Sistemas Dinámicos
TRABAJO PRÁCTICO 8a:
SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS
SISTEMAS DE ECUACIONES RECURSIVAS DE PRIMER ORDEN
Ejercicio 1
Sea el sistema
xt +1 = xt + 0,5 y t
yt +1 = 0,5 xt + y t
(a) Exprese el sistema en forma matricial.
(b) Determine y grafique la trayectoria de las soluciones hasta t = 5
(c) Calcule los autovalores y autovectores.
−2
(d) Sea X 0 = , escríbalo como combinación lineal de los autovectores.
4
(e) Determine el vector de estado para t =50 y para t → .
Ejercicio 2
Sea el sistema dinámico X k +1 = A X k , obtenga la trayectoria del mismo si:
0, 65 −0,15
(a) A =
−0,15 0, 65
y
0,5 0
(c) A =
0 0,8
1
(e) A = 12
2
− 12
1
2
y
y
4 1
(b) A =
1 4
y
1
X0 =
−0,5
4
X0 =
4
1 12
(d) A = 1
2 1
y
−3
X0 =
2
4
X0 =
4
3
(f) A =
−3
5
X0 =
2
3
3
y
1
X0 =
1
MATRICES DE PROYECCIÓN DE POBLACIÓN
Ejercicio 3
La vida de una especie animal se desarrolla en tres etapas de igual duración. En el presente
problema se considera únicamente a las hembras. El índice de supervivencia de la primera etapa
es del 30%, y en la segunda del 50%. Las hembras son aptas para la reproducción desde la
segunda etapa, cuando cada hembra deja en promedio 4 hijas, y en la última etapa deja 2 hijas.
Sabiendo que la población actual de hembras es (20; 40; 2):
(a) Representar el sistema mediante el grafo correspondiente.
(b) Expresar el sistema en forma matricial.
(c) Obtener la trayectoria de la población hasta t = 10.
(d) Averiguar el tamaño de la población y de cada estado en el período anterior al actual.
(e) Graficar la variación temporal de la cantidad de individuos en cada edad y del total.
(f) Graficar la variación temporal de la proporción de individuos en cada edad.
(g) Determine la tasa de crecimiento esperada a largo plazo. ¿Cuál sería esa tasa si se
considera la variación a tiempo continuo?
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MATEMÁTICA II (Ciencias Biológicas)-Práctico
(h) Hallar, si existiera, la distribución que mantenga la proporción entre individuos de
cada edad a lo largo del tiempo.
(i) Un manejo sustentable permite la extracción de cierta fracción de la población, de
modo que la población retorna a su valor original después de un cierto tiempo. Sea h
la tasa de rendimiento sustentable, entonces se debe cumplir:
Lx − hLx = x
(i-1) Interpretar la expresión anterior, siendo L la matriz correspondiente. Obtenga una
expresión más simple.
(i-2) Considerando el concepto de autovalor y el valor del mismo, a partir de la expresión
obtenida en (i-1) hallar una fórmula práctica para h.
(i-3) Determinar la tasa de rendimiento sustentable para la especie en estudio.
(i-4) En qué momentos es posible extraer individuos de la población y cuantos.
MODELOS DE INTERACCIÓN
Ejercicio 4
Se analiza la interacción numérica entre dos especies A y B. En un período discreto determinado
de tiempo se observó que:
• Por cada 2 individuos de la especie A, nacen 3 individuos de la misma especie.
• Por cada individuo de la especie B nacen 2 de A.
• Muere el 50% de los individuos de la especie A.
• Por cada 3 individuos de la especie B, nacen 5 individuos de la misma.
• Muere el 10% de los individuos de la especie B.
• Por cada 5 individuos de la especie A mueren 2 de la especie B.
(a) Analice la situación mediante un grafo.
(b) Exprese el sistema matricialmente.
(c) Por iteración, obtenga la trayectoria del sistema.
(d) ¿Qué sucederá con las poblaciones de cada especie?
(e) ¿Encontrarán valores de equilibrio?
(f) ¿Alguna de ellas se extinguirá? ¿Cuándo?
Ejercicio 5
Averiguar que sucede con tres especies que interactúan en el tiempo según la matriz de
transición.
1 4 1
2 1 0
−1 3 1
(a) Representar el sistema mediante el grafo correspondiente.
(b) ¿Se alcanzará estabilidad entre las tres poblaciones?
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Sistemas Dinámicos
CADENAS DE MARKOV
Ejercicio 6
Sea P la matriz de transición de una cadena de Markov con dos estados y X 0 el vector de
estado inicial de la población.
0,5 0,3
P=
0,5 0, 7
0,5
X0 =
0,5
(a) Calcule X 1 y X 2
(b) ¿Qué proporción de la población del estado 1 estará en el estado 2 después de dos pasos?
(c) ¿Qué proporción de la población del estado 2 estará en el estado 2 después de dos pasos?
(d) Encuentre el vector de estado estacionario.
Ejercicio 7
Relación entre las estaturas de los niños con la de sus padres. Supongamos que las
probabilidades de que un padre alto tenga un hijo alto sea 0,6, de mediana estatura 0,2 y bajo 0,2;
las probabilidades de que un padre de mediana estatura tenga un hijo alto es 0,1, de mediana
estatura 0,7 o bajo de 0,2; y las probabilidades de que un padre de baja estatura tenga un hijo alto
es de 0,2, de mediana estatura 0,4 o bajo 0,4.
(a) Escriba la matriz de transición de esta cadena de Markov.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de baja estatura tenga un nieto alto?
(c) Si 20% de la población actual es alta, 50% es de mediana estatura y 30% es de estatura
baja, ¿cuál será la distribución después de tres generaciones?
(d) Si los datos del inciso (c) no cambian en el tiempo ¿qué proporción de la población será
alta, de mediana estatura y de estatura baja a largo plazo?
Ejercicio 8
Una especie vegetal puede tener flores rojas (R), rosadas (P) y blancas (B), según los respectivos
genotipos RR, RB y BB. Las proporciones en colores de las flores resultantes del cruzamiento de
cada uno de estos genotipos con el RB se presentan en la matriz de transición:
0,5 0,25 0
0,5 0,5 0,5
0 0,25 0,5
(a) Realice el grafo correspondiente.
(b) Suponiendo que en las sucesivas generaciones se realizan cruzamientos sólo con plantas
del genotipo RB. Exprese la solución del sistema. Obtenga los cuatro primeros términos
de la trayectoria del sistema, a partir de distintas condiciones iniciales que Ud. proponga.
¿Qué se observa? ¿En cuántas generaciones se alcanza el equilibrio?
(c) ¿Qué proporción de plantas tendrá flores rojas, rosadas y blancas a largo plazo?
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MATEMÁTICA II (Ciencias Biológicas)-Práctico
Ejercicio 9
Hay una epidemia en la que cada mes se enferma la mitad de los que están sanos, y muere la
(
)
t
cuarta parte de los que están enfermos. Si la población en un determinado mes es x 0 , y0 , z0 .
(a) Determinar el número de vivos y muertos el cabo de 20 meses.
(b) Encuentre el vector de estado estacionario.
ECUACIONES RECURSIVAS DE ORDEN MAYOR A 1
Ejercicio 10
Diagonalice la Matriz de Fibonacci. Verifique la validez de la fórmula de Binet para los primeros
términos de la sucesión.
Ejercicio 11
Sea la ecuación recursiva homogénea:
yk +3 − 6 yk + 2 + 11 yk +1 − 6 yk = 0
Con condición inicial
y0 1
Y0 = y1 = 2
y2 7
(a) Exprese la ecuación, como sistema de ecuaciones de primer orden.
(b) Determine los valores y vectores propios de la matriz correspondiente.
(c) Exprese Y0 como combinación lineal de los autovectores hallados.
(d) Halle la solución general Yk
(e) Determine el valor y5
Ejercicio 12
Resolver las ecuaciones recursivas según las condiciones iniciales dadas.
(a)
(b)
(c)
xn = 3xn −1 + 4 xn − 2
yk = 4 yk −1 − 4 yk − 2
an = 2an −1 + 2an − 2
con x0 = 0 x1 = 5
con y1 = 1 y2 = 6
con a0 = 0 a1 = 1
Ejercicio 13
Expresar en forma de ecuación recursiva del orden correspondiente al Sistema
k
0 1 0 1
Yk = 0 0 1 3
−2 0 3 8
38
0
