Statistics II Formula Sheet - Universidad Católica San Pablo

Escuela Profesional de Ingeniería industrial
Estadística II
FORMULARIO
Estadísticos de prueba:
1. Prueba de hipótesis para una media:
Cuando 𝜎 es conocido
𝑥̅ − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑜
𝑧=
𝜎
√𝑛
Cuando 𝜎 es desconocido
𝑥̅ − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑜
𝑡=
𝑠
√𝑛
2. Prueba de hipótesis la diferencia de medias:
• Para muestras independientes:
a) Cuando 𝜎1 y 𝜎2 son
conocidos
𝑥̅1 − 𝑥̅2 − 𝑣. ℎ.
𝑍=
𝜎2 𝜎2
√ 1 + 2
𝑛1 𝑛2
b) Cuando 𝜎1 y 𝜎2 son desconocidos
𝑏1 ) Si las muestras son grandes (𝑛1 ≥ 30, 𝑛2 ≥ 30)
𝑥̅1 − 𝑥̅2 − 𝑣. ℎ.
𝑍𝑐 =
𝑠2 𝑠2
√ 1+ 2
𝑛1 𝑛2
𝑏2 ) Si las muestras son pequeñas (𝑛1 < 30, 𝑛2 < 30)
𝑏21 ) Si 𝜎12 = 𝜎22 , 𝑔. 𝑙. = 𝑛1 + 𝑛2 − 2
(𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22
𝑥̅1 − 𝑥̅2 − 𝑣. ℎ.
𝑡𝑐 =
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑠𝑐2 =
𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝑠2 𝑠2
√ 𝑐 + 𝑐
𝑛1 𝑛2
𝑏21 ) Si 𝜎12 ≠ 𝜎22
(𝑉1 + 𝑉2 )2
𝑥̅1 − 𝑥̅2 − 𝑣. ℎ.
𝑡𝑐 =
𝑐𝑜𝑛 𝑔. 𝑙. =
𝑉12
𝑉22
2
2
+
𝑠1 𝑠2
𝑛1 − 1 𝑛2 − 1
√ +
𝑛1 𝑛2
𝑠12
𝑠22
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑉1 =
𝑦 𝑉2 =
𝑛1
𝑛2
•
Para muestras apareadas:
𝑡=
𝑥̅𝑑 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑜
𝑠𝑑
√𝑛
3. Prueba de hipótesis para una proporción:
𝑍=
𝑝̂ − 𝑝
√(𝑝)(1 − 𝑝)
𝑛
4. Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones:
𝑍𝑐 =
𝑝̂1 − 𝑝̂ 2 − 𝑑0
𝑝̂ (1 − 𝑝̂1 ) 𝑝̂ 2 (1 − 𝑝̂ 2 )
√ 1
+
𝑛1
𝑛2
5. Prueba de hipótesis para la varianza:
𝜒2 =
(𝑛 − 1)𝑠 2
𝜎02
Escuela Profesional de Ingeniería industrial
Estadística II
6. Estadístico de prueba: Razón de dos varianzas
𝐹=
𝑠12
𝑠22
7. Estadístico de prueba: Bondad de ajuste:
2
∑
𝜒 =
•
•
𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎𝑠
(𝑓𝑜 − 𝑓𝑒 )2
𝑓𝑒
𝑓𝑒 = 𝑛𝑝𝑖
Cálculo de 𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 = 𝜒 2 (1 − 𝛼, 𝑘 − 1)
8. Estadístico de prueba: Prueba de la chi-cuadrada de la Independencia:
𝑐
𝑟
2
(𝑂𝑖𝑗 − 𝑒𝑖𝑗 )
𝜒 = ∑∑
~𝜒 2 (𝑟−1)(𝑐−1)
𝑒𝑖𝑗
2
𝑗=1 𝑖=1
(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎)(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎)
•
𝑒𝑖𝑗 =
•
•
Cálculo de 𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 = 𝜒 2 (1 − 𝛼, 𝑔. 𝑙. )
𝑔. 𝑙. = (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 − 1)(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 − 1)
𝐺𝑟𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
9. Estadístico de prueba: Prueba 𝝌𝟐 para homogeneidad
𝑐
𝑟
2
(𝑂𝑖𝑗 − 𝑒𝑖𝑗 )
𝜒 = ∑∑
~𝜒 2 (𝑟−1)(𝑐−1)
𝑒𝑖𝑗
2
𝑗=1 𝑖=1
(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎)(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎)
•
𝑒𝑖𝑗 =
•
Cálculo de 𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 = 𝜒 2 (1 − 𝛼, 𝑔. 𝑙. )
•
𝑔. 𝑙. = (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 − 1)(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 − 1)
𝐺𝑟𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Escuela Profesional de Ingeniería industrial
Estadística II
10. Análisis de varianza para un factor:
𝑁 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 : Número total de observaciones en el conjunto de datos.
𝑇 = 𝑛1 𝑥̅1 + 𝑛2 𝑥̅2 + ⋯ + 𝑛𝑘 𝑥̅𝑘 : Gran total (suma de las 𝑁 observaciones).
𝑇
𝑥̿ = 𝐺𝑟𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝑁
✓ Estadístico de prueba:
𝐹=
𝑀𝑆𝑇𝑟
𝑀𝑆𝐸
con 𝑑𝑓1 = 𝑘 − 1 y 𝑑𝑓2 = 𝑁 − 𝑘 grados de libertad
✓ Suma de cuadrados de tratamiento:
𝑆𝑆𝑇𝑟 = 𝑛1 (𝑥̅1 − 𝑥̿ )2 + 𝑛2 (𝑥̅2 − 𝑥̿ )2 + ⋯ + 𝑛𝑘 (𝑥̅𝑘 − 𝑥̿ )2
✓ Suma de cuadrados del error:
𝑆𝑆𝐸 = (𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22 + ⋯ + (𝑛𝑘 − 1)𝑠𝑘2
✓ Cuadrados medios de tratamiento
Cuadrados medios del error
𝑆𝑆𝑇𝑟
𝑆𝑆𝐸
𝑀𝑆𝑇𝑟 =
𝑀𝑆𝐸 =
𝑘−1
𝑁−𝑘
✓ Supuestos:
• Las muestras son aleatorias de las 𝑘 poblaciones.
• Las 𝑘 muestras son seleccionadas independientemente una de otra.
• Cada una de las 𝑘 poblaciones tiene una distribución normal. (Normalidad)
• Las distribuciones tienen la misma desviación estándar 𝜎1 = 𝜎2 = ⋯ = 𝜎𝑘 .
(Homocedasticidad).
✓ Cálculo de 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 = 𝐹 (1 − 𝛼, 𝑑𝑓1, 𝑑𝑓2 )
con 𝑑𝑓1 = 𝑘 − 1 y 𝑑𝑓2 = 𝑁 − 𝑘
11. Comparaciones múltiples:
✓ Muestras diferentes:
(𝑥̅𝑖 − 𝑥̅𝑗 ) − 𝑞√
𝑀𝑆𝐸 1
1
𝑀𝑆𝐸 1
1
( + ) < 𝜇𝑖 − 𝜇𝑗 < (𝑥̅𝑖 − 𝑥̅𝑗 ) + 𝑞√
( + )
2 𝑛𝑖 𝑛𝑗
2 𝑛𝑖 𝑛𝑗
✓ Muestras iguales:
𝜇𝑖 − 𝜇𝑗 : (𝑥̅𝑖 − 𝑥̅𝑗 ) ± 𝑞√
𝑀𝑆𝐸
𝑛
✓ 𝑞 = 𝑞(1−𝛼,𝑚,𝑣)
Donde 𝑚 = 𝑘 grados de libertad asociado con el numerador (número de población o
tratamientos) y 𝑣 = 𝑁 − 𝑘 grados de libertad asociados con el denominador.
Escuela Profesional de Ingeniería industrial
Estadística II
12. Coeficiente de Correlación Muestral de Pearson
𝑧𝑥 =
𝑥 − 𝑥̅
𝑠𝑥
𝑧𝑦 =
𝑦 − 𝑦̅
𝑠𝑦
𝑟=
∑ 𝑧𝑥 𝑧𝑦
𝑛−1
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑆𝑋𝑌 =
− 𝑥̅ 𝑦̅
𝑛
𝑟=
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖
√𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 √𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 )2
13. La ecuación de una recta
∑𝑥∑𝑦
𝑛
𝑏=
(∑
𝑥 )2
∑ 𝑥2 −
𝑛
∑ 𝑥𝑦 −
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅
𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑥
14. El coeficiente de determinación
𝑆𝑆𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑
𝑟2 = 1 −
𝑆𝑆𝑇𝑜
(∑ 𝑦)2
𝑆𝑆𝑇𝑜 = ∑ 𝑦 −
𝑛
2
𝑆𝑆𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑 = ∑ 𝑦 2 − 𝑎 ∑ 𝑦 − 𝑏 ∑ 𝑥𝑦
𝑠𝑒 = √
𝑆𝑆𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑
𝑛−2
15. Distribución muestral de 𝒂, 𝒃
(∑ 𝑥 )2
𝑆𝑥𝑥 = ∑ 𝑥 2 −
𝑛
1 𝑥̅ 2
𝑠𝑎 = 𝑠𝑒 √ +
𝑛 𝑆𝑥𝑥
𝑠𝑒
𝑠𝑏 =
√𝑆𝑥𝑥
16. Intervalo de confianza para 𝜶, 𝜷
𝑎 − 𝑡(1−𝛼,𝑛−2) . 𝑠𝛼 ≤ 𝛼 ≤ 𝑎 + 𝑡(1−𝛼,𝑛−2) . 𝑠𝛼
2
2
𝑏 − 𝑡(1−𝛼,𝑛−2) . 𝑠𝑏 ≤ 𝛽 ≤ 𝑏 + 𝑡(1−𝛼,𝑛−2) . 𝑠𝑏
2
2
Escuela Profesional de Ingeniería industrial
Estadística II
17. Estadístico de la regresión lineal (𝜶 y 𝜷)
𝑔𝑙 = 𝑛 − 2
𝑡=
𝑎−𝛼
𝑆𝑎
𝑡=
𝑏−𝛽
𝑆𝑏
18. Estadístico del coeficiente de correlación
𝑑𝑓 = 𝑛 − 2 grados de libertad
𝑡=
𝑟
2
√1 − 𝑟
𝑛−2
19. Modelos no lineales
𝑆𝑆𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑 = ∑(𝑦 − 𝑦̂)2 ,
𝑆𝑆𝑇𝑜 = ∑(𝑦 − 𝑦̅)2
𝑅2 = 1 −
𝑆𝑆𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑
𝑆𝑆𝑇𝑜
- Lineal: 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥
- Potencia: 𝑦 = 𝑘𝑥 𝑟
- Exponencial: 𝑦 = 𝑘𝑒 𝑟𝑥
- Logarítmico: 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ln 𝑥.
20. Regresión lineal múltiple
𝑦 = 𝛼 + 𝛽1 𝑥1 + 𝛽2 𝑥2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑘 + 𝑒
Coeficientes de la regresión lineal múltiple
𝑛𝑏0 + 𝑏1 ∑𝑥1 + 𝑏2 ∑𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑘 ∑𝑥𝑘 = ∑𝑦
𝑏0 ∑𝑥1 + 𝑏1 ∑𝑥12 + 𝑏2 ∑𝑥1 𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑘 ∑𝑥1 𝑥𝑘 = ∑𝑥1 𝑦
𝑏0 ∑𝑥2 + 𝑏1 ∑𝑥2 𝑥1 + 𝑏2 ∑𝑥22 + ⋯ + 𝑏𝑘 ∑𝑥2 𝑥𝑘 = ∑𝑥2 𝑦
⋮
𝑏0 ∑𝑥𝑘 + 𝑏1 ∑𝑥𝑘 𝑥1 + 𝑏2 ∑𝑥𝑘 𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑘 ∑𝑥𝑘2 = ∑𝑥𝑘 𝑦
𝑆𝑆𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑 = ∑(𝑦 − 𝑦̂)2 ,
𝑆𝑆𝑇𝑜 = ∑(𝑦 − 𝑦̅)2
𝑆𝑆𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑
𝑆𝑆𝑇𝑜
𝑆𝑆𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑
𝑠𝑒2 =
𝑛 − (𝑘 + 1)
𝑅2 = 1 −
21. Prueba de utilidad del modelo de regresión múltiple (ANOVA)
Estadístico de prueba:
Escuela Profesional de Ingeniería industrial
Estadística II
𝑆𝑆𝑅𝑒𝑔𝑟
𝑘
𝐹=
𝑆𝑆𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑
𝑛 − (𝑘 + 1)
𝑅2 /𝑘
𝐹=
(1 − 𝑅 2 )/(𝑛 − (𝑘 + 1))
donde 𝑆𝑆𝑅𝑒𝑔𝑟 = 𝑆𝑆𝑇𝑜 − 𝑆𝑆𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑.
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 = 𝐹 (1 − 𝛼, 𝑑𝑓1 , 𝑑𝑓2 )
22. Componentes de una serie temporal
𝑋𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝐶𝑡 + 𝐸𝑡 + 𝐼𝑡
•
Tendencia determinística
Modelo lineal: 𝑇𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑡
Modelo exponencial: 𝑇𝑡 = 𝑎𝑒 𝑏𝑡
Modelo potencia: 𝑇𝑡 = 𝑎𝑡 𝑏
Modelo logarítmico: 𝑇𝑡 = 𝑎 + 𝑏 ln 𝑡
𝑏
Modelo Inverso: 𝑇𝑡 = 𝑎 +
𝑡
Medias móviles
• media móvil centrado
𝑀𝑀 (2𝑘 + 1)𝑡 =
•
𝑋𝑡−𝑘 + 𝑋𝑡−𝑘+1 + ⋯ + 𝑋𝑡 + ⋯ + 𝑋𝑡+𝑘+1 + 𝑋𝑡+𝑘
2𝑘 + 1
media móvil asimétrico
𝑀𝑀𝐴(𝑘 )𝑡 =
•
𝑋𝑡−𝑘+1 + 𝑋𝑡−𝑘+2 + ⋯ + 𝑋𝑡−1 + 𝑋𝑡
𝑘
Suavizamiento exponencial
𝑆𝑡 = 𝛼𝑌𝑡 + 𝛼(1 − 𝛼)𝑌𝑡−1 + 𝛼(1 − 𝛼 )2 𝑌𝑡−2 + 𝛼 (1 − 𝛼 )3 𝑌𝑡−3 + ⋯
𝑆𝑡 = 𝛼𝑋𝑡 + (1 − 𝛼 )𝑆𝑡−1
•
Pronósticos usando suavizamiento
•
Medias móviles para realizar pronósticos
𝑋𝑡−1 + 𝑋𝑡−2 + ⋯ + 𝑋𝑡−𝑘
𝑋̂𝑡 =
𝑘
•
Suavizamiento exponencial para realizar pronósticos
𝑋̂𝑡 = 𝛼𝑋𝑡−1 + (1 − 𝛼 )𝑆𝑡−1
•
ERROR CUADRÁTICO MEDIO
− 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚ó𝑣𝑖𝑙𝑒𝑠
1
2
∑(𝑋̂𝑡 − 𝑋𝑡 )
𝑛−𝑘
− 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑢𝑎𝑣𝑖𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
1
2
∑(𝑋̂𝑡 − 𝑋𝑡 )
𝐸𝐶𝑀 =
𝑛−1
Métodos de predicción
• Modelo Autoregresivo AR(p)
𝐸𝐶𝑀 =
Escuela Profesional de Ingeniería industrial
Estadística II
•
Modelo de Medias Móviles MA(q)
Modelo Autoregresivo de Medias Móviles ARMA(p,q)
•
Modelo Autoregresivo integrado de Medias Móviles ARIMA(p,d,q)
La media:
Varianza:
Autocorrelación:
𝐸 (𝑋𝑡 ) = 𝜇𝑡 ,
𝑡 = 1,2,3, …
𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡 ) = 𝐸(𝑋𝑡 − 𝜇𝑡 )2 , 𝑡 = 1,2,3, …
𝜌𝑡,𝑡+𝑘 =
𝐶𝑜𝑣 (𝑋𝑡 , 𝑋𝑡+𝑘 )
√𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡 ) √𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡+𝑘 )
𝑡 = 1,2,3, … , 𝑘 = 1,2,3, …
,
•
Modelos Autoregresivos AR(p)
𝑋𝑡 = 𝛿 + 𝜙1 𝑋𝑡−1 + 𝜙2 𝑋𝑡−2 + ⋯ + 𝜙𝑝 𝑋𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡
•
Modelos de Medias Móviles MA(q)
𝑋𝑡 = 𝛿 + 𝑒𝑡 − 𝜃1 𝑒𝑡−1 − 𝜃2 𝑒𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 𝑒𝑡−𝑞
•
Modelos Autoregresivos de Medias Móviles
ARMA(p,q)
𝑋𝑡 = 𝛿 + 𝜙1 𝑋𝑡−1 + 𝜙2 𝑋𝑡−2 + ⋯ + 𝜙𝑝 𝑋𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡 − 𝜃1 𝑒𝑡−1 − 𝜃2 𝑒𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 𝑒𝑡−𝑞
•
Modelos Autoregresivos Integrados de Medias Móviles
ARIMA(p,d,q)
𝑌𝑡 = 𝛿 + 𝜙1 𝑌𝑡−1 + 𝜙2 𝑌𝑡−2 + ⋯ + 𝜙𝑝 𝑌𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡 − 𝜃1 𝑒𝑡−1 − 𝜃2 𝑒𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 𝑒𝑡−𝑞
𝑌𝑡 = (1 − 𝐵)𝑑 𝑋𝑡
Correlograma:
función de autocorrelación simple (FAC)
función de autocorrelación parcial (FACP)
Identificación del Modelo