Ejercicios Resueltos de Funciones - Cálculo I UPC

UPC – Departamento de Ciencias – Cálculo I
LECTURA
Lista de ejercicios de funciones
Introducción
En ingeniería, comprender y aplicar el concepto de función es esencial para modelar y analizar
fenómenos del mundo real. Una función es, en términos simples, una relación que asigna a cada
valor de entrada un único valor de salida, siguiendo una regla bien definida. Esta idea, aunque
sencilla en apariencia, constituye la base de gran parte de la matemática aplicada que utilizan los
ingenieros para describir procesos físicos, optimizar recursos y resolver problemas complejos.
Motivación
En ingeniería, las funciones son más que fórmulas: son el puente entre la teoría y la realidad. Con
ellas puedes predecir el comportamiento de sistemas, optimizar procesos y diseñar soluciones que
funcionen en el mundo real. Aprender funciones es aprender a pensar como un ingeniero.
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Lista de ejercicios resueltos de funciones
1. Determine el dominio de las siguientes funciones con regla de correspondencia:
𝐚. 𝑓(𝑥) =
(𝑥 2 + 4)√−𝑥 + 2
𝑥2 − 9
Solución:
Dom(𝑓) = {𝑥 ∈ R / −𝑥 + 2 ≥ 0
∧ 𝑥 2 − 9 ≠ 0}
•
Para −𝑥 + 2 ≥ 0 → 𝑥 ≤ 2
•
𝑥 ≠ −3
Para 𝑥 2 − 9 ≠ 0 → {
𝑥≠3
−∞
−3
2
3
+∞
Por tanto, Dom(𝑓) = ]−∞; 2] − {−3}
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(36𝑥 − 𝑥 3 )√4𝑥 − 𝑥 2
𝐛. 𝑔(𝑥) =
|𝑥 − 1| − 3
Solución:
Dom(𝑓) = {𝑥 ∈ R / 4𝑥 − 𝑥 2 ≥ 0
•
∧ | 𝑥 − 1| − 3 ≠ 0}
Para 𝑥(4 − 𝑥) ≥ 0
Números de referencia: 0 y 4:
−∞
0
4
+∞
𝑥 ∈ [0; 4]
•
Para | 𝑥 − 1| − 3 ≠ 0
𝑥−1≠3 → 𝑥 ≠4
| 𝑥 − 1| ≠ 3 ⇒ {
𝑥 − 1 ≠ −3 → 𝑥 ≠ −2
Por tanto, Dom(𝑓) = [0; 4] − {4}
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2. La figura muestra la gráfica de la función 𝑓 e interseca al eje 𝑥 en 2,7.
Determine:
a.
El dominio y el rango de la función.
b. El intervalo donde la función es creciente.
c. El valor mínimo y máximo absoluto de 𝑓.
d. Los intervalos donde la función es positiva.
e. La ecuación de la asíntota.
Solución:
a. Dom(𝑓) = ]−∞; 5]
Ran(𝑓) = [−1; 3]
b. La función es creciente en:] − ∞; 0[, ]0; 1[ y ]3; 5[
c. El valor mínimo absoluto de 𝑓 es −1 y máximo absoluto de 𝑓 es 3.
d. La función es positiva en los intervalos: ]−∞; 0], ]0; 2,7[ y ]3; 5]
La función es negativa en los intervalos: ]−1; 0[ y ]4; ∞[
e. Ecuación de la asíntota horizontal: 𝑦 = 1
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3. A partir de la regla de correspondencia de las siguientes funciones.
i.
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
ii.
𝑔(𝑥) = |𝑥|
iii.
ℎ(𝑥) = √𝑥
Se pide:
a. Identifique el tipo de función.
b. Dominio y rango.
c. Los intervalos de monotonía.
d. Los intervalos donde la función es positiva y negativa.
Solución:
i.
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
a. Función cuadrática.
b. Dom(𝑓) = R
Ran(𝑓) = [0; ∞[
c. La función es creciente en: ]0; ∞[
La función es decreciente en: ] − ∞; 0[
d. La función es positiva en: 𝑅 − {0}
ii.
𝑔(𝑥) = |𝑥|
a. Función valor absoluto.
b. Dom(𝑓) = R
Ran(𝑓) = [0; ∞[
c. La función es creciente en: ]0; ∞[
La función es decreciente en: ] − ∞; 0[
d. La función es positiva en: 𝑅 − {0}
iii.
ℎ(𝑥) = √𝑥
a. Función raíz cuadrática.
b. Dom(𝑓) = [0; ∞[
Ran(𝑓) = [0; ∞[
c. La función es creciente en: ]0; ∞[
d. La función es positiva en: ]0; ∞[
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4. La figura muestra la gráfica de la función 𝑓.
Determine:
a. Los intervalos donde la función es positiva y
negativa.
b. Los intervalos donde 𝑓 es creciente y
decreciente.
c. Los puntos de discontinuidad e indique de que
tipo es.
d. La ecuación de la asíntota e indique si es
vertical u horizontal.
e. Los extremos absolutos.
Solución:
a. La función es positiva en los intervalos:[−4; −2], ]−2; 1] y ]1; 3]
La función no tiene algún intervalo donde sea negativa.
b. La función es creciente en: ] − 4; −2[ 𝑦 ] − 2 ; 0[
La función es creciente en: ]0; 1[ 𝑦 ]1 ; 3[
c. La función es discontinua en −2 de tipo salto y es discontinua en 1 de tipo
infinito.
d. Asíntota vertical de 𝑓 es: 𝑥 = 1.
e. El mínimo absoluto de 𝑓 es cero.
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Desarrolle estos problemas bajo el enfoque del razonamiento cuantitativo (ver rúbrica)
5. La siguiente gráfica describe el recorrido realizado por un ciclista, es decir la distancia recorrida
en kilómetros (km) está en función del tiempo el cual se mide en horas (h), los tramos de la
gráfica indican que el ciclista se aleja, regresa o está parado. Considerando como punto de
partida el origen de coordenadas, interprete la gráfica y responda lo solicitado:
a. Defina las variables y sus unidades.
b. Determine el dominio y el rango de la función 𝑓, explique su significado.
c. Calcule el valor de 𝑓 (3), interprete el resultado.
d. Los intervalos de tiempo en el cual el ciclista se aleja del punto de partida.
e. El intervalo de tiempo, en el cual es ciclista está parado.
Solución:
La solución lo puede revisar el siguiente video:
https://youtu.be/O_jC6a1jWKc?si=E7am8QpqbCtWIG_M
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Rubrica para la calificación de la competencia de razonamiento cuantitativo
NIVELES
DIMENSIONES
Interpretación
Representación
Cálculo
Análisis y
argumentación
SOBRESALIENTE
LOGRADO
EN PROCESO
EN INICIO
Entiende el problema y lo
evidencia redactando con
precisión los tres ítems:
En la redacción se evidencia
con precisión a lo más dos
de los ítems:
En la redacción se evidencia
con precisión a lo más uno
de los ítems:
En la redacción tiene
errores o ausencias en
todos los ítems:
• ¿Qué es lo que pide el
problema?
• ¿Qué es lo que pide el
problema?
• ¿Qué es lo que pide el
problema?
• ¿Qué es lo que pide el
problema?
• ¿Qué datos proporciona
el problema?
• ¿Qué datos proporciona
el problema?
• ¿Qué datos proporciona
el problema?
• ¿Qué datos proporciona
el problema?
• ¿Qué aspectos teóricos
debe aplicar para resolver
el problema?
• ¿Qué aspectos teóricos
debe aplicar para
resolver el problema?
• ¿Qué aspectos teóricos
debe aplicar para
resolver el problema?
• ¿Qué aspectos teóricos
debe aplicar para
resolver el problema?
En la solución se evidencia
redactando con precisión
los tres ítems:
En la solución se evidencia
redactando con precisión a
lo más dos de los ítems:
En la redacción se evidencia
con precisión a lo más uno
de los ítems:
En la solución tiene errores
o ausencias en todos los
ítems:
• La o las ecuaciones
matemáticas que
necesita para resolver el
problema.
• La o las ecuaciones
matemáticas que
necesita para resolver el
problema.
• La o las ecuaciones
matemáticas que
necesita para resolver el
problema.
• La o las ecuaciones
matemáticas que
necesita para resolver el
problema.
• Define las variables a
utilizar con sus unidades.
• Define las variables a
utilizar con sus unidades.
• Define las variables a
utilizar con sus unidades.
• Define las variables a
utilizar con sus unidades.
• Coloca las restricciones
que se deducen del
contexto.
• Coloca las restricciones
que se deducen del
contexto.
• Coloca las restricciones
que se deducen del
contexto.
• Coloca las restricciones
que se deducen del
contexto.
En la solución realiza
correctamente las
operaciones matemáticas
necesarias para resolver el
problema (se puede usar
calculadora).
En la solución realiza
correctamente parte de las
operaciones matemáticas
necesarias para resolver el
problema y llega a la
respuesta final correcta.
En la solución realiza
correctamente parte de las
operaciones matemáticas
necesarias para resolver el
problema y no llega a la
respuesta final correcta.
En la solución no realiza
correctamente todas las
operaciones matemáticas
necesarias para resolver el
problema.
• En la solución verifica que
los resultados cumplen
con las condiciones o
restricciones del
problema.
• En la solución no verifica
que los resultados
cumplen con las
condiciones o
restricciones del
problema.
• En la solución verifica
que los resultados
cumplen con las
condiciones o
restricciones del
problema.
• En la solución no verifica
que los resultados
cumplen con las
condiciones o
restricciones del
problema.
• Escribe correctamente la
respuesta de forma clara,
sencilla, usando un
lenguaje adecuado, sin
faltas ortográficas y
colocando unidades
según corresponda.
• Escribe correctamente la
respuesta de forma clara,
sencilla, usando un
lenguaje adecuado, sin
faltas ortográficas y
colocando unidades
según corresponda.
• No escribe
correctamente la
respuesta de forma clara,
sencilla, usando un
lenguaje adecuado, sin
faltas ortográficas y
colocando unidades
según corresponda.
• No escribe
correctamente la
respuesta de forma
clara, sencilla, usando un
lenguaje adecuado, sin
faltas ortográficas y
colocando unidades
según corresponda.
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