MOVIMIENTO curvilíneo
VECTOR DE POSICIÓN, VELOCIDAD
Cuando una partícula se mueve a lo largo de una curva diferente a una línea recta, se afirma que describe un
movimiento curvilíneo
La velocidad promedio de
la partícula sobre el
intervalo de tiempo ∆t se
define como el cociente de
∆r y ∆t.
El vector r se conoce
como el vector de
posición de la partícula
en el tiempo t.
t + ∆t
La velocidad instantánea de la
partícula en el tiempo t se obtiene
al elegir intervalos de tiempo ∆te
incrementos ∆r cada vez más
cortos
VECTOR ACELERACIÓN
La aceleración media se define como el cociente entre ∆v y ∆t.
Puesto que ∆v es un vector y ∆t un escalar, el cociente ∆v/ ∆t es
un vector de la misma dirección que ∆v.
t + ∆t
La aceleración instantánea de la partícula en el
tiempo t se obtiene al tomar valores cada vez
más y más pequeños de ∆t y ∆v
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
Cuando la posición de una partícula P se define en cualquier instante mediante sus coordenadas rectangulares x, y
y z, resulta conveniente descomponer la velocidad v y la aceleración a de la partícula en componentes
rectangulares
Componentes escalares
Es posible considerar por separado el movimiento de la partícula en dirección x,
su movimiento en la dirección y, y su movimiento en la dirección z
MOVIMIENTO de un proyectil
El movimiento de vuelo libre de un proyectil a
menudo se estudia en función de sus componentes
rectangulares. Cuando se hace caso omiso de la
resistencia del aire, la única fuerza que actúa en el
proyectil es su peso, el cual hace que el proyectil
tenga una aceleración dirigida hacia abajo
constante de aproximadamente
ac = g = 9.81 m/ 𝑠 2 o g = 32.2 pies/𝑠 2 .
Las componentes de la aceleración son
Las componentes de la velocidad inicial v0 del proyectil
(una bala), se integra dos veces en t y se obtiene
Si el proyectil se lanza en el plano xy desde el origen O,
se tiene 𝑥0 = 0, 𝑦0 = 0, 𝑧0 = 0 𝑦 𝑣𝑧 0 = 0, y las
ecuaciones de movimiento se reducen
Las ecuaciones muestran que el proyectil permanece en
el plano xy, que su movimiento en la dirección
horizontal es uniforme, y que su movimiento en la
dirección vertical es uniformemente acelerado.
El movimiento de un proyectil puede entonces
sustituirse
por
dos
movimientos
rectilíneos
independientes.
Las ecuaciones que definen las coordenadas x y y de un
proyectil en cualquier instante son las ecuaciones
paramétricas de una parábola. Por lo tanto, la
trayectoria de un proyectil es parabólica
ejemplo:
El movimiento amortiguado de una partícula que vibra se define mediante el vector de posición
𝑟 = 𝑥1 1 –
1
𝑡+ 1
𝑖 + (𝑦1 𝑒 −𝜋𝑡/2 cos 2𝜋𝑡)𝑗, donde t se expresa en segundos. Para 𝑥1 = 30 𝑚𝑚 y 𝑦1
= 20 𝑚𝑚, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando a) 𝑡 = 0, b) 𝑡
= 1,5 𝑠
ejemplo:
Un helicóptero vuela con una velocidad horizontal constante de 180 km/h y se encuentra directamente sobre el
Punto A cuando una pieza suelta comienza a caer.
La pieza aterriza 6,5 s después en el Punto B, sobre una superficie inclinada.
Determina:
(a) la distancia d entre los puntos A y B,
(b) la altura inicial h.
ejemplo:
Una máquina lanzadora “dispara” pelotas de béisbol con una velocidad horizontal v0. Si se sabe que la altura h
varía entre 788 mm. y 1068mm., determine a) el rango de valores de v0, b) los valores de correspondientes de α
h= 788mm. y h =1068 mm.
ejemplo:
En el medio tiempo de un partido de fútbol, se lanzan balones de recuerdo a los espectadores con una velocidad
v0. Determine el rango de valores de v0 si los balones deben aterrizar entre los puntos B y C.
EXPLICACIONES
https://www.youtube.com/watch?v=vFMHr1Jg8I
A
https://www.youtube.com/watch?v=_HjE
qdA7z40
https://www.youtube.com/watch?v=6J
f7Bms2jko
Componentes normal-tangencial
En ocasiones resulta conveniente descomponer la
aceleración en componentes dirigidas, respectivamente, a
lo largo de la tangente y la normal de la trayectoria de la
partícula.
𝒆𝑛 =
𝑑𝒆𝑡
𝑑𝜃
Componentes normal-tangencial
Velocidad
Puesto que la velocidad de la partícula es tangente a la
trayectoria se puede.
𝐯 = 𝑣𝒆𝑡
Aceleración
Para obtener la aceleración de la partícula, se diferenciará con
respecto a t.
𝒂=
𝑑𝐯 𝑑𝑣
𝑑𝒆𝑡
=
𝒆𝑡 + 𝑣
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝐯 𝑑𝑣
𝑣2
𝒂=
=
𝒆 + 𝒆𝑛
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡
𝜌
𝑣2
𝐚 = 𝑣𝒆
ሶ 𝑡 + 𝒆𝑛
𝜌
𝒂 = 𝑎𝑡 𝒆𝑡 + 𝑎𝑛 𝒆𝑛
𝑑𝒆𝒕 = 𝑑𝜃𝒆𝑛
ሶ 𝑛
𝒆𝑡ሶ = 𝜃𝒆
𝑠ሶ
𝑣
𝒆𝑡ሶ = 𝒆𝑛 = 𝒆𝑛
𝜌
𝜌
Componentes normal-tangencial
Radio de curvatura ρ
Si la trayectoria se expresa como y = f (x), el radio de
curvatura ρ en cualquier punto de la trayectoria se
determina con:
1+
𝜌=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
3
2 2
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
Si la trayectoria se expresa como ecuaciones paramétricas
y = f(t) y x = f(t) , el radio de curvatura ρ en cualquier punto de
la trayectoria se determina con:
𝜌=
3
2
2
𝑥ሶ + 𝑦ሶ 2
𝑥ሶ 𝑦ሷ − 𝑦ሶ 𝑥ሷ
Componentes normal-tangencial
Partícula moviéndose en el espacio 3D
Imagine ahora un plano que pasa por P paralelo al plano definido por los vectores 𝒆𝑡 , 𝒆′𝑡 y 𝚫𝒆𝑡 . Este
plano con tiene la tangente a la curva en P y es paralelo a la tangente en P’. Si se deja que P se acerque a
P’, se obtiene en el límite el plano que mejor se ajuste a la curva en la vecindad de P. Este plano recibe el
nombre de plano osculador en P
ejemplo:
En el diseño de un mecanismo de control, la guía ranurada vertical se mueve con una velocidad constante
𝑥ሶ = 15 in/s durante el intervalo de movimiento que va desde
𝑥 = −8 in.hasta 𝑥 = +8 in.
Para el instante en que 𝑥 = 6 in., se pide calcular las componentes normal (n) y tangencial (t) de la aceleración
del pasador 𝑃, el cual está confinado a moverse dentro de la ranura parabólica.
A partir de estos resultados, determina el radio de curvatura 𝜌 de la trayectoria en esa posición.
ejemplo:
Durante un corto intervalo, las guías ranuradas están diseñadas para moverse de acuerdo con las ecuaciones
𝑥 = 16 − 12𝑡 + 4𝑡 2 ,
𝑦 = 2 + 15𝑡 − 3𝑡 2 ,
donde 𝑥 y 𝑦 se expresan en milímetros y 𝑡en segundos.
Para el instante 𝑡 = 2 s, determinar el radio de curvatura 𝜌 de la trayectoria del pasador restringido 𝑃.
ejemplo:
Si la montaña rusa parte desde el reposo en A y su velocidad aumenta de acuerdo con
𝑎𝑡 = 6 − 0.06𝑠 m/s2 ,
determina la magnitud de su aceleración cuando llega al punto 𝐵, donde
𝑠𝐵 = 40 m.
ejemplo:
Un automóvil de carreras se desplaza con velocidad constante de 240 km/h alrededor de una pista de carreras
elíptica.
Determina la aceleración que experimenta el conductor en el punto A y B.
Componentes radial - transversal
Se definen mediante las coordenadas polares, útiles
cuando el movimiento está restringido por el control de
una distancia radial y una posición angular, o cuando el
movimiento de una partícula se observa mediante
mediciones de una distancia radial y una posición angular.
𝒓 = 𝑟𝒆𝑟
𝑑𝒆𝜃 = −𝑑𝜃𝒆𝑟
𝑑𝒆𝑟 = 𝑑𝜃𝒆𝜃
ሶ 𝑟
𝒆ሶ 𝜃 = −𝜃𝒆
ሶ 𝜃
𝒆ሶ 𝑟 = 𝜃𝒆
Componentes radial - transversal
Velocidad
Diferenciando el vector posición.
𝒓 = 𝑟𝒆𝑟
𝐯 = 𝑟𝒆
ሶ 𝑟 + 𝑟𝒆ሶ r
ሶ 𝜃
𝐯 = 𝑟𝒆
ሶ 𝑟 + 𝑟𝜃𝐞
Donde:
𝑣𝑟 = 𝑟ሶ
𝑣𝜃 = 𝑟𝜃ሶ
𝑣=
𝑣𝑟2 + 𝑣𝜃2 =
2
𝑟ሶ 2 + 𝑟𝜃ሶ
Componentes radial - transversal
Aceleración
Diferenciando el vector velocidad.
ሶ 𝜃
𝐯 = 𝑟𝒆
ሶ 𝑟 + 𝑟𝜃𝐞
ሶ 𝜃 + 𝑟𝜃𝐞
ሷ 𝜃 + 𝑟𝜃ሶ 𝒆ሶ 𝜃
𝒂 = 𝑟𝒆
ሷ 𝑟 + 𝑟ሶ 𝒆ሶ r + 𝑟ሶ 𝜃𝐞
ሶ 𝜃 + 𝑟ሶ 𝜃𝐞
ሶ 𝜃 + 𝑟𝜃𝐞
ሷ 𝜃 + 𝑟𝜃(−
ሶ 𝜃𝒆
ሶ 𝑟)
𝒂 = 𝑟𝒆
ሷ 𝑟 + 𝑟ሶ 𝜃𝒆
ሷ 𝜃
𝒂 = 𝑟ሷ − 𝑟𝜃ሶ 2 𝒆𝑟 + (2𝑟ሶ 𝜃ሶ + 𝑟𝜃)𝐞
Donde:
𝑎𝑟 = 𝑟ሷ − 𝑟𝜃ሶ 2
𝑎𝜃 = 2𝑟ሶ 𝜃ሶ + 𝑟𝜃ሷ
𝑎=
𝑎𝑟2 + 𝑎𝜃2 =
2
ሷ 2
𝑟ሷ − 𝑟𝜃ሶ 2 + (2𝑟ሶ 𝜃ሶ + 𝑟𝜃)
Coordenadas cilíndricas
Si la partícula se mueve a lo largo de una curva espacial como se
muestra en la figura, entonces su ubicación se especifica por
medio de las tres coordenadas cilíndricas, r, θ, z.
𝒆𝑧
𝒆𝜃
𝒓𝑝 = 𝑟𝒆𝑟 + 𝑧𝒆𝑧
ሶ 𝜃 + 𝑧𝐞
𝐯 = 𝑟𝒆
ሶ 𝑟 + 𝑟𝜃𝐞
ሶ z
𝒂 = 𝑟ሷ − 𝑟𝜃ሶ 2 𝒆𝑟 + 2𝑟ሶ 𝜃ሶ + 𝑟𝜃ሷ 𝐞𝜃 + 𝑧𝒆
ሷ 𝑧
Si no se dan las ecuaciones paramétricas en función del
tiempo, entonces debe conocerse la trayectoria 𝑟 = 𝑓(𝜃). Si
utilizamos la regla de la cadena del cálculo podemos encontrar
entonces la relación entre 𝑟ሶ y 𝜃ሶ y entre 𝑟ሷ y 𝜃.ሷ
𝒆𝑟
ejemplo:
El deslizador P puede moverse hacia adentro mediante la cuerda S mientras la barra OA gira alrededor del pivote
O. La posición angular de la barra está dada por θ = 0.4 + 0.12t + 0.06t³, donde θ está en radianes y t en
segundos.
La posición del deslizador está dada por r = 0.8 − 0.1t − 0.05t², donde r está en metros y t en segundos.
Determina y dibuja la velocidad y la aceleración del deslizador en el instante t = 2 s. Encuentra los ángulos α y β
que forman v y a con el eje x positivo.
ejemplo:
Un avión que vuela en línea recta con un ángulo de ascenso 𝛽 respecto a la horizontal es rastreado por un radar
ubicado directamente debajo de la trayectoria de vuelo.
En un cierto instante, se registran los siguientes datos:
𝑟 = 12,000 ft,
𝑟ሶ = 360 ft/s,
𝑟ሷ = 19.60 ft/s2 ,
𝜃 = 30∘ ,
𝜃ሶ = 2.20∘ /s.
Para este instante, determina la altitud del avión ℎ, su velocidad 𝑣, el ángulo de ascenso 𝛽, 𝜃ሷ y la aceleración 𝑎.
ejemplo:
El movimiento del pasador 𝑃está restringido por la ranura curva en forma de lemniscata en 𝑂𝐵 y por el brazo
ranurado 𝑂𝐴. Si 𝑂𝐴 gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante de 𝜃ሶ = 3 rad/s, determina
las magnitudes de la velocidad y de la aceleración del pasador 𝑃 cuando 𝜃 = 30∘ .
ejemplo:
El avión del juego mecánico se mueve a lo largo de una trayectoria definida por las ecuaciones
𝑟 = 4 m,
𝜃 = 0.2𝑡 rad,
𝑧 = 0.5 cos 𝜃 m,
donde 𝑡 está en segundos.
Determina los componentes cilíndricos de la velocidad y de la aceleración del avión cuando 𝑡 = 6 s.
