Sistemas Numéricos Referenciales
Pedagogı́a en Matemática
Profesor Héctor Lorca Soto
Profesor Ronald Manrı́quez Peafiel
Segunda Prueba Integral.
1. Resolver la siguiente ecuación diofántica. (Encontrar la solución general de la
ecuación) [12 puntos]
59x + 11y = 7
Proof.
• Notar que (59, 11) = 1 por lo que la ecuación admite soluciones enteras.
• Usando el algoritmo de la división con 59 y 11, entonces:
59
11
4
3
=
=
=
=
5 · 11 + 4
2·4+3
1 · 3 + 1 −→ (59, 11) = 1
3·1+0
• Despejando los restos que se han obtenido, tenemos:
4 = 59 − 5 · 11
3 = 11 − 2 · 4
= 11 − 2 · (59 − 5 · 11)
= 11 · 11 − 2 · 59
1 = 4−1·3
= 59 − 5 · 11 − 1 · (11 · 11 − 2 · 59)
1 = 3 · 59 − 16 · 11
/·7
7 = 21 · 59 − 112 · 11
• Con esto, un par de soluciones particulares de la ecuación diofántica son
x0 = 21
∧
y0 = −112
• La solución general de la ecuacón está dada por
x = 21 + 11t
∧
y = −112 − 59t
2.
i) Resolver la ecuación
[10 puntos]
φ(x) = 70
Proof. Antes de comenzar la demostración, mencionemos que 70 = 2 · 5 · 7.
• Primero debemos identificar los divisores positivos de 70.
+
D70
= {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}
• Después debemos identificar los di .
di = {1, 2, 10, 70}
• Además debemos encontrar los pi .
pi = {2, 3, 11, 71}
• Por último, debemos construir la tabla correspondiente
Q
Q70
di
di
Q
1
2·5·7
2
5·7
10
7
70
1
1·2
5·7
1 · 10
7
1 · 70
1
ii) Usando la parte anterior calcular
pi
2
3
11
71
2·3
2 · 11
2 · 71
x
−−−
−−−
−−−
71
−−−
−−−
142
[2 puntos]
φ(994)
Proof. Notar que 994 = 71 · 2 · 7 y además que mcd(71, 2) = 1, mcd(71, 7) = 1
y mcd(7, 2) = 1 luego:
φ(994) = φ(71) · φ(2) · φ(7) = 70 · 1 · 6 = 420
3. Demuestre que si a, b ∈ Z+ entonces
[12 puntos]
(ka, kb) = k(a, b)
2
Proof. Supongamos que (a, b) = d, entonces:
mcd{a, b} = d ⇒ ∃p, q ∈ Z : pa + qb = d
⇒ ∃p, q ∈ Z : pka + qkb = kd
Veamos que kd es el máximo común divisor de ka y kb
i) kd es divisor de ka y kb.
En efecto, para ciertos t1 , t2 ∈ Z
d | a ⇒ a = dt1 ⇒ ka = (kd)t1 ⇒ kd | ka
y
d = mcd(a, b) ⇒
d | b ⇒ b = dt2 ⇒ kb = (kd)t1 ⇒ kd | kb
ii) Sea c ∈ Z cualquier otro divisor común de ka y kb, entonces:
c | ka
c | pka + qkb
y
⇒ c | k(pa + qb) con p, q ∈ Z
c | kb
c | kd
Luego,
mcd(ka, kb) = kd = k · mcd(a, b)
4. Demuestre que ∀n ∈ Z+ , entonces φ(n) es par.
[12 puntos]
Proof. Primero escribamos n ∈ Z en su forma normal:
n=
k
Y
pαi i ,
αi ∈ Z+ , pi primo, ∀i = 1, . . . , k
i=1
Por teorema, calculemos φ(n):
φ(n) = φ
k
Y
!
pαi i
i=1
=
k
Y
pαi i − pαi i −1
i=1
=
k
Y
pαi i −1 (pi − 1)
i=1
Recordemos que pi es primo ∀i = 1, . . . , k, por lo que hay dos posibilidades para
cada uno de ellos, que pi = 2 o bien que pi sea impar, por lo que pi − 1 será par, en
ambos casos, se cumple la tesis.
3
5. Demuestre que ∀n ∈ Z+ , entonces
[12 puntos]
φ(n9 ) = n8 φ(n)
Proof. Primero escribamos n ∈ Z en su forma normal:
n=
k
Y
pαi i ,
αi ∈ Z+ , pi primo, ∀i = 1, . . . , k
i=1
por lo que
n9 =
k
Y
i
p9α
i ,
αi ∈ Z+ , pi primo, ∀i = 1, . . . , k
i=1
luego
k
Y
φ(n9 ) = φ
!
i
p9α
i
i=1
=
=
k
Y
i=1
k
Y
i
i −1
p9α
− p9α
i
i
i
p8α
pαi − pαi i −1
i
i=1
k
Y
=
pαi i
!8 k
Y
pαi − pαi i −1
i=1
i=1
8
= n φ(n)
Importante
• El puntaje asignado a cada pregunta está en negrita al finalizar cada enunciado.
• Con 30 puntos se obtiene nota 4,0.
• Para obtener todo el puntaje asignado a cada pregunta, deberá justificar claramente
sus procedimientos y/o conclusiones.
• La prueba debe ser entregada en hojas de oficio tipo cuadernillo y debe estar escrita
con lápiz pasta. De lo contrario la nota de su evaluación será 1.0
• Si llegase a sonar un teléfono celular durante la prueba, se dará por finalizada la
evaluación para todos los estudiantes.
4
0
