Trabajo y Energía
Trabajo y energía
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Campos escalares y vectoriales.
Trabajo y Potencia.
Fuerzas conservativas.
Conservación de la Energía.
Prof. Abel Calle
Asig. Fundamentos de Mecánica y Termodinámica
Dpto. Física Aplicada
Facultad de Ciencias
Campos escalares y campos vectoriales
Campos escalares y vectoriales
Definición de CAMPO: Si existe una función unívoca que hace corresponder a
cada punto del espacio una cierta magnitud, el espacio soporte de dicha función
es un campo. Fue introducido por Faraday
Campo escalar: Toda función que haga corresponder a cada punto del espacio el
valor de una magnitud escalar define un campo escalar. Como ejemplos de campos
escalares tenemos los campos de temperatura, de presión, de densidad, etc.
φ 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = φ 𝑟, 𝑡
Campo vectorial: Toda función que haga corresponder a cada punto del espacio el
valor de una magnitud vectorial, esto es, un vector, define un campo vectorial.
Ejemplo de campos vectoriales son el campo gravitatorio (g), el eléctrico (E), el
magnético (B), el de velocidades en una corriente fluida (v), etc.
𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝐴 𝑟, 𝑡
Campo estacionario: Si el campo, vectorial o escalar, sólo es función de la posición,
diremos que se trata de un campo estacionario; por lo tanto es independiente del tiempo.
Campo uniforme: Si el campo, vectorial o escalar, sólo es función del tiempo, y, por tanto,
toma el mismo valor en un instante dado en todos los puntos del espacio en el que está
definido, diremos que se trata de un campo uniforme
Trabajo y energía
Fundamentos de Mecánica y Termodinámica
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Trabajo y Energía
Representación de un campo escalar
Los campos escalares se representan mediante la función que los define o mediante líneas o superficies equipotenciales.
Una superficie o línea equipotencial se define como el lugar geométrico de los puntos tales que:
Campos escalares y vectoriales
𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝐶𝑡𝑒
En un mapa de relieve por ejemplo se tiene un campo escalar correspondiente a elevación sobre el nivel del mar como función
de las coordenadas latitud y longitud geográfica. En este caso, las superficies equipotenciales se denominan curvas de nivel, y
como se deduce de la definición, todos los puntos pertenecientes a una curva de nivel tienen la misma elevación sobre el nivel
del mar. En los mapas de temperatura, las líneas o superficies que unen los puntos de igual temperatura se llaman isotermas,
mientras en la electrostática, las líneas o superficies que unen los puntos de igual potencial electrostático se denominan líneas
o superficies equipotenciales.
Campo de isobaras
Líneas equipotenciales de
dos cargas eléctricas
Trabajo y energía
Representación de un campo vectorial
Campos escalares y vectoriales
La representación de un campo vectorial se realiza mediante unas líneas tangentes en cada uno de sus puntos a la dirección
del vector A en esos puntos; estas líneas son llamadas líneas vectoriales y nos mostrarán la dirección del vector A en cada punto.
Al ser A(x,y,z) una función unívoca de punto, las líneas vectoriales no pueden cortarse entre sí. Puesto que el campo vectorial A en
cualquier punto del espacio es tangente a la línea vectorial que pasa por ese punto, si consideramos un desplazamiento elemental
dr sobre la línea vectorial será A×dr =(Ax,Ay,Az) ×(dx,dy,dz)=0 (condición de paralelismo), de modo que:
𝐴
𝐴
𝐴
=
=
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
son las ecuaciones diferenciales de la familia de líneas vectoriales asociadas al campo vectorial A(x,y,z).
Campo magnético de los polos de
un imán
Campo de velocidades en un túnel
de viento
Líneas de campo magnético en la
superficie del sol
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Fundamentos de Mecánica y Termodinámica
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Trabajo y Energía
Campos escalares y vectoriales
Circulación de un campo vectorial
Supongamos definido un arco de curva regular por el vector de origen fijo O, r(t), siendo t un
parámetro escalar (no necesariamente el tiempo), y dado un campo vectorial A(r), función continua
de punto:
𝐴 = 𝐴 𝑟 𝑡 𝑖 + 𝐴 𝑟 𝑡 𝑗 + 𝐴 𝑟 𝑡 𝑘 ; 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘
Se define la circulación del vector A(r) sobre la curva C, entre los puntos y : 𝐶 =
𝐴 ⋅ 𝑑𝑟
Se denominan Campos conservativos o Irrotacionales los que verifican que su circulación es independiente de la trayectoria
seguida entre dos puntos y . Entonces la circulación puede calcularse como la diferencia de valores que toma una cierta
función escalar de punto llamada Función potencial. Son campos conservativos el gravitatorio y el electrostático. No son
conservativos el campo eléctrico de inducción, ni el campo de velocidades en una corriente fluida con remolinos.
𝐶=
𝐴 ⋅ 𝑑𝑟 =
𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⋅ 𝑑𝑥 +
𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⋅ 𝑑𝑦 +
𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 ⇒
𝐴 ⋅ 𝑑𝑟
𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⋅ 𝑑𝑧
=
𝐴 ⋅ 𝑑𝑟
→
𝐴 ⋅ 𝑑𝑟 = 0
Trabajo y energía
Campos escalares y vectoriales
Circulación de un campo vectorial
Trabajo y energía
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Trabajo y Energía
Gradiente de un campo escalar
Dada una función/campo escalar (x,y,z), su diferencial:
𝑑𝜑 =
𝜕𝜑
𝜕𝜑
𝜕𝜑
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 +
𝑑𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Campos escalares y vectoriales
El diferencial de un campo escalar puede ser expresada mediante el producto escalar de dos vectores:
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
⇒ 𝒅𝝋 = 𝜵𝝋 ⋅ 𝒅𝒓
𝜕𝜑
𝜕𝜑
𝜕𝜑
𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = ∇𝜑 =
𝑖+
𝑗+
𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Cualquier desplazamiento, dr, sobre una superficie (x,y,z)=cte
𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒
representa una variación d=0, lo que implica que el gradiente es
perpendicular a las superficies equipotenciales.
Dado un campo escalar (x,y,z), podemos obtener a partir de él un campo vectorial A, que hace corresponder a cada
punto del espacio (en el que está definido el campo escalar φ) un vector A(x,y,z) que es el gradiente del campo escalar en
ese mismo punto:
𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ∇𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧
Trabajo y energía
Campos conservativos y función potencial
Dado un campo escalar φ(x,y,z), podemos obtener a partir de él un campo vectorial A(x,y,z) , que hace
corresponder a cada punto del espacio (en el que está definido el campo escalar φ) un vector A(x,y,z) que es
el gradiente del campo escalar en ese mismo punto
Campos escalares y vectoriales
𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ∇𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 →
1.
2.
𝐴 ⋅ 𝑑𝑟 =
∇φ ⋅ 𝑑𝑟 =
𝑑φ = φ − φ
El campo del gradiente es un campo vectorial conservativo, y φ(x,y,z) es la función potencial.
Todo campo vectorial A que sea conservativo se podrá obtener a partir de un campo escalar o función
potencial φ mediante la operación A =∇φ.
DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN POTENCIAL
Dado un campo vectorial A(x,y,z) , dado por A=Axi+Ayj+Azk
Cómo encontrar la función potencial (x,y,z), de forma que A(x,y,z) es el gradiente del campo escalar en ese mismo punto
, ,
, ,
Φ−Φ =
𝐴 ⋅ 𝑑𝑟 =
,
,
𝐴 𝑖+𝐴 𝑗+𝐴 𝑘
,
𝒙,𝒚,𝒛
=
𝒙,𝒚𝟎 ,𝒛𝟎
𝐴 𝑑𝑥 + 𝐴 𝑑𝑦 + 𝐴 𝑑𝑧 =
𝒙𝟎 ,𝒚𝟎 ,𝒛𝟎
𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘 =
,
𝒙,𝒚,𝒛𝟎
𝐴 𝑑𝑥 +
𝒙𝟎 ,𝒚𝟎 ,𝒛𝟎
𝒙,𝒚,𝒛
𝐴 𝑑𝑦 +
𝒙,𝒚𝟎 ,𝒛𝟎
𝐴 𝑑𝑧
𝒙,𝒚,𝒛𝟎
Trabajo y energía
Fundamentos de Mecánica y Termodinámica
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Trabajo y Energía
Trabajo y Potencia
El trabajo elemental dW, realizado por una fuerza F al desplazar su punto de
aplicación una distancia dr se define como el producto escalar de la fuerza por el
desplazamiento. El trabajo es la circulación de la fuerza
𝑑𝑊 = 𝐹 · 𝑑𝑟 = 𝐹 · 𝑑𝑟 · cos 𝜃 =
=𝐹 𝑑 +𝐹 𝑑 +𝐹𝑑
𝒓𝟐
𝑾=
Trabajo y Potencia
La expresión anterior es aplicable al caso diferencial, ya que en el desplazamiento la
fuerza puede cambiar. El trabajo total en un desplazamiento será:
𝑭𝒅𝒓
𝒓𝟏
La potencia es la rapidez del trabajo efectuado. La potencia instantánea se define
como el trabajo diferencial efectuado en la unidad de tiempo; como puede deducirse,
representa el producto escalar de la fuerza actuante multiplicada por la velocidad de la
partícula sobre la que actúa:
La ecuación de dimensiones de la potencia es: [P]=ML2T-3,y su unidad es el
Joule/Segundo, denominado Watt ó Watio.
El rendimiento:
𝑷=
𝜂=
𝑊
𝑊
𝒅𝑾
𝑑𝑟
=𝐹
=𝐹·𝑣
𝒅𝒕
𝑑𝑡
=
𝑊ú
𝑊
=
𝑃ú
𝑃
Trabajo y energía
Fuerzas conservativas (I)
Fuerzas conservativas
Condiciones para que una fuerza sea conservativa:
Una fuerza F que actúa sobre una partícula es conservativa si y sólo si cumple dos condiciones:
(i) F depende sólo de la posición de la partícula r (y no de la velocidad v, ni del tiempo t, ni de cualquier otra variable); esto
es, F=F(r).
(ii) Para cualesquiera dos puntos 1 y 2, el trabajo W(12) realizado por F es el mismo para cualquiera de los caminos
entre 1 y 2.
Definición de Energía potencial:
Para definir la energía potencial U(r) correspondiente a una fuerza conservativa dada, elegimos primero un punto de
referencia r0 ( U(r0)=0 ) en el que U se define como cero (origen de energías potenciales). Definimos entonces U(r), la
energía potencial en un punto arbitrario r, como:
𝑈 𝑟 = −𝑊 𝑟 → 𝑟 = −
𝐹 𝑟′ · 𝑑𝑟′
Debe notarse que la definición de energía potencial sólo tiene sentido cuando se cumple la condición (ii) de las fuerzas
conservativas expresada en el párrafo anterior; ya que, si la integral de trabajo fuera diferente para diferentes caminos,
entonces existirían muchas funciones potenciales U(r) y no una única.
Trabajo y energía
Fundamentos de Mecánica y Termodinámica
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Trabajo y Energía
Fuerzas conservativas (II)
Fuerzas conservativas
Se dice que una fuerza es conservativa si su dependencia del vector
de posición, r, o de las coordenadas x, y, z de la partícula es tal que el
trabajo W puede ser expresado como la diferencia entre los valores de
una cantidad U(x,y,z) evaluada en los puntos inicial y final. La
magnitud U(x,y,z) se denomina Energía potencial y es función de las
coordenadas de las partículas.
A partir de la definición, tendremos:
Dado que el trabajo efectuado no depende de la trayectoria, sino sólo
de los valores que toma la U en los puntos extremos, se cumple que
para fuerzas conservativas:
𝑊=
𝐹𝑑𝑟 = −Δ𝑈 = 𝑈 − 𝑈
𝑊=
𝐹𝑑𝑟 = 0
𝐹𝑑𝑟 = −𝑑𝑈 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⇒ 𝐹 𝑑𝑥 + 𝐹 𝑑𝑦 + 𝐹 𝑑𝑧
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑈
=−
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 +
𝑑𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
⇒ 𝐹 = −∇𝑈;
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝐹= −
𝑖−
𝑗−
𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
FUERZAS CONSERVATIVAS
El trabajo de las fuerzas conservativas cumple tres condiciones:
1. Es independiente de la trayectoria
2. Es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una función de energía potencial.
3. Es recuperable en su totalidad.
Como puede deducirse de su definición, las fuerzas conservativas no pueden ser nunca fuerzas de rozamiento o asociadas a ellos. El trabajo
que producen nunca es recuperable ya que las fuerzas son disipativas.
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Campos escalares y vectoriales
Fuerza y potencial
Trabajo y energía
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Trabajo y Energía
Función potencial
La fuerza conservativa que actúa sobre una partícula viene dada por la expresión:
3𝑥 − 𝑦
2𝑦 − 3𝑥𝑧
𝐹=−
𝚤̅ −
𝚥̅ + 3𝑦𝑘
𝑥
𝑥
Determinar la expresión de la energía potencial, sabiendo que la energía potencial en el origen es U0.
Campos escalares y vectoriales
El potencial está relacionado con la fuerza por:
, ,
𝑈−𝑈 =−
, ,
𝐹 𝑑𝑥 + 𝐹 𝑑𝑦 + 𝐹 𝑑𝑧 = −
, ,
, ,
, ,
3𝑥 − 𝑦
−
𝑑𝑥
𝑥
, ,
𝐹 𝑑𝑥
+
, ,
, ,
+
, ,
𝐹 𝑑𝑦
+
, ,
2𝑦 − 3𝑥𝑧
−
𝑑𝑦
𝑥
𝑈 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3𝑥 +
, ,
, ,
, ,
+
3𝑦𝑑𝑧
, ,
𝐹 𝑑𝑧
= 3𝑥 +
𝑦
− 3𝑦𝑧 + 𝐶
𝑥
𝑦
− 3𝑦𝑧 + 𝑈
𝑥
Trabajo y energía
Energía mecánica
Conservación de la Energía
ENERGÍA CINÉTICA (Teorema de las fuerzas vivas)
El trabajo efectuado por una fuerza, al actuar sobre una partícula, se invierte en producir un cambio en su energía cinética.
Obsérvese que a pesar de que la fuerza pueda ser variable o constante, el trabajo sólo depende de los valores inicial y final
de la energía cinética
𝑑𝑊 = 𝐹𝑑𝑟 ⇒ 𝑑𝑊 = 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑟 = 𝑚𝑣𝑑𝑣 ⇒ Δ𝑊
𝑑𝑡
𝐹 = 𝑚𝑎
=
𝑚𝑣𝑑𝑣 =
𝟏
𝒎 𝒗𝟐𝟐 − 𝒗𝟐𝟏 = 𝜟𝑬𝑲
𝟐
ENERGÍA POTENCIAL
Se define la función energía potencial U, asociada a una fuerza conservativa, de tal forma que el trabajo realizado por
una fuerza conservativa es igual a la disminución de dicha función:
𝑊=
𝐹 · 𝑑𝑟 = −Δ𝑈 ; 𝒅𝑼 = −𝑭 · 𝒅𝒓
Trabajo y energía
Fundamentos de Mecánica y Termodinámica
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Trabajo y Energía
Principio de conservación de la Energía
Definimos previamente la energía mecánica de un cuerpo como el conjunto de la energía cinética más la energía potencial
del mismo. Si ahora consideramos un campo conservativo, sólo las fuerzas conservativas son las que realizan trabajo sobre el
cuerpo, y en este caso:
Conservación de la Energía
𝑊
=
𝐹 · 𝑑𝑟 = −Δ𝑈 = Δ𝐸 ⇒ 𝜟 𝑼 + 𝑬𝑲 = 𝟎
Principio de conservación de la energía mecánica: en un campo de fuerzas conservativo, la energía mecánica total del
sistema se conserva, y no varía. Este teorema puede ser extendido al caso general en que existan fuerzas no conservativas,
junto con fuerzas conservativas. En este caso, tenemos:
𝑊
=
𝐹
· 𝑑𝑟 + 𝐹 · 𝑑𝑟 = 𝑊 + 𝑊 = Δ𝐸
En este caso, la expresión del trabajo total no puede ser igualado a la variación de una función energía potencial (esta función
sólo existe para fuerzas conservativas). Por ello, sólo existe una función energía potencial para el término Wc=-U; igualmente
se incluirá el trabajo de fuerzas externas que no estuvieran contenidas en la función potencial; por lo tanto:
𝑾𝒆𝒙𝒕 + 𝑾𝒏𝒄 = 𝜟𝑬𝑲 + 𝜟𝑬𝑼 = 𝜟 𝑬𝑲 + 𝑼
Teorema generalizado del trabajo-energía: el trabajo realizado por fuerzas no conservativas que actúan sobre una
partícula es igual a la variación de la energía mecánica total del sistema. El caso más frecuente que ilustra este teorema es el
de las fuerzas de fricción, que modifican la energía mecánica del sistema.
Trabajo y energía
Ecuación movimiento en F conservativas: uso de la E cte (unidimensional)
Las fuerzas que sólo dependen de la posición, en una dimensión, se deducen de un potencial.
Es el caso de un sistema conservativo:
Conservación de la Energía
𝑈 𝑥 =−
𝐹 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝐹 𝑥 = −
𝑑𝑈
𝑑𝑥
La ecuación del movimiento se obtiene integrando la ecuación de conservación de la energía, como
suma de energía cinética más energía potencial.
1
𝑑𝑥
𝐸 = 𝐸 𝑝 + 𝑈 𝑥 = 𝑚𝑣 + 𝑈 𝑥 = 𝐸(𝑐𝑡𝑒) ⇒
=
2
𝑑𝑡
2
𝐸−𝑈 𝑥
𝑚
⇒
𝑑𝑥
2
𝐸−𝑈 𝑥
𝑚
=
𝑑𝑡
𝑥 𝑡 = 𝜑 𝑡 − 𝑡 ; 𝐸, 𝑥
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Fundamentos de Mecánica y Termodinámica
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Trabajo y Energía
Bibliografía
Las figuras de esta lección han sido tomadas de:
Notas biográficas
Ortega Girón, Manuel R., "Lecciones de Física: Mecánica: 1, 2, 3 y 4". Ed. Dpto. de Física
Aplicada. Univ. de Córdoba.
Libro de problemas:
•
Burbano de Ercilla, Problemas de física, Ed. Mura editores, Zaragoza
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Fundamentos de Mecánica y Termodinámica
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