MATEMÁTICA I
APLICACIONES DE LA DERIVADA
I.
TRAZADO DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
(MONOTONAS)
MATEMÁTICA I
Ejemplo: considere las siguientes funciones y examine su comportamiento
1.- f ( x ) = 2 x + 3x + 9 x + 10
5
2.- f ( x ) =
3
1
x
3. Dada la gráfica de la función, indicar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento
MATEMÁTICA I
Ejemplo: Determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función:
3
f ( x ) = x3 − x 2
2
MATEMÁTICA I
OBSERVACION: Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una
función están separados por puntos críticos o por
discontinuidades
Ejemplo: Determinar los puntos críticos de las funciones:
3
5
1. f ( x ) = x ( 4 − x )
2. f ( x ) = x 2/3
3. f ( x ) = ( x − 4 )
2
2
3
MATEMÁTICA I
CUADRO RESUMEN SOBRE FUNCIONES MONOTONAS
Escoger un punto
x0 en el intervalo
Intervalo I
( )
Evaluar f ' x0
Indicar el signo de
Por tanto en I la
función es:
f ' ( x0 )
Ejercicios: Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
de las siguientes funciones
1.-
f ( x) =
x
1 + x2
y
2
1
4
2
2
1
2
2.-
f ( x) =
1 2 2
x ( x − 2)
2
4
x
MATEMÁTICA I
y
3
2
1
4
2
2
4
x
1
3.-
f ( x ) = x 2e− x
y
3
2
3
2
1
2
1
1
1
2
4.-
f ( x) =
x
3ln x
2
3
4
5
x
MATEMÁTICA I
f ( x ) = 2 x 2 − ln x
5.-
y
15
10
5
1
5
10
15
2
3
4
x
MATEMÁTICA I
EXTREMOS DE UNA FUNCION
VALORES MAXIMOS Y MINIMOS
MAXIMOS Y MINIMOS Y ABSOLUTOS
➢ Consideremos la función: f ( x ) = x − 1
2
MATEMÁTICA I
➢ Consideremos la función: f ( x ) = − x
2
➢ Consideremos la función: f ( x ) = 18 x −
2 3
x
3
MATEMÁTICA I
MATEMÁTICA I
MATEMÁTICA I
Ejemplo 1:
MATEMÁTICA I
Ejemplo 2:
MATEMÁTICA I
Ejercicios: Determinar los máximos y mínimos absolutos
de las siguientes funciones:
1.-
−1
f ( x ) = x3 − 3x 2 + 1 ; x , 4
2
MATEMÁTICA I
2.-
f ( x ) = 3x 4 − 16 x3 + 18x 2 ; x −1, 4
MATEMÁTICA I
EXTREMOS RELATIVOS (LOCALES) DE UNA FUNCION
MATEMÁTICA I
MATEMÁTICA I
EL VALOR DE LA DERIVADA EN LOS EXTREMOS RELATIVOS
Ejemplos:
a)
MATEMÁTICA I
b)
c)
MATEMÁTICA I
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea f : a, b →
una función derivable en a, b y x0 a, b un punto crítico
de f , entonces:
1.- Si f ' cambia de signo positivo ( a la izquierda de x0 ) a negativo ( a la derecha
de x0 ); entonces f tiene un máximo local en x0 y su valor es f ( x0 ) .
Entonces en la gráfica de f
P ( x0 , f ( x0 ) ) = P ( x0 , y0 )
ubicamos el máximo local en el punto
2.- Si f ' cambia de signo negativo ( a la izquierda de x0 ) a positivo ( a la derecha
de x0 ); entonces f tiene un mínimo local en x0 y su valor es f ( x0 ) .
Entonces en la gráfica de
P ( x0 , f ( x0 ) ) = P ( x0 , y0 )
f
ubicamos el mínimo local en el punto
MATEMÁTICA I
3.- Si f ' no cambia de signo en x0 ( es decir si f ' es positiva por ambos lados
de x0 o es negativa por ambos lados de x0 ) entonces f no tiene ni máximo
ni mínimo en x0
MATEMÁTICA I
CUADRO RESUMEN DE EXTREMOS RELATIVOS
Intervalo
Punto
critico
x0
Consideramos
un
punto
antes x1 y un
punto
después
x2
del
punto
x
critico 0
Evaluamos la
derivada en
x1 y x2 ,
determinando
su signo
Indicamos
el cambio
de signo
de la
derivada
Por tanto
el punto
crítico x0
corresponde
a un:
Estado de
la curva
Punto
extremo:
P ( x0 , y0 )
Ejemplos: Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos
locales de las siguientes funciones:
1.
f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 9 x + 2
y
30
20
10
10
5
5
10
20
30
10
x
MATEMÁTICA I
2.
f ( x ) = x 2e x
y
4
2
8
6
4
2
2
4
x
2
3.
f ( x ) = x − ln ( x + 1)
4
y
4
2
2
2
2
4
4
6
8
x
MATEMÁTICA I
x
− Senx , x ( 0, 2 )
2
4.
f ( x) =
5.
f ( x ) = ( x − 4)
2
2
3
MATEMÁTICA I
x4 + 1
6. f ( x ) =
x2
MATEMÁTICA I
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION
La concavidad de una función f significa que su gráfica se está arqueando o curvando.
Aquí se verá como el localizar los intervalos en los que f ' es creciente o decreciente
puede utilizarse para determinar donde la gráfica de f se curva hacia arriba o se curva
hacia abajo.
Indicar los intervalos de concavidad:
MATEMÁTICA I
Ejemplo 1: Determinar en qué intervalos la función es cóncava hacia arriba y cóncava
hacia abajo: f ( x ) = ( x − 1) + 1
3
Ejemplo 2: Determinar si la función:
MATEMÁTICA I
Ejemplo 3:
MATEMÁTICA I
MATEMÁTICA I
Observación: Los intervalos de concavidad están separados por discontinuidades de
f y puntos donde f ''( x) = 0 ó donde no existe f ''( x) . A estos puntos se les denomina
puntos críticos de inflexión (puntos de prueba).
Observación: Para determinar la concavidad de una función y sus puntos de inflexión,
determine primero los puntos críticos de inflexión, estos generan intervalos. En cada
intervalo determine si f ''( x) 0 ( f es cóncava hacia arriba) o f ''( x) 0 ( f es cóncava
hacia abajo). Si la concavidad cambia alrededor de uno de esos valores de x y f es
continua ahí, entonces f tiene un punto de inflexión en ese valor de x . Finalmente, un
candidato para punto de inflexión satisface:
i)
f '' debe ser 0 ó no estar definida en ese punto
ii)
f debe ser continua en ese punto
Ejercicio: Esbozar una posible gráfica de una función f que cumpla con las siguientes
condiciones:
MATEMÁTICA I
Ejemplo 1:
MATEMÁTICA I
CUADRO RESUMEN DE CONCAVIDAD Y PUNTOS DE
INFLEXION
Consideramos
un
punto
antes x1 y un
Intervalo
de
concavidad
PCI
x0
punto
después
del PCI x0
x2
Evaluamos
f '' ( x ) en x1
y
x2
,
determinando
su signo
PCI
corresponde
a un punto
de inflexión
Signo
de
f '' ( x0 )
Concavidad
Punto de
inflexión:
P ( x0 , y0 )
MATEMÁTICA I
Ejercicio 1: Investigar la concavidad y los puntos de inflexión de la función:
f ( x ) = 6 x 4 − 8 x3 + 1
Ejercicio 2: Investigar la concavidad y los puntos de inflexión de la función:
f ( x ) = x 4 − 3x 3 − x + 1
MATEMÁTICA I
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA
EXTREMOS LOCALES
MATEMÁTICA I
Observación:
MATEMÁTICA I
Ejemplo:
MATEMÁTICA I
CUADRO RESUMEN PARA EXTREMOS LOCALES
USANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Evaluamos
f '( x1 ) y
Intervalo
Escogemos
un punto
determinamos
su signo
x1
Estado
de la
curva
Punto
crítico
x0
Evaluamos
f '' ( x0 ) y
determinamos
su signo
x0
corresponde
a un
Punto
extremo:
P( x0 , f ( x0 )
Ejercicios: Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos
relativos de la función:
1.
f ( x ) = xe x
2.
f ( x ) = x 2 − x2
3.
f ( x) = x + 1− x
4.
f ( x) = x x
1
MATEMÁTICA I
Ejercicios adicionales: Usando los criterios de la derivada, graficar las siguientes
funciones:
1.
f ( x ) = x 4 − 4 x3 + 10
2.
f ( x) =
3.
f ( x ) = x 3 (6 − x) 3
( x + 1) 2
1 + x2
2
1
1
x
4.
f ( x) = e
5.
f ( x) =
2 x2
x2 −1
6.
f ( x) =
x2
x +1
7.
f ( x) =
Cosx
2 + Senx
8.
f ( x ) = ln ( 4 − x 2 )
9.
f ( x) =
10. f ( x ) =
x3
x2 + 1
2 ( x2 − 9)
x2 − 4
11. f ( x ) =
x2 − 2x + 4
x−2
12. f ( x ) =
x
x2 + 2
5
3
13. f ( x ) = 2 x − 5 x
4
3
14. f ( x ) = x 4 − 12 x3 + 48 x 2 − 64 x
0
