + ·u,.+2; ...
queda
(117, a)
*1S9.
WooLHOUSE quiso hallar una fórmula más precisa. Para ello, en
lugar de 103 9 valores de F1NLA.1soN, tomó 15. Por ellos hizo pasar cinco
parábola~ de segundo grado. Si es Un el término central, la~ distintas parábolas pa'iat1 por los puntos
Ura-2,
Uti - 11
Un+&,
Un+1,
8ea,
'",,. + ~ = '" ,. + Az + Bz ·
-81la ecuación general de la curva. Si se hace z = 5; - 5, se tiene:
+ 5A + 25B
Um--ó = Um
5A + 25B
(a)
Um +s = Um
Um-5 =
Um+5
A = 1/10 {ttm+&
(~)
lOA
•
••
(r)
Ua-5)
u,,.+s + Un-5 = 2um
+ 50B
•
••
2um + Um-s)
B = 1/so (um+s -
•
••
(o)
Luego, la ecuación general toma la forma:
Um+z
= Um + 1/10 z(um+s -
Um-s)
+ 1/50Z 2(llmt5 -
2um + Um-s)
que, poniendo
m +z = n
•
• •
m = n-z
se hace
Un
=
Un-z
+ 1/1oZ(Un-z+s - Un-r--6) +
+ 1/soZ 2(Un-z+6 2Un-z + Un-z-ó)
Sea u'" el valor ajustado, y hágase, sucesivamente,
J
z = -2·-1· O· I· 2
,
,
Un
' ' '
= lln
+ 1/ 50 ( Un+4 4
2
U n = 'U n-2 + /10 (un+3 - Un-1) + /so (Un+3 1
U "
= Un-1 + 1/ 10 ( Un+4 -
tln-&)
1
2·ztn- 1 + Un-~)
2Un-2
+ lln-7)
Sumadas las cinco ecuaciones, y u11a \tez hechas las simplificaciones
necesarias, queda, recordando que Un+ t + tin- t = y,,
u' = 1/125 (25un + 24 r1 + 21 12 + 7 ra + 3 'Y• - 2 'Y& - 3 r1)
(118)
o también
u' n = 0,2un + 0,192 Y1 + 0,168 Y2 + 0,056 YJ + 0 024 y, - 0,016 16 - - 0,024 11
(118, a)
-82A esta fórmula se le ha dado
1
U n
posteriormente- la form·a :
= 1,/12s (5)3 Vn
(118, t>)
en la et.tal
l'n
= 7u,i -
3 "(1 = -
3ttn-l
+ 711n -
3un+t
130. Por clist.intos procedimientos
que condt1cen todos a expresiones
del t,ipo que se acaba de ver -se llega a diversas fórmulas, más o menos
Cómodas o satisfactorias.
Veamos algu11as de l~ más conocidas.
a)
Fórmula de H1GHAM
Poniendo
es
[5]ª
u'" = - - t'n = 1/12& (25un + 24 lt + 18 12 + 10 la + 3 y, 125
- 2 r&
211- re)=
(119)
= 0,2un + 0,192 r1 + 0,144 12 + 0,080 ra + 0,024 1• - (0,016 l& + 0,016 17 + 0,008 re)
(119, a)
b)
Fórmulas de
l.
De quince tér1ninos. Sea Vn = 4un + 3 r1
U /" -
-
(5] [4]2vn
320
SPENCER
= 1/no [74u.. + 67 11
-
11.
3 lt
+ 4612 + 21ra+3 -y,-
(5 r~ + 6 16 + 3 11)]
(120)·
De diez y nueve términos. Sea Vn = 3u" - 1'2
1
1t n
[7] [5]2vn
= - - - = 1/11s [31un + 29 "(1 + 24 12 + 17 ra + 8 l• +.
175
.
(121)
111. De vrintiúti térmi110H. Sea Vn = 2ttn + )'1 [7] [5]2vn
Lt',, = _.. --·-- - - :{;)()
=
,
r.
1 , 350 t60lln
13
8
+ 57 Y1 + 41 ·r'l + 33 Y3 +. 1 I' 4 +
( 12:2 i
-- 83 JSI. U11 a disposi(·ién1 cómoda de los cálculos puede ,·erse en el cl1adro
•
. que s1gt1e. e n el que se aplica la fórm\1la de HI(~H.A.M .
- ---··- - ·- - . ---·- ----·- ------ - -- - 1
'. 1
! ... ,..
l /
1
1
i l'r =
1¡ 0 [.j](4)= j [•>](i> l = [<>](6) = ' U z=0.08(7 )
1
1l .(, :::::
\ [•1] ~
.
[.5]:i
1
[.5] ~
r¡' z
[3] ( 1 }· ·t~(l 1 •)
1
X
(-)-l3 J _ [11 r
. -- r
--- r
= -- - r
l Ofl<¡ I
1() • 'J .r
'.
l o .&
1() ;r. 1
125 . z
1
1
-:
~
)
\ 4)
- ·· ( .=))
¡
(ti )
t7 )
-1
- ,8)
(9) - i
-(0) ( 1)
- - - - - - - - --1
-1----- - - 1
- - --~ -·
~
1
1 :..' )
- 2'2
23
2.Jl
25
~6
27
559
511
633
68()
6-!4
602
4()5
170:3
1
1830 1203 I
l~J63 1113
1932 1098
1711
117.1
627
850
834
314
~j3t)
2U7
293
48~)
1556 1263
1373 111 ~}
-15-1
619
1625 1086
~):3~l
359
675
37
5li 17,j7 1398
621 20-17 137:2
90U 2283 1269
1374
753 2414
.
752 2258 1662
753 2258 1698
753 2451 1707
38
94,)
3'9
9.55
28
29
30
31
32
33
3'
35
36
-
1
•)(-. (.
1
1327
218
·)3·)
1
!
1317
1383
148.5
) )
-
-'
304
1040
363
368
389
596
39.5
101-1
1
1
1j
1
1
'
7168
7660
1
--~
0,00573
613
0,00613
ª' ~
1656
1819
560
744
')ti:-3
.__ v•
El proredimie11to tiene -como se ve- el i11co11\1 eniente de no ajustai·
los valores extremos. Y el númer'l ele- térmi11os c1ue queda11 si11 ajustar es
tanto mayor cuanto mayor es el número de los comprendidos en la fórmula.
*182. No cerraremos este capitulo sin señalar la fórmula de KARUP.
KARuP considera cuatro valores de la función, u s, uo, us y U-10, por los
que hace pasar una parábola de tercer grado
Uz
= Uo + Ax + Bx + Cx
2
3
(a)
mientras por los puntos u s, 1, 0 y U5 -lo mismo que por los pu11tos uo, u;:,
Y U10- pasa una de segundo grado:
Uz =
lt o
+ az + bz 2
(~)
Y KAtt.UP l'stablece la condición de <1t1c <'sta..5 últimas curv&c; se junten
con l:t (J(' ter<.~t. r grado sin a1ig1tlosida<.les, es decir, teniendo la rnisma pe·n die11,f1 · -Ja. mi~ma (leri\ ada-- - (\ 11 t>l pt111t<> de contat·to.
1
-84Las derivadas respectivas son
duz
dx
=
A + 2Bx + 3Cx 2
•
• •
du~
dx
z=5
=A+ lOB + 75C
y
=a+ 2bz
•
••
De ahi se desprende:
A= a
Ahora, si en la curva de segundo grado se hace, sucesi\i"a.m ente, z = 5, -5
queda
u, =uo+5a+25b
•
u 5=Uo-5a+25b
Us ·U-5 = 10 a
••
U-5
U5
•
••
a=----=A=
dtlz
10
dz
(y)
'ªº
Del mismo modo cabe poner -con sólo desplazar lo necesario el orige11-
du.
dz
U10-Uo
z-5
= --- = A
10
+ IOB + 75C
puesto que las derivadas de ambas curvas son iguales en ese punto.
Además, si hacemos en (a), x = 5, resulta
Us
= Uo + 5A + 25B + 125C
(e)
Y resolviendo con respecto a A, B y C el sistema de primer grado que
forman las ecuaciones ( r), (o) y (E) se tiene
U5-U-5
A = - - - ·,
10
e
•
B=
-
1t10
+ 4us 50
3uf> + 3uo - U--i
= ----~--~~~~~
250
U10 -
5uo + 2U-- s
;
-
85
Co11 Jo cual la ecuación (a) de tercer grado se hace,
·u.r = ·uo +
1l;, -
+ 4u5 - 5uo + 2U-5 2
-x + - - - - - - - - - - - x +
1.t-5
10
-
U10
50
+
3uo - U-s
+ ~--~--~---x3
U10 -
3tl.5
250
qne -ordenada con respecto a u, desp·u és de agregar n- x a cada subin~\ee
toma la. forma
2501tn = -- X(X
5) 2Un-z-f> + (3x 3 -
25x 2
+ 250)Un-x +
+ x(-3x 2 -1- 20x + 25)lln-x+s + x 2(x - 5)lln--x+to
Y, haciendo, sucesivamente, x = 1, ~~' 3, 4, 5, da, siendo ·u' n el valor
IJjll!tS·t adO,
+ 421ln+4 -
250lt'u = -
1611,i-6 + 228·z¡ ,i--1
250lt 1 n = -
181lu-7
25011 n = -
l2lt 11 --8
+ 17-lUn-2 + l06ttn+3 -- 12lln+8
+ 106tl ,-3 + l 741t +2 - 1811,, t7
'2501l 1n = -
4ltri-9
+ 4211,,-4 + 228u,,+1 -
1
250tt' n =
4t'n+9
11
7
.l6lln t6
250U-n
Sumando ),. simplificando se llega, e11 fi11, a la f(•r1nula re<]ueri<la:
1
U n
=
1/ 62 r)
{1251 l n
+ 114 'Y + 8 7 Y + 53 ~( + 21 'Y
1
2
-
3
1 ---
(8 'Y6 + g 11 + 6 rs + 2 "(9))
(123)
l\!
,
,
M E'fODO .A.X AI"'ITICt)
Er1 . el capitulo cuarto -al estu(liar las hipótesis relati,~as a la
t,a sa instantánea de mortalidad- se dieron ya las principales fórmulas de
ajustamiento y los procedimientos usados para llevarlo a cabo. Remitimos,
l)or lo tanto, al lector a dicho capítulo, ~spcrialmente a los § 7·3 al 80.
Repetimos, que apenas ha 8ido posible esbozar los puntos (¡ue -dent ir o del 'rasto tema del ajustamie11to- ofrecE~n, para los problemas en esta
0bir a abordados, mayor int~rés.
No era posible proceder de <>tro modo si11 ir1v·a<lir aje11a jt1risdicción.
~ interesado.s hallarán, si11 dificultrtcl, l111a c·opiosa literatura especializada
P·a ra aho11dar y ampliar Jo (¡ue ac¡uí se i11~inúa.
133.
LIBRO SEGUNDO
SEGUROS SOBRE LA VIDA
C.i\PlTlfLO OCTAVO
NOCIONES Fl!XD ..\MENTALES
1
DEFl~ICIONES
DEL SEGURO
134. ~luchas son las definiciones que del seguro se han dado. En todas
ellas -aur1 en las más acertadas- hay algún punto vuh1erable. Y es que
el seguro es una i11stitución de carácter tan amplio, que se puede considera.r
desde diversos y muy e11contrados puntos de vista. Y, es claro, toda definición, por precisa y meticulosa que aspire a ser, te11drá por fuerza que
relegar a segundo término, o que dejar de lado, alguna modalidad o algu~a
caracterfstica de cierta importancia
.
.
La clásica definición de ¿\DOLFO WAG:SER se basa en la teoría llan1ada
d~ la in(le1rinización. ''Es el segt1ro la i11stitución que repara o por lo me11os
ate11úa -media11te su distribución sobre una serie de casos e11 los cuales
está prev·isto el mismo riesgo, pero no como necesario, o por lo menos 110
como simultáneo- los efectos dañosos )' futuros de t1n determinado acontecimie11to, incierto para los interesados y, por ello, impre\rist.o e11 ct1a11to
al mome11t<) de su rc,t.lizac·ió11'~.
P~ro el segt1ro puede tc11er e11 \ristu, no u11 itco11tecimie11to dañoso, sirio
u110 feliz: p(>r ejen1plo, el segltro de dotes i11fa11tiles, cuyo objeto es sumi11is t rar al 11iñ(), cttando llegue a cierta edad. u11 capital o u11a re11ta que le
pern1ita C<Jmplt~tar sus estudios, o lanzarse co11 perspecti,·as de éxito a la
lucl1a por la \'"Ída, o dispo11er de cierto capital el día de su boda.
J/J.:;. ..\r~f·1iÍ·: l)1) MA:'iES -el co11ocido tratadista - ha form\1lado otra
<lefir1i(li/u1 l)asit.(la e11 J,t teoría de 1:1. n.Pce:::ida,/. ''~egt1ro es la i11st.itt1ci<)11
-- 87 -- ·,~ct>tt<'>Il1ica mf·clia11te l~t c·.11al. ~- :-\()l>rt~ la ba~f. clt · l~t reri1Jr()C1<l:l•I . ~e et1Grt'Il
ace..:itlttdes e\·e11tuales de C~:l¡Jital SllSCeptibJe!-) d<~ valoració11''.
J1l\,
l J ·'
J•::' t111~t d<· ln,, r11á ~ <'Xa<'ta." ~· c.·<>ll<'Í:"i~ls ~- . }J<)l' tell l'<tZ<~?;. Lltt:l ( )(· l~t .. r11~Í:"\
~iiftiiiditlas. #.\11alizándola <le cerr:.t ~e \·e, ll<) obsta11tf~~ qt1e llO está exe11ta
d<> fall~1 ~. I . n. n1ás grí"t,\·e es, a.ca."º· la d(~ ol\"i<lar que el seguro ·---er1 la i11mllC' ll~ft 111~t· >·<>rí,t <I(\ lo:; casos ·· - - es, a11te t<ldo )'" sobre todo, u11 ccJ11trato hilater,11. f)t' '':-.;t • <.i,·i(lcl sttrge el de JlfCS<'i11<lir (le la e11ti<l:1<l aseg:t1rad<)ra, r11altq1ltier~1 <1t1e sea la f <Jr1nrti adoptada.
;\tJ<-.111á:; - -·· c·onl() lo obser\·a n1u}·" bien el doctor l\l ..\Itl() R1v.A.llOLA, <.jllC
ha ttrlal iza<l<> ugt1d~t1nentc t)sta definición- el seguro no siempre c11f)re
·ilet:<'sit/nflc.". ¡Jro¡Jiame11te Jic~l1a~. f~11 n1tt( h<)S easos ~e trata sólo de t1acer
fre11t(l a obligario1le.~ crea<ias por el misn10 contrato de seguro o 1>01· la ley,
~¡ ~r t rat ~1 <l(" ~(lgt1r<>.".> 11aci(lo~ de t111a disposició11 legal.
1
136.
l~ 11 profesor español, el doctor LAFIGUERA -catedrático de la
l"ni\'(.. rsida(I e.le Zarag<)za- ha dado u11a defi11ició11 elegar1te ~- s!11téti<:a:
'' Seg11 r<' (lS t rc.111~f <>r111ar e11 tttt , .. ~llor t ierto u110 eventual'~.
1
~<> n1e11<>s si11tética es la defi11ició11 de l~ROSKA,
basada en la teoría dt~l
riesrt<>. •'~egt1ro es la ret111i'-)11 de riesgo8 para ser c·on1pe11sados n1e•iia11te
retril)ueiú11''.
J>~r<• una y
otra fle\"atl en SU mérito primordial, la concisión. Sll más
g ra,·e defecto.
Poco difundi<la, y acaso u11a de las má:-; interesantes. ·es la del autor ita.lia110 (;. Rocc·A: ''Reguro es la u11ió11 de varias perso11as co11 el fi11 de afro11tar 11ecesida.des f utt1ras mediante la acumulació11 de capitales y la transferer1cia del riesgo''.
'fie11c esta defi11ición, ro11 la de :\IAXES~ algu11os pt111tos de eontacto.
Pero el ~riterio que la i11forma es, evidenteme11te. más amplio. Se alude
a l~t 11at ttralPztt co11tra<~tl1al <Jt-. la operació11 y a la existe11cia de u11a e11ti<lad
asegtt r~t<l<lra, es decir, ele u11~t e.11tidad a <]uie11 se le lra1i~fiere el ricsqo.
l1 or últi1no, he ac1uí la defi11ición formulada por el <lc)ctor ::\I.~tt.10
fu,·.-\. l{<)T ..-\ . Pll 1:.l. <IllC t r:it a ue c•o11~egt1 ir •'una prude11 te amalga111a <lel a:;peet () e<·o11ón1i<·<> J.. del aspecto jurídico del seguro, i11separablt~s, por el
mon1t~r1to, en la defi11ición de su concepto''. Por ello cree qt1P <1 <>rre:-;po11dl~ría
de<·i r. eJuizá n1á.'-' t'xact ame11 tr). <]U() ''el ~egttro es el conj u11 to dP operarÍ<>tlf'S
que~ se realizclll (•11 el <~on1ercio del riesgo, er1 u110~ casos, o por el estad,l, e11
otro~, te11clicnt,~s a <>rga11iza.r exi8te11cia.c;; rcor1<)1ni<~as actuale8 para ater1rlt'r
Ja.~ }JrPst tt <·ic,11e~ y <J1 )ligaci<,11es cread:.1s JlOr la ley o poi· r<)Ilt rato, c·o11 relti<~i<>11 u l1ec!l1os pusil)lf':-; <> ft 1tt1ros <~ompr~11<lidos er1 t)l rie8g< 1''.
JJ'l.
-88-
II
EL SEGURO SOBRE LA VIDA
138. Al definir el seguro sobre la vida, se tropieza, también con }as
mis1nas dificultades. Se trata de una rama especial del seguro, y debe, por
lo tanto, haber mayor homogeneidad entre las distintas clases de riesgos
que se cubren, pero, aún asi, éstos difieren tanto qt1e es dificil dar una definición que los abarque todos.
La más comprensiva de las definiciones conocidas es, acaso, la de P.
DuPUICH, autor de un tratado moderno de seguros sobre la vida, para .
quien la operación es el contrato ''mediante el cual una persona llamada
<J8egurador promete a otra, a quien se llama wmador, en cambio de una
prestación que se designa con el nombre de pr,ima, procurar a una tercera
persona, que recibe el nombre de beneficiario, cierto beneficio bajo una
condición o término que depende de la vida de otra persona, a la que se .
da el nombre de asegu,rado''.
A fuerza de prolijidad ha conseguido el autor comprender e11 st1 definición todas 188 combinaciones posibles: seguros en caso de muerte, capitales diferidos, rentas ... Y hasta ha presentado como distintas dos personas
que, por lo común, forman una sola: el tomador y el asegurado. Es raro,
en efecto, que el que contrata un seguro lo haga sobre una vida distinta
de la suya. Pero para que la definición tuviera la mayor generalidad posible,
el autor ha tomado en cuenta las raras ocasiones en qt1e eso sucede.
139. Es interesante hacer notar que el segur<>· sobre la vida prese11ta
características muy especiales. El riesgo que cubre es, a veces, la super,·ivencia; a veces, la muerte. En uno y otro caso lo incierto 1io es la mttcrtc
mis?na -hecho inevitable y f2,tal- sino el mo1nento e11 qt1e ella ocurrirá.
Divfdense, asi, los seguros sobre la vida en <lo~ grandes grupos: segltros
en caso de vida y seg1tros en caso de m11erte. Y aún se suele agregar •In tercer
grupo: el de los seguros mixt.os, en que hay, a Ja vez, previsto un riesgo
de muerte y uno de supervivencia.
El Dr. R1vAROLA habla e11 st1 definició11 ger1eral de ''obligaciones
ereadas por la ley'' Es lo que ocurre en 108 llamados seguros sociales. La
obligación de indemnizar ál asalariado -o simplemente al cotizante- que
sufre u11 accidente de trabajo, contrae t1na e11fermedad, se invalida o se
queda sin trabajo, nace direcúimente de la ley. Y de la ley nace, también-,
la obligación de proporcionar asistencia médica o ayuda pecuniaria -o una
y otra, a la. \tez -a.l hogar favorecido por el nacimie11to <le un nuevo hijo.
140.
-- 89 ESt:e aco11tecimie11t.o no es doloroso, sino feliz, pero produce transtornos
conóroicos y por ello la ley lo declara indemri'izable.
e por supuesto, aquí no se estudiarán los seguros sociales sino los que,
par provenir de la iniciativa ir1dividual, en cada caso, reciben el nombre
de seguros privados.
111
CAPITAL DIFERIDO
141.
La más se11cilla operació11 de segt1ro sobre la vida es el capital
diferido, pagadero a prima única.
.
Se trata de averiguar cuánto vale hoy
qué valor act11al tiene- un
eaipital determinado pagadero dent.ro den anos, siempre q·11e el asegurado (x)
esté entonces en vida.
Ese valor actual es lo c1ue se llama la prima p1tra única.
Pura, porque se la calcula sin tomar en cuenta los g~tos que origina la
operación - y cuya influencia se verá más adelante-. Unica, porque se
paga de itna so/,a vez al contratar la operación. ~.,ácil es ver que contribU:}"en
s formar esa prima tres elementos: el capital asegurado; el .facf.or de de,~cu1.>nfo •
que trae al 1nomento presente dicho capital, y la probabilidad de que dentrc)
de
n años esté (x) aún en vida.
•
Sea nEz el valor actual -la pr1·nia p1lra ·ú nica- <1ue correspo11de a.. uri.
capital diferido de un peso, o la unidad n1onetaria <le (¡ue se trate E, i11ici~1l
de la palabra i11glesa erulo11·1nent, dote. Si se rt\<)uer(la c¡ue SClll v el \"al<)f
actual de un peso pagadero dentro de ·n años y 1.P z la probabilida<l de <lue
dentro de n años esté (x) aún en vida, se tiene:
11
•
n
E r = l ''i n p r
=---
( 12-1)
(124, a)
1. ~2. Se ha hablado de probab1.lidad. I-Iti.y c¡l1ienes tienen escrtípl1los
en hablar de probabilidades tratándose de la ,·ida humana. Piensan q11e
no está Pf:cJbado que tales probabilidade8 exista11 realme11te, y que lo que
Se llama a."f no SOil sino valores (fe ob.~ervaciótt <tlle prese11tar1 rrtayor O me1tor
analogía. co11 las probahiliducles.
Quienes asi pie11san razonan el problema a11t{~ri()r - y los qt1e se verán
en lo sucesivo- de otro modo: medifi11te (~l llan1aclo .1t1él()ciu ellleriano.
Un grupo de personas, lx, tocias de igual edad, co11trat~t con u11a empresa
aseguradora tantas operaciones de capital diferido como personas compo-
-
90-
nen el grupo. (.{~uál es la prima p1lra. 1i1iica que tíe11e que pagar cada una
de ellas'?
. Si es nE x esa prima, entre todos los l :r. pagará11 nE r l x· Ei; el corrzpr(111iz:80
de los asegura(fos. El compro1niso del asegltrador es, desde Juego, el valor
actual de t111 peso pagadero dentro de n años, v'', por el 11tímero de personas
del grupo i11icial que so~re'1"i \ "a11 de11tro de esos ·1 i añcls: es decir, l z+n· En
total: vn lr -1--n· Y, como el compromiso del a.c;egurador ha de ser igual al de
los asegurados, queda:
•
••
,,E r
= l'"
--
l'" ll p z
(124, a)
(124)
..-\d\"iértase que -como era de esperar- el ~esultado material es
el mismo por ambos métodos. Pero, no es eso lo más·i11teresante: analizando
co11 cuidado se ve que
lógicamen~e, y salvo el haber prescindido de la
pal.abra probabilidad- el segu11do modo de razonar no difiere substancial..
mente del primero. ¿Qué son esas l que se har1 utilizado? Síml)olos convencio11ales de una tabla de morúdidad construída admitie11do -más o
•
menos explícitamente- la existencia de las probabilidades de vida.
14J.
144.
Otro escrúpulo -de otro orden- se desea salvar mediante la
adopción del método eilleriano~ El seguro es un contrato que se basa _:_para
•
ser tal- en la existencia de un gran número de operacio11es análogas. Ur1
segttro aislado, concertado e11tre dos particulares, no es sino una vulgar
apuesta de juego de la que resultará irremisiblemente, ganancia para el uno
•
y pérdida para el otro. Pero, si se. presupone la existencia de lz operaciones
simultáneas, no son ya de pre,rer, para el asegurador, ni la ganan<~ia ni la
P.é rdida, sal'"º dentro de lín1ites r~ducidos.
Ha)· que decir al respecto, que, aunque el cálct1lo se haga razor1ar1do
sobre ll1l seg11ro aislado, la empresa aseguradora no será tal si 11c1 realiza
u11 11úmero consideral)le de ellos. Y, buscando ese número consideralJle,
los <'Orredores de segt1ros \"isita11 -uno a uno- a los presu11tos asegur:'.tdos.
Es bt1e110 conocer los argumentos que se dan contra cierto modo de ra·
zo11ar. }>ero, u11a \pez co11ocido~ ~r sopesados debidame11te, 110 ha.y por qué
se11tir~e demasiado atado por ellos, hasta el extre1no de presci11dir de ur1
pr<l<'edimie11to dt• cálct1lo cómodo ~r eficaz.
-- 91 --
I\'
TABLAS DE COX:\Il"Tt\.CIÓN
Para facilitar los cálculos -y eso se \rerá más clarame11te <~t1ando
se t.rat.e de rentas- se ha imagi11ado la construcción de tablas atixiliares
llamadas de ron1nutació1i, porque conmutan., tra·n s,forman los cálculos.
145.
Es
8i se ffitlltiplican llUmerador y denomÍ11ador por el factor Vr, SP tiene
(12-1. b)
exp,resi,)11 en la cual e11 los producto8 t'J:' lx y v.r+n lz+n el exponente de v es
igual al subíndice de l.
Llama11do D z, D z+n, a esos productos el subíndice de D es el mismo
que el del- se forma una serie de producws que dan la primera col1i·mna de la
tabla de conmutación~ La que va .a l fin del volumer1 está basada en la tabla
de mortalidad Hm y la tasa del int.erés del 4 o/c.
Se tiene, e11tonoes,
Do = v0 lo = 1
X 127283 = 127283
D; = z· 7 l; = 1,04-7 X 101704 = 0,75992 X 101704 = 77288
43
43
D43 = v /,.3 = 1,04X 79737 = 0,18517 X 79737 = 14765
1 . ~6.
Si en la (124, h) se introduce11 los valores respectivos de D, queda
(124, c)
Ejemplo numérico. ¿Cuál es la prirtia p·u ra ·ú·n ica de un capital de 5000
pesos, diferido por 15 años, para u11a perso11a que tiene 42 años de edad?
~OlllCÍÓll.
Eso <~s para ''ti ¡1<·80: para ~)():10 pe:;os se ti<~11e $ 2193, 15
CAPITULO NOVENO
RENTAS VITALICIAS CONSTANTES
1
RENTA INMEDIA T _\
147. Calculemos, ahora, el \ralor ~ctual - o Ja prima pura única- de
una reni,a V'italic·i a 1tnitaria inmed·iata, es de cir, u11a re11ta de trno -la unidad monetaria que sea- pagadera a fi11 de cada a11o 1nientras 1 iva el asegurad.o .
Es, evidentemente, igual a la suma de los capitales diferidos por 1, 2 ...
w - X años. Sea ax la prima buscada, se tien~:
1
n=<a> - .r
(125)
o, reemplazando nEx por sus valores, de acuerdo co11 las relaciones (124)
y (124, a)
n=w-r
a~=
~
v",,p x = t'P x + l !:.! 2P z + v3 ~P :r -t . . .
( 125, a)
n=l
y
I
n =f,,-x
t 1"l .r:+ n
n=l
az = - - - - - - - =
fz
vlz+l + 1·'!.lr +2 + v3lr+3 + . . .
---
fx
(125, b)
148. Se puede recurrir, también, en esta ocasión al método euleriano.
Si son lz los que contratan simultánean1ente la renta ,,italicia, abonando
cada uno una prima de az el compromiso global de todos ellos es
-93El compromiso del asegurador es la suma de los valores actuales de los
pa1"s a hacer a los que sobrevivan en cada aniversario, es decir:
vlz+l + v2lz+2 + t 13l:i+3 + ...
uesto que cada término de la renta es igual a 1tno.
p .tpalando los compromisos de los asegurados y el asegurador, queda:
•
••
V lz+l
+ V lr+2 + V lz+3 +
2
3
•
• •
l .c
(125, b)
de donde, naturalme11te, se deducen la (125, a) y la (125).
II
149.
Si la renta cuyo valor actual -la prima pura única- se quiere
deter111inar es diferida por n años, es decir, si sólo ha de empezar a correr
después de transcurridos n años, basta tomar como punto de partida cualquiera que sea el camino que se elija- el término n + l.
Si se suman capitales diferidos, se tiene -representando por nlar la
1>,r ima buscadat= w-.x
n/az =
t= n
n
la x --
iEr = n+iEx + n+2Ez + n+3E.r + · · .
~
+l
t= w - x
~
~
t= n +1
vt t p x -- vn+l n+l p x
+ ¡1n+2 + p +
/
n
2
z
· · ·
(126)
( 12(), a)
t=w-x
~
n/
ax=
vt lx+t
t=n+l
lx
-
V n+I [ z+n+l
+ vn+2 zx+n+2 + · · ·
( 126, b)
A esta última expresió11 se llega, rápidan1ente, por el método euleriano.
El compromiso de los asegurados es
El del asegurador
V n+tt z+n+l +vn+2z .r+n+2
+ ···
lgualand<> y despejando n/az, se obtiene la. (126, b).
-94-
III
RENTA TEMPORARIA O TEMPORAL
l.,a renta es tem,poraria o t.emporal por 1i años, ct1ando sólo se ha
· de págar -estando en vida el asegurado, se sobreentiende durante dicho
plazo.
Para calcular la prima pura única -su \·alor actual- basta, pues' l t-'- ·
mitar el ('álculo a los n primeros términos.
Simbolizando esa prima por
150.
pues u11a y otra forma de expresión son usadas
más Ja segunda-, se tiene:
/,.az = az~-;. =
t
== "
aunque se emplea mucho
~
cEz = iEz + 2Ez + ... + ,.Ez
~
v' tPz = vpz + V2 2Pz + V 3 3Pz + ... +V" nPz (127, a)
=1
t= n
(127)
t
/naz = ªz :;;t =
t= 1
t= n
~
~
. t
V
l· z+t
+
·
..
+V"
lz+n
/naz =ar :; = - - - - - - = - -- - - - - - - - - - t= 1
fJ lz+l +V~ lz+2
fz
lz
(127, b)
151. A la (127, b) conduce directamente el método euleriano~ El compromiso de los l z asegurados es
El del asegt1rador -valor actual de los pagos a hacer durante los n años
que dura la operación- es:
. . .
+ 1:" [z + n
Igualando valores y despejando az;¡ se llega a la (127, b).
Hi a u11a renta \'italicia temporaria por n años se le agrega una
renta dijerida por el mismo lapso, tenem<lS -siendo ambas re11tas por el
mism<l importe, ti.no,' C(>mo se ha supuesto hasta aquf- una renta vitalicia
innzc<linf<1. Jl()fCftte, :tper1as la, ft~·n17>orari<i c·eH:t, t't1trt1 e11 ju~go la <liferida:
1 /)2 .
( l ~8 )
-
95 ---
Jg11al<lacl <1t1c se comprt1eba mecánicamerite ron sólc> ~t1r11Hr la fór111ula
(126) ton la ~127), la (126, a) con la (127, a) ~r la (126, b ) co11 la (127, b l .
Se obtie11e11, respecti,·amente. la (125), la (125, a) y la (li5, l)) .
IV
RENT.~
ISTERCEPTA.DA
158. Si de una renta diferida por 1i años, se resta una diferida por
n + m, queda u11a renta <1ue es diferida por n años y temporar1·a por rn.
Es lo que se llama una renta intercepwda.
El valor actual -la prima pura única- de esa renta se represe11ta por
-./mar.
(129)
~ 129. a)
valor al que se llega por u11 razonamiento directo. La renta bt1scada equivale a la suma de los capitales diferidos desde el año n + l ha.s ta el n, + m,
ambos inclusive.
Al mismo resultado se llega restando de una renta temporaria por n
m
años otra temporaria por sólo n.
+
(129, b)
V
,
VALORES DE CONMUTACION
Si se multiplica por v:e el numerador y el denominador de la fórmula
•
(125, b), se tiene
154.
Pero
•
••
- - ··-
1) .t
--- -- · - - -
-96G
{130, a)
(130, b)
Se ha hecho:
N z+l = Dz+l + Dz+2 + D.r+a + ...
•
••
(130, e)
155. Esta notación es nueva, novísima. Fue adoptada en estos últin1os
años para que la manera de vincular los subindices coiricidiera con la de
los otros valores de conmutación, que se verán en su hora. Pero habfa una
dificultad. Existian muchas muchísimas- tablas construidas de acuerdo
con la notación antigua la que llamaremos clásica-· y se temía que un
cambio brusco diera lugar a muchos errores y co11f usiones.
Para salvar el escollo, los norteamericanos introdujero11 una N de trazos
gruesos tipo negrita-, mientras en Inglaterra se adoptaba una N cuyos
trazos gruesos se dejaban en hueco. Y les daban a estas enes la misma función: eran intercambiables.
Nr = N z = Dz + Dr+l + D.r+2 + · · ·
= Dz +Nr+t = J)r + N.c+l
En tanto que la X z -que después de la reciente modificación desempeña
las funciones que correspondían a11tes á las ot.r~'; dos- seguia usándose
con un valor muy diferente; el que hemos llamado clásico:
(131)
= Dz+l + N z-+-1
(131, a)
Y asi se ha trabajado co11 ella durante müchísimos años. Y así se ha en1pleado, coro.o era natural, C'Il las anteriores ediciones de este libro.
Hoy se la asimi.la a las otras dos, para terminar de~ u11a \rez con la triple
11otación. aprl>\"echar1do la circunsta11cia de Qll(~ e11 mltcha.~ tablas no 8C
la usaba ya, utilizándose, en cambio la N z o la N x· Y así seguiremos empleándola en lo sucesivo.
Para evitar errores y tropiezos, cuando se tenga que utilizar una
tabla, por primera vez, lo primero que se hará es comprolJar cual P-S la N z
empleada. Y eso es fácil de ver, a primera vista. Si la N z está tomada en
156.
-97-
el sentido clásico que tenia antes, la última línea de la tabla será en dicha
ce'lumna nula, es decir, tendrá una linea de puntos. Y el último valor de Dz
ocupará la penúltima linea de la col11mna de las N z· Si la N está ya tomada
como equivalente de la N z o de la N z, la última línea de las N z será igual
8 ~a última de las D z·
J;
157. Si en la fórmula (126, b) se multiplican el nt1roerador y denominador po~ v~, y se reemplazan los productos por los respectivos valores de
conmutación, resulta:
+
Dr.+n+2 + •..
n/az = - - - - - - - - - Dz+n+J
(132)
Dz
.
,
o, meJor aun,
(132, a)
Teniendo en cuenta que una renta temporaria por n años y una
diferida por el mismo tiempo (12~) dan una inmediata, se puede escribir
158.
•
••
(133)
Ecuación a la que se llega directamente partiendo de la (127, b).
Del mismo modo se tiene para la renta interceptada -mediante
la (129)159.
( 134)
q1ue surge, también, de la (129, a).
VI
RENTAS ANTICIPADAS
L~
distintas rentas que se han visto se llaman vencidas porque
los pagos se hacen a fin de añ'1. Si se admite que dichos pagos se hacen por
atlelantado, se tienen las rentas llamadas anticipadas, cuyos valores actuales
son, por supuesto, mayores.
160.
-98Tratándose de una renta inmediata, la diferencia sólo consiste en el
importe del primer pago, qt1e se hace al contado, al contratar la renta; el
segundo pago de la anticipada C<Yincide, después, ·c on el primero de la ven
cida, y asf sucesivamente. Se puede, entonces, escribir si se representa
por as o por iiz el valor actual de esta renta anticipada-
(135)
Dz + Ns+l
Dz
=1+
(135, a)
t :::s w-z
~
-
Dz+t
t ==o •
Dz
N%
Dz
(135, b)
t= w - z
llz = 8.r =
},::
t= o
eEz
(135, e)
v' tPz
(135, d)
t= w-z
~
dz = &s =
El signo
t= o
a perte11ece a la notación reformada, actualmente en vigor.
La qiéresis indica, en todos los casos, pago anticipado. Sin embargo, en
lo sucesivo seguiremos usando, también, la antigua notación a,
161. Si la renta es a1iticipada, diferú/,a por n años, se la puede reemplazar por una vencida diferida por uno menos
(136)
N z..L.n
ni a z = n1 a z = D z
..
/
(136, a)
162. La re11ta anticipada
temporciriJJ, por n años- es,. por lo ta11to,
igual al primer tér1nino -pagado al contado- de valor 1, más una renta
vencida temporaria por los n - 1 años restantes.
•
••
a ... ::; = a,. .-ni =
(137, a)
••
A
• •I f
.(137)
• • •
Sumaado la (136) y la (137) -o la (136, a)· y la (13i, a)- se obtiene
el '\"alor de la renta anticipada inmediata
. = ar
a~
a: &z :-;;j
+ ,.,/
a~
, ,. :;¡ + ft ;1··a z
= '-'z
(138)
-99 J68.
Del mismo modo resulta para la i11terceptada,
..
/
N z+n
N.3'+n+m
" / ,,.ar= n "'ª% = - - - - - - -
'
(139)
Dz
VII
LA RENTA DIFERIDA E:S FUNCIÓS DE LA INMEDIATA
161,.
Se ha obte1údo para la renta diferida, vencida, el valor
(132, a)
Si se i11troduce en el numerador y en. el denominador el factor Dz+n,
~i\lteda
n/az =
Dz+n
N z+n+t
•
••
• ---
Dz
Dz+n
(140)
Expresión a la que se llega por un razonamiento directo. El .valor actual
de una renta diferida por n años es el de un capital diferido por el mismo
tiempo, co11 el que se p·uede compra·r, al cobrarlo, una renta vencida inme.
<ili ata, o sea por un importe de az+n· Lo mismo ocurrirfa tomando la renta
anticipada.
VIII
ALGUNAS RELACIONES INTERESANTES
165.
Si en la fór111ula (125, b)
vlz+t
+ v lz+2 + v lz+3 + ...
3
2
lz
ee introduce en el numerador y en el denominador, el factor lz+t queda,
•
ordenando convenientemente:
ll.r
=
t'lz+t + v2 lz+2
+ V lz+3 + ... -
lz+l
3
-
-100 -
= Ps •V
lz+l
+ vlz+2 + ,, lz+:t + ...
(141)
2
•
••
lz+t
(142)
Las rentas inmediatas se pueden calcular, asi, por recurrencia, a partir
de la edad más alta de la tabla.
Dadas .la tabla de mortalidad Hm y la tasa del interés del 4 %, se tiene:
a101
= O, puesto que P101 = O
a1co = P100 • v(l
+ a101) = 0,25 X 0,961538 = 0,240
ags = p99 • v(l + a100) = 0,4444 ... X 0,961538 X 1,240 = 0,530
Y, asi, sucesivamente.
Este procedimiento usado antes de que se idearan los valores de conmutación
no es hoy aconsejable. Tiene entre otros- el grave inconveniente de arrastrar errores que no siempre se compensan.
I
168. Pero, en cambio, la (142) permite hallar
conocida la serie de
de vida, y, por ende, la tabla de mortavalores de az -las probabilidades
•
lidad usada, si se da la tasa del interés. O determinar la tasa del interés
si lo que se conoce, aparte de la serie de las az, son las probabilidades de
vida.
En efecto, de la (142) se saca
(143)
y
(144)
167.
Si en la fórmula
vls+l
+ v l%+2 + v lz+3 + ...
3
1
lz
se supone nula la tasa del interés, todos los valores de v se hacen iguales
a uno. Y el valor de la renta vitalicia se confunde con el de la vida media
abreviada.
Al hablar de pensione& y rentas de vejez, se suele admitir que
una renta vitalicia inmediata puede ser reemplazada por ':lna. renta cierta
168.
101 de duración igual a la vida media abreviada. Es un error. Fácil es demostrai·
en efecto, qt1e
,
desigualdad que se verifica con mayor razón si en vez de la vida mooia l!brevisda se toma la completa.
llagamos, por comodidad,
donde n es un número entero de años y r una fracción de año, y postulemos
que es
(a)
Ahora bien,
an+rl
> V + V2 + V3 + ... + V" + rvn+t
(~)
porque el término complementario no es rvn+~ sino
{l + i)r - 1
- - - •- - - vn+r > rv"+t
i
En efecto, eliminando vn en ambos miembros y efectl:J.ando la operación
indicada ·en el .primero, queda:
1-vr
--->rv
i
1
-
•
••
•
d(l/r)
r
(1 -
vr) > Vi = 1 -
V
=d
•
••
> d (*)
Por lo tanto, si se demuestra que es
V
+ V 2 + V3 + ... + Vn + rvn+L > ar
(y)
con mayor razón se verificará la {a).
Poniendo en vez de a:c su valor (125, a) queda:
V
+ v2 + ... + vn + r • v"+ 1 > V • p z + V 2 • 2P z + · · . +
+ vn+l. n+tPx + vn+ 2 • n+2Pz + ... +V". uP:
hacien<l(), por brevedad, w - x = 1t: lo c¡ue se llarn a co'111plem.ento de vida,
número de años qúe medían entre la edad considerada y la edad límite
de la tabla.
Pasando los n
1 primeros términos del segu11do miembro al primero.
+
(•)
Nótese que siendo r < 1, es 1 /r > 1. Si son i = 0,04 y 1 /r = 3, resulta
d(3) = 3(1 - v 1/s) = 3 X 0,012988 = 0,008964
d = 0,038462.
-102-
ordenando con respecto a las potencias de v y sacando esas potencias corno
factor común, en cada caso, queda:
Pz) + v2 (l .
v(l
tPz) + ...
+ v"(l - nPz) + v"+ (r
1
"+1P~) >
Pero
v"+ 1 < v" < v"-1 < . . . < v2 <v .
•
Luego, todo el primer miembro -disminuye de valor si se cambian las
distintas potencias de v por v"+ 1•
Por la misma razón
v"+ 2 > vn+a > v"+' > ... > va..
Todo el segundo miembro aumenta de valor si se reemplazan las distintas
potencias de V por vn+ 2 •
Y si, aún después de hecho eso, subsiste la desigualdad, co11 mayor razón
era cierta antes. ·
Basta, pues, demostrar que
•
> v+ 2 • ,.+1Pz + v"+ 2 • ,.+aPz + ... + v"+ 2 • vPz
v"+ 1 [n + r - (Pz + 2Pz + ... + n+1Pz)J >
•
••
> v"+ 2 (n+2Pz + n+3Pz + . · · + uPz)
Pero,
n
+ r ~ ez = Pz + 2Pz + ... + n+tPz + n+tPz + · ·. + uPz
.
Todo el corchete del primer miembro se reduce, pues, a los términ08
.
n+!P z + n+•P z + •· · .+ uP z
que se anulan con los del segundo. Y dividiendo ambos miembros por
queda, en definitiva:
1 >V
1
v"+ ,
CAPITULO D~CIMO
RENTAS VITALICIAS VARIABLES
1
RENTAS INMEDIATAS
Sólo se considerará el caso más simple: el de una renta cuyos ·
términos varían en progresión aritmética. Sean, k el primer término y h la
razón; los distintos pagos que el asegurador hace al asegurado, importan,
año .t ras año,
169.
k + h,
k,
k + 2 h,
.. .
El valor actual de un peso que se ha de cobrar al fin del primero, segundo,
tercer, ... año
siempre que viva el asegurado
es, en cada caso,
lz+l
--v·
l~
,
• • •
Luego, si se representa por (va) z el valor actual de la renta considerada,
se ha de tener:
(va)., = k l.,+i v + (k + h) l.,+
l~
--
·
lz
2
l
v + (k + 2 h) "~ v3 + . . . =
2
3
(145)
k • l :r: + 1 v + (k + h) l z +1 • v2 ·+ (k + 2h) l ~+ 3 • v3 + . . .
Multiplicando numerador y denominador por vE,
k • l :r: + l • l' .r + 1 + (k + h) • l z +2 • V .r + 2 + (k + 2h) l z t 3 • V z +3 + · · ·
(va)~ = ----~------~-----------~---------------------t•r l z
-- 104 -
Y, recordando que vx+t lx+t = Dz+t
kDz+t + (k + h) Dl:+2 + (k + 2h )Dz+~ + ...
•
••
(va) z = ----------~~~~~~~~~~~~--~
Dz
(va)z Dz = k Dz+1 + (k + h) Dz+2 + (k + 2h) D.r+3 + ...
Efectuando los cálculos, y ordenando de manera que las D de igual R•1l;
índice queden en columna, resulta:
(va) a Ds = k Dz+1 + k Dz+2 + k Dz+3 + k Ds+4 + ... +
+ h Dz+2 + h Dx+3 + h Dz+4 + ... +
+ h D .z+3 + h D z+t + . . . +
+hDz+4+ ... +
+ .. .
•
••
{va.)s Dz = k(Dz+t + Dz+2 + Dz+3 + Dr+4 + ... ) +
+ h{Dz+2 + Dz+3 + Dz+• + · ·.) +
+ h.(Dz+3 + Dz+4 + . ·.) +
+ ...
= k N z+l + h, N z+2 + h N z+a + h N z+4 + ... =
= k N z+l + h(N z+2 + N z+a + N z+4 + ... )
o, haciendo
.
••
N z+2 + N z+3 + · .. = Sz+2,
(va)z Dz = k N x+1 + h Sz+2
(va ) "'=
kNz+1+hS.r+2
D"
( l 4fj)
Se advertirá que se ha seguido la novfsima notación. Como las S se
calo11lan en función de las N, la notación se modifica en consonancia.
Puesto que hemos hecho
170.
N.r+l = Nz+l = N.r+t
será, asimismo,
Sz+t = S.r+t = S z+l
Puede ocurrir .que sea k = h = l. Se tiene, entonces, el valor
actual de una renta vitalicia variable cuyo primer té1·111ino es un peso,
171.
-105 el segundo dos, el tercero tres, ... Se representa esta renta por el símbolo
(la) z· I es la inioial de la palabra inglesa increaS'ing, creciente, pues, en el
caso supuesto, la renta crece siempre.
aesulta
N z+t + Sz+'Z
(Ia)z = - - - Dz
Pero
Sz+l = N z+t + Sz+2
•
• •
(14i)
(148)
La (147) permite calcular los valores de S
8101
= N101 = 0,019
SM-= Ne,+ S&r; = 38267,5 + 240507,8 = 278775,3
171. Observaciones. l. Se ha llegado a la (146) sin especificar si la
progresión es ·c reciente o decreciente. Es que basta asignar a h un valor
positivo o negativo para que sea creciente o decreciente.
11. Si h es negativo, puede ocurrir que lo sea, también k + r h. ¿Qué
significa. eso? Que, a partir de un momento dado, las posiciones del asegurrador y asegurado se invierten, y el asegurado deja de cobrar la renta para
pagarla. Eso nunca se pacta. Por lo tanto, si es h negativo se tiene cuidado de que no llegue a serlo k + r h.
III. Téngase por repetido aquí lo que se dijo -155 y 170- a propósito
de la reforma de la notación. Las S ha11 de seguir la misma suerte que l~ N.
11
RENTAS TEMPORARIAS O T.EMPORALES \. DIFERIDAS
Si la renta es temporaria o temporal, basta cor1siderar sólo 108
n Primeros términos. Sea (va) r :;;¡ el valor actual de esa re·n ta, se tiene:
173.
Dz. (va)z :-;I = kDz+l + (k + h) Dz+2 + .. . + [k + (n- l)h]Dz + n :.
-106Ordenando· y~esarrolt-ando corno antes:
Dz • (va)z:;j = k(Dz+l + Dz+2 + ... + Dz+,.) +
+ h(Dz+2 + Dz+3 + ... + Dz+n) +
+ h(D ..+i. .+ -. D z+• + ... + Dz+") +
+ . .. ... .. .. . . .. .. . . .. .. . . .. . . . +
.
.
.
+ h Dz+n
N z+n+1) + ... +h (N z+n N z+n+J) =
= k (N z+l N z+n+1) +h [(N z+2+N z+3+ ... +N z+n)-(n-l)N z+n+J =
= k (N ~+1-N z+n+i)+h (N z+2+N z+3+· ·. +N z+n+N z+n+1-nNz+n+1)
= k (N z+1-N z+n+1) +h (N z+2
Como
queda
k (N z+1 -
N z+n+1) + h (S.+2 -
Bz+n+2 - nN z+n+1)
(va)r.:-;: = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Dz
174.
(149)
Si es h = k = 1 resulta
N z+n+1 + Sz+2
Sz+ .. +2
nN z+n+1
(Ia)z:-;! = - - - - - - - - - - - - - - - - - Dz
N z+1 -
Sz+n+1
nN z+n+i
(la)z:;7 = - - - - - - - - - .
Dz
Sz+t -
•
••
(150)
175. Supóngase que sea, no la renta, sino la variación la que haya
de ·cesar al cabo de n años. En tal caBO hay que agregar a la (149) el valor
de una renta co·nstante de k + (n - l)h diferida por n años.
Es decir, que -representando por (v" 1 a)z el valor actual de esta nueva
renta- se tiene
+
(k + (n -
l)h]N z+n+1
k N s+t + h (Sz+2 - Ss+n+t - N z+n+1)
=
Dx
D .a:
k N z+t + h (Sz+! --- Sz+n+1)
(v;¡a) z = - - - - - - - - - - D
<?
•
••
-107 -
f 76.
Si es h = k = 1 resulta
N a+l + Sz+I -
s.+ .. +1
(I;;¡a) ~ = - - - - - - - - - - =
D%
(152)
el
177. Es posible deter111inar de un modo análogo valor actual de una
renta variable diferida, pero es más · breve recordando la (140)-
escribir
(153)
e
(l./a) z = ,.Ez(la) z+n
(154)
puesto que con ello no• se hace sino traer al momento actual una renta que
ha de empezar a pagarse a la edad x + n.
178. Observaci6n. Nótese que, tratándose de rentas variables no es
vá/,ida la relación según la cual la renta temporaria y la diferida, por el
mismo lapso, dan una inmediata. Y la razón salta a la vista. El primer
térmi110 de la diferida es k. El que debería enlazar con la temporaria es
k + nh.
III
RENTAS ANTICIPADAS
Razonando del mismo modo, y con sólo tomar en cuenta· la forma
de pago, se halla para las rentas antici'/>(Jdas los valores:
179.
(15.5)
(156)
+
h (Sz+t - ·Sz+ra+1 - n N ~+")
(va)~,~ = - - - - - - - - - - - - - - - - - - (157)
k (N z -
N ~+n)
D.
-
.. ) _ = S z (1 a x:nl
108 -
S x+n - n N z+n
Dz
(158)
(159)
Sz - Sz+n
(I;¡a) e = - - - -
Dz
(160)
(161)
(162)
CAPITULO D~Cl}lOPRIMERO
RENTAS PAGADERAS EN SlJBPERIODOS DE A~O
I
RENTAS INMEDIATAS
U11a renta anticipada por un año tie11e un \"alor actual de
180.
Üx
= R.r = 1 + az
(135)
Si, en lt1gar de tomar como base la renta '\rencida se calcula ésta en base
a la anticipada, se pt1ede escribir
(163)
De ambas ma11eras, la relación es exacta, porque el pago anticipado
o el que se deja de lado -según se co11sidc·re tina u otra forma de expresión- es al conlatto: 110 hay que tomar en cuenta, por lo tanto, ni el interés
mi la 1nortalidad.
Otra cosa ocurre cua11do el adelanto -o retraso
se refiere a un plazo
menor de un año.
Sea u11a re11ta anticipada por una fracció11 de año, (m-1)/m, que se
Puede considerar, con respecto a la anticipada, como diferida por el plazo
eomplementario, 1/m. Interpolar1do linealrricnte, entre az y iiz queda:
•
111, -
i / dz==az+
m
1
l
==ax-m.
Esta fórmula no es sino aproximada, porque se ha prescindido deliberadamente de considerar la influencia del interés y de la mortalidad. Si se
acepta de antemano ese error, y se procede del mismo modo para anticipos
110 de (m-2)/m, (m-3)/m, ... , 1/m de año
o retrasos por los tiempos
complementarios, cuando se parte de la renta anticipada-, se tiene
m-I
l
-m
/iiz = az + - - -
m
m-2
/az = az +---
-.
2
m
m
• • • • • • • • • • • • • • • • • •
1/d.z =ar
(163)
Son m rentas de uno pagaderas en los disti11tos subperíodos. Representando por a~m> la rent.a de ttno al año, pagadera en fracciones de l/m al
fin de cada subperíodo, la suma de las m rentas anteriores equivale a m
veces la renta considerada. Se puede, pues, escribir
ma~m) = az + az +
1
m
m
1
+ ... + az + .- - - =
m
1+2+ ... +m-l
= mar + --------- =
m
m(m-1)
= maz +-----
•
••
2m
m-1
a(m)
r.
181.
= az + - - -
(164)
2m
Si la renta es an.tici'/)<lda hay, desde luego, que agregarle 1/m.
Luego:
.. (m)
ar
1
m-1
+
=ar,
+
2m.
m + 1
(Í~m) = ar + - - 2m
•
• •
m
(165)
Hi se acorta la frac<~ió11 de tiemp<> que separa dos pag<ls consecutivos, los pagos se hac·e11 n1á.~ f rec-uentes y me11ores, puesto <1ue todos los
182.
111 -
del año han de sumar uno. Si el intervalo entre dos pagos consecutivos
tiende hacia cero, el número de pagos tierul,e hacia infinito, y se tier1e 11na renta
que se llama continua.
m-1
2m
+
1
az = lún az + ----
-
m
2m
m... oo
l
= lfm
2m
1
1
= lím az + -
+
-2
2m
...... 00
-
1
az = az + 2
(166)
II
RENT.~S
183.
DIFERIDAS 1· TEMPORARIAS
Si la renta es diferida se tiene, (140).
<m>
" / ªz
+
m= " zllz+n = n z az+n
E <m)
E
1)
2m ,
=
•
••
(167)
ct1a11do la re11 t.a es ven e ida. Y,
/ .. (m)
n¡
ªz
m+lE
+
= az
2m
¡'
n,
n
(168)
z
ct1a11do es a11ticipada. Er1 fi11 si la renta es <~ontin11a, se tie11e
(169)
184. Tratá11dose de rentas temporarias, se obtiene, en el aeto: para
I~" V(lncidas
= llz
m -- l
+ ---2m
,, l ar+
m-l
2m
--
-112 -
m
1
---nE.z
2m
a<"'~
z : ni = az:-ni +
m-1
2m
1-
n
Ez
•
••
(170)
Para las anticipadas,
.. (m!._
m + 1
a % : n 1 = a..•..-nl + 2m
1
(171)
Y, para las continuas, .
-
1
(172)
III
MEJORANDO LA APROXIl\IACIÓN
*185.
Las fórmtilas q11e se acaban de hallar dan -para uso práctico,......_..
una aproximación suficiente. Por eso son universalmente empleadas. Pero,
si se desea, se puede hallar una mayor aproximación.
Se utiliza, para ello, la fórmula de EuLER-1\iACLAURIN deteniéndose e11
el tercer tér111ino
n
Uzdx = -
l
m
o
+
1L2 + U3 + ... + U1 + ... +Un) +
-._.
-
(u1
m
m
.1
m
1
/
/
+ 2m (uo-Un)- 1·2m ( ' l n - l l o ) - ...
2
Que, poniendo m = 1, se hace
n
Uzdx = (u1
+ Ut + ... + Un) + -21 (uo - Un) - -121 (lt,, ' - tlo)' -
. . . --
u
n
~ ~ UJ:
1
1
' - - . ..
+ -(Uo
- Un) - -1 (un ' - 1lo)
2
12
forma, esta últin1a bajo la cual se utilizó en el -103-.
(~)
-
113 -
Restando (~) de (t1), queda
-
1
m
(u1 + U2 + ...
-m
n
1n -- 1
1
2rn
= ~ U:i + - - - (1t 0 - u,.) -
-m
m2 -
l
12m2 (u'" -
u' o) --
...
Es la · fórmula de WooLHousE.
Hágase, ahora,
·u , = v t • tP z
y sea el límite 8Uperior n = w - x.
E,l primer miembro de la ( r) toma la forma
2
1
1 - (um. 1 Px + vm. 2Pr + . . . +V. Px + ... + vn . nPr) = a~"')
m
-m
-m
Se tie11e, además,
n
Uo
61 -
X
E 'Uz =
L vt tPx = az
1
l
= 1;
U,,
= U,•• -x = Ü
Por otra parte
d(vt • tPx)
u,=
'
-
dt
1
=-
lr
v'
= v' • tP r
d l~+t
dt
dv'
+ lz ·t tdi- -
cl l.i -t t
- -- + logcv
l x+t dl
Pero
y
log, v = -
I>or lo tanto
lt, t = V t tP z ( -·- µ. L + ' - · ~)
= -
u, (µ .r. i-, + a)
log ~ ( 1
+ i) =
(y)
114 -
Y, siendo, como se acaba de ver, u,. = O; u 0 = 1, queda
u'o) = -
(u'n
1
U o
m2 - l
- - - -2- (u'" 12m
= Uo {µ.z + o) = '1z + O
m2 - l
u'o) = -
- - - - (µ.z
12m
2
•
••
+ a)
Resulta, en definitiva
m-1
a~"'> = az + - - - 2m
m2
·1
12m2
((J.z
+ a)
. (173)
o, si la renta es anticipada,
ªz
-(m)
= az
+
m+1
2m
·-
m2 - l
12m2
Si la renta es continua, se tiene:
•186.
(174)
•
-
1
1 .
a. z = a z + -2 - -12 (r1.r-z + o)
(175)
•
187. Ejercicios. l. ¿Cuál es el valor actual de una renta vencida de
100 pesos mensuales, para una persona de 30 años de edad? Tabla de mortalidad H'", tasa del interés 4 3.
Solución. a) Si se aplica la fórmula (164) es:
.
12
11
X 31
2-l
D 30
a~30 ) = a30 + - =
+O 458 =
'
474347
+O 458 = 17 613
27652
'
'
'
para un peso an11al. Para 100 pesos mensuales -6 1200 al año17,613 X 1200 = 21.135,60
b) Si se usa la fór111ula (173) hay que aplicar a la renta unitaria ya
calculada el tér1nino de corrección
-
=-
m2 - l
- - 2- {µ.z
12m
+ o) =
143
(0,00768 + 0.03922) = - 0,0039
1728 .
J,a rc11t.a t111itaria a1111al se hace, ahora,
a;\~2 ) = 17 .ü()!J l
--·-- 115 -
Y, la de 100 pesos al mes, 21130,92 pesos.
La diferencia, como se ve, es ir1significa11te.
11. Con las mismas bases de cálculo se pide hallar el valor de t1na
renta trimestral de S 300, pagadera durante 15 años a una persona de 35
años de edad.
Soluci'ón. La fór1nula (170) da
Na6 -
Nr,1
-
----+0,375
n~
354066- 128258
10243
21828
21828
= --- - - - - + 0,375 1 -
para un peso al año.
Y, para 300 trimestrales, ó 1200 al año,. $ 12652,80.
= 10,544
CAPITULO DOOIMOSEGUNDO
SEGUROS EN C¿.\SO DE MUERTE
1
SEGURO DE VIDA ENTERA
188. Sea, ahora, un contrato por el cual el asegurador se compromete
a abonar a la persona o personas expresame11te designadas al efecto -:t>enejiciario o beneficiarios, según el caso- la suma de uno al fin del año en
que fallezca el asegurado. Es lo que se llama el seguro de vida entera, porque
cubre el riesgo de muerte del asegurado, cualquiera qtle sea el año e11 que
ocurra el fallecimiento.
Sea A inicial de la palabra inglesa assurance, segurc
•
el ""&lor actual
-la prima pura única- de este seguro, e indiql1e, como de costumbre,
el subindic~ x la edad a que el seguro. se contrata.
Fácil es determinar la prima pura y única, Az, por el método euleriano.
Sean lz los asegurados que contratan, a la vez el seguro. Durante el
primer año mueren dz de ellos. El pago de un peso hecho al fin de ese primer año a cada uno de los dz beneficiarios -dz pesos en total- vale, al
contado vdz, puesto que debe ser descontado por un año.
Del mis1110 modo, los pagos de dz+1, dz+2 ... pesos al fin de cada uno
de los años que siguen, tienen, al coriúulo en el momento de contratarse
la operación valores actuales respectivamente iguales a v'd z+1, v3d z+2, ...
La s11ma de esos valores actuales
vdz + v2dz+t + v3 dz+2 + ...
constituye el compromiso del asegurador.
El de los asegurados es igual al total de las lz primas, de Az cada una,
que deben pagar en el acto .. Igualando uno y otro compromiso queda
+ v dz+i + v dz+t + ... .
vd. + v dz+I + v d1:+2 + ...
A. == - - - - - - - - - - - -
lzAz = vdz
2
3
2
3
l.
(176)
117 -·
~89.
Multipliquese por vz 11umerador y denominador, resulta
As = vz+1d., + vz+2d.+1 + vz+3d.+2 + ...
vzlz
Si, ahora, se hace
Y,
t-o
se puede escribir
•
Cz + Cz+t + Cz·t-2 + · · ·
Az = - - - - - - - - - - ·
Dx
•
• •
(177)
El cálculo de los valores de conmutación C y M se efectúa de un
•~odo análogo al · indicado para los de D y N.
Es, en efecto
Co = dov = 14358.X 0,961538 = 13806
190.
Ca1 = da1V 32 = 700 X 0,28506 = 199,54
Y par~ M se tiene
= 0,0183
M100 = C100 + M101 = 0,0,571 + 0,0183 = 0,0754
M101
=
C101
. .. . ... ...... .. . .. . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . .
M.s = C4s + l\f49 = 155,27 + 5071, lti = 5226,4~
..
..
En general es
191.
Se tiene (176)
vd~
+ v 2d z+l + V3dz.J-2 + . . .
Az = - - - - - - - - - - - =
lz
t 1d x+ 1
=
t'
+ l' 2<f z+2 + ...
l:J:
--
-
11g - -
l z+ J vd z+ l + V2d X +2 + . . .
.
·--------lr
lx+l
=V
•
••
(178)
fórmula de recurrencia que se puede utilizar para calcular los valores de Ax.
Pero, también cabe valerse de ella para reencontrar
conocidos la tasa
del interés y los valores de A ~ la tabla de mortalidad con que tales valores
se calcularon.
En efecto, por ser q z = l - p z, es
:.
1
1-
(1
Pz =
(1 + i) Ai: = Pi: (1 -
Az+1)
+ i) Az
•
••
(179)
11
SEGUROS DIFERID03 Y
TEMP~RARIOS
19~.
Seguro diferido -por n años
es aquel que sólo es exigible si
el asegurado fallece después de corridos los n primeros años. El compromiso ·del asegurador no empieza a correr sino a partir del año n + l. Se
tie11e, entonces, llamando ni Az a la prima pura única de este seguro,
•
• •
+
v"+ dz+n+l + ...
ni Az = - - - - - - - - - - - 2
vn+l dz+n
[~
(180)
o, multiplicando nttmerador y de~ominador por vx y reemplazando a la
vez por los valores de conmutación ya conocidos,
Cz+n + Cz+n+l + •· ·
Dz
"
198.
/A
_ Mz+n
%
-
•
••
(181)
Dz
Multiplicando y dividiendo por Dz+n la {181) queda
•
"
. _ Dz+n • Mz+"
/A
Dz
Dz+n
%
-
./ Az = "Ez • Az+ra
tórmula análoga a la (140), correspondiente a las rentas Eliferidas.
•
••
(182)
- · 119 ·-·
194·
Un seguro es t,emporario por n años cttando sólo es pagadero si
la 01 uerte del asegurado tiene lugar dentro de los primeros n años. La prima
pura única, que se representa por / "Az, resulta de limitar el compromiso
del asegurador a dichos primeros n años
•
••
/,.A,. = vd,. + v2d,.+1 + ... + v"d,,+a-1
lz ·
(183)
o, en valores de conmutación,
Cz + Cz+J + · .. + Cz+r¡-1
/,,,Az = - - - - - - - - - - - Dz
Pero
Cz + C.i:+l + · · · + C·r+n-J =
= Cz + Cz+l + · ·. + Cz+n.-1
Cz+n. + · •• - (Cz+n. + C:e+n+l + . ..) =
= Mz-Mz+n
+
Luego,
(184)
resultado al que se podfa haber llegado directamente, con sólo considerar
que el seguro temporario es igual al de vida entera menos el diferido
(185)
195. Se dice que un seguro es interceptado cuando es, a la vez, diferido
por n años y temporario por m.
Como para las rentas del mismo tipo, se puede calcular el valor actual
de dicho seguro restando del correspondiente a un diferido por n . años,
el que corresponde a uno diferido por n + m.
(186)
(187)
O restando del valor actual de un seguro temporario por n + m años ·
el de otro, temporario por n
(188)
Utilizando valores de conmutación se llega, de nuevo, a la (187).
-120 -
111
SEGURO MIXTO
El ~gur<;> mixw -lla.mado también, en el comercio, dotal- es
aquel que se compone
como su nombre lo indica- de un seguro tem,_
1JMario por n años y de un capüal diferido por el mismo plazo. Es decir
que, si corridos los n años, el asegurado permanece aún en vida, cobra él
196.
mismo la suma estipulada.
La prima pura única de este seguro se la simboliza por Az :;¡- es, por
lo tanto, igual a la suma de las correspondientes al seguro temporario y
al capital diferido que lo forman:
Ax :;j = / nAs + nEs
(189}
O, en valores de conmutación,
(190)
Observació1i.
Se presenta aqui lo que los actuarios llaman un slatu~~
~l tipo clásico del status es el formado por un grupo de dos o más vidas
Mientras el grupo perrnanece intacw subsiste el status. Si una de las vidas
d~aparece, éste se rompe. En el caso actual el status está for1nado por
una vida y un plazo cierw. Y se rompe -hace exigible el seguro si des-
aparece esa vi,da o si vence el plazo.
Cuando se quiere indicar que sólo se considera itno de los factores del
status se coloca sobre el símbolo que indica ese factor -la x o la ñl, aquiun itno indicador. Las primas puras únicas del capital diferido y el seguro
temporario pueden, pues, simbolizarse asf:
y la (189) toma la forma
1
l
A% : -al -- A z :-ni +Az :-,.¡
(189, a)
CAPITULO DltCIMOTERCERO
LOS SEGUROS EN CASO DE MUERTE EN FUNCION
DE ·LAS RENTAS
I
SEGURO DE VIDA ENTERA
197. Se puede detern1inar la· prima pura única, Az, del seguro de vida
entera, usando las probabilidades de muerte.
La probabilidad de que una persona (x) muera dentro del enésimo año
és· (21) y (22)
dz+n- 1
n-1/Qz
= --.
(21)
lz
= n-lP:e -
nPz
(22)
El valor actual de un peso, a cobrar al fi11 del año enésimo - si en el
es
curso de ese año tiene lugar el deceso
1·,n • n--1¡:q z
Y el de un peso a cobrar al fin del año en que la mt1erte ocurra -cualquiera que sea ese año
es
n = 1.- - r
Az =
~
vn • ·n-1/ Qz
(191)
n=l
Reemplazando n-i/ q z por su valor dado por la (21 ), y desarrollando
el s11matorio, queda:
vd z + t' 2d r + l + . . .
Ax = - - - - - - - !:e
es decir, la (176), encontrada antes por otro cami110.
-
198.
122 -
Pero, si en lugar de la (21) se utiliza la (22), queda
Ar =
-
n=~-z
n=~-z
~
·~
vn • n-1/qz =
v"(n-tPz -
"= 1
"== 1
n= w-z
n= w-z
~
~
vn • n-1Pz -
,.p.) =
V". n p z --
"= 1
n=l
n= . w-z
vn-l • n-lPz ~
V". ,.p%
n=~-z
~
= V
n
=l
n=l
El segundo sumatorio da (125, a) el valor actual de una renta vencida,ªª·
Y el primero -con un término inicial máS el de la anticipada, iiz.
Luego, se puede escribir
(192)
El primer término de esa expresión es el valor · de una renta anticipada,
descontada por ·u n a·'ño, es decir, una renta que se pagard a fin de año, con
la sola condició11 de que la persona sobre cuya cabeza se estipula haya
comenzado el año en vida.. O sea, que el último término de esa renta se paga
al fin del año en que fallece dicha persona. De ese valor se deduce el de
una i·enta vencida, o lo que es lo mismo, todos los térniinos de la anrerwr
que se han de pagar en vi.da del asegurado. La diferencia es, por consiguiente,
el valor de un peso pagadero al fin del año en que dicho asegurado muere.
199. Se sabe que:
d.z =
Nz+1
y
Dz
Llevando esos valores a la ( 192) se tiene
Nz+1
D%
--
V Nz-N z+t
Ds
Pero, por la ( 177), es
Resulta, entonces
M~ = vNz-Ns+1
{193)
relación que permite calcular los valores de M en función de los de N Y
que resulta útil en ocasiones.
~(!)().
123 -
Se acóstwllbra a dar a . la (192) otras fdrmas.
Son,
l
v=--
1
+ i'
J"'uego, llevando esos valores a la (192) queda
-
(194) .
= v(l - i az)
(195)
Pero no son esas f orn1as las más usadas.
Son, también,
201.
d = 1-v
•
••
V =
1 - d;
az = az - 1
•
.Y esos valores, llevados a la (192) dan:
Az = (1 - d) llz -
(dz -
1)
•
••
(196)
Fórmula esta última de uso· corriente.
II
SEGUROS DIFERIDOS, TEMPOl\ARIOS O TEMPORALES Y MIXTOS
!02.
-El valor actual de un seguro diferido es (182)
Llevando a él el valor de Az+n, en función de la renta inmediata -de
acuerdo con la (196)- se tiene:
n/ Az = nEz (1 -
d llz+n) =
(197)
203.
124 ---
Si se trata de un seguro temporario, es
/,.Az = Az - n/Az =
= 1 d dz - (nEz d"/dz) =
= 1 - nEz - d (iiz - n/iiz)
/ nA z. = 1 nE z - d tiz : ;;¡
•
•••
(198)
t04.
Como el seguro mixto se compone de un seguro temporario y un
capital diferido, resulta de sumar la (189) y la (198)
(199)
La (199) tiene con la (196) una similitud que sorprende a primera vista.
Sin embargo, a poco que se reflexione, se verá que la similitud no está sólo
en la fórmula sino en la naturaleza misma del contrato.
El seguro de vida entera y el seguro mixw -a diferencia del temporario
o el diferido se pagan S'iempre. Cabe concebir el seguro de vida entera
como uno mixto que vence a la últi·ma edad de Ja tabla. O, si se prefiere,
el seguro mixto como uno de vida entera en el cual, al finalizar el año n,
se produce el deceso de todos los asegurados que vivían aún.
111
SEGUROS PAGADEROS AL OCURRIR EL DECESO
205. Se ha adoptado
hasta aquí- la hipótesis de f¡tte los seguros
al fin del año en que ocurre la muerte.
se pagan en todos los casos
En la práctica -como es lógico no se procede asi. Los seguros se pagan
inmediatamente después de ocurrido
el fallecimiento, previas las compro,
baciones del caso. Si se admite que las muertes están igt1almente distri- .
huidas durante todo el año, puede considerarse que los capitales asegura~os
se pagan, en promedio, medio año antes de lo que se ha calculado. Es decir,
que todos los valores actuales a que se ha llegado requieren una corrección:
necesitan ser multiplicados por el factor (1 + i)~. Se indica la correción
mediante una barra horizo11tal colocada sobre el sigr10 principal. Los nuevos
valores corregidos son, asf :
(200)
(201)
(202)
-125 Bn cuanto al seguro mixto,· la corrección. sólo debe afectar al seguro temporario, p11es el capital ·d iferido sigue pagándose a fin de año. Luego
Az :-;¡ = (1 + i)~ /,iAz + nE&
•s06.
{203)
Es fácil hallar para Ax un valor más preciso.
ta probabilidad que tie11e una persona de edad J: de morir entre la
edades x + t y x
t + h es
+
lz+t+h - lz+t
=-------
lz
Si h ~ O, resulta
lim-
=-
h-+O
Un capital igual a u·no pagadero en ese mome1lto v~le, en la hora presente,
d lz+t
-tl'---
·zz
•
Por consiguiente, un seguro unitario, pagadero e11 cualquier momento que
ocurra la muerte, vale:
w-
X
%
(a) -
d lz+t
t' .r:+ t
di
dt
Integrando por partes se tiene:
e.a -- r
w-z
vz+ e
o
Para t = w
Luego
d lz+t
dl
dl = vz+ t lz+t
w-
o
z
l.r+t
o
d V x+ t
di
dt
x, es vz+' lz+t = O, y para t = O es igual a vz lz = D ...
(e>
-
X
•
-Az = - -1- -- Dz- l.:e+tvz+t Io~vdl Dz
o
<.- -
r
-- 126 -
y como log~v = - a, y
1
Dz
-
lz+t vz+ t d! = ª"'
o
queda
(204)
Fórmula del tipo de la (196).
A ella se llega rápidamente mediante un sencillo razonamiento.
lTna renta continua de un 'importe anual de o-interés continuo de un
peso- pagadera mientras viva (x) vale hoy oaz. Si de un capital igual
a uno, restamos el valor de esa renta, ¿qué queda? El capital en cuestión
pagadero a la muerte de (x).
•
Un razonamiento análogo -ajustado a las modaliades del caso- sirve
para llegar a la (196).
CAPITULO D~CIMOCUARTO
SEGUROS VARIABLES
1
SEGORO DE VIDA ENTERA
~07.
Sea un seguro tal que, si el asegurado f alJece durante el primer
afio, sus beneficiarios cobran la suma k; si fallece durante el segundo, la
suma k + h; si durante el tercero, la ~urna k + 2h, y así sucesivamente.
¿Cuál es el valor actual, la prima pura única, (vA)z de este seguro?
Si el asegurado muere, p. ej., el año t, el asegurador abona Ja
sum~ k + (t
l)h. Y como el pago se efectti~ admitámoslo a fin de año,
su valor al contado es v'[ k + (t
1) h].
Pero para que deba hace.rse ese pago e~ preciso que fallezca el asegurado.
La probabilidad de que esto ocurra es
dz+t-1
1-1/qz = - - -
lz
Luego, el valo·r actual de ese COJJ.1pron1iso pa.rcial es,
tJ' •
[k + (f- l) h] t-1/Qz
Y el compromiso total del asegurador es igual a la suma. de todos los
comprotnisos ¡>arciales que se obtienen <lando a ·t todos los valores enteres
Posibl(lS (\ntrf• 1 y w - x. ~Slllta, PntC>IlC(' S,
t == Co>-X
(V A) z =
-
2:
t= 1
l-' t [ k
+ (l -
t= w-z
v' [k + (l -
~
l =
1
J t= w -:-- r
= - ~
[k
Iz
,= i
J) h] t-1/Q r =
(205)
d .i:+t- 1
1) h] - - =
lr
+ (1- 1) h] 1!' <1.i:+t-1
•
• •
-128•
t = w-z
(vA)zDz =
~
t= 1
[k + (f-1) Ji] Cz+t- 1 =
(205, a)
+ ... =
= k Cz + k Cz+l + k Cz+2 + k Cz+3 + ... +
+ h Cz+t + h Cz+2 + h Cz+3 + ... +
= kCz + (k + h) Cz+l + (k + 2h) .Czl-2
+hCz+2+hCz:+3+ ... +
+hCz+3 + ... +
+ .. .
•
••
sacando en cada linea factor común, y recordando que
Mz = Cz + Cr+t + . · .
(vA)z Dz = k Mz + h l\fz+l + h l\fz+2 + h Mz+3 + ...
= k Mz + h {Mz+t + Mz+2 + · ·.)
=
•
••
Poniendo,
Rz+t = Mz+t + ~fz+t+l + · ·.
queda
y, por fin,
k Mz + h Rz+l
(vA)z = - - - - -
Dz
(206)
Nótese la similitud de la (206) con la (146) correspondiente a las rentas
variables.
108.
los S
Los valores de conmutación R se calculan del mismo modo que
Rz+t = Mz+t
+ M%+t+L + Mz+t+2 + · ·. = Mz+i + Rz+t+t
En la tabla H"', 4 %.
R.3 = M,a + R4~ =
= 6012,47
+ 114872,63 =
= 120885,10
129 909.
Si en la (206) es k = h = 1, resulta
•
••
(IA)., = Ilz
(207)
Dz
910.
Si en la (205) se pone (22)
se tiene:
t= w-z
(vA) z =
~
t= 1
[k + (t
1) h] ve (t-1Pz -- iP:i:) =
t=w-z
=v
~
t= 1
[k+(l-I)h]v'- 1·,-1pzt=(a)-.'r,
[k + (I -
~
t = 1
(vA) ~ = v(vti) .~ 211.
1) h] V t • tP
(va) x
%
•
••
(208)
Si en la (208) es h = k = 1, queda
(IA) :r: = v(Ia).
(la).
(209)
íJs.ando valores de conmutación
-
S:i:+1
•
••
D.
(210)
Relación que permite calcular R en función de S, tal como la (193) perniitfa calcular M con ayuda de N.
21S. Los simbolos elegidos para los valores de conmutación no son
arbitrarios ni caprichosos. La D, que como se ha visto, se usa habitualhl}ente en el denominador, es la inicial de esa palabra.
~
La N, en·cambio, es inicial de n1tmerador, en ta11to que la S lo es de Buma
•
--suma de las N.- En cuanto a los símbolos C, M y R, fácil es advertir que
son, sencillamtnte, las letras que precfrlen, respectivamente, a la D, la N
Y la S. Y la analogia de funciones de unas y otras salta a la vista.
-130-
11
SEGUROS DIFERIDOS Y TEMPORARIOS
919.
Si el seguro es t'mi¡xrrario, basta sumar los n primeros términes
de la (205, a)
.
{v/.A)z Dz = k C.+ (k + h) Cs+l + (k + 2h) C.+2 + ... +
+ (k + (n 1) h] C.+"-1 ·=
+ ... + C.+"-1] +
+ h [C.+1 + C.+2 + ... + C.+"-1] +
+ h [C.+2 + C.+a + ... + C.+"-1] +
+ . .. . . .. .. . ... .. . .. .. . . .. .. . . . . +
== k [Cz + C.+1
+ h C.+"-1 =
•
Ms+ft) + h (M.+1-Ms+n) + h (M.+2 Mz+n) +
+ ... + h (Mz+n-1 - Mz+n) =
M.+.) + h [M.+1 + M.+2 + ... + Ms+n-1 -
= k (M.
= k (Ms
-
M.s+") + h [M.+1 + ...· + M.+"
= k (Mz
Ms+") + h (R.+1 R.+.+1
·== k (Ms
(v/.A). =
114.
1) Mz+,.] =
(n
nMs+"] =
nMs+n)
k (M. - M.+.) + h (R.+1- Ra+n+1-nM.+.)
D.
•••
(211)
Y si es k = h = 1, queda
•
M. - Mz+• + R.+1
1
R.+.+1
nM.+n
(IA)z:~=(I/nA).=~~~~~~~~~~~-
D.
1
(IA):.: :;¡ = (I/.A). =
R. - R.+"
,,M.+n
D.
•
••
)
(21 2
115. Si es, no el seguro, sino la variabilidad de la suma asegurada la
que ha de cesar después de corridos n años, se procede como se hizo 175al tratarse de las rentas. Se agrega al .seguro temporario variable (211) un
seguro constante, de k + (n
l)h, diferido por n afios, y queda
(v;¡~)z
k M. + h (R.+1- Rz+n)
= - - - - D.
-----
(218)
S16.
131-
Si es k = h = 1, se tiene
R.-Rz+"
(l;¡A) z = - - - -
(214)
Dz
117. Para hallar el valor actual de un seguro diferido basta recordar
que todo seguro düerido es igual a uno de vida entera para la edad en que
entrará en vigor, m11ltiplicado por un capital diferido por el tiempo que
fafta para ello. Resulta, pues,
.
(vn/A) :e = nE:e{vA) %+n
(215)
(In/A) :e = .E z(IA) :e+n
(216)
al tratar de las rentas
Y no se olvide la observación hecha 178
variables. En e'stos seguros
y por la razón alli aducida un seguro de
vida enwra no equivale a la suma de uno temporario por n años y uno diferido por igual plazo.
Ejercicios numéricos.
I. ¿Cuál es la prima pura única de un
seguro de vida entera contratado por una persona de 30 años de edad, si se
estipula que, si el asegurado muere dentro del primer año, sus beneficiarios
cobrarán$ 500, y que por cada año que tarde en producirse la muerte, la
suma asegurada aumenta en $ 1000? Mortalidad H'"', tasa del interés 4 3.
Solución. Es un seguro variable, en el que k = 500, h = 1000, luego
S18.
(vA)ao =
500 l\f 30
+ 1000 Ra1 =
D3o
= 500 X 8344,01
+ 1000 X 206360,25 = 7613 63
27652
'
Esto es siendo el seguro pagadero al fin del año en que muera el asegurado. Si se paga el seguro inmediatamente después de ocurrido el deceso,
hay que introducir el factor de corrección (1 + i)~. En este caso 1,04}i =
= 1,0198039
(vA)ao = 7613,63 X 1,0198039 = 7764,32
11.
Adinitamos que el seguro es por$ 1000 el ler año, por $_2000 el 2°.,
por $ 3000 el 3°., y asi sucesivamente.
Solución. En tal caso es:
-
1000 (IA)30 = 1000 X
R3o
D3o
X 1,04
~
=
214704,26
= 1000 X
X 1,0198039 = 7918,25
27652
CAPITULO DÉCIMOQUINTO
PRIMAS PERIÓDICAS
I
PRIMAS ANUALES
Se han considerado, hasta aquí, los va.loris actuales -=-prima.s
únicas
de los distintos tipos de segur9s. E·s decir, lo que debe pagar al
contado, . de una sola
.. vez, quien pretenda asegurarse, Pero si los co11tratos
se celeQras,en en tales condiciones, la institución del seguro habrfa muerto
en flor. El seguro no se dirige especialmente a qitie1ies dispone-ti de fuertes
capitales. Aunque éstos puecJn hallar ventajosa la operación, el seguro se
dirige, sobre todo, a gentes de condición n1odesta, que viven holgadamente
gracias al- trabajo del jefe de la familia. La brus~a desaparición de éste
representa un verdadero desastre
econ61nico que sólo el seguro puede mi..
tipr. Pero tales gentes no están en condiciones de paga¡ las primas sino
diluidas en el tiempo, fraccionadas en luotas periódicas que se deducen de
los ingresos corrientes. Asf n&ció la prima a1iual.
. S19.
SSO. Su cálculo es fácil. Hay que substituir la prima única, A, -se usa
simplemente el simbolo principal, para que pueda representar la prima
pura única, de cualquiera de los seguros que se han visto o que sP pueda11
imaginar por las primas anuales respectivas. .
Si es P la prima anual de un seguro cuyas primas se pagan, bie11 dura11tc
toda la vida del asegurado, bien durante un número dado de años -siempre que esté en vida el asegurado
el valor actual de las f utt1ras primas
anuales es el de una renta vitalicia de P pesos -inmediata o tr~mp,>­
raria segú,n el caso
calculitda sobre la t•ida del asegurado, puesto (}U(~ <le
que él viva o no depende el pago de la p1in1a. Si la renta anticipada de un°
vale a -también aqut se prescincic de st1nbolo~ auxiliares para qt1<~ s<~ pu<!<l:i
-
133 -
am<>ldar sien1pre al caso <le qu~ SP. trat~e-, una renta. de P valdrá Pii. Y
como este valor ha de s~r igual al <l<' la prima única, rPsulta
Pa = .:\
•
• •
A
p = -..
(217)
fl
SSJ.
Para el seguro de vida entera se tiene
(218)
0, usando
valores de conmutación,
(219)
Al seguro de V'ida entera, pagadero en esta forma, se le llama vulgarmentl~,
Beguro ordinario de vida.
Si el seguro de vida entera se ha de abonar mediante un número
determinado, n, de primas -el seguro en ¡xigos limitados· de las compañías
de seguros- se tiene :
!JSfJ.
(220)
o, en sfmbolos de conmutaci6n,
,,Pr = -
1\1 ~
-
~ x + 11
Xr -
(221 )
2~3.
Si s e trata d ~ un s?guro <iifl~rido por ti años, pagddero con pri1111s
tr.mpc>ra rias
,(;p
1
.I
-
-
..
{/
/ ¿"\.
~ I
-
(2i2)
- ··
.r · /1
o, lo QU !~ Ps igual,
(223)
•
8i el Sl\gurc' <'S tPmf>0rari<J p<>r 11. años ~,. 8<' paj(:l t'<'n n pnn1,1~
ttJlll:tl''s, st• tit-nl"\ --- ·t1s ·111<lt' 1~1 11c>ta<·i()n ~~ ·f1 ttl:ttl~t t•n ---··· f,<Jfl- · , <>h~Prva.c·ión2P4.
-134-
plz : -ni -
/,.A~
••
az :;¡
A1z : ni
--
•
••
tlz :;¡
(224)
(225)
Sl5. Si es un capital diferido por n años, pagadero con n primas anuales,
ae tiene, usando como en el párrafo anterior la notación de --:..1961
p 2. - .Es: z : "' ..
az
:;¡ p
116.
•
••
ª% :;¡
Dz+n
_!. _
z :ni -
A,;~;¡
N.. .
N z+n
(226)
(227)
..
Para el seguro mixto o dotal, es:
•
••
+
Dz+n
p :-;j = - - - - - - - - Mz -
Mz+n
%
Nz
~ z+n
(228)
(229)
En suma, la fórmula (217) permite calcular la prima anual de cualquier
clase de seguro.
2S7. Ejercicios. l. Calcúlese la prima pura anual que, para una persona de 30 años, corresponde a un seguro de vida entera de S 5000, en 10
pagos. Mortalidad H"'. Tasa del interés 4 % anual.
Soluci6n. Es, para un seguro de un peso:
Aao
IM:ao
8344,01
1
oPao = -da_o_:l-01 = _N_3_0--N-.-o = 501999 276536 = 0,0370l
Y, para uno de 5000, resulta:
5000 X 0,03701 = 185,05.
II. Calcúlese la prima pura anual del mismo seguro, pagadera durante
toda la vida del asegurado. ·
-135 -
Solución.
Aao
8344,01
Mao
P11 = - - =
=
501999
=
0,01662
410
Nao
. para un seguro de un peso. Para uno de 5000,
5000 X 0,01662 = 83,10
II
LAS PB™AB ANUA.LES EN l'UNCIÓN DE LAS RJDNTA.8
118.
La prima pura única del seguro de vida entera es. (196)
Por lo tanto la prima anual correspondiente es:
Pz =
SS9.
_1__d_a_·: __ 1 _ d
(230)
Del mismo modo se tiene para el mixto
•
••
Pz:';i = ..
-
1
ª%:
;¡
(231)
-d
Reaparecen en las fórmulas (230) y (231) las analogias que se hicieron
notar -104 al tratar de las primas únicas en función de las rentas para
los seguros de vida entera y mixto ..
Con ayuda de la (230) y de la (196), es fácil hallar el valor de la
renta vitalicia en función de la prima única o de la prima anual del seguro
de vida entera.
Es, en efecto, (196)
SStJ.
a= - - -
•
• •
az =
1
d
d
Az
-1
•
••
(232)
-136S!Jt.
Pero
•
t
d == 1-v =vi= - 1+i
reemplazando en la (232) d por i/(1 +. i) queda
(1 + i) (1 -
Ar)
a: = - - - - . - - - - 1
•
••
i
1 - (1 + i) Az
i
SSI.
•
Introduciendo -arriba y abajo
(233)
el factor v, queda:
az = - -• -
•
••
vi
az =
BSS.
v - A:c
1-v
(234)
Si en la (218)
se reemplaza ds por su valor (1 -
Az)/d sacado de la (232), queda
d A%
P.r = - - 1 - ~.\x
(235)
fórmu.l a a la que se llega, también, partiendo de la. (233) mediante fáciles
transformaciones.
B34.
De la (235), se <leducr
(236)
SS5.
Y <le la (230)
-
137 ---
•
se obtiene
.
1
..
az = - - Pr + d
•
• •
1
ª% = - - - - 1
(237)
(238)
Pz + d
III
•
ALGUNAS RELACIO:-lES INTERESANTES
136. Con una tabla que dé los valores de P r, y sabiendo a qué tasa
de interés fueron calculados, se llega a reconstruir Ja tabla de mortalidad
utilizada. En efecto, es (238)
1
ª% = - - - - ]
Pz +d
pero por {142) es, también
•
• •
l
vp~(l +az+1) - - - - - l
Pz + d
l
p = (1 + i)
.---- -1 + ax+ 1
1
---- - ·-- I-> z + <I
%
•
• •
l
Y si en la (237) se pone x + l en vez de .r, 8C tie11f'
1
+ az+l = - P r+l + <i
llz+l = 1
l
---- =
l·+az+t
•
• •
Px+1 + d
Llevando este ''alor al de p r <1t1ecJa:
p r . = ( 1 + i) (P z + 1 + <I)
l
-
l)
I
+ (/
-- 1
(239.)
-138-
IS'!. Conocidos doa de los valores de A., ª• o P. se puede det,ernu
la tasa del interés.
nar
En efecto,
•
••
d = _I~_A_.
i
•••
A.
1
---==---
•••
l+i
•
i=
138.
(240)
-Es (230)
Pz=
1
ª•
-d==
1
1 + ª•
i
d
1
d = - - ==----P.
l. + i
1 + ª•
i
189.
•
1 - P. (1 +a.)
=
a~
+ P z (1 + a.)
•
••
•
••
(241)
De (235)
resulta
•
P. (1
A.)
d=--=----i
.
P s (1
A.)
i=------A. - Pz (1
•••
(242)
A.)
S40.
Ejercicios num~s. I. Una persona de 43 aíios toma. un seguro
de vida entera y se pide calcular la prima anual correspondiente, teniendo
una tabla de anualidades. Interés 3 %. Se tiene
a43
= 16,24222;
d = 1
1,00-1 = 0,02913
-139La fórmula (230) da:
1
1
Ps=--d= - - - d
az
1 + az
••
1
p,3 = _1_+_1_6,-24-2-22- - 0,02913 == 0,02887
& decir, 28,87 º/oo.
JI. Supóngase ahora que sólo se tiene una tabla de los valores A~
para calcular la prima anual correspondiente a un seguro ordinario de vida
para una persona de 30 afios. Interés 3 %. Aao = 0,39141.
La fórmula a emplear es, en este caso, (235)
p" =
d A,,
1
Az
•
••
0,02913 X 0,39141
Pso =
= 0,01873
0,60859
o sea, 18, 73 °/ oo-
IV
PRIMAS PAGADERAS EN PERÍODOS MENORES DE UN A~O
!41. Las compañías de seguros, con objeto de facilitar a sus asegurados
e[ pago de la prima, acostumbran a fraccionarla de modo que su pago se
haga en cuotas semestrales, trimestrales, mensuales y aún semanales.
Pero, e11 general, este fraccionamiento no importa la substitución de la
prima anual por otra semestral, trimestral... Se trata, simplemente, de la
misma prima anual fraccionada en partes iguales y levemente recargada
para cubrir los intereses por la demora que importa el fraccionamiento y
el correlati\'"O aumento de gastos de cobranza. Por ello las pólizas estipulan
que, si fallece el asegurado cuando sólo. ha pagado p de las m cuotas en que
se ha fraccionado la prima, de la suma asegurada se deducirá la parte impaga de la prima anual, o sea las m - p cuotas restantes.
242.
Pero puede, también, ocurrir que el pago se haga en cuotas que
~rrespondan a perfodos menores de u11 año, sin que haya derecho, por
Parte del asegurador, a retener de la suma asegurada las m - p cuotas
Parciales que faltan para integrar la última prima anual. En tal caso, la
Prima no es ya anual, sino semestral, trimestral, ... Y hay que tomar en
cuenta, al calcularla, la nue\ra modalidad.
- - 140 --
Por lo demás, la solución del problema no puede ser más ~ncilla: hasta
substituir la renta pagadera por ar1ualidades, tiz, por la renta periódica a'"'>
z .
Si es p<"'> la prima anual que se paga en emési,rnas partes a cada emésimo
de año, es p<m> a<"'> el valor actual de todas las primas. Valor actual que
debe igt1alar a la prima. única ..\ cJel seguro. Se t.ie11e, asf~
. >
p (m =
A
-a··<"''.
(243)
De intento no se pone ningún símbolo aclaratorio, porque se trata de
un procedimiento aplicable a cualquier tipo de seguro.
Como, (165)
d~"') = az
m + l
+ - 2m
--
para el seguro de vida entera, es:
<mJ _
_ _ _A_r_ _
-
m. + 1
az+--2m
P:t
(244)
143.
Si se quiere el valor de la prima periódica··en función · de la prima
anual basta tener presente (236) que
Pr
A~= - - -
Pz +d
y que (238)
l
az=----J
Pr + d
Llevando esos valores a la (244) resulta
J> r
p<m>
=
··
_,.
1
Pz + <I
- -- - - -- m + 1
•
••
-~-1+ --
. Pr + d
2m.
•
inl f>
p t m) = ____
. .r
- -- -·-- ---·-·
r
'2nt -- (ni ·---- 1) ()) r + ,, )
(245)
CAI>lTULO DÉCI~IOS~~XTO
RE NT A8
C () l\f P L E 1, .\ S
1
ll.ESTAS
AXl~ ALI·:S
244.
En las rentas vencidas co11sideradas ha..~ta aqt1í se ha adn1itid<>
l!!lllll1e la obligación del asegurador termi11aba cor1 el pago de la cuota ve1:0<id1a al principio del período en que ocurria la muerte. I->ero puede estifil&lrarse que se pague la renta ha.sta el día del falloci1nierito. Es decir, que
les derechohabientes puedan exigir el pago de la fracción t de la renta e ~­
nrida hasta dicho dia. Si la renta es me11sual, J" la muerte tiene lugar
W
2 dias después del último vencimiento, se hará t111 pago supleme11tario
irpial a los 18/30 = 0,6 de la cuota me11sual.
Supuesta una renta unitaria ant1al j. admitier1do que las muertes se repartan por igual durante t.odo el año, puede adoptarse como térmirto de
e'e.rrecc'ión el pago de una suma igual a la miwd de la cuota anual, e11 el
aio en que se produzca el deceso
Resulta, asi,
o
/ A •. . ( l -i1 / Ax = a r + 1_1/•)
ax = a z + /2
, 1·) ~
2
*$45.
(246)
O, aplicando la (204)
o
--
a= ax+ ~-~(J-~ ~flx)
(247)
•
• •
()
--
ª = tl
;e (
l -
~/~ o)
-142-
•146.
Pero con esa corrección
se incurre en 11n error por exceso• .ll.tn
b
.
electo, los pagos hechos a los que fallecen durante los últimos meses son
lógicamente, mayores que los que se hicieron a los fallecidos durante l~
primeros. No tomándose en cuenta los intereses podría haber compensación.
Pero si se han de tomar en consideración tales intereses, resulta que esos
últimos pagos -los mayores- deberían estar afectados por mayores descuentos- pagos más alejados. Al no hacerlo asf, se exagera el valor de la
renta.
*S47. Trátase, pues, de calcular el tér1nino de corrección por un procedimiento más preciso.
Los pagos que se hacen por cuota.a complementarias durante el afio
n
1, como consecuencia de los decesos ac~cidos en él, valen en la hora
inicial, y siendo, por supuesto, t < 1,
+
1
1
o
o
1
= v"(nPz -
n+1 Pz)
lv' dl
o
Y . para todos los años posibles1
¡n=w-z
~
v"+ 1 (nPz-n+1P:.i) lv'dl
n=O
o
V
Pero -198n==w-z
~
n+1Pz) = A11
vn+i (nPz
":a o
•
Además, integrando por partes, se tiene
1
1
1
ldvt
lv' di =
o
o
t'
= -- -
loge v
t
v' dt
l
lo~ V o
}o~ V
lv'
-
lv'
v'
V
---2
(log~ v)
o
l
lo~ V
-
-1
+ ---(log. v)
2
Pero,
logtv = -
~;
1-
f)
= l'i
-143Luego
,,
1
1
V
lv' dl =
o
l
•
•
In
'
+
a2
a2
a
ti
a
Por lo tanto, el término de oor1ección es
•
En consecuencia
i
o
a .. = a.+
.,
-
~
A.
ª'
(249)
11
RENTAS PAGADERAS EN SUB-PERIODOS
*S48. Si la renta es pagadera en m cuotas de 1/m cada una, durante
el afio, el té1ª1nino complementario conformándose con la primera aproximación
es Az/2m. Luego,
.
.
~<·>
= a<•> +
A..,
=
s
z
2m
1
m
1
2m
= az + ~ -
1 Az =
+ 2m
. (250)
A,.) =
l (1
2m
-
1
= az--- (1-Az)
2m
(251)
Y como, (204)
-Az = 1 - aaz
1-A. = !a:i
•
••
1 a,,.= az--- ªª% =
o
2m
-
1-
1
2m
a
(252)
-144 *249. Esta.s fc)rmulas están afectadas por el mism<> error <¡ue las (246),
(247) y (248). Hay que procurar, pues, mayor precisión.
Sea la renta pagadera en m cuotas parciales, dentro de cada año. Si el
fallecimiento ocurre en el intervalo r + 1 del año n + 1 -después de
el pago con1plen1entario es t. Por lo
corrido un tiempo n + r/ m + t
tanto, el valor actual de todos los pagos a hacer por tal co11cepto, dentro
del año n + 1 y en dicho intervalo, es
1/m
o
-_
1/ m
l,n+ri
m ( np z '
H
+P)
lv'dl -1 z
o
t
(
= vn+rlm(,.p~ :--- .+1p ..)
-
)ogt. V o
-
l' t
1/ m
(logt: V) 2
O
l
----
-
o~·1
-
-
vil "'
= vn+ ' 1"'(nP z. -
-------
n+tP z)
mo
~
Para todos los pagos hechos dentro del año, se tiene, haciendo r = O,
1, 2, ... , m - 1
v•I,.. r - m - t
1
vil"'
v"+ r l "' =-
~
r - O
= (nPz -
1-
vt l m
1_
1,11 ..
1-v
v"---l - v 1 1' m
- - -- - - -
n+lPz)
•
vi l "'
1Jt
-- - - - V"---1 - v1I""
Y p~ra toio.s l<JS p.l_~ ~lS, d í~ lrJ i<>·~ l<JS años
l -
v•l m
•
fJ't
vl / m
·-- - - . - ·- - -,...
-
--
l _
,,,
v'
,
1 -'
..
.,
v
--
~
= .. -- r
~
··- -· ·· --
me
.•
n
V t · 1n
VI.
--
,,
=O
.
rt
m
-- -- '
m~
·v"(nP x -
l -
• -
--t 'I
I
m
~\z
V
n+1Pz) =
-
-145A zi
A %iv 1!"'
a2
m8(1 - v11'")
Multiplicando y dividiendo el segundo tér1nino por (1 + i) 1 '"' = i r1 '"',
queda
Azi
.!
2
-
Azi
Azi
-------- = -
m[(l + i)l/M -
1) a
a2
-
Azi
Í(m)!
Se tiene, asf, en defi1ritiva
(253)
111
,
BUSCANDO MEJOR APROXIM1\CION
*S50.
W.
PALIN ELDERTON
ha dado
J. l. A., vol. 43, pág. 99-o
un procedimiento sencillo y elegante para determinar a~"'>.
Considérese un seguro creciente y continiLo. Es decir que, ocurriendo la
muerte al fin de un intervalo t
entero o fraccionario , es t, precisamente, la suma que se paga. A los 2 meses se pagan 2/12, a los 3 años y 15
.dlas se pagan 3 y 16/ aeo. El valor actual de este seguro es (I A) z·
'
Sea, ahora, otro seguro tal que, si el asegurado muere durante la primera
fracción 1/m de año, no se paga nada; si fallece durante la segundJi, se paga
l/m, si fallece durante la tercera, 2/m, y así sucesivamente. Este seguro
está evidentement~, formado por la suma de una serie de seguros de 1;1m
cada uno, diferidos respectivamente por 1/m, 2/1n, . . .
w-:c
1
(1 / Az + 2 / Az + ... ) =
m;;
-;;
~ Cm) l\f z -t-i
t~tlm
D
z
Si se deduce este seguro del anterior, queda, simplemente, un seguro
P<>r un importe igual al tiempo t corrido desde que venció el último i·ntervalo
l/m. El gráfico adjunto ilustra claramente el punto. El eje de las abscisas
indica l~s tiempos~ el de las ordenadas el n1ont6 del ~gltro. Por lo tanto,
la recta A E -de 45° de pendiente da la marcha del capital que garantiza, en cada instante, el seguro continuo. La poligonal AB'BIC.JD ... , las
sumas que de él se deducen.
-
146 --
Si la mt1ertCl se produce al cabo· de u11 tiempo A N, el <'apital ga.rantizact
por PI primer seguro es M ~- PPro de él se deduce el importe del segund~
seguro qt1e es D'D = N O, e11 este caso. Sólo queda, pues, O l\!I = D o : : : t
G
•1•R
t
L
1
•
••
1
1
•
••'
•
;K •
1
1'
'
:
• ':
'
1
1
•
e· o·
f
••
••
••
••
G'
1
•• 1 :
•1 1 l
.J
s·
1
f •
1
••
•
'••
••
•'
~
1
1
•1
••
•
NE'
'
F'
Figura 9
Justamente el in1port(l de la cuota complementaria cuando la renta se paga
a cada em~imo de año. Se tiene, asf:
w-z
<·>M z·.-.1
.
~
a.J
-
, -
(l.\) z -
...
1 /t11
-----z
D
-
w-r
... - - r
-
~
)1.r+t df -
'mi 11,,,
o
(,,,;l\I z+t
.. - x
•.a-r
-
~
r = 11.
o
I>t1e~t<• que
L,1,,.g.,,
'")
a.e
(
(niJ~Iz+t
para t = w -
+
1
ti -
l
l\f z + ---d/ {~l.c+t)f-.li
2
12m
2m
x es ~l ... = ()
•
•·• . . . .r
1
-
(m)~l r+t + - ~(
1 = 1 ,,,
2m
-
l . ti
1
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+ --,-.,(:\1 .r ..._ t}
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Y, en c~onsecucnc1a,
D z+t iJ.z 1-t di =
o
"1~e.s ya se hizo notar que pa,ra <'I l·imite superior la funeión se anula.,
Queda, así, en definitiva,
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1
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12m.2
(255)
. CAPITULO DOOIMOS~PTIMO
FORMAS ESPECIALES DE SEGURO
1
SEGURO A CAPITAL DOBLADO
UI. Serla pue~~l pretender que, con las formas que se han examinado,
ee han agotado ya todas las posibles modalidades del seguro. Pero es indudable que para analizar cualquiera de las combinaciones más o menos
originales- que puedan imaginarse, no hay más que seguir los métodos
utilizados hasta aquí.
Sea, por ejemplo, el seguro llamado a ca¡ñtal dob~. Seguro que cubre
el riesgo de muerte del asegurado durante toda la vida: y, además, garantiza
el pago de dicho capital al propio asegurado si vive dentro de un plazo de
_,
n ados. No es, como se ve, sino la combinación de un seguro de vida entera
y un capital diferido.
La prima. pura 4nica es, puesm igual a
.
1
A.+ .E.= Az + Az:-;¡
Y la prima anual
pagadera durante n atlos-
p =
A..+ ,.E,.
(256)
4s :;j
II
TÉRMINO FIJO
153. Otra forma usual dé seguro es el llamado a término fijo. El capital
se paga a los n aftos, viva o no el asegurado.
La prima pura única del seguro unitario no es, por lo tanto, sino el valor
actual de úno, descontado por esos n añoa
V"
-149y la prima anual correspondiente
(257)
Nótese que, en tanto que la prima única es independiente de la edad del
~gurado, la prima anual toma
cuenta dicha edad, puesto que a la muerte del asegurado cesa toda obligación de pagar primas aunque continúa
en vigor· el seguro.
en
III
SEGURO DE RENTAS
S64.
Puede, también, asegurarse la no interrupcüm del pago de 11na
renta cierta el servicio de 11na hipoteca, por ejemplo . La prima pura
única en este caso es igual al valor de la renta cierta a;¡ menos el de una
renta vitalicia temporaria sobre la vida del asegurado. En efecto, mientras
~ vive una y otra renta se compensan y el asegurador no tiene nada que
pagar. Producida la muerte del asegurado, cesa de operar la renta vitalicia
y sólo queda la renta cierta a cargo del asegurador.
Se advertirá que esta compensación sólo se efectúa cuando la t&Ba del
interés de la hipoteca o de la renta que se asegure es igual a la del seguro.
Considerando
para mayor generalidad- la renta periódica, la prima
, .
pura umca es,
Y la prima pura anual
(m)
P=
a;¡ -
(m)
ªz :-;¡
(258)
Si la renta constituye la operación principal, el pago de las primas anuales
se hace durante un tiempo k < n, para evitar los inconvenientes que se
verán al tratar de las ''Reservas Matemáticas''.
S55. Pero, frecuentemente, no es necesario hacerlo porque la renta es
sólo una operación combinada con otro seguro.
Asi, en el térm~no fijo, se suele estipular que, si nluere el asegurado, además de cesar el ·pago de la prima, se abone al beneficiario una renta igual
al 1 % mensual del capital asegurado hasta que llegue el vencimiento.
Esa renta
si el capital asegurado es uno
es de O, 12 al año. La prima
anual del seguro es, pues,
(12)
(12)
+
0,12 (a;¡
a% :;j)
p = --~~~--------~V"
(259)
-
15()
2.16. Tambié11 se puede C<)ml>i11ar el pago de la re11ta co11 u11 seguro
de vida entera -cor1 pag<)~ de) prima-s durante tocia la , .. ida: o con p·agos
limitados- o co11 t1r1 dotal .
•
Se fija un período de renta igual al señalado para el pago dP primas-- \r
au11, preferenteme11te, me11or- y se convie11e en que, si la muerte octir~~
dentro de dicho periodo, se abo11ará al beneficiario una re11ta mensual del
1 % del capital a~egurado, hasta que venza dicho periodo de re11ta. El pago
del capital asegurado se difiere hasta el fin del período de renta. El importe
de ésta no es ya, por consiguiente, de O, 12 al año por unidad de se.~tr<,,
si110 por O, 12
i' por uno puesto que reteniéndose el capital asegtirado
ha.~ta el fin del período de re11ta- la porción correspondiente a los i11tereses de dicho capital a la tasa z~', r10 forma, en realidad, parte de la renta:
pertenece de ple110 derecho al asegurado. Usualmer1te se toma i' mei1or
que i. la ta~a que se adoptó para el cálculo de lag prin1as.
La prima a11t1al adicional es. e11 este ca~o.
P=
<f). 12 -
( 1~)
¡·' )
(a;; - a
(12)
r : -;: )
(260)
2.17. Para el cilculo de las renta<5 se utiliza u11a tabla de mortalidad
distii1ta de la que sir\"e para los segttros e11 caso de muerte. 1· la razórt es
ohvia ...,\ pesar de que los asegttrados entran al seguro e11 caso de n1uerte
})ajo exame11 médi<·<>, Jr los que toman t111a renta si sólo se trata de re11tano rer¡uiere11 tal exame11, la experie11cia demuestra que la aittoselecció·n, es
decir, la c¡ue efectúa por si mismo el agegurado, al decidirse por t111a o por
otra c·lase de seiuro, es mucho más eficaz. l.103 re11tista" prese11ta11 ut1a
longe\·idad mayor que los asegurado:; en caso de muerte. D~ ahí la 11i!cesidad d :~ l' ~>11struir --sobre ob3ervacio11es fidedig11a<;- tg,bla<s distinta" para
tina y para otra cat?goría de riesgos .
•
Com r) se ha \"Ísto. se puede11 hacer multitud de con1bi11aciones,
que se lat1za11 al comercio bajo los nombres más variados, tra.ta11do de
atraer la atenció11 d~l público. Pero, e11 el fondo,
y es lo que interesa
poner de ma11ifiesto-, nunca se puede prescindir de los tipos de seguro
4ue se puede llamar fundamentales.
SJ8.
259. l~)Prcicios num~>ricos . I. ¿Cuál e~ la prima pura anual de u11
seguro a término fijo de 20 años por 15000 pesos, para una perso11a de 35
año~ de edad, si, en ca.~o de morir el asegt1rado d11rante la ,,. ige11cia del
mismc>, ~e ha de pa~ar u11a rer1 ta del 1 % me11st1al hasta que llegue el venci~ie11to '? Ta~a dc~l interés, el 3 3 at1\1al. '"fabla dP nl <lrtalidad ll. t~ . (Rentiér.~ fra~ica,i8) .
1'.) J --
,.')oltteión.
Se tiene
·-
(l 35 :
20:
y 801)
vn = 1,03-20 = 0,5537
(12)
G·:?cij (3",'o)
= 1/12 a240¡ ( lf4•/o) = 1/ !!? X 180,311 = 15,026
+
(1
ªa.:; : 20i = aaTl : 201
/
(12)
11 I
13,678 + 0,458 X
24
-
E
'
20 35) =
118775,4
1----264941,1
-
= 13,931
<l 3) : :}() = 1-l,230
0,5537 + 0;12 (15.026
13,931)
J> = 15000 X - - - - - - - - - - - 14,230
¡> = 722,20
II'. ¿Cuál es la sobreprima anual necesaria para incorporar a t111 seguro
ordi11ario de vida de S 10.000, y para u11a persona de 35 años de edad. u11a
rlát~sula mediante la cual, producido el deceso del asegurado dentro de un
plazo de 20 años -llamado periodo de renta-, el pago del capital asegt1ratlo se posterga hast.~. el vencimiento de dicho período aboná11dose, e11
· tanto, al beneficiario una renta me11sual ""encida del 1 % del capital aset1:t1ra<l<>'? I11terés y mortalidad las del caso anterior.
\;! I
.
,
AJ O ttr.'l fJ ll.
8ot1 aqt1í:
•1:!)
(O, 12 - 0,03) (a20 -
(12)
a~; : ~)
P = 10000 X -----~---- =
tia~a . .;vr
:;:n.
0,09 (15,026 - 13,931)
= 10000 X - - - - - - - =
14,230
=
69,25
.
CAPITULO D~CIMOCTAVO
PRIMAS DE TARIFA
I
GASTOS QUE RECARGAN LA PRIMA
SBO. Las primas que se han visto hasta aquí son las llamadas puras
porque
como se hizo notar en su lugar no contienen margen alguno
para gas~; gastos que son ineludibles en 11na institución comerc.i al como
11na compaftfa de seguros-. Además, esa compaftfa necesita, para poner
en marcha la empresa, un capital accionario al que hay que retrib11ir con
un deter1ninado interés. Y eso no basta; por buenas que sean las bMes de
cálculo adoptadas, hay siempre un margen de imprecisión: la tasa del
interés puede caer bruscamente como ha ocurrido frecuentemente ; la
mortalidad puede subir de pronto.
De todo ello resulta que las primas que se cobren han de ser superiores
a las puras. Esa düerencia que se cobra de más es lo que se llama la carga.
Y primas cargadas o de tarifa
son las que la incluyen.
IJ61. Los gastos que origina la explotación del seguro pueden ser separados en dos grandes grupos: los gastos de adquiftción y Ios·gastos ~tes.
Los primeros son los que se pagan una sola vez aun cuando por comodidad
pueda fraccionarse su pago , en tanto que los otros son los que se repiten
peri6dicamente. Pertenecen a la primera categoría los honorarios del médico
examinador y la comisión del corredor que intervienen en la contratación
del seguro; a la segunda, los gastos generales de la compañía, las comisiones
de renovación y cobranza, ·1os intereses del capital ...
Es evidente que, dadas las diferencia.s fundamentales que los caract~ri­
zan, 11nos y otros deben ser tratados de distinta. manera. Y que también
habrá de diferir el modo de tratarlos según se consideren primas únicas o
primas anuales.
-153-
11
,
PRIMAS UNICA.8
'SOS.
Los gastos pueden ser estimados de dos modos: en proporción
al capital asegurado o en proporción a la prima de tarifa. Y aun pueden
distribuirse parte en proporción al capital y parte en proporc.ión a la tarifa.
Si es Á la prima pura única, A' la prima de ta.rifa, a el coeficiente de gastoS proporcional a la prima y e el recargo proporcional al capital -que,
•
cOIXlO siempre, se supone igual a uno-, se tiene, -en el acto, la siguiente
ecuación
•
A' = A + e + ex A'
••
'~
,
A+ e
= --1 - (l
(261)
No se ha hecho distinción, aquí, entre gastos de adquisición y
gastos corrientes& de administración. Es ql1e como la prima se cobra íntegra al contratar el seguro- la compañía percibe wdos los gastos a la vez.
Pero los gastos corrientes se originarán en el futuro de año en afln. Si se
quiere hacer una provisi6n -o reserva- para esos gastos, habrá que individualizarlos. Sean a1A' y c1 las porciones de la carga destinadas a gastos
de adquisición, y a2A' y c2 las que se prevén para gastos corrientes: de administración. Como el seguro ha de extenderse durante cierto número de
afios, la porción reservada para gastos corrientes futuros es el valor actual
de una renta vit.alicia, sobre una vida de la edad del asegitrado, por el tiempo
previsto puede ser la vida entera- y, por un importe anual igual a los
gastos del año.
Si es 'C' esa cuota anual de gastos, y son: a, la renta vitalicia en el momento inicial, y ª<e>, la misma renta cuando hayan transcurrido t años,
se tiene:
Valor actual de los gastos futuros en la hora inicial,
·'B63.
cx2A'
+ C2 = "Cti
"Cuota anual para los mismos:
't
= ----
(262)
Reserva para esos gastos futuros, Gct), que deberá estar constituida al
cabo de t aiios
(263)
G (t) = Tll(t)
-
}54-
X aturalmente. la reser\"a es decreciente, pues, conforme pasan los a . .
se ,~an <~ubrie11do los gast()S previstos. Y, en efecto, a medid<1 qtle cr nos
ece t
III
PRIMAS ANUALES
264. Si la prima es anual -que es el caso más frecuente
los gastos
corrientes se reparten fáciln1ente sobre toda la duració11 del seguro, pues
se cobra11 y se paga11 año por año, con la misma prima.
·
l)t~ro los gastos de adq1lisi.ción se abonan por adelantarlo )r se recupera 11 ,
poco a poco, en la~ primas futuras. En los primeros tiempos no ocurria así.
Tamhien los gastos de adquisición se diluían en las primas futuras )" se
pagal)an a medida que se iba11 cobrando. Pero la competencia obligó a
bttsrar tt11a forma atraye11te de retribuir el trabajo de los prodtlctores, quieneo, \·ié11dose cada vez más solicitados, elevaron gradualn1ente sus exigenria.'3. Esto creó un problemas -fácilmente resuelto-: el de distribuir
ese ftterte recargo e11 la'3 primas sucesivas, desde <Jtle el asegurado había
de segt1ir paga11do primas siempre igitales -primas consta·n tes--. \ . . trajo
aparejado
t111 11ue\"O prol)lema.
Cuando el a5egurado abandonri el seguro
.
a11tes de tiempo origina una pérdida al asegurador por los ga'3tos a11ticipados por él y no rect1perados a(1n: el valor actual de la'> fraccio1tes por
tales gast0s i11clt1ídos c11 las primas 4ue deja de pagar. Pero este segu11do
problema será considerado al hablar de las reservas. Er1 eua11to a] primero,
ya se dijo, es fácil.
'
La compañía anticipa el pago de la comisió11. Para recuperar ese anticipo
debP percibir del agegurado un ~ecargo anual. Recargo que co11stitt1ye,
sencillame11te, l111a renta zitalicia sobre la vida del asegurad<l - exartame11tc igual <tllP la misma prima. Si es e la suma anticipada por gastos
dc.) adf}t1isicit)11 el rec'argo a11ual r1t1e la compensa es:
1
(~
-
a
si la comisiór1. r. está calc·t1lt1da c11 proporció11 al capital asegt1rado -uno,
<~orno de rostt1mbre. Y es
a. P'
..
((
cuand,1 la <'<>misic'>r1 (~:--; igt1:ll a una f racció11, a, de la prima dt~ tarifa P' ·
-- -
-
.lV::.
tos gasto:-5 corrie11tes pueden, tambié11, estal>lecersc media11te u11 coeficiente k proporcional al capital, o por medio de una fracción ~ de la -p rima
cd;@ tarifa: el recargo, por tal concepto es, en este c~tS(), ~ P'.
Si se c:.>11sidera, ahora, •111 seguro e11 el c:.ial l¡ls ga~t.o.; -de uno y· otro
tipo- sr ha 11 distribuídJ, p:.trte e!l prop3r ci()r1 al capita,l y parte e11 propr)r-
ción a la prima, se llega a la ecuacicSr1
e
a: P'
P' = P ·+· . + - . - + k + ~ P'
a
a
•
• •
e
J>+~+k
a.
(264)
a
1-~--:­
a
f órmt1la en la cual, l1aeiendo e = k = O, se tiener1 todos los gastos expresados e11 fu11ción de la prima, ~.. hariendo, en cambio, a = ~ = O resultan
todllS proporcio11a1es al capital.
265. .t"je1nplos num§ricos. I. Dada la tabla de mortalidad Hm y la
tasa del interés del -l %, se pide la prima de u11 seguro clotal -o mixto ª 10 años, para ttna persJ11a de 35 años de edad, sabie11do qt1e la renta vitalicia temporaria por l O años para la edad de 35 atios es 8, 115, y que para
el -1 % es fl = 0,0334-Jl:). I"~" ga-5tos (l e ad111isil·i'-)11 Re fija11 en el 50 % de
la prima de tarifa. ~; lo.3 r'.)rrie!1te-:' e11 el 10 % de dicha prima más el l 0/oo
del capital.
·Sol1lción. Son a c¡t1i:
e = O;
k = o 001.
'
'
~ =
l
1
r> :3 .-, : -l tl A.
(/
~
-o
0,08-!7f>71
.
~=o 5·
' '
·- - o 0384615 -
8' t l.)
3 ·) : 1
o, l 23228t) P' = - - - -
-
-··- ,¡
o, l;
'
0,038-l() 1.~ = 0,08-! 7()71
+ 0.001 - ·- - - 807t>7.I
--·--- = 0,1023
·- - -·
.
.
8~838()
O sea, 102,30 º. oo.
II. ¿Ct1ánto impcJrta11, despt1és de sei:; añ() S de ,·ige11c~ia. l<>s gastos <le
adr¡uisi eió11 no a1nort1~za.dos en el scgt1 r'> ar1 t«:ri <)r, si la re11 ta a11 ti ci Jlarla,
temporaria por 4 arios }~ para la edad -11, tie11c \111 \·al<>r <le :J, 717, d<~ a~11erdc>
C<>r1 1as l>,tses cif) ~ál ''ttl <l a<l<)pt tt<Jas '!
-156Solución. Se ha incluido en cada prima, para gastos de adquisición
'
una carga '[>Or mil de:
a P'
't'
= ..
0,5 X 102,30
· = - - - - - = 51,15 X 0,1232286 = 6,30
az :ñi
8,115
Después de seis afios de vigencia, f a.ltando cuatro para el vencimiento,
el valor actual de los gastos no amortizados aún es por cada mil peso8
aseguradosliiil't' • ªz+e: ~
ti
= 6,30 X d41 :4i = 6,30 X 3,717 = 23,42
Agreguemos que, frecuentemente, la prima anual de tarifa se representa por la letra griega 'Jt', en lugar de usar P', como hemos hecho
hasta aquf.
CAPITULO D~CIMONOVENO
RECARGOS ESPECIALES
I
RIESGOS COMPLEMENTARIOS
S66. Se ha visto como se calcula una tarifa. Al fijar los coeficientes
que deterrninan la carga pueden tenerse en vista, no sólo los gastos a que
se ha aludido en su lugar, sino diversas contingencias que, al ser previstas
en las condiciones de póliza, representan un riesgo para el asegurador.
Así ocurre con la lla.m ada doble indemnizac·ión: compromiso as11mido por
el asegurador de pagar el doble del capital estipulado, si la muerte del asegurado se produce a causa de un accidente.
Y del mismo género es la clá·usula de i1i.validez, por la cual se acuerda al
asegurado, en caso de que se invalide total y permanentemente, la suspensión
del pago de las primas y aun la percepción de una renta mensual fij &da. en
proporción al capital 88egurado.
No importa 11n a11mento de ri~sgo, pero sí una nueva responsabilidad
para. el asegurador, la llamada ''participación en las utilidades''. Parecerla,
por la designación, que es algo gratuito y dependiente sólo de la más o menos
próspera marcha de las operaciones, pero no es así. Como se contratan,
también, seguros sin participación, es evidente que los que tienen derecho
a ella deben costar más caros: han de llevar t1n recargo especial.
II
LA DOBLE INDEMNIZACIÓN
Estadístícas, cuya precisión aumenta de día en día, dan una. me. dida aproximada de las muertes debidas a causas accidentales. A poco
que se reflexione se ve que esta cláusula adicio11al que tiende a facilitar
267.
158 •
la <ol<lcaci<:11 de_ segt1ro:-; ~obre la ,.¡ll~, dá11cl,>les ma~r.or alicicr1te -sp pre~ta
a gra,·e~ discusiones. I. . a ley dP accid()riles del tra.baJo -c!ue 110 tie11en Por
<~ué ser mortales para ser i11demr1izados- da lt1gar, e11tre nosotros, a iniiu . .
merables pleitos c1ue reciben, a menudo, solucio11es contradictorias. Y, si
estimar la respo11sabilidad y el perjuicio pect1r1iario de un accide11te no
mortal es difícil, 110 mer1os difícil es -en muchos casos- establecer si el
accide11te comprobado ha sido la causa real del deceso. En los Estados
Unidos
para e,·itar, en lo posible, complicaciones , se ha buscado para
esta cláusula una redacción que -traducida a nuestro idioma- dice así:
''La doble indem11izaci6n corresponde cuando · la muerte resulta de dañ6
'' corporal que pro,·iene solamente de medios externos, \"Íole11tos y accide 11 _
'' tales, cori exclztsión de toda otra causa, y siemp1·e <1ue la muerte ocurra
'' de11tro de los no\"e11ta días <le haberse sufrido el daño''.
1
)'>8.
E i 1:-t ..\.r~enti11a se cobra ha~itua 1 me11te por este rie.~go u11a extra
prima fija del 11no y niedio por
mil del capi tal asegurado, sin
Ta~3S <le n1urtalidad <·orrespondientes a
tomar en ct1e11 ta la edad. Pero
n1t1<>rtes acciue11tales en lo., l~~t~dos t: nidos
Por mil
el riesgo, en ger1eral, crece co11
ella.
,:.,; )
- - - --- -- - -- ___ __
,,
'
1
1
1-
1 I~ DAI >
17
22
27
32
37
1
10 compai1í.ts
aseguradoras,
1H26-:l:i
Oficina del Cens:.J.
Pot»b1f'ión hJ::tu ca.
.\n1hos sf'.'xn~ .
19:.?fi-3~
0,827
0,697
0,473
0,7U-!
1,05:)
1,069
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'2 ,311
2 ,f )9-1
'
t
t
1
El ''Joint Committee t)Il l\·Iortality'' de los Estados l . . 11id<)~
<lió a pt1 t)licidad, e11 1934, t111
i11teresa11te i11forme sobre lamateria q11e comprendia la experie:iria reunida, desde I 92f i a
1933, de diez de Jas n1á:-; pocler,Jsas compañías de segt1ros de
a'¡uel país ....\.demás, recogía. por ~eparado- datos procede11tes de la Ofici11a del C e11sc> X acio11al, correspondie11t{~~ a l<JS
perÍ<Jclos 1918-25 y l~):.2fi-:12.
P11,l<• e8tablecer a."í ---c11trc·
'>tros -- <'1 1·11a(lr<) i11~crt<) <'ti ('~, .
ta Jlag1r1:t.
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.>.-!0;)
87
8~3(; -1
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tarn hiér1, <li <·h'> i 11f(>rJn( ·
la.-; pri1nr1.~ plttas 11c~t·esari~ts para <·ttl>rir el ric:;.;go d'~ 111t1r.rt<·
[tC·(·icl<>Jttit.l --- (J<>r ' ~:tc1a rnil JJ<\-
~):!
t:J. -IOS
)~.-ti:!
S<>S-.
~j,813
}"lrin1:t8
b:ts:t(l:ts
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-
159 -
experiencia de las compañias, combinada con la tabla de mortalidad 'f~4 ttl:::rican J~'xpericnce'' y la t.a sa del interés del 3 %. El riesgo por aceide11tc..;
se eubre -segú11 se indica e11 cada caso hasta los 60 ó hasta los 6.5 años
de edad.
PRIMAS PCRAS POR :\IIL QlTE ASEGURAN L.\ "DOBI"'I~ INDJ~:\:I~IZ .~CIO~''
Edad
a la
entrada
15
20
25
30
35
40
-!5
50
55
Se cubre el riesgo hasta
los 60 años
Se cubre el riesgo hasta
lós 65 años
Ordinario
vida.
Vida en
20 pagos
Dotal a
20 afios
Ordinario
\?ida
Vida en
20 pagos
Dotal a
:.?O años
0,662
0,624
0,610
0,653
0,724
0,810
0,909
1,011
0,906
0,833
0,824
0,827
0,810
0,909
0,688
0,657
0,653
0,706
0,788
0,887
1,001
1,084 .
0,993
0,939
0,953
0,984
1,004
1,046
1,046
0,630
0,539
0,502
0,551
0,663
0,810
0,909
1,046
1,151
1,001
1,151
1,159
1, 159
1,159
1,292
1,292
0,630
0,539
0,502
0,551
0,663
0,810
1,001
1,151
1,292
E11tre nosotros prevalece la costumbre de 110 garantizar el pago de la
dol)le ir1dem11izació11 más allá de los sesenta años de edad.
111
LA
I~VALIDEZ
He ahí otro riesgo que, sin suficie11te estudi<>, f ué agr(\gado a los
xe~11r<>:-: sobre la vida para hacerlos más atractivos.
~1ás adela11te se dan ltnas breves nociones de cómo se calcultt11 la.~ primas
<l<~ l<>S seguro:-> de i11\rali<.lez. Aqui se admite que se posee11 y9, esas prim~t='.
llay <1t1e ver cómo se las ha introducido en los seguros sobre la ,,. i<la.
X <)te~<\ , a11te to do, (}lt(\ el riesgo de invalidc·z es llno dP los más difíciles
<lt~ l~st imar co11 todo rigor.
Y <~ll <> 11<> por razo11es técnicas. La técnica -ya se verá e11 ~ti lugarsal\·<) t1arc mucho lc)s e8C<lll<>S (}lit~ se le ofrecía11. I~a razó11 es otra: la dific11lta<i de apreciar dt~l)idamente cuá11do una perso11a es o no iriválida.
J>ara m11rho8. t111 i11\·álido es t1r1 hombre estropea.do, arrastrá11<loHE.) sobre
las mittl<ls, co11 la cara. hecha una máscara a f t1erza <le •: icatric~s... Pt~r<>
269.
-160~icamente un inválido no es eso. Es, sencillamente, un hombre cuya
capacidad de trabajo y por lo tanto de subsistir por sus propios medios _
se ha reducido hasta cierto nivel. Pise nivel se fija siguiendo la orientación
marc~a por el seguro social alemán
en la tercera parte· de su primitivo
salario.
B70. La cláusula de invalidez no contemplaba -al principio más
que la exención del, pago de primas. Más tarde se convino en el pago anticipado de la s11ma asegurada en cierto núniero de cuotas anuales. Si el
asegurado llegaba a fallecer antes de haberse completado el pago de dicha
suma, sus beneficiarios recibían la diferencia.
La competencia estimuló la liberalidad de las compañías norteamericanas
y, pocd después, se empezó a pagar una renta anual del 10 % del capital
asegurado, a contar desde el primer aniversario de la póliza subsiguiente
a la invalidación, y sin disminuir, por ello, el capital pagadero a la muerte.
Al cabo la renta se hizo mensual e igual al 1 % del capital -12 % al año .
La invalidez debfa ser toúzl y permanente. La primera condición era hasta
cierto punto fácil de comprobar: la segunda, no. Por ello algunas compar
ñfas empezaron a pagar las rentas a los noventa <lías de comprobada la
invalidez. Cuando aun era muy arriesgado hacerlo.
S71. Estas sucesivas liberalidades dieron por resultado que la cláusula
de invalidez produjera enormes pérdidas. Consecuencia de ellas fué una
seria investigación emprendida por varias compañías. Púsose, entonces, de
manifiesto que las sobreprimas percibidas eran completamente inadecuadas.
I& tasa de invalidez usadas -que teman por base la tabla de HuNTER,
de 1911
eran muy inferiores a las que resultaron de la investigación
practicada en las compañías que no concedían la renúi a los tres meses, y
muchfsimo menores que las que acordaban tal liberalidad.
En el cuadro siguie11te se dan algunos de esos resultados.
TASAS DE INVALIDEZ POR MIJ.,
"
EDAD HUNTER
(1911)
25
35
45
O,á3
0,64
1,15
55
~,75
Sin la cláusula de
los 90 días
Con la cláusula
de los 90 días
Afloa de póliza
4". 5° y 6°
.
solamente
2o, 30 y 40
aftoa de póliza
1,47
1,47
1,92
3,63
1,69
1,80
2,31
3,91
4,12
4,21
5,78
10,57
6° afio
161 Fu~ preciso hacer u11a revisión completa de las tarifas. Algunas compañías
suprimieron del todo la cláusula de invalidez; otras se limitaron a conceder
fa exención del pago de primas; otras, en fin redujeron la renta mensual
del uno al medio por ciento del capital asegurado. Y las que mantuvieron
ta cláusula subieron las tarifas.
De una publicación prof~ional de aquellos días -The Specwtor, Nueva
York, febrero
2 de 1933- tomamos algunas cifras ilustrativas.
.
RJ.:CARGOS PARA RENTA DE INVAI"IDEZ
(~O INCLUYEN L! EXENCIO~ DE PAG) DE PRIMAS)
SEGURO ORDINARIO DE VIDA
(Distinta~ compaftfas)
·
Tarifas reformadá.s; benefieimt
t·: 1) .\l)
·>-O
Tarifa
antigua
30
3,23
3,68
35
4,·25
40
5,02
7,25
50
1
1
1
1
Renta del l 3
mena u al
Renta del
~ 3 mensual
Renta -del Me%mensual, ck•JNi• dt
corrido• 50 me11ea
5.0o
•
.5,82
6,84
8,24
12,92
3,24
3,64
4,18
4,75
7,06
3,11
3,49
3,98
4,62
6,57
,
•
IV
L.~ PAR'i'ICIPACIÓS E~ LAS UTILIDADES
272. Ya se ad\..irtió antes que el cobrar un re.cargo para conceder al
asegurado una participación en los beneficios se justica por el hecho de
que los seguros que no tienen derecho a tal parti~ipación han de costar
necesariamente menos.
La participación en las utilidades naiió en los tiempos. en que
no e3tando aún firmemente ase~'ltadas las bases técnicas de los seguros - las
primas a11uale:-; dejaban ganancias excesiV'as: ··P ara dar a los asegut"d.dos
una adecuada compensación, se imaginó ·el sistema. de distribui..les -en
una o en otra forma- una parte · de las ganancias así logradas. La más
segura f uertte de t!t.les ga11ancias era liL martalidad, pue.:l la realme11te e.xperimentada re.3ultaba muy inferior a la ·previs·ta. Se evitaba, de ese· modo,
tener que rebajar las t~rifas, lo que, pllr aquellos . tiempos, se juzgaba aú11
aventurado y expue.
:
1to
a
un
rie.~go innecesario .
•
•
-162•
Más adela11te, cuando 11uevas tablas <le mortalidad -mejor co11struíd~·. permitieron fijar tarifas más razo11ables, el sisten1a de la participacióii
estaba ya asentado sobre bases firmes y no se podía presci11dir de él. lltlbo
necesidad de establecer ciertos recargos para ma11tenerlo en vigor. C011
tales recargos fonnaron algu11as compañías u11 fondo especial, do11de se
acumulaba11
para ser luego distribuidos, e11 la forma que fuera- 108
dividendos de los asegurad<>s.
Otras compañías siguieron tomando una porción de las ganancias de la
empresa -la mortalidad real sigue siendo habitualmente menor qut~ la
esperada- y for111aron con esa parte el f 011do en cuestión. Y au11 hubo
algt111as que constituyeron ese fondo co11 recursos tomados de ambas fuente~.
273. La fon11a de distribución varia gra11deme11te. Una de las más
comunes, entre nosotros, es la de llevar las st1mas anuales -ya provenga11
de t1tilidades de la sección vida, o estén fom1adas, como es de práctica.,
por el 10 % de las primas de tarifa- a una serie de fondos parciales cada
uno de los cuales agrupa seguros originados en uh mismo ejercicio y cuyo
7Jer[odo de ac·umulaci6n -el término al cabo del cual se distribuyen- es
el mismo. Estos perfodos de acumulac-ión duran, por lo común, cinco, diez,
quince o veinte años. Llegado el momento de la distribución sólo participa11
en e~la los que, en aquel momento, tienen su p&iza en vigor. Estos asegt1rad~
recoge11, así, no sólo el capital y los intereses que directamente contribu_yeron a for111ar, sino, también, una parte de los fondos acumulados por los
que fallecieron o abandonaron sus pólizas en el i11terreg110. Se advierte,
sin esfuerzo, que cuanto mayor sea el período de acumulación elegido ta11to
mayor será el aume11to que, por contribzwiones ajenas, se puede esperar.
Aunque -claro está- es mayor, también, la probabilidad de morir o
tener que abandonar la póliza ant~s del ve11cimiento, perdie11do, a.~í, todos
los pagos he.c hos con destino a ese fondo.
Hay quienes censuran que se otorguen a los sobrevivie11tes fondos aportados por. los c1ue mt1riero11 a11tes. N"o obstante el procedimier1to no es tar1
irajusto como se pretende. Al fin y al cabo, los que murieron prematuramente
cobraron -como capital asegurado ur1a suma s1tperior -a. \"eces mity s1tperior
a la formada con sus primas.
274. Otras veces los aportes -cualquiera que sea su orige11- se desti11an a at1me11tar la suma asegurada. Si se c1uiere dar regularidad a este
at1mento, se puede prever, al calcular la tarifa, un seguro creciente.
Si, por ejemplo, la suma asegurada es 1tno y se qttiere gararitizar como
rlivit1R1ido, 1111 attmento co11sta11te de a -un porcentaje determinado de
la. st1ma i11i:~ial- no hay má..4i c1ue t1tilizar algt111a de las f órmttlas dadas
en el capit11lo XIV.
-
163 ·-
Si se trata de Ull ~eguro de vida entera, la f ór1nula (206) e11 la que
1k::: 1, h = a
se hace
+
(71~
(v.t\) z = - -·
·- l\Iz
.
1
.r+1
Dx
.
Y la prima anual resulta
•
(265)
.
Si el seguro de \rida e11tera ha de ser pagado co11 un número limitado -de
primas -pagos limitados- el creci1nie1i~1 de la suma asegurada -o dividendo, si se .prefiere-, cesa al cesat el pago de primas. Se usa, pues, la
fórmula (213), cJn la mn:iificació11 hecha en el ca.so anterior. La prima
anual es, a.sí:
(2f>6)
,
S75. Pueden graduarse eJ~s divide11dos de modo que la sl11na asegt1rada crezca, todos los años, en progresión geométrica. Sea -: el ta..nto por itno
.1 que mide.rese crecimiento: la razó11 de la progresión· es 1 + -:, y los capitales
oeegurados durante el primero, :reg1111do, tercer ... años, so11;
).
l + -: ;
'
+ -r)2, ...
(1
Si se admite que el seguro se paga inmediatamente despt1és de producido
el deceso, la prima única de este seguro, Az, es:
l
•/
. ./
Ax= - [d.cv··' + dz+i {l + -:) v",: + d:r:+2 (l + -r) V
lz
2
+ ... }
11 '
!
:. (a)
Introduciendo el factor (l + -r)~ y pasa11do la al primer miembro,
l:.c1\z (1 + -r)
112
~ <lz ,,' (l + ~)'/!
12
+ dz+l v'lt (1 + 't) +
+ dz+2 v'/i (l + 't) / :! + · •.
112
1
Poniend<>, ahora,
1
1 + 't
V (1 + 'r) - - - - - - - = v
l + i'
i
}+
<¡uctla
/ rA .r (,) + ':') 1· ..• = <I
+ Jz+ V /-: + (l z+2 V + · • •
J ,
I
Vl . ·•
C·
1
\ I
I
!
Introduciendo el factor vr. y haciendo
C' z + C' z+1 + ... = M' ~
sulta
D' zA z (1 + 't)~ = C' z + C' z+l + ... = ºM'
1
•
%
M'z
Az = - - - - ·
(1 + i-)~
D' z
••
(267)
Todo se reduce, pues, a calcular las conmutaciones requeridas a la tasa i'·
Y la prima anual es
P -·. . =
A i:
-·
(268)
.\dviértase, de paso, que el seguro sólo es comercialmente viable cuando
t!ene -r < i. Si llega a ser. i- = i, el corchete (a) se hace
V~ (dz
+ dz+l + ... } = V~ lz
~· la prima única. es v~. Valor casi igual a la s11ma principal asegurad~·
•
.
..
rt6. Tanto en este caso como en el anterior
seguro creciente en
1gresión aritmética se puede transfonnar el a11mento de capital en ·un
idendo anual en efectivo.
~ dividendo e~, simplemente, la prima única que asegura
er1 cada
• el a11mento de capi~l correlativo.
;¡ estos aumentos forman la sucesión a, b, ... k, ... , cuando vaJ1 cOlos 1, 2, . . . t . .. , años, los respectivos dividendos anuales en efec() son:
. . . k Az+t,
{ basta que sean a = b = ... = k = . . . , para tener dividendos siempre
cien tes. por ser
Ar+l < Az+2 < ... < Az+t < · ..
~or
supuesto, la distribución de esos dividendos pt1ede hacerse cada
l, . . . t año~, si se desea, con sólo dejarlos acumt1lar con sus intereses.
¡uieren, así, mayor voltlDlen y, por ende, mayor atractivo.
CAPITULO VIGÉSIMO
REEMBOLSO DE PRIMAS
1
COMO SURGE EL PROBLEMA
S77. Hay cierta clase de seguros
y de ellos se han visto algun~­
que pueden llegar a su té~11ino natural sin que el asegurador haya tenido
que hacer desembolso alguno. Asi los capitales, las rentas y los seguros
diferidos~ cuando el asegurado fallece arites del término prefijado: los s·eguros temporarios, cuando la muerte tiene lugar, después de dicho plazo.
Puede haber, entonces, por parte del asegurado, interés en hacer incluir
en el contrato una cláusula que le asegure la devolución de las primas en
su totalidad o en parte- si el objeto principal del seguro no se llega a cumplir. Como es lógico, esto encarece el coste, pero ello no es óbice para que
la cláusula apuntada ofrezca cierto atractivo.
Naturalmente, las primas que se devuelven son· las. de tarifa. Mal podria
la empresa aseguradora pactar la devoluci<)n de las primas puras, sin hacer
conocer, a la vez, al asegt1rado cual es el rwecio de costo del seguro. Cosa
que, evidentemente, no entra en sus propósitos.
JI
,
PRIMAS UNICAS
278.
Si el seg11ro ha .sido <~oncertado a prim.a única el problema es
Himple por dem~"- Se trata, er1 suma, de incluir en la prima de t,arifa ltll
seguro temporario por una Rtima igual a esa. prima de tarifa.
Sea A l:t prima pura del scgltf<) principal -<~l <¡ue sea-; dA' la prima
de tarifa, que inclu:t1c la <levol1tc-ió1i, el i11di ce <Í <1uier<1 clecir eso= devolllci<)rt- ; a y ~ los ruefi ,.¡,~! i t.(l~ para gast.o~ <l{~ a<lq·u1.sic1:ór~. y !Jf'."!tiórt ~ re8pec-
·-- J 66
---
ti ,·amente, proporcio11ales a la prima; e }' k, los coefi cie11 tes 1>ara e~o~ n1i~nlos
ga.'ltos, que son proporcio11ales al capital; :' ".-\. r = A! :;¡ la prima ú11ica deJ
seguro temporario unitario. ~,. .f Ja f racció11 de la prima que se deVt1elve
-por lo tanto .f ~ 1. Es, ah<Jra,
dA' == A + (<X + ~) . d..-\' + r, + le +.f. d.\'. A! :-;;1
A +e +k
•
••
(269)
111
PRIMAS ANl"ALES
Si la prima que se paga es a11ual e igual a dP', el seguro que gara11tiza la devolución es creciente y por u11 importe igual a u1la, dos, ... en~
prima.;;, según el fallecimiento ocurra el primero, el segu11do . .. el <'ttés'.mc>
año. 'fiene, así. esta devolución tltl \"alor actual (212) de:
279.
·
Ii - R + -
z . ,, 1
l.) z
dp' (IA) 1 . --;- = dP' •
r
r
n.
•
1iM
z
+
"
Lo que importa un recargo anual de
.f.
"P' (·¡ A ) r~ : ·;¡
..
ar: ni
do11de .f representa la porció11 de las primas pagadas que se devt1el ve, Y
que puede ser igual a l si se devuelve la totalidad.
Si, ahora, sor1 a ·"P' y e los gastos de adquisición, y ~ • "P' y k los corrierúes
-de administración o gestión- re~ulta~ siendo P la prima pura del seguro
básico,
•
••
p +
+ k:
••
.
''P' = _____a_:_.•._:_-;__
_
\X
(IA)!: "'
l -
~ -
..
az:fti
-
.f.
..
(270)
-
az:nÍ
280. b'jercirios num'.,-ico.4'. I. ¿Cuál es la prima de tarifa a11ual de
t1n capital de S 50.000, diferido por 20 afios, para una persona de 30 aiios
-
167 -
de edad, si la prima se ha de pagar, tambié11, dura11te 20 años, y si, en caso
de morir el asegurado en dicho lapso, sus derecho hahie11tes recibirán la
mitad de las primas pagadas? Tabla de mortalidad H"'; tasa del i11terés -! %
Ga~tos de adquisició11 30 % de la primera prima y 3 % del capital; gastos
de admi11istración 10 % de la prima y ~---:? % del capital.
""O[ ltCiÓll.
8011 :
D~o
102-!3
= 0,370425
20E3o = - - =
276.52
Dao
X30-Xa;J
ªªº . =
. • •u,
•'M'\
--
D:io
501999 - 138501
•)_6_2
_ , t)
= 13,145
1
- - = 0.07607
a 30 : :.!O ·
P = 0,370-123 X 0,07607 = 0,02818
R:io - Itao - 20 ~I:»ú
---: =
( l ..\)..30.. 20,
D 30
.
,
=
=
214704,26 - 82107,28 - 20 X 4916,24
?-6-·)
_, ;)_
= 1,2394
(IA)~o: 201
f · -.-.- - = ~1Xl,2394X0,07607 = 0.04714
ªªº :20.
.
= 0,30 X 0,07607 = 0,022821
..
a30: 201
e
- - = 0,03 X 0,07607 = 0,0022821
ªªº: 20¡
k = 0,005
~ =O, l
0,02818 + 0,0022821 + 0,005
JP' = ~~~--~~~~~~~0,9 - 0,022821 -
0~0471-!
0,0354621
- - - - = 0,04272
0,830039
Es decir, -12, 72 º/ 0<>, o sea $ 2136 por cincue1ita mil.
1
-
168
11. Calcular -con los datos del problema anterior- la prima 1'Ura
·que incluye la devolución.·
&lución. Antes de calcular la prima pura era preciso hallar la de tari,Ja,
puesto que son éstas las que se devuelven.
La prima pura del capital diferido es de 28,18 °/oJ, según se acaba de
oalcular.
La devolución de media pur:a importa 0,04714, si la prima es de uno y
0,04714 X 42,72 = 2,014 cuando la .prima es de 42,72. En total, 30,19 º/oo
o· sea de $ 1509,50 por cincuenta mil pesos de capital a'3egurado.
. El recargo para g&stos de a,Jquisicióri es igual a
42,72 X
0,30
30
= 0,98 + 2,28 = 3,26 por mil
+
d30: 20í
ªao:20i
y el correspondiente a gastos de administración o gestión
42,72 X 0,1 + 5 = 9,27 por mil
Sumando a la prjma pura esos gastos se tiene la de tarifa
-~
ao,19 +-·a,26 + 9,27 = 42,72
CAPITULO VIGtSIMOPRIMERO
RES E R V ·A S MATE M Á T 1 CA 8
RESERVAS PUR...\S
1
LO QUE ES LA
RESER\~ .-\
Se ha visto que, en todo seguro cont.ratado a primas an11a/.e~,
se tiene. e11 el momento inicial 'la· ecttación
281.
A= Pa ·
que expresada en palabras dice ''que el con1promiso del asegurador (~~ igt1al
al del asegurado''.
La ecuación (a) puede, también, po11erse bajo la forma
A-Pa =O
(~)
''En el momento inicial la difere11(·ia entre lt)f-: f~ompronli sos del w-·~11rador y el asegurado es igual a cer<>''.
Pero ese equilibrio entre ambos compron1iso~ S(' rompe ap~11a." empieza
a C!Jrrer el tiempo. .1\l cabo de m años es:
( )')
El por<iué salta a 1a vista. Se ha11 f(}f)rcsenti~<> p<Jr ...\ (m ) )' <i<m)' respecti,·~1rnente, la prima única -del seguro (¡ue sea- ). ~l \·alur actual de la r(~11ta
vitalicia, m años después Clel moment<> i11icial. E8 decir, cuando la e<Ja<l
del ·asegurado
supuesta x, en ese mome11tf> i11i<·ial- es .r + m. Pt~ru.
si t\l seg11ro se c.·011certase ahora. ~erí~t:
'
17C }>ero e11 la gra11 mayoría de los casos
los ú11icos considerados p
.
.
or el
mome11to la prima a11ual. para t1r1 mismo tipo de seguro, crece al cr
ecer
la r1ad, se tie11e:
l)<>r consiguier1te -en \"Írtud de la (8)- es
(e)
''El compromiso del asegt1rador es mayor que el del asegurado''. Esta
<lif .~re11cia, c1ue se simboliza co11 la letra \T
inicial de la expresión inglesa
'' 1" t! tte o.f p~licc'', \"alor de póliza-, es lo que se conoce mis generalmente
co11 el 11omhre de reseri•a. matemática.
(271)
•
Si el seguro ha sido contratado a prima única, el compromiso
(l<' ¡ a.~egt1rado no existe, queda sólo el .del asegt1rador, lue.~t>
232.
(271, a)
II
LA PRIMA NATURAL
Se puede e11carar la formación de las reserva~ desde otro , punto
de \·ista. Supóngase que una persona desea tomar un seguro de iida entera,
e~ decir, ttn seguro que cubra el riesgo de muerte hasta el fin de sus días.
Pero esa persona, en vez de pagar la prima única o la prima anual constante - que se ha determi11ado en su oportunidad - busca otra combir1ació11: re11t1e\~a todos los años su seguro y paga la prima que, de año en
año, , va sie11do 11ecesaria, según su edad. Desde luego esta operación n '. )
dará lugar a reserva~, puesto que el seguro se liquida anualmente. La prima
pura que, e11 u11 año dado -p. ej. cuando la edad del asegurado es xcorresponde abonar, sie11do uno, como hasta aquf, el capital asegurado~
es, ~encillamer1te, vq ~, si el seguro ha de pagarse al fin del ario; v~q ., si -lo
<ttte es más lógico- se paga e11 seguida de producido el fa1lecimiento.
Esta prima -q11e se co11oce con el noml)re de prima natural,- es proporcional a la probabilidad <le 1n 11erte; crece, por Jo tanto, con la edad Y
-l>asta echar una mirada a la tabla de mortalidad para advertirlor10 tarda er1 hacerse prohil>itina. Las empresas que
e11 los primeros tiempr>s- quisiero11 adoptarla huhi<~ro11 de reemplazarla. pronto, por la pr-i"ia
r.01t ..,lant1·.
28tJ.
'
171 --~84.
Pero si la prima 11att1rat r.rP.ce con ]<)S años, la prima constatilt>
h.(a de ser -en los prim~ros años del segt1ro- l~ltperior a ella. 1-..iuego, el
ssegurado paga -dura11te esos primeros .-años·- u11 excederite, sobre.· el
ricsg<l del año, excedente <¡ue está destinado a cubrir -unido a los i11tereses compuestos <1ue \"aya del"enga11do - los <l ~ficit c¡ue, 11ecesariamente,
se producirá11 cuando -corridos los años- la prima co11star1te llegue a
ser i1iferior a la 11atural.
Es preciso, pues, reservar y capitalizar esos excedentes. Y ahí queda,
8 la vez explicada la finalidad de las reservas, y por qué se las llama ·así,
e11 lugar de darles el nombre más exacto y lógico de ''t•alores de póliza''
con el ct1al las desig11an los actt1arios ingleses. Lo c1ue se ha ido acumulando
co11 esos excedentes, es en realidad lo que tJale u11a póliza -o mejor aún
t111 ronj1lnto de pólizas- en un momento dado. En cambio, la palabra
reserva sugiere al JiO i11teriorizado e11 la ct1esti<)11 -la i11mei1sa mayoría
de l~ts ge11t.eti- la idea de un so'#Jra1ite puesto apart.e para c·tthrir co-1it1~nge11,cias imprev1~stas- que puede11 o no orurrir. l\fie11tras que las reservas 1natP.máticas son -como se acaba de ver- sumas anticipadas 'J>OT los aseg?.tra.do.~
para cubrir rie~gos frtlttros. Es decir, t1r1 pasi110 del asegltrador.
•
III
RESERVAS NEGATIVAS
~8ij.
Se ha llegado a esa conclusión partiendo del seguro de vida entera. Pero ;.no habrá otros tipos de seguro en que las reservas puedan representar, en lln momento dado, un activo para el asegurador?
8í los hay; el más ro11ocido de todos es el seguro a prima constar1te y a
capital decrecier1te. El qt1c cubre, p. ej.~ el saldo de una deuda que se amort.iza ~11 cuot&-'i p<~ri<)di <·~": v. gr. una hipoteca. Pero los aseguradores toman
R11s medidas para e\·itar que se produzcan, las que, e11 el tecnicismo profeRÍ<•nal,. se llamar1 reservas n.egativas: reservas que representan, no un pasivo
.&Íllo .un actiw par.a el .asegurador; eR que los -0ompromisos de éste. son inferiores a los del asegurado. Y la ra~ón es. obvia. El asegurador tie11e que cumplir ~'U contrato l1asta el fin, en ta~to que el asegurado puede romperlo con
Rólo dejar de pagar la prima. Luego, el activo que pudiera representar una
'feserva negativa, una deuda que el asegurado fuera dueño de pagar o no segúri
lo estim,a.sP co·nvenie7tll~ , serfa un activo eventual, que no podria ser tomado
er1 <'UP11ta Jl<>r la emprt>sa asegura.d<>ra. Por ello -- ya se ha dicho- las
en1presas <)vitan e!Sas res<~r\·as. f~11 el ejempl<> da<l<> - segurc> del. saldo df•
\1118. r~nta_._ se r>tJedCl eHtipular <]Uf~ fa,.') prim~~ 8~ ll&garár1 <lttra11tr llfl fi(l-
-
172 -
mero de años menor que el que tarda en extinguirse la deuda - dos terceras partes de ese tiempo por lo común. O se puede cobrar, en el acto
una porción determinada de la prima única, fraccionando en ct1otas el resto:
IV
EL MÉTODO DE PREVISIÓ:S
886. Para calcular las reservas se usan distintos métodos. El más
común es el que surge de la definición, y toma en cuenta los compromisos
.futuros del .asegurad")r y el Megurado. Método que, por ello se llama ''de
previsi,ón' o ''de expectativa''. Prospecti:vo, dicen algunos con desmedro del
castellano.
Como se ha visto, basta detem1inar en el momento dado los valores
actuales de los compromisos futt1ros del asegurador y el asegurado y hallar
la diferencia.
Para un seguro de vida entera tomado a la edad x y pagadero mediante
primas que ha11 de dt1rar roda la vida el llamado seguro ordinario de vidala rescr\"& matemática,
al
cabo
de
m
años,
es
.
•
mV z
= A z+"' -
(272)
P ziiz+ ui
Expresión que no es sino la (271) particularizada. Si ese miSino seguro
fuese pagadero mediante un número dado, n, de prima.e;; --¡>agos limitadosla reserva al cabo de m años es, supuesto m < n,
m
V z = A%+ na -
,.P zii, z+ •: ra-nal
(273)
Si se tiene m ~ n, la reser\"a fi<>ma la forma de la (271, a)
(274)
puesto que _el asegura!lo 110 tier1e )·a 11ingún compromiso pendiente y la
reserva se reduce -como cr1 el cas(l de la:s primas únicas- al solo rÁ)m....
promiso del asr.g1lrador.
!87. En el seguro ordinario de vida ~. <~n el dotal o mixt{> - CU)'a.4i características, ya se vió en stt oportunidad, presentar1 ciertas analogfas-- se
puede poner la (271) bajo t111a f<>rma ~<'>moda para el <~:iJ<·ulo.
E11 efecto,
l
J.> = --- ·- - ti
.l
(l ~
-173 Luego,
"'V z = Az+wt - P zflz+"' =
= p z+"' az+m "'V z = (P :i:+"'
p z d.z+m
•
••
Pz)·a,.+ .. =
(275)
#:;
-
1
1
d- .. +d az+"'
az
tiz+M
••
•
••
..
az+m
,.Vz=l---
188.
T..10
(276)
mismo ocurre en el 8eguro mixto,
(277)
•
••
(277, a)
(278)
Las fórmulas (275) y (277) lo mismo que las (276) y (278) muestran que, en el seguro ordinario de vida )" en el mixto, las reservas son
siempre poS'itivas y crecen con la antigüedad.
En efecto, como las primas anuales crecen, en tino y '>tro seguro al crecer
la edad, se tiene
289.
p z+m : " __:_"'~ > p x : MI
y
diferencia que aumenta al aumentar "1 .
Son, asimismo,
..
az+m
-
· - <1
y
..
(l x
+ m : ri - -mi
<1
porque e) \·alor actual de la renta <li:-;n1int1ye al aumentar la edad.
Y adviértase <¡ue - tanto en ur10 conl (> en otr<> caso --- al tratarse del seguro
rnixto, las desigualdades se acentúan p<>rf¡t1c, además <le aumentar la edad
se acorta el plazo.
-- 174 Son, pltes,
..
(t
,,.Vx=l -
..
z+,..
•
\
>0
ii z
"' , z :;-,
=
1
I '
-
, ...,, ., ,,. ; > o
- - ·-
---
ar :-;j
"'
r
'
-
r : n~
290. . El cuadro que sigue da -para un seguro mixto a 10 añ~, y ell
base a la tabla de mortalidad Hm y a la tasa de i11terés del -l %-, la marcha
progresi'"ª de las reser\"as. Edad del asegurado, 35 años
"'\r35: íi). = 1 -
d35: iOi =
1
d35+m: 10-ml X-.-.- U35 : t~¡
1
- - - - = 0,12323
8,115;
d35: iOj
-. -
-
.\CUMtTLACIÓN DE L.\S RESERV.\S
<:!)
( 1)
(4)
f3)
••
ªas+ m : 1o-m;
••
m
ªa:>+m : 10- ,,.¡
..
mVa.;: i01 =
a3.5 : lO!
= 1-
= O, 12323 X (2)
o
l
·2
3
4
•
8, 115
7,464
6,782
fi,06U
;3,322
.,
;)
4,~338
t)
3,717
2,85t)
7
.
l,~);)l
1,ooon
o,ooon
0,9198
0,8357
O,i479
0,6558
0,5592
0,4580
0,0802
0,1643
0,2521
0,3442
0,4408
0,5420
0,6481
0,759t)
0,8768
0,351~)
1
l ,OGO
0,2401
o, 1232
10 .
O,OOJ
O,OJOJ
8
!j
!
'
(3)
.
1
1,0000
F~11 el segt1ro ordi11ario de ,,id~ 11t111ca se llega -e11 realidad-a tener u11a reser\~a igt1al a uno. Y la ra~<)11 es m11y ser1cilla. El año en qtie
muere el 'lUtimo sobre\"Í\'ier1te es
en la tabla H"'- el 101. Como.se admifr
<¡ue el pago del capital asegurado se hace a fin de año -lo <1t1e equivale
a correr, a f'frctos <lel segttro, l1asta ese momento la hora del f allecimier1t<r
sólo t~ntoncrs }1ará falta PI (~apital 11no. Pero, al fir1 de t~~e año ya se ha :·Xti11~t1id<> 1tatt1ralm<~r1t<' la <>peración. Y ur1 año ar1tes -al prir1cipi<> tfcl
291.
--
1 -f;) -
año-- sól(> se r1e<·esita el l'alor act11a.l de t111 pest> <le!"(·<)tttatll> P'>r t111 :.i11<J,
mer1os la prin1a ~obrada e11 ese i11sta11te.
Sea la eda(I i11icial de -10 años, )", ronsér,·e11se las bases <le cál<·t1lo a11teriores. Se tier1c -para la última reser\"a a call~t1lar- la correspo11die11te
a lo!--! 101 años, ~" sie11do ..-\1\11 = 0,96154; P,.o = 0,02351, ~" titot = 1,
61\.40
= ..\101 -
P,o!Z101
= 0,9tll5!- 0,02351 X l = 0,93803
usa11tlo la (27n)~ como a11tes, se tie11e:
1
ª•o = lfi, 13()
= 0,0í)l!ti:l
ª'º
v, toma11d•J m = 20, 40, 60, 61
..
'
rest1lta11:
- 10,448
..
aso - 4,568
= 1
10,4-18 X 0,061973 ·= 0,3525
•oV•o = 1
4,568 X 0,061973 = 0,716!}
1,240
10V,o = 1
1,240 X 0,061973 = 0,9232
ª60
..
U100
••
a101
=
= 1
20V40
61v..~
= 1 - 0,061973 = 0,938027
V
,
METODO ItETilOSPECTIVO
292. l1 ara el cál(~ulo de las reservas suele usarse, tambié11, el llamado
mét.odo retrospec:ii•o. Como su nombre lo indica, se basa, no en la consideraci<'>11 <ic los compromisos futuros, sino e11 la de los hechos ya cumplidos.
J..,a reser\"a, segú11 esto, es igual a la difere11cia entre lo cobrado y lo paga<l<J p<>r el a.~egt1radc>r-toma11do e11 ct1e11ta los i11tereses deve11gados por
ur1a y <>tra parte.
H< a t1r1 ~-e~uro ordi11ario de vida t.011iado si1nttltáneame11te por l r perso11a~,
)º calcúlese la reserva indiuid1lal, el año emésimo. Se admite c1t1e la mort!\li<lacl r< al r.oinci<le con la de la tabla usada.
.:\l fi11 clel año m qt1eda11, por lo tant<J, lz+,,, ~"egurados (~Jl vida. Para
cwla t1r1c> ele ellos la compañía asegt1rad<>ra dehc hal)<lr formado u11a reser\·a
d~ '"V z· E11 total, l z+m • m z· Esa reser,rtt glol>al es la difere11<~ia ~11tre I<)~
C<>l)r<>s y los pagos a c¡ue ar1tcs se aludió.
f ,()8 C!Ol>r<)S - t('llÍClldO ell CllCflta 1<>8 Ílttt~l'(~SCS }1a."'t.a e( ffiOffil ll t<> en t}llC
~·~ t·alt~t1la l:t r<ls(~r,·a- S<>rl:
1
1
'r
1
1
l' r
prima..g <l<\ p r cacJ:t llltn., c·apit~tlizada.~ a la ta.c;;a i <lttrante ·rr1
afi(>S -por< ¡ue la.~ primas f'~ p~i.g<1.r1 por :tcl~lar1 t.adc>-- <•s <le(·i r :
f'x· l.c (1 + i)m.
lllll):
I
L
··- 176 ---·
~\) año:
l z+ l primas (Je /> capitalizadas durante m -- 1 añn'i -un
año menos - , <> Se~L, p r • l z+-1 ( l + i)"' 1
• •
•
•
.Z:•
•
•
• •
•
•
•
• •
•
•
•
l~'niésim? a1ia: lz+m-t prima..; de Pz,
/~ .r • f z + m - -! { l
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
• •
capitaliza1as durar1te tln sólo año.
I
+ i) .
I~os pagos -admitier1du que se hacen al fin
del año del deceso
son:
ter año: U11a suma igual a dz -uno por cada fallecimiento ocurrido
capitalizada por m 1 años, desde que se ha admitido que los
seguros se pagan a fin de año, es decir dz (1 + i)"' - 1
2·' a·1io: Una suma de d:r+1 capitalizada por s<)lo m d: + 1 ( l + i) "t 2
..
..
..
..
..
..
. .
..
.-
..
2 años, o sea,
..
• •
• •
b'm ~simo a1io: l~11a suma de dz+m.--1, ~~in 'intereses, pue~ se f>aga al .fin
del últimc> año co11si(lt.~rado.
<-ltteda. entonce~,
f z + m • m \ r = P r • / z ( l + i) m
p
+ P r • l z + 1 + i) m- -- + . . . +
1 (
l
+ Pr• lr+m- 1 (l + i) -[dz (l + i)m-l + d:r:+l (1 + i)m· -~ +
+ . . . + d r+ m-~ ( 1 + i} + d .z:+ l]
m-
Si se introduce, en amllo~ mieml>ro~, el factor z1 x+"' y se recuerda que
(l · + f)"' = l'-'"; (1 + i)"'-1 = v-m+t .. , st:• tiene
pr+m.f.r~m·m\·"z = P:[lr•l'.c +lr+1•r.r+I
- [d .r • t' r4-l + d r + I • lJ.r+'! +
+ · · · +l:r:+,,.- 1•Vr.J."'.--:J
+ d z +- m- · I • lJ :t + "']
Y. ut~lizan<l<> valores ele co11mutaci<)r1,
r) .e 4- "' • ,,,. \ z = P .r [ D .r + 1·> + 1 + . . + D .r +- "' J
-(C.i: + Cz4-1 + · . + Cz + m- t]
1
- 1
.r
p z(X z - X .r~ m) --·- (!vi .r -
M .r + "')
..
• •
(279)
'"ª
f<)rmt1la (~7U) vale. a.~imi~n10 para ur1 St'guro lll~ \·i<la cr1 ''
pa~os limitacl<>S y para t1n st•guro n1ixt<> a ri añc):-i -- -<'t1ar1<l<> es 1ri < 1i - - ,
29¿1.
cort s<'•lo carnbiar ¡> z, fJri1na <1el seguro or<li r1ario <le vida, f)<Jr "[> z <J l) r. : ;;: '
prima." df' los pag<)S limi ta<l1 >S y <l,~1 mixt,,, respccti va.m<!ntf~ .
-177Fácil es, ahora, comprobar que las fórmulas (272) y (279) son
S94.
equivalentes. En efecto:
Nz-Nz+m
Mz-Mz+m
mVz = Pz·------------- =
Dz+m
Dz+m
-- p z
Nz
Dz+m
Mz
p"' N .. + "'
Dz+m
-+
Dz+m
Mz+m
.Dz+m
Pero,
Nz
Ms
Ns
Pz
•
Ns D.;-.
Dz+•
Mz
Dz+m
-P _,.. Nz+m = -P z ds+"'
D:+m
Mz+m
= Az+m
Dz+m
Reemplazando y simplificando queda
•
Si el seguro es mixto, es la fórmula (277) la que equivale a la (279).
La prima anual es, en este caso,
295.
l\1z - Mz+n + Dz+n
px:n: = ~------~------~
Nz -
Nz +n
Hay que proceder, ahora, de modo que, al descon1poner el segundo miembro de la (279) en cuatro términos, quede, en el primero, P z : -;;¡ multiplicado por una cantidad que anule su denominador. Habrá que sumar y
restar, para ello, en el numerador N z+n· &l tér1nino afectado por P x :-;;j·
Y, el tercer término deberá anularse con el primero, y en el cuarto ha
de quedar la prima única de un dotal tomado a la edad x + m. Ello se
consigue s11mando y restando al actual segur1do término el binomio
- Mx+n + D.x+n, en el numerador. Es, así:
+
Nx+n
;-;;j = p X: ;¡ - - - - - - - - - - - - - Nz-Nz+n-Nz+m
tn,.,.X
Dx+m
Mz -
Mx +n + Dz+n -1\1.r+ m + l\tix+n -
D .r+,
ni
Dx+n
-178-
'T
~" z+n
p _ N z+ m N z+n
P..,....-,.,-------D z+m
z:nt
D z+m
'-T
·" z -
Mz-Mz+n + Dz+n
Dz+..
Mz+•-Mz+n
+ Ds+n
----------------------+--------------------Ds+m
Como
+
Dz+n
pz ::;¡------ = - - - - - - - - - - •
Nz-Na:+n
Ma:-Ma:+n
Dz+m
Ns
Ns+•
= -------------------·
'
Da:+•
Ma:+na-Mz+n
+ Ds+11 = Az+•: n-•I;
_____
D______
z+m
N z+m - N s+n
-Pz:-;¡------- = -Pz:Aiªz+•:n mi
Dz+"'
Queda, en fin, la (277)
VI
MÉTODO DE FOURET O DE RECURRENCIA.
Un actuario francés -GEORGES FouaET- ha ideado un procedimiento para calcular la reserva de un año en funció11 de la del año anterior.
Tiene este método -como todos los de recurrencia
el inconveniente
~e arrastrar los errores inevitables e11 estos cálculos. Pero es útil para com·
probar reservas computadas por otros métodos o para establecer las de
•
ciertas formas de seguro cuyas primas requieran un cálculo demasiado
laborioso.
Se llega a la fór111ula de FouRET razonai1do asf.
Al principio del año emés-imo el a.~egurador tiene en su poder, para cada
1, es decir, V(m-1)· Cobra, entonces, la prima, P;
&5egurado, la reserva m
tie11e, pues, en total Vcm-1) + P, por asegztrado, y, para los lz+m-1 que,
teóricamente, qt1eda11 e11 vida de los l z del grupo inicial,
296.
l :r+ m-1 (V ( m-1)
+ P)
-179que, al final del año
importan
tomando e11 cuenta los intereses devengados-
l:r:+m-l (Vcm-1) + P) (1 + i)
Con esta suma debe abonar los seguros de las dx+m-1 muertes que se
producen en el año supuesto que se _pagan a fin de año , y constituir
la reserva final, V(m), para cada uno de los lz+m asegurados que sobreviven entonces. En conjunto: d:+m i + l:+m • Vcm>· Es, asf,
•
••
V ( m) = l.,+ m-1 (V( m 1) + P) ( 1 + i)
lz+m
d s+ 111-l
(
80)
2
O, introduciendo en el numerador y denominador el factor vz+•,
D.z+m 1 {V{m-1) + P) -Cz+m- 1
V(m) =
(281)
Dz+m
Dividiendo n11merador y denominador, en la (280), por lz+m 1.
_ [V(m 1) + P] {l + i)
V(•) -
qz+m-·J
(282)
Pz+m 1
= [(V(m-1) + P) .(1 + i)
qz+m-1] p;-~,,, t
(282, a)
Para m = 1, se tiene V<m-1) = Vo = O, según antes se vió.
Independientemente de FotTRET, el norteamericano ELIZUR WRIGHT
llegó, por otro camino, a un resultado análogo. Separando en la (281)
los dos términos del segundo miembro y haciendo
Dz+m-1
D x+"'
=
Uz+m-1
y
·dz+m-1
lx+m
-
= kz+m 1
queda
(281, ~)
Es la fórmula de FACKLER, transformación de la primitiva de WRIGHT.
VII
PRIMA DE RIESGO Y PRIMA DE AHORRO
297. Sea la ecuació11 que sirvió de punto de partida para la fórmula
de FotJRET
•
•
•
lz+ m ·- 1 (V(m- l ) + P) (1 + i) = d x+ m-1 + l:r+ m • V(m)
0
-180-
---+
lz+m-1
lz+m
V
V(m) -l%+m--1
V (•-1) =
=V qz+m-1 +V (l
qs+m-1) V(m)
V(m-1) =
V(m)) + V V(m)
Vcn-1)
P
= V ds+m
= V q.+"'
1
l
(1
Se ha descompuesto, asf, la prima en dos partes:
<•>II'. = u q.+.- i (1
(•)II'' • = V Vcm>
Ve,,.>)
Vcm-1)
(283)
(284)
que se llaman, respectivamente, prima de riesgo y ¡rrima de ahorro, porque
la primera está afectada al riesgo de muerte del año, en tanto que la segunda
se destina a incrementar la reserva.
S98. Un razonamiento directo permite reencontrar a.robas primas.
La suma a.~egurada es uno. Si el seguro se paga como se ha admitido
siempre hasta aqui- a fin de . año, la reserva acumulada es V<m>· Luego,
el desembolso complementario del asegurador en cada operación aislada
-capital, de riesgo es 1 Vcm>, que, a principio de año, vale v (1- Ve•>>·
La esperanza matemática de dicho desembolso teniendo en cuenta la
probabilidad q •+m i de muerte- es, pues, la prima de riesgo
(283)
La reserva necesaria, a fin de año, es V(m): su valor actual, al comienzo
del mismo, es, por lo tanto, v Vcm>· Y, como el asegurador tiene ya en su
poder la reserva del año precedente, Vcm-1), necesita tomar de la prima,
para completar aquel valor actual, · la diferencia:
(284)
Es la prima de ahorro.
S99. La suma de las primas de ahorro -con sus intereses acumulados-~
da, al fin de un año cualquiera, la correspondier1tc reserva.
En efecto, sea ,II~ la prima de ahorro de un año dado, t < m. Al fin
del año m, esta prima -cobrada al principio del año t- ha ganado intet + 1 años.
reses durante m
Vale, pues, entonces,
,II~' (1
+ i)"' + = [v Ve,>
1
1
Vce--1>] (1 + i)"' '+ 1 =
= V(t) {l + i)m-t - Vci-t) (1 + i)'"
t+t
Dando a t todos los valores enteros e11tre 1 y m, RP tiene el monw, al fin
del año m, de wdas las prim~" de ahorro, con 8UR i11tereses acumulados.
-181-
y su s11ma da la reserva Vcm>·
t= m
V(m)
~
=
t
=1
cll~' (1
+ i)m-t+l =
[V(c) (1
+ i)m t
t= m
~
=
t
=
=1
Vce-1) (1 + i)"' 1+1] =
Vc1> (1 + i)"' 1 Veo> (1 + i)"' +
+ Vc2> (1 + i)"' 2 Vc1> (1 + i)m-· 1 +
+ Vc3> (1 + i)"' 3 - Vc2> (1 + i)"' ' +
+ . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +
+ Ve•> (1 + i)º V<m-1> (1 + i)
•••
Vcm> = '\7 \m)
desde que se anulan todos los términos del s11matorio, dos a dos, excepto
el segundo, Vo (1 + i)m = O, y el penúltimo Vcm) (1 + i)º = Vcm>·
VIII
RESERVAS DE BALANCE
SOO. Las reservas consideradas hasta aquí son las llamadas finales, o
de aniversario porque se calculan en el aniversario de cada póliza.
Pero la cartera de una compañía de seguros tiene pólizas hechas wdos
los días del año. Luego, al llegar la época del balance no basta calcular las
reservas finales porque sólo una mínima parte de las pólizas tendrían reserva de aniversario exacta.
Es preciso deter1ninar la reserva de una póliza en un momenw cualquiera,
y se usa para ello
como en otras ocasio11es t1n método de aproximación.
Al principio del año m, cobrada ya la prima, la reserva en manos del
asegurador es:
Vcm-t) + P
. Al fin del mismo año la reserva será V(m)· Luego, durante el año, el
•
incremento es:
V ( m) (V(m-1) + P)
cantidad que será positiva ó negativa según se tenga
o
V(m)
< V(m-1) + P
Pero el signo de la diferencia no tic11e, por el momcr1to, mayor importancia.
-182 .
Interpolando linealmente, se tiene, en un tiempo p/k, el incremento
p
k (Ve ...>
(Vcm-1) + P)]
S11mada algebraicamente esta cantidad a la que el asegurador tema en
su poder al principiar el año da el valor de la re.s erva en ese momento
.
p
Vcm-1+,,/k) = (Vcm-1) + P) + k CVcm>
CVc"' t) + P)] =
(285)
Es· decir, una fracción de ·la reserva final igual al tiempo corrido, más
una fracción de la reserva inicial incluso la prima cobrada, igual al tiempo
por correr.
En vez de calcular, por este procedimiento, la reserva de cada
11na de las pólizas que forman su cartera, las compañias aseguradoras admiten que no se comete un error sensible al asignar a todas ellas 11na misma
fecha de vencimiento, precisa.mente, al promediar el ejercicio. Se tiene así,
p/k .= 1 p/k = 72. Y la (285) se hace
801.
{286)
Ejempl,o numérico. Sea un seguro ordinario de vida tomado a los
30 años de edad, y calcúlese la reserva al cabo de 12 años y 3 meses, siendo
-según la tabla de mortalidad H"' y la tasa de interés · del 4 %-, por
cada mil pesos
802.
Vc12> = 137,41;
Soluci6n.
Vc1a) = 151,03;
p = ·16,62.
Como p/k = 3/12 = 1/., queda
V12+ 1A = 1/ 4 X 151,03 + 3/ , (137,41 + 16,62) = 153,28.
CAPITULO VIG~Sll\IOSEGUNDO
RESERVAS MATEMÁTICAS
RESERVAS CARGADAS
I
QUÉ SON RESERVAS CARGADAS
803. Las rese1·v88 puras que se acaban de ver- no tornan en cuenta
que el desembolso hecho por la compañia para gastos de adquisición, sobre
ser de relativa importancia, se ha hecho sólo a modo de anticipo y con
cargo de irse reembolsando de él en los años sucesivos. Luego, esas reservas
puras son superiores a las que se obtendrían reemplazando la prima pura P,
a cargo del asegurado, por otra prima P'' que incluyera la porci6n de la
carga que corresponrle a. los gEtstos <le ad.<111isición. Las reservas que toman
en cuenta dicha carga se llaman cargadas.
Si son tales gastos iguales a e resulta
•
••
P'' = P (1 + {))
poniendo
e
e
A
Pa
{} = - -
e= 1' A= 6 Pa
•
••
Si en la (271)
se reemplaza P por P'', se tiene
gada que resulta-:
simbolizando por ''' <m> la reserva car(287)
' ' ' ( m)
= .l\( m)
P'' Ü( m)
'r'(m)
= ..\(m)
P (l
= _¡\ ( m)
p ii l ~l) - p {} a(m)
p \) <l ( m)
\t I ( m) = 'T ( m) -
+ 3)
(l(m)
•
••
(288)
-184Por ser Ac•> = P<m> d(m), la {287) se hace
P'1 ª<"'>
(289)
P''
V'c ..> = Ac•> I - - - •
Pe•>
(290)
V'<•> = [Pcm>
o, también,
-o de 1100 mixto- se tiene:
Si se trata de un seguro ordinario de vida
d(m)
V'c•> = 1 - - - - p aª<•> =
a
= 1
ª<•> - P a a ª<"'> =
dr na)
ll( m)
= 1------c--
a
•
••
a
V'<•> = 1 - (1 + e)
V'<m> = Ve•> - e
•
••
•
{291)
(292)
11
EL MÉTODO DE ZILLMER
La reserva cargada ha resultado menor que la pura. Esa circunstancia ha hecho que la discusión acerca del mejor método de calcular las
reservas se saque del terreno de la técnica para llevarla a otros mucho más
resbaladizos.
Y se ha hablado del peligro que habría en consentir que las compañías
cercenaran las reservas para proporcionarse una muleta que les permitiese
mantenerse en pie aun cuando tuvieran ya una pierna quebrada; del posible derroche en gastos de adquisición y aun de la f abricaci6n de dividendos
ficticios, sin contar con el fantasma aterrador de las posibles reservas negativas.
¿Qué fundamento serio tienen todas es&.'-' a.Jarma."? Es evidente que no
se puede dejar librada a la voluntad de los directorios la forma en que han
de ser calct1ladas las reservas; pero, acas<) se ha exagerado u11 tanto la nota.
304.
-185505. Al ir analizando los peligros que se le atribuyen a este método,
se ha de hacer notar que, el más grave de todos, el que se refiere a las reservas negativas, fué eliminado desde el primer momento, por el primero
que trató la cuestión con un criterio rigurosamente científico, el doctor
AuousTus ZILLMER, en 1863.
El doctor ZILLMER supone que, en lugar de ser iguales Wdas las primas,
la p~era es inferior a las restantes en una suma dada, digamos e, para
conservar la notación adoptada hasta aqui. Luego, si es P la prima que
habrá de pagarse a partir del segundo año, la que corresponde al primero
aerá P e, y se tiene, entonces, tomando como base un seguro de vida
entera:
(293)
A.-= P-c + Pa~
Se usa a:, la renta vencida unitaria para la edad x, porque los pag()9
de las primM
equivalen en la época inicial al
a partir de la segunda
servicio de una renta vencida.
La (293) da:
•
••
(294)
valor de la prima cargada igual al obtenido antes. Pero ZrLLMER prosigue
aún. La reserva del primer año es
Y como esta reserva
como máximo
agrega
no puede·ser menor qu,e cero, se ha de tener
P:+1
P =O
•
••
P = P.-+1.
La prima de ZrLLMER, que ha de servir para calcular las reservas cargadas, no puede ser superior a la prima pura que correspo11de a la edad
inmediata superior.
Como se habrá advertido, las primas y las reservas de ZILLMER se distinguen por la barra horizontal que llevan en la parte superior.
La carga máxima, que, en estas condiciones, puede destinarse a
gastos de adquisición, se desprende de la (294), poniendo e11 ella P z+1 en
vez de P
306.
e
P z+ 1 = P z + -:ll z
•
• •
-186-
e= (Pz+1
P.)ª•=
= p z+l (1 + az) - p z iiz
•••
•••
Reemplazando las cantidades entre paréntesis por sus valores en simbolos
de conmutación resulta:
Mz Nz
e = P .1:+1- --·
Nz Dz
Mz+t
N.+1
-----·
--Nzt-1
Dz
= Pz+1-
Cz
= Pz+1---
D.
Pero
es el valor actual -la prima pura única, si se prefiere
de un Se{/Uro tem-
porar·io por un año para una persona de edad x.
El valor máximo de e es, entonces:
e -- p z+l _plz:ll
(295)
Es decir que, sel!ún este método, la primera prima debe considerarse
con10 correspondie11te a ·u n seguro temporario por un año, de tal modo que
el excedente entre la prima cobrada y la natural del año pueda ser aplicado
íntegramente a cubrir los gastos de adquisición, gastos que, por otra parte,
no deben exceder de dicho margen. El seguro no1·1nal empieza, asf, un año
más tarde y, 11aturalmente, a la edad x + 1 y con la prima correspondiente
a esa edacl. I11útil es decir c.1ue, si el margen dejado para gastos primeros
es i11suficie11te -lo que e11 la práctica ocurre siempre-, la compañía ha
de adela11tar los fo11dos necesarios, para reembolsárselos más adela11te.
307.
El doctor 1.,Ho~11\S BoND SPRAGUE, emine11te actuario inglés,
oct1pár1do8e er1 1870 del n1ismo asunto, lleg<) a conclusiones análogas a las ·
del doctor ZILLMER.
Sus palabra!-.>, en tal ocasió1i, ft1ero11: ''si los gastos para obtener nuevos
'' 11egocios han sido tales c¡ue los siniestros y los gastos han absorbido la
'' totalidad ele las prima.~ <lPl primer año, e11to11ce8 u11 método muy se11cillo
'' de e\·:tlt1acic)11 ~. <¡ttc )'O co11sidero perfectame11te justificado será el de
'' 1·e8er\·a1·, 1>ar't las ¡J<')liz:1:-;, <)11 Pl primer :tiio, la ca11titlad c¡tte baste para
'' ct1brir los risgos ,.,•rric·11tes ~~ 110 \'Clt<·iJo:s y co11si<lerar <1t1e t<>das l~-.; otr~"
-187-
''pólizas ha11 sido efectuadas a la edad inmediata superior''. La reserva es,
entonces
La única diferencia entre el método de ZILLMER y el de SPRAGUE estriba,
en el fondo, en que el primero trata sólo de cubrir el coste de la comisión
primera; en tanto que el segundo entiende que el margen que se le deja
a la compañfa puede ser invertido, no sólo en dicha comisión, sino también
en todos los gastos iniciales inevitables honorarios médicos, sellos, etc. .
Como dicho margen no álcanza, en realidad, para cubrir todos esos gastos
la distinción carece de alcance práctico.
III
CUÁNDO SON ÚTILES LAS RESERVAS CARGADAS
Eliminada la cuestión de las reservas negativas, quedan aún por
discutir las objeciones que se refieren al cercenamiento de las reservas
y a la posible inversión de las sumas así substraídas en excesivos gastos
de adquisición, o en dividendos fabricados indebidamente.
Desde luego, fuerza es reconocer que es la naturaleza misma de l~~ cosas,
y no la voluntad de los directores de las compañías, la que exige que para
cada seguro nuevo se deba invertir en gastos primeros una suma a veces
superior a la misn1a prima. Esto no quita que el directorio, en el deseo
de realizar muchos negocios nuevos, pueda exagerar tales primeros gastos,
peJO, también cabría temer que para atraerse la clientela se rebajasen con
exceso la.s tarifas. No es admisible que el temor de que se abuse de una
cosa sea causa bastante para prohibir su uso: lo que se debe hacer es reglamentarlo. Tan peligroso es prescindir de los gastos de adquisición como
invertir en ellos sumas exageradas.
Desde que es preciso realizar tales gastos, fuerza es proveer a las compañías de los recursos suficientes para hacerles f re11te. Algunas desti11an,
al iniciar sus operaciones, una determi11ada cantidad de su capital a cubrir
las pérdidas eventuales originadas por st1s primeros 11egocios. Forman, así,
un fondo 1nuerto que se resignan, de antemano, a perder co11 la esperanza
de recuperarlo más adelante.
308.
Un actuario alemá11, G. Hoc~K~E1i, que firma C<)n el seud<)11in10
Logophilus, en u11 interesantísimo y hataliador op1íscul<}, ''f~a co11tie11da
sobre el método <le Z11"LMEJt e11 los seguros sobre la \ri<la'' --/)er ·"trcit ül>er
di<~ ZILLM1·;1i.~r,h~ .\lcth.ode ill der LPl>P-rt.."jl'f?t.~iclir~r11nr1 ·- -· <·ita -··-·¡Jágir1n, 70,
Ilota- - <!l <~jt•rrlJ>I<, de tres cr)mpañía~ itl<\111a1i:t"' <Jtl<' . 1•11 J<JS l'<'SJJ<•t•\ i\·u;-; ¿tfi<JS
309.
-188de su fundación 1896, 1898 y 1900, destinaron a t,al efecto, la primera
M. 450.000; la segunda M. 600.000, y la tercera M. 900.000 e11 tres par...
tidas sucesivas de 300.000 cada una. Al principio de 1902, de tales sumas
no quedaba ya nada ni en la primera ni en la segunda compañia. En la o~ra
quedaba aún un peq.u eño resto.
Muestra eso cuán 11ecesario es a las compañfas nuevas poder tomar en
cuenta, aunque sea con restricciones y limitac1ones, los gastos iniciales al
hacer el cálculo de sus reservas. Más aún, se ve a.si que si se pretende obligar
a las compañfas a formar reservas puras en los primeros años de su vida
puede ponérselas en el trance de declararse insolventes, cuando en realidad'
no lo son. Y ocurre, entonces, que por extremar la defensa de los asegurados,
se los perjudica en realidad, pues se impone la liquidación de compañia.a
que están en perfectas condiciones de seguir trabajando. La cuestión, como
se ve, es ardua y espinosa por demás. La exageración en cualquier sentido
puede acarrear funestas consecuencias. La circunstancia de que para las
compañías nuevas -o las que sin serlo están en pleno crecimiento- sea
de vital interés poder calcular reservas algo menores que las puras para
tomar en cuenta, siquiera sea en parte, los gastos de adquisición, es lo que
ha hecho calificar de muleta y de ayuda para cojos el método de ZrLLMER,
u otro cualquiera que se le asemeje.
LoGOPHILus, en el opúsculo ya citado, al rechazar ese calificativo, observa,
con justicia, que los que así se expresan e~tán habituados a no considerar
en el seguro más factores que la mortalidad y el interés. olvidándose de que
no hay cseguro posible si no se tienen en cuenta Jos gastos de adqu,isiC'i6n
y de gestión y las oscilaC'iones imprevistas en las tasas de la mortalidad y
en el tipo del interés. La teoría -dice LoGOPHILUS, aunque no con estas
mismas palabras- es la que cojea si no toma en cuenta elementos sin los
cuales el seguro es prácticamente imposible. Tomándolos t.odos e11 cue11ta,
'
no puede hablarse de cercenamien.to de reservas desde que no se puede
prescindir por completo de los gastos anticipados.
-
Un punto de interés, vinculado con esta cuestión, es el que se
refiere a la propiedad de la reserva. Se cree por lo común, erróneamente;
y algunos juristas no son ajenos a la propagación del error, que la reserva
es propir<larl del ~isegurado. Ahora bien, es preciso sentar de antemano,
y ni1ly e.rprcs:i11iente, ciue u11a reserva, relativa a una sola póliza, es algo que,
de por sí carece técnicamc11te de se11tido, aunque, por comodidad se la t•alcule
así. La reserva global, perteneciente a un grt1po 11umeroso de póliz~ts análogas, sí tiene sentido, per<>~ aun ento11ces, su ''alor no es una ca11tidad
exacta al rerit.avo, ni mucho mer1os; es u11 valor de l'Slimac,ión et1 el cual i11tervicr1er1 faet<>res cu11vc1l.rio1it1les, como la tasa del interés y la tallla de rnorta310.
189 Iidad qt1e representan, no cifras matemáticamente precisas, sino algo que se
aproxima mucho a la realidad. Y para aproximarse a la realidad más y
más, cada vez, se cotejan periódicamente las bases de cálculo adoptadas
con los resultados de la experiencia diaria. Y la reserva de una póliza.aislada
no es más que un promedio del valor de todas las pólizas del mismo grupo.
IV
INFLUENCIA DE LA SELECCIÓN MÉDICA
El examen médico, que sufren los asegurados nuevos, tiene por
resultado hacer que, durante los primeros años, la mortalidad sea, para
cada edad, más- leve que la del conjunto total de asegurados. Si se admite
que los efectos de la selección médica desaparecen al cabo de cinco años,
es claro que la mortalidad de los asegurados que tengan, por lo menos, esa
antigüedad es, a paridad de edades, superior a la de dicho conjunto total
de asegurados. Y a se vió un ejemplo en que el período de selección se fijaba
en tres años.
911.
Y se vió que hay tres clases distintas de tablas de mortalidad: una que
da la mortalidad tomando en cuenta, año por año, la antigüedad del seguro
hasta que se consideran desaparecidos los efectos de la seleccián; otra que
. da la mortalidad de los asegurados que tienen una antigüedad superior al
período dP. sele~ción, y, p0r fin, otrP., qt1e de la mcrta!idad gen~cl ~ de ~on­
junto por edades, sin atender para nada a la antigüedad.
La influencia de la selección sobre las tasas de mortalidad fué
pronto advertida, y el Instituto de los Actuarios de Londres llegó a confeccionar una tabla final, H"' 5, en correspondencia con la de conjunto -H"',
healthy males, hombres sanos de 1869.
Pero la primera tabla selecÚL no fué construida sino algunos años más
tarde, y por el mismo doctor SPRAGUE, ya citado, para quien la cuestión
de las reservas era motivo de constante preocupación.
312.
Teniendo en cuenta las características de cada tabla, buscó una combinación que le per1nitiera formar reservas nulas el primer año, sin que por
eso quedara afectada la suficiencia de las demás. A pesar del merecido
prestigio de que gozaba el doctor SPRAGUE entre sus colegas, su iniciativa
no tuvo éxito.
Pero él no se desanimó, y en el primer Congreso Internacional de Actuarios, c~ebrado en Bruselas en 189.5, presentó, firme siempre en su idea,
una interesante memoria acerca de la cuestió·n. Proponía, e11 st1bstancia, que
la.<;; reser,,as se calcularan c11 base a primas ligeramente cargadas, y --a la
- ·- 190 - -·
<1uc~ h:.ieía 11otar <¡lle s<>11 ~ precisame11tc, pr,inl<ts cargadas y 110 puras
las qt1c (~obra11 la~ compafiías-- determinaba el lí-1nite de la carga desti\'CZ
nada a cubrir los gastos iniciale:s, ,·alié11do::;e del marge11 de utilidad que
deja la mortalidad e11 ]()S primero~ años, y del he11eficio que resulta de
colocar los fo11do~ de las (t,Ompañías de seguros a una tasa de i11terés superior
a la adoptada como base de cálcl1l<>.
Pero el Congeso au11que reconoció el i11terés de la cuestión- no quiso
emitir 11ingú11 voto al respecto, teniendo en vista los peligros que tal actitud
podría e11 trañar.
,,,
•
un
V
MÉTODO DE FERGUSON
313.
Los actuarios norteamericanos y canadienses, que habían tenido
ocasión de palpar los inconvenientes que para las compañías jóvenes presenta el método de las reservas puras, pero a quienes privaba de suficiente
libertad de acción la crisis que en el espacio de diez años de 1868 a 1878hizo desaparecer de la escena a setent,a y una compañías de seguros sobre
la vida, trataro11 de resolver la cuestión con un criterio práctico.
Y nacieron, así, dos métodos distintos en la forma, pero que concordaban e11 su esencia: el ''Select and lJltimate M ethod'' - M étodo de Selección y Final, para seguir empleando las mismas expresiones que hasta.
aquí- de MILES DAwsoN, y el método de FERGUSON.
Uno y otro se proponen lo mismo: utilizar, hasta donde sea posible, el
beneficio de mortalidad que produce la selección, para cubrir los primeros
gastos. 1 puesto que los beneficios de la selección no se extienden más allá
del qui11to año, la amortizació11 de tales primeros gastos debe haber quedado
terminada dentro de dicho plazo.
rT
Aunque el método de FERGUSON es posterior al de DAwso~,.
empezaremos por é]
FE1iavso~ entiende, como el doctor ZILLMElt y el (loctor SPRAGUE, que
no hay inconvenie11te alguno en hacer nula la reserva del primer año.
Para atender a los compromisos de dicho primer año basta, según ya
se ha visto, una prima igual a
314 .
vqz; = P!:Tt
La porción de la prima pura que puede desti11arsc a gastos es, entonces,
P _plz :-1:
%
Esa carga debe quec!~r amortizada er1 cuatro años - del 2° al 5° incl 11-
I
(
l
e'tal
COl
re1
191 ;,,e~ luego, a.l priricipio del primer añ.o, la carga representa para cada
,, de los cuatro años siguientes una st1ma de
unv
Es decir, c1ue la prima cargada durante dichos cuatro años es
p
Pz
P!:Ti
P z - z+ ~~~~~
; . ax
I
_
Y, durante los restantes, la prima es ya la prima pura P z·
Al principio del primer año, todas las primas futuras han de s11mar
Se tiene, entonces:
(prima del primer afio)
= P! :Ti
(valor de las 4: primas siguientes)
+ P z • /4az + P z
P! :Ti+ P z • 4/az
•
••
P Az = P ziiz
La reserva, al fin del año t
siendo t < 5- es:
,,
/
= Az+t-P z• /&-tllz+t-Pz•5-t tiz+t
Si se aplica esa fór1nula a un seguro realizado a los 30 años de
edad, y se adoptan como bases de cálculo la tasa de interés del 3 % y la
tabla de mortalidad ''American Experience'', se obtienen respectivamente
como reservas para los 5 primeros años O; 13,50; 27,16 41,27 y 55,73.
Comparándolas con las reservas puras y formando las respectivas diferencias, queda
315.
A~O
(1 )
Reserva pura
(2)
Reserva cargada
(3 )
(4 )
1
2
;)
55,73
0,00
13,50
2i' 1()
41,27
5.5, 73
10,49
4
10,49
21,31
32,45
43,U2
3
...
1
Diferenria (2)-(3)
7,81
.5,29
2 65
'
(),00
-192Como se ve, la diferencia entre una y otra reserva disminuye gradualmente en una cantidad casi constante.
VI
MÉTODO DE SELECCIÓN Y FINAL
•
Ocupémonos, ahora, del · método de DAWBON. Método que fué
presentado al cuarto Congreso Internacional de Actuarios, celebrado en
Nueva York en 1903, y que fué luego, adoptado como tipo legal de evaluación en varios estados de la Unión.
316.
se bM& el procedimiento en el empleo de las tablas selectas aplicando
los valores correspondientes a los dos términos que sirven para calcular
la l'e9erva. De modo que, representando como es de práctica por [x] la edad
de entrada bajo selección, tenemos, para n < 5
y para n ~5
nV z = Az+n -
P :e d:e+n
Considera su autor que este método pr~utH., entre otras, ias ventajas
•
•
Sigu!entes:
a) Reduce el margen inicial para gastos, con lo que limita el· peligro
del derroc'he en gastos extravagantes.
b)
Cubre dichos gastos iniciaies con el beneficio real de la mortalidad
realizado en los primeros años.
e)
Al final del quinto año las reserva son ya 188 que exige el método
de las reservas puras.
Es decir, permite el desarrollo de las compañías nuevas, pero no consien~ que transpongan los limites que la prudencia aconseja no traspasar.
En el estado de Nueva York se adoptó entonces oficialmente como tabla
fina/, la tabla de la experiencia americana, y, como tabla selecta, la que reiulta de admitir que, durante los cinco primeros años del seguro, las tasas
ie mortalidad son, respectivamente, el 50, el 65, el 75, el 85 y el 95 % de
as que da la misma tabla.
En esas condiciones, se obtienen, para ur1 seguro de 1000 pesos, tomado
-193 -
a los 56 años, al 3 % de interés, las reservas puras y las reservas calculadas
por el nu~vo método que resultan del siguiente cuadro:
A~O
RESERVA A F'IN DE ,\~O
Reserva pura
(1)
1
2
3
4
5
6
Mc<t'Xfo de
Selección y Final
(2)
(2)
29,90
59,94
90,06
120,21
150,33
·180,36
14,41
50,84
Diferencia (2)-(3)
85,87 .
119,13
150,33
180,36
(4)
15,49
9,10
4,19
1,08
0,00
0,00
VII
CONSIDERACIONES FINALES
Se ha pasado revista a los principales métodos sugeridos para
perrnitir que las compañías de seguros cubran con relativa comodidad los
gastos iniciales, distribuyéndolos en un perfodo de tiempo más o menos
. largo" En definitiva, los métodos examinados -y otros de menor importancia que se han dejado de lado se reducen a dos: el que distribuye
los gastos primeros sobre toda la duración del seguro, J.. el que limita el
tiempo durante el cual se cubre11 dichos gastos al número de años en que
se hacen sentir en la mortalidad los beneficios de la selección: cinco por
lo común.
No se ha examinado más que el· seguro de vida entera, pero es evidente
que los razonamientos hechos se aplican por igual a las distintas combinaciones conocidas. Naturalmente, cuanto menor sea el n1ímero de primas
que el asegurado deba pagar, tanto má.s prudente se habrá de ser al determinar el margen para gastos ¡Yrimeros. Y no será ya licito disponer de todo
el excedente de la primera prima.
Tal excedente, por otra parte, no es sino un límite máximo, es decir, una
suma que no se puede superar. Pero de ahí no se deduce que sea forzoso
usarla integramente.
comprendiendo en esta denominación
Se ve, pues, que el zillmerage
genérica, que recuerda el nombre del primero que abordó la cuestión, todo
sistema de calcular reservas distintas de las puras- requiere ser empleado
con mt1cha cautela, pues, si bien es cierto que su proscripción absoluta
entrañaria los peligros señalados, su uso irunoderado resultaría no mer1os
817.
- - 194 ·--
funesto. Por flso en .:\lemania - -donde ha nacido- el artíct1lo 11 de
1
ley de 1901 establecía de un modo imperativo que: "J)eberá indicarseª
'' asimis1110, si para el cálculo de las reservas se emplea u11 método seglí'
"el cual no se C'onstituye, al principio, la reserva entera, indicando el quan~
'' t1lni correspondjente; en tal caso, por lo demás, la base del 12 ~ºloo de
''la swna asegurada no podrá ser superada''.
La cifra es arbitraria y uno se siente tentado a preguntar por qué ha
de ser ése el limite y no otro cualquiera. Par~e ser que los primeros gastos
absorbian, entonces, por término medio, un 25º/oo de la s11ma asegurada,
y se quiso cargar la miwd de ellos sobre los recursos disponioles de la compañía y la otra mitad sobre los futuros ingresos por primas.
E11 otros países -siguiendo el ejemplo de Francia- se aQtoriza el uso
de una prima levemente cargada, a la que se da el nombre de prima de
Ín\rentario.
Entre nosotros, la Superintendencia de Segur0$ ha dispuesto -adoptando normas establecidas ya por ia Inspección de Justicia, y en espera
de una ley, que tarda demasiado que los gastos de adquisición puedan
a.mortizarse dentro del plazo de cinco años, para aprovechar la ganancia
de mortalidad. Tales gastos que se registran en el activo como ''Comino pueden exceder del 80 % de la prima, para los
siones descontadas''
seguros cuyas primas se pagan durante 20 años o más. Si ese plazo es menor,
la comisión cuyo descuento se autoriza se rebaja automáticamente en un
2 Y2 % anual.
•
CAPITULO VIG~SIMOTERCERO
MODIFICACIONES EN LAS PÓLIZAS
1
ORIGEN DEL PROBLEMA
918. Los asegurados celebran sus contratos de seguro con la firme
intención de c11mplirlos íntegramente. Circunstancias imprevistas pueden
obligarles, empero, a hacer abandono total o parcial de ellos. ¿Cómo se
afronta el problema?
Si el abandono tiene lugar antes de haber pagado tres primas, la mayor
parte de las compañías rescinden el contrato sin ·a cordar beneficio alguno al
asegurado. Algunas compañías, con sólo dos primas pagadas, conceden una
parte de la reserva para mantener la póliza en vigor un tiempo más: es
lo que llaman el préstamo autmnático. Pero, lo repetimos, casi todas las
entidades aseguradoras exigen
para reconocer algún derecho al asegurado que deja de pagar las primas que hayan sido íntegramente abonadas
por lo menos tres de ellas. Aun en ese caso la compañía sale perjudicada.
muchas veces, pero no es posible adoptar un criterio exclusivamente técnico.
Hay que contemplar la faz comercial del asunto y amoldarse a los usos de
la plaza.
Por lo demás, las primas constantes ya se ha visto dejan, año tras
afio, un excedente con el cual se va formando la reserva: reserva que es
-con ciertas limitaciones
propiedad de cada asegurado, y
sin res-.
propiedad de la masa de asegurados. No es admisible,
tricción alguna
entonces, que el asegurado cuyos aportes han contribuido a forn1ar la reserva pierda todos sus derechos cuando, por una u otra razón, se ve forzado
a suspender el pago de sus prim~'i. Lo más que su puede hacer es retener
una parte de su reserva para indemnizar a la compañía por los gastos de
adquisición no amortizados
ya se examinó la cuestión al hablar de las
reservas cargadas-, y para mantener la aujiciencia de las reservas que
196 -
quedan aún en poder de la compañía, como propiedad de los asegurados
que sigt1en abonando sus prunas.
Previendo situacio11es de ese orden, las empresas aseguradoras ofrecen
una vez pagadas tres primas, como se ha dicho
distintas opciones
al asegurado que se ve en dificultades.
Son las que figuran en los cuadros que se llaman de ''valores garantizados''. E{ cálculo de esos valores, repitámoslo, ha de ajustarse a normas
técnicas, pero la competencia comercial lleva a veces a las compañías a in•
•
•
•
curr1r en concesiones inconvenientes.
Pueden presentarse, además, situaciones no previstas en los ''cuadros de
valores''. Se verán, más adelante, algunas de ellas. Y se verá que, si bien
no es posible dar fórmulas concretas para resolver mecánicamente cualquier
problema que se presente, cabe, no obstante, fijar normas de carácter
general susceptibles de ser aplicadas e11 todo mome11to.
II
RESCATE
319.
La opción más radical es, tambié11, la me11os conveniente para
todos. Consiste en deS'istir wtalmente del cmtrato: en resca.wr la póli'za,como
se dice en el lenguaje profesio11al.
El rescate de la p9liza cat1sa al asegurador no pocos perjuicios:
a) Da lugar a lo que se co11oce por anti-selección. Los asegurados -se
vió en su lugar- entran al seguro sometidos a examen médico. Se rechaza,
así, a los candidatos cuyo estado de salt1d no es satisfactorio. Pero llegado
el n1oment<) de abandonar una póliza, ¿quienes se deciden a hacerlo? No
son, ciertamente, los e1úermos, que prevén el próximo fin de sus días. Cualquier sacrificio es, en tal situación, aceptable con tal de mantener la póliza
en vigor. Pero los sanos, los fuertes, los que se sienten dueños del provenir
no tienen el menor escrúpulo en renunciar al seguro. Y a tomarán otro
nuevo más adelante, cua11do mejore la situació11. Son, pues, en general
mejores vidas las que se van q1te las que se q1ledan. Es la anti-seleccimi o selección a la inversa, a que antes se aludió.
b) Si los pedidos de rescisión, de rescate, son muy numerosos -como
ocurre co11 frecuc11cia en épocas de crisis- la en1presa aseguradora, cuyos
capitales requieren u11a colocación estable ~l lucra ti \'a, tiene qt1<~ ir descolocándolos: realizá11dolos e11 c·o11diciones, t.al '"ez 011erc)sas. .T tistan1entc, en
las épocas <le criRis a <}lle 11<JS hemos referido, se producc11 simultáneame11te
-197 ambos fenómenos: numerosos pedidos de rescate y baja de los fondos públicos. Algunas compañías europeas han tratado de hacer frente a este
riesgo estableciendo que, si los títulos del Estado bajan más allá de cierto
Jfmite, los valores de rescate fijados en las pólizas bajarán, también, en la
misma proporción. Entre nosotros no hay nada previsto al respecto.
e) Ya se dijo que las reservas matemáticas en conjunto son propiedad indiscutible de la masa de asegurados. Una a una, son relativamente
-nada más que dentro de ciertos lfmites propiedad del respectivo
asegurado. Si los rescates fueran demasiado n11merosos podría llegarse a
afectar la garantía global. Cabe, pues en rosos extraordinarios, se sobreensacrificar el interés individual antes que afectar al colectivo.
tiende
TJmitar los derechos de los asegurados secedenks que abandonan el seguro , antes que poner en peligro la seguridad de los que conservan sus
pólizas en vigor.
320. Dicho queda que no debe acordarse como valor de rescate una
suma igual a la reserva pura. Lo más lógico parece acordar una reserva
cargada que tome en cuenta los gastos no a.mortizados. Ya se vió, en el
capitulo anterior, que, si son e estos g88tos, la reserva corr.espondiente al
año m es (292)
V'cm) = V(m) - e
En realidad ·- y teniendo en cuenta los perjuicios que irroga el rescate
y que se acaban de en11merar- debería darse, durante unos pocos años,
creciente con el tiempo
de esa reserva cargada.
sólo 11n porcentaje
Pero la competencia entre las compañías prevalece sobre las normas de la
prudencia y se da, a veces, un valor de rescate superior al que resulta de
la (292).
.
.
Adviértase que la expresión e
ª<
tn)
4
.... ..l
está formlM!a
por dos f actores.
uno
de ellos, e, es constante
puede ser una fracción de la prima de tarifa.
El otro es variable con el tiempo. Pero como la reserva, en los seguros
ordinario de vida y dotal es de la forma:
Ve•>= 1 -
•
••
= 1-Vc•>
resulta que, para tales seguros, el factor de zillmerage, es, precisamenie,
el complemento de la reserva correlativa del seguro unitario,. Esas cifras son
utilizables en seguros que se paguen en for111a análoga: p. ej., el de vida en
pagos limitados.
198 111
PRÉSTA?.fO
SSJ. En lugar del rescate se suele acordar u11 préstamo. El préstamo
-que goza, entre nosotros, de mucha preferencia- ofrece sobre el rescate
ndudables ventajas. Mantiene la póliza en vigor y permite esperar mejores
J.empos, ~in abandonar el seguro. Naturalmente, el préstamo produce, en
ifectivo, una suma menor. Y ello por razones evidentes. En primer lugar,
lil acordarse un pr~stamo se descuenta es práctica general- una prima:
.a que está por vencer, pues estas operaciones se hacen, usualmente, en un
iniversario del contrato. En segundo lugar, hay que anticipar los intereses
le un año. En cambio, podría su monto bruto ser mayor que el del rescate.
N" o sólo porque -como no se ha rescindido el contrato se conBideran,
3n este cas~, menores los perjuicios, sino, además y sobre todo, porque,
~orno se cobra una niteva p1·ima, la operación podría basarse en una reserva
nayor. Si el rescate se opera tenie11do en cuenta la reserva sexta, p. ejemplo, el préstamo podría basarse en la séptima, puesto que se cobra, también
la séptima prima. Sin embargo, entre nosotros, la práctica es dar, como
préstamo, el mismo valor de rescate.
322.
Ciertas compañfas han establecido
ya se insinuó antes después de pagadas sólo dos primas, lo que llaman el préstamo automático para
el pago de primas. Es decir, que, si el asegurado deja pasar el vencimiento
-incluso el mes de gracia, durante el cual la póliza no caduca, aunque esté
impaga la prima
la compañía va tomando en préstamo de la reserva
cargada las cantidades necesarias para ir pagando una o más primas. Al
tenninarse las disponibilidades, caduca la póliza. Y, por supuesto, si el
deceso ocurre durante el mes de gracia, o mientras el a~egurado tiene una
deuda pendiente por préstamo -automático o no-- las cantidades adeu·
dadas, incluso la prima impaga, se deduce11 de la suma asegurada. Cc>mo
se ve, la operació11 esti perfectame11te gara11tizada, y para las coinpañías
sería una excelente forma de colocar los fondos, si 110 fu era por el riesgo
que hay de f(UC los pr~stamos se c~onviertan, a brc~ve plazo, en rescates. ·
IV
PÓLIZA SALDADA
.<j,2.~.
...\ \tece~
el ª"cgt1radc) 110 puccle c~onti1111ar paga11do las primas,
pero rio rtPce8ifa l'l~SC<ttar l:i p<)liza, rii tomar Ruma :ilguria c11 1>rf.'{ta1rin s<>bre ell~t .
199 El valor de rescate de la póliza u otra reserva cargada especial habitualmente es el mismo valor de rescate
sirve, entonces, como prima
única para comprar un seguro en el cual manteniendo todas las demás
condiciones si11 variaci611- se reduce la · s11ma asegurada. Se obtiene, asi,
lo que se llama una póliza saldada.
Un razonamiento muy simple permite determinar este nuevo capital.
Si 1111a prima única de A:+m asegura un capital de uno, una prima de sólo
,,.V' z asegurará un capital, mW z, reducido proporcionalmente:
m
r1
z
mWz = - ' -
(296)
Az+M
324. Se ha tomado como base un seguro ordinario de vida. La costumbre
quiere que, tratándose de seguros que se pagan con un n1ímero limitado ·de
primas, n, -pagos limitados, seguro mixto , se acuerde Pf!T cada prima
pagada una parte alícuota, 1/n del capital primitivo. Al cabo de m años
se paga, pues, m/ n de ese capital. Asi, en un dotal a 25 años, después de
corridos siete años, corresponde una póliza saldada por 7 /25, o sea el 28 %
del capital.
Hay que hacer constar que, aunque la práctica universal es esa, el procedimiento dista mucho de ser equitativo. Aparte de lo ilógico que es aplicarlo indistintamente a seguros que sólo tienen de común la forma de pago
de las primas.
V
PROLONGACIÓN DE VIGENCIA O PRÓRROGA
En vez de una póliza que mantenga inalteradas todas las condiciones y reduzca el capital, puede el asegurado optar por lo que se llama
prolonyac1.ón de vigencia o prórroga. En este caso, el capital permanece invariable, y lo que varia es .el plazo .durante el cual se ha de mantener en
vigor el seguro. Es decir 1 l]Ue un seguro de vida entera se transfom1a en
uno temporario. J"'a reser''ª cargada que se utiliza es aquí la prima única
de ltn seguro tem1>orario en el cual la incógnita es, justamente, su duración t.
8i se dispone <le una ta~)la de seg1tros teniporarios, suficientemente exte11sa, tina interp<>lariór1 lineal da, en pocos minutos, la prórroga requerida.
Siendo \ ' ' l 'n J la reserva titilizada, 8e tiene
325.
TI
\ · ( m)
A
1
- ·
=
x+m : 1¡
•
Desde lue~o, sól<> J)(>r ex<·P11c·i611 es t e11tero. En general está con1prendido
entre los ,·iilorc~ c11teros r y r
+ 1.
-200-
Ea, pues,
Si la fracción de afio es a se tiene
At
t
_
Az+m : ti -
a=
_
z+ na : rl
A>
z+m : rl
A z+m: r+ll
1
(297)
la prórroga es por un tiempo r + a.
Si no se dispone de una tabla suficientemente extensa de seguros tem•rarios, cabe adoptar otro procedimiento y valerse de una tabla de conutaci6n. En efecto, es: ·
Mz+ m- Mz+m+c
• V' z - Az+m :-ti - ------Dz+m
1
Mz+m+e = M°'+m
Dz:+m• mV' a
Como la función Mz: es decreciente, siendo r < t < r + 1, resulta:
M s+ tft+r > M a+•+ I > M z+ m+r+ 1
Ms+m+r> (Mz.+m
Dz+m • mV's) > Mz+m+r+l
•
••
Mediante una simple interpolación, se deter111ina, ahora, la fracción
8=
M z+ m+r
(l\f z+ m
Mz+m+r
D z+ m• mV' z:)
(~8)
Mz+m+r+l
La prórroga es, pues, igual a r + a.
Cuando el seguro es mixto puede ocurrir que, después de costear
n seguro temporario hasta el df a del vencimiento del seguro original, la
~rva utilizada en el cálculo deje un sobrante. Este sobrante se debe aplicar
:mo prima única para comprar un capital diferido de monto a deter1r1ins.r
-aunque, claro está, inferior al que se contrató-- que vence al vencer
~ póliza. Es lo que en los ''cuadros de valores garantizados'' figura en una
:>l11mna cuyo encabeza.miento es ''en efectivo''.
826.
Si son ..V'z :-;j la reserva; Az!•:" ,,.,, la prima única del seguro temorario, y ,. rnE z+m la del capital diferido, se ha de tener:
"'V' z : -nl -
Az+i m : n-ml
-------------------- = a
,.-,,.Es+ "'
, que naturalmente es menor que uno, es el efectivo.
(299)
-
201 -
3~7.
Cuando se trata de seguros en caso de vida - - capitales diferidos
o rentas vitalicias
no se concede el prési,amo I1i el rcsca.te. Y es lógico
que así sea. Y a se vió, oportunamente, Qlie en los seguros en caso de muerte
se corre el riesgo de la anti-selección. ,.fal riesgo es, en este caso, mucho
mayor. Una persona que estt1viera gravemente enferma o cuya salud dejara mucho que desear, estaría más dispuesta a rescatar su renta que una
persona rebosante de vida.
liarían falta, pues, severos exámenes médicos antes de poder otorgar
tales préstamos o rescates. Y, entonces, la compañía aseguradora se expondría a cuestiones enojosas. Cuestiones ql1e deja11 siempre descontento,
desconfianza tras sí. Es preferible, por lo tanto, evitarlas. Y lo más prudente, sin duda, es pacúir de antemano que tales seguros no tienen derecho
a préstamos ni a rescates. En cambio, una renta (liferida, comprada mediante primas temporarias, podría dar lugar a una reducción en el monto
de la anualidad
póliza saldada-- o a t1na limitación del pla~o -prórroga- si se interr11mpiera anticipadamente el pago de la.'3 primas.
VI
MODIFICACIONES NO PREVISTAS EN EL ''CUADRO DE VALORES''
3~8.
Las previsiones de la póliza no pueden contemplar todas las situaciones susceptibles de presentarse. El asegurado puede considerar beneficioso introducir en su contrato de seguro ciertas modificaciones, y el
asegurador debe estar, siempre, en condiciones de estudiar el problema.
Algunas de las modificaciones pedidas podrían ser:
a)
b)
e)
d)
Reducir -o aumentar
el capital asegurado.
Modificar el vencimiento.
Cambiar la for1r1a de pago de la prima.
Cambiar la póliza por otra de otro plan.
Muchas más modificaciones se podría11 considerar, pero las indicadas
bastan para orientarse acerca del modo de encarar la cuestión .
•
En general, se pueden separar las 1nod1ficaciones que se pretendan en dos grandes grupos: las que tengan por ot)jeto reemplazar el segl1ro
existente por otro más caro -aumento de capital, transformación de un
ordinario de vida e11 un pagos limitado.s o en u11 dotal--, y las c¡ue, por
el contrario, tengan en vista la. obtención de ur1 seguro más l3COnómico que
el primitivamente tomado -rebaja de capital, pa.sc de un plan dado a
otro más modesto .
E11 el primer caso no hay, en genf~ ral, problema.
329.
-
202-
Se sabe que la reserva pura es, en un momento dado,
Vena) = Ac,,.> - Pac•>
•
••
Ac •) = Pac •> + V<•)
+
Es decir, que se puede contratar a la edad x
m un seguro deterrninado
-la f óm1ula es general- pagando la prima anual correspondiente a una
dad menor, x, siempre que se integre, en el acto, la reserva necesaria V<na>·
Luego, si se trata de aume11tar, al cabo de m años, el capital asegurado
e k a k + h, bastará integrar la reserva correspondiente al aumento de
~pital, h Ve.>, y seguir, luego, pagando la prima, que corresponde al nuevo
~guro: (k
+ h) P.
330. Si lo que se quiere es transformar por ejemplo- en un dotal
n años, un ordinario de vida, con vigencia de m años por supuesto,
hay que reemplazar la reserva del ordinario de vida por
.e ndo m < n
~ del dotal, es decir, hay que integrar la dfierencia,
· seguir pagando, luego, la prima P z : -;;¡ del dotal en vez de la P :e del ordi:1.rio de vida.
Si la operación origina gastos, o si
como consecuencia del cambio
iedan gastos de adquisición sin amortizar, se deduce de la reserva que se
-;reditn, la suma necesaria para cubrirlos. Se lleva, así, al crédito una reserva
~rgada. Queda, pues, por integrar,
Si la operación tiene por objeto obtener u11 seguro de coste menor,
nueva prima será menor que la primitiva, ) .. la reserva ya acumulada
ayor que la ((Ue dehe constituirse. En este caso hay un perjuicio evidente
Lra la compañía. J,a nueva prima lleva un recargo menor para amortizar
i.stos d~ adquisición. Es, pues, necesario rebajar de la reserva constituída
-la <1ue se acredita- la porció11 de gastos que no se ha11 de amortizar
L la nueva operal'ió11. O sea, hay que usar una reserva cargada.
Si se tomaran reser\ras p1tras habrf a siempre a favor del asegurado tina
ferencia dP reservas.
Si la reserva que t;C acredita es cargada y se op(!ra cuando el tiempo trans.rrido es breve, puede mt1y bien esa diferencia de reservas resultar nega·a. I. . o corriente er1 tal caso, es considerarla n.11la y dar por i11tegrada lE~
:l IlUC\"O (•()ll trato.
Er1 oratiio11es, el c~amlJÍ<> se l1a,·e porqt1e la póliza primitiva está gra\·a<l:l
n t111 pr~8tam<J. ~e 1>refic·re, e11t<>Il(lCS, re<ll1t·ir l)I eapital asPµ;t1ra<lt> o tomar
331.
-
203-
un plan menos costoso, y dejar la nueva póliza libre del gravamen. La
diferencia de reservas aun resultando a favor del asegurado, puede, en
muchos casos, no bastar para cubrir el préstamo, sus intereses y los gastos
que se origine11. Y el asegurado, para cerrar la oper~ión, estará obligado
a abonar cierta suma) en efectivo.
No dejaremos esta cuestión sin hacer notar que, cuando se trata
de seguros con participación en las utilidades, la disminución del capital
no trae aparejada 11inguna complicación: el asegurado pierde, sencillamente
la parte de utilidades correspondiente a la rebaja del capital; ni más ni
menos que si se tratara de u11 rescate. Pero si, por el contrario, hay aumento
de capital, deberá int)e grar los recargos correspondientes a los plazos corridos co11 sus intereses~
332.
Como se habrá visto, en esta clase de problemas, todo se reduce
a co;nperisar debidan1e11te ]as res~rvas, e11 un 1nomento dado, para partir,
de ahí en adela11te, co11 la prima que correspo11de al nuevo seguro.
333.
VII
,
EJERCICIOS NUMERICOS
I. Dado un seguro ordinario d~ vida, tomado a los 35 años de
edad y con 15 de vigencia, hallar el i,;alor de la póliza saldada, teniendo en
cuenta que: a) la prima de tarifa es 35,40°/ oo; b) los gastos de adquisición
se evalúan ei1 el 100 % de la primera prima; c) la~ bases de cálculo adoptadas
-mortalidad Hm, interés 4 %.- , nos dan los valores que siguen:
334..
das = 17 ,221;
V as = 0,214,81;
15
Aso = 0,47995,
y
aso = 13,522
,._';olución. La carga an1lal para reembolso de los gastos de adquisició11 es
-hacic11do el cálculo por mil-:
=
't
P' = 35,40 = 2 Ou
1
Üx
17,221
Al fin del J5° año, ct1a11do el asegurad<J tie11c 5() de edad, c¡ucda11 por
amortizar:
't ii z +-ni == 2,0o X ft;, 0 = :!,OG X 13,fl22 = 27 ,85
•
21 -l,8 I -
27 ,8;) =
18(),!)()
-204Y la póliza se salda en
186,96
-
479,95
= 390
por cada mil pesos del seguro primitivo.
11. Sea un seguro mixto a 25 años, tomado a los 38 de edad y para
el cual se desea calcular: a) la prórroga, después de 5 años de vigenlcia;
b) el efeétivo, después de una vigencia de 17 años. La prima de tarifa es
igual a 50,14 y los gastos de adquisición se estiman en el 100 % de la primera prima. Las bases de cálculo adoptadas
las mismas del caso anterior
dan:
a38 : 251 = 14,325;
d43: 20i = 12,515;
sVa8 : 25¡ = 0,12633;
11V38 : 251 =
d55 :ii
= 6,468;
A6~ :Si = O, 16561
0,54849;
sEs6 == 0,58563
Solución.
Son
haciendo los cálculos por mil-:
Carga anual para gastos de adquisición
't' =
_P_'_z_:~_I = 50,14 = 3 50
ªz :~
14,32V~
'
GSBtos por amortizar: a) Al fin del 5° año,
't' éiz+5: n-51
b)
= 3,50 X 12,515 = 43,80
Al fin del 17° año
't' ª:+11: "_17¡ = 3,50 X 6,468 = 22,64
Reserva disponible:
a)
Al fin del 5° año,
1000 6V'38 :25i = 1000 6V 38 :25i -
b)
't'dz+s:n-SI
= 126,33 -
43,80 = 82,53
Al fin del 17° año
1000 11V'as: 2ij = 1000 11V3s: 251
't' ªz+11: "-111
=
= 548,49
22,64 = 525,85
a) Prórroga, a los 5 años
Si se dispone de una tabla de seguros temporarios, resulta
1000 A4~ :7i = 74,24 < 1000 V' = 82,53 < 1000 A4j :ii = 84,73.
-
205 -
Luego, r = 7, y
82,53 -
74,24
o = - 84, 73 - 74,24 = 0,79, o sea 9 meses, aproximadamente.
Por lo tanto, la prórroga t es de 7 años y 9 meses.
Si no se poseyese la tabla de seguros temporarios, la de conmutación
conduce al mismo resultado
Mz+m+t = M.a
D43
X V' =
= 6012,47 - 14765 X 0,082.53 = 4793,92.
Valor. comprendido entre
M60 = 4916,24
y
M51
= 4761,45
43 = 7, y
Luego r == 50
~ --
o
4916,24 - 4793,92
- - - - - - = o 79
4916,24
4761,45
' ,
como antes. La prórroga es, pues, de 7 años y 9 meses.
b) Efectivo al fin de los 17 años.
Prorrogando hasta el fin del plazo d-Oúil, el seguro temporario, queda,
para el efectivo,
11V'38 : 2si - A 5 ~ :8i ~ 0,52585 - 0,16561 = 0,36024.
Con esa suma se compra un capital diferido -efectivo al fin del período
dotal- de
V' 38 : -251 - A155 :-81
17
•
aE5s
=
0,36024
0,58563
= 0,615
615 por mil.
III. Cambiar a los 5 años de vigencia, el seguro anterior por un dotal
a 20 años, a contar de la fecha inicial, y por la misma suma. La reserva
del dotal a 20 afios, tomado a los 38 de edad y después de 5 de vigencia,
es 6V38 : Wi = 0,17325. Los gastos que origina el cambio importa11 el 503
de.la 11ueva prima, que es de 57,45º/00 • En ambos seguros se destina a participación en las utilidades el 10 % de la prima.
Sol·ución.
El asegurado debe abo11ar durante 15 años la 11ue\·a prima
de 57,45º/00 • Debe, además, abor1ar al c~ontado el saldo que rest1lte del
siguiente estado de cuentas. Tie11(~ a st1 cargo:
a) I.Ja reser\·a pura del nuevo seguro: 173,25°/oo;
-206b) Los gastos que or!gina el cambio: media prima del dowl veinte, es
decir 28,73°/oo;
e) La diferencia
sobre las cinco primeras pl'imas·- para el fondo
capitalizadas al 4 %de acumulación: cinco anualidades anticipadas
por un importe igual al 10 % de la diferencia entre la prima nueva y la
antigua. Diferencia de primas, 57,45
50,14 = 7,31; 10 % de esa diferencia: 0,731. Total a integrar para el fondo de acumulación
0,731 X
1,04 {l,046 -
1)
0,0!
.
= 0,731 X 5,633 = 4,12 por mil
En cambio tiene a su favor:
La reserva cargada del seguro que abandona.
Ya se vió en el problema anterior que es igual a 82,53 por mil.
b') El valor actual de las cuotas para el pago de comisión inclufdas
en la nueva prima. La carga correspondiente a una prima es, por año,
a')
P'as : 20i
57 ,45
-r=---=--=448
ti38 : 201
12,841
'
Y su valor actual, en el momento del cambio
-r ti 4:t : i5j = 4,48 X 10,616 = 47,56.
El asegurado debe integrar, por lo tanto, por cada mil pesos asegurados~
173,25 + 28,73 + 4,12 -
(82,53
+ 47,56) = 76,01
Al calcular en el problema anterior, la reserva cargada se vió que los
gastos por amortizar importaban $ 43,80. Los incluidos en la nueva ascienden a $ 47,56, hay una diferencia ·a favor del asegurado de $ 3,76°/oo. Tal
diferencia casi n1tnca se reconoce, en la práctica. De modo que en el caso
actual se opera sobre las reservas puras, prescindie11do de dichos gastos.
El saldo a pagar es, entonces, por cada mil pesos:
173,25
+ 28.73 + 4,12 - 126,33 = 79,77
Es decir, cabalmente $ 3, 76 más que lo calculado antes.
.
IV. Sobre un seguro ordinario de vida, tomado a los 40 años de edad
por una suma de $ 20000, hay, en el 15° aniversario, un préstamo de $ 4600·
Por utilidades -que s<-' distribuyen, prc~cisan1er1te, cada 15 años- tiene,
el asegurado, que robrar $ 2488,80. Con ellos ---y tomando, además, de
la reser\'a la rantidad 11e<·Psaria ·- - sP propo11e cancelar el préstamo. El
<·apit:Ll 3..'-'(~gt1r¿t(J,, 'lll~<iar:í . t.aml>irr1. reduei<i<J c11 pr<}p<Jr~ió11. La prima
-207-
anual de tarifa es de 41,48°/oo, y lleva u11a carga equivalente al 100 % de
la primera prima para gastos de adquisición. La reserva a los 15 años es
de 254,82°/ oo y las rentas vitalicias anticipadas para los 40 y los 55 años
de edad valen, respectivamente, 16, 136 y 12, 024. La operaci6n no origina
gastos. Como se trata de una reducción de capital no hay lugar a un nuevo
examen médico.
Solución.
es de
La carga para gastos de adquisición contenida en cada prima,
't
=
P' :e
tiz
=
41,48
16,136
= 2 57 °/oo
'
De ellos, falta amortjzar aún, al hacerse la reducción,
•
'r d55 =
2,57 X 12,024 = 30,90
La reserva pura por mil, de 254,82, debe, pues, ser dis1ninuída en esa
suma para tener la reserva cargada requerida:
1000 uV'•o = 254,82
30,90 = 223,92.
Deduciendo de la deuda por préstamo el monto de las utilidades, queda
un saldo deudor de
4600
2488,80 = 2111,20.
Luego, puesto que cada mil pe8os de capital asegurado representan 223,92
de reserva, debe reducir su póliza en
1000 X 2111,20 =
223,~2
9429
.
El capital asegurado queda reducido a 10571 pesos.
Y la prima será, en lo sucesivo, proporcional a él: 438,49.
CAPITULO VIG~SIMOCU.~RTO
LA CUENTA DE ·GANANCIAS Y P~RDIDAS
I
I 1 AS
FUENTES DE LAS GANANCIAS O PÉRDIDAS
335. Fijado el monto t·o tal de las reservas al fin de un ejercicio dado,
se está ya en condiciones de establecer la cuenta de ganancias y pérdidas.
Cuatro son las fu entes de donde puede provenir nonnalmente la ganancia
o pérdida: la carga, el interés, la Tf!ÁJrtnlidad, y las resci,siones o transformaciones de contratos.
Ya se ha visto que la carga contie11e los elementos que han de cubrir
las comisiones, los honorarios médicos y, en general, toda clase de gastos
de gestión y de adquisición. Si el conjunto de todos esos gastos 110 llega
a la diferencia entre lM primas puras y lo cobrado por primas de tarifa,
ese renglón da ganancia. En caso contrario, da pérdida.
Se hizo notar, en su oportunidad, que cuando hay muchos contratos
nuevos, las comisiones de adquisición pueden gravitar pesadamente sobre
el ejercicio y dar lugar a quebrantos, a menos que se utilice un procedimiento cualquiera que permita distribuir esos gastos en un determinado
número de años: sea calculando reservas cargadas, sea registrando, en el
activo, una partida especial para comisiones descontadas. Entre nosotros se
permite este último procedimiento, )" se acuerda un plazo máximo de cinco
años para amortizar los gastos de adquisición, según se dijo antes.
Las rescisiones o reducciones de contratos dejan una utilidad que
proviene: de la diferencia entre la reserva que les corresponde en realidad
y la que se les adjudica para el caso. En cambio, producen una pérdida
representada por los gastos hechos y que debia11 descontarse en el fu tu ro.
De que la primera de esas canti(lades sea mayor o menor que la segu11da
depende el que resulte una ganancia o una pérdida defi11itiva por este
renglón.
336.
-209Pero si los gastos de adquisición se han a.mortizado ya en cinco años,
la pérdida correlativa se ha de registrar en ese lapso, } r las 1·escisiones de
contratos, ·después del qt1into año, del)en teórica.merite _d ar ganancias. Ganancias que cabe compensar con las pé1~didas procede11tcs de . pólizas con
menor vigencia, o de com.isio·nes desco1l tadas.
337. La tasa del interés a que se calculan las primas y reservas -entre
nosotros el 3 11 o el 4 %-- no puede, lógican1ente, exceder de la que obtiene la compañía por sus colocacio11es de fondos -al<~uileres, hipotecas,
titulos,...
so pena de tener que soportar pérdidas por tal concepto.
Las empresas de seguros que están bien admi11istrada.s co1ocan, pues, sus
capitales de modo que el rendimiento que obtengan sea superior al que
obtendrían a la tasa que sirve de base para sus cálculos. La diferencia así
obtenida es un beneficio. Ct1ando la tasa del interés baja en todo el mundo
las compañías reducen la que sirve de base a sus cálculos.
338. En cua11to a la mortalidad, se adoptan tablas ajustadas, en lo
posible, a la realidad, que se revén frecue11temente. ~. . es curioso observar
hasta que punto es acertada la autoselección operada por los asegurados,
al elegir una clase de seguro con prefere11cia a otra. Y a se hizo notar que
las tasas de mortalidad de asegurados en caso de muerte presentan una
mortalidad mucho más rápida que la de los rentistas. Pero, ahondando más
la clasificación, se halla que entre los tomadores de seguros de vida eritera,
la mort,alidad es, t,ambi,én, mayor que entre los que toman dotales.
II
LA MORTALIDAD
339. No obstante las continuas revisio11es a que son sometidas las
tablas, la mortalidad real es, normalmente, menor que la prevista. Y hay
para ello razo11es obvias. En primer lt1gar, cua11do se empieza a usar una
tabla nueva han pasado ya varios años desde (1ue se recogiero11 los datos
básicos. Las más I'ecientes gana:nc-ias e11 la mortalidad - (1t1e se al'usan
en todo el mundo a diario-, quedan f t1era de la experiencia. _;\demás,
tampoco seria. prudente extremar la J1ota. l . . 11 alz[t impre,·ista y rápida
podría causar sorpresas enojosas. Por fin, las tarifas se calcl1la11, prcfere11temente, en base a tabla.s de conjitnlo. 1~ero, en los asegurados de u11a mism~1
edad, influye ¡Joderosamen.te lft sclc<'ció11. 1r eso e:-; n1t1y jn1portante par¡1
las compañía8. Cua11do f c1llcec ti11 aseg11r:1<l<) d ej~t cierta rc'ser,?a prrso1l <tl,
qu<~ debe ser st1plemcr1tada, t<Jma.11do l<JS f (HlfloH clc~l cotiJ·1111tu glcJlJal de las
rescr\ras -o, ::;i S(' prPfierc , del t.otal de l~ls ¡1rimas de ries~o- - ro11 la suma
-
210 -
necesaria para formar el capital asegurado. Ese st1plemento es lo que, más
~riba, se ha llamado capiwl de riesgo. Si la su1na asegurada es uno, y la
reserva mV z, el capital de riesgo es 1 - mv,.. x, dentro de la co11,re11ción
-tantas veces recordada- de que los seguros se pagan al fin del año en
que se produce la muerte. Es decir, que a medida que envejece la póliza,
-y para 11na misma suma asegurada-, va decreciendo el capital de riesgo, puesto que crece la reserva. En los tipos usuales de seguro, por supuesto.
De modo que, si en un grupo de asegurados todos de la misn1a edadse produjera exacf,amente el número de decesos previsto en la tabla usada
para el cálculo de la tarifa, habrfa derecho a esperar que prevalecieran entre
los muertos los asegurados más antiguos, aquellos en quienes ha.bian dejado de hacerse sentir los efectos de la selección y cuya mortalidad excedía,
por lo tanto, de la media del grupo. Y como esos asegurados ya se ha
visto- son los que, por tener acumuladas mayores reservas requieren
menores capitales de riesgo, deberla resultar una vez hechas las debidas
compensaciones- un saldo favorable para el asegu1·ador.
III
INTERÉS Y MORTALIDAD
Veamos como puede separarse la ganancia
o pérdida- que
produce la mortalidad de la que proviene del interés.
Sea S la suma total asegurada sobre la vida de cierto grupo de asegurados, y SP el total de las primas que dichos asegurados abonan. Adviértase que P es solamente un promedio, que varia con el variar de la cartera,
y que no corresponde a ningitna edad 1ii a ningún tipo de seguro determinados.
340.
Otro tanto ocurre con las reservas inicial y fi11al del ejercicio, SV y SV',
respectivamente. ,.fampo~o V ni V' son sino promedios ocasionales.
Del mismo modo, sea Sq el desembolso t.otal previsw para cubrir los pagos
origi11ados por decesos, de acuerdo con la tabla de mortalidad adoptada.
Y, por supuesto, úimpoco e,~ q ninguna tasa real sino el promedio resultante
de la com¡Josición, por eda(ies y capitales asegurados, del grupo.
llaz611ese, ahora como se hizo para determi11ar la f ó1111ula de FouRET
-296 .
..r\.l ¡)rincipio del año. el asegurador tiene en su poder, por primas cobradas
y reser\·as del año antcri<)r, SP + S\r, <1ue, capitalizadas al i por t1110 du- ·
rantc un año, dan, al fin del mismo, ttn total de
(SP + SV) (1
+ i) = S (P + V) (1 + i)
(;J)
-
211 -
Co11 esa Sltma debe proveer al pago de los Sq pesos que origina11 los decesos y formar las re8er\ras fi11ales i1eccsarias, SV' (1
q). En total
Sq + SV' (1 -- g) = Sq (1 - V') + SV'
(~)
Si los he(~hos se amoldan a las previsiones, {a) y (~) son iguales: se tiene
asi:
S (P + V) (I + i) = Sq (1 - V') + SV'
(y
Pero, si los fondos han dado u11 rendimiento del i' = ·i + p -donde p
puede ser positi\"O o negati\'"O-, y si, en vez de Sq, se ha pagado por siniestros una suma lT, existirá, entre u11a y otra expresión, una diferencia G,
Qlte será la ganancia o pérdida
S (P + V) (1 + i + p) - [U (1
'i') + SV']
= S (P + V) (1 + i) + S (J:> + V) p U (1 ,,..,) -
S\l'
Tomando en cuenta la (r), queda
G = Sq (1
V') + SV' + S (P +V) p - U (1-V') - SV'
G = S (P + V) p + (Sq
U) (1
V')
•
•
•
••
(300)
que se desdobla así:
G(i) = S (P + V) p
Gcm> = (Sq - U) (1
(300, a)
V')
(300, b)
Habrá ga11ar1cia e11 los intereses cuando sea p > O, cuando el rendimiento
real sea superior al que produeiría11 los capitales a la tasa i, empleada en
108 cálculos básicos. · Y resultará pérdida cuando, por el contrario, sea
~ <O: la tasa <fectiva inferior a 1·.
La mortalida(l dejará ga11a11<~ia cuando se tenga U < Sq; cuando el desen1l)olso real sea ir1ferior al previsto. E11 caso contrario originará pérdida.
341.
IJa (300,b) -del)idame11te desarrollada- permite calcular la
ga11u!1ria o ¡Jérclida <le mortalidad. Dentro de cada edad alcanzada, x, se
cl:tsific·a11 l)<)r J)l;.t11<)s j~ a11tigiie<lad lc>s clisti11tos seg11ros, y se f orma11 los
rc'8P('r·ti\'•>s <·a1Ji t~tl~:-; ele riesgo. L:t st1111a de éstos, ~ S( l - V') multipli<1arla p• >r r¡ x <la <'l clesernl)ols<l ¡Jr{\visto para esa edad. IIacie11do lo propio
<'•>11 t<J<l<.t~ J:t...; (>cf:t<l<'=-' ~r sun1~t11(lo, lt1Pg:(>, los procluctos así obtenidos 8e llega
a) <l<'se111ll<>l:-;<> tc•tal I>l'(\\·i~t<>. si11t<.)tiza<l<> <•11 la fc)r1nt1la p<>r Sq (l - V').
l:<·~t:t11<l(> el<· l~t :--;t1n1:i. l'<';·l })(.t~a<l:t 1.. lt1:--: l'('S<.'rv¿1;-;, lI,.', corrcSJ)Ol1tiif~ntes
'l l;t~ }Jt'>liz:t" sit1i(·st r:ttl:t-..:, •Jll<)<la, l ~ - l-\·' == { ; (1 --- \-' ~.
·- 212 -
Y la ga11a11(·ia o pérdida es
Ge m> = Sq (l - - \ ,'"') - U (1 - - V')
= (Sq
U) (1
\T')
(300, b)
342.
Para determinar la tasa real, i', de re11dimiento se acostumbra
tomar como capital básico el promedio de los capitales inicial y final, C 0
y C1, respectivamente, disminuido en la mitad de los intereses obtenidos
durante el año, I',
Dividiendo el interés obte11ido, I', por ese capital básico se tiene la tasa
real, i':
i
·' =
21'
(301)
--~~--~--
Co+ C1- I'
IV
ESTADO DE GANANCIAS Y PÉltDIDAS
943.
Habitualmente, la cuenta de Ganancias y Pérdidas se presenta a.sí:
DEBE
l.
2.
Pagos a los asegurados (ajustados) ( 1)
..
Siruestros ......................... .
Pólizas vencidas .................. .
. . .. . . .. .. . . .. .. . .. .
Ren t as v1ºta lic1as
Pólizas rescatadas ................ .
Beneficios asegurados vida . . . . . . . . . . .
•
• •
•
• • • • • •
• • • • • • • • •
• • • • • • • •
•
• • • • • • • • •
• • • • • •
• • •
Gastos de explotación
Comisiones (con cargo al ejercicio) ..
Otros gastos de producción .. . ..... .
Otros gastos directos de la sección Vida
Gastos transferidos de la Secciór1 . .\d. . t rac1. ón .................... .
m1n1s
(l)
• • • • • •
• •
•
•
• •
• • • • • • •
•
• • • • • •
• • • • •
-
•
• • •
.. . . . ..
.
"'
. . . ....
- --- - ·-
Aj 1utado~ significa el total de lo pagado (neto de reaseguros) máa lo pendiente del actual ejercicio,
menos lo pendiente del ejercicio anterior.
21~)
-
Aj tl,ste de reservas técriicas
/J.
Ileservas matemáticas (de fin de ejer-
. . ) .......................... .
Cl(~lO
Ber1cficios asegurados ,·ida (fondo de
acumulación) ................... .
Reservas riesgos adicionales ....... .
• • • • • • • • •
• •
• • • • • • •
• • • • • • • • •
• • • • • • • • •
4.
Ajuste de otras reser'vas
• • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • •
5.
Intereses cargados a la Sección Vida . .... .
• ••••••••
6.
Otras ptrdidas
• • • • • • • • •
7.
Saldo de la Sección V ida (1)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
........•...
• • • • • • • • •
• • • • • • • • •
HABER
Primas netas de anulaciones y reaseguros
8.
De primer año . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De renovaciones . . ................ .
Rentas vitalicias ................... .
9.
Intereses, al(¡uilcres y otras rentas ...... .
1O.
Ajuste de reservas técnica.s
Reser,ras matemáticas (de prineipio de
.
.
.
)
c3erc1c10 ...................... . . .
Beneficios asegurados vida (fondo de
acltm u laci 611) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rescr\·as riesgos adicio11ales . . . . . . .
..
11.
. .-1.jitsle de otras reservas
1•)'-'.
Ottas zttilidadcs
• •
•
•
•
. .. .... . . .... ...
•
•
•
•
•
• • •
• •
•
• • •
•
•
•
•
• • • • • • • • •
• • • • • • • • •
•
•
•
• • • • • •
• • • • •
• • • •
• • • • • • • • •
. . .. . . . . .
. . . . . .. . .
.. .... . ..
. . . . . .. . . .
.. . . . . . . .
• • • • •
•
• •
•
•
•
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•
•
•
•
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•3.:+·
J.,a di~¡Josirió11 dada a la. ct1r nta de (;ana11 <'iaf-' >r PPrdidas es Ja
(~t1c·. en ge11(~ral, le <lan las con1pa11ía~ ..~· Ja (]U(\ a lH ,·rz, sf• n,m<.>ld~i a l~ts
: l)
t ·1d 1,
~aturalu i<' nte , csti · ~ald<1 put•d<~ ficnr~tr rr: i ·l D ~·he ''
d' ·l ejerl·icilJ .
''º t'l
1L1 11L· :·. 1: !:0 d e pende Jel rrc-;11 l.
- · 214 ---·
Pero serla preferible buscar para los asientos que dan orige11 a esa cuenta
una ordenació11 más lógica )~ ajustada a la i·ealidad. 1'\al c·omo está preseittada, la ganancia o pérdida se determina con toda exactitud. Pero 11 0 hay
duda de que 11i las reservas de fi11 de ejercicio son pérdidas ni las del ejercicio a11terior son gana11cias.
No i11sistiremos demasiado. Fácil es \"er c¡ue, a11alizando debidamente la
prima análisis
que podría tenerse p1·eparado de antemano-, se lleaab
rfan a establecer con precisión las distintas f tientes de las ganancias y de
las pérdidas. Las diversas porciones de la prima -de acuerdo con· tal análisis
irían a la~ cuentas respectivas. Ello ocasionaria mayor trabajo,
es cierto, pero compensado de sobra por los resultados. Y, con los equipos
mecánicos de que se dispone en la actualidad, el esfuerzo requerido serta
mt1cho menor de lo que se imagina.
CAPITULO VIGÉSIMOQUINTO
RENTAS SOBRE VARIAS VIDAS EN CONJUNTO
I
CAPITALES DIFERIDOS SOBRE DOS VIDAS
En ocasiones se solicita de las compañías de seguros rentas y
seguros sobre dos vidas en conjunto. Muy de tarde en tarde, se les pide,
también, rentas y segt1ros sobre un número mayor de vidas. Esta clase de
operaciones responde al deseo de procurar una protección al grupo formado
por un padre y un hijo; dos esposos; varios socios ...
En todos estos seguros por ahora sólo se contemplarán los que se
pueden presentarse dos casos:
refieren a un grupo de dos vidas
a) Que la unidad asegurada sea el grupo en si el sÚJ,f,us que forman
ambas personas.
b) Que se tenga en vista, desde el primer momento, el (1ltimo sobreviviente.
345.
346. Un capital diferido, pagadero dentro de n años, si entonces vive
aún el gritpo - si el status no se ha disuelto tiene por valor. actual -o
pr~ma pura y· (111ica- el valor actual de un peso a vencer dentro de n años,
multiplicado por la probabilidad de que el grupo subsista aún en esa época.
Es decir
(302)
vnlz+nl11+n
=----l zl11
347. Para obte11er los valores de conmutación, es costumbre introducir
-sistema GRIFFITH DAVIES- el factor vx arriba y abajo. Queda:
-- D.c+n: 11+n
(303)
-
216 -
donde
Se puede, también, siguiendo a DE MoRGAN pero el procedimiento
es menos usado multiplicar por v~<x+"), en vez de por vz. En tal caso
se tiene
Para la utilización de las tablas lo mismo da, evidentemente, que estén
construidas por uno o por otro sistema. Además, para los cálculos sobre
dos vidas se trata de emplear, con preferencia, tablas ajustadas por la f órmula de GoMPERTZ MAKEHAM, en las cuales se reemplazan dos vidas de
edades distintas, (x) e (y), por dos vidas de la misrna edad (z) y (z). Y,
entonces, ambos métodos coinciden. Ya se vió (105) y (106) cómo se puede
detem1inar la edad z conocidas x· e y.
348.
Si el capital diferido se paga siempre que, a la hora del vencimiento, esté simplemente en vida el último sobreviviente del grupo, hab,r á
que utilizar, en· vez de la probabilidad de que exista aún el gru'J)O la de que
viva a1ín cualquiera de sus componentes. Es (88)
nP;j¡ = nPx
+ nP11 -
nPzv
Por consiguiente,
•
••
(304)
(305)
Resultado al que se puede llegar por u11 razonamiento directo: un peso
pagadero dentro de ·n años, con tal de qt1e vi,~a u110 de los dos, equivale
a un peso pagadero a cada uno, meno.~ el qite se pagarí(L si viviesen los dos,
para no duplicar el pago, en ese caso.
II
RENTAS VITALICIAS SOBRE DOS VIDAS
8i la renta s~ J)aga solan1,e1ite mic.. 11tras ,.i,·:i <'l grl1po --n1i<.. ntras
subsista el statzls- la re11ta es. e\·i(le11tP111<~r1te, igt1a.l ,., l~i. ~•1n1a <l<~ l<•S t·apitales <li fc·ri<l <>s por 1, 2, ;3. . . (> por f). 1, :l . años, seglÍ 11 S('a ,·t·r1<·ida o :t' l<·lan ta( la.
3;i9.
-- 217 -w-z
~
aZJI =
nEzu =
(306}
+ Dx+2: 11+2 + · •· -
(307)
1
_ Dz+l : 11+1
-
Dzv
•
(308)
(309)
DZJI + Dx+1 :11+1 + · · ·
_
-
-
950.
(310)
(311)
Si la renta es düerida, se tiene, cuando es vencida,
(312)
N
z+n+ 1 : 11+n+ 1
=------
DZJI
(313)
Y, cuando es adelantada,
(314)
351.
(315)
Si la renta es temporaria, resulta, para la vencida,
a;ry ! Hj
--
= a%y -
K :r+I: 11+1 -
n/ 'aZ'JI =
N x -t-n+l: y+n+l
(316)
4
Dx11
(317)
Y, para la adelantada,
(318)
N ry -
~r+n : y+n
Dr.y
Los valores de N zy -oc.~ioso parece de<'irlo--
(319)
se calculan igual que los
de ~ ~; usando la nue'"ª t1otación reci<~r1teme11te adoptada.
-218352. Cuando se trata de rentas pagaderas mientras viva el último
sobrevivie11te, valen los razonamientos hechos respecto al capital diferido. Son asf,
ªiü = ª% + ª11
a~= dz
(320)
azu
+ dy-dzy
n/a;¡¡. = n/az; + n/a11
./az11
n/d;y = n/dz + n/d11 -
n/dz11
a;;:;;¡ = ª%; ;¡ + ªu :-;;j ªzy :ñi
a;¡;:;¡ = :~ + ª11 :-;j :-;;j
ªz
ªzu
(321)
(322)
(323)
(324)
(325)
111 .
RENTAS SOBRE MÁS DE DOS VIDAS
963. Sean tres vidas (x) (y) y (z). Una renta pagadera al grupo que
forman, en tanto subsista íntegro, se calcula exactamente igual que cuando
se trata sólo de dos vidas
~-z
~
azyz =
v' tPz11• =
(326)
1
-
Dz+l :y+l :z+l
+ Dz+2 :11+2 :.e+2 + · •· D%1/Z
N.z+l :v+t :z+l
-
DZfl~
(327)
354.
Y si en vez de ser tres es un n1ímero cualquiera, r, de vidas x,
y, z, . . . (r), se tiene
(,)- %
~
aZ1JZ ••• (r) --
v' t p%1/I: ••• (r) --
(328)
l
•
a
Nz+l :11+1 :z+t : •.. (r)
D %1JZ ••• (r)
ZJIZ •••
(). =
J'
N %JI? ••• <T).
D
(329)
(330)
Zl/Z ••• (r)
= 1
+a
%1/Z •.. ( r)
(331)
Y las re11ta8 dif~ridas, temporarias e interceptadas, se establecen por
I(•~ Jlf<Jc·edimi<~ntc)~ ya <·()Jluc•i<los. Xc) hay por qué insistir.
-
219 -
*355. Pero si la renta se ha de pagar, no mientras estén en vida todos
los componentes del grupo, sino e11 tanto ' riva cierto núm.ero de ellos, el
problema se complica más que cuando no se consideraban sino dos vidas.
Recuérdese, al encarar el problema, que la probabilidad de qlte, dadas
m vidas~ dentro de n años sohre,rivan exactamente r de ellas es (97) y (98)
= zr_ (r + 1) zr+1 + (r + 1) (r + 2) zr+2 - ... -nP zyz •.• (m)
2!
_ _lr_I
zr
·= - - - - (1 + Z)r+1
Y la de que vivan, por lo menos, r de esas vidas es, (99) y (100)
nP ry •.. (m.) = _(_l_+_Z_)_r+-1 + (1 + Z)r+2
+ ··
zr
=----(1 + Z)r
= zr -
rzr-t-1
r (r
+
+ 1) zr+2 - ...
'
~.
')
*356. Una renta pagadera mient.ras vivan por lo menos r de las m vidas
de un grupo i11icial vale, por lo tanto,
(&)
r
azu¿
- •••
-(m}
-=
~
-1
v'·,p---r
zJli ..• (m)
zr
z
(a) -
~
1
r
=1
(332)
'-
~
-
·- -
vt· - - - (1
+ Z)r
(332, a)
Ahora hie11, tratá11dose de rentas, puede convenirse de antemarw en simbolizar por Z., no grupos de probabilidades, sino grupos de rentas, pues
éstas conservan, evidentemente, las propiedades combinatorias de aquéllas.
..~l tratar de probal)ilidades se l1acía -sie11do (x) (y) (z) ... (1.t) (v),
las m \"idas consideradasZ = nP z + nP11 + · · · + nPv
Z 2 = 1•Pz11 + nPx : + ... + 11.Puv
Y,
c11
gc11<'ral,
zr = 11 JJ
.r 11
. . tr)
+ ,,p r : ... rr> + . . . + nPw~ . . . \ r )
-
220-
No hay ningún inconveniente, y es sumamente útil para los cálculos-.
con tal de convenirlo antes expresamente-, en hacer ahora
Z .= a z + a11 + . . . + a.,,
Z2 = ax11 + ªz• + ... + aut'
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••••••
zr = ªzu ... (r) + ª= ... (r) + . . . + ªV1• ... (r)
*357.
Se puede, entonces, poner
a
r
-
z11 ••• (m)
-
zr
( 1 + Z)
-
r
(333).
-
r (r
= zr-rzr+l +
.
+ 1) zr+2_ ...
2!
(333, a)
Asf, para rentas sobre tres vidas se tiene:
1
ªz¡¡z
=z
= O,z
2
aZf/% = Z 2
z2 + za =
+ ª11 + az - (az11 + azz + ªuz) + a:r71z
2Z 3 =
Naturalmente, siendo m el total de vidas consideradas, no 7JUeden existir·
las combinaciones que comprender1 un 11úmero ma~Tor de ellas, y que están
simbolizadas por zm+ 1; zm+ 2 ; • .•
*358. Si se desea obtener el ,ralor de una re11ta pagadera únicamente
mientras vivan e:i:actame11te r de las m personas del grupo inicial, se tiene
-de acuerdo con las con,renciones hechas-,
(!) -
lrl
a:r11i
- -' '" -(m)- -
z
'C""\
~
,,,. , p - - -lri-
'= 1
zr
-- -(1-+-Z)r+1
zyz ••• (m)
(334)
(334, a)·
-
221-
VI
RENTAS PAGADERAS EN SUBPERfODOS DE A&O
Si se trata de rentas pagaderas en subperíodos de año, basta
·a plicar el procedimiento seguido cuando se trataba de una sola vida -185La. fórmula de WooLHOUBE da:
*359.
•
n
1
u 1 +u 2 + ... +u"
-m
m
m-1
= ~ uz+
-m
2m
1
m2 -l
(u'" - u'o) -
12m2
...
Pero, cuando el lfmite superior es w - x, al hacer uz = ue ::;: v',pz11 ,
.se tiene:
1
-· u 1 +u 2 + ... +u"
m
-m
-m
n
w-z
~ U: =
~
1
=1
t
m-1
- - - (uo 2m
pues son
1.to =
'
u' --
v0 • oP ZJJ = 1 y
d
vt tPz11 = az11
U(a)-z)
=
u W--% = vw
d
vt lz+t l,,+t
(v' ,p ZJJ) =
dt
dt
l l11
ni-1
2m
z (i--JJ %1/
=
1
ls l11
d
-
%
dt
o
-
(v t l z+t l11 + e) -
d l11+t
dt
-
-
d l11 +t
d lz+t
lz+t l11+t v'
= - - - - loget' + --·- + --l11+ tdt
l z+ tf/t
l z 111
Expresión que, para t = w -
·- a - µJI -
x se a11t1la., y para t == O, se haee igual a.
la + tLz + µy); ltteg<>,
tt' w-z - tt'o = e + µ .r + \.111 = ;J..r11 + ~
tJ.z = -
-
222 -
Por lo tanto
m-1
(m)
+
ªru = az11
2m
m2 - l
- - 2- {µ.ztl
12m
+ a)
(335)
Fórmula a11áloga a la (173) para una sola vida.
*360. Si Ja re11ta es adelantada, ba.sta, evidentemente, sumarle l/m.
Se tiene asf:
.. (m)
ªxJI
= azv +
m+1 .
-2ni
(336)
*861. Se ve en el acto que la fórmula es general, cualquiera que sea
el número de vidas co11side.radas. Por lo tanto,
a
(11r)
zyz . , . ( T)
•. (m)
llZflZ ••• (r)
•s62.
= a %'J
Z • • • ( r)
= QZfl! ...
12m
2rri
m+ 1
+
(r)
--- -
(337)
2
m'-1
12m 2
2m
((J.zyz ... (r)
+ a)
(338)
Si las rentas son continuas, se tiene
ary:: . .. (r)
*S6S.
+ m- 1
m2 - l
= azyz .. . (r)
+~
1
,112 (tJ.zyz . .. (r)
+ ·a)
(339)
Y para las rentas diferidas y temporarias valen las relaciones
báaica.~:
n
l a<•>
z11z ••• (r) = n E z¡,a ••• (r) • a<•>
z+n : 11+n : ••. (r)
a<•>
- = a(m)
·zt;.i •.. (r) : ni
zyz ••• (r)
/- ª
n
z11z .•• (r)
a:ryz ... (r) :--;;:
= nE zuz ... (r)
= a;.eyz ...
n
/a{m)
ZJJZ ••• (r)
·a -
(r) - -
(340)
(341)
z+n : y +n : ... (r)
(342)
,./azyz . . . (r)
(343)
V
C.{LCULOS Nl~.MÉRICOS
Si Ja tabla r1ue se utiliza par~i loR cálr·ulos ha. sido ajustad~ por la
f ór111t11a de Go11PEitTz-:\íAKEHAAI, ~e p11eden reemplazar, sin dificultad,
•
''arias vida:-; de eda<les diferentes, (x), (y), (z), ... por el mismo número
de vidnR !.odas de igual ed~1d, tl'. Ba.~ta, e11 tal <'aso, calcular la tabla de conrntttac·ió11 nc>c(\sarja, tomc.t11do siempre ''ida." de jgt1al e<la<I.
J>(~ro. si In, tahla 11t> rc.~p(Jildc a l~t ley de (to:\1r1.;1-tTz-MAKJ.;HA.M, se necesita11 tar1ta~ tnhla."' «l<\ •·onm11taf·ión c·<>nl<> difc>re11(·ins dP Prlades son posil)les.
,'j6.'f.
-
223 -
La labor requerida es muy superior al beneficio obtenido; se prefiere entonces, usar tln método de aproximación que mantenga los resultados de
los cómputos dentro de un margen de error tolerable.
*365. Lo mejor es hacer uso de una fórmula de integración aproximada..
Por ejemplo, la de HARDY.
611
Uz dx =
n (0,28 Uo + 1,62 Un + 2,20 Uan + 1,62 1l5n + 0,28 Ur;n)
o
Que, en virtud de la conocida propiedad
C.4· ,,
<in
o
l~n
ti.e
•
1 :.'ll
<le -- 1)6n
se torna
Uz dx =
u
n
0,28 [uo + 2 (ttsn + U12n + 'U18n + ... )] +
+ 1,62 (Un + tl¡n + U-1n + Uitta + ... ) +
+ 2,2 (U3n + Ug,. + U15,. •.. ) } ·
Cuando se la emplea en cuestiones de esta índole, es de práctica detener
el desarrollo en el ténl1ino en 7n. Y se tiene, asf, la fónnula \rulgarmente
conocida como la ''39a''.
Entonces queda:
•
o
+ 0,56 U&n + 1,62 U1n
..-\u11que la tabla Hm no es apropiada para el cálculo de rentas
-su mortalidad es demasiado elevada , como está ajustada por la f órmula de (· ;oMPJo~JtTz-2\f AKEHAM servirá, ahora de base para ttn ejemplo IllJmPriro. Se \1tilizar:1n primf\r(> Jas ventajas que da el poder s11bstituir vidas
de edades distintas por vicias de igual edad. Y. luego, se aplicará la fórmula
''3!la '' }Jara <)omparar l<>S rcsulta<los.
366.
A'j('mplo.c; n1l11t f. rico.s. l. J-I:illar el valor rl(• una renta ' ' italicia ver1eicla.
pagadera mier1tras subsista el gr11po l]Ue for1na11 tres perso11as de edac.le:-;
35, 40 ). 50 años, respectivamente. H"', 4 %.
-224Se toman las vidas más jóvenes. Entre los 35 y 40 años de edad hay
5 de diferencia. Para esa diferencia, la tabla de envejecimiento un.iform.e da,
para dos vidas, t = 2,78. Luego, se puede reemplazar las dos vidas en
cuestión por dos de 37, 78 años de edad cada una.
Tómese, ahora, en cuenta la tercera vida. Entre 50 años y 37,78 hay 12,22
de di~e·rencia. La tabla de envejecimiento uniforme, 3 vidas, da para
las difere~cias de 12 y 13 años los valores de r aumento de la edad más
joven
de 5,58 y 6,19 que difiere11 en 0,61. Interpolando linealmente
queda 0,22 X 0,61 = 0,1342.
El valor correspondiente de 1· es, por lo ta11to, 5,58 + O, 134 = 5, 714.
Y la edad común que reemplaza a las edades 35, 40 y 50 es, en conse· cuencia, 37,78 + 5,714 = 43,494 ~ 43,5.
Para las edades 43 y 44 se tiene para la.~ rentas sobre tres vidas iguales los valores 9,868 y 9,616, respectiva.mente. Para 43,5 corresponde,
_pues, el valor
9,868
0,5 (9,868
9,616) = 9,742
•
*11. Apliquese al mismo ejemplo la fórmula de aproximación ''39a''
.como si la tabla no estuviera ajustada por la f órnitda de GoMPERTZ-MAKEHAM.
Como es l102 = O, se busca para n un valor tal que, para la edad más
.alta se tenga --al ser t = 7n- un valor muy próximo a 102. Sea ri = 7.
Resulta, asi, 50 + 7n = 99. Y el último tér1oino considerado puede dejarse
de lado sin afectar el resultado. Aquí se le conserva al sólo efecto de com_probar tal circunstancia. Es, pues,
a15:
'º:so =
1
=7X
l15
Z.o lr.o
(0,28 v0 l3s l40 l;,o
+ 1,62 v
7
l42
l.1 ls1 +
+ 2,20 v lss le1 l11 + 1,62 V l10 l1r, l85 +
21
35
Y el cálculo logarítmico se dispone - -por lo general- como se indica
-en ~l cuadro sigt1iente.
~
§
Q..
(:>
r:r.
H
r,;-'
1
e:
~
s• Q..
~
3 o
~
«o e:
...,
.
=o
t = 3n = 21
coeficiente:
2,20
-1,88077
-1,64230
-1,40383
-1,28460
-1,16537
4,93519
4,91528
4,86210
-1,44716
15,28743
4,90638
4,88069
4,80398
0,20952
15,28743
4,81393
4,75654
4,55075
0,34242
15,28743
4,57952
4,40827
3,73902
0,20952
15,28743
4,31662
4,00415
2,75967
-1,74819
15,28743
3,83531
3,25527
0,95424
0,20952
15,28743
.
Suma
-1,44716
-l·,96877
-1,39337
-3,62759
-5,40066
-8,70714
antiJog
0,2800
0,9306
0,2474
0,0042
0,00003
0,075095
coeficiente:
0,28
CONCEPTOS
("".)
~
~
("".)
-o
a
o
,...;
(":)
~
:::;,
-·
o
("".)
~
log v'
log l85+t
log l•o+i
log l6o+t
log coeficiente
colg la5 + colg l•o + colg l50
~
C'D
o¡:;r
--·
C"'1"'
CD
,_,
ªªs
= 40 = 50
Q..
o
~
o
...,
-o
C'D
35 t=6n=42 t = 7n = 49
coeficiente: coeficiente: coeficiente:
. 0,56
1,62
1,62
t=n=1
coeficiente:
. 1.62
t
00
t = 5n =
.
..,
10,2356 - [0,5 -
1
/12 ('1a6
+ '140 + ""6o + 8)]
= 102356 _, 05 __o_,oo~s5_4_+~o_,~_9_9_0_+_0_,_01_s_42~+_0_,o_a_92_2
~
o
'
s
'
12
~
t:"1"
= 10,2356 - (0,5
8.
o
o
o
a3r, s
'º
i
óO
= 9,7417 ~ 9,742
0,00609)
N)
~·
c:Jt
'
= 1 <0,2800 + o,9aoo + 0,2414 + 0,0042 + o,ooooa). =
= 7 X 1,46223 = 10,2356
Luego, en virtud de la (339)
a3s: 40: so. =
1
•
••
CAPlTCJLO VIGiSIMOSEXTO
SEGlTROS SOBRE VARl ...\S VID.~S EN• CONJUNTO
1
SEGUROS DE VIDA ENTERA SOBRE DOS VIDAS
367. En los seguros sobre dos vidas en conjunto tal como ocurre
con las rentas- pueden presentarse dos casos: a) que el seguro sea pagadero a la disolución del grupo
a la primera muerte (b) que se pague
al fallecer el últinw sobrevi vient.e.
Consideremos el primer caso. La probabilidad de que la primera muerte
se produzca el año enéS'imo es, (92)
n-1/q zy = n-lP z11
tiP ~V
Un peso pagadero al fin de ese año tiene, hoy, un valor de
Y un peso pagadero al fin del año en que tenga lugar ese primer fallecimiento cualquiera que sea el afio tiene 11n valor actual de
" == ,.. - J:
~
AZJJ =
V,.
n= w-z
n-1/qz11 = V
~
,,=z¡
n==l
n==w-z
n -= 1
Asv = Vª• - aZll =
= (1 -
d) aZll -
= 1
d dzy
•
••
(344)
(az"
1) =
(345)
Fórmulas análogas a las (192) y (196) referentes a una sola vida.
!168.
Si se escribe
(346)
la 1344) pe1·mite ealet1lar, co11 facilidad. los valores de M.a:u·
-
227 - ·
En efecto
Az11 = V
V N z:y - - N z+t:11+1
azy - - a. %1J = - - - - - - - - D zu
Luego,
M %11 = V N %11
N z+t:11+1
(347)
Fórmula similar a la (193) para una sola vida.
Considérese, ahora, el segundo caso. La probabilidad de que, dadas
dos vidM, (x) e (y), el segundo fallecimiento tenga lugar el año enésimo
es, (93),
369.
Lt1ego, el '"alor actual de un seguro pagadero al fin del año en que ocurra
el segun(lo fallecimiento, es igual al de un seguro sobre la vida de (x), más
el de un seguro sobre la vida de (y), menos el de un seguro todos ellos
por el mismo valor·, uno en este caso a la disoluci6n del grupo primera
mtterte- desde que la suma asegurada sólo se paga una vez ocurrida la
segunda,
A;¡¡ = A: + A 11
Azu
. (348)
II
SEGUROS DIFERIDOS Y TEMPORARIOS O TEMPORALES .
370.
Si el seguro es diferido, se tiene:
(349}
= nE zr1 ( 1
d a~+"s11 +n) =
•
•
••
{350)
en el primer caso.
y
(351)
e11 el segt111(lo.
-228371.
Si el seguro es temporario, se halla, en el primer caso,
/ nAz11 = Az11
n/Az11
= 1
ddz 11 - (nEzu - d • n/tir,¡) =
= 1 - nEz11
ddx11 :;j
(352)
(353)
Y, en el segundo,
(354)
III
SEGUROS MIXTOS
372. Si se trata de un seguro mixto -un temporario más u11 capital diferido
se tiene: en el primer caso,
Azu :;¡ = / nAz¡¡ + nE z 11
= 1
d ªzu : ñi
(355)
(356)
fónnula del tipo de la (199).
Y, en el segundo caso,
(357)
IV
SEGUROS PAGADEROS EN EL MOMENTO DE LA MUERTE
373. Las fórmulas que anteceden correspo11den a seguros pagaderos
a/, fin del año en que ocurre el deceso. Si se quiere el valor actual de un
seguro pagadero en el momento mismo en que ocurre la muerte, se puede
hacer Ja corrección ya en1pleada cua11do se trataba de seguros sobre una
sola vida, introduciendo el factor (1 + i)~ que trae el pago de la suma
asegurada a mitad de año,
-Az11 = Ar11 {l + i)
·~
(358)
*374. Pero, mediante un razonamie11to muy sencillo, es posible mejorar esa aproximación.
U11a renta contin1ta <le un importe a11t1al igt1al a a ._ ·-i11t(.. rés <'f)Jlti11t10
de un peso-- pagadera mierttras ,.¡,.a Pl grt1pc• <1ue f orma11 (.r} (\ (!1) tip11~
-
229 -- -
-
u11 valor actual de óa ru· 8i de u11 <~api tal <le uno s<~ resta el ,ralor de esa
renta, ¿<Jlié queda'! Ese mismo ca1)i tal pagader<) a la Jlrimera muerte: a
la disolució11 del grupo: el status. Es, pt1es,
-A
ry
= 1-
-
~
;.,¡ a xy
(359)
Fórmula análoga a la (204) para una sola vida.
Si el seguro es pagadero al fallecer el último sobreviviente, se tiene,
como es 1ógico,
(360)
375.
Y, para los seguros diferidos, temporarios y mixtos, resulta:
n/A%7/ = nEzy • Az+n:11+n
nÍ A;y = n/Az + n/Au/ nAz11 = Ary
n./ A ry
(361)
n1/ Ax:1
(3G2)
(363)
/nA-;y = /nAz + / nAy- / nAxy
-Axy: ~ = / nAxy
+ nExy
(364)
(365)
(366)
V
,
SEGUROS SOBRE
376.
~IAS
DE DOS VIDAS, PAGADEROS A LA PRIMERA MUERTE
Dadas m vidas x, y, z, . .. w, se ha de tener
t= w-z
~
Az"z ... w =
=
t= 1
lJ
vt (e- -1Px11 . . . w -
ary . . . w -
= 1- da
tP:r:y . . . w)
a ry . .. w =
(367)
(368)
Zfj . . . IQ
puesto c¡ue la probabilidad de que la primera muerte oct1rra el año t e::;
igual a la difere11cia entre las probabilidades de <Jlle el grt1po le) empiece
y lo termine sin bajas.
Pero es fácil dar ttna demo8tra(•ión directa, basada e r1 ~l mét t)do de inducrió11 matemática c·ompleta.
Basta prol)ar <1ue sie11<lo <·ierta pa1a ,,, - -·- 1 , ·iclas, lt> ~s tan1l>ié11 para m.
J"'a probal)ili<la(l de ciue, dadas 111 - 1 ,· i<.la~, ln, 1>rin1era mtl('rtc o<·t1rru.
el año enésin10 es:
I
n- 1 ·
q.ry.. . ,11- ·l
lt·-- l]J I'/
. . 111 -
l -
-
1tp I ,1 . . . ,,,- 1
-
230-
Si se introduce una nueva vida, (v), se pueden presentar dos casos: a)
que su muerte sea, precisamente, la ú·nica que se produzca durante el año·,
b) que, prescindiendo de (v), ocurran otra u otras.
En el primer ca.so, la probabilidad del hecho es
nP,) • nP ZIJ ••• ( 111- 1) =
n-11q, • nP Z'IJ ••• ( m-·1) = (n-lPv -
= n-lPo • nP %'// ••• ( m~l) -
nP zuz •.• {m)
(a)
En el segundo caso, como se disuelve en el año el grupo que forman las
otras m
1 vidas, la muerte de (v) no ejerce influencia decisiva: basta
que ocurra desp·ués de empezado el año enémmo, es decir, basta que viva al
principio de ese año. La probabilidad correspondiente, es, pues,
n-lP" • n-11q ZJ1 ••• { m-1) = n-lP-o [n lP Z1J ••• ( m-1} -
- nP zy ... (m-1)] = n-lP zy ... ..{ m)
n-lP• • nP z11 .•• ( m-1)
(b)
Y, sumando (a) y (b) se tiene la probabilidad buscada
.
n-lq Z1J • • • ( m)
nP Z1J • • • ( m)
= n-lP z11 • • • ( m)
Y quedan de1nostradas la (367) y la (368).
S77. Se ve, sin esfuerzo, que es posible extender a cualquier número
de vidas todas las f órmt1las dadas hasta aquí referentes .a dos vidas para
seguros que se pagan cuando se disuelve el grup.o el swtus- es decir,
a la primera muerte.
Resulta, así,
n/A:11 ... (m) = nEz11 ... (m) Az+n:¡¡+n ... (m) =
(369)
d • nia%11 • • • em>
niA%JI ... (m) =
(370)
(371)
(372)
(373)
(374)
= ,.E Zll • • • em> / nAz11 .. . (m) = Az11 ... (m) -
da ZJI ••• <>-1
m :n
=1-E
n zu . . . <>
m
..:\ %11 ... (m) :
*378.
ñi = I nA Z'JI • • • t m) + nE zv . . . {m) =
= 1 - d azu ... (m) : ñi
O, si los seguros se pagan en el momento del deceso,
A zv . . . ( m) = 1 - oa zu . . . ( m)
-
n/Az',J ... <"•> = nEZl' .. . cm> (1 - ·aaz+n: 11 · ~", .. . <•) =
= nEZlf ... (m) -
O• n/llz11 . .. (m)
/ nA%1J ... (m) = A%1/ ... {m) - - nlA~ ... (m) =
= J. - - nE ry . . . ( m) · -
..\ ' J ... (m) ~ ;,·, = / n A zy .
== J. -
( m)
~aJy ...
1
+ nE
m) :
;¡
-
aa
zt1 .
. ( "') : ;J
%71 • • . ( '" i
(375)
(376)
(377)
(378)
(379)
(~80)
(381 )
-231-
VI
,
SEGUROS SOBRE MAS DE DOS VIDAS QUE NO SE PAGAN
A LA PRIMERA MUERTE
*379. Sean ahora, tres vidas, (x) (y) y .(z). El 'ralor actual de un seguro
de itno pagadero después de fallecido el ídtimo sobreviviente al fin del
año respectivo es:
da;;z =
A~= 1
(382)
z
= 1 - d - -+-z- = 1 - d
1
cz - z2 + Zª) =
= 1 - d [dz + ª11 + ª" - (azu + iiza + a,,.) + ª~·1
= Az + A11 + Az - AZ'.I - Az, -
"-~1J•
+ A~.
(383j
Si se trata de un seguro sobre las misanas tres vidas, pagadero después
del segundo fallecimiento, se tiene:
d a-2
=
Z1JZ
A_:=
1
%1/Z
= 1-
d
z2
(1 + Z) 2
(384)
= 1-
d (Z 2
2Z 3) =
= 1 d (dZll + dz:e + ii11 z 2 d%1/,) =
= Azu + A:. + A 11• 2 AZ11•
{385)
*380. Sea m el número total de vidas. Si el seguro se paga al fin del
año en que ocurra el rm0 fallecimiento, es decir, un año al principio del cual
vivian por 'lo menos .m - (r
1) personas, el valor actual de ese seguro es:
d a.. m--r + 1 -
(386)
zm
= 1-d-----(1 + Z) 11a-r+t
(387)
.,
1
A x11 ••• (m) -
~11 ••• (m) -
r+l
En el ejemplo anterior eran rri = 3, r = 2, y, también, m Si son m = 4 y r = 2, será m - r + 1 = 3, luego,
A
2
= 1-
da 3
zt!%W
= Az11:
+
+ 1 = 2.
Z3
= 1 - d - - - - = 1 -- d (Z 3 - 3Z') =
(1 + Z) 3
X1JZW
= 1 - - d (iiz 111
r
+ Üzyto +
+ d11zw -- 3 dzyiw) =
+ Azzio + A11zw - 3 AZJl•W
Aryu1
d%tetll
(388)
-232*381. Si los seguros fueran diferidos, temporarios o mixtos no habria
más que aplicar las relaciones conocidas
niA
r =
xy ••• (m)
nE m-1" + 1 • A
xy ••• (m)
,. =
(389)
x+n : 11+n: ..• (m)
_ E m-r+l _d. / .. m--r+l
-n
XJI • • • (m)
I nA%11 • • • (m ") = A xy • • • (m)r = 1A
r _
%1J • • • (m) : ni
=
(391)
da m-r+1 -
(392)
ni Ax11 • • • ( m)r
E-m_--r_+_1 n
(390)
t i a X:J • • • (m)
xy ••• (m)
ZJI ••• (m) : ni
= I n Az11 ••• (m)r + n E xum-1"+1
. • . 'm) =
(393)
1 - d ii m-f"+l -
(394)
zy ••• (m) : ni
*382. Y todas las fórmulas dadas en los dos párrafos a11teriorcs valen,
asimismo, para los seguros pagaderos i1unediatamentc después de producido el deceso, con sólo poner, donde corresponda, o en vez de d y en lugar de ii.
a
VII
,
PRIMAS ANUALES Y RESERVAS MATE.l\fATICAS
. 383. En cuanto a la determinación de las primas anuales y periódicas,
no es necesario extenderse mucho. No hay más que dividir, en cada caso,
la prima única de que se trate por la renta vitalicia que corresponda. I.ia
única dificultad
no material, sino de criterio- que puede presentarse
es elegir la renta. Es una simple cuestió11 de buen sentido y de ajustarse
estrictamente a los térmi11os del problema. Si se busca, por ejemplo, la
prima anual de un seguro de vida entera sobre m vidas pagadero inmediatamente después de producido el r'"º fallecimie11to: se tie11e :
p
r
z11 • ( m)
A
r
xy ••• (m)
= d m- r + ~ =
(395)
xy .•• lm)
1
--- d
m-r-t-1
..
a-:ry-.-..-(m-)
(396)
Pt1esto que la prima sólo se paga c11 tanto vi\·ar1 rn, ~-- r + 1 personas,
es decir, mientras el número de muertes 110 pase de r -- - 1.
-
233 -
384. La prima a11ual de un seguro de muerte pagadero al fin del año
en que m.u era el último sobreviviente del grupo que fon11a11 (x) e (y) es,
del mismo modo,
AXj/
P;y = a;¡¡
1
=
a;;
••
(397)
-d
(398)
Az + A11-Axy
--
ax + dy - ª%"
(399)
Pero si la prima sólo se paga mientras viva el grupo i11tacto, resulta:
.
.\.X"
.
P=
~
(400)
Y si se paga sólo en tanto viva uno de ellos expresamente designado
(x), por ejemplo,
A;y
P=385.
(401)
Y lo mismo ~abe decir de las reservas.
La fórmula (271)
V(m)
=
Á(m) -
P ll(ni)
es absolutamente general. Lo único que se requiere es apli<·arla a los valores que corresponde utilizar.
Asi, en el último ejemplo considerado para el cálculo de la prima anual
-seguro pagadero a la segitnda. muerte y primas paga<leras e11 ta11to vi\~a
(x)- la reserva, al cabo de m años es -si vive11 aún los dos- ,
(402)
Si solamente l~i ve (x),
mVx = Ax·tm-I>az+m
(·! 03 )
Y si sólo vive (y)
m
pttesto <¡uc
V11 =
6 . \
y +m
·''ª no hay prima algt111a r1t1c pagar.
(-!0-l)
CAPITULO VIGÉSIMOS~PTIMO
ltENT.;\S Y SEGUROS DE SUPERVIVENCIA
I
RENTAS DE SUPERVIVENCIA SOBRE DOS VIDAS
386.. Dadas dos· vidas (x) e (y), la probabilidad de que
al fin del
año enési,mo- (y) esté aún en vida, habiendo muerto, con anterioridad
(x) es
Por lo tanto, un peso, pagadero a (y) a fines del año n, siempre que (x)
haya muerto ya, vale
{405)
Y una renta vitalicia, pagadera a (y) a partir de la muerte de (x) tiene
en consecuencia un valor actual de
{406)
387.
Para las rentas diferidas y temporarias se tiene
{.407)
y
(408)
Tratándose de rentas diferidas puede, también, convenirse que
la renta sólo se pagará si la muerte de (x) tiene lugar después de corridos
388.
los n primer<JS años.
Con esa condición, el valor actual de la renta es
(409)
-
235 -
389.
Y, naturalmente, las fórmulas a11teriores se pueden extender sin
<lüicultad, a las rentas que se pagan en m. cuotas anuales y a las rentas
. ~on tinuas.
Se tiene, entonces,
a (71,) = a<m)
z/u
u
m-1
m2 - l
2m
12m~
= ª11 + - - - - - - - (µ¡, +
a (m)
(410)
xy
m-1
8)-a-1----+
-·
2m
m'
+ 12m
2
= ªJI -
m2
1
("z + ~ + ~)
1
ªZ11 + --tLi:
2
12m
(411)
. Por lo tanto,
-
{412)
Y, correlativamente,
n
= " /a<m>
/ a<m>
r./11
11
(m) az/11
: ni -
ª{na) -
11 : ni
.. /a~>
-·
(410)
a(tn) -
(414)
...
Zfl : n!
y
(415)
-
-
-
ªZ1/:;j
(416)
11
REXTAS DE BUPERVIVE~CIA PARA GRUPOS DE MÁS DE DOS VIDAS
Sea un grupo compuesto por m vidas y dividido en otros dos
que comprenden r y m - 1 · vidas, respectivamente. Una renta pagadera
al primer grupo a partir del momento en que se disuelve el segundo y en
tanto permanezca el primero intacto, se puede indicar mediante la relación.
390.
ª< m--r) /(r) = a cr)
a(r)(•-r)
(417)
·cuya apariencia es exactamente igual a la (405).
La generalización es menos satisfactoria de lo que, a primera
vista, parece. Cuando se trata de dos vidas la cuestión es clara. Si la primera mt1erte es la pr<~,·i::;ta <~11 el contrato, el sobrc\"iviente cobra la renta
,'!J91.
---- 236 -----··
asignada mientra:; viva -o dura11te el plazo estipulado- . l\fás, si en vez
de ser dos vid~~ únicamente, son dos grupos de vidas las cosas se complican. La situación considerada -generalización de la que corresponde a
sólo dos vidas- no es si110 u1i.a de las tantas que se pueden presentar. En
eferto, se ha admitido que la renta dura desde la disolució11 del grupo de
m - r vidas, hasta la disolución del otro grupo: el de r vidas: desde que
se produce la primera muerte en el uno, hasta que tiene lugar la primera
muerte en el otro. Pero las convenciones hechas pueden ser muy distintas.
Pueden tomarse en cuenta la primera, la segu11da, . . . la m - r muerte del
uno, en combinación con la primera, la segunda, ... la r muerte del otro.
Y ya no cabe valerse de la (417). Es preciso hacer en cada caso, con el
auxilio de la (333), un prolijo análisis para llegar a la expresión deseada.
Y, si el número de vidas es demasiado grande, la complejidad de los cálculos
-complejidad material, no lógica- puede hacer preferible desistir del
procedimiento y buscar una for111a de aproximación, menos precisa pero
más manejable.
•
392. Considérense, por ejemplo, tres vidas (x), (y) y (z), y véase cuantos
casos se pueden presentar.
a) A la muerte de (x), el grupo (y, z) percibe -mientras
subsiste como
•
tal grupo
la renta
(418)
a z/11z = ayz - a zyz
b) A la muerte de (x) se paga la re1~ta, no sólo al grupo (y, z), si110 al
último sobreviviente del grupo,
(419)
(419, a)
e) ,.\. la disolt1ción del grupo (x, y) -primera muerte
la renta,
ªzu/z =
a, -
aryz
entra z a cobrar
(420)
d) .i\ la muerte del último sobreviviente del grupo (:r, y) entra a <·olJrar
la renta, z,
(421)
a;;;z = llz - a;y: ~
= a, -
(a.r.:
+ ayz - azuz)
(421, a)
393. ..\ú11 cabe11 más coml>inac·io11es, i\Rí, Jl . t'j., t111a re11ta pagaclera a
(x ) ~ a partir de la muerte clf' (z) -- 1>rimer~ <lel ~11.lp<• «111P f orrna11 (,11) Y
-
237 -
(z)- es igual a una renta de supervivencia, pagadera al grupo (x, y) al
morir (z), más la renta que continúa luego de morir (y) si vive aún (x).
•
(422)
••
(423)
Valor este último de la renta pagadera a (x) cuando sobrevive a (z) y
a (y), siempre que las muertes se produzcan en el orden dado.
•
•
*394. El valor de a 11~/ z se halla directamente sin dificultad. Es preferible tomar la i·enta continua 11!/ z, que permite el empleo de una fórmula aproximada de integración -como la ''39 a'' usada ya antes-.
Y al tomar una renta por otra no se comete, en este caso, un error sensible
porque, como las rentas de supervivencia se resuelven, en definitiva, en
una diferencia de rentas -aunque e11 la fórmula final a veces no se vea-,
los términos correctivos que pesan se anl1lan recíprocamente (412).
La probabilidad de que en el año t muera (z) quedando aún en vida (x)
e (y) es:
lz+t • l:¡+t • d.+t-1
l z • l11 • l,
a
Y el valor de la renta a favor de (x), que entra en vigor al morir (z):
w-%
. t¡ z (\)= ªuz
-1¡ z -a.,,
o
f.• -
lz+t
vt
lz
o
l11
-N x+c
%
l11+t
-
•
dz+t-1 •
• az+t dt =
l.
l11+t
lu
dz+t-1
•
lz
<-> -
vt lz+t
•
lz
•
Dz+t
%
1
=----l11 • l, · D z
donde
dt =
(422, a)
o
~ z+t = ,!1 (~ z+t + N z +-t +1)
III
SEGUROS DE S-CPERVIVE~CIA SOBRE DOS VIDAS
Gn peso pagadero al fin del año t, siempre que en dicho afio muera
una persona (x) y, al morir, deje aú11 en ,·ida a otra persona (y), tie11e un
valor actual v' • i-1/ q!u· Y, <on10 por -105-- es
395.
1
fqlzy .......
}/
t-1
./2
p
t - 1 Z !I -
p I,11
t
t p :r
- 1: ,,
p
- -1
7J .r : y -- 1
+ ---- -----I
t
py--1
•
• •
- -· 238 .
.
v'(i-1Pz:J1 -
cPZ11) +
v' tPr-- 1: 11
v' tPz s sr-t
Pz--1
Pv--1
- --- - - -
Si se hace variar t desde 1 hasta w x, se tiene el valor actual de un
peso pagadero al fi11 del año en que muera (x), viviendo aún (y).
(¡)-z
c.a - z
~ v' tP:t:-1 a"
w-z
f =
~ v' cPz, .,-1
1
C= 1
tPzu) + - - - - - - P..- i
~ v' (t--1Pz11 t= i
-----
(424}
Pv--1
Y, reemplazando valores,
az i v-1
az-1: 11
A!y = 72 Azu + - - - -
----
P r--1
1
•
••
(425)
Pv--1
a~ : v--1
----
Pv-1
Pz-1
a r-1 ' 11
Azy = ~2 1\xy + - - - -
(426)
S11madas la (425) y la (426) dan la prima pura y única de un
seguro pagadero a la disolucióri del grupo que forman (x) e (y), puesto
que en definitiva el seguro se paga a la primera muerte
396.
•
Az:11 = A!u + Az!
Si x = y, resulta
• •
••
A~= %Au
{427)
(428)
Se tiene, también,
. A~11 + A!, = A:i:
A;11 = A:t;
AZ1J2 = •A11
897.
•
••
A1
.
%fl
•
••
Az!
(429)
(430)
Si en la (424) se limita la st1ma a los n primeros tér1oinos, queda
1
/~Zf/ = ~
A 1
/ ,.,n.z11 =
/
nAz11 +
lL / A
7 2 / n ZI/
at-11711-;i
az1u--t1ñi
P~1
Pr-1
'-
+ a z ssr-1 z-;¡ - a
Pv-1
1 1 11 1-;j
;e
•
••
(431)
(432)
P z-1
Y, por lo tanto,
•
/ nA!11 + / nAz! = / ,.AZJ/
••
/ nA!u = / nAz11
/
nAz!
(433)
/.A;, = / "AZJI
/ nA!i,
(433, a)
-239898.
Análoga.mente
/ nA!,, + / nA;IJ = / .Az
/.A~ = I nAz
•
••
I nA!.,
(434)
y
{435)
S99. Para los seguros düeridos valen las mis•••as relaciones. Basta
sumar la (424) a partir del término para el cual es t = n + l. Son, as(:
niA!i, = niA
:1:11 -
,./A~ == ,./A Sfl
niAx! ·
niA!11
(436)·
(436, a)
y
niA~11 = niAz; - niA!11
,.1A~ = ,.1A ,.1A~
(437)
(437, a)
11
400.
Si los seguros han de pagarse inmediatamente después de producido el deceso basta introducir el factor (1 + i)~. La corrección da una
aproximación suficiente para las aplicaciones prácticas.
•401. Pero es posible encontrar una fórmula aproximada mucho más.
interesante.
Por la (58) es:
"
n-1
Por lo tanto:
w-z
•
o
y
-1
v' ,p Z1/ "-z+I dt
Az.11 =
o
Dando a "-~+• el valor aproximado (61)
'1z+t =
•
lz+t-1
lz+t+l
2lz+t
(438)
-240queda
lz+t lu+t
lz+t-1
lz+t+l
2lz+t
_
-
=%
lL
72
-
l11+t •
l11
•
-
•
=
31
tP r-1 : 11
•
••
Pr-1
,.,_,
-1
AZ11 = ~
Vt
o
tP r-1111
dt -
Pz---1
V t p z • tP z+ 1 1 11 dt
•
••
o
ar--1: 11
(439)
Pz 1
IV
SEGUROS DE BUPERVIVENCI.~ SOBRE MÁS DE DOS VIDAS
40S. Por un procedimiento similar al que sirvió para establecer la (112)
-referente a dos vida.s- se puede hallar la probabilidad de que, dadas
¡res vidas, (x), (y) y (z), la muerte de x ocurra el año enésimo y sea, a la
v-ez, la primera.
. Cuatro son las fo11nas bajo las cuales se puede presentar tal acontecí•
mento.
a) Que muera
. (x) dentro del año y queden en vida, al fin de él, (y) y (z) .
[,a probabilidad correspondiente es
nPz--1: 11: z
= ----- - nPZ71z
Pz---1
b) Que mueran (x) e (y) dentro del año -pero (x) antes que (y)- quelando en vida, al fin del él, (z). Probabilidad:
- - - - - ·- - - - - - p r-1 : ,,- - 1
p r-J
nPz:11-l: z
-
Pu-1
- + ,,]) ryz
-
241 -- -
e) Que mucra11 (x) y (z) -pero (x) c11 primer tér1ni110-- j" sol)rC \'i\~a
(y). La probabilidad es igual a le. anterior co11 sólo caml)iar (z) por (tJ) y
•
viceversa.
nP x : 11 : : --- 1
nPr-l:y: z
nPx--t:u:r--1.
- - - - - - - - - - -Pr-1: :-1
+ "p
Pr-1
Px-1
.ru?
d) Qu~ los tres mueran dentro del año e11 cuestión, sic11do la <le c~r) la
primera muerte. Probabilidad:
Pr-1
P11-1
nP z : r-1 : z- 1
nP r-t : u : z-1
------ - - - - - - py- 1 : .:·-- 1
p ~1 : t"-1
- ------ Pr-1: v-1
Sumando esas cuatro probabilidades queda:
1
n-1 / q%1JZ -
l/3 (n-lP zui -
nP zuz) -
,,p
+
-
nP z : y-1 : z- -1
Pv-1: r--1
+1,16
11Pz-t : ' y--1 s z
+ nPr--1
P z - l :. y-1
i
U: ...--1 · _
-
~
. .- +
1 . 11 • .,.
Pr-1
nPr: v-t: z
n P r : /1 : z·-1
PY-1
p i·- -1
P r-1: z-J
(4-!0)
403. Si, ahora, se i11troduce el factor de descuento vn y se suma11 todo~
los valores que toma esa expresi6n cttando n varfa entre 1 y w ~ x, s~ tie11f~
el valor de A!11,. Es, pues,
l -- 1¡ 3
A r11i
Aru? -
a % : 11-1 : r--1
Pv -··-1 : .: -·1
ar-1 • ..--11,
az--1111: r--1
--~~~~ +--~--~~
Pr-1 i r-t
'Pz- J: ~l
a r-1 = u : =
+ ---- -r1> .r:---- 1
a~: rr-1 : "
Pu-1
(441)
1> - - l
•404.
La .expresión a que se ha llegado es (lema.~iaclo romplicaua par:i
ser ttsada en la práctica. E11 cambio la (439) qt1e puede sPr nn11>lia(la a
cualquier número de \·idas, con sólo i11tr0<lt1<·ir las prol)ahili<la<les (Jt· \·id~L
11ecesarias, es de fácil ma11ej o.
(l r
1 : !I : . . ( ni)
(-t ·I :::! )
- P r f I .r t-1 : !I : . ( ,,, )
p r--·-1
*401i.
Si lii tabla ele mortali<la<l ele <1t1r Re dis1><>11<\ 110 l11t si<.l<) !tjttslu•l:t
por la f<)rmula de G(li\111 1-:H.TZ-~ÍAKl-~HA~f, se JlUc<ll\ ))artir (l(• la (.t:JS i
t'(J-
-242rrespondiente a dos vidas- y extenderla al número de vid88 qtte interese
mediante Ja introdltcción de las respecti\'as probabilidades de vida
,., -
-1
AZJJI ... (m)
r
.
vt tPryz . .. (m) tJ.z+t dt =
=
(443)
o
;(a)-%
lz+t
l,,+t
v'
·-- •
l
l11
=
•
(443, a)
•
%
o
Bajo esta fonna es posible hallar su valor mediante una de las tantas
fónnulas de integración aproximada -v. gr. la conocida ''39 a'' utilizada
ya para el cálculo de las rentas en los párrafos 365 y 366-. Nótese que,
para aplicar esta fórmula, basta agregar a los cálculos que corresponden
a la renta y en cada uno de los términos que se consideran el logaritmo de µz+t· Es decir, que se pueden calcular, simultáneamente, el valor
actual de la renta y el del seguro, lo que es una ventaja cuando se 11ecesita detennina.r la prima anual. Más adelante se hará una aplicación numérica.
*406.
Sea, ahora, un seguro sobre tres vidas, (x), (y) y (z) que se paga
a la muerte de (x), si dicha muerte ocurre después de fallecido (y) y quedando en vida (z).
A la probabilidad de que eso ocurra el año t -si se admite que todas
las muertes acaecen, en promedio, a mitad de año se le puede dar la fonna:
t-1/q!,, = 1-1/qs (1- 1-uP11) • 1--uP•
1
puesto que la supervivencia no tiene por qué exceder la mitad del año en que
se conviene sititar las muertes.
El :valor de un peso pagadero al fin de ese año t -en esas condicionesse obtiene multiplicando por v' dicha probabilidad. Y el de un peso pagadero el año -sea el que sea en que ello ocurra es
t=f..a-%
A~z =
~
1
1
v' 1-1/qz (1
1-uP11) · 1-uP•
z
Ca> -
ds+1-1
= ~ vt---.
z~
1
-
dz+,_1
,,
l.+,_~ l.+1-~
- ... v' ls • l,,
l.
w-z
•
••
1
A2zw• = Aia - Atz111
1
(444)
·-
243 -
Expresión a la que se llega directamente co11 sólo co11siderar qtte la probabilidad de que (x) muera después de (y) pero antes c1t1e (z) es igual a
la ele que (x) muera antes que (z) sin conHiderar a (y) menos la de que sea
(x) el primero de los tres en morir.
*407.
Fácil es, ahora, hallar el \:"alor de un seguro pagadero siempre
4ue (x) muera en segundo ténnino, sin qt1e importe cuál sea el primero
ni el tercero. FJs:
. (445)
A!,. = 11• + A!,. =
A!
1
= A!.
=
1
A!,,, + A!i, - A!it• =
A!. + A!
11 - -
2A!
11•
(445, a)
*408.
Valor de un seguro pagadero al fin del año e11 qt1e muera (:r)
cuando esta muerte ocurre después de las de (y) )" (2). Se pt1ede escribir,
razonando como en -406-
•
v' • 1-1/qs • (1- t-~Pw) (1- t-uP•) =tt-%
w-s
1
l
= l: v' • 1-1/q~ ·+ ~ vt • 1-1/qz • t-J.iP11• w-z
~-%
~ ~ v' • 1--1.l qz • 1-72P11
1
= Az -
~ v' • ,_.1,l<J6 • t-}i]Jz =
1
A!i, -- A!. + A!ua
(446)
Por un razonamiento directo se l~ega al mismo resultado. Si de un seguro
de vida pagadero a la muerte de · (x) se restan, sucesivamente, los que corresponden a los grupos (x) (y) y (x) (z) en los casos en que (x) es el ¡Jrimero en morir, se tiene un valor inferior al real, pues se ha restadd dos
veces la muerte de (x) e11 primer término. La corrección necesaria es sumar
el seguro correspondiente al caso en que sea (x) el primero en morir, dentro
del grupo que forman los tres.
*.~09.
El va,lor <le un seguro pagadero al fin del año en c¡11e muera (x)
si esta muerte ocurre arites de que fallezca el último sobrevivierite del grupo
que forman (11) y (z) es la suma de los valores de los seguros que se pagan
cuando (i~) muere en primero o er1 segundo tém1i110
A! :;. = ~\!v, + 1\!v• =
= 1\!~ + A!. -- A!r•
(447)
(447, a)
-
244-
*410.
Ri el seguro se paga al fi11 del año e11 que oct1rrc Ja primera muerte
'
cle11tro del grupo (x) (y), y esta11clo aú11 en ''ida (z), su valor es:
(448)
puesto qut~ se· paga tanto si el primero en morir es (x) como si es (y).
*411. Y, si se paga al segundo fallecimiento, dentro del grupo que f or. ma11 (x) ·e (y) estando aún en vida (z), su valor es:
(449)
o, por la (444)
(450)
*412. Se vió ya, (442) y (443) el valor actual de un seguro pa.g adero
-dentro de un grupo de m vidas- a la muerte de (x) siempre qt1e sea
esa muerte la primera.
Busquemos, ahora, el valdr de un seguro pagadero al fin del año en que
-dentro de un grupo de cuatro vidas, (x), (y), (z), (w)- muera (x), siendo
su muerte la segunda y habiéndole precedido (y).
Re razona como se hizo -406- cuando, dentro del grupo de tres vidas
se prese11tó el mismo problema. Basta incorporar al grupo la nueva vida, (w):
J' la prima del segt1ro en cuestión es:
(451)
J,t,'J. Rea ttn segt1ro pagadero al fi11 de] año en c¡ue muera (x), habiendo
mt1erto a11tes (z) e (y) , en el orden dado. E~
2
Aaz11• = Azt1t.
1
d .. 2
(-152)
ªuz / :r.
1
En eferto, los c}o.q segl1ros <la<los e11 Pl primero y en el segundo miembro
respo11de11 a ttn mismo orcle11 en los f alle<·imie11tos. El primero es pagadero a la t.ercera muerte y el segundo a Ja segunda. Este es, p11es, mayor Y
la diferencia entre aml)os es, ral)almente, tina renta antiripada por un
importe a11ual igual al desc11mt-0 del ciapi tal u110, <1t1c se retie11e, por Pl tiempo .q ue media desde <1ue mttere (:11) - ·-despuéR <lt• (z) y deja1 ido e11 vida n.
(i:),- ·- l1asta que éste mt1ere, taml>ié11 , ptteR, t 11tonc·es, se l1a<·e exigi})le el
capital a.~egt1 racl<>.
1
-
245 --
*414.
Se ve <fll(~ -c·t1alc ¡ttiera <{tl(~ :-;(~a el 11tín1(~ r(' <le ,·idas- - PI proredimie11to es el m 1smo. I>or lo demás, 110 so1t de ttso fre<·t1e11te las ,.oml>ii 1al·iones arbitrarias o rapriehosas. Y, en líltin10 tém1i110, lo más prárti<'(> Ps
apelar -como antes se i11dicó- a eual<111iera <le las fórmulas <le i11tegración aproximada conocidas.
Ya habrá advertido el lertor a, (~sta altura, que, de los números c¡ue marca11 el or~en de los fallecimientos, sólo el que hace exigible el pago del sel(Ur<> se coloca sobre el l"Ubí11dice respe(•ti''º· Los demás van debajo de los
correspo11dientes subfndit~es.
·pftlMA8 ANUALES
415.
Téngase presente, ante todo, lo dicho -383 al 385-. Las fórmulas
generales dadas para las primas a11uales y para las reservas en capítulos
anteriores son aplicables a toda suerte de seguros. No hay sino disl·riminar,
en su hora, (~uál es la renf,a que corresponde de (•orúormidad con los términos del problema.
Vayar~, como ilustración, algu11os casos.
Sea una renta vitalicia diferida por n años pagadera a (y), después de
la muerte de (x) y cuyas primas se ha11 de abonár durante n años. I~a.i.;
primas s6lo se pagan mientras subsista el grupo í11tegro porque, si muere
primero (x), el derecho a la renta está ad<¡uirido, y, si n1uere primero (y),
termina el co11trato. Luego, se tiene:
I
11 1
Q X/ !1
nP z/u = - - dzy: ;¡
(-153)
416.
Sea una renta diferida por n años pagadera a (z) despt1és de la
disolución del grupo que fonnan (x) e (y). Calcúlese la prima temporaria
por n años.
Esa prima ant1al se paga solame11te mientras subsista í11tegro Pl grllJ)<)
que forman los tres interesad~ (x), (y), y (z,), porque, ~i muere (z) e11 primer ténnino queda sin efecto la operación, y, si muere (:r) o (y), está ya
adqt1irido el derecho a la renta. Luego:
(454)
-
246 - -
Prima Rrnual de un seguro de vida entera pagadero en caso de
que (y) sobreviva a (x)
417.
ptZN = A!"
•.
(455)
ª~
La prima sólo se paga mientras vivan ambos. Si fallece primero (x), se
paga el segl1ro. E11 caso contratio, cadttca.
Prima a11ual de un seguro }lagadero cuando -dadas dos. vidas,
(x) e (y)- se produce, en segundo término, la muerte de (x).
418.
(456)
La prima se paga mientras viva (x). Si es el segundo en morir, se paga.
el seguro; si ml1ere antes que (y), termina la opera,.!iÓn.
*419. Prima anual de un seguro pagadero cuando -dadas tres vidas,
(x), (y) y (z)~ es (x) el primero que muere
pi
ZJI•
= A!.v,
(457)
..
ª%11'
La prima sólo se paga mientras sub~sta el grupo integro. La primera
1nuerte hace exigible la suma asegurada, si es la de (x); si es la de (y) o
la de (z) pone fin al contrato.
•420.
Prima anual de un seguro que se paga a la muerte de (x) siempre
que esta muerte ocurra después de la de (z) y antes de la de (y),
.t\~.
1
(458)
·>
ªrll•1
J.~l seguro cad1tr(1, rt1and<l las mt1Prte8 1to .~·io11en el <•rdc11 l'st.ablcc~id<>.
\'
al morir (x) er1 segu11<lo lt1g[1r dc8J>ttés de (z)-r r1tc,·.
1
*4~1.
Prima anual de t111 8egur<> qt1e se paga a la muerte de t2·), siempre .
que esta muerte sea la segunda
(459)
La prin1a del)c pagar8<' n1ic11trns ,.¡,.[Lll (i·) y el tílt.imo so~>r<'\'ivic11te del
Jl:rupu <¡lIC f orrnan (y) y (z).
~ ó·tesr~ <tue es:
-
247-
•.~22.
Pri1na a11ual de. un seguro pagadero a la muerte de (x) s1• es su
111ucrte la últir11a e11 el grupo que forman (x), (y) y (z),
Aª
.~
P!"' =
ª~
(460)
La prima se paga mientras él viva, y es su muerte la que, o hace exigible el pago <le segu1·0 -si es la última en producirse- o hace caducar
el contrato, si se produce antes.
VI
RESERVAS MATEMÁTICAS
*423.
La reserva matemática al cabo de m años de un seguro pagkdero a la muerte de (x) si su muerte se produce en el grupo que fo1man.
tres vidas (x) ,(y), y (z)- en tercer lugar, y pagándose la prima mientras
viva (x) es
·3
·' 3
p • az-J-m
..
(461)
mV %'JIZ =::: •~z+m : y + m :r+m --
cuando están l<JS tres aún en vida, y donde es (460)
p =
A!,,,
••
ax
Si ha muerto ttno ya -digamos (z)- y vive11 los otros dos, ee tiene:
2.
A2
p··
V
"' .&JI =
z+m: u+m a.z+ m
(462)
Y si sólo sohrevive (x)
(463)
(~orno se ,.e no hay ninguna düic·ultall real. Sólo es preciso analizar cui-
dadosamente las <·ondiciones que se estipulan y atenerse a ellas.
VII
EJEMPLOS Nl~MÉRICOS
•42.~. I. Sea ttn sPguro sol,re tres vidas de 35, 40 y 50 años de edad,
r<.\spcctivamcnte, pagadero a la muerte del más joven de los tres, siempre
qttc su mt1crt <.~ sea la primera (¡uc~ ocu1·ra. Se piden la prima única, Y la
a•1ual por mil, pagadera única.mente mientras vivan los tres.
-- 248 ··--
-
¡
(1.:l .. : 40 : .1)0
A .,.~, : IU ,· .'"Jt ~ /~/(i6.
-
1
'1
-
,
p3r..,, ('3•·
" ' \ ) ; 4-0 : "~o
Ht'1l";r 1t1es<~, a11t<~
t0<lu, la e<lau <·on1(111 <1t1c reE~mplaza a t•ada u110 de los
Jl:l"ll(>tJ~ de edacles 34, 40 y 50, y 3ü, ..J:O y 50.
1~;11
t•I 1>1·imcr c_·a8u t~s,
li = 40 -- 3·1 = ti.
Para h = (), la f,abla <le e11vejec·in1ie11to t111iformc da t = 3,41: la edad
romtín, para l~ do .., primeras vida."3 e8, 37,41.
Para la tc1·t~era, 8e tic11c:
/~ = 50 -
37,.l 1 = l:!,5U
l.,:-1, L:tl»la Ja: JJara k = J3 ' r = ü' t 9 '· para k = 12, r = 5,58.
.
•
ii = 6' 19 - 5' 58 = o'() 1.
..\ lu:; 5,.'i8 <1ue c~orrespo11den ar cua11do es k .= 12, lia)' , ¡Jues, <.JUe sumarle
0,59 X 0,61 = 0,36
L,t etla<l con1(1n es, asf, 37,41 + (5,58 + 0,36) = 43,35.
J>rorediendo del mismo modo co11 el segundo grupo de edades, 36, 40
~ 50, se halla el valor común 43,65.
Hacc11 falta, ahora, los valores de a. I.Jas tablas, ya calculadas, dan para
·l 4 % de i11terés y la mortalidad H'",
= 9,868
a"" :44 : 44 = 9, 616
a43 : 43 : 43
.l = -
o 252
'
Er l el 1>1·imcr caso se tiene
ªª"' :40 : so = ª•a,35 : 43,as : 43,35 =
= 9,868 -
0,252 X 0,35 = 9,780
Y, en el segundo,
a34 : 40 : oo =
a4a,r,s : 43,65 : 43,os =
= 9,868 -
0,252 X 0,65 = U,704
----· 2 i~J
..·\hora, 1-\(JJ 1 :
-
aJ4 : ., , . .>o -=
u,;, - 1, J2 ( ¡J.;\4 -i · ¡J.4q ·t- µ.. +- aJ ..
!J,78tl ·t
; r¡
= U,78l1 + l),iJ · - - -- ---· ---·- - -- --
-------~- - .
.
-
= 10,274
.
-
+ !l40 + µso + O) =
(),0087(1 -f- 0.0()!-J~)Q + 0.() t .)-12 + {).0~J!J22
= Y,704 +o,5 ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ =
U36: ·1 0: .!JU =
~),70-1
+ 0,~5 -
11
/ 12 (µ :l 6
12
= 10,198
E11tu11ces, (•orno p'34 1 ::: 1,0085, y p~;, = 0,99138
-
1
A35 : 40 : 50 = ~( 10,274 X 1,0085 -· 10, 1US X 0,99138) =
= 0,1255
Por lo (}Ue hace al valor de la re11ta que correspo11dc al pago de la prima
a11ual, ya fué calculado a11teriormente -366&35 : 40 : 50
= 1 + a-13,:; : 43,5 : 43,5 = 10,742
E11to11ces es, por cada mil pesos
125,5
P=--
l l ,G8.
10,742
II.
Resuél\rasc t\I mi3mo Jlrc>~)lem a co11 ayttda de la (443) y de la ''39 a''
-1
.l\. Z!Jl
V t tP xyz (J.z+ t dt
=
o
.. -.r
1
=--
En el caso actual
w-
1
o
.r
=
-- 250 -
Y, aplicando la ''39 a'' -!165-
1
Au: '°: 50 = 7 X la l'° l&o [0,28 v° lu l•o l60 iL• + 1,62 v' l,, l,1 l¡1 IJ.ci +
1
+ 2,2 v
21
-
l6& l&1 l11 µe,&
+ 1,62 v35 l10 l1r, las tJ.10 + 0,56 v'2 l11 ls2 ln µ11
Se prescinde del último térrnino cu)·o valor, como se ha visto, es prácticamente nulo.
En el caso presente todos los cálculos hechos antes son utilizables. No
hay ~ás que agregar -en cada ~r1nino el correspondiente loga1·itmo
de µ~+t·
Para mayor comodidad se disponen los cálculos como sigue:
t
(2)
o
7
21
35
42
Logaritmos
hallados para
calcular a
(3)
log deµ%+'
-1,44716
-·1,96877
-1,39337
-3,93146
= log µ35+e
(3) + (4)
Antilogaritmo
de (3)
(4)
+
(4)
-2,02694
-3,37862
.3,99571
-5,4006ü
-2,80298
•
-1,06013
-4,43057
-6,46079
0,002391
0,009902
0,005482
0,000269
0,000003
-9,83755
-8,16708
16,00463
0,018047
-3,62759
-2,34557
-3,73894
A~5 : 40 ; 50 = 0,018047 X 7 = 0,126329 ~ 0,12633
Ya antes se había - hallado
866-
ll35: 40: 50 =
10,742.
La prima pura anual, por mil, pagadera mient1·as vivan los tres, es pues:
126,33
p = - - = 1176
10,742
'
l~esultados <1t1e conct1crda11 bastante bien con los del cálc~ulo a11terior.
..
LIBltO 'fERCERO
SEGUROS VINCULADOS AL DE VIDA
C ...\I>ITULO VIGÉ:-';I:\ilOCTAVO
I
PROBABILIDADES DE INVALIDEZ
.',2;1.
Se all1dió e11 otr<> lugar -269-
a la dificultad
e:special1nente
de orden psicológico
de apreciar la in'\·alidez. Ello hace -como taml>ié11, ent.<>nces, se puso de manifiestcr-- · que las tasas de invalidez difieran
fundame11talme11te, seg(111 :st1 origen: según el criterio que se siguió para
detcrmi11arlas. Pero, u11a vez adoptado ese criterior, la operación material
no ofrece mayores dificultades.
Por lo común, las ol)ser\·ac?i 011es provie11en de industrias en las que el
pago de los salarios se hace ni veces durante el año. Las renovaciones del
personal - -r·ntradas )r 88.lidas- tiene11 lugar, salvo rarisimas excepciones
que no cuenta11, en esas ocasiones. Si hay A personas al principio del año
+
y d11rante él entran B y sale11 C, serán, evidentemente, A
B
C las
<Jtt«) lle~t1en al fi11al. Pc>ro ;.ct1á11ta." han estado baj <) observación-- cxpu.es/.a.'-· rtl rit'S(/O· rlurc.tr1tt~ el año ertter()!
. \,Jmit1c11<lt• c¡11<· );1.~ e11tradas ). S<tli,ltts ~<' distrillU)' Rlt P'>r igual rlt1r;Lr1t.P
<'l ¿tilt> 1·11 ea•l:t ~ 11l>p(>rí0<.l(> entrar:í11 ~· sal(lr:í11. l'<'Sp<~cti\r ame11t.e,
]~
/,
-·· lll
,. =
(.
'llL
-252 rsotlafi. (·~<>ffi<J las entradas tie11etl Jt1gar al prÍrlC1..pÍlJ (((~) }>PrÍOOO, ~· las
idas al. .fin,al, los e1ilrarites estará11 l:ajo uf-,HE~rvae.~i<)11 c.lttr:t11t(' frac·<"i<)Jl(~s
año igttales a
r1i
1
m ·--
- - - -•
1n '
'
ni
i
111 -- - -· ~
1
' . . . ' -ni ' "t
t1i
~ú11 Ja ~echa de c11trada, y los salientes <l11ra11t<~ fraccio11es de año iguales a
l
-'lit ' . . . '
m.
m- 1
2
'
•
m
En total, se tiene
m
m
1
1
ni (m. + 1)
m+1
b-+b--+ ... +b =b·
=B·-m
m
m
2m
~
m- 1
1n. (1:... ·- J )
1n - 1
1
2
e - +e -- + ... + e - - - = e • - - - - - - = e . ---.
m
m
2m
2m
m
Durante un año entero los expuestos al riesgo so11, pues,
A+
m+l
2m
B-
1
·m
2m
C.
Y, si son respectivamente Me I los muertos y los i11validados en el ai10
·para cada edad, por supuesto
las tasas brutas de mortalidad y de inilidez serán, en cada caso,
Mx
qr, =
Az: +
•
Az: +
m. + l
2m
m + 1
2m
Bz:-
m-1
21n
(464)
C.z
(465)
m-1
Bx- - - - C.z
2m
(464, a)
•
't.z;
=
(465, s)
-
253 -
Y las tasas l>rutas, así ol>te11idus, se ajusta11 por un(> eualf1uiera de los
procedimicr1tos conoC'Idos.
Como en la invalidez --desde el punto de vista del seguro1--predomi11a el c·riterio económico sobre el estrictamente biológico se admite
siempre que sólo hay inválidos a partir de una edad inicial -alrededor
de los 15 años en que ingresan al taller los aprendices. Y se admite, asimismo, que llegada cierta edad -la edad de retiro que varia entre los
60 y los 75 años, según el caso, todos los sobrevivientes son ya in\"álidos:
económicamente inválidos.
426.
JI
MORTALIDAD DE INVÁLIDOS
427.
Los inválidos tic11en u11a mortalidad disti11ta de la de los válidos:
mayor, como es lógico. Pero esa mortalidad, a medida que transcurre el
tiempo, va acercándose, por lo común, a la normal. El organismo se acomoda, poco a poco, a sus nuevas condiciones de vida, La curva de la mortalidad de inválidos -clasificada por edades a la entrada y por antigüedadt,oma, así, una fonna parecida a la de los que entran al seguro bajo seler<~i<>n, pero en sentido inverso: aquí la mortalidad decrece en vez de crecer.
Se da a continuación -simplemente como ejem.plo- una tabla de mortalidad de i11válido.'3, tomada de una in\"estigaciún practicada por FRAN'KLIN
B. MEAD, hace algunos años, en varias sociedades de ayuda mutua norteamericanas.
,
MORT ..\LIDAD DE INVALIDOS, CLASIFICADA POR EDAD Y ANTJGtTEDAD.
.
Erl:id
t
q l.rJ
inicial
l.
(/[;·J + l
t
ql.cJ +:!
t
.
q{z) +3
1
q[xJ + ·l
1
t
t
.
1
i
.
qlzJ+.">
q l.rJ + fi 1 Q[z] +7
Edad
alcanzada
1
20
0,5l)00
(),22()()
(), l ·lUU
(),()7()0
0,01 -10
0,0350
0,0275
0,02()()
27
25
o,:3992
o 1902
(}, 1075
0,0340
0,0425
0,0:335
0,0270
0,0202
:J2
35
(),0854
0,0643
0,0.123
0,0258
(), l ()!l8
0,077.1
0,0520
{) t)G-líi
o,o:l90
-l.~
(},:l4fi7 . (), 15~7
'•
(), 1481
().~l0() l
0,0.578
(),()542
().0507
42
ñ2
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0,2t)l(j
(), l 422
(), 1 1.58
(),08~) · I
0,()796
( ),()7 ;)U
()f), 7: t~
o' ()-'
f t2
(), 12H:J
(), I 1í>4
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0 .()980
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(), 17 .i:~
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1
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~(· , .,,, <'11 f'SH ta.l>l1t <Jtl<~ J>~tl':l 1:1~ •·tltt<lt·~ l1:tja.~
••\\' f'I .
º·
•I)
,'),)
1
·<-11nJ1<lo ,.¡ itl\páli<lo f'~
J>r1!l ·i1•i ' ). <lf•,·li11:1 r:t.pi,l:tJJlf'ltfl• .
1
-
254 -
Es el efecto de enfermedades --como la tuberculosis- qlte ~e resuel\·cn
de11tro de u11 plaz<> relati \·an1c11te llre\~e. :\ medi(ln <1uc la edatl at1me11 t~t
las diferencias se atenúa11. Y cua11<lo se llega a las edades se11iles los efecto~
de la invalidez casi no se hacen sentir sobre la mortalidad.
Otro factor digno de ser terüdo en ct1enta es la reliabilitación del
inválido: su reingreso a la actividad como consect1e11cia de su curació11.
En la in\testigación pract,icada por la •'Ne\v York Life'' e11 1921-25, se
obtuvieron las siguientes tasas de salida de inválido..~, que comprende11, e11
conjunto, la morwlidad y la rehabilitación.
428.
,
TASAS DE SALIDA DE ISVALIDOS POR MIL.
New l"ork Lije, 1921-25.
A~O DE INVALIDEZ
Edad
inicial
1
1
2
J
3
t
4
1
7
1
R
'
o 1 10 1 11 6 n1:is
170 130 100
70
50
40
24
36
190 150 120 100
80
60
40
27
46
170
140 120 100
80
70
60
49
56
140
110
90
80
80
80
81
()6
25
650
380 280 210
35
610
360
45
580 340 220
55
550 300
180
250
..
1 " 1 6
Erlact
alcanzad:•
100
429. Pero el tomar en cuenta la influencia de la antigüedad e11 las
tasas. de mortalidad de inválidos complica extraordinariamente los cálculos
-ya materialmente complejos de por si-. Por ello es de práctica conte11tarse con una tasa de conjunto. Y eso se hará e11 este rápido examen del
problema de la invalidez.
111
CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA BÁSICA
480.
Una vez que se posee11 las tM&S de invalidez y de mortalidsui
de inválidos, c¡ue, al parecer, convienen, l' la tallla de mortalidad general
e11 uso, se puede construir tina tabla riue tome, tambié11, e11 cuenta la in·
validez.
Considérese el número l.r de personas de edad .1·, di\'idi<lo
en dos gn1pos:
..
l';4, vdlido.~ O rtctivos -eS<J CS lo que Í11dica }n, a- Y
invdlidos
z:•,
..
laa
z + l''
z = l
~
(46ti'
-255J\.l cumplir la e<lad .r + 1 algunos de los l~i han muerto ya --no se ton1~11
ac¡ui e11 cuenta las rehabilitacio11es posit>les-. En cambio~ se han ido incorporando al gr11po de inválidos los que se invalidaron durante el año transcurrido.
Si es q~ la tasa de n1ortalidad --de conjltnw- de inválidos, la correlativa de su,penrivencia e11 el año, es p~ = 1 q~. Luego, de los l~i inválidos
que existían al cumplir la edad X quedan en vida al cabo de un año:
Admíta.~c,
ahora, que las invalidaciones producidas durante el año en
el grupo de Jos l':' válidos se distribuyen por igual dt1rante todo el año; eso
equivale a admitir que los l':·iz inválidos estuvieron expuestos al riesgo
de mt1erte clura.nte medio año. Luego, las mt1ertes, entre los recié11 i11validados, son
Y, por lo tanto, Ilega11 a la edacl :>~
+ 1,
El número ele inválidos que llega11 a cumplir la edad x + 1 es, en total,
Z!'+ 1 = l~ (1
q~) + l':· iz: (1
72 q~ ).
Claro está que si es y la edad inicial de la tabla edad a la cual
no hay teóricamente ningún inválido
se tiene, para esa edad: l':: = l,,;
l~' = O. Y, por lo tanto, para la edad y
1 es
431.
+
simplemente .
. 432. Se está ya en condiciones de construir la tabla. Fijada como edad
inicial Jos 1() años se indica para una8 pocas edades -las primeras-- el
procedimiento a seguir.
Como bases se utilizan: la tabla de mortalidad. H"'
sólo se necesitan
los valores de l r. ; las tasas de invalidez, i z, de BEHM, y las de mortalicla(l
de inválidos, q~, de Z1MMERMAN. Figuran en las column88 (2), (9) y (5)
en la tabla. Con su aY11da se han calculado, mecá1iicamente, las co1ttmnas
auxiliares (6), (7), (8) y (10).
-
..
¡aa
=
z
l''z =
.r
l:r
(l )
t2)
l f)
17
97843
97459
18
97034
19
:?O
96569
96061
•
••
•
q~
Y2 q~
1-q!
•
•
72 q~
1
•
•
'tz
X
Iz-1 + Br-1
lz - l~'
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
( 1)
0,1182.
1141
o,~5910
0,8818
0,94090 .
5705
94295
1100
1060
1020
5500
5300
5100
8859
8900
8940
8980
0,000109
126
144
166
}()
10
20
31
97843
97449
97014
96538
9t>OI8
43
94500
94700
94900
190
'
17
18
J~)
2()
1
~
~
C'
!
j
••
i z (1 -
.r
11)
-
lü
17
18
l ~~
:.?O .
1
/] ,~q
.. z )
lz =
•
l';° i z( 1-~/2<¡~ )
Bz=
..
l'.rt ( 1
q~)
•
l''z+l =
Iz + Bz
Al:°
t 10)
(11)
(12)
(13)
(14)
0,000103
119
136
10,08
11,60
13,19
-
10,08
20,46
157
180
15,16
17,28
8 86
'
17,80
27,71
38,61
394
435
476
30,99
42,87
55,89
a.aa
=
%
Alaa
z
l(l(J
z
(15)
0,00403
520
-
-
446
491
539
q~G =
a.aa
z
1
•
.r
'tz
(16)
(l )
0,003921
4334
4766
1()
17
522-l
-
1!) .
18
2J J
-
257-
Ahora se deterrninan, sin dificultad, las colt1mnas (11), (12) y (13) que
corresponden a los valores auxiliares
B z = l~ ( 1 - - q~) ;
Y, al mismo tiempo, se van obteniendo las columnas (3) y (4). Como ya
se hizo notar son, l~~ = l1e = 97843, y l~'~ = O. Por lo tanto, resultan
I1&
= 97843 X 0,000103 = 10,08
B11 =O
y
••
l~7 = 10,08
+ o = 10,08
que se registra en la col11mna (13) frente a la edad 16, y se pasa, luego,
redondeando la cifra, a la col11mna (3) frente a la edad correspondiente: 17•
Se tiene, además:
l~~ = 97459
10 = 97449
111 = 97449 X 0,000119 = 11,60
li7 = l11
B11
••
= 10 X 0,8859 = 8,86
l~'8 · =
11,60 + 8,86 = 20,46
(col11mna 4)
(col11mna 11)
(col11mna 12)
(col\1mna 13)
Este último valor pasa, redondeado en 20, a la columna (3) frente a la
edad 18.
Y asi, sucesiva.m ente.
Las otras tres columnas se construyen, ahora, fácilmente.
•
-
~
l': = z:a - Z:°+ 1 = número de salidas de la actividad
a::" =
~ l:" = probabilidad de salida de la actividad.
lz
Y, como esa salida puede obedecer a dos causas: muerte o invalidez, la
probabilidad de morir si,n haberse invalidado, es,
Para una edad cualquiera, 18 años, se tiene:
q~ = a~
i 18 = 0,00491 - 0,000144 = 0,00-1766
433. La tabla asi constrt1ída da la sucesión de los rdl1.dos o actii'os!.
con sus repccti,·as probabilidades, p<~ro no da la de los inválidos. Lvs l~'
que figuran en la tabla f orma11 un grttpo abierto que se alimenta, año tras
-258~iio,
con nuevos entrantes. Lo que interesa es el grupo cerrado, l~. Y es
ácil obte11erlo. Basta tomar u11a base -p. ej. 100.000-, para la edad
nicial, 16, y determinar los sobrevi,,.ientes de las edades sucesÍ\"as mediananáloga a la usada en otras ocasiones~e la fórmula
l~+l = l~ p~ = l~ (1 - q~)
Tomando los valores de p~ de la col11mna (7) de la tabla anterior, resulta:
•
l~ 6 = 100 000
ll1 = 100 000 X 0,8818 = 88180
•
ll8 = 88180 X 0,8859 = 78119
·y asf, sucesivamente . .
Ahora, si se desea, es fácil obtener las d~
•
d~6 = 100 000 -
88180 = 11820
•
~7 =
88 180
78119 == 10061
...\l final del volumen se dan dos tablas conteniendo los valores de i~,
~, l': y l!, correspondientes a la tabla .cuya construcción y bases de cálculo
~ han indicado.
IV
PROBABILIDADES DE VIDA Y MUERTE
434.
Y a se dispone de todos los elementos necesarios para calcular
i.S re11tas de invalidez complementarias del seguro de vida.
Pero antes, y para dar una visión lo más completa posible del problema
-dentro de las limitacio11es que impone el espacio se han de ver algu.a.~ probabilidades.
Sean
qa;', la probabilidad de (x) de morir, B'in invalidarse, dentro del
•
q~',
p~ª,
•
p:',
año.
la probabilidad de (x) de morir dentro del año, pero después
de haberse invalidado.
Ja probabilidad de (x) de alcanzar la edad x + 1, S'in invalidarse .
la probahilidad de (x) de alc:tnzar la edad x + 1, pero habiéndose inl}al-idado en el inter\"alo.
-
259 --
Si se represe11ta11 por:
p: la probabilidad de que un válido (x) sobreviva un año aún
-válido o inválido, lo mismo da
, y por
q: la probabilidad de qt1e un válido (x) muera dentro del año
-válido o inválido-,
•
son:
p: = P°: + p:i
(467)
q: .= q': + q:i
(468)
Y, también,
(469)
Pero,
{470)
desde que la probabilidad de i11validarse se descompone e11 otras dos: la
de invalidarse y sobrevivir, y la de invalidarse y morir dentro del año.
Se puede, pues, escribir -tomando en cuenta la (469) y la (470)-
i :i: + P°: + qa;' = 1
{471)
Por otra parte, al calcular la tabla se determinó la probabilidad
de invalidarse y morir dentro del mismo año:
435.
qflX i --
,;
"Z •
1 / qi
72 X
{472)
Y la de i11validarse y sobrevivir
(473)
436.
Por ser (466)
••
l z = lªª
z + l''
:r:
es
•
z:ª
••
•
lz q z =
(q:a + q:') + l~' q~
Z:ª q z + z~i q z: = l': (q~<l + q:i) + z~i q~
•
••
•••
dividie11do todo por l~(J'
..
l ti
r
lfla
r
•
••
tt
lz
.
q .· = qa;' + q~' + zaa q~
•
••
J;
, 1l
l/ai
= ·1.r
n . - - '/ "''
J
.r - -
.r
l''r ''
1
( f./r. -
q r) =
(474)
-
=q
260 l z -- l!Jª
r
- - l-ªª-- (q~ - q z:)
qa;' -
:¡; -
.
•
••
X
(475)
'JJ7.
Del mismo modo se tiene:
•
••
•
••
••
r..·z
•
lz'' .
+
ai +
Pz + zaa Px = Pz
Pz
zaa p~
aa
z
%
..
p:t = pz;
-
Pe:'
•
p:• = p~
l'"
.
(p~-pz)
X
lªª
%
zaa
lz
= P~-p:(J
•
•
••
p;ª
lªª
%
{476)
Pz)
••
.
%
(p~ -
laa
z
l z;
-
•
(p~
•
PzJ'
(477)
V
RENTAS DE INVALIDEZ
'ª· Un razonamiento análogo permite extender las fórmulas (474) a
') a las probabilidades de muerte y de supervi,rencia de la for1na n-1/q:'
,ai•
'z •
·, entonces, utilizando los métodos usados cuando se trataba de renvitalicias, a z, se tiene:
•
t= w-z
=
aat.
z
~
"-'
t
=1
•
V t tpª'
x
••
•
lX''
(J(J
a~'=
a ..... . -a%
..
-
•
••
.lªª
(478)
z
.
ª
.
ª'% = a'% -
lz
.
aaa
z - . -[ª-ª (a'
:& -
a, r )
(·'179)
z
nulas que
co11 las modificaci 'lr1cs del caso-- valc11, tan1l>ié11, 1>ara
~entas diferidas y temporaria.s.
-
261-
439. Las rentas a:ª y a~ se calculan determinando ¡lreviamente -como para las rentas vitalicias, az
los correspondientes valores de conmutación.
t= w--i
t = (a) -
1 t=
X
:E
a:a =
v' tP°: =
t=l
(1) - ·-
~
zaa
z
:E
X
vz+ t l:4+t
'=
1
vt l~+t =
-
t=l
D:°+1 + D:°+2 + ...
Daa
•••
X
N:i+1
Daa
X
{480)
Y,
.
a'z
=
+
V l~ + t
V
2
l~ + 2 + . . .
•
l'z
•
-
•
+ D~+2 + ...
D~+1
•
••
N~+1
(481)
•
D'
X
440. Ejemplo nitmérico. Sea una renta de invalidez, para una persona
de 35 años de edad, actualmente válida, calculada con la t.abla cuya construcción se ha indicado y a la tasa del 5 % anual.
Se dan:
14,298;
a;~ = 12,821;
lar, = 86 137;
l~ = 85 5-14
ll35
Solución..
=
a;5 = 8,591
•
Se tiene:
•
ai·
a35 =
i
·
aa
a35 -- ªas -
las ( i·
-lª-ª ª~s -
a3r;
)
=
35
=
8,591 -
12,821 -
86 137
(8,591 85 .)·14
14,298) =
= - 4,230 + 1,00693 X 5,707 = 1,517.
-- 262 -
RENTAS PAGADERAS POR CUOTAS EN SUBPERÍODOS DE AÑO
441.
Si la renta se paga en m cuotas de 1,lni, cada una, se tiene, usan> la {164),
(m~
(•).
(m(
04
aª'
z = a'z - az -
lz
laa
-
a"z -
m-1
=a~+
-
(m)
•
z
•
l:c
zaa
z
(m)
2m
m-1
-
a:a+--2m .
.
m
1
a~+---.,
2m
(m)
•
m-1
•
••
2ni
•
= aª'
aat
z
:.e
(482)
Que es una primera aproximación.
Recuérdese lo observado en 394- al tratar las rentas de supel"\"Ívencia.
441. Si, en vez de la (164) se echa mano de la (173) es:
<• >
.
azai =
1
m-
1
m2 -
.
- - - ---- (r•~ + o) ª'z- + - 2m
12m
1.
r.,
2
a~
lz
m-1
·
- --""a~+
zaa . .
2m
z
m-1
+ - 2m
- - - ---{µ.:6 + a)
2
12m
m.2 - 1
-
(m)
• •
•
aª'
=aª'
Z
E -
12m2
m2
12m~
1
(tJ.~
1
2m
-
•
12m2
m
m2 - l
•
' {.Lz
m'-1
'1zaa -
+ a) m2 - l
- - - 2- (µ.z + a)
12m
-
•
••
-
263
Pero, por la (475) es
Por lo tanto:
ai• _
11
rz -
•
i
(.Lz
aa
(J.~
-
µ:'
•
simbolizando por
-que algunos escriben, preferentemente vz
la
intensidad de la invalidez o tasa instantdnea de invalidez. Es, entonces,
.
.
a:t =a:' 44.s.
.
El cálculo de µ.~y el de
m2
1
- - - -2 v z
(483)
12m
µ.:O se hace aplicando -por extensión-
la fó'rmula aproximada (62)
VII
EL MÉTODO DE LAS ''CAJAS DE PENSIONES''
(m~
444.
a:i
Para calcular los valores de
suele usarse, también, el método
llamado de las ''Cajas de Pensiones''. Consiste en lo siguiente:
l~ª personas válidas co11tratan, simultáneamente, rentas de invalidez
que se pagarán en mensualidades vencidas a partir del mes en que se pro-
c12>
duzca la invalidez. A cada uno le corresponde, a:', como prima única.
Y, en total,
(12)
•
.
. aª"
lªª
%
;¡;
Durante un año determinado -digamos el t + 1 se invalidan l:"+t • ix+t
Situando todas las in,'alidacio11es a mitad de año, las rentas que se pagan
( J 2)
•
entran todas en vigor a la edad x + t + ~. Siendo ª~+t+U el valor de
¿ada renta, el valor actual en el momento inicial- de todas las rentas
que entran en \tigor e11 el curso de dicho afio t + l es,
-264-
al de wdas las que se originan, en todos los años,
( 12)
.
t
• ªz"' =
laa
z
(..._,)
1
%
(12)
~
·
i
"""
v'+ ~ • laa
z+t. i~+&.
ªz+t+J.í
t- o
t =
a:' = -z zaa
V
= w - .z
•
••
<l~)
(d -
7:
~
v%+t+~ • l':+t • Ís+t • a~+t+1L
n
1-=0
(484)
niendo, ahora,
(12)
uz-J- i+U • l:"+t • Í z+t •
(12)
a~+t+U = D:~t
'== w - s (12)
~
"'-'
'::11 o
(485')
(12)
D"'
z+t -- N"i
z
{486)
.8
(12)
Nªi
ai
z
as = Daa
<12>
(487)
z
(12)
(12)
6. . Algunos autores usan el símbolo a:;, en lugar de
a:i. Pero, dada
a.turaleza del fenómeno, es evidente que esta última notación es prefe-
c12>
. En cuanto al valor de a~+t+J' se determina, habitualmente, tomando
~omedio de las rentas para las edades x + t y x + t + 1 :
(12)
ª~+1+~ = Y2
((12)
(12)
)
ª~+t + ª~+t+l .
(488)
Si · se calcula por este procedimiento el valor de la renta a!i, para
iad de 35 afios, hallado por otro método en -440 , se tiene, usando
~onmutaciones respectivas establecidas con las mismas bases técnicas,
:S.
(12)
c12> 4Í
a;i_; =
Nª'35
23546, 1
nao35 = -15508,3
- - - = 1,518
eJor que concuerda, casi exactamente, con el hallado 440-, lo que
prueba materialmente, el resultado obtenido en
441- que, como
iera aproximación, nos pennitió escribir,
(m)
•
an'
z = nª'
z
(482)
-
265 -
Pero si se utiliza la (483) hay que calcular los valores 8e µ~y de
L':, mediante la fórmula aproximada (62)
447.
8 (19568
17147)
(20906
16051)
=--~--~----------------~-
12 X 18318
=
aa
lLas =
14513
219816
-
= 0,06602
8 cz;: - l~)
cz; - z;;)
- =
12 • l3~
8 (86351
84714)
(87139
83858)
=~--~----~~--------------=
12 X 85544
9815
956
= 1026528 = o,oo
Y, como {J.s6 = 0,00854, resulta
= 0,06602
0,00956
1,00693 (0,06602 - 0,00854) =
0,00142
=
Luego, (483)
112)
a3~ =
a;;- /11 vas = 1,517 + 0,00012 = 1,51712
143
28
Y la concordancia no puede ser mayor.
VIII
SEGUROS EN CASO DE MUERTE
448.
Por analogfa con la (196) se puede ~scribir, en el acto
.\ i - 1 - d Uz
..i
... .r -
(489)
-266Pero tal a11alogia no vale ya si trata de hallar el valor de A:". En efecto
da";'
1
3 el valor de un peso pagadero al fin del año en que el asegurado Bale del
rupo de válidos~ tanto si muere como si se invalida. Comprende, pues,
n seguro de u·no por muerte, y otro de uno, también, por invalidaci6n.
teprese11tando por A:° la prima única del primero y por CA:i) la del seundo, tenemos,
(490)
Claro está que el pago de uno de los dos seguros excluye el pago del otro·
449.
El símbolo (A:i) indica
hay que insistir en ello no un Beuro de muerte, sino uno de invalidaci6n.
El \"alor actt1al -la prima única
de un seguro de muerte pagadero
,l morir inválido el asegurado
válido al contratarlo , A:', surge de
11r identidad
•
••
.= l A
ª'
A z.
zaa ""- -
T!!
An,.
i:
.,
..-V
...
-
JGCI
":a:
z
,.
.4.
- - ..."'1...
.,
.,
=
•
••
(491)
'.6rmula análoga a las (475), (477), (479) .. • , como era de esperar, y que
:;e pudo haber establecido directamente basándose en lo observado
~n
-438 .
450.
En cuanto al valor de ...\:a, puede ser calculado directamente
con facilidad.
En efecto, se tiene
<l!.ª
z = lªtJ
r • qaa
z
•
••
V t=td-Z
A:" = D""
z
~
t= o
D:+, • q:+,
(492}
-
267 -
IX
PRIMAS AXl: ALES Y RESERVAS
I"a~
primas anuales y las reser\ras se calcula11 por los procedimientos conoridos. Sólo habrá que te11er presentes las co11diciones del
contrato,. al emplear las rentas correspondientes.
Asi, una rc11ta mensual de in,ralidez, pagadera con primas mensuales,
•
mientras esté válido el asegurado, reí]uerirá una prima anual de:
451.
(12)
(493)
.~52.
l .. la reser\"a, al cabo de m. años, de u11 seguro de _m uerte, que sólo
se pagará si el asegurado muere e11 estado de invalidez, y cu}·as primas
se pagan ú11icame11te mientras el asegurado esté válido, es,
ai
Aªi
V
m x =
z+m -
pai
.. aa
i • ªx+m
(494)
donde
Y en la que el término substractivo del segundo miembro desaparece,
cuando el asegurado vive pero está inválido, mientras el término que queda
se hace A~+m·
•
•
CAPITULO VIGÉSIMONOVENO
SEGURO DE ENFERMEDAD
I
LAS TASAS DE MORBILIDAD
453.
Para medir la acción de las enfermedades se usan distintas funones biométricas. La más importante, desde el punto de vista del seguro,
la llamada tasa de morbilidad. Se averigua. para el grupo que se consi~ra~ distribuído previan1e11te en subgrupos por edades, y si se desea, tamén, atendiendo a otras circurlStancias -sexo, profesión, ... - cuántos
as -cuántas semanas, en algunos p~íses-· corresponde11 e11 el año a
,da subgrupo, y el cociente de dividir ese número de días -o se1nanas>r el n1ímero de personas que compone11 el subgrupo da la llamada tasa
~morbilidad.
Si son r z los días de enfermedad y l z los individuos que integran el subupo respectivo, la tasa de n1orbilidad, Zz, es entonces,
(495)
454.
Se puede, también, co11siclerar el JJ.Úll1cro de personas enfermas
el de awqtt-es, es decir, el de casos de enjcrniedad, sin pararse a considerar
varios ataques se refieren, como suele ocurrir, a una sola persona. Pero,
Lora, lo interesa11te es la tasa de morbilidad.
Como a mc11udo ocurre que las indemnizariones qt1e se pagan
L el seguro de enfer1nedad varía11 de importa11cia si el mal se prolonga
áB allá de ciertos plazos, se acostumbra a clasificar los días de enfermedad
: acuerdo con el período de duración a que pertenecen.
Tal clasificación es, desde luego, co11vencional. Aquí se considerarán
~s períodos: a) primer periodo, enfermedades que duran menos de seis
eses ·~l· primer semestre de enfermedades más largas; b) -~cgu·n,do perío<lo,
1¡55.
. -
269 -
segundo semestre de e1úermedades que dura11 n1ás de seis meses; e) tercer
período, tiempo que exceda de un año en enfermedades cuya duración
sobrepasa ese lapso.
Representa11do por z!, z; y z~+, las respectivas tasas de morbilidad, se
tiene:
Y, si se engloban en uno sólo el segundo y el tercer periodo,
zX2 + = z'l.Z
+ z3 +
r.
456. Las tasas de morbilidad, clasificadas como ~e acaba de ver, suelen
estar afectadas por Ull error fácil de eliminar.
Sea. en efecto, un período de observación de p años = 2p semestres.
La ta~a z!+ se calculó tomando en cuenta todas las enfermedades de más
de un año de duración. Luego, las observ'"aciones 110 alca11zan al primero
ni al segt1ndo de los semestres co11siderados. Y con10, no obstante, algunos
días de enfern1edad pertenecen a tal categoría, aun cuantlo por falta de
datos no hayan sido tomados en cuent.a, resulta que la tasa observada sea,
-z!+- sólo corresponde a una fracción (2p - 2) / 2p = (JJ - 1) / p del
tiempo total.
Es, entonces,
-a+
_P_-=_1_ zª+
•
Zz
=
••
x
p
zª+
=
p
-3+
z
-p--1-zz
(a)
z;,
z;+.
457. Antes de calcular el valor de
se determina el de
El error
cometido aqui es del mismo género. que el anterior, pero sólo se ha omitido
considerar uno de los 2p semestres que abarca la obser\i·ación. Por lo tanto:
(-2 +-a+)
2p
z2+
=
z
2p-l
Zx
Zz
Como
•
••
queda
z2z =
2p
-2+
2p-1
X
2p
z
--.,
-
p
p-1
z:+ =
p -3+
= - -- (z-X + z'.t ) - ---z.r
1
p
-/)
2
1
-3 +
(~)
-270ct1a11to a z! se tie11e:
E11
...
•
tomando en cuenta la (~)
458.
Se dan, por ejemplo, los siguie11tes '\·alores si,n corregir, obtenidos
'observaciones que comprenden un período de cinco años = 10 semestres.
-1
Z22
-'>
= 4,781;
z22 = 0,273;
~i == v,133
Son:
Z22
= 4,781
+ 0,273 + 0,133 = 5,187
z~j = "/• X 0,133 = 0,166
Z~2 = 1º/g (0,273
+ 0,133)
0,166 = 0,451- 0,166 = 0,285
z1 = 5, 187 - 0,451 = 4, 736
2
11
EL SUBSIDIO DE ENFER?tlEDAD
Si lz personas convienen con una entidad aseguradora e11 comp1·ar
derecho a un subsidio de uno por cada dia de enfem1edad, ¿cuál es el
~lor de la prima pura única, sz?
459.
El compromiso de los asegurados es l r s z·
El del asegurador se compone de la suma de los valores actuales de los
stir1tos de8embolsos anuales futuros.
Durante el año t + 1 del seguro; cada uno de los asegurados sufre, o se
·e\·é <JllC sufrirá, zx+t días de e11fermedad. Y todo,~ los asegurados, eit connto, rx -tt = lr+t • zx+t· Es el número de pesos <1t1c det:e abonar el ase1rador. Admitiendo c¡ue los dfas de e11fPrmedad se rcparta11 por igual
trante el año, es líeito <lonsiderar <1ue se hace un desembolso global a
itad de año. Lt1ego, hay qt1e desco11tar el pago rn <·uestió11 por t111 tiempo
t- ~ :l. St1 \·alor actt1al es, p<>r lo ta11to, al con<·Prtarse la <>perar..¡ón:
1/
Jlt--7fl
(/
.
l .r+t ~. . .r+t
-271Y el compromiso del asegúrador se obtie11e dando, ahora, a t todos los
valores enteros posibles entre O y "' - x. Rest1lt.a , asf,
t= w-z
~
l • s z--
~
%
vt+~ l z + t • z + t
·
••
vt+H lz+t • Zz+t
(496)
%
t= o
¡t=t.>-z
8., =
~
l
t ==o
%
Introduciendo el factor vz y utilizando valores de conmutación
1 t= t.>-%
~
D
%
t= o
n
D zf t • V . Z z+ t
Poniendo
(497)
y
(498)
queda
Kz
(499)
460. Como, a partir de cierta edad, el seguro resulta demasiado gravoso, porque los dfas de enfermedad son muy numerosos, se acostumbra
a limitar la duración del seguro. Se tiene, así, un seguro temporario, cuya
prima única se obtiene sumando sólo los n términos que correspo11den al
lapso durante el cual se cubre el riesgo.
Es, entonces,
Kz-Kz+n
/nSz, = - - - - - Dz
461.
Para el seguro diferido
n/Sz
(500)
que no es usual- se tiene:
=
(501)
Si se contrata el segt1ro establ<·c·iendo dife1·e11tes obliga<·io11es para
el asegurador, según la dltración de la enfern1edad, todo se reduce a calcular
·
· les <1ue tomen en ct1e11 t a 1as t asas zx,1 z~·) y z.cª+ .
co11mutar.1ones
especia
462.
-272..al, p. ej., para el seguro temporario es:
t
K!-K!+n
/ n8z= - - - - -
D~
2
/ n8% =
-K2
K2
x
z+n
----D~
(502)
(503)
Para un seguro temporario que garantizara un subsidio de uno
ante el. primer semestre de enfennedad, de Y2 durante el segundo y de
durante el resto de la enfer1nedad, la prima única seria
63.
III
PRIMAS ANUA.LES Y RESE.RVAS
>4.
Para tener la prima anual basta dividir la prima 1ínica por la
.a correspondiente.
a prima anual, pagadera durante n años correspondiente al seguro
ninaclo en el párrafo anterior es,
_ _
(pVS) z : ni -
(vs)z :;j
..
ax :-;j
(504)
L se estableciese la condición de que sólo se pagarían las primas mienel asegurado estuviese válido, habrf a que reemplazar, en el denomi-
>6.
Por lo que hace a las reser,,..as, \ 7 alen las fórmulas generales dadas
:u lugar, con sólo amoldarlas a las caracteristicas de la operación.
Hagamos notar que en la tabla de morbilidacl inglesa --que daal fin del vol timen- z represcr11a semarias, no díat~. El segt1ro de
~eso diario se hace, entonces, de sir.te sema.r1ales -u cinco, o sei8, si se
!fe c1ue equi\·alga a jur11ales. Hasta ffi i tlt~plicar los resttltaclos, al apli~, por el faflt <>r qt1e corresponde, ) r J)Or el salar-io diario que se indem.: e11 sun1:L, ¡Jor el solario sr·1nanal .
'i7.
TABLAS
l. Tabla de Mortalidad Hm.
II. Envejecimiento unüonne.
111.
Conmutaciones al 4 %.
IV. Constantes al 4 %.
V. Invalidez. Tasas de invalidación de BEBM..
Mortalidad de inválidos, ferroviarios alemanes: ZIMMEBMANN.
VI.
Sobrevivientes válidos e inválidos.
VII. Tasas de morbilidad, en semanas.
(Manchester Unit)", 1893-97).
TABLA DE MORTALIDAD H"'
z
'"
o
1
tl.
127 283
112 925
104 94i
14 358
3 962
2 375.
1 646
1 325
103 617
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1o8 963
1o6 588
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87 ~85,
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4 776 793
4 677 916
4 579 376
5 025 6o9
4 925 813
4 826 405
4 727 355
4 628 647
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48·643
47·810
3
46·973 1 4
4 481 ,173 .
4 383 ~30
4 2~· 7l
4 1 837
4 092 268
4 530 275
46• 132 1 15
6
45·299
44·476
7
8
43·669
42·877
9
3 996 207
4 044 238
.8o5 763
3 948 451
3 853 229
3 758 6o3
5 905 463
5 º796 500
5 689 912
5:584 970
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95 787
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52·796
53·697 .
5 327 946
5 226 584
5 125 841
·00572
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·00707
·00720
o
53·401
52·948
52·387
51 ·738
51 ·022
20
1
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47·¡84
5 481 353
5 378 797
5 277 093
5 176 072.
5 075 6o8
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1
-280-
ENVEJECIMIENTO UNIFORME
TABLA DE MORTALIDAD
EDADES
IGUALES
DOS VlDAS
TRES VIDAS
ios, t, que hay que agregar a la
x, de la más joven de dos per3 de edades x e y = x + h, para.
ler dos vidas de igual edad, x + t
ralentes a las dos do edades x,
" cz + cz+la
et =
ffm
AiioEJ., r, que hay que agregar a la
edad de dos personas de igual edad
x, para. obtener tres vidas de igual
edad, x + r, equivalentes a las tres
de edades x, x, x + k
2 e~ + cz+k = 3 cz+r
= 2 cz+t
1/2 (1 + ch)
cr =
1/ 3
(2
+ ck)
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t
h
t
k
r
k
r
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3
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5
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4,05
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12,34
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95
6
7
·648 4
•268 I
8
9
·093 7
·018 3
100
1
-
284-
CONST•.\XTES .-\.L 4 %
FUNCIÓN
•
25 .
d
0,04
,039608
,039414
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,039157
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26,0000
n
(1 + i)n
V"
1
1,04
1,019804
1,016476
1,013159
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1,003274
i
•
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•
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•
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6
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1/3
1;.,
1/5
1
/ 12
'
25,2475
•
0,961538
,980581
,983791
,9870~2
,990243
,993485
,996737
1 K ,~ .\ L 1 D E Z
'fasas de invalidez de BEHM, iz
Mortalidad de inválidos
ferroviarios alema11es-. ZIMMERMANN, q~
.
•
X
•
i.r
q~
X
iz
q~
16
0,000109
126
144
0,1182
1141
0,013996
16077
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486
166
1060
1020
0,0981
943
905
868
831
795
757
720
51
52
53
54
55 ·
56
57
58
59
60
17
18
19
20
21
22
190
219
251
289
331
381
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
43¡
502
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
.
577
663
761
875
0,001005
1154
1326
1523
1749
2010
2308
2652
3046
3499
4019
4617
5303
6092
6998
8038
9234
0,01060i
12184
1100
18468
61
62
63
685
656
64
640
640
640
639
639
639
639
639
633
622
599
66
67
583
77
78
79
80
81
558
546
530
525
520
•
65
68
69
70
71
72
73
74
75
76
.
21214
24368
27992
32154
36935
42428
48737
55984
64309
73871
84856
97474
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147743
169712
194948
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485
485
487
489
495
501
512
529
550.
573
602
629
653
685
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7438
7750
8095
8484
8925
9429
0,10007
10670
11430
12262
13304
14426
15649
516
512
510
Nota. - A partir de la edad 69, las tasas de morta.lidad de inválidos
han sido ajustad<ts para. que e1np(il11ien s1t.avemente, a la. edad 78, con la
mortrllidad general (le la tabl:t H ni.
-·--· 286 --
1 ~V A J.. ID E Z
Sobrevivientes válidos e inválidos
-
.
.
X
lªª
%
l"%
X
laa
z .
r%
.
X
r:
~
16
17
97843
97449
97014
96538
96018
10\l.OOO
88,180
78.119
69.526
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46
47
48
49
50
74350
72995
71558
70029
68402
9.248
8.762
8.306
7.878
7.475
71··:J
1222
1.369
77
78
79
631
279
90
21
1.223
95457
94861
94236
93587
92919
55.816 51
50.340 52
45.59!1 53
41.467 54
:17 .868 1 55
t)6ti70
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62839
60721
58460
7.09:l
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57
58
59
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32
33
34
35
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87909
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86351
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61
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28109
4.274
4.048
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3.606
3.389
3.176
2.963
2.765
2.568
2.377
1'8
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
·.
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81109
80119
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77990
76842
75531
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22.335
20.906
19.568
18.318
17.147
16.051
62
63
64
65
.
1.1.025
66
67
68
14.065
69
24656
21252
17964
14845
13.175
70
11930
12.356
71
72
9279
6943
4960
11.616
10.939
10.32!)
9.765
73
74
75
3351
2113
•
6.736
6.402
6.091
5.796
80
81
82
83
4.74~
89
90
2.192
2.015
1.844
1.679
1.521
3
705
595
494
o
403
323
85
86
87
.
1.083
950
824
84
5.515
5.246
4.989
4.505
•
88
91
. 1
1
253
19-1
14fj
106
-·
ID
92
51
34
93
22
94
13
95
8
96
97
98
4
2
1
99
o
ENFERMEDAD
Tasas de morbilidad (en semanas)
M anchester Unity (1893-97)
Primer
z
Semestre
Segundo
Semestre
M'8 de
un afto
zt
z2%
zª+
z
0,021
-
~
16
0,984
956
918
Segundo
Semestre
Más de
vn aAo
z1%
z2
z3+
0,130
138
0,359
146
154
422
44
45
1,027
1,054
1,081
1,109
1,138
46
47
1,170
1,207
175
48
1,249
1,295
1,344
199
213
648
228
812
248
268
915
1,Gal
1,160
55
1,393
1,446
1,501
1,564
1,633
56
1,707
57
1,786
58
1,868
59
60
1,954
X
41
24
-
42
0,006
0,013
43
876
28
35
20
838
41
22
21
22
23
24
25
810
46
33
794
51
787
54
57
59
45
59
70
81
26
27
28
29
30
790
17
18
19
786
788
793 ·
799
807
817
62
64
65
67
69
'
0,104
111
121
53
869
885
T9
84
89
161
176
194
903
g4
923
947
972
0,101
107
115
123
215
238
33
855
34
35
36
37
38
: 39
40
990
50
51
75
32
71
49
89
97
133
146
829
842
31
•
Primer
Semestre
266
296
327
~
X
164
187
%
390
456
492
534
585
723
294
322
1,299
3M
liM
1,614
1,797
2,005
2,253
2,047
394
436
48(
538
597
61
2,147
663
62
63
2,251
2,357
734
808
64
•
65
2,464
2,510
884
964
54
'
2,554
2,924
3,375
3,907
4,515
5,197