Análisis Matricial de Estructuras: Problemas Resueltos para Ingeniería Civil

OBJETIVO:
El objetivo de la presente tesis es proporcionar a los alumnos que estudian la carrera de
Ingeniería Civil ó personas interesadas en el análisis matricial material didáctico con los
fundamentos básicos del análisis matricial mediante el desarrollo elemental de sus teorías y la
solución basta de problemas estructurales.
INTRODUCCIÓN:
En al actualidad, existe en el mercado infinidad de paquetería encaminada a optimizar el
aprovechamiento de los recursos disponibles para ejecutar alguna tarea específica. Todos ellos
tienen distintos grados de complejidad, de acuerdo a la función para la cuál fueron diseñados.
La mayoría de éstos, son el producto de una constante evolución, durante la cuál se ha ido
logrando un mejoramiento en cuanto a las herramientas que ofrecen, facilidad de manejo y,
sobre todo, un mayor alcance técnico (en lo que a software de ingeniería se refiere) que
pretenda cubrir hasta donde sea posible las necesidades del área para el que trabajará.
La existencia de paquetería diseñada para la ejecución de tareas de análisis y diseño
estructural, proviene de la necesidad de reducir, en la mediad de lo posible los tiempos
invertidos en la realización de los mismos cálculos pero desarrollándolos manualmente; es decir
paso a paso; corriendo el riesgo de no llegar a los resultados. Hasta hace algunas décadas, la
única opción para realizar análisis y diseños era como están resueltos los problemas en este
trabajo, el cuál resultaba y sigue resultando complicado y absorbente de tiempo (depende de la
estructura a analizar); conforme fue adquiriendo mayor auge la computación, se fue
acrecentando también la producción de software específico para todas las áreas del trabajo
humano; de esta manera siguen surgiendo paquetes para el análisis y diseño del ámbito
ingenieríl; pero claro que basándose y respetando las bases teóricas y métodos de análisis que
en este trabajo se exponen.
Con lo anteriormente expuesto entraríamos a la discusión de la utilidad de un trabajo
como este, en el que los problemas están resueltos a la “antigüita”, es decir paso a paso, si
existen programas de análisis que pueden resolver problemas como los que aquí se exponen,
sin necesidad de realizar tantos cálculos. La importancia de este trabajo radica en evitar que los
ingenieros encargados de analizar estructuras se conviertan en “paqueteros”, es decir aquellas
personas que saben usar cualquier cantidad de paquetes computacionales, con el solo
conocimiento de saber introducir datos a una computadora y “correr” los programas, sin
conocimiento de lo que significan los resultados. El ingeniero encargado de analizar estructuras
debe conocer las bases teóricas y métodos de análisis, para poder saber como responderá la
estructura a diseñar y como interpretar los resultados que del programa se generen.
Además este trabajo sirve como material didáctico de todos aquellos alumnos que
cursan la materia de Estructuras V o Análisis Estructural, ya que de todos es sabido que
además de ser una de las materias más difíciles en la carrera, existe poco material con
ejemplos numéricos y literatura comprensible sin compenetrarse tanto en teorías que ayude al
entendimiento de estos métodos.
Contenido
Prólogo
Capitulo 1
Capítulo 2
Introducción al análisis estructural
Formas estructurales
1.1
El objetivo del análisis estructural
1.2
Modelado de las estructuras
1.3
Conexiones y apoyos
1.4
Determinación de los grados de indeterminación
1.5
Condiciones de cargas
1.6
Métodos del análisis estructural
1.7
Disponibilidad de las computadoras
1.8
Programas de Computadora
1.9
1.9.1 Programas pioneros que ya no tienen versión
comercial en la actualidad
1.9.2 Programas pioneros que tienen versión
comercial en la actualidad
1.9.3 Programas comerciales actuales
1.9.4 Programas escolares
1
1
5
7
9
12
14
14
15
16
Métodos energéticos
Principios de los desplazamientos y fuerzas
2.1
virtuales
Principio estacionario de la energía potencial
2.2
2.2.1 Procedimiento para analizar armaduras por el
método de la energía potencial
Teoremas de Castigliano
2.3
Método del trabajo mínimo
2.4
2.4.1 Energía potencial interna en función de los
elementos mecánicos
2.4.2 Procedimiento para la aplicación del método del
trabajo mínimo
Método de la carga virtual unitaria
2.5
2.5.1 Procedimiento para la aplicación del método
de la carga virtual unitaria
39
16
19
26
36
39
39
40
57
57
57
61
70
71
Capitulo 3
Capitulo 4
Bibliografía
Método de las flexibilidades
Ecuación del método de las flexibilidades
3.1
3.1.1 Procedimiento para la aplicación del método de
las flexibilidades
Estructuras articuladas (armaduras planas)
3.2
Vigas continuas
3.3
Marcos en el plano
3.4
Marcos en el espacio
3.5
Estructuras apoyadas en resortes
3.6
Método de las rigideces
Ecuación del método de las rigideces
4.1
4.1.1 Procedimiento para analizar estructuras por el
método de las rigideces
Estructuras articuladas en el plano
4.2
Estructuras articuladas en el espacio
4.3
Vigas
4.4
Marcos en el plano
4.5
89
89
91
91
122
131
144
151
165
165
170
171
182
197
206
225
Prólogo
El objetivo de las presentes notas tienen como fin ayudar a los alumnos en la preparación
de sus exámenes, por esta razón primeramente se exponen en forma resumida la teoría
de los temas del curso de análisis matricial estructural, así como los procedimientos de
algunos métodos. En ningún momento se pensó que el desarrollo de la teoría no es
importante ésta será expuesta por los profesores durante el curso. Se recomienda
consultar o estudiar los libros que contiene la bibliografía del trabajo publicado por el autor
denominado: Análisis Matricial de Estructuras, donde contiene aproximadamente 51
títulos sobre el tema.
Se inicia con un capítulo en donde se exponen la importancia del análisis
estructural, los modelos estructurales y una breve semblanza de los programas de
computación que se han desarrollado para el cálculo estructural, desde luego no se
mencionan todos los existentes pero sí los más representativos en cada clasificación que
ahí se menciona. Se considera que este capítulo entusiasme al alumno para incursionar
estos métodos que son la base para estudiar el método del elemento finito que a la mayor
brevedad debe incluirse en los programas de estudio de la carrera de ingeniería civil.
Los capítulos 2,3 y 4 se tratan los métodos Energéticos, Flexibilidades y Rigideces,
en total se presentan las soluciones de treinta y cinco problemas, para iniciar este trabajo
pero el objetivo es completar cien problemas. Uno de los temas importantes del capitulo 4
es la formación de la matriz de rigideces del sistema estructural, aquí solamente se
expone una sola forma pero en la próxima publicación se contemplaran la de mis otros
compañeros profesores.
En todos mis trabajos que he publicado siempre he recibido la colaboración de mis
alumnos y exalumnos, así como mis compañeros profesores. Agradezco la participación
entusiasta en la captura de este material a P. Herrera.
CARLOS MAGDALENO
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura
Instituto Politécnico Nacional
Septiembre del año 2002
ANÁLISIS MATRICIAL
DE ESTRUCTURAS
PROBLEMAS RESUELTOS
CARLOS MAGDALENO
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
MÉXICO
ANÁLISIS ESTRUCTURAL CON MATRICES
“ANÁLISIS ESTRUCTURAL CON MATRICES”
ÍNDICE
OBJETIVO
1
INTRODUCCIÓN
1
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1.1. - Formas estructurales
1.2. - El objetivo del análisis estructural
1.3. - Modelado de las estructuras
1.4. - Conexiones y apoyos
1.5. - Determinación de los grados de indeterminación
1.6. - Condiciones de cargas
1.7. - Métodos del análisis estructurales
1.8. - Disponibilidad de las computadoras
1.9. - Programas de Computadora
1.9.1. - Programas pioneros que ya no tienen versión
comercial en la actualidad
1.9.2. - Programas pioneros que tienen versión
comercial en la actualidad
1.9.3. - Programas comerciales actuales
1.9.4. - Programas escolares
3
8
9
11
14
16
16
17
18
18
21
28
38
CAPÍTULO 2
MÉTODOS ENERGÉTICOS
2.1. - Principios de los desplazamientos y fuerzas virtuales
2.2. - Principio estacionario de la energía potencial
2.2.1. - Procedimiento para analizar armaduras por
el método de la energía potencial y ejemplos
2.3. - Teoremas de catigliano
2.4. - Método del trabajo mínimo
2.4.1. - Energía potencial interna en función de los elementos
mecánicos
2.4.2. - Procedimiento para la aplicación del método del trabajo
mínimo y ejemplos
2.5. - Método de la carga virtual unitaria
2.5.1. - Procedimiento para la aplicación del método
de la carga virtual unitaria y ejemplos
41
41
42
59
59
59
63
72
73
ANÁLISIS ESTRUCTURAL CON MATRICES
CAPITULO 3
MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
3.1 -Ecuación del método de las flexibilidades
3.1.1. - Procedimiento para la aplicación del método de las
flexibilidades a las estructuras resueltas en este trabajo
3.2. - Estructuras articuladas (armaduras planas) y ejemplos
3.3. - Vigas continuas y ejemplos
3.4. - Marcos en el plano y ejemplos
3.5. - Marcos en el espacio y ejemplos
3.5. - Estructuras apoyadas en resortes y ejemplos
91
93
93
124
133
146
153
CAPITULO 4
MÉTODO DE LAS RIGIDECES
4.1. - Ecuación del método de las rigideces
4.1.1. - Procedimiento para analizar estructuras por el método
de las rigideces
4.2. - Estructuras articuladas en el plano y ejemplos
4.3. - Estructuras articuladas en el espacio y ejemplos
4.4. - Vigas y ejemplos
4.5. - Marcos en el plano y ejemplos
167
172
173
184
199
208
CONCLUSIONES
227
BIBLIOGRAFÍA
228
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
1.1 FORMAS ESTRUCTURALES
Las diversas formas estructurales dependen de diversas variables, una de ellas es la creación
arquitectónica dependiendo del proyecto o mejor dicho de las necesidades del proyecto, en
donde el diseñador debe tratar con las implicaciones del espacio–forma de una amplia gama de
necesidades de ejecución interactuantes como las relacionadas con la actividad física y
simbólica. El diseñador debe examinar la provisión de energía, el equipo mecánico, la
estructura y la construcción, además debe de producir las propiedades operativas y
constructivas del esquema del espacio–forma como un sistema ambiental total, tendrá que
considerar las necesidades simbólicas de sus futuros usuarios ya que ellos habitarán, actuarán
y desarrollarán las necesidades planteadas dentro del ámbito construido.
Otra variable muy importante desde el punto de vista estructural es el comportamiento
mecánico del sistema estructural resistente, que es el enfoque predominante en el análisis y
diseño estructural, de aquí resulta que en lo sucesivo se hable de un sistema mecánico o
estructural, como si fuera una máquina.
Los sistemas estructurales, se han clasificado en tres tipos, sistema unidimensionales,
bidimensionales y tridimensionales, esto lleva a mencionar las formas conocidas como
reticulares, placas, cascarones y estructuras masivas.
Figura 1.1. Plataforma marítima con armaduras espaciales
Con el enfoque anterior se puede realizar ó hacer una clasificación en función de los
elementos mecánicos, esto es: las fuerzas axiales de tensión o compresión conducen a las
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
formas de las estructuras denominadas armaduras o estructuras articuladas ya sea ubicadas en
el plano o en el espacio. En la figura 1.1 se ilustran estructuras con las características
de una armadura espacial por ejemplo la estructura de una plataforma. Cuando las fuerzas
axiales son exclusivamente de tensión, resultan las estructuras que se consideran formadas por
cables, en la figura 1.2 se ilustra un puente colgante, en donde se observan los cables de
soporte.
Figura 1.2. Puente colgante, se observan cables.
Las fuerzas cortantes, que generalmente
van acompañados de los momentos
flexionantes se presentan en las estructuras denominados vigas continuas o en vigas
isostáticas, en la figura 1.3, en la parte superior del puente, se notan tres vigas simplemente
apoyadas. Cuando además de las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes se tiene las
fuerza axiales, estos tres elementos mecánicos surgen en los pórticos, arcos y marcos en el
plano. Las figuras 1.4a y 1.4b, 1.5 y 1.6 ilustran este tipo de estructuras.
Figura 1.3. Estructura formada por vigas isostáticas
2
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Figura 1.4a. Estructura metálica en construcción formada por pórticos.
Figura 1.4b. Estructura de acero a dos aguas, usada como nave industrial.
Ejemplo de un pórtico.
Figura 1.5. Estructura en proceso de construcción con arcos.
3
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Figura 1.6. Estructura de concreto a base de marcos rígidos.
Las fuerzas axiales, cortantes, momentos flexionantes y momentos torsionantes, surgen
en los marcos o estructuras espaciales, como las mostradas en las figuras 1.7 y 1.8. La figura
1.7 se refiere a una estructura espacial del sistema de tuberías de una planta industrial y en la
figura 1.8 puede apreciarse parte de la estructura esquelética de un edificio.
Figura 1.7. Estructura espacial, formada por un sistema de tuberías.
4
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Figura 1.8. Estructura tridimensional, aprecia la estructura esquelética del edificio.
En la figura 1.9 se presenta el esquema del edificio del banco de reserva federal de
Mineapolis Gunner Berkets and Associates, arquitectos: Skilling, Helle, Christiansen, Robertson,
Consultores en Estructuras en donde se observan varios tipos de las estructuras mencionadas
como marcos, armaduras y cables para dar forma a la construcción.
Figura 1.9. Esquema de la estructura primaria del banco de Mineapolis.
5
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Otras formas estructurales que no son analizadas en este trabajo, se ilustran en las
figuras 1.10 y 1.11. En la figura 1.10 se trata de una estructura de forma de cascarón y en la
figura 1.11 se muestra una estructura de tipo masivo.
Figura 1.10. Estructura tipo cascarón.
Figura 1.11. Estructura hidráulica.
1.2 EL OBJETIVO DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
El objetivo del análisis estructural, es conocer el comportamiento del sistema estructural debido
a las diferentes acciones que actúan sobre el sistema. Se entiende por comportamiento al
conocimiento cualitativo de los elementos mecánicos y elementos geométricos, es decir fuerzas
internas y desplazamientos o deformaciones de los materiales que integran la estructura.
Para conocer el comportamiento estructural existen diferentes procedimientos, pero
estos fundamentalmente son dos: métodos analíticos o matemáticos y métodos de laboratorio,
en el inciso 1.3 se dará mayor información sobre este tema.
6
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
En el proceso de diseño estructural, el análisis estructural juega un papel de apoyo muy
importante para las decisiones de dimensionamiento y revisión de los elementos que integran el
sistema.
1.3 MODELADO DE LAS ESTRUCTURAS
Actualmente con el uso de los programas de computadora para el análisis estructural, podría
pensarse que no es importante el conocimiento de los métodos de análisis estructural, sin
embargo para usar estos programas, es necesario idealizar los problemas reales por medio de
esquemas que se puede denominar a este trabajo, modelado de la estructura. Realizar un
modelo estructural es elaborar un esquema por medio de líneas, áreas y sólidos conectados en
diferentes puntos, generalmente ha esta acción se le denomina discretización. Por ejemplo en
este trabajo se idealiza a las estructuras reticulares por medio de barras lineales o curvas
conectadas por nodos móviles, fijos y semifijos. Estos dos últimas se les denomina fronteras o
apoyos. Dependerá de la intuición y experiencia del ingeniero encargado del cálculo para lograr
modelos más representativos a los problemas reales. Se pueden observar entonces el papel
importante que juega el generar un buen modelo, tanto como la selección del método de
análisis que se use.
Es obvio que un mal modelo, aunque sé utilice un método de análisis exacto, genera
resultados incongruentes. También se observa la importancia de la intervención del calculista
en esta fase del análisis.
Como ejemplo, de las figuras 1.12, 1.13, 1.14, 1.15 y 1.16 se obtuvieron los esquemas
de una armadura en el plano, armadura en el espacio, viga continua, marco en el plano y marco
en el espacio.
Figura 1.12. En la fotografia se observa con líneas remarcadas el modelo que se utilizaría
para el análisis de una armadura en el plano.
7
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Figura 1.13. En la fotografía de un puente de ferrocarril, se puede observar el modelo
de una estructura articulada tridimensional, que es marcada con líneas gruesas.
Figura 1.14. Puente de un solo claro, se puede observar
la viga simplemente apoyada.
Figura 1.15. En el marco o pórtico de la fotografía se observa un conjunto
de marcos a dos aguas doblemente empotrados.
.
8
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Figura 1.16. En la estructura de la fotografía, se muestra el modelo del marco frontal.
1.4 CONEXIONES Y APOYOS
En el inciso anterior se mencionó que un sistema estructural unidimensional está formado por
un conjunto de barras conectadas por nodos, estos nodos se clasifican en nodos rígidos y
nodos articulados.
Los movimientos lineales y angulares que presentan estos nodos, se les conoce como
grados de libertad. Cuando las barras están conectadas por nodos articulados, al sistema
estructural comúnmente se llama armadura y cuando están conectados a nodos rígidos se les
denomina vigas continuas y marcos.
Las conexiones con desplazamientos restringidos se les designa apoyos o fronteras, es
común el uso de los siguientes tipos de apoyos y sus esquemas:
Apoyo fijo o empotramiento con cero grados de libertad.
Apoyo móvil o liso con dos grados de libertad.
9
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Apoyo libre con tres grados de libertad (el que carece de impedimentos, se puede
apreciar en el lado libre de la estructura)
Apoyo articulado con un grado de libertad.
Cuando no se logran impedir totalmente todos los desplazamientos lineales y angulares,
surgen los apoyos tipos resortes lineales y helicoidales, en estos casos es necesario conocer
las rigideces y/o flexibilidades de estos apoyos.
Resorte lineal o apoyo elástico lineal
Resorte helicoidal o apoyo elástico helicoidal
Es importante mencionar que en los apoyos, se deben conocer los desplazamientos
lineales y angulares o las fuerzas y momentos, a estas características se les conoce como
condiciones de apoyo, por ejemplo en él empotre se conocen los desplazamientos lineales y
angulares, es decir la condición de este tipo de apoyo, que como se sabe valen cero, y en el
caso del apoyo libre las fuerzas y momentos son las que valen cero.
En la figura 1.17 se ilustra el apoyo de una columna fijada con pernos sobre el dado de
concreto, este tipo de apoyo se considera como empotrado. En la figura 1.18 se aprecia al
apoyo articulado a través de pernos. El apoyo móvil, es visto en la figura 1.19; este apoyo es
ubicado en la junta correspondiente a un puente, entre la columna y las vigas. El apoyo libre es
aquel que carece de impedimentos, en este caso lo observamos en la figura 1.20, en la parte
superior de la torre.
10
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Figura 1.17. Proceso para fijar o empotrar una columna de acero
a través de pernos.
Figura 1.18. En las fotografías de arriba se aprecia la articulación por medio de pernos de una columna.
Este apoyo pertenece al Polifotum David Alfaro Siqueiros.
Figura 1.19. Apoyo guiado perteneciente a un puente vehicular, situado en
Av. División del Norte y Tlalpan.
11
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Figura 1.20. Dentro de la elipse marcada en esta figura, en el extremo superior
de la torre se observa el ejemplo de un apoyo libre, observe que
carece de impedimentos para su desplazamiento en todas
direcciones.
1.5 DETERMINACIÓN DE LOS GRADOS DE INDETERMINACIÓN
Para el cálculo de los grados de indeterminación es necesario tener presentes algunos
conceptos básicos como:
Los Grados de indeterminación en el análisis estructural son considerados de dos tipos:
a) Indeterminación estática
b) Indeterminación cinemática
La primera tiene relación con las fuerzas, y la segunda con los desplazamientos. La
indeterminación estática se refiere a un exceso de reacciones y fuerzas internas desconocidas
comparadas con el número de ecuaciones de equilibrio de la estática. Esta comparación da
origen a la siguiente clasificación: estructuras estáticamente determinadas y estructuras
estáticamente indeterminadas.
Las reacciones o fuerzas internas desconocidas que no pueden conocerse por medio de
las ecuaciones de equilibrio, las llamaremos fuerzas redundantes, y el número de tales fuerzas
redundantes nos dará el grado de indeterminación estática (grados de hiperestaticidad)
Existe además, dos tipos de indeterminación estática: externa e interna. La
indeterminación externa se refiere al número de reacciones de la estructura y la indeterminación
interna al número de fuerzas dentro de la estructura que no pueden conocerse. Las reacciones
son aquellas que se encuentran en los apoyos. El grado total de la indeterminación es la suma
de los grados de indeterminación externa e interna.
Para entender la indeterminación cinemática
desplazamiento redundante o grado de libertad.
se
introducirá
el
concepto
de
Los nudos en las estructuras reticulares, son los puntos en donde concurren uno o más
miembros. Cuando la estructura está sujeta a cargas, cada nudo sufrirá desplazamientos
12
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
lineales o angulares, dependiendo de la forma de la estructura y la forma de aplicación de las
cargas. Algunos de los desplazamientos pueden ser conocidos, como en las fronteras. El
número de desplazamientos desconocidos o desplazamientos redundantes indica el grado de
indeterminación cinemática o grados de libertad.
Los Grados de Hiperestaticidad. Se pueden obtener con la siguiente expresión:
GH = NRF–NEE
GH
NRF
NEE
(1.1)
grado de hiperestaticidad o fuerzas redundantes.
número de reacciones y fuerzas internas desconocidas.
número de ecuaciones de equilibrio de la estática, tres en el plano y seis en el
espacio.
Cuando :
GH  0
GH = 0
GH  0
la estructura es hiperestática
la estructura es isostática
la estructura es Inestable
Para el caso de armadura se sugiere usar la siguiente expresión para determinar el
grado de hiperestaticidad en las armaduras:
NRF =
NF
=
NRF =
NR (indeterminación interna) + NF
-2n +b+3
NR + (-2n +b+3)
Donde:
n
b
número de nodos
número de barras
El número Grados de Libertad es iguale al número de coordenadas generalizadas necesarias
para expresar la configuración del sistema.
GL = NDN – NDR
(1.2)
Donde:
GL
NDN
NDR
grados de libertad o desplazamientos redundantes.
número de desplazamientos de los nodos.
número de desplazamientos restringidos.
El número de desplazamientos en los nodos es igual al número de nodos incluyendo los
de la frontera, por el número de movimientos posibles.
13
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
1.6 CONDICIONES DE CARGA
Los diferentes reglamentos en los diferentes países, establecen varias categorías sobre los
diferentes tipos de cargas que pueden actuar sobre las estructuras.
El reglamento del D.D.F. contempla una clasificación de tres categorías de cargas:
cargas muertas, cargas vivas y cargas accidentales, que derivan de tres tipos de acciones,
permanentes, variables y accidentales, en esta última se incluyen los diferentes fenómenos
naturales o artificiales, que causan fuerzas generalmente de tipo aleatorio. El estado y la
naturaleza de estos tipos de cargas merecen análisis especiales que resultan difíciles pero muy
importantes, para el proceso de diseño estructural.
Es importante para el cálculo estructural, definir las cargas en: concentradas y
distribuidas, así como desplazamientos preestablecidos como por ejemplo los debidos a efectos
de temperatura y hundimientos diferenciales.
Respecto a su aplicación sobre los modelos estructurales en el caso de estructuras
reticulares, estos pueden ser de dos clases, que estén aplicadas en los nodos o claros, casos
típicos son las cargas concentradas aplicadas en los nodos o y cargas concentradas o
distribuidas aplicados en los claros de vigas y columnas de marcos.
En los procesos desarrollados por los diferentes métodos usados en el análisis
estructural, estas cargas se condensan o se llevan a los nodos establecidos, algunos les llaman
discretización de cargas, por fuerzas y momentos equivalentes aplicados en los nodos de la
estructura. Es necesario en esta fase del cálculo tener los conocimientos de barras isostáticas o
hiperestáticas simples que se inicien en un nodo y terminen en el inmediato, y auxiliarse de
tablas que contengas los diferentes casos de vigas simples de un claro, con condiciones de
apoyos o fronteras simples y empotrados con diversas clases de cargas, donde se obtengan
reacciones, momentos flexionantes, flechas y diagramas.
En los ejemplos desarrollados en este trabajo, se pueden observar, la forma de
discretización, de cargas en vigas continuas y marcos, principalmente en el capítulo 4.
1.7 MÉTODOS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Los métodos de análisis estructural prácticos para estructuras reticulares conectados con nodos
rígidos, por ejemplo los marcos, tienen su origen en los años treinta del siglo XX con el método
de distribución de momentos, propuesto y desarrollado por Hardy Cross en forma sistemática y
sencilla, ya que el problema del análisis estructural ya había sido resuelto en décadas
anteriores por otros investigadores, llegando a modelos matemáticos que no tenían fácil
solución en forma manual. Es importante mencionar que las estructuras reticulares conectadas
con nodos articulados, armaduras, se pudieron resolver simplemente con las ecuaciones de
equilibrio; para las isostáticas, en caso de armaduras hiperestáticas, fue necesario conocer el
principio de los trabajos virtuales.
Posteriormente resultaron otros métodos como los propuestos por los profesores G. Kani
y Takabeya, que tienen el mismo objetivo del análisis estructural, o sea conocer los elementos
mecánicos y geométricos de las estructuras reticulares. Debido al desarrollo industrial de la
época moderna, surgió la necesidad de crear edificios altos en lugares sísmicos, por lo cuál
14
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
algunos investigadores, propusieron métodos rápidos, pero aproximados, como los siguientes:
del Portal, Muto, Naito, Bowman y otros.
Uno de los problemas importantes de estos métodos era el gran tiempo que tomaba y el
trabajo manual del calculista para obtener los resultados. Con el advenimiento de las
calculadoras se facilita el cálculo estructural y el desarrollo de estas cada vez reduce tiempos,
no se tienen errores numéricos al realizar operaciones y se obtiene precisión en los resultados.
En el inicio del uso de las computadoras, los ingenieros empezaron a programar los métodos
tradicionales, sin embargo pronto advirtieron que era mejor programar los métodos matriciales
que habían sido planteados en el siglo XIX y principios del XX tales como: el método de
flexibilidades usado en su mayoría para el diseño de sistemas de tuberías y en un principio el
diseño de la estructura principal de los aviones; y resultando mejor el método de las rigideces
para estructuras del tipo de los edificios, así como el método del elemento finito que tiene
alcances mayores para estructuras bidimensionales y tridimensionales; razón por la cuál se
considera que es necesario aprenderlo para manejar y comprender los resultados de los
diversos programas de computadora. Los programas de computadora serán tratados en forma
independiente en el capítulo 1.9.
1.8 DISPONIBILIDAD DE LAS COMPUTADORAS
Con la invención de la computadora hace más de un siglo así como el desarrollo universal de la
informática, hacen que el análisis estructural tenga aún mas herramientas para la solución y
planeamiento de problemas de análisis estructural. El desarrollo de equipos y programas
computacionales donde interviene el análisis y procesamiento sistemático de datos para la
planificación, diseño, y construcción de una estructura constituyen algunos ejemplos de
desarrollo de la informática. El uso apropiado de la computadora es el mejor y más actual
recurso tecnológico para elevar la calidad y reducir los tiempos operativos en tareas propias de
cada una de las disciplinas en que se usa este medio. El aprendizaje de la computación desde
ya hace algunos años es indispensable no solo para los que se dedican al análisis estructural,
sino para cualquier persona que en su área se utilice este recurso tecnológico.
La computadora habilita al ingeniero para diseñar efectivamente en tres dimensiones,
permitiendo objetivos difícilmente alcanzables con los métodos tradicionales, además permite
predecir la calidad del resultado en un tiempo mucho menor que en el proceso tradicional. En
cualquier punto del proceso de diseño es posible apreciar resultados que evalúan el
comportamiento de la estructura en ese momento, y nos permiten predecir si el desarrollo del
análisis es correcto.
La sencillez, cuando se domina la paquetería empleada para presentar una idealización
formal del problema estructural, aumenta con la computadora y, por lo tanto, la cantidad de
formas complejas que pueden ser analizadas es mucho más extensa que con las herramientas
tradicionales.
El uso de la computadora como medio analógico de diseño resulta determinante tanto en
el desarrollo del proceso como en las características finales del proyecto. Prescindir de la
computadora en la formación de un profesional que necesariamente la utilizará en el ejercicio
profesional, puede significar sencillamente no formar al futuro profesional.
15
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
La evolución del hardware y el software hacen de la computadora una herramienta
indispensable. El diseñador debe, necesariamente, afrontar dos problemas simultáneamente:
cómo resolver su diseño y cómo utilizar la computadora. Adecuar las innovaciones tecnológicas
a cada nuevo problema de diseño implica el desarrollo de nuevas habilidades del profesional.
De este modo ahora es necesario saber realizar el análisis estructural y saber utilizar una
computadora y su paquetería destinada a tal fin.
Quienes programan los paquetes computacionales se valen del asesoramiento de
ingenieros experimentados, pero sólo resultan válidas las recomendaciones por parte de
aquellos ingenieros capacitados en informática. Un ingeniero debe saber expresar
correctamente sus requerimientos a un programador, así como a un carpintero o a un albañil.
Por otra parte, es previsible la substitución de las carpetas técnicas para obra por el uso
de computadoras portátiles, práctica implementada desde algunos años atrás en la
construcción aeronáutica y naval.
Los estructuristas, sin necesariamente convertirse en expertos, deben entender las
posibilidades y limitaciones de la computadora.
El desarrollo del proceso de diseño en la computadora difiere substancialmente del
desarrollo del proceso tradicional. Un ingeniero que sabe utilizar la computadora para proyectar
alcanza rápidamente resultados con gran definición, además puede efectuar los cambios
necesarios y hasta reiniciar el proceso de diseño sin quedar sujeto o condicionado por los
resultados obtenidos.
Por otro lado la presentación de un anteproyecto o proyecto en las entregas parciales y
finales de los trabajos prácticos son mejores para quienes utilizan un programa de
computadora.
1.9 PROGRAMAS DE COMPUTADORA
A continuación se hace una breve historia de algunos programas de computadora a partir de los
inicios de la década de los sesenta del siglo XX. Calificándolos en cuatro grupos: programas
pioneros sin versión comercial, programas pioneros con versión comercial, programas
comerciales y programas escolares.
Seguramente en esta exposición faltarán programas, dado que han surgido varios, tanto
en México, como en otros países.
1.9.1 Programas pioneros que ya no tienen versión comercial en la actualidad
Aunque estos son algunos programas que no tienen versiones comerciales actualizadas, es
conveniente su mención por ser los pioneros en el desarrollo de sistemas de elemento finito,
además de tener características sobresalientes en comparación con otros sistemas existentes
en aquel tiempo.
16
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
1.9.1.1 STRESS (STRuctural Engineering System Solver)
La versión inicial de STRESS se desarrolló en lenguaje FORTRAN, para el análisis de
estructuras reticulares, linealmente elásticas y cargadas estáticamente. Un problema de
lenguaje STRESS, consistía en una serie de proposiciones que describía el tipo, forma y arreglo
de la estructura, las cargas en la misma y la clase de resultados que se requiere, es decir,
desplazamientos, deformaciones de las barras, reacciones, etc. Originalmente el sistema
reconocía cinco tipos de elemento finito: armadura plana (plane truss), viga plana (plane frame),
malla plana (plane grid), armadura 3D (space truss) y viga en 3D (space frame).
La información requerida, en el archivo de entrada era muy similar a de los sistemas
actuales y tenía entre sus módulos principales los siguientes:
a) Entrada: Este bloque leía la información desde un archivo de texto y almacenaba las
variables en la memoria, verificando la correcta entrada de datos. Un error se regresaba a la
fase de entrada.
b) Verificación y compilación: Se verificaba la lógica de los datos de entrada, que ya estaban en
memoria, lo anterior para una correcta compilación; nuevamente si el bloque detectaba
errores, enviaba mensajes de error, y regresaba la fase de entrada.
c) Ejecución: Este se encargaba de la resolución del sistema llamando las subrutinas
adecuadas para el cálculo, además se verificaba la singularidad de la matriz, de ser cierta
esta comparación se enviaba un mensaje apropiado. En el caso de concluir
satisfactoriamente, regresaba de todos modos a la fase de entrada.
d) Modificación: Cuando se terminaba el primer análisis, el sistema daba la posibilidad de
calcular una estructura mas, en base a los datos de la primera, cambiando, adicionando y
borrando información. Todo esto hasta que el sistema encontrara la proposición de termino
de entrada de datos.
1.9.1.2 ASKA (Automatic System for Kinematic Analysis)
Este sistema Automático de análisis, fue un paquete de análisis cinemático lineal y estático por
medio del método del elemento finito. Los tipos de elemento finito disponibles en el paquete
ASKA estático eran: membrana, placa, armadura, anillo o aro, cubo y viga. La entrada de datos
era a través de una descripción topológica, por ejemplo una red de puntos nodales describiendo
el tipo de elemento, seguido de bloques de datos físicos.
La programación era reducida, ya que se llamaba una serie de subrutinas de alto nivel
para esos momentos, o sea, cada instrucción cumplía con una serie de operaciones con
respecto a los elementos implicados. En la salida nos proporcionaba esfuerzos y
desplazamientos, además de una serie de matrices para análisis dinámico, los cuáles
retomaban DYNAN (DYNamic Analyser), o estas eran introducidas directamente. Este paquete
contenía rutinas de solución de sistemas sobre la base de eigen valores. El sistema fue escrito
en FORTRAN usando la filosofía de bloques, llamadas funciones. El sistema compilaba, y daba
resultados comentando características del modelo. La parte dinámica estuvo disponible
alrededor de julio de 1971.
17
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
1.9.1.3 DAISY Code
La versión original del código DAISY fue terminada en Marzo de 1968, de acuerdo a un contrato
sostenido con el Dr. H. A. Kamel de la Universidad de Arizona, debido a una constante de
investigación y desarrollo conducido por la División de Sistemas de Misiles de la compañía
espacial y misiles Lookheed, se produjo un sistema de alto nivel de calidad, debido a la
seguridad requerida. La virtud dada por la flexibilidad y propuesta en módulos del programa
diseñado por el Dr. Kamel significaban avances importantes en los aspectos de capacidad y
aplicabilidad. La generación de mallas fue añadida para reducir el tiempo y evitar errores en la
entrada de datos, desplazamientos en condiciones de frontera, nodos restringidos,
mejoramiento de los sistemas iterativos, gradientes térmicos, opciones de doble precisión, y
rutinas en lenguaje máquina eran los alcances de DAISY, además de un desarrollo paralelo de
paquete gráfico; el SC4020 y el FR80CRT, que permitían al programa un alto nivel de
graficación en los estados de análisis de esfuerzos.
DAISY era un programa usado en problemas estructurales avanzados en aplicaciones
aerospaciales o diseño de mísiles submarinos, tanques o reactores nucleares. La compañía
Espacial y Mísiles seguros habían estado trabajando en grandes problemas de análisis desde
1966, hasta que el programa de análisis por elemento finito, en planos asimétricos, hechos por
el profesor E. L. Wilson de la Universidad de Barkeley, California, fue realizado. Las
capacidades de este programa inspiraron a escalar la antigua versión de DAISY, llamado
KAMEL, a un programa más poderoso.
Debido a la seriedad del trabajo requerido por el programa, la filosofía era no usar código
a ciegas, por lo cuál se debía entender y probar completamente cada bloque para conocer los
alcances y limitaciones del código. La estructuración tenía mas o menos el siguiente diagrama
de flujo, habiendo sido codificado en FORTRAN.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Limpiar arreglos e inicializar variables
Definir modo de operación
Generación de datos y descripción del modelo
Organización de datos, realización de chequeos estándares y puesta en marcha del análisis
Generación de cargas de entrada, inserción de cargas y puesta en marcha del análisis
Ensamble de la matriz de rigideces
Alteración de la matriz de rigideces aplicando condiciones adicionales
Resolución del sistema de ecuaciones
Obtención de los desplazamientos
Cálculo de los elementos mecánicos
En la versión de 1967, los elementos podían ser axiales, torsionales, vigas, triángulos,
membranas, placas triangulares, sólidos y tetraedros. El método de solución usado en el
sistema de ecuaciones era eliminación gaussiana y no tenía gráficas.
En la versión de 1971 los elementos disponibles crecieron, hasta tener membranas
cuadriláteras y sólidos hexaédricos. El método de solución usado era el método modificado de
eliminación gaussiana. Finalmente, para esta versión ya se había incluido la capacidad de
gráficos.
18
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
1.9.2 Programas pioneros que tienen versión comercial en la actualidad
Los siguientes sistemas presentados son algunos de los cuales han sobrevivido al paso de los
años, siendo modernizados y mejorados con los nuevos estándares de calidad.
1.9.2.1 TABS (sTatic Analysis Building System)
El Programa original fue Llamado TABS y la versión mejorada fue nombrada ETABS, el cual
mejoraba su rendimiento en gran manera.
Este sistema fue absorbido por CSl (Computer and Structures, Inc.), y comparte créditos
con otros tres programas de renombre: SAP 2000, sistema orientado para su uso en estructuras
civiles como puentes, presas, estadios, estructuras industriales y edificios; SAFE, es un sistema
que proporciona un poderoso programa para el análisis, diseño de losas de concreto y
cimentaciones. Además FLOOR, es un sistema para el análisis y diseño de pisos compuestos y
estructurados en acero.
Figura 1.21. Pantalla principal del programa ETABS, donde se muestra él
modelo de un edificio sujeto a torsión.
ETABS es un sistema de análisis y diseño de edificios, estático como dinámico, además
de contar con un comportamiento en sus elementos lineal y no lineal. ETABS analiza y diseña
edificaciones en 3D para infinidad de estructuras como edificios de: oficinas, departamentos y
hospitales. La entrada y salida de datos, así como las técnicas de solución numérica usadas en
el sistema son los diseñados específicamente para edificios. Una serie de herramientas gráficas
en Windows están incluidas en el paquete incluyendo un modelador y un post procesador, para
la presentación de resultados gráficos como diagramas de fuerza y deflexiones.
Además proporciona análisis estático y dinámico para una gran cantidad de condiciones
de cargas como: térmicas, gravitacionales y laterales en el análisis numérico puede incluir el
espectro de respuesta o el acelerograma. El análisis no lineal dinámico esta disponible para
aisladores básicos como resortes, tanques y estudios de carga. Puede analizar marcos en tres
dimensiones y sistemas de muro de cortante proporcionando una completa interacción entre los
dos. El modelado de muros de cortante podrá hacerse en cubos de elevadores, en muros
curveados y discontinuos, sin la necesidad de una definición de malla, dando como resultado
las fuerzas de los muros y momentos preferentemente como esfuerzos. Aunque también
19
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
existen elementos diafragma que pueden modelar losas
estacionamiento, con diagramas de piso rígido y semirígido.
inclinadas
y
rampas
de
Este sistema diseña marcos de acero y concreto, además de muros de cortante en
concreto o mampostería, basados en los códigos AISC-ASD, LFRD, UBC y ACI-89.
1.9.2.2 MARC
La compañía de Investigación en Análisis (Analysis Research Corporation) MARC fue una de
las pioneras en la comercialización de sistemas de análisis por elemento finito. En 1965 un
grupo de investigadores en la Universidad de Brown inicio el desarrollo del programa MARC,
dicha compañía fue fundada en 1971 y la primera versión del sistema MARC fue puesta en el
mercado en 1972.
La propuesta original de MARC fue un programa sobre la base de elemento finito no
lineal, el cual era una poderosa herramienta para hacer un análisis de esfuerzos no lineal.
Antiguamente para hacer un análisis lineal se usaban factores obtenidos en la experiencia
aplicándolos a los métodos lineales: esto provocaba errores, ya que estos criterios cambiaban
según el ingeniero, y además eran extrapolados para obtener toda la gama de datos, esto era
hasta cierto punto erróneo tomando en cuenta que las extrapolaciones eran lineales.
La ingeniería en combustión buscaba un camino para analizar la gran variedad de
problemas elastoplásticos y desplazamientos producidos. El profesor P.V. Marcal de la
Universidad Brown fue quien desarrolló el programa MARC, y así MARC fue diseñado como un
programa de elemento finito orientado al análisis de elemento finito, orientado al análisis de
estructuras estáticas no lineales con grandes desplazamientos. Entre sus librerías se tenían
elementos placas y armaduras de dos y tres dimensiones.
El comportamiento plástico, basado en la teoría de isotropía elastoplástica tiempo,
independiente de los materiales con el criterio de Mises, endurecimiento por la tensión
isotrópica y Cinemática, propiedades elásticas dependientes de la temperatura y su equivalente
en la rigidez a tensión, eran las características propias de las primeras versiones de MARC.
El comportamiento de desplazamientos estaba basado en el comportamiento de flujo de
Mises, con un comportamiento isotrópico descrito por la ley del rango de desplazamiento
equivalente especificado por el usuario. El programa usaba el módulo tangencia para el método
plástico y una tensión inicial iterada para el cálculo de los desplazamientos.
El programa era muy capaz pero la gran entrada de datos, era una desventaja, debido a
las características propias de cada material.
En la actualidad gracias a sus investigaciones el software se ha mejorado cada vez mas,
MARC es usado para analizar y optimizar diseños en la industria aeroespacial, automotriz,
biomédica, química de consumo, construcción, electrónica energía y manufacturera, todo esto
debido a su facilidad en el modelado de metales y plásticos.
20
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Figura 1.22. PantalIa principal del programa MARC, en la cual se observa
un modelo tridimensional saliendo de la pantalla.
Esta compañía esta situada en Palo Alto, California y ofrece servicios de consultoría,
soporte y adiestramiento en EE.UU., Europa y Japón. Con respecto a la versión comercial. se
tienen cuatro módulos:
1. MARC: Resolución por elemento finito no lineal con proceso paralelo (procesador)
2. MENTAT: Resolución por elemento finito no lineal con una interfaz gráfica de la familia
MARC KG.x y K7.x. MENTAT usa la propiedad MARC/HEXMESH la cual es una adición al
producto, esta ofrece capacidades de creación de mallas directamente de programas como
OPEN GL e IRIS G a través de una descomposición automática, monitoreando y pos
procesando ejecuciones paralelas no lineales.
3. MARC/AUTOFORGE (Autoforjado): simulador exacto de fácil uso y ultrarrápido para la
industria del forjado, basado en las últimas tecnologías en elemento finito. Este cubre
importantes influencias de procesos en forjado.
4. MARC LlNK: enlace a MARC-, esta familia de productos transfiere los modelos de paquetes
CAD a MENTAT para su procesado.
El análisis de juntas de caucho, esta dentro de las capacidades de MARC, para optimizar
las juntas, asientos, anillos, círculos, montajes, comportamiento de aislamiento sísmico y para el
diseño de hojas escudo contra el viento.
1.9.2.3 NASTRAN (Nasa STRucturaI ANaIysIs)
El ahora llamado CSA/NASTRAN es un paquete basado en análisis por elemento finito, usado
para la industria automotriz, aérea y espacial, por lo cual es ampliamente usado por
organizaciones gubernamentales, y grupos de ingenieros donde el análisis por elemento finito
sea la base de su trabajo. La meta CSA/NASTRAN es proporcionar la capacidad de resolución
a problemas planteados. Esta versión partió del programa original NASTRAN desarrollado por
la NASA.
21
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Aunque no se sabe exactamente que sistema fue el primero en aparecer, NASTRAN7
dice ser uno de los primeros. En 1964, varios centros de la NASA acordaron la necesidad de
desarrollar un programa de computadora para análisis estructural de propósito general,
teniéndose los siguientes objetivos:
•
•
•
•
•
•
•
Combinar lo mejor posible las tres disciplinas: Análisis mecánico, métodos numéricos y
programación.
Incorporar Fuerzas y Desplazamientos a dicho análisis de elemento finito.
Propuesta de organización general.
Obtener un programa con capacidades estructurales en tres dimensiones.
Proveer un programa susceptible a modificaciones sin efectos secundarios.
Construir dicho programa con una máxima capacidad de uso (sin fronteras)
Documentar todos los detalles obtenidos para un mejor control de los cambios.
Por lo que la NASA acordó con la Computer Sciences Corporation en 1965 el desarrollo
del mismo. El proyecto costo de 3 a 4 millones de dólares y se desarrollo en los primeros 5
años; al final el programa obtenido tenía alrededor de 150 000 tarjetas FORTRAN. Con
respecto al manual, se hicieron 4 volúmenes documentando la teoría usada, los manuales de
usuario y del programador con alrededor de 3300 páginas. Esta versión de NASTRAN corría en
una máquina IBM 360 o una UNIVAC 1108 manejándose doble precisión y en la CDC 6600, la
cual representaba una cuarta precisión con respecto a la IBM 360. Este programa aceptaba 13
tipos de elemento finito, desde una barra, una placa, cascarones y elementos genéricos. El
método de resolución del sistema de ecuaciones usado era el método de descomposición.
El código NASTRAN fue liberado comercialmente en 1970. El Dr. R Swami
Narayanaswami, investigador original del proyecto NASTRAN, en 1982 formó la compañía
llamada CSAR para brindar servicio a la comunidad NASTRAN. En 1987 visualizó una
implementación del soporte del código NASTRAN, lo optimizó estructuralmente, obtuvo la
licencia correspondiente y fue entonces cuando CSA/NASTRAN nació.
LA filosofía NASTRAN desde un principio fue:
•
•
•
•
•
Tener una buena documentación de mantenimiento.
Desarrollo continuo con el patrocinio de la NASA.
Oportuno descubrimiento de errores, arreglo temporal y actualización de la información en
los manuales.
Acuerdo secreto del aumento del código.
Corrección de los métodos desarrollados optimizando tiempo-costo.
La versión CSA/NASTRAN incluye elementos en una, dos y tres dimensiones como
vigas, placas y sólidos, además de elementos especializados como resortes, masas, muros,
elementos rígidos y vanos. Las cargas disponibles pueden ser puntuales, y de presión,
gravedad, temperatura y distribuidas, en sistemas estáticos. Para análisis dinámicos las cargas
pueden variar con respecto al tiempo o a una frecuencia. Los materiales pueden ser isotrópicos,
ortotrópicos y anisotrópicos, incluyendo materiales compuestos. En general los análisis posibles
son: estáticos, de torsión, modales, directo transitorio, frecuencia de respuesta completa con
soluciones complejas, solución estática con elementos vanos, y solución estática con grandes
desplazamientos (geometría no lineal) Finalmente las capacidades alcanzables por este
programa son: lineal, no lineal en estado constante y análisis con transferencia de calor
22
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
interacción suelo-estructura, análisis de cavidades acústicas internas, aeroelasticidad y análisis
piezoeléctrico y magnético.
NASTRAN es un ejemplo de programa de calidad, después de haber pasado tantos
años, y aunque modificado sigue siendo utilizado, ya que siguió las normas mínimas de calidad
de software.
Figura 1.23. Pantalla principal de CSA/NASTRAN actual, en el cual
se puede observar el modelado de una chumacera.
1.9.2.4 STARDYNE.
STARDYNE fue desarrollado por la Compañía de Investigaciones Mecánicas (MRI) y hecho
disponible nacionalmente en Sistemas de Control de Datos a finales de 1968. Este sistema
estaba proyectado para poder accesarse desde una red en terminales de oficinas públicas y
privadas. La versión STARDYNE 2, estuvo disponible en Agosto de 1971, con sobresalientes
mejoras.
El modelado consistía en un arreglo de nodos interconectados por elemento finito, como
vigas tridimensionales, vigas infinitamente rígidas, placas triangulares, placas rectangulares,
hexaedros sólidos y tetraedros sólidos. Entre sus capacidades generales se tenían: cargas
aplicables a nodos y elementos, desplazamientos específicos, análisis automatizado térmico,
cargas inerciales, ósea pesos nodales con traslación y rotación, además de la combinación de
casos de cargas.
Entre sus características generales STARDYNE permitía la detección de la matriz o de
las condiciones, durante la descomposición de la matriz de rigideces; además la numeración
era reordenada internamente. En la versión STARDYNE 2, los datos podían ser capturados en
un formato de tabla de datos, capacitada con mas o menos 250 tipos de materiales diferentes
constituyentes de los elementos finitos.
El sistema en ese tiempo tenia una capacidad de 999 nodos, 9999 elementos finitos, los
casos de carga estática eran ilimitados para el análisis modal dinámico usando el método de
23
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Householder Q R, se tenían 330 grados de libertad dinámicos como máximo y para la iteración
inversa hasta 3000 grados de libertad.
La versión actual fue absorbida por ingenieros investigadores (Research Engineers), la
cual es propietaria del sistema de análisis y diseño STAAD. Este sistema STARDYNE, es un
sistema de análisis lineal y no lineal, análisis dinámico, sísmico, torsión, trasferencia de calor,
fatiga de fracturas; además de tener verificación de resultados y modulación de gráficos. En la
generación del modelo se tiene una flexibilidad en la construcción de gráficos, exportación de
información a sistemas como ANSYS y NASTRAN, generación rápida de mallas, con diferentes
tipos de elementos finitos como sólidos; estos elementos pueden ser isotrópicos, otrotrópicos de
2D y 3D, resortes, masas, rigidez básica de matrices, subestructuras, entre otras. Las cargas
pueden ser concentradas, distribuidas, aceleraciones, centrífugas, termales, de presión, entre
otras, a las cuales se les pueden aplicar factores. La resolución del sistema de ecuaciones es a
través de soluciones Lanczos.
Figura 1.24. Modelado de elementos para su optimización, en el sistema STARDYNE.
Entre sus capacidades dinámicas lineales se tienen: uso de elementos-fuerza y rigidez;
reacción nodal y desplazamientos, corrección básica; excitación múltiple básica; función fuerza
sinoidal o aleatoria, shock espectral, arbitrario en función a tiempo; análisis de respuesta
armónica en estado constante, análisis acústico de vibración aleatoria, transformaciones
dinámica de datos, análisis no lineal estático y dinámico en 3D, respuesta dinámica de grandes
deformaciones, problemas de falla y penetración, efectos por impacto, análisis post-torsión,
torsión y colapso, integración explícita, diferencia central Lagrangiana, número ilimitado de
historias de carga-tiempo; interfaces corredizas, elementos con crecimiento de grietas,
capacidad ilimitada.
Con respecto a su capacidad para efectos térmicos tenemos: análisis de estados
estáticos y con traslación en 3D; Convección no lineal, flujo, condiciones de límites de radiación.
El sistema es aplicado en la industria aerospacial, nuclear, herramientas, maquinaria,
automotriz, civil, marina, eléctrica, química, de procesos, energía y minas.
24
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
1.9.2.5 STRUDL (STRUcturaI Design Lenguaje)
GT STRUDL (Georgia Tech STRUctural Design Languaje), es un software para análisis y
diseño estructural para Arquitectura, ingeniería y Construcción. GL STRUDL integra
gráficamente el modelo y los resultados, analiza por elemento finito, diseña secciones
estructurales, ofrece información automática a algunas acciones y genera mallas. Usa análisis
estructural y elemento finito estático además de análisis dinámico, análisis estático no lineal,
diseño de acero y refuerzo de concreto en marcos estructurales, tiene una base de datos
estructural donde es posible regular el procesamiento del sistema estructural. Por último GL
STRUDL trabaja en computadoras personales y estaciones de trabajo.
Este sistema fue originalmente desarrollado sobre la base de los preceptos de la
Ingeniería civil, o sea, no es óptimo su uso para analizar otro tipo de estructuras. Desarrollando
por MTI Civil Engineering System Laboratory (laboratorio de Sistemas de Ingeniería Civil)
En la primera versión el manual del usuario tenia tres volúmenes donde el primero
brindaba información sobre el análisis de marcos, el segundo tenía información adicional al
primero para el diseño y análisis, y por último el volumen 3 era llamado reforzamiento de
estructuras de Concreto, aquí se describía el diseño según el código ACI-318-G3.
Realmente este es un Lenguaje, el cual obedece ordenes de diseño y análisis que
originalmente utilizaba un lenguaje orientado a problemas para definir la estructura, cargas y
requerimientos para la solución del sistema. Este también tenia la posibilidad de analizar
estructuras sencillas como una viga, así como estructuras tridimensionales, utilizando hasta 12
tipos de elemento finito en su análisis versión 1 y hasta 22 tipos en la versión 2.
Las continuas mejoras a STRUDL II hacía que el sistema de mantenimiento de
documentación fuera limitado. Al principio de 1968 MIT. viendo el rápido incremento en las
mejoras, formo un grupo de mantenimiento y mejoramiento del sistema. En este grupo había
firmas de Ingeniería, instituciones académicas, agencias gubernamentales, oficinas de servicios
de cómputo y empresas ensambladoras de computadoras. Estos encuentros se llevaban a cabo
dos veces al año, publicando un boletín 3 veces al año para informar que actividades se tenían,
publicándose las imperfecciones y remedios del programa reportados por los usuarios. Aún con
la capacidad de los participantes STRUDL tenía problemas de velocidad, además de tener
comandos no operacionales, motivo por el cual algunos usuarios cambiaron de paquete, y
aquellos que se sostenían en el mismo por costumbre, cambiaron a nuevas versiones como
ECI-STRUDL.
El costo de optimización, análisis no lineal y análisis de cascarones, limitó su aplicación
práctica, debido a sus excesivos cálculos, y por su tipo de análisis las primeras versiones eran
poco confiables en sus resultados. Por tal motivo algunos ingenieros regresaron a usar
STRESS, FRAN, EASE, SPACE, STARDYNE y otros programas caseros ahorrándose
considerables costos de computación.
La versión actual tiene las siguientes características: gran capacidad al modelado en
definición de estructuras y características de análisis no lineales, se tiene una librería de
alrededor de 100 tipos de elementos finitos, generación automática de mallas cartesianas,
cilíndricas y esféricas en el sistema local y en el sistema global de referencia, en el análisis
dinámico se pueden procesar datos mediante el espectro de respuesta, transitorio, armónico, y
estado constante, diseño en concreto y acero basándose en afinidad de códigos, además
contiene análisis y diseño de plataformas marina.
25
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Figura 1.25. Pantalla principal De GT STRUDL, donde se observa el modelado de un puente.
1.9.3 Programas comerciales actuales
Los programas presentados enseguida, forman parte de una gran cantidad de sistemas de
análisis por elemento finito existentes en nuestros días y debido a sus características de análisis
o por su difusión son los más representativos.
1.9.3.1 ANSYS No boundaries (ANalysis SYStem) Sistema de Análisis sin límites
Todos sus desarrollos están orientados para su uso con sistemas CAD-CAE de dibujo y diseño
por lo cual el costo en la entrada y salida de datos para modelos es reducida significativamente,
por ejemplo los productos Design space, contienen avanzados controles que trabajan con
software CAD, los cuales generan automáticamente los archivos de entrada ANSYS a través de
los datos colectados.
Con la línea de productos ANSYS 5.5, la compañía ha incrementado el poder de
solución de análisis estructural no lineal, análisis de turbulencia análisis no lineal armónicos
para aplicaciones electromagnéticas, y optimización topológica.
Entre su gran línea de productos se tiene los siguientes:
ANSYS-MuItiphisics. Esta versión contiene todas las opciones ingenieriles de ANSYS
con excepción de ANSYS /LS-DYNA. Aquí los diseños pueden ser analizados para determinar
los efectos de un simple fenómeno físico, o la interacción de diferentes fenómenos o integrar
todo el campo de los fenómenos físicos; por ejemplo, se puede analizar la interacción
estructural térmica, comportamiento de los fluidos y efectos electromagnéticos en un mismo
modelo.
ANSYS / Structural. Este sistema analiza propuestas estructurales, el sistema contiene
una gran capacidad de simulaciones no lineales en modelos grandes y complejos, además de
tener una avanzada serie de materiales, geometría de secciones y elementos no lineales; como
la torsión no lineal, para tener una versión mas avanzada es necesario pedir alguno de los
módulos extras disponibles.
26
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
ANSYS / DYNA: Módulo de análisis dinámico.
ANSYS / Mechanical: Este combina las capacidades de ANSYS térmico y ANSYS
estructural, obteniendo análisis de desplazamientos, esfuerzos, fuerzas, distribución de
temperatura, distribución de presión, grandes tensiones, grandes esfuerzos, esfuerzos térmicos,
elasticidad. etc.
ANSYS Linear plus: Módulo para análisis estructural lineal con algunas capacidades no
lineales, este módulo es aplicable en análisis de ingeniería mecánica. El módulo resuelve
principalmente análisis estructurales lineales, pero también problemas no lineales con grandes
desplazamientos y rigidez de esfuerzo, incluye análisis dinámico modal, armónico, transitorio y
respuesta espectral.
Figura 1.26. Modelo de un motor, maquilado en ANSYS / MechanicaI.
ANSYS / THERMAL: Este combina análisis térmico y eléctrico usando análisis lineal y no
lineal, aplicables en problemas de conducción, convección y radiación, además de transferencia
de calor en estado fijo o transitorio.
ANSYS / FLOTRAN: Módulo especializado en el modelado de fluidos dinámicos y
transferencia de calor, este módulo tiene la capacidad de modelar flujo laminar, turbulento,
newtoniano, no newtoniano, compresible e incompresible, aplicable en cualquier modelo de
flujo, como por ejemplo en pruebas de túneles de viento.
ANSYS / EMAG: Software para el análisis de simulaciones electromecánicas de alta
frecuencia y onda larga, como la radiación electromagnética en el aire circundante o él calculo
de la propagación de los campos electromagnéticos y ondas en productos aerospaciales,
militares y de consumo.
1.9.3.2 CADRE
CADRE PRO 3.2, es un programa estadounidense, que trabaja sobre a plataforma de
Windows, para resolver estructuras tridimensionales utiliza él método del elemento finito, siendo
27
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
el objetivo fundamental entender y predecir el comportamiento de estructuras sometidas a
cargas.
CADRE PRO puede modelar elementos viga, de sección constante, tubos circulares y
rectangulares de sección variable, vigas articuladas, elementos, cables, resortes, vigas con
deformación por cortante y placas triangulares con esfuerzo plano, con capacidad de usar todos
estos elementos en un mismo modelo.
La interfaz gráfica, permite acercamientos, movimientos, rotaciones tridimensionales
alrededor de los tres ejes. Además la entrada de los modelos se puede hacerse a través de
programas CAD en formato DXF o a través del editor de pantalla. El Quick Modeler crea mallas
básicas y modelos con cualquier orientación, siendo una herramienta poderosa para la
construcción de modelos más complejos.
Las cargas pueden ser introducidas directamente con el ratón, de las cuales el sistema
soporta cargas de presión, peso propio, cargas en longitudes y además de cargas como viento
o nieve.
En el análisis estático se encuentran desplazamientos y elementos mecánicos
producidas por las cargas externas. CADRE pro analiza también efectos de pandeo, efectos
viga columna y soluciones paso a paso de grandes desplazamientos. En el análisis dinámico se
realizan análisis de vibración en estructuras restringidas o totalmente libres, las fuerzas
sísmicas son calculadas para un espectro de respuesta.
1.9.3.3 CEDRUS
CEDRUS - 4 es un programa suizo hecho por la empresa CUBUS Engineering software esta
empresa se dedica a desarrollar programas para PC, para el análisis de marcos, estructuras
espaciales y cimentaciones. Analizando barras en concreto armado y acero. En las
cimentaciones se analiza su estabilidad, cajones y muros de contención.
Analiza y dimensiona vigas en concreto armado por el método del elemento finito;
además de la optimización de armaduras, cascarones prefabricados y dinámicos. CEDRUS 4
esta aun en desarrollo; por ello se describirá las actuales características de CEDRUS 3 PLUS.
Con respecto a su estructura, el sistema es capaz de aceptar cualquier forma, debido a
su entrada independiente de características de elementos, material y geometría entre otras;
también admite elementos isotrópicos y ortotrópicos en cualquier dirección, soportes elásticos,
además de la entrada con archivos en formato DXF.
Con respecto a las cargas el sistema soporta cargas de superficie, rectangulares o
poligonales y de temperatura, se pueden imponer apoyos y desplazamientos; se consideran
superficies de influencia, gráficos y documentación numérica, por último este sistema es capaz
de soportar trabajo en grupo
Los resultados son visibles gráfica y numéricamente, además de que el sistema crea
archivos DXF.
28
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Figura 1.27 Modelado espacial de una estructura en el CEDRUS 4.
1.9.3.4 NISA.
Nisa fue desarrollado por EMERC de Troy, Michigan, USA, es considerado por su capacidad
entre los programas de elemento finito para PC's, estaciones de trabajo y supercomputadoras.
NISA ha sido desarrollado en un grupo de módulos para problemas ingenieriles incluyendo:
NISA II. Análisis lineal y no lineal, estático, dinámico, transferencia de calor estático y
movible. Los elementos disponibles de NlSA son: elemento a tensión, a torsión, asimétricos
(cargas simétricas o asimétricas), cascarones delgados medianos y gruesos, vigas y elementos
rígidos, cascarones en capas, en emparedados (metal-caucho-metal, compuesto-panalcompuesto), y cascarones compuesto por muchas capas de sólidos (cortantes ínter laminares y
efectos predecidos de borde) Autogeneración de elementos de modelo finito y también el uso
del refinamiento, con el cual se tiene un incremento polinomial predefinido hasta que una
convergencia razonable es encontrada. La solución del sistema de ecuaciones es a través del
método de la onda frontal (wave front), y construcción de ondas frontales optimizadas además
de la convergencia P.
Las capacidades estáticas no lineales en NISA II incluyen materiales y geometría no
lineal, temperatura, conductividad térmica dependiente y cambio de fase. Las características del
material no lineal son criterios de rendimiento, modelos de materiales como Von Mises, Tresca,
Morh, Coulomb y Drucker-Fraber. El comportamiento puede ser elástico o plástico perfecto,
elastoplástico con trabajo isotrópico, cinemático y mezclado. La descripción a través de curvas
uní axiales: esfuerzo tensión-torsión, incluye comportamiento elástico o plástico, estrictamente
elástico lineal, moderadamente elástico lineal y la curva Rambeg-0sgood; hiperelasticidad y
plásticos (caucho) Para el comportamiento de los materiales en los modelos, se incluyen la
generalización de Mooney-Rivlin, Blatz-Ko, Alexander, etc.; las propiedades inelásticas
dependientes de la temperatura. Las características geométricas no lineales son: grandes
desplazamientos, grandes rotaciones y torsiones finitas; formulación total y la moderna
formulación Lagrangiana. Análisis de esfuerzos rígidos y análisis post torsión. Las cargas
pueden ser conservativas o no conservativas (siguiendo fuerzas y presión)
29
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
DISPLAY III Pre y Pos Procesador interactivo. Este procesador tiene gráficas interactivas
en 2D y 3D, el cual tiene la capacidad de obtener datos directamente de los sistemas CAD/CAM
o formatos de definición de problemas y modelado. Este procesador puede ser usado en NISA
II, aunque también en programas como DIANA, NASTRAN, NISA 3D fluid, entre otros.
ENDURE: Es un módulo general para el análisis de fatigas en estructuras o elementos.
La iniciación de la falla y la propagación de la misma pueden ser consideradas. La fase del
análisis de propagación solo podrá ser usada para tolerancia en daños, estructurales de diseño.
Cargas dinámicas y aleatorias, pueden ser incluidas en los cálculos de daño, este módulo
puede funcionar con NISA II y NASTRAN.
NISAOPT: Módulo para a optimización de diseño estructural, este módulo se divide a la
vez en tres STROPT, SHAPE y SECOPT. El primero optimiza el diseño minimizando el
volumen de materia, masa y peso, en la geometría de las estructuras, cambiando los espesores
y sección de los elementos, no importando él numero de casos de carga y las condiciones de
frontera. SHAPE es un programa para la optimización de formas para estructuras continuas,
basándose en multiplicadores Langrange y ecuaciones de criterio para optimización. Y por
ultimo SECOPT encuentra las dimensiones óptimas de la sección de una viga para minimizar el
área de la sección o peso de la misma, esto con base a constantes en las propiedades de la
sección.
3D-FLUID: Módulo para el análisis por elemento finito de flujos compresibles e
incompresibles en 2D y 3D, con problemas de transferencia de calor. Tomándose como
elementos finitos, asimétricos en 2D y elementos sólidos lineales y parabólicos en 3D. Las
figuras geométricas pueden ser arbitrarias o de la base de datos de NISA II.
FEAP : Módulo diseñado para el análisis de circuitos impresos y análisis térmico y de
esfuerzos en sistemas electrónicos, vibración aleatoria, transferencia de calor y temperatura,
este sistema tiene técnicas de modelado sofisticado para reducir el tamaño de las mallas,
generación de mallas automáticas para PCB muestra gráfica de la disposición de los
componentes en las mallas, análisis simultaneo para PCB’s en sistemas electrónicos.
DYMES: Programa para el análisis dinámico y cinemático en sistemas mecánicos
muItipartes, con desplazamientos tridimensionales no lineales y grandes, se tiene una librería
de nodos esféricos, de revolución y translación, además de elementos fuerza como resortes no
lineales, muros y actores que permiten la modelación más conveniente.
1.9.3.5 SAFI 3D Professional.
Quality software Inc. es una compañía dedicada al desarrollo de análisis estructurales
integrales, diseño y verificación de paquetes para el mercado internacional, y además sus
programas están dirigidos al análisis de estructuras de puentes, torres eléctricas y estructuras
de telecomunicaciones.
El análisis estático se hace en dos y tres dimensiones, basándose en modelos
matriciales para grandes modelos estructurales. Los elementos disponibles para este fin son:
vigas, placas, cascarones, resortes, cables y tensiones iniciales. Los soportes pueden ser libres,
empotrados y variables en su rigidez (resortes). Se tiene la capacidad de análisis no lineal con
corrección automática de cargas y rigideces. Los materiales disponibles en los elementos son:
acero, concreto, madera, aluminio y otros. Además tiene librerías de sección de ClSC, AISC,
30
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
CPCI, AASHTO, secciones tubulares y circulares, vigas en caja y polígonos, secciones no
estándares basados en formulas matemáticas: Armadura, resorte placas, cables con tensión
inicial y triangular. La capacidad del programa depende de la memoria disponible. Las versiones
de SAFI 3D profesional pueden ser presentadas en francés e ingles.
Figura 1.28. Pantalla SAFI 3D Profesional, donde se muestra un gráfico en isovalores
de esfuerzos presentados en una estructura específica
Las cargas pueden ser aplicadas en nodos o miembros, de manera concentrada,
uniforme, variable y calorífica. Las cargas gravitatorias son calculadas por el programa,
desplazamientos impuestos en nodos, son opciones posibles presión concentrada uniforme en
placas; existe una generación automática de cargas debidas a viento y hielo, además de tener
factores de exposición en torres y estructuras tubulares.
Con respecto a los gráficos, se tiene la generación de estructuras de manera gráfica en
vigas de gran peralte y círculos en torres, edificios, y puentes. Este sistema contiene un sistema
interactivo de entrada y salida de datos, renumeración de nodos a placer del cliente asignación
gráfica de cargas, modelado en 3D y visión con efecto cámara en traslación.
Los resultados obtenidos finalmente son: deformación en estructuras, diagramas de
momento, esfuerzo y deformaciones internas, coloración de esfuerzos para verificación de los
mismos resultados de análisis sísmicos y dinámicos. En este caso también se aceptan entradas
y salidas de información en formato DXF. Los resortes serán de tipo texto, editables en
Notepad, Write, Word, entre otros.
1.9.3.6 SAP 2000
SAP 2000 es un producto de CSI (Computer Structures, Inc.); SAP 2000 es un software
estructural integrado para Análisis y Diseño, el cual proporciona capacidades estructurales de
modelado como puentes, losas, tanques y edificios, basándose en una interfase gráfica para la
creación de modelos, vista de resultados y optimización de diseños.
Los tipos de elemento finito van desde vigas hasta placas y desde sólidos hasta enlaces
no lineales. Las vigas pueden ser no prismáticas rígidas y soportes con muchos tipos de carga
31
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
incluyendo pretensión. Los elementos cascaron son tridimensionales e incluyen componentes
rígidos en el plano rotacional y pueden ser usados también como elemento con tres o cuatro
nodos. Los elementos sólidos son tridimensionales por lo que las propiedades de los materiales
anisotrópicos serán dadas con ocho nodos. Los elementos enlaces no lineales pueden ser
usados para análisis dinámicos junto con aisladores, muros, ganchos y vanos.
Figura 1.29 Pantalla principal del programa SAP 2000, en el cual se observa él
comportamiento de una estructura. Se pueden apreciarar cargas en los
nodos, deformaciones y el comportamiento resultante.
Las condiciones de carga estática pueden ser de gravedad, presión, térmica y
pretensión, además de cargas nodales con fuerzas y desplazamientos específicos. La carga
dinámica puede hacerse bajo la respuesta de espectros múltiples o cargas variantes en tiempos
múltiples y excitaciones básicas. El medio para la generación de cargas vivas a través de
camiones, carriles de cargas y tren de cargas.
En las opciones se diseño, el sistema usa el AISC-ASD y LFRD para el diseño de
miembros de acero y el ACl-89 para miembros de concreto.
Entre las opciones no lineales se requiere análisis estático de empuje. Los elementos no
lineales pueden ser definidos en cualquiera de los elementos marco y las propiedades pueden
ser definidas por el usuario o calculadas automáticamente por el programa. El análisis arroja
fuerzas y desplazamientos de manera gráfica y numérica.
Las tres herramientas antes descritas pueden usarse en el diseño de estructuras de
concreto y acero. Los análisis no lineales se basan en ATC-40 y FEMA-273, los que están
totalmente integrados al sistema. Un modelo puede ser usado para análisis estático, dinámico y
tiempo histórico no lineal, para análisis no lineales de empuje los resultados pueden ser
diseñados en concreto y acero. Los momentos cortantes y axiales pueden ser vistos en un
punto especifico a lo largo del elemento, este punto puede ser designado por el usuario o
automáticamente por el programa. El lanzamiento de los resultados de empuje es enviado paso
32
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
a paso, así de manera gráfica y textual. La gran capacidad interactiva de las curvas espectrales,
hacen que se continúen estudiando con respecto a tiempo y así tener cambios instantáneos por
fenómenos externos.
Las versiones disponibles de SAP 2000 son las siguientes:
SAP 2000 standart. Programa para Windows 98/NT, ofrece análisis estático y dinámico
por respuesta de espectro con elementos viga y cascaron, con diseño en concreto y acero. Su
capacidad máxima es de 1500 nodos. SAP 2000 PLUS Ofrece las misma características que el
anterior, y además se tiene análisis dinámico tiempo historia, con elementos placa, sólidos y no
sólidos y también análisis de puentes.
SAP 2000 Non Lineal. Además de tener las características de la versión LUS ofrece
elementos muros aisladores básicos, anchos y vanos.
1.9.3.7 STAAD-III (STructural AnAlysis & Design)
STAAD es un sistema práctico de análisis y diseño con solo el mínimo de espacio, este unifica
técnicas avanzadas de presentación gráfica y visualización de análisis y diseño, además de
tener una base de datos activa y unificada que proporciona una interpretación real de análisis y
diseño detallado, simulación y visualización. STAAD III, es un producto más de Ingenieros
investigadores (Research Engineers).
En general STAAD es un sistema en el que la entrada de datos puede hacerse de
manera gráfica o textual, se puede escoger entre las unidades del FPS, SI o métricas, son
utilizables los sistemas de coordenadas rectangulares o cilíndricas. La generación de nodos,
miembros y mallas pueden utilizarse de manera automática.
En el análisis estático usa métodos de análisis en 2D/3D de gran tamaño. Los elementos
usados son: vigas, placas, cascarones, placas dobladas y armaduras. Los soportes pueden ser
libres, empotrados y con rigidez variable. El análisis puede ser lineal. P-delta y No lineal, con
cargas automáticas y corrección de rigidez. Miembros solos a tensión y soportes solo a
compresión.
En el análisis dinámico y sísmico, se tienen modelados masivos y forma de frecuencia,
además de espectros de respuesta y análisis historia tiempo. Generador armónico de cargas,
combinación de fuerzas dinámicas con cargas estáticas para diseños posteriores. En el análisis
secundario pueden existir fuerzas y desplazamientos en secciones entre nodos, además de
fuerzas desarrolladoras mínimas y máximas.
En la generación de cargas se tienen cargas en nodos y miembros de manera
concentrada uniforme, lineal, trapezoidal, calorífica, tensiones, desplazamientos de soportes,
pre-tensión y cargas empotradas. Las cargas podrán colocarse en el sistema global, local y
cargas proyectadas.
Las cargas de presión sean uniformes o variantes pueden colocarse en solo una parte
de los elementos. Las cargas de piso pueden indicarse y el programa las tributa
adecuadamente a los lugares específicos. Existe una generación de cargas móviles automática
de acuerdo al estándar AASHTO o puede ser introducido por el usuario. La generación de
cargas sísmicas de acuerdo a la norma UBC, se distribuye automáticamente. La generación de
33
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
cargas debido al viento con factores de exposición también es una opción. La combinación de
factores de carga incluye las algebraicas y la combinación de esquemas SRSS.
Con respecto al diseño en acero, se cubre con reglamentos como el AISC, el
canadiense el británico, etc. Para elementos I, placas, canales, ángulos, ángulos dobles,
secciones compuestas, tubos y sólidos circulares. El usuario especifica los parámetros se
diseño.
Figura 1.30. En la gráfica, se aprecia la pantalla del STAAD III y se muestra el modelado
de una torre de energía eléctrica y sus deflexiones.
1.9.3.8 SISMICAD
SISMICAD la versión 8 es un programa general de análisis y diseño estructural, que resuelve
las necesidades prácticas del ingeniero civil calculista. SISMICAD versión 8 es un producto de
CONCRETE SRL la cual es una sociedad italiana, productora de software dirigido a proyectos
estructurales, sobre la plataforma AUTOCAD y WlNDOWS, de esta manera desde 1989
AUTODESK reconoció a CONCRETE SRL como un aplacador europeo registrado; por lo que
entonces CONCRETE SRL propone sus nuevos productos en WINDOWS.
SISMICAD, es un pre y post procesador de programas de elemento finito que usa
AUTOCAD y AUTOCAD LT como soporte gráfico, o sea la entrada y salida de datos puede
hacerse por este medio, optimizando en gran manera estos procesos, la capacidad del
solucionador interno del elemento finito depende de la maquina que se use. Este sistema
permite el análisis de los efectos de 2° orden, con el método P delta y problemas no lineales. El
programa tiene la posibilidad de compartir recursos con SAP 90 y SUPER SAP. Este programa
fue hecho sobre la base del código SAP de la Universidad de BerkeIey en 1970, la ventaja de
esta filosofía es que el analizador puede ser usado aun sin SISMICAD, solamente usando
archivos de texto como entrada y salida de datos. El software presenta las siguientes
características: su capacidad depende del hardware disponible, es posible modelar nudos
master, en los cuales existe a posibilidad de esquematizar planos definidos, además soporta
elementos como: marcos, vigas, muros, resortes, etc.; todos son conectados a los nudos master
para la modulación de cascarones se implemento el elemento finito placa DKT/DKQ, el cual
tiene grados de libertad de rotación alrededor del vector normal a plano medio. Adopta una
doble minimización del perfil de la matriz de rigideces, ensambla y memoriza en bloques la
matriz de rigideces en forma de perfil. La resolución estática del sistema de ecuaciones usa el
34
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
método Crout modificado. En el caso de la resolución dinámica usa el método de la proyección
en el bajo espacio y el método acelerado de Ritz.
En los elementos mono dimensionales como vigas se elevan los efectos geométricos de
no-linealidad de segundo orden (método P-delta), con el que podemos asociar estos elementos
con otros elementos lineales presentes en la base de datos.
Las cargas que pueden insertarse son: de superficie horizontal e inclinada, lineales con
acción vertical u horizontal, concentradas, de presión o empuje, de variación térmica.
Figura 1.31. Pantalla principal de Autocad, de la cuál se toma el modelo en SISMICAD
como se puede ver el detalle contiene: columnas, muros y vigas.
En este modelo el dibujo se ha solidificado progresivamente.
Con respecto a los elementos estructurales que se pueden diseñar son: vigas y
columnas de concreto reforzado, muros de concreto reforzado o mampostería, mampostería
confinada, placas horizontales e inclinadas, cascarones, escaleras, vigas y columnas de acero,
zapatas superficiales, pilotes con suelo elástico, losas horizontales o inclinadas, resortes y
vínculos genéricos.
Los análisis por sismo siguen los siguientes códigos la norma americana UBC 1994 o la
colombiana CCCSR-84, el espectro de sismo es seleccionabIe por el usuario. Para el diseño se
siguen las siguientes normas: norma europeo Eurocodigo 2-3 o a la norma americana ACI-318,
el diseño en acero sigue la norma americana AISC –ASD 9th, y la CNR-UNI 10011/10022.
Como resultado tendremos además de los elementos mecánicos y los desplazamientos,
el diseño estructural elemento por elemento, su volumen de obra y presupuesto, además de los
planos ejecutivos de diseño y también los planos de carpintería (cimbra).
1.9.3.9 TRICALC
TRICALC es un programa de Arktec la que desde 1989 es una compañía Española de software
para arquitectura, ingeniería y construcción.
35
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
TRICALC es un sistema integrado de calculo de estructuras tridimensionales, que
incluye el cálculo matricial espacial de esfuerzos y desplazamientos en el
dimensionamiento, verificación y optimización de los miembros de acero y el dimensionamiento
y refuerzo de miembros de concreto; diseño de losas unidireccionales reticulares y
macizas, zapatas trabes de liga, losas de cimentación y muros de sótano. El diseño se hace
sobre la base de una adaptación del programa al reglamento de Construcción del DF y normas
complementarias.
La entrada de datos es a través de sistemas CAD, ya sea en archivos DXF 3D o también
a través de un escáner el cual nos permite obtener los puntos más significativos de la
estructura, además de la manera clásica por archivo. Este sistema no soporta muchos
elementos finitos, pero su mayor capacidad esta en diseño, dibujo y catálogos de obra.
El sistema puede diseñar tanto en acero como en concreto, pero además se obtienen los
planos constructivos de la estructura, ya que el programa ofrece dentro del sistema un editor de
planos, el cual es compatible con editores CAD por medio de archivos DXF finalmente este
sistema realiza una cuantificación automática desglosada, compatible con el programa GEST
con un formato de intercambio estándar FIEBC-3/95 para introducción del presupuesto.
El ambiente gráfico esta diseñado bajo la tecnología MDI (MuItible Document Interfase)
el cual permite observar hasta 10 ventanas gráficas a la vez ya sean planos o modelos, y existe
la posibilidad de ver el comportamiento de los esfuerzos de un elemento por medio de una
gráfica de isovalores, pero además se pueden observar los desplazamientos en losas y
presiones sobre el terreno. El editor de planos permite editar, modificar, introducir información
adicional en los planos estructurales y después transferirlos a programas CAD genéricos a
través de formatos DXF.
Figura 1.32. Pantalla principal del TRICALC. En la gráfica un puente modelado.
1.9.4 Programas escolares
Estos pequeños programas son algunos sistemas caseros, que cumplen la función de
obtener los elementos mecánicos de análisis a marcos planos, los cuales son usados en la
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, Unidad Zacatenco.
36
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
1.9.4.1 PLANITO
Es un programa de análisis de marcos planos realizado en la ESIA en 1990 codificado por el
lng. Guillermo Cisneros Stoianowski y Antonio Canseco Echavarri. El sistema de la entrada de
datos es el mismo que ESIA 1 y 2; por un archivo de texto (nombre.dat), enviando los
resultados a un archivo de salida con extensión (nombre.saI), y no ofrece mayores ventajas.
•
•
•
•
•
Barras de sección constante.
Diferentes condiciones de carga; cargas puntuales y uniformes.
Módulo de elasticidad global, solo para un tipo de material.
Al final se obtienen los elementos mecánicos y desplazamientos correspondientes.
Análisis por el método de rigideces en lenguaje FORTRAN.
Figura 1.33. Pantalla principal del programa Planito, cuando se nombra al archivo.
Este programa no persigue fines lucrativos y es solo se uso académico. Además este
programa tiene una extensión llamaba Graf-mar el cual gráfica la topología del marco plano
requerido solo pidiendo el nombre del archivo datos (nombre.dat).
1.9.4.2 SAFE-2000 versión 5
Sistema comercial creado en 1991. Este sistema analiza marcos planos por el método de las
rigideces, lográndose momentos flexionantes, fuerzas cortantes y fuerzas axiales en las barras,
así como los desplazamientos que tiene la estructura. Como sistemas anexos, se tienen el
análisis de armaduras Pratt, vigas continuas y marcos de sección variable.
Este sistema esta diseñado para ejecutarse en sistema operativo (DOS), fue diseñado
por el ingeniero Eduardo C. Ross V, y el ingeniero Salvador Salcedo F. en Guadalajara, Jal. y
aunque facilita la entrada de datos por medio de tablas y campos, los gráficos son inexistentes,
además de tener poca inconsistencia a errores humanos. Este es un programa de principios de
los 90's, y aunque no cubre los requisitos mínimos de calidad, es un programa efectivo en la
obtención de resultados.
37
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL
Figura 1.34 Pantalla principal del programa SAFE 2000, en el momento que pide la
clave de acceso y presenta los generales del programa
1.9.4.3 ESIA 1 Y 2
Programa realizado por el Ingeniero Luis Carlos Scheinvar Akcelrad, en el año de 1994;
codificado en lenguaje FORTRAN, para fines meramente escolares, y aunque no ofrece una
interfaz hombre máquina como el SAFE2000, tiene más opciones de cálculo entre las que se
encuentran:
•
•
•
•
•
Barras de sección variable (constantes, cartelas rectas, parabólicas en uno o dos extremos).
Los tipos se aboyo pueden ser elásticos.
Cargas distribuidas, puntuales y nodales.
Modelado de zonas infinitamente rígidas, como nudos y muros de cortante.
Análisis por el método de rigideces en marcos planos.
Figura 1.35. Pantalla principal en MS-DOS del programa ESIA 2, en el
momento de introducir datos de la estructura.
ESlA 2 acepta los datos de entrada en un archivo de texto (nombre.dat), y envía los
resultados en otro archivo de texto, pero con otra extensión (nombre.res); además anexa la
matriz de rigideces en archivos alternos.
En el caso de ESIA 1 tiene las mismas opciones que ESIA 2, ya que es la primera
versión solo que la sección de los elementos puede ser solo constante.
38
CAPÍTULO 2
MÉTODOS ENERGÉTICOS
Los métodos energéticos están basados en el principio de la conservación de la energía y
fundamentalmente en la primera ley de la Termodinámica, cuando en esta ley general no se
considera la velocidad ni el calor se establece la ecuación de la energía de deformación de los
sistemas estructurales. La ecuación del trabajo y la energía potencial se expresa por la
ecuación (2.1.)
T = U
(2.1)
Donde:
T
U
variación del trabajo virtual
variación de la energía de deformación virtual
2.1 PRINCIPIOS DE LOS DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS VIRTUALES
Los principios de los desplazamientos y fuerzas virtuales son dos:
•
•
Principio de los desplazamientos virtuales o del trabajo virtual
Principio de las fuerzas virtuales o del trabajo complementario virtual
El principio del trabajo virtual establece que un sistema estructural elástico sujeto a un
estado de cargas en equilibrio permanece en ese estado, si para pequeñas variaciones en los
desplazamientos a partir de un estado compatible de deformaciones se satisface la ecuación
(2.1) En forma análoga se establece el principio del trabajo complementario virtual. Estos dos
principios dan origen a dos métodos:
•
•
El método del principio estacionario de la energía potencial
El método del principio estacionario de la energía potencial complementaria.
En este trabajo solamente se presentan ejemplos del primer método, el segundo se
presenta en su forma del método del trabajo mínimo.
2.2 PRINCIPIO ESTACIONARIO DE LA ENERGÍA POTENCIAL
Estos principio o método se puede aplicar a todos los tipos de sistemas estructurales, desde
luego conociendo la energía potencial de los elementos que integran el sistema. A continuación
se aplicará a estructuras sujetas a elementos mecánicos o sea fuerzas axiales, partiendo de
que se conoce la energía potencial interna de barras sujetas a carga axial como se indica en la
ecuación (2.2)
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
(
)
2
 i = EA i di
2Li
(2.2)
Donde:
E
A
Li
d
i
módulo de elasticidad de la barra
área de la sección transversal
longitud del elemento
desplazamiento longitudinal de la barra
energía potencial interna
2.2.1 Procedimiento para analizar armaduras por el método de la energía potencial
1.
Determinación de los grados de libertad. Los grados de libertad son los desplazamientos
de las conexiones o nodos referidos al sistema x, y. En los problemas se usará la variable
x con numeración corrida.
2.
Se expresan los desplazamientos aislando cada una de las barras, en función de las
coordenadas generalizadas.
3.
Cálculo de la energía potencial interna de cada barra usando la expresión (2.2.)
4.
Determinación de la energía potencial externa debida a las cargas. Ecuación (2.3)
n
Pi x i
Ue = − 
i =1
(2.3)
Donde :
Ue
Pi
xi
5.
energía potencial externa
cargas
coordenada generalizada o grado de libertad
Cálculo de la energía potencial total (ecuación 2.4)
 = Ui + Ue
(2.4)
donde:

6.
40
energía potencial total
Se deriva la energía potencial, o sea que se aplica el principio estacionario (ecuación
2.5)
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS

=0
 xi
(2.5)
donde :

=0
 xi
derivada de la energía potencial total con respecto a xi .
7.
Del paso anterior se obtiene un sistema de ecuaciones, que al resolverlo, genera los
desplazamientos en los nodos. Conocidos estos se pueden calcular los desplazamientos
lineales de cada barra.
8.
Finalmente se calculan las fuerzas en las barras, usando la ecuación (2.6)
Ni =
x
(EA ) i d i
Li
(2.6)
donde :
N ix
(EA )i
Li
di
fuerza axial en la barra
módulo de elasticidad axial área de la sección transversal de la barra i.l
longitud del elemento i
desplazamiento longitudinal de la barra i
Problema 2.1
Calcular las fuerzas axiales en las barras, aplicando el principio estacionario de la energía
potencial
Datos:
EA = constante
L1= 4.24 m
L2= 3.00 m
41
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
L3= 5.00 m
 = 45 
3
cos  = = 0.60
5
4
sen  = = 0.80
5
Solución:
Se observa que las barras 4, 5 y 6 no trabajan.
1. -Determinación de los grados de libertad
GL = NDN-NDR
GL = 4-3
GL = 1 (no se consideran los desplazamientos horizontales)
2. -Desplazamientos en las barras:
d1 = x cos 45  = 0.7071x
d2 = x ' = 0.571x
d3 = x ' cos  = 0.3426 x
x x
=
 x  = 0.571x
7 4
3. - Cálculo de la energía potencial interna:
Ui =
EA i di 2
2L i
U = U1 + U2 + U3
2EA (0.7071x ) 2 EA (0.517 x ) 0.5EA (0.3426 x )
U=
+
+
(2)(4.24 )
(2)(3 )
2(5 )
2
2
U = 0.1179EAx2 + 0.0543x 2EA + 0.005868x 2EA = 0.17806x 2EA
4. - Obtención de la energía potencial externa
Uc = −10 x
5. - Cálculo de la energía potencial total
 = 0.17806 x 2EA − 10 x
6. - Derivando la energía potencial total
42
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
 
=
(0.17806 x 2EA − 10 x ) = 0.356136 x EA − 10
x x
7. - Resolviendo la ecuación
28 .079
EA
8. - Determinación de los desplazamientos de las barras
x=
19 .8546
EA
16 .0332
d2 =
EA
9.61986
d3 =
EA
d1 =
9. - Cálculo de las fuerzas en cada barra
EA i di
Li
2EA (19 .8546 )
N1x =
= 9.3654
4.24
EA
EA (16 .0332 )
N2x =
= 5.3444
3.0
EA
0.5EA (9.61986 )
N3x =
= 0.9619
5.0
EA
Nix =
10. - Los resultados quedan expresados en el siguiente esquema:
Comprobación:
 MA = 0
 M A = (9.3654 )(0.7071 )(7 ) + (5.344 + 0.9619 (0.5998 ))4 − 10 (7 )
 M A = 46 .3534 + 23 .6845 − 70 = 0.039  0
43
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Problema 2.2
Calcular las fuerzas axiales en las barras por el principio estacionario de la energía potencial.
X2
K = H2 + L2
H
Sen  =
K
L
Cos  =
K
Solución:
1. - Determinación de los grados de libertad.
GL = NDN − NDR
GL = 2( 4) − 5
GL = 3 Se generarán tres ecuaciones
2. -Desplazamientos en las barras.
Barra 1
d1 = x1
44
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Barra 2
d 2 = x 3 sen 
H
d2 = x 3  
K 
Barra 3
X2
d3 = + x 1sen − x 2 sen
H
H
d3 = x 1 − x 2
K
K
Barra 4
d4 = 0
Barra 5
d5 = 0
x2
Barra 6
X2
d6 = − x 2 + x 3
3. -Cálculo de la energía potencial interna.
45
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
n
UI = 
i =1
(EA ) d
i
i
2L i
2
2
EA
x 1 2 + EA x 3  H  + EA x 1  H  − x 2  H  + 0 + 0 + EA − x 2 + x 3 2
UI =
2H
2K   K 
2K   K 
2H
 K 
 1 2 H2 2
1  H2  2
1 2
x 2 − 2x 2 x 3 + x 32 
UI = EA 
x1 +
x3 +
 2 x 1 − 2x 1x 2 + x 22  +
3
2K
2K  K 
2H
 2H

2
2
2
2
H
H
H
1 2 1
1 2
 1 2 H
UI = EA 
x1 +
x 32 +
x 12 − 3 x 1x 2 +
x 22 +
x2 − x2x3 +
x3 
3
3
3
2K
2K
K
2K
2H
H
2H 
 2H
1
H3 + K 3 2 H3 + K 3 2 H3 + K 3 2 H2

UI = EA 
x1 +
x2 +
x 3 − 3 x 1x 2 − x 2 x 3 
3
3
3
2K H
2K H
K
H
 2K H

4. -Determinación de la energía potencial externa:
UE = −Px 2
5. -La energía total es:
 = UI + UE
6. -Derivando la energía potencial total.

=0
x i

H2 
 H3 + K 3
= EA 
x1 − 3 x 2  = 0
3
x 1
K
 KH


H2
1
 H3 + K 3

= EA 
x
−
x 1 − x 3 − P = 0
2
3
3
x 2
K
H
 KH


1 
 H3 + K 3
= EA 
x3 − x2  = 0
3
x 3
K
H
H


 H3 + K 3
 K 3H

H2
EA  − 3
 K

 

46
H2
K3
3
H + K3
K 3H
1
−
H
−



1 
−
H 
H3 + K 3 

K 3H 

 X  0 
 1  
   
  = P
X2   
   
   
 X 3   0 
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
7. -Resolviendo el sistema:
H
P
2EA
H3 + K 3
X2 =
P
2H2EA
K3
X3 =
P
2H2EA
X1 =
8. -Las deformaciones de las barras son:
d1 = x 1 =
H
P
2EA
K3
H
K2
H
d2 = x 3   =
P
=
P
2
 K  2H EA K 2HEA
3
3
2
3
3
H
H
H
(P) H  − H +2 K P H  = H P − H + K P
d3 = x1   − x 2   =
2HKEA
K 
 K  2EA  K  2H EA  K  2KEA
3
3
3
2
H −H −K
−K
d3 =
P=
P
2HKEA
2HKEA
d 4 = d5 = 0
K3 
−H
 H3 + K 3
 − H3 − K 3 + K 3 
d6 = −x 2 + x 3 =  −
+
P
=
P


P =
2
2
2
2H EA
2EA
 2H EA 2H EA 


9. -Las fuerzas axiales en las barras son:
Nix =
N1x =
EA  H 
P

P =
H  2EA 
2
N2x =
EA  K 2 
K
P

P =
K  2HEA 
2H
(EA ) d
i
i
Ni
EA 
K2 
K
P
−
P = −
K  2HKEA 
2H
N 4x = N5x = 0
N3x =
N6x =
EA 
H 
P
−
 P=−
H  2EA 
2
10. -Los resultados finales se ilustran en el siguiente esquema:
47
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Comprobación al revisar el equilibrio:
Nodo A
L
=0
K
 K  L 
R AX = 0 +  +
P  
 2H  K 
 FX = −R AX + N 4 + N 2
R AX =
PL
2H
H
=0
K
H P  K  H 
R AY = N1 + N2 = + 
P  
K 2  2H  K 
 FY = R AY − N1 − N3
R AY
=
P P
+
2 2
R AY = P
Nodo B
H
=0
K
P  K  H 
+ −
P   = 0
2  2H  K 
 FY = N1 + N3
P P
− =0
2 2
48
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
L
=0
K
L
 K  L
R BX = −N3 = − −
P
K
 2H  K
 FX = R BX + N5 + N3
R BX =
PL
2H
Nodo C
L
− R CX = 0
K
L
 PK  L
R CX = −N3 = − −

K
 2H  K
 FX = −N 4 − N3
R CX =
PL
2H

H
=0
K
 P   PK  H
−P − −  − −
 =0
 2   2H  K
 FY = −P − N 6 − N3
−P +
P P
+ =0
2 2
Nodo D
L
+ R DX = 0
K
L PK L
R DX = N2 =
=
K 2H K
PL
R DX =
2H
H
 FY = N6 + N2 = 0
K
P PK H
− +
=0
2 2H K
P P
− + =0
2 2
 FX = −N5 − N2
49
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Problema 2.3.
Analizar la siguiente armadura, por el método del principio estacionario de la energía potencial.
Solución:
Cálculo de las longitudes L2 y L3
sen60  =
3
L2
L 2 sen60  = 3
3
= 3.464
0.866
Por tan to : L 2 = L 3 = 3.464 mts.
L2 =
Características geométricas de las barras:
Barra
1
2
3
Longitud
3.00
3.464
3.464
1. -Determinación de los grados de libertad
GL = NDP-NDR
GL = 4(2)-3(2)
GL = 2 (2 ecuaciones con 2 incógnitas)
2. -Determinación de los desplazamientos
50
EA
2
1
1
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Barra 1
d1 = − x 2
X2
Barra 2
d 2 = x 1 cos 60  + x 2 sen60 
d 2 = 0.50 x 1 + 0.866 x 2 (local)
Barra 3
X1
d3 = − x 1 cos 60  + x 2 sen60 
d 3 = −0.50 x 1 + 0.866 x 2 (local)
3. -Cálculo de la energía potencial interna
(EA ) (d )
U =
2
i
i
i
2L i
UI = U1 + U2 + U3
U1 =
(
2 EA − x 2
2(3.00)
) = 2EAx = 0.333EAx
2
2
2
6.00
2
2
EA (0.50 x 1 + 0.866 x 2 )
EA (0.250 x 12 + 0.866 x 1 x 2 + 0.750 x 22 )
=
2(3.464 )
6.928
2
U2 =
51
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
U2 = EA (0.036 x 12 + 0.125 x 1 x 2 + 0.108 x 22 )
EA (− 0.50 x 1 + 0.866 x 2 )
EA (0.250 x 12 − 0.866 x 1 x 2 + 0.750 x 22 )
=
2(3.464 )
6.928
2
U3 =
U3 = EA (0.036 x 12 − 0.125 x 1 x 2 + 0.108 x 22 )
Sustituyendo valores:
UI = U1 + U2 + U3
UI = 0.333EAx22 + EA(0.036x12 + 0.125x1x 2 + 0.108x 22 ) + EA(0.036x12 − 0.125x1x 2 + 0.108x 22 )
UI = EA(0.072x12 + 0.549x 22 )
4.-Obtención la energía potencial externa
Ue = −19 x 1
5.-Cálculo de la energía potencial total
 = UI + Ue = EA(0.072x12 + 0.549x 22 ) − 19x1
6.-Aplicación del principio estacionario de la energía potencial:
Resolviendo las derivadas parciales:

EA(0.072x12 + 0.549x 22 ) − 19x1 = 0.144EAx1 − 19 = 0
x1

EA(0.072x12 + 0.549x 22 ) − 19 x1 = 1.098EAx 2 = 0
x 2
7.- Solución al sistema de ecuaciones:
0.144 EAx 1 − 19 = 0
19
=
0.144EA
131.944
x1 =
EA
x1 =
1.098 EAx 2 = 0
x2 = 0
8.-Cálculo de los desplazamientos en las barras
d1 = − x 2
52
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
d1 = 0
d 2 = 0.50 x 1 + 0.866 x 2
65 .972
d2 =
EA
d 3 = −0.50 x 1 + 0.866 x 2
65 .972
d3 = −
EA
9.-Cálculo de las fuerzas axiales de cada barra:
Nix =
N1x =
(EA ) d
i
i
Li
(EA ) (0 ) = 0
1
3.00
(EA )  65 .972 
2
N2x =
 EA
3.464
 = 65 .972 = 19 .045
3.464
(EA )  − 65 .972 
3
N3 =
x
EA

3.464
 = − 65 .972 = −19 .045
3.464
10. -Los resultados finales se ilustran en el siguiente esquema:
Comprobación de los resultados
53
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Nodo B
 Fx = 0
 Fx = 19 − 19.045 cos 60 − 19.045 cos 60 = 0
19 − 9.523 − 9.523 = 0
19 − 19 .045 = 0.045
00
 Fy = 0
 Fy = −19 .045 sen60  + 19 .045 sen60  = 0
− 16 .493 + 16.493 = 0
0=0
Nodo C
 Fx = 0
 Fx = 19.045 cos 60 − Rcx = 0
9.523 − Rcx = 0
Rcx = 9.523 ton.
 Fy = 0
 Fy = 19 .045 sen60  − Rcy = 0
16.493 − Rcy = 0
Rcy = 16.493 ton
Nodo D
 Fx = 0
 Fx = 19 .045 cos 60  − R DX = 0
9.523 − R DX = 0
R DX = 9.523 ton
 Fy = 0
 Fy = −19.045sen60 + RDy = 0
− 16.493 + RDy = 0
RDy = 16.493ton.
 C arg as =  Re acciones
19 ton. = 9.523 (2)ton.
19  19 .046
54
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Problema 2.4.
Calcular los desplazamientos en función de la coordenada generalizada x.
d3 = x
d 2 = x cos 45 
d1 = 0
Solución:
1. -Determinación de los grados de libertad
GL = NDP-NDR
GL = 6-5
GL = 1 (no se consideran los desplazamientos horizontales)
2. - Desplazamiento de las barras:
d1 = d5 =0
d2 = d4 = Cos45°x
d3 = x
3. -Cálculo de la energía potencial interna.
(EA ) (d )
2
Ui =
i
i
2L i
U1 = U5 =
EA (0) 2
=0
2(6 )
EA (x cos 45 )
0.5EAx 2
=
2(6 )
12
2
U2 = U 4 = 0.042 EAx
2
U2 = U 4 =
EA (x )
U3 =
= 0.083 EAx 2
2(6 )
2
Ui = 0 + U 2 + U 3 + U 4 + 0
55
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Ui = 0.042 EAx 2 + 0.083 EAx 2 + 0.042 EAx 2
Ui = 0.167 EAx 2
4. - Determinación de la energía potencial externa
Ue = −8 x
5. -Cálculo de la energía potencial total
 = 0.167 EAx 2 − 8 x
6. -Aplicando el principio estacionario de la energía potencial.

(0.167 EAx 2 − 8 x ) = 0.334 EAx − 8 = 0
x
7. -Solución de la ecuación.
x=
8
23 .952
=
0.334 EA
EA
8. -Cálculo de los desplazamientos de cada barra
d1 = 0 = d5
16 .936
= d4
EA
23 .952
d3 =
EA
d2 =
9. -Determinación de las fuerzas axiales
0 EA
=0
6
16.936EA
N 2x = N 4x =
= 2.823ton.
6 EA
23.952EA
N 3x =
= 3.992
6 EA
N 1x = N 5x =
Comprobación por suma de fuerzas de x en el nodo.
2(2.823 )(0.7071) + 3.992 − 8 = 0
7.984 − 8 = 0
− 0.016  0
56
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
2.3 TEOREMAS DE CASTIGLIANO
Los teoremas de Castigliano fueron la base para el método de la carga virtual unitaria que tiene
una aplicación general en el cálculo de los desplazamientos lineales o angulares delos sistemas
estructurales. El primer teorema establece: si es conocida la energía potencial en función de los
desplazamientos, y si se deriva dicha energía con respecto a los desplazamientos se obtienen
las fuerzas. El segundo teorema establece que cuando se tiene la energía potencial
complementaria en función de las fuerzas, si se deriva con respecto a las fuerzas se obtienen
los desplazamientos debajo de dichas fuerzas.
Debido a las limitaciones de aplicación de estos teoremas, es común que se apliquen en
una forma amplia en los llamados método del trabajo mínimo y en el método de la carga virtual
unitaria.
2.4 MÉTODO DEL TRABAJO MÍNIMO
El método del trabajo mínimo esta basado en un coralario del teorema de Castigliano que se
aplica en los apoyos o fronteras de la estructura, donde se cumpla que los desplazamientos
lineales o angulares son nulos, como lo indica la ecuación 2.7.

=0
 Fi
(2.7)
donde:
Fi

representa las reacciones en los apoyos
energía de deformación
El método se puede aplicar a cualquier tipo de estructuras, siempre y cuando se
conozca la energía potencial interna. Existe en diversos textos la deducción de la expresión de
la energía potencial interna, en función de los elementos mecánicos. A continuación se
deduce la expresión en forma sencilla, siempre y cuando se considere el comportamiento de la
estructura dentro de un rango elástico lineal, y la sección transversal de las barras su sistema
de ejes de referencia sean centroidales principales.
2.4.1 Energía potencial interna en función de los elementos mecánicos
2.4.1.1 Fuerzas axiales
Para un material elástico lineal:
 = c
Por el teorema de Clapeyron
57
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
s
 =  12  dv
x
Nx
x
(2.8)
0
sabemos que:
= x

x
por tanto
 = E
x
x
(2.9)
substituyendo (2.8) en (2.7)
s
 =  12E  dv
2
x
Nx
x
0
Pero :
x =
Nx
A
2
Nx dv
Nx = 
2
0 2EA
s
dv = dAds

v
=
s
0

A
2
Nx ds dA
A
2
0 2EA
s
Nx = 
s
2
Nx ds
0 2EA
Nx = 
energía potencial interna en función de la fuerza axial
2.4.1.2 Fuerzas cortantes

XY
1
 XY dv
v 2  xy
=
sabemos que:
G=
58


xy
xy
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
por tanto:

xy

=

G
1 2
dv
V 2G  xy
=
XY
Pero :
y
V Q
=
xy
Izz b
S
v y = 
V
1
2
2
v y Q dv
2G I2zz b2
2
2
v y ds Q dA
 2 2
0 2G
A I b
zz
S
v y = 
r = Izz
A
Izz = A r
2
2
2
Q
v y ds
dA

2
2
0 2G
Izz b A r
S
v y = 
2
2
v y ds Q dA

2 2
0 2GA
Izz r b
S
v y = 
2
vy
ds
0 2GA
S
v y = k 
energía potencial interna en función de la fuerza cortante
2.4.1.3 Momentos torsionantes
0

M =  2 dv
X
v
sabemos que:
x
r
=M
J
por tanto:
59
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS

 =G
 dv
2
M =  2G
X
v
MX = v
2
2
Mx r dv
2G J2
2
Mx ds 2 dA
r
2
0 2G J
A
S
Mx = 
J = A r 2 dA
2
Mx ds
0 2G J
S
Mx = 
energía potencial interna en función de los momentos torsionantes
2.4.1.4 Momentos flexionantes
M =   2 dv
X
Z
X
v
sabemos que:

 = E
X
X
por tanto:
 =M
I
Y
Z
X
ZZ

M =  2E dv
z
v
2
2
Mz y
dv
2E Izz
M = v
z
2
Mz ds 2 dA
y
2
0 2E I
A
zz
S
Mz = 
Izz = A y dA
2
60
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
2
Mz ds
0 2E Izz
S
Mz = 
energía potencial interna en función de los momentos flexionantes
Con la anterior deducción lógica y sencilla, la ecuación de la energía potencial interna en
función de los elementos mecánicos queda de la siguiente manera (ecuación 2.10):
=
1 s N2x
1 s V2y
1 s v2z
1 s M2x
1 s M2y
1 s M2z
ds
+
k
ds
+
k
+
ds
+
ds
+
ds
0
0
0
0
0
0
2 E Ax
2
G Ay
2
G A z 2 G jm
2 E Iy
2 E Iz
(2.10)
2.4.2 Procedimiento para la aplicación del método del trabajo mínimo
1.
Determinación del grado de hiperestaticidad. Es importante conocer el grado de
hiperestaticidad puesto que define el número de veces que se tiene que aplicar la
ecuación 2.7.
2.
Se determinan las ecuaciones de los elementos mecánicos fuerza axial, fuerza cortante,
momento flexionante y momento torsionante en función de las reacciones y cargas para
obtener la energía potencial.
3.
Conocida la energía potencial se deriva con respecto a cada una de
redundantes y se iguala a cero, o sea que cumpla con la ecuación 2.7.
4.
Del paso anterior se obtiene un sistema de ecuaciones cuyo orden depende del grado de
hiperestaticidad o del número de fuerzas redundantes.
5.
La solución del sistema de ecuaciones conduce a conocer el valor de las fuerzas
redundantes para conocer el valor de los elementos mecánicos en cualquier punto,
puesto que se utilizan las ecuaciones de equilibrio; y puesto que la estructura
hiperestáica se ha convertido en isostática.
las fuerzas
Problema 2.5.
Calcular las reacciones de la siguiente estructura por el método del trabajo mínimo.
Solución:
61
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
1. - Determinación del grado de hiperestaticidad:
GH = NRF-NEE
GH = 6-3
GH = 3
Las redundantes serán RBy, RBx y MB.
Por el principio del trabajo mínimo:
u
u
u
=
=
=0
R Bx R By MB
Considerando solo flexión:
L
0 M
M ds
=0
R i EI xx
2. -Cálculo de los momentos flexionantes:
Del Tramo 0  x 1  2
Mx 1 = −R Bx x 1 + MB
Del Tramo 2  x 2  4
Mx 2 = −R Bx x 2 + MB − 6(x 2 − 2 )
Del Tramo 0  x 3  6
Mx 3 = −4R Bx − 12 − R By x 3 +
2x 32
+ MB
2
3. -Se deriva con respecto a cada una de las fuerzas redundantes.
Con respecto a RBx.

( −R Bx x 1 + MB ) = − x 1
R Bx

( −R Bx x 2 + MB − 6(x 2 − 2 )) = − x 2
R Bx
2x 2

( −4R Bx − 12 − R By x 3 + 3 + MB ) = −4
R Bx
2
Con respecto a RBy.
62
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS

( −R Bx x 1 + MB ) = 0
R By

( −R Bx x 2 + MB − 6(x 2 − 2)) = 0
R By
2x 2

( −4R Bx − 12 − R By x 3 + 3 + MB ) = − x 3
R By
2
Con respecto a MB

( −R Bx x 1 + MB ) = 1
MB

( −R Bx x 2 + MB − 6(x 2 − 2 )) = 1
MB
2x 2

( −4R Bx − 12 − Rbyx 3 + 3 + MB ) = 1
MB
2
Substituyendo valores y realizando la integración correspondiente.
Del Tramo 0  x 1  2
1 2
1 4
1 6
2
0 (− R Bx x 1 + MB )(− x 1 )dx 1 + 2 (− R Bx x 2 + MB − 6 x 2 + 12 )(− x 2 )dx + 0 (− 4R Bx − 12 − R By x 3 + x 3 + MB )(− 4 )dx 3 =
EI
EI
EI
2
1
(2.67R Bx − 2MB + 18 .67R Bx − 6MB + 112 .02 − 72 ) + 1 (96R Bx + 288 + 72R By − 288 − 24MB ) =
EI
EI
1
(117 .34R Bx + 72R By − 32MB + 40 .02 )
EI
Del Tramo 2  x 2  4
1 2
1 4
1 6
2
0 (− R Bx x 1 + MB )(0 )dx 1 + 2 − R Bx x 2 + MB − 6(x 2 − 2 )(0 )dx 2 + 0 (− 4R Bx − 12 − R By x 3 + x 3 + MB ) − x 3 dx 3 =
EI
EI
EI
16
2
3
 (4R Bx x 3 + 12 x 3 + R By x 3 − x 3 − MB x 3 ) =
EI 0
1
(72R By + 72R Bx − 18MB − 108 )
EI
Del Tramo 0  x 3  6
1 2
1 4
1 6
2
0 (− R Bx x 1 + MB )(1)dx 1 + 2 (− R Bx x 2 + MB − 6 x 2 + 12 )(1)dx + 0 (− 4R Bx − 12 − R By x 3 + x 3 + MB )(1)dx 3 =
EI
EI
EI
2
1
(− 2R Bx + 2MB − 6R Bx + 2MB − 36 + 24 − 24R Bx − 72 − 18R By + 72 + 6MB ) =
EI
1
(− 32R Bx − 18R By + 10MB − 12 )
EI
4. -Resolviendo simultáneamente las ecuaciones.
63
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
R Bx  117 .34 72 − 32  − 40 .2
  
 

72 − 18  =  108 
R By   72
 MB   − 32
− 18 10   12 
Resultando:
RBx = −5.04 Ton
RBy = 5.11 Ton
MB = −5.74 Ton.m
Realizando la sumatoria de fuerzas en x resulta:
 Fx = 6 − 5.04 − R Ax
R Ax = 0.96 Ton
Haciendo cero la sumatoria de fuerzas en y resulta:
 Fy = −12 + 5.11+ R Ay
RAy = 6.89 Ton
Con sumatoria de momento en punto A se calcula el momento en ese punto:
 M A = 5.04( 4) − 5.10(6) − 5.74 − 6(2) + 12(3) − M A
MA = 7.82 Ton.m
Problema 2.6.
Calcular las reacciones usando el método del trabajo mínimo.
Solución:
1. -Determinación del grado de hiperestaticidad:
GH = NRF-NEE
GH = 4-3
GH = 1
64
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
La fuerza redundante seleccionada será RA.
Realizando sumatoria de momentos en el punto C.
 MC = (2 )(4 )(7 ) + 6(2 ) − R A (9 ) − R B (5 ) = 0
68 − R A 9 − R B 5 = 0
Por tanto RB queda en función de RA de la forma siguiente:
RB =
68 − R A 9
= 13 .6 − 1.8R A
5
2. -Determinación de las ecuaciones de los elementos mecánicos y su respectiva derivada con
respecto a la fuerza redundante.
Considerando solamente flexión:
Del Tramo 0  x 1  2
x2
Mx 1 = −R A x 1 + 2 1 = −R A x 1 + x 12
2
Del Tramo 0  x 2  2
Mx 2 = −R A (x 2 + 2 ) + 2
(x + 2) = −R (x + 2) + (x + 2)
2
2
2
2
Mx 2 = −R A x 2 − 2R A + x 2 + 4 x 2 + 4
A
2
2
2
Del Tramo 0  x 3  3
Mx 3 = −R A (x 3 + 4 ) + (2 )(4 )(x 3 + 2 ) − R B x 3
Mx 3 = −R A x 3 − 4R A + 8 x 3 + 16 − 13 .6 x 3 + 1.8R A x 3
Mx 3 = 0.8R A x 3 − 4R A − 5.6 x 3 + 16
Del Tramo 0  x 4  2
Mx 4 = −R A (X 4 + 7 ) + 8(x 4 + 5 ) − R B (x 4 + 3 ) + 6 x 4
Mx 4 = −R A x 4 − 7R A + 8 x 4 + 40 − 13 .6 x 4 + 1.8R A x 4 − 40 .8 + 5.4R A + 6 x 4
Mx 4 = 0.8R A x 4 − 1.6R A + 0.4 x 4 − 0.8
3. -Se deriva con respecto a la redundante RA
Mx 1
R A
= −x 1
M2
= −x 2 − 2
R A
65
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Mx 3
= 0.8x 3 − 4
R A
Mx 4
= 0.8x 4 − 1.6
R A
Desarrollando cada una de las integrales
Del Tramo 0  x 1  2
0 (− R A x 1 + x 1 )(− x 1 )
2
2
dx 1
dx
1 4
1  8

2
( R A − 2)
= 0 (R A x 12 − x 13 ) 1 =
R A − 4 =

2EI 2EI  3
2EI
 2EI 3
Del Tramo 0  x 2  2
0 − (− R A x 2 − 2R A + x 2 + 4x 2 + 4)(x 2 + 2)
2
2
dx 2
=
EI
0 − (− R A x 2 − 2R A x 2 + x 2 + 4 x 2 + 4 x 2 − 2R A x 2 − 4R A + 2x 2 + 8 x 2 + 8 )
2
2
3
2
2
0 − (− R A x 2 − 4R A x 2 − 4R A + x 2 + 6 x 2 + 12 x 2 + 8 )
2
2
3
2
dx 2
=
EI
dx 2
1 56
= ( R A − 60 )
EI
EI 3
Del Tramo 0  x 3  3
0 (0.8R A x 3 − 4R A − 5.6 x 3 + 16 )(0.8 x 3 − 4 )
3
dx 3
=
EI
0 (0.64R A x 3 − 3.2R A x 3 − 4.48 x 3 + 12 .8 x 3 − 3.2R A x 3 + 16R A + 22 .4 x 3 − 64 )
3
2
2
dx 3
=
EI
1
(5.76R A − 28.8R A + 48R A − 40.32 + 158.40 − 192) =
EI
1
( 24 .96R A − 73 .92 )
EI
Del Tramo 0  x 4  2
0 (0.8R A x 4 − 1.6R A + 0.4 x 4 − 0.8 )(0.8 x 4 − 1.6 )
2
dx 4
=
EI
 (0.64R A x 4 − 1.28R A x 4 + 0.32 x 4 − 0.64 x 4 − 1.28R A x 4 + 2.56R A − 0.64 x 4 + 1.28 )
2
0
66
2
2
dx 4
=
EI
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
1
(1.707 R A − 5.12R A + 5.12R A + 0.853 − 2.56 + 2.56 ) =
EI
1
(1.707 R A + 0.8533 )
EI
4. -Solución al sistema obtenido sumando todos los tramos
1
( 46 .666 R A − 135 .067 ) = 0
EI
135 .067
RA =
= 2.894 Ton.
46 .666
Utilizando la expresión obtenida al inicio de este problema, para la obtención de RB en función
de RA.
68 − 9R A
5
R B = 13 .6 − 1.8R A
R B = = 13.6-1.8(2.894)=8.39 Ton
RB =
Por sumatoria de fuerzas en y se calcula que Rc.
 Fy = 2.894 − 8 − 6 + 8.39 + R c
R C = 2.716 Ton
Los resultados quedan graficados en el siguiente diagrama:
67
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Problema 2.7
Calcular las reacciones usando el Método del Trabajo Mínimo.
Solución:
1. - Cálculo de los grados de hiperestaticidad
GH = NRF-NEE
GH = 4-3
GH = 1
Se selecciona a R D como fuerza redundante así que se aplica una sola vez la siguiente
expresión:
5
0 M
2
M2 ds
=0
R D EI
Se obtienen la sumatoria de momentos en el punto A y se calcula R C en función de RD.
 MA = −R D (8 ) − R C (4 ) + 2(3 )(1.5 ) = 0
− R D (8 ) − R c 4 + 9 = 0
R C = −2R D + 2.25 = 2.25 − 2R D
2. -Determinación de las ecuaciones de elementos mecánicos.
Tramo DC
Mx 1 = −R D x 1
Tramo CB
Mx 2 = −R D (4 + x 2 ) − R C x 2
68
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Mx 2 = −R D (4 + x 2 ) − (2.25 − 2R D )x 2
Mx 2 = −R D (4 − x 2 ) − 2.25 x 2
Tramo BA
2x 32
2
Mx 3 = −8R D − 4(2.25 − 2R D ) + x 32
Mx 3 = −8R D − 9 + 8R D + x 32
Mx 3 = x 32 − 9
Mx 3 = −8R D − 4R C +
3. - Se deriva la energía potencial con respecto a RD.
Mx 1
= −x 1
R D
Mx 2
= −(4 − x 2 ) = (− 4 + x 2 )
R D
Mx 3
=0
R D
Se sustituyen valores y se integra la ecuación resultante.
0 (− R D x 1 )(− x 1 )
4
3
dx
dx 1 4
dx
+ 0 (− R D (4 − x 2 ) − 2.25 x 2 )(− 4 + x 2 ) 2 +  (x 32 − 9 )(0) 3 =
EI
EI 0
EI
4
dx
 x3 
4
R D  1  + 0 (− 4R D + R D x 2 − 2.25 x 2 )(− 4 + x 2 ) 2 =
EI
 3 0
21 .333 R D + 0 (16R D − 4R D x 2 + 9 x 2 − 4R D x 2 + R D x 22 − 2.25 x 22 )
4
dx 2
=
EI
21 .333 R D + 64R D − 32R D + 72 − 32R D + 21 .333 R D − 48 = 0
42 .666 R D + 24 = 0
4. - Se resuelve la ecuación resultante.
RD = −0.56 Ton
Sustituyendo en la ecuación de RC en función de RD
R C = 2.25 − 2(− 0.5625) = 3.37 Ton.
Para calcular RAx se realiza la sumatoria de fuerzas en x
 Fx = 6 − R Ax
R Ax = 6 Ton
69
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Para él calculo de RAy es necesario hacer sumatoria de momentos en el punto D.
 MD = −6(3) + 6(1.5) − 3.37(4) + R Ay (8)
RAy = -2.81 ton
Los resultados se muestran en el siguiente esquema:
2.5 MÉTODO DE LA CARGA VIRTUAL UNITARIA
El método de la carga virtual unitaria es una generalización del teorema de Castigliano y es uno
de los métodos más poderosos para calcular desplazamientos lineales y angulares en cualquier
punto y dirección de la estructura, ya sea isostática o hiperestática. El método es básico para
desarrollar el método de las flexibilidades.
La ecuación para calcular los elementos geométricos considerando los cuatro efectos de
los elementos mecánicos se expresa en las ecuaciones 2.11 y 2.12.
d = 0 Nx nx
ds
ds
ds
ds
ds
ds
s
s
s
s
s
+ k 0 Vy v y
+k 0 Vz vz
+ 0 Mx mx
+ 0 My my
+ 0 Mz mz
EA
EA
GA
G Jm
E Iy
E Iz
(2.11)
 = 0 Nx nx
ds
ds
ds
ds
ds
ds
s
s
s
s
s
+ k 0 V y v y
+k 0 Vz vz
+ 0 Mx mx
+ 0 My my
+ 0 Mz mz
EA
EA
GA
G Jm
E Iy
E Iz
(2.12)
s
s
donde :
x
y
z
x
y
z
NV VMMM
x
y
z
x
y
z
n v v mmm
d

70
elementos mecánicos debido a las cargas reales
elementos mecánicos debido a una fuerza unitaria para la ecuación 2.8. y
a un momento unitario para la ecuación 2.9.
desplazamiento en el punto y dirección solicitado
desplazamiento angular o giro en el punto solicitado
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
2.5.1 Procedimiento para la aplicación del método de la carga virtual unitaria
1.
Se determina el grado de hiperestaticidad de la estructura. Si la estructura es isostática
se aplica directamente la ecuación 2.8 ó 2.9; en caso contrario se deberá aplicar un
método para obtener las fuerzas redundantes, éste podría ser el método del trabajo
mínimo.
2.
Se obtienen las ecuaciones de los elementos mecánicos (fuerza axial, fuerza cortante,
momento flexionante y momento torsionante) en las diferentes secciones, donde se
puedan establecer las funciones de continuidad, para las cargas reales.
3.
Se obtienen las ecuaciones de los elementos mecánicos en las mismas secciones que
se hayan tomado en el paso anterior, para las cargas unitarias.
4.
Una vez obtenidas las ecuaciones de los pasos 2 y 3 se substituyen éstas, en las
ecuaciones (2.8) o (2.9) y se realiza la integración correspondiente.
Al aplicar el método es importante conocer y definir los efectos que tengan influencia en
el cálculo de los desplazamientos, por ejemplo, en vigas consideradas en el plano, el efecto
importante es la flexión despreciando la participación de las fuerzas axiales y momentos
torsionantes; y en algunos casos hasta el efecto de cortante, en cambio para marcos puede no
ser cierto lo anterior.
Problema 2.8
Calcular el desplazamiento horizontal en el punto dB utilizando el método de la carga virtual
unitaria.
Solución:
1. -Determinación de los grados de hiperestaticidad
GH = NRF-NEE
GH =6-3
GH =3
Seleccionando redundantes RCy , MC y R Cx pero R Cx = R Ax = 0
Entonces RCy y MC se calculan por el principio del trabajo mínimo.
71
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
u
u
=
=0
R Cy MC
Al considerar solo flexión la ecuación para calcular los elementos mecánicos considerando los
cuatro efectos de los elementos mecánicos se reduce a:
L
0 M
Z
MZ ds
=0
R i EI xx
2. -Se obtienen las ecuaciones de los momentos flexionantes para cada tramo.
Del Tramo 0  x 1  2
Mx1 = MC − RCy x1
Del Tramo 2  x 2  4
Mx 2 = MC − RCy x 2 + 4(x 2 − 2)
Del Tramo 4  x 3  8
Mx 3 = MC − R Cy x 3 + 4(x 3 − 2) +
2x 32
2
3. -Se deriva parcialmente cada una de las anteriores ecuaciones con respecto a las
redundantes RCy y MC :
Con respecto a RCy :

(MC − R Cy x 1 ) = − x 1
R Cy

(MC − R Cy x 2 + 4(x 2 − 2)) = − x 2
R Cy
2x 2

(MC − R Cy x 3 + 4(x 3 − 2 ) + 3 ) = − x 3
R Cy
2
Con respecto a MC :

(MC − R Cy x 1 ) = 1
Mc

(MC − R Cy x 2 + 4(x 2 − 2)) = 1
Mc
72
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
2x 3

(M C − R Cy x 3 + 4(x 3 − 2) +
)=1
M c
2
2
4. -Sustituyendo valores para realizar la integración correspondiente con respecto a RCy .
1 2
1 4
1 8
2
0 (MC − R Cy x 1 )(− x 1 )dx 1 + 2 (MC − R Cy x 2 + 4 x 2 − 8 )(− x 2 )dx 2 +
4 (MC − R Cy x 3 + 4 x 3 − 8 + x 3 )(− x 3 )dx 3 =
EI
EI
3EI
(
)
(
)
1 2
1 4
RCy x12 − M C x1 dx1 +
RCy x 22 − M C x 2 − 4 x 22 + 8 x 2 dx2 +

EI 0
EI 2
1 8
RCy x32 − M C x3 − 4 x32 + 8 x3 − x33 dx3 =

4
3EI
(
)
1
1
( 2.67R Cy − 2MC + 18 .67R Cy − 6MC − 74 .67 + 48 ) +
(149 .33R Cy − 24MC − 597 .33 + 192 − 960 ) =
EI
3EI
1
(71.11RCy − 16M C − 481.78)
EI
Sustituyendo valores para realizar la integración correspondiente con respecto a MC
1 2
1 4
1 8
2
0 (M C − R Cy x 1 )(1)dx 1 + 2 (MC − R Cy x 2 + 4 x 2 − 8 )(1)dx 2 +
4 (MC − R Cy x 3 + 4 x 3 − 8 + x 3 )(1)dx 3 =
EI
EI
3EI
1
1
(2MC − 2R Cy + 2MC − 6R Cy + 24 − 16 ) +
( 4MC − 24R Cy + 96 − 32 + 149 .33 ) =
EI
3EI
1
(5.33MC − 16R Cy + 79 .11)
EI
5. -Resolviendo simultáneamente las ecuaciones.
R Cy  71 .11 − 16  481 .78 
  
=

 MC   − 16 5.33  − 79 .11
R Cy = 10.60 Ton
MC = 16.93 Ton.m
6. -Cálculo de las reacciones sobrantes
Para el cálculo de RAy es necesario realizar la sumatoria de fuerzas en y
 Fy = −8 − 4 + 10.6 + R Ay
R Ay = 1.4ton
El MA se obtiene con la sumatoria de momentos en el punto A de la forma siguiente:
 M A = −16 − 24 − 16 .93 + 10 .60(8) − M A
M A = 27 .87 ton.m
73
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
7. -Ahora se considera la siguiente estructura para el cálculo de dBv
Se procede a calcular RCy y MC, pero ahora en función de la carga unitaria.
8. -Se obtienen las ecuaciones de los momentos flexionantes para cada tramo.
Del Tramo 0  x 1  4
Mx1 = MC − RCy x1
Del Tramo 4  x 2  8
Mx 2 = MC − R Cy x 2 + 1(x 2 − 4)
9. -Se deriva parcialmente con respecto a las redundantes RCy y MC .
Con respecto a RCy :

(MC − R Cy x 1 ) = − x 1
R Cy

(MC − R Cy x 2 + 1(x 2 − 4 )) = − x 2
R Cy
Con respecto a MC :

(MC − R Cy x 1 ) = 1
Mc

(MC − R Cy x 2 + 1(x 2 − 4 )) = 1
Mc
10. -Sustituyendo valores para realizar la integración correspondiente con respecto a RCy .
1 4
1 8
0 (MC − R Cy x 1 )(− x 1 )dx 1 +
4 (MC − R Cy x 2 + x 2 − 4 )(− x 2 )dx =
EI
3EI
2
(
)
1
1 4
2
2
2
 R Cy x 1 − MC x 1 dx 1 + 2 (R Cy x 2 − MC x 2 − x 2 + 4 x 2 )dx 2 =
EI
EI
74
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
1
(21 .33R Cy − 8MC + 21 .33MC + 2.667 MC + 56 .88R Cy − 7.11R Cy − 56 .88 + 7.11 + 42 .67 − 10 .67 =
EI
1
( 28 .44R Cy − 16M C + 96 )
EI
Sustituyendo valores para realizar la integración correspondiente con respecto a MC.
1 4
1 8
0 (MC − R Cy x 1 )(1)dx 1 +
4 (MC − R Cy x 2 + x 2 − 4 )(1) =
EI
3EI
1
( 4MC − 8R Cy + 2.67MC − 1.33MC − 10 .67R Cy + 2.67R Cy + 10 .67 − 2.67 − 10 .67 + 5.33 ) =
EI
1
(5.33M C − 16R Cy + 2.67 )
EI
11. -Resolviendo simultáneamente las ecuaciones.
R Cy  28 .44 − 16   − 96 
  
=

 MC   − 16 5.33  − 2.67 
R Cy = 5.30
MC = 15 .43
12. -Se calculan los elementos mecánicos para la viga con cargas reales y para la viga con
cargas unitarias
Para la viga con cargas reales
Del Tramo 0  x 1  2
Mx 1 = 16 .93 − 10 .6 x 1
Del Tramo 2  x 2  4
Mx 2 = 16 .93 − 10 .6 x 2 + 4(x 2 − 2 )
75
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Del Tramo 4  x 3  8
(x − 4 ) 2
2
Mx 1 = 16 .93 − 10 .6 x 3 + 4( x 3 − 2) +
3
2
Para la viga con carga unitaria
Del Tramo 0  x 1  2
mx 1 = 15 .43 − 5.3 x 1
Del Tramo 2  x 2  4
mx 2 = 15 .43 − 5.3 x 2
Del Tramo 4  x 3  8
Mx 1 = 15 .43 − 5.3 x 3 + 1( x 3 − 4)
13. -Sustituyendo valores en la ecuación para el cálculo de dBv y desarrollando la integral.
1 2
1 4
0 (16 .93 − 10 .6 x 1 )(15 .43 − 5.3 x 1 )dx 1 + 2 (16 .93 − 10 .6 x 2 + 4( x 2 − 2))(15 .43 − 5.3 x 2 )dx
EI
EI
2
2
(x 3 − 4) 2 (15 .43 − 5.3x + 1( x − 4))dx =
1 8
+
4 16 .93 − 10 .6 x 3 + 4( x 3 − 2) +
3
3
3

3EI 
2

dBv =
Desarrollando la integral se obtiene el desplazamiento
dBv =
76
704 .53
EI
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Problema 2.9
Cálculo del desplazamiento horizontal en dHD usando el método de la carga virtual unitaria.
Solución:
1. -Se determina el grado de hiperestaticidad:
GH = NRF-NEE
GH = 3-3
GH = 0
Al ser la estructura isostática, se calcula R yD realizando sumatoria de momentos en A.
 MA = 0
8(3) − R yD (5) = 0
R yD =
24
= 4.8ton.
5
2. -Cálculo de los momentos flexionantes de la carga real, de la carga unitaria, cortante de la
carga real y cortante de la carga unitaria.
Considerando flexión y cortante, la ecuación para calcular los elementos geométricos se reduce
a la siguiente expresión:
dMD = 0 M z m z
5
ds
ds
5
+ K 0 V y  y
EI
GA
Del Tramo DC
Mx 1 = 0
Vx 1 = 0
mx 1 = − x 1
vx 1 = −1
Del Tramo CB
77
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Mx 2 = −4.8 x 2
mx 2 = −3
Vx 2 = −4.8
vx 2 = 0
Del Tramo BA
Mx 3 = −24 + 8 x 3
mx 3 = −3 + x 3
Vx 3 = −8
vx 3 = −1
4. -Sustituyendo las ecuaciones obtenidas en la ecuación reducida para flexión y cortante, se
obtiene dHD.
Realizando las integraciones correspondientes, primero para momento flexionante y después
para cortante
dx
dx 1 5
dx
3
+ 0 (− 4.8 x 2 )(− 3 ) 2 + 0 (− 24 + 8 x 3 )(− 3 + x 3 ) 3
EI
EI
EI
14 .4 5
72 3
24 3
24 3
8 3 2
dHD =
0 x 2 dx 2 +
0 dx 3 −
0 x 3 dx 3 −
0 x 3 dx 3 + 0 x 3 dx 3
EI
EI
EI
EI
EI
180 216 108 108 72 252
dHD =
+
−
−
+
=
EI
EI
EI
EI
EI
EI
dx
dx
dx
3
5
3
dHD = K 0 (0 )(− 1) 1 + K 0 (− 4.8 )(0 ) 2 + K 0 (− 8 )(− 1) 3
GA
GA
GA
8K 3
24K
dHD =
0 dx =
GA
GA
dHD = 0 (0 )(− x 1 )
3
El desplazamiento horizontal en el punto D queda expresado de la siguiente forma:
dHD =
78
252 24K
+
EI
GA
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Problema 2.10
Analizar la siguiente estructura por el método de la carga virtual unitaria determinando los
siguientes desplazamientos: dHE, dHD, dHC, dHB, dVE, dVD y dVC. Considere EA constante para
todas las barras.
Solución:
1. -Se determina los grados de hiperestaticidad.
GH = GHE + GHi
GHE = NRF-NDR
GHE = 3-3=0
GHi = -2n+b+3
GH i = −2(5 ) + 7 + 3 = 0
GH = 0
Usando el método de la Carga Virtual Unitaria.
n
d =  Nix n ix
i =1
Li
(EA )i
2. -Cálculo de las cargas reales N1x (Carga real)
Cálculo de reacciones
 MA = 0
− 8(7) − 10(4) + RBy (4) = 0
RBy = 24
R Ay = 24
R Ax = 18
79
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Nodo E
 Fx = 0
− 8 + 0.55N6 = 0
N6 = 14.42
 Fy = 0
− N7 + 12 = 0
N
7 = 12
Nodo D
 Fx = 0
N5 − 10 = 0
N5 = 10
 Fy = 0
N2 − 12 = 0
N2 = 12
Nodo A
 Fy = 0
+ 24 − 0.89N4 = 0
N4 = 26 .83
 Fx = 0
18 − 12 − N1 = 0
N1= 6
Nodo B
 Fy = 0
− 24 + 12 + 0.89N3 = 0
N3 = 13 .41
80
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Cálculo n1x (carga virtual)
Cálculo de reacciones.
 MA = 0
− 7 + 4rBy = 0
rBy = 1.75
rAy = 1.75
rAx = 1
Nodo E
 Fx = 0
− 1 + 0.55n 6 = 0
n 6 = 1 .8
 Fy = 0
1.51 − n 7 = 0
n 7 = 1 .5
Nodo D
 Fy = 0
− n 2 + 1 .5 = 0
n 2 = 1 .5
n5 = 0
Nodo A
 Fy = 0
− 0.89n 4 + 1.75 = 0
n 4 = 1.956
 Fx = 0
1 − 0.87 − n1 = 0
81
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
n1 = 0.125
Nodo B
 Fy = 0
− 1.75 + 1.5 + 0.89n 3 = 0
n 3 = 0.279
Cálculo n 2x
Cálculo de las reacciones.
 MA = 0
− 4 + rBy (4)
rBy = 1
rAy = 1
rAx = 1
Nodo A
 Fy = 0
− 0.89n 4 + 1 = 0
n 4 = 1.118
 Fx = 0
1 − 0.5 − n1 = 0
n 1 = 0 .5
Nodo B
 Fx = 0
0.5 − 0.447 n 3 = 0
n 3 = 1.118
n2 = 0
82
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Nodo D
 Fx = 0
n5 − 1 = 0
n5 = 1 , n 7 = 0 , n 6 = 0
Cálculo n 3x
Cálculo de las reacciones
rAy = 1
rBy = 1
rAx = 1
Nodo A
 Fy = 0
− 0.89n 4 + 1 = 0
n 4 = 1.118
n 1 = 0 .5
n 3 = 1.118
n2 = 0
n5 = 0
n6 = 0
n7 = 0
Cálculo n 4x
rAy = 0
rBy = 0
rAx = 0
n1 = 1(T )
n2 = 0
n3 = 0
n4 = 0
n5 = 0
n6 = 0
83
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
n7 = 0
x
Cálculo n 5
rBy = 1
rAy = 0
rAx = 0
n 7 = 1(C )
n 2 = 1(C )
n3 = 0
n4 = 0
n5 = 0
n6 = 0
n1 = 0
Cálculo n 6x
rBy = 1
rAy = 0
rAx = 0
n7 = 0
n 2 = 1(C )
n3 = 0
n4 = 0
n5 = 0
n6 = 0
n1 = 0
Cálculo n 7x
rAy = 0.5
rBy = 0.5
rAx = 0
84
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Nodo A
 Fy = 0
− 0.89n 4 + 0.5 = 0
n 4 = 0.559
 Fx = 0
n1 − 0.25 = 0
n1 = 0.25
Nodo B
 Fx = 0
− 0.25 + 0.447 n 3 = 0
n 3 = 0.559
n2 = 0
n
4. -Se substituyen las ecuaciones anteriores en la ecuación d =  Nix n ix
i =1
Li
y se realizan los
(EA )i
cálculos correspondientes.
Barra
L
1
4
2
4
3
4.47
4
4.47
5
2
6
3.60
7
3
1
EA
1
EA
1
EA
2
EA
1
EA
1
EA
1
EA
1
EA
Ni
n1
n2
n3
n4
dHE
dHD
dHC
6
0.125
0.5
0.5
-1
3
12
12
-12
-1.5
0
0
0
72
-13.41 -0.279 -1.118 -1.118
0
33.45
26.83
1.956
1.118
1.18
0
234.58
10
0
1
0
0
0
14.42
1.8
0
0
0
94.34
12
1.5
0
0
0
54
 T=
EA
EA
− 24
EA
0
0
134
134
0
134
EA
EA
EA
134
0
EA
0
0
0
0
0
0
0
0
300/EA
280/EA
-24/EA
20
EA
EA
490.52/EA
EA
0
EA
EA
EA
dHB
EA
Desplazamientos horizontales en:
d HE = 490.52
EA
,
d HD = 300
EA
,
d HC = 280
EA
,
d HB = − 24
EA
85
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
Barra
L
1
4
2
4
3
4.47
4
4.47
5
2
6
3.60
7
3
1
EA
1
EA
1
EA
2
EA
1
EA
1
EA
1
EA
1
EA
Ni
n5
n6
n7
dVE
dVD
dVC
6
0
0
-0.25
0
0
−6
-12
1
1
0
− 48
− 48
0
-13.41
0
0
0.559
0
0
− 67.02
26.83
0
0
0.559
0
0
67.02
10
0
0
0
0
0
0
14.42
0
0
0
0
0
0
-12
1
0
0
− 36
0
0
 T=
− 84
− 48
−6
,
d VC = − 6
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
Desplazamientos verticales en
d VE = − 84
EA
,
d VD = − 48
EA
EA
Problema 2.11
Encontrar los desplazamientos lineales y el giro en el extremo libre de la siguiente estructura
Solución:
1. -Cálculo de los grados de hiperestaticidad.
GH = NRF-NEE
GH = 3-3
GH = 0
Como la estructura es isostática se calculan directamente las reacciones:
 Fx = 0
 Fx =P − R AH
R AH = P
 MC = 0
86
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
 MC =PR − M A = 0
M A = PR
Aplicando el método de la carga virtual unitaria:
d = 0 M z n z
s
ds
y ds = Rd
EI
2. -Obtención de los elementos mecánicos para la carga real
Tramo CB
M=0
Tramo BA
M = +P(R − R cos  ) = PR(1 − cos  )
3. -Obtención de los elementos mecánicos para las cargas virtuales, considere a las cargas
unitarias aplicándolas una por una en el nodo C.
Carga virtual unitaria horizontal:
m = 1(R cos  )
Carga virtual unitaria vertical:
m = 1(R + Rsen  ) = R(1 + sen )
Momento virtual unitario
m =1
4. - Se sustituyen valores en la ecuación correspondiente y se realiza la integración
correspondiente
Cálculo del desplazamiento horizontal:

d CH = 0 2 Mm
d
EI
1 2
0 PR (1 − cos  )R cos Rd =
EI
1 
1 
d CH = − 0 2 PR 3 cos d + 0 2 PR 3 cos d =
EI
EI
d CH = −


1
1
 1
 2
d CH = − PR 3 sen  0 2 + PR 3  + sen2  =
EI
EI
2 4
0
dCH = −
PR 3 PR 3  

+
+ 0

EI
EI  4

87
CAPÍTULO 2 MÉTODOS ENERGÉTICOS
dCH =
PR 3   
−1
EI  4 
Cálculo del desplazamiento vertical:
d CV = 0 2 PR (1 − cos  )R(1 + sen  )

Rd
=
EI
PR 3  2
0 (1 − cos  + sen  − cos sen  )d =
EI



PR 3  2
d CV =
0 d − 0 2 cos d + 0 2 sen d − 0 2 sen  cos d =
EI



PR 3   2
2
d CV =

−
sen

− cos  0 2 − 0 2 send(sen ) =
0
0

EI 

d CV =




PR 3  
sen 2 
d CV =
− 1+ 1−
EI  2
2  0

PR 2   1 
d CV =
 − =
EI  2 2 
 2
d CV =
PR 3
( − 1)
2EI
Cálculo del giro:
 C = = 0 PR (1cos  )1
 2

(
Rd
=
EI


PR 2  2
0 d − 0 2 cos d =
EI


PR 2
C =
 0 2 − sen  0 2 =
EI
PR 2   
=
 − 1
EI  2 
C =
88
)

=


CAPÍTULO 3
MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
El planteamiento del método de las flexibilidades o fuerzas básicamente consiste en el
procedimiento establecido por el método de la superposición que se estudia inicialmente para
estructuras con bajos grados de hiperestaticidad, en este procedimiento se denominan fuerzas
redundantes a las reacciones o fuerzas que se obtienen con las ecuaciones de equilibrio y
continuidad. Por lo anterior se puede decir que éste método se emplea fundamentalmente para
analizar estructuras hiperestáticas.
En el principio de los años setentas del siglo XX, cuando se iniciaba la elaboración de
programas de computadora de análisis estructural en México, se programaron métodos como el
de distribución de momentos y dentro de los métodos matriciales se programó el método de las
flexibilidades para análisis de sistemas de tuberías que se emplean en plantas industriales
resultaba apropiado, debido a la topología que tienen estas estructuras en forma de árbol, sin
embargo para estructuras esqueléticas como las que se emplean en edificios, no resultaba
conveniente.
Para la aplicación de este método es necesario determinar el grado de hiperestaticidad
de la estructura, ya que de eso depende el tamaño del sistema algebraico de ecuaciones o bien
el orden de la matriz de flexibilidades. La matriz de flexibilidades esta formada por coeficientes
que se denominan de flexibilidad, y se entiende como flexibilidad a los desplazamientos
generalizados, desplazamientos lineales y angulares, generados por elementos mecánicos,
fuerzas y momentos unitarios. Esta matriz, tiene la característica de ser invariante, desde luego
esto es cierto cuando se consideran materiales elásticos lineales.
En diferentes textos, existen enfoques en el planteamiento del método, en algunos casos
encaminados para su programación; sin embargo, el objetivo de este trabajo, es iniciarse en el
conocimiento del método, por tal razón en los ejemplos se seguirá un procedimiento que
posteriormente se expondrá.
3.1 ECUACIÓN DEL MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
La ecuación del método de las flexibilidades, resulta de usar las ecuaciones de continuidad, de
equilibrio y las ecuaciones de la ley generalizada de Hooke y se expresa por la ecuación (3.1.)
 d10   f 11
  
d20  f 21
d30  + f 31
  
   
dn 0   f n1
f 12
f 22
f 32

f n2
f 13  f 1n  P1  0
    
f 23  f 2n  P2  0
f 33  f 3 n  P3  = 0
    

      
f n 3  f nn  Pn  0
(3.1)
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
En forma sintetizada:
d + f P = 0
El vector de desplazamientos [d] se forma con los desplazamientos lineales y angulares
generados en la estructura primaria, que es una estructura isostática, ésta se obtiene al eliminar
las fuerzas redundantes. Dichos desplazamientos corresponden a los puntos y direcciones
donde se encontraban las fuerzas redundantes y se obtienen aplicando el método de la carga
virtual unitaria. Es importante observar que estos desplazamientos son provocados por las
cargas reales, que actúan en la estructura.
La matriz de flexibilidades se forma con los desplazamientos lineales y angulares en los
puntos y direcciones donde actúan las redundantes generadas por fuerzas unitarias. Estos
coeficientes de flexibilidad se determinan usando el método de la carga virtual unitaria. Al
calcular los coeficientes, la estructura no tendrá las cargas reales originales, sino que actúan las
fuerzas redundantes con valor unitario debido a que los materiales estudiados son elásticos
lineales; la matriz de flexibilidades es simétrica, esto se demuestra por el teorema de la
reciprocidad o de Betty.
El vector de fuerza generalizadas [P], es el vector de fuerzas redundantes y por
consiguiente son las incógnitas del problema.
Seleccionar la estructura o estructuras primarias es una parte importante del método que
depende de la habilidad del analista para seleccionar las indicadas, ya que en un problema se
pueden tener muchas estructuras primarias, siempre y cuando estas estructuras sean
isostáticas y además estables. En problemas con alto grado de hiperestaticidad, tiene
importancia lo establecido anteriormente.
3.1.1 Procedimiento para analizar estructuras por el método de las flexibilidades
1.
Determinación de los grados de libertad. Seleccionando las fuerzas redundantes Los
grados de libertad son los desplazamientos de las conexiones o nodos referidos al
sistema x, y. Seleccionando además las fuerzas redundantes.
2.
Cálculo del vector de desplazamientos en la estructura primaria usando la expresión de
la carga virtual unitaria, ecuaciones (2.11) y (2.12).
3.
Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades que se obtienen usando el
método de la carga virtual unitaria, ecuaciones (2.11) y (2.12).
4.
Solución del sistema de ecuaciones. Al resolver el sistema de ecuaciones se obtienen
las fuerzas redundantes, a partir de estas, se pueden calcular las fuerzas axiales en
todas las barras usando las ecuaciones de equilibrio. Si se quieren conocer los
desplazamientos en cualquier nodo, es posible hacerlo, usando nuevamente el método
de la carga virtual unitaria.
90
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
3.2 ESTRUCTURAS ARTICULADAS. ARMADURAS PLANAS
Es conocido que este tipo de estructuras está formado por un conjunto de barras donde se
presentan exclusivamente fuerzas internas axiales de compresión o de tensión, dichas barras
están conectadas por articulaciones que pueden ser apoyadas en forma fija o móvil.
Problema 3.1
Analizar la siguiente armadura por el método de flexibilidades, con los datos que se indican en
la figura siguiente:
Solución:
1. -Se obtienen los grados de hiperestaticidad
GH = GHI+GHE
GHI = -2n+b+3
GHI = -2(4)+6+3 = 1
GHE = NRF - NEE
GHE = 4-3 =1
GH = 1+1=2
Existen dos fuerzas redundantes, la fuerza axial de una barra y una reacción externa,
para este caso se opta por tomar N 6 y RCy como fuerzas redundantes.
Ecuación fuerza desplazamiento;
d10   f11
 +
d 20  f 21
f12 

f 22 
 N 6  0

= 
R Cy  0
Estructura para calcular las fuerzas axiales N 0xi
91
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
 L 
 L 
 + P
 = 0
 M A = −R By 
 2
 2
− R By =
− PL
2
2
L
RBy = P
 Fy = R Ay + RBy − P = 0
R Ay + P − P = 0
R Ay = 0
 Fx = −R Ax + D = 0
R Ax = 0
Nodo D
 1 
 1 
 + N4 
 = 0
 Fx = −N3 
 2
 2
 1 
 1 
 = N4 

N3 
N3 = N 4
 2
 2
 1 
 1 
 + N 4 
 = 0
 Fy = −P + N3 
 2
 2
1
1
− P + N3
+ N3
=0
2
2
−P +
2N3
N3 =
P
N4 =
2
2 2N3
=0
2
=P
Tensión
2
P
Tensión
2
Nodo A
 1 
 1 
 − N3 
 = 0
 Fy = N1 
 2
 2
p
N1 =
N1 = N3
Tensión
2
1
1
+ N3
+ N5 = 0
 Fx = −R Ax + N1
2
2
2N3
2
N5 = −
Por observación
92
P
2
= −N5 =
( 2)
2 2N3
2
N5 = −P
= N3 2
Compresión
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
N2 =
P
Tensión
2
Estructura para calcular las fuerzas axiales n1xi
Nodo D
 1 
 1 
 + n 4 
 = 0
 Fx = −n 3 
 2
 2
 1 
 1 
 + n 4 
 = 0
 Fy = 1 + n 3 
 2
 2
1+
2n 3
n3 =
2 2
=0
2
−1
n4 = −
2
n3 = n 4
= −1
Compresión
2
1
Compresión
2
Nodo A
 Fy = n1
1
− n3
2
n1 = n 3
n1 =
−1
2
1
2
=0
n1
1
2
= n3
1
2
Compresión
 1 
 1 
 + n 5 + n 3 
 = 0
 Fx = n1 
 2
 2
 − 1  1 
 − 1  1 


 + n 5 + 

 = 0
 2  2 
 2  2 
−1 1
− = −n 5
2
2
n5 = 1
Tensión
Por observación
93
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
n2 = −
1
Compresión.
2
Estructura para calcular las fuerzas axiales n 2x i
Por observación
n5 = 0
Nodo C
 1 
 1 
 − n 4 
 = 0
 Fx = −n 2 
 2
 2
n 2 = −n 4
 1 
 1 
 − n 4 
 − 1 = 0
 Fy = n 2 
 2
 2
− 2n 4
=1
2
− 2 2n 4
n4 =
n2 =
2
−1
=1
Compresión
2
1
Tensión
2
Nodo D
 1 
 1 
 − n 3 
 = 0
 Fx = n 4 
 2
 2
n4
2
= n3
1
2
94
n3 = n 4
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
n3 =
−1
Compresión
2
Por observación:
n1 =
1
Tensión
2
2. -Cálculo del vector de desplazamientos.
Li
1
(EA )i
6
Li
d 20 =  N0i n 2i
1
(EA )i
6
d10 =  N0 i n1i
3. - Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades
6
f11 =  N0i n1i n1i
1
6
Li
(EA )i
f12 = f 21 =  N0 i n 2i n1i
1
6
f 22 =  N0 i n 2i n 2i
1
Li
(EA )i
Li
(EA )i
Para calcular los vectores de desplazamientos y los coeficientes de matriz de
flexibilidades se aprovecha los análisis anteriormente hechas, usando la siguiente tabla:
BARRA
Li
(EA)i
1
L
EA
2
L
EA
3
L
EA
4
L
EA
N ix
N0 i
n1i
n 2i
d10
d20
f11
f12
f22
P
−1
1
2
2
2
− PL
2EA
PL
2EA
L
2EA
−L
2EA
L
2EA
P
−1
1
2
2
2
− PL
2EA
PL
2EA
L
2EA
−L
2EA
L
2EA
P
−1
−1
2
2
2
− PL
2EA
− PL
2EA
L
2EA
L
2EA
L
2EA
P
−1
−1
2
2
− PL
2EA
− PL
2EA
L
2EA
L
2EA
L
2EA
0
0
−P
2 2+2
0
0
0
0
2L
EA
2
− PL
5
2L 2EA
−P
1
0
6
2L 2EA
0
1
0
0
=
PL − 2 2 − 1
0
2EA
(
EA 2
L
2EA
L
0
)
0
(
2EA
L 2+ 2
EA
)
P
2 2+4
P
2 2+4
P
2 2+4
P
2 2+4
Los valores de las fuerzas axiales se calculan a por la siguiente expresión:
Nix = N0x + n1N6 + n2RCy
95
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Sustituyendo en la ecuación fuerza-desplazamiento.
(
)
(
 PL − 2 2 − 1 
1 
 + 1 L 2 + 2
2
 EA 
EA 
0

0


) 0   N  = 0
6
2L  R Cy 
0
4. - Solución del sistema de ecuaciones
R Cy = 0
 2 2 +1
P
N6 = 
2 2 + 2


Tensión
5. -Cálculo de las reacciones. Las reacciones siguen siendo las calculadas en estado N0x i , es
decir:
RCy = 0 , R Ax = 0 , R Ay = 0 RBy = P y N6 = 0
6. - Revisión del equilibrio
Nodo A
 1 
 1 
 − N3 
 = 0
 Fy = R Ay + N1 
 2
 2

 1  
 1 
P
P


 − 

 = 0
 2 2 + 4  2   2 2 + 4  2 
Comprobado
 1 
 1 
 + N5 + N3 
 = 0
 Fx = −R Ax + N1 
 2
 2

 1   − P  
 1
P
P


 + 
 + 

=0
 2 2 + 4  2   2 2 + 2   2 2 + 4  2
2P
2(2) + 4 2
2P
2(2 + 2 2 )
96
−
−
P
2 2+2
P
2 2+2
=
=0
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Problema 3.2
Analizar la siguiente estructura por el método de las flexibilidades con los datos que se indican
en la figura siguiente:
Solución:
1. - Determinación de los grados de hiperestaticidad
GH = GH E + GH I
GH E = 4 − 3 = 1
GH I = −2n + b + 3
GH I = −2(7 ) + 13 + 3
GH I = −14 + 16 = 2
GH = 2 + 1 = 3
Existen tres fuerzas redundantes, las fuerzas axiales de dos barras y una reacción
externa, para este caso se opta por tomar R Fx y N 9 y N 4 como fuerzas redundantes.
Ecuación fuerza desplazamiento.
d10   f11
  
d20  + f 21
d30  f31
f12
f 22
f32
f13  R fx  0
    
f 23   N9  = 0
f33   N4  0
Estructura para calcular las fuerzas axiales N0x i
97
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
 MA = 8(7) + 6(7) + 5(4) − 4(RFy )
RFy = 29.50 Ton
 Fy = R Ay − 4 − 5 + 29.5 − 8 = 0
R Ay = −12.5 Ton
 Fx = R + 6 = 0
Ax
R Ax = −6 Ton
Nodo C
 Fx = 0 = N10
 Fy = −4 + N8
N8 = 4 Ton
tensión
Nodo F
 Fy = N5 + 29 .5
N5 = −29 .5 Ton
 Fx = N2 = 0
compresión
Nodo A
 Fy = N1 − 12 .50 + N3
4
5.65
4
 Fx = −6 + 0 + N 5.65
3
N1 = 6.5 Ton
98
tensión
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
N 3 = 8.48 Ton
tensión
Nodo B
3
 Fy = −4 − 6.5 + N 5 = 0
7
N 7 = 17.5 Ton
 Fx = N6 + N7
tensión
4
5
N 6 = −14.00 Ton
compresión
Nodo G
3
=0
4.24
N12 = −11 .310
 Fy = −8 − N12
compresión
3
 Fx = − N − N 4.24 + 6
13
12
N13 = −2.00 Ton
compresión
Nodo D
3
 Fy = −5 + N − 17.5 5 
11
N11 = 15.5 Ton
compresión
Nodo E
 4 
 3 
 Fy = − N − 11.3 5.65  + 29.50 − 8.48 4.24 
11
N11 = 15.50 Ton
compresión
99
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Estructura para calcular las fuerzas axiales n1xi
 MA = 4rFy = 0
rFy = 0
 Fy = 0 = r + 0 = 0
Ay
rAy = 0
 Fx = rAx − 1
rAx = 1
Nodo C
 Fx = n10 = 0
 Fy = n 8 = 0
Nodo F
 Fx = n 2 − 1 = 0
n2 = 1
 Fy = −n 5 + 0 = 0
n5 = 0
Nodo A
 Fx = 1 − 1 + n 3
n3 = 0
100
4
=0
5.65
compresión
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
 Fy = −n1 + 0 + 0
n1 = 0
Nodo B
 Fy = 0 + 0 + n 7
3
=0
5
n7 = 0
 Fx = n 6 + n 7
4
=0
5
n6 = 0
Nodo G
3
=0
4.24
n12 = 0
3
 Fx = −n13 − n 2
4.24
n13 = 0
 Fy = n12
n 5 = n1
Nodo D
n11 = 0
Nodo E
n11 = 0
101
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Estructura para calcular las fuerzas axiales n 2x i
4
3
4
 M A = −4rFy − 1 ( 4) − 1 ( 4) + 1 (7)
5
5
5
rFy = 0
3
3
 Fy = rAy − 1 + 1 + 0
5
5
rAy = 0
4
4
+1
5
5
rAx = 0
 Fx = rAx − 1
Nodo C
4
=0
5
n10 = −0.8
3
 Fy = −n 8 − 1 = 0
5
n 8 = −0.6
 Fx = n10 + 1
Nodo F
 Fy = n 5 + 0 = 0
n5 = 0
n2 = 0
Nodo A
 Fx = 0 + 0 + n 3
102
3
5
compresión
compresión
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
n3 = 0
 Fy = −n1 + 0 + n 3
4
5
n1 = 0
Nodo B
 Fy = −0.6 + 0 + n 7
3
=0
5
n7 = 1
4
 Fx = n 6 + 1  = 0
5
n 6 = −0.8
tensión
compresión
Nodo G
3
=0
4.24
n 12 = 0
3
=0
 Fx = −n13 − n12
4.24
n13 = 0
 Fy = −n12
Nodo D
3
 Fy = −1  − n11 = 0
5
n11 = −0.6
compresión
3
 Fy = −n11 + 1  = 0
5
n11 = 0.6
compresión
Nodo E
103
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Estructura para calcular las fuerzas axiales n 3x i
 4 
 4 
(4 ) + 1
4
 MA = 0 = −4rFy − 1
 5.65 
 5.65 
rFy = 0
 Fy = 0 = rAy − 1
4
4
+1
=0
5.65
5.65
rAy = 0
 4   4 
 + 1

 Fx = 0 = rAx − 1
 5.65   5.65 
rAx = 0
Nodo C
 Fy = −n 8 = 0
n8 = 0
 Fx = n10 = 0
Nodo F
 4 
=0
 Fx = n2 − 1
 5.65 
n 2 = 0.71
Nodo A
 Fy = −n1 + n 3
104
4
+0=0
5.65
compresión
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
 Fx = 0 − 0.71 + n 3
4
=0
5.65
n 3 = 1 .0
+ n1 = 0.71
tensión
compresión
Nodo B
 Fy = 0 + 0.71 + n 7
3
 4 
− 1

5
 5.65 
n7 = 0
 4 
+0
 Fx = n6 + 1
 5.65 
n 6 = 0.71
compresión
Nodo G
3
=0
4.24
n12 = 0
 Fy = −n12
 3 
=0
 Fx = −n13 − n12 
 4.24 
n13 = 0
Nodo D
n11 = 0
Nodo E
 4 
 + 0.71 = 0
 Fy = n − 1
 5.65 
n11 = 0
105
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
2. -Cálculo del vector de desplazamientos.
Li
EA
13
L
d 20 =  N0 n 2 i
i =1
EA
13
L
d 30 =  N0 n 3 i
i =1
EA
13
d10 =  N1n 3
i =1
3. -Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades.
Li
i =1
EA
13
L
f12 =  n1n 2 i
i=2
EA
13
L
f13 =  n1n 3 i
i =1
EA
13
L
f 22 =  n 2 n1 i
i =1
EA
13
L
f 23 =  n 2 n 2 i
i =1
EA
13
Li
f 33 =  n 2 n 3
i =1
EA
13
f11 =  n1n1
Para calcular el vector de desplazamientos y los coeficientes de la matriz de
flexibilidades se aprovechan los cálculos realizados anteriormente y se utiliza la siguiente tabla:
0
2.84  R EX  0
 0   4
1


240.50  +  0
27.28 − 2.27 0  Na  = 0

EI
221.38  2.84 − 2.27 30.68   N 4  0
106
Los valores de las fuerzas axiales se calculan a por la siguiente expresión:
Nix = N0x + n1REx + n2N9 + n3N4
BARRA
Li
EA
N0
n1
n2
n3
d10
d20
d30
f11
f12
f13
f22
f23
f33
Ni
1
4
1
6.5(T)
0
0
0.71(C)
0
0
-18.46
0
0
0
0
0
2.02
10.52
(T)
2
4
1
0
1(C)
0
0.71
(C)
0
0
0
4
0
2.84
0
0
2.02
0
3
5.65
0.5
8.48
(T)
0
0
1(T)
0
0
95.82
0
0
0
0
0
11.3
0
(T)
4
5.65
0.5
0
0
0
1(T)
0
0
0
0
0
0
0
0
11.3
-8.44
(C)
5
4
1
29.5
(C)
0
0
0.71 (C)
0
0
183.78
0
0
0
0
0
2.02
23.48
(C)
6
4
1
14.00
(C)
0
0.8(C)
0.71 (T)
0
44.80
-39.76
0
0
0
2.56
-2.27
2.02
12.40
(C)
7
5
0.5
17.50
(T)
0
1(T)
0
0
175.00
0
0
0
0
10
0
0
7.98
(T)
8
3
1
4 (T)
0
0.6(C)
0
0
-7.2
0
0
0
0
1.08
0
0
9.71
(T)
9
5
0.5
0
0
1(T)
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
9.52
(C)
10
4
1
0
0
0.8(C)
0
0
0
0
0
0
0
2.56
0
0
7.62
(T)
11
3
1
15.50
(C)
0
0.6(C)
0
0
27.90
0
0
0
0
1.08
0
0
9.79
(C)
12
4.24
1
11.31(C)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11.31
(C)
13
3
1
2.00
(C)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 (C)
240.50
221.38
4
0
2.84
27.28
-2.27
30.68

=
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
4. Sustituyendo valores en la ecuación fuerza-desplazamiento y solución al sistema de
ecuaciones
0
2.84  R EX  0
 0 
 4
1
 1
 
  
204 .49  +  0
27 .78 − 2.27   N9  = 0
EI 
EI
166 .48 
2.84 − 2.27 30 .68   N4  0
Resultando:
REX =
6.02 Ton
N9 =
− 9.52 Ton
N4 =
− 8.48 Ton
Para el cálculo de RFy es necesario realizar sumatoria de momentos en el punto A.
 MA = −4R FY + 5(4 ) + 8(7 ) + 6(7 )
R FY = 29 .5 Ton
La obtención de RAy se obtiene realizando la sumatoria de fuerzas en y.
 Fy = R AY − 4 − 5 + 29 .5 − 8
R AY = −12.5 Ton
RAx se obtiene al realizar sumatoria de fuerzas en x.
 Fx = R
AX
− 6.02 + 6
R AX = −0.2 Ton
Problema 3.3
Analizar la siguiente armadura en el plano con los datos que se indican en la figura siguiente:
Solución:
108
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
1. -Cálculo de los grados de hiperasticidad.
GH = GH E + GH I
GHE = NR-NEE
GHE = 5-3=2
GH I = −2n + b + 3
GH I = −2(6 ) + 11 + 3
GH = 2 + 2 = 4
Se seleccionan las barras 3 y 8 así como las reacciones RAX y RAY, esta serán las cuatro
fuerzas redundantes. La ecuación fuerza-desplazamiento queda de la siguiente manera:
 d10 
 f11
d 

1  20  1  f 21
+
EA  d 30  EA  f 31
 

d 40 
 f 41
f12
f13
f 22
f 23
f 32
f 33
f 42
f 43
f 14   R Ax  0
f 24   R By  0
=   R AY
f 34   N 3  0
 
  
f 44   N 8  0
Estructura para calcular las fuerzas axiales N0x i
 MB = 0
6(4) − R ey (8) = 0
24
8
R ey = 3 Ton
R ey =
 Fy = 0
Rby − 6 + R ey = 0
Rby = 6 − 3
Rby = 3 Ton
 Fx = 0
− R bx + 8 = 0
Rbx = 8 Ton
Nodo B
 Fx = 0
− 8 + N5 + N 4 (0.625 ) = 0
 Fy = 0
3 − N 4 (0.781) = 0
3
N4 =
0.781
N 4 = 3.842 ton
tensión
N5 = 8 − N4 (0.625 ) N5 = 8 − (3.842 )(0.625 )
tensión
N5 = 5.599 Ton
109
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Nodo A
 Fy = 0
N2 = 0
 Fx = 0
N1 = 0
compresión
Nodo D
 Fx = 0
N10 − N5 = 0
N10 = 5.599 Ton
tensión
 Fy = 0
− N6 = 0
N6 = 0
Nodo C
 Fx = 0
N 4 (0.625 ) + N7 (0.625 ) + N9 = 0
 Fy = 0
N 4 (0.781) + N7 (0.781) − 6 = 0
6 − N 4 (0.781)
N7 =
0.781
6 − (3.842 )(0.781)
N7 =
0.781
compresión
N7 = 3.84 Ton
N9 = N 4 (0.625 ) − N7 (0.625 )
N9 = 3.842 (0.625 ) − 3.84(0.625 )
N9 = 0
Nodo F
 Fx = 0
− N10 + 8 − N7 (0.625 ) = 0
N10 = 8 − 3.84(0.625 )
N10 = 5.601 Ton
 Fy = 0
− N7 (0.781) − N11 = 0
N11 = −N7 (0.781)
N11 = −(3.84 )(0.781)
110
tensión
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
N11 = −2.999 Ton
compresión
Nodo E
 Fy = 0
N9 = 0
 Fx = 0
− N11 + 3 = 0
− 2.999 + 3 = 0
N9 = 0
Estructura para calcular las fuerzas axiales n 1xi
 MB = 0
− 1(5) + rey (8) = 0
5
8
rey = 0.625 Ton
rey =
 Fy = 0
rby − rey = 0
rby = 0.625 Ton
 Fx = 0
− rbx + 1 = 0
rbx = 1 Ton
Nodo A
 Fx = 0
1 − n2 = 0
n2 = 1 Ton
compresión
 Fy = 0
n1 = 0
Nodo B
 Fx = 0
− 1 + n 5 + n 4 (0.625 ) = 0
n 5 = 1 − (0.8)(0.625 ) = 0
n5 = 0.5 Ton
tensión
 Fy = 0
0.6254 − n 4 (0.781) = 0
111
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
0.625
0.781
n 4 = 0.8 Ton
tensión
 Fx = 0
n10 − n 5 = 0
n10 = 0.5 Ton
tensión
n4 =
Nodo D
 Fy = 0
− n6 = 0
n6 = 0
Nodo C
 Fx = 0
1 + n 9 − n 4 (0.625 ) + n 7 (0.625 ) = 0  Fy = 0
n 4 (0.781) + n 7 (0.781) = 0
− N 4 (0.781)
n7 =
0.781
compresión
n7 = −0.8 Ton
n 9 = N 4 (0.625 ) + N7 (0.625 ) − 1
n 9 = (0.8 )(0.625 ) + (0.8 )(0.625 ) − 1
n9 = 0
Nodo F
 Fx = 0
− 0.5 + 0.8(0.025 ) = 0
0=0
 Fy = 0
0.8(0.781) − n11 = 0
n11 = 0.625 Ton
tensión
 Fy = 0
n11 0.625 = 0
n11 = 0.625 Ton
tensión
Nodo E
112
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Estructura para calcular las fuerzas axiales n 2x i
 MB = 0
− rey (8) = 0
rey = 0
 Fy = 0
rby + 0 + 1 = 0
rby = −1 Ton
 Fx = 0
− rbx = 0
rbx = 0
Nodo A
 Fx = 0
n2 = 0
 Fy = 0
− n1 + 1 = 0
n1 = 1 Ton
compresión
Nodo B
 Fy = 0
− 1 + n1 − n 4 (0.781) = 0
− 1 + 1 − n 4 (0.781) = 0
n4 = 0
 Fx = 0
n5 = 0
Nodo D
 Fx = 0
n10 − n 5 = 0
n 10 = 0
 Fy = 0
− n6 = 0
n6 = 0
113
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Nodo C
 Fx = 0
n 9 + n 7 (0.625 ) = 0
n9 = 0
 Fy = 0
n 7 (0.781) = 0
n7 = 0
Nodo F
 Fx = 0
− n10 = 0
n 10 = 0
 Fy = 0
− n11 = 0
n 11 = 0
Nodo E
 Fy = 0
n 11 = 0
 Fx = 0
− n9 = 0
n9 = 0
Estructura para calcular las fuerzas axiales n 3x i
 MB = 0
− 1(0.625)(5) + (0.781)(4) − rey (8) = 0
− 3.125 + 3.124 − rey (8) = 0
rey = 0
 Fy = 0
rby + rey + 1(0.781) − 1(0.781) = 0
rby = 0
 Fx = 0
− rbx + 1(0.625 ) − 1(0.625 ) = 0
rbx = 0
114
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Nodo A
 Fy = 0
n1 + 1(0.781) = 0
n1 = −0.781 ton
n1 = 0.781 ton
compresión
 Fx = 0
n 2 + 1(0.625 ) = 0
n 2 = −0.625 Ton compresión
Nodo B
 Fx = 0
n 5 + n 4 (0.625 ) = 0
n 5 = −n 4 (0.625 )
n 5 = −1(0.625 )
n 5 = −0.625 Ton compresión
 Fy = 0
0.781 − n 4 (0.781) = 0
0.781
n4 =
=1
0.781
n 4 = 1 Ton
tensión
Nodo D
 Fx = 0
n 5 − n10 − 1(0.625 ) = 0
n10 = n 5 − 0.625
n10 = 0.625 − 0.625 = 0
n10 = 0
 Fy = 0
− 1(0.781) − n 6 = 0
n 6 = −0.781 Ton
compresión
Nodo C
 Fx = 0
n 2 − n 9 − n 4 (0.625 ) + n 7 (0.625 ) = 0
Fy
=
0

n 4 (0.781) − n 6 − n 7 (0.781) = 0
115
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
n 4 (0.781) − n 6
0.781
(1)(0.781) − 1.781
n7 =
=0
0.781
n7 = 0
n 2 − n 4 (0.625 ) + n 7 (0.625 ) = n 9
0.625 − 1(0.625 ) + O(0.625 ) = n 9
n9 = 0
n7 =
Nodo F
 Fx = 0
− n10 − n 7 (0.625 ) = 0
0=0
 Fx = 0
− n 7 (0.781) − n11 = 0
n 11 = 0
Nodo E
 Fx = 0
− n9 = 0
n9 = 0
 Fy = 0
n 11 = 0
Estructura para calcular las fuerzas axiales n 4x i
 MB = 0
− rey (8) + 1(0.781)( 4) − 1(0.781)(8) + 1(0.625)(5) = 0
rey = 0
 Fy = 0
− rby − 1(0.781) + 1(0.781) = 0
rby = 0
 Fx = 0
− rbx + 1(0.625 ) − 1(0.625 ) = 0
rbx = 0
116
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Nodo A
 Fx = 0
n2 = 0
 Fy = 0
n1 = 0
Nodo B
 Fx = 0
n 5 + n 4 (0.625 ) = 0
n5 = 0
 Fy = 0
− n 4 (0.781) − n1 = 0
n4 = 0
Nodo D
 Fx = 0
n10 + 1(0.625 ) = 0
n10 = −0.625 Ton
 Fy = 0
n 6 + 1(0.781) = 0
n 6 = 0.781 Ton
compresión
compresión
Nodo C
 Fx = 0
n 7 (0.625 ) + n 9 = 0
n 9 = −n 7 (0.625 )
n 9 = −0.625 Ton
compresión
 Fy = 0
− 0.781 + n 7 (0.781) = 0
0.781
n7 = +
=1
0.781
n 7 = 1 Ton
tensión
117
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Nodo F
 Fx = 0
n10 − n 7 (0.625 ) = 0
n10 = n 7 (0.625 ) = 0
n10 = 1(0.625 )
n10 = 0.625 Ton
 Fy = 0
− n 7 (0.781) − n11 = 0
n11 = −n 7 (0.781)
n11 = −1(0.781)
n11 = −0.781 Ton
compresión
compresión
Nodo E
 Fx = 0
n 9 − 1(0.625 ) = 0
n9 = 0.625 Ton
compresión
 Fy = 0
1(0.781) − n11 = 0
n11 = 0.781 Ton
compresión
2. -Cálculo del vector de desplazamientos.
Li
i =1
EA
11
L
d 20 =  N0 n 2 i
i =1
EA
11
L
d 30 =  N0 n 3 i
i =1
EA
11
L
d 30 =  N 0 n 4 i
i =1
EA
11
d10 =  N 0 n 1
3. -Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades.
Li
EA
11
L
f12 =  n1n 2 i
i=2
EA
11
L
f13 =  n1n 3 i
i =1
EA
11
L
f14 =  n1n 4 i
i =1
EA
11
f11 =  n1n1
i =1
118
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Li
EA
11
L
f 23 =  n 2 n 3 i
i =1
EA
11
Li
f 24 =  n 2 n 4
i =1
EA
11
Li
f 33 =  n 3 n 3
i =1
EA
11
Li
f 34 =  n 3 n 4
i =1
EA
11
Li
f 44 =  n 4 n 4
i =1
EA
11
f 22 =  n 2 n 2
i =1
Para calcular el vector de desplazamientos y los coeficientes de la matriz de
flexibilidades se ocupan los análisis efectuados anteriormente, y usando la siguiente tabla:
Barra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Li
5
4
6.403
6.403
4
5
6.403
6.403
4
4
5
(EA)i
EA
EA
0.5 EA
0.5 EA
EA
EA
0.5 EA
0.5 EA
EA
EA
EA
Nx1i
0
0
0
3.84 (T)
5.599 (T)
0
3.84 (C)
0
0
5.599 (T)
3 (C)
nx0i
0
1(C)
0
0.8 (T)
0.5 (T)
0
0.8 (C)
0
0
0.5 (T)
0.625 (T)
nx2i
1 (C)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
nx3i
0.78 (C)
0.625 (C)
1 (T)
1 (T)
0.625 (C)
0.78 (C)
0
0
0
0
0
nx4i
0
0
0
0
0
0.78 (C)
1 (T)
1 (T)
0.625 (C)
0.625 (C)
0.78 (C)
119
Continuación de la tabla anterior:
d10
d20
d30
d40
f11
f12
f13
f14
f22
f23
f24
f33
f34
f44
0
0
0
0
0
0
0
0
5
3.90
0
3.04
0
0
0
0
0
0
4
0
2.5
0
0
0
0
1.56
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12.81
0
0
39.34
0
49.18
0
8.20
0
10.24
0
0
0
0
12.81
0
0
11.20
0
-14
0
1.0
0
-1.25
0
0
0
0
1.56
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3.04
3.04
3.04
39.34
0
0
-49.18
8.20
0
0
-10.24
0
0
0
0
0
12.81
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12.81
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.56
11.20
0
0
-14
1.0
0
0
-1.25
0
0
0
0
0
1.56
-9.38
0
0
11.70
1.95
0
0
-2.44
0
0
0
0
0
3.04
Σ=91.70
Σ=0
Σ=5
Σ=3.90
Σ=0
Σ=34.82
Σ=3.04
Σ=34.82
Σ=35.18 Σ=-51.47 Σ=24.34
Σ=0
Σ=11.49 Σ=-13.93
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
4. Aplicando la ecuación desplazamiento – fuerza, se tiene:
d10 
 f11
 

1 d20 
1  f21
+
EA d30  EA  f31
 

d 40 
f 41
f12
f13
f22
f23
f32
f33
f 42
f 43
f14  R Ax  0
  
f24  R By  0
=
f34   N3  0
    
f 44   N8  0
Sustituyendo los valores de la tabla anterior, se obtiene un sistema de ecuaciones de 4
incógnitas con 4 ecuaciones. Resolviendo el sistema de ecuaciones:
0 11.49 13.93  R Ax  0
91.70
24.34
 0 
 0
5
3.90
0   RBy  0
1 
+ 1 
=
EA 35.18 EA 11.49 3.90 34.82 3.04   N 3  0
  



 
0
3.04 34.82  N 8  0
51.47
13.93
R Ax = −6.44 Ton
RBy = −0.67 Ton
N 3 = 0.84 Ton
N 8 = 3.98 Ton
Para el cálculo de RBx es necesario realizar la sumatoria de fuerzas en el eje x:
 Fx = 0
R Bx + 8 − R Ax = 0
RBx + 8 − 6.44 − 1.56
R Bx = −6.13 Ton
El cálculo de RBy se obtiene al realizar la sumatoria de fuerzas en el eje y:
 Fy = 0
RBy + R Ay − 6 + REy = 0
RBy = 6 − R Ay − REy
RBy = 6 − 0.41 − 7.03
RBy = −1.44 Ton
El cálculo de RBy se obtiene al realizar la sumatoria momentos en al punto A:
 MA = 0
− REy (8) + 6(4) + 8(5) − RBx (5) = 0
− REy (8) + 24 + 40 − (1.56)(5) = 0
56.20
R Ey =
8
121
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
REy = 7.03 Ton
Las reacciones quedan expresadas en la siguiente figura:
3.3 VIGAS CONTINUAS
Las vigas continuas generalmente se consideran en el plano, y están constituidas por un
conjunto de barras conectadas por nodos rígidos, la mayoría de estos nodos están impedidos a
desplazamientos verticales, con lo cuál generan reacciones, se puede advertir entonces que
estos nodos rígidos también se les pueden denominar apoyos o fronteras, por lo anterior
también se presentan efectos solamente de flexión, cortante y en algunos casos efectos
axiales, esta es la razón por la que al calcular los desplazamientos, se le de mayor importancia
al efecto de flexión.
Problema 3.4
Analizar la siguiente viga por el método de las flexibilidades, considerando únicamente el efecto
de flexión.
Solución:
1. -Cálculo de los grados de hiperestaticidad.
GH = NR-NEE
GH = 5-3
GH = 2
Se tienen dos fuerzas redundantes, así que se escogen RB y RC, por tanto la matriz de
flexibilidades queda de la siguiente manera:
122
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
d10   f11
 +
d20  f 21
f12  R B  0
  =
f 22  R c  0
2. -Cálculo del vector de desplazamientos
Estados de cargas
Estado Mo
Estado m1
Estado m2
A continuación se determinan las ecuaciones de los momentos flexionantes, para los
tres estados de carga correspondiente a los 4 tramos de la viga
Tramo 0  x 1  3
Mx 1 = 4 x 1
m1x 1 = 0
m2 x 2 = 0
Tramo 0  x 2  2
123
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Mx 2 = 4(3 + x 2 )
m1 x 2 = 0
m2 x 2 = x 2
Tramo 0  x 3  2
Mx 3 = 4(5 + x 3 ) + 8 x 3
m1 x 3 = 0
m 2 x 3 = 1(2 + x 3 )
Tramo 0  x 4  6
Mx 4 = 4(7 + x 4 ) + 8(2 + x 4 ) + x 24
m1 x 4 = 1( x 4 )
m 2 x 4 = 1( 4 + x 4 )
d10 = 0 M 0 m 1
ds
EI
d10 = 0 4x 1 (0)
dx
dx 1
dx
dx 4
2
2
6
+ 0 4(3 + x 2 )(0) 2 + 0 ( 4(5 + x 3 ) + 8x 3 )(0) 3 + 0 ( 4(7 + x 4 ) + 8(2 + x 4 ) + ( x 4 ) 2 )x 4
EI
EI
EI
2EI
s
3
d10 = +
990
EI
d20 = 0 M0m 2
s
ds
EI
dx
dx 2
dx
2
6
+ 0 ( 4(5 + x 3 ) + 8 x 3 )( 2 + x 3 ) 3 + 0 ( 4(7 + x 4 ) + 8(2 + x 4 ) + x 24 )( 4 + x 4 ) 4
EI
EI
2EI
dx 3
dx 4
2
2
6
2 dx 2
2
d 20 = 0 (12 x 2 + 4 x 2 )
+ 0 (20 + 12 x 3 )(2 + x 3 )
+ 0 ( 44 + 12 x 4 + x 4 )( 4 + x 4 )0.5
EI
EI
EI
2328 .67
d 20 = +
EI
d 20 = 0 ( 4(3 + x 2 )x 2
2
3. - Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades. Para obtener estos coeficientes, se
emplean las ecuaciones de momentos flexionantes del paso 2.
dx
ds
36
6
= 0 ( x 4 )( x 4 ) 4 =
EI
2EI 2EI
f11 = 0 m 1m 1
s
s
f12 =  m1m 2
0
dx
ds 6
72
=  ( x 4 )( 4 + x 4 ) 4 =
EI 0
2EI EI
f 22 = 0 m 2 m 2
s
124
dx
dx
dx
ds
177 .33
2
2
6
= 0 ( x 2 )( x 2 ) 2 + 0 ( 2 + x 3 )( 2 + x 3 ) 3 + 0 ( 4 + x 4 )( 4 + x 4 ) 4 =
EI
EI
EI
2EI
EI
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
4. -Se sustituyen los valores calculados en la ecuación fuerza-desplazamiento y solucionando el
sistema de ecuaciones, se obtiene:
72  R B  0
1  990  1 36

+ 
  = 
EI 2328 .67  EI 72 177 .33  R C  0
R B = 6.58
Ton
R C = 10 .46 Ton
Para el cálculo de RA se realiza la sumatoria de fuerzas en y.
 Fy = R Ay + 6.58 + 10.46 − 12 − 8 − 4 = 0
 Fy = R Ay = 6.96 Ton
Para el cálculo del momento en el punto A se hace la sumatoria de momentos en ese
punto:
 M A = 4(13 ) − 10 .46(10 ) + 8(8) − 6.58(6) + 12(3) − M A = 0
M A = 7.92 Ton .m
Problema 3.5
Calcular el valor de la reacción redundante Rb de la viga siguiente, con los datos que se indican
en la siguiente figura:
Solución:
1. -Cálculo de los grados de hiperestaticidad
GH = NRF-NEE
GH = 4-3
GH = 1
Se considera la reacción RB como reacción redundante, por tanto la matriz de
flexibilidades queda de la siguiente manera
d  + f  R  = 0
10
11
B
2. -Cálculo del vector de desplazamientos
125
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Viga primaria para calcular los momentos flexionantes Mo
Estructura para calcular los momentos flexionantes m1
Cálculo de la ecuación de momentos para un solo tramo
 x  wx 2
Mzx = wx  =
2
2
z
mx = x
ds = dx
Para este caso EI zz = EI
d10 = 0 Mzx m zx
5
ds
EI zz
2
 dx
2  wx
d10 = 0 
x
 2  EI
L
1 w  x4 
d10 =
EI 2  4  0
WL4
d10 =
8EI
3. –Calculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades
s
f11 =  m rz m rz
0
ds
EIzz
1L
1L 2
 ( x )( x )dx =  x dx
EI 0
EI 0
1 L3
f11 =
EI 3
L3
f11 =
3EI
f11 =
4. -Se sustituyen los valores en la ecuación fuerza desplazamiento y se resuelve el sistema de
ecuaciones resultante:
126
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
 WL4   L3 
 8EI  +  3EI  R B  = 0

 

3 WL
RB =
8
Problema 3.6:
Calcular las reacciones de la siguiente viga usando los datos que se indican en la siguiente
figura.
Solución:
1. - Determinación de los grados de hiperestaticidad.
GH = NRF-NEE
GH = 5-3 = 2
Esta viga tiene dos redundantes y se seleccionan a RB y RC.
La ecuación desplazamiento - fuerza es:
d10   f11
 +
d20  f 21
f12  R B  0
  =
f 22  R C  0
Considerando solamente la flexión se tiene que el vector de desplazamiento y los
coeficientes de la matriz de flexibilidades, son los siguentes:
ds
EI
ds
5
f11 = 0 m1m1
EI
ds
5
f 22 = 0 m 2 m 2
EI
ds
5
d 20 = 0 M0 m 2
EI
ds
5
f12 = 0 m1m 2
EI
d10 = 0 M 0 m 1
5
2. -Cálculo del vector de desplazamientos.
127
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Viga primaria para calcular los momentos flexionantes Mo
Para calcular los momentos flexionantes m1
Para calcular los momentos flexionantes m2
Cálculo de reacciones
Estructura Mo
 Fy = 0
−
6(3 )
− 8( 2) + R Ay + R Dy = 0
2
 Fx = 0
− R Ax = 0
R Ax = 0
 MA = 0
(3)(6)  2(6) 

 + 2(8)(10 ) − R Dy (14 ) = 0
2  3 
9( 4) + 160
R Dy =
14
RDy = 14 Ton
R Ay = 9 + 16 − 14 = 11 Ton
Estructura m1
128
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
 Fy = 0
Ray + R dy − 1 = 0
 Ma = 0
− (6) − Rdy (14) = 0
6
= 0.43 Ton
14
R ay = 1 − Rdy
R dy =
Ray = 1− 0.43 = 0.57 Ton
Estructura m2
 Fy = 0
Ray + R dy − 1 = 0
 Ma = 0
1(10) − R dy (14) = 0
10
= 0.71 Ton
14
R ay = 1− R dy
R dy =
R ay = 1 − 0.71
Ray = 0.29 Ton
Ecuaciones de momentos flexionantes para cada viga, e integrando los tres tramos
respectivamente, resulta:
Tramo AB 0  x 1  6
 3x  1  1 
M0 = 11( x 1 ) − ( x 1 ) 1 .  x 1  = 11x 1 − 0.08 x 13
 6  23 
m1 = 0.57( x 1 )
m 2 = 0.29( x 1 )
ds = dx 1
EI zz = EI
Tramo BC 0  x 2  4
(3)(6)  1
x 

(6) + x 2  − 2( x 2 ) 2 

2 3

 2
2
M0 = 66 + 11x 2 − 92 + x 2  − x 2
M0 = 66 + 11x 2 − 18 − 9 x 2 − x 22 = 48 + 2x 2 − x 22
m1 = 0.57(6 + x 2 ) − 1( x 2 ) = −0.43 x 2 + 3.42
m 2 = 0.29(6 + x 2 ) = 1.74 + 0.29 x 2
ds = dx 2
M0 = 11(6 + x 2 ) −
129
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
EI zz = EI
Tramo CD 0  x 3  4
3(6)  1
x 

(6) + 4 + x 3  − 2( 4)2 + x 3  − 2( x 3 ) 3 

2 3

 2
2
M0 = 110 + 11x 3 − 92 − 4 + x 3  − 82 + x 3  − x 3
M0 = 11(10 + x 3 ) −
M 0 = 40 − 6 x3 − x32
m1 = 0.57(10 + x 3 ) − 1( 4 + x 3 ) = −0.43 x 3 + 1.70
m2 = 0.29(10 + x3 ) − 1( x 3 ) = 0.29x3 + 2.9 − 1( x3 ) = 2.9 − 0.71x3
ds = dx 3
EI zz = EI
(
)
(
)
4
dx1
dx
+  48 + 2 x 2 − x 22 (3.42 − 0.43x 2 ) 2 +
0
0
EI
EI
dx
380
.
52
482
.
45
99
.
09
4
2
3
=
+
+
0 (40 − 6 x 3 − x 3 )(1.7 − 0.43 x 3 )
EI
EI
EI
EI
962 .06
d10 =
EI
d10 =  11x1 − 0.08x13 (0.57x1 )
6
d 20 = 0 (11x 1 − 0.80 x 13 )(0.29 x 1 )
6
dx 1 4
dx
+ 0 (48 + 2x 2 − x 22 )(1.74 − 0.29 x 2 ) 2 +
EI
EI
dx
193
.
60
429
.
97
172
.
05
4
2
3
=
+
+
0 (40 − 6 x 3 − x 3 )(2.9 − 0.71x 3 )
EI
EI
EI
EI
795 .62
d10 =
EI
3. -Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades
2 dx
dx 1 4
2 dx 3
4
2
+ 0 (3.42 − 0.43 x 2 )
+ 0 (+ 1.7 − 0.43 x 3 )
EI
EI
EI
23 .39 27 .20 3.81
f11 =
+
+
=
EI
EI
EI
54 .4
f11 =
EI
f11 = 0 0.57 x 1 (0.57 x 1 )
6
dx
dx 1 4
dx
4
+ 0 (3.42 − 0.43 x 2 )(1.74 + 0.29 x 2 ) 2 + 0 (1.7 − 0.43 x 3 )(2.9 − 0.71x 3 ) 3
EI
EI
EI
11 .90 23 .09 6.60
f12 =
+
+
EI
EI
EI
41 .59
f12 =
EI
f12 = 0 (0.57 x 1 )(0.29 x 1 )
6
130
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
f 22 = 0 (0.29 x 1 )
2 dx
2 dx
dx 1
4
4
3
2
+ 0 (1.74 + 0.29 x 2 )
+ 0 (2.9 − 0.71x 3 )
EI
EI
EI
6.06 21 .98 11 .45 39 .49
f 22 =
+
+
=
EI
EI
EI
EI
39 .49
f 22 =
EI
6
2
4. -Sustituyendo los valores en la ecuación fuerza-desplazamiento y solucionando el sistema de
ecuaciones resuta:
1 962 .06  1  54 .4 41 .59  R B  0

+ 
  = 
EI 795 .62  EI 41 .59 39 .49  R C  0
RB = −11.71 Ton
R C = −7.81 Ton
Para el cálculo de la RD es necesario realizar sumatoria de momentos en A
 M A = 36 + 64 + 96 − 6(11 .71) − 7.81(10 ) − R D (14 )
RD = 3.40 Ton
Para obtener RA se realiza la sumatoria de fuerzas en el eje y
 Fy = −9 − 8 − 8 + 11 .71 + 7.81 + 3.40 + R A = 0
RA = 2.08 Ton
3.4 MARCOS EN EL PLANO
Los marcos en el plano están conectados en la misma forma que las vigas continuas, pero aquí
se tienen barras horizontales, verticales e inclinadas. Son estructuras de varios niveles y crujías.
Los elementos mecánicos que intervienen son las fuerzas axiales, fuerzas cortantes y
momentos flexionantes.
Respecto al tipo de carga que actúa, pueden ser cargas concentradas y/o distribuidas,
pero además otros tipos de efectos que se pueden presentar como los desplazamientos o
hundimientos en los apoyos y los efectos de temperatura.
131
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Problema 3.7
Calcular las reacciones del siguiente marco considerando sólo flexión por el método de las
flexibilidades
Solución:
1. -Calculo de los grados de hiperasticidad.
GH = NRF-NEE
GH = 5-3
GH = 2
Se consideran como redundantes RDX, RDY por tanto la ecuación fuerza - desplazamiento de
esta estructura es la siguiente:
d10   f11
 +
d20  f21
f12  R DX  0
 
=
f22  R DY  0
2. -Cálculo del vector de desplazamientos.
Estructura primaria Mo
132
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Estructura complementaria m1
Estructura complementaria m2
Se determinan las ecuaciones de momentos flexionantes para cada estructura y cada
uno de los tres tramos
Tramo DC 0  x 1  4
Mox 1 = 0
m1 x 1 = x 1
m2 x 2 = 0
Tramo CB 0  x 2  6
Mox 2 = 0
m1 x 2 = 4
m2 x 2 = −x 2
Tramo BA 0  x 3  4
Mox 3 = 8 x 3
133
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
m1 x 3 = 1( 4 − x 3 )
m 2 x 3 = −6
ds
1 4
= 0 (8x 3 )( 4 − x 3 )dx 3 =
EI zz EI
256
d10 =
3EI
d10 = 0 M0 m1z
s
ds
1 4
= 0 (8x 3 )( −6)dx 3 =
EI zz EI
384
d 20 = −
EI
d20 = 0 M0z m 2z
s
3. -Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades. Para obtener estos coeficientes, se
usan las ecuaciones de momento flexionante calculadas anteriormente.
ds
1 4
1 6 2
1 4
21 .33 96 21.33
= 0 x 12 dx 1 +
+
+
=
0 4 dx 2 + 0 ( 4 − x 3 )dx 3 =
EI zz EI
2EI
EI
EI
2EI
EI
272
f11 =
3EI
f11 = 0 m1z m1z
s
1 6
1 4
144 216
+
=
0 ( 4)( − x 2 )dx 2 + 0 ( 4 − x 3 )( −6)dx 3 =
2EI
EI
EI
6EI
180
f 22 =
EI
f 22 = 0 m 2z m 2z =
s
f12 = 0 m 1z m 2z =
s
f12 = −
1 6
1 4
96 144
2
2
−
=
0 − x 2 dx 2 + 0 − 6 dx 3 = −
2EI
EI
2EI 4EI
84
EI
4. -Sustituyendo los valores calculados en la ecuación fuerza – desplazamiento y resolviendo el
sistema de ecuaciones:
 256 
 272
 3 
 3
1
+ 1 
EI  384  EI  84
−

−
 1 
 1
84 
R
0
1   DX   

= 
 
180  R  0
 DY   
1 
−
Resolviendo el sistema
R DX = 1.8238 Ton
R DY = 2.9845 Ton
Para calcular MA, RAx y RAy es necesario recurrir a las ecuaciones de la estática
134
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
 Fx = 8 − 1.8238 − R Ax
R Ax = 6.1762 Ton
 Fy = 2.9843 − R Ay
R Ay = 2.9843 Ton
 M A = 8( 4) − 2.9843 (6) − M A
M A = 14 .093 Ton.m
5. -Las Reacciones quedan dibujadas en la siguiente figura:
Problema 3.8
Calcular las reacciones del siguiente arco, considerando sólo flexión, con los datos que se
indican el la siguiente figura:
Solución:
1. -Cálculo de los grados de hiperestatiicidad.
135
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
GH = NRF-NEE
GH = 6-3 = 3
Eligiendo como redundantes a MA, RBY y RBX, la ecuación fuerza-desplazamiento queda
de la siguiente manera:
d10   f11
  
d20  + f21
d30  f31
f12
f22
f32
f13  R BX  0
 
  
f23  R BY  = 0
f33   MB  0
2. -Cálculo del vector de desplazamientos en la estructura primaria
Estructura Primaria Mo
Estados complementarios:
Estado m1
136
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Estado m2
Estado m3
Considerando solamente el efecto de flexión,
correspondientes a los tramos que a continuación se indican:
se
calculan
las
ecuaciones
Tramo 0  x 1  6
Mox 1 = 0
m1 x 1 = − x 1
m2 x1 = 0
m 3 x 1 = −1
EI zz = EI
ds = dx 1
Tramo 0  x  
M0 = 0
m1 = −1(6 + Rsen  )
137
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
m2 = −1(3 − 3 cos )
m 3  = −1
EI zz = EI
ds = Rd
Tramo 0  x 2  6
x 
Mox 3 = 4x 2  2  = 2x 22
 2
m1 x 2 = −1(6 − x 2 )
m2 x2 = 1(− 6)
m 3 x 2 = −1
EI zz = EI
ds = dx 2
Sustituyendo los valores en las siguientes ecuaciones, se logra el vector de
desplazamiento
dx
ds
6
= 0 (2 x 22 )(6 − x 2 ) 2
EI
EI
d10 = 0 M 0 m 1
s
d 10 = −
s
d 20 =  M 0 m2
0
d 20 =
864
EI
(
)
6
dx
ds
=  2 x22 (− 6) 2
0
EI
EI
864
EI
dx
ds
6
= 0 2x 22 (− 1) 2
EI
EI
144
d 30 = −
EI
d 30 = 0 M0 m 3
s
3. -Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades. Estos se obtienen sustituyendo los
valores de los momentos correspondientes debido a las cargas unitarias.
f11 = 0 m 1m1
s
f11 =
741.70
EI
f12 = 0 m1m 2
s
f12 =
138
2 Rd
2 dx
dx
ds
6

6
2
= 0 (− x 1 )(− x 1 ) 1 + 10 (− 6 − Rsen )
+ 0 (− 6 + x 2 )
EI
EI
EI
EI
dx
ds
Rd 6
108 .9

= 0 (− 6 − Rsen  )(3 − 3 cos  )
+ 0 (− 6 + x 2 )6 2 = −
EI
EI
EI
EI
331.65
EI
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
f13 = 0 m 1m 3
s
dx
dx
ds
Rd 6
6

= 0 (− x 1 )(− 1) 1 + 0 (− 6 − Rsen  )(− 1)
+ 0 (− 6 + x 2 )(− 1) 2
EI
EI
EI
EI
f 13 =
110.55
EI

6
dx
ds
Rd
=  (− 3 + 3 cos )(− 3 + 3 cos )
+  (6)(6) 2
0
0
0
EI
EI
EI
343.23
f 22 =
EI
f 22 =  (m 2 m2 )
s
s
f 23 =  m2 m3
0
f 23 = −
64.27
EI
f 33 = 0 m 3 m 3
s
f 33 =
6
6
dx
ds
Rd
=  (− 3 + 3 cos )(− 1)
+  (− 6) 2
0
0
EI
EI
EI
dx
dx
ds
Rd 6
6

= 0 (− 1)(− 1) 1 + 0 (− 1)(− 1)
+ 0 (− 1)(− 1) 2
EI
EI
EI
EI
21 .42
EI
4. -Sustituyendo en la ecuación fuerza–desplazamiento y resolviendo el sistema de ecuaciones,
se llega a:
− 216
741.70 331.65 110.55  R BX  0
1 
1 

864  +
331.65 343.23 64.27   R BY  = 0
EI 
EI 
 − 144
110.55 64.27 21.42   M B  0
RBX = −3.08 Ton
RBY = 2.87
Ton
M B = 14.00 Ton
Para el cálculo de MA, RAx y RAy. Se recurre a las ecuaciones de la estática.
 M = −6(2.87) − 14.00 + 4(6)(3) − M = 0
A
A
M A = 40.78 Ton .m
 Fx = 4(6) + R
AX
− 3.08 = 0
RAX = 20.92 Ton
 Fy = − R
AY
+ 2.87 = 0
R AY = 2.87 Ton
Las reacciones calculadas se presentan en el siguiente esquema:
139
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Problema 3.9
Calcular las reacciones del siguiente marco, considerando sólo flexión, con los datos que se
indican en la siguiente figura.
Solución:
1. -Cálculo de los grados de hiperasticidad.
GH = NRF-NEE
GH = 5-3
GH = 2
Se consideran como redundantes REx y REy, quedando la matriz de flexibilidades de la
siguiente forma.
d10   f11
 +
d20  f 21
f12  R EY  0
 
=
f22  R EX  0
2. -Cálculo del vector de desplazamientos en la estructura primaria
140
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Estructura Primaria Mo
Estados Complementarios:
Estado m1
Estado m2
A continuación se escriben las ecuaciones de momentos flexionantes para los tres
estados anteriores, y para los cuatro tramos:
Tramo ED 0  x 1  6
Mox 1 = 0
m1 x 1 = x 1
141
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
m2 x1 = 0
EI zz = EI
Tramo DC 0  x 2  5
Mox 2 = 0
3 

m1 x 2 = 1 6 + x 2 
5 

4 
m 2 x 2 = −1 x 2 
5 
EI zz = EI
Tramo CB 0  x 3  10 .44
x 
Mox 3 = 2x 3  3  = x 32
 2

3
 3x 3  
m1 x 3 = 1 9 − 
x3
  = 9 −
10 .44
 10 .44  

10 x 3 

m 2 x 3 = −1 4 +

10 .44 

EI zz = EI
Tramo BA 0  x 4  6
Mox 4 = 20 (5 ) + 6(1.5 + x 4 ) = 109 + 6 x 4
m1 x 4 = 1(6 − x 4 ) = 6 − x 4
m 2 x 4 = −1(14 ) = −14
EI zz = EI
3 x 3  dx 3
dx

6
x 32  9 −
+ 0 (109 + 6 x 4 )(6 − x 4 ) 4

10 .44  EI
EI

4738 .259
d10 =
EI
d10 = 0
10.44
d20 = 0
10.44
(x ) − 4 − 10 x  dx +  (109 + 6x )(− 14 ) dx
2
3

15029 .92
d 20 = −
EI
3
6
10 .44  EI
0
3
4
4
EI
3. -Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades
2
2
2 dx
3x 3  dx 3
3  dx 2 10.44 
6
5
6
2 dx 1
4
f11 = 0 x 1
+ 0  6 + x 2 
+ 0  9 −
+ 0 (6 − x 4 )

EI
5  EI
10
.
44
EI
EI



142
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
f11 =
1024 .08
EI
3 x 3 
10 x 3  dx 3
dx
3  4  dx
5
10.44 
6
f12 = 0  6 + x 2  − x 2  2 + 0  9 −
+ 0 (6 − x 4 )(− 14 ) 4
 − 4 −

5  5  EI
10 .44 
10 .44  EI
EI


1010 .60
f12 = −
EI
2
2
10 x 3  dx 3
 4  dx 2
2 dx 4
10.44 
6
f22 = 0  − x 2 
+ 0  − 4 −
+ 0 (− 14 )

10 .44  EI
EI
 5  EI

2135 .30
f 22 =
EI
5
4. -Sustituyendo en la ecuación fuerza–desplazamiento y resolviendo el sistema de ecuaciones:
1  4738 .259  1  1024 .08 − 1010 .60  R EY  0
= 

+ 
 
EI − 15029 .92  EI − 1010 .60 2135 .30  R EX  0
R EY = 9.09 Ton
R EX = 4.35 Ton
Para calcular MA, RAx y RAy es necesario recurrir a las ecuaciones de la estática
 M A = −9.09 (14 ) + 6(7.5 ) + 20 (5 ) − M A = 0
M A = 17 .74 Ton.m
 Fy = −20 + 9.09 + R AY = 0
R AY = 10 .91 Ton
 Fx = 6 − 4.35 − R AX = 0
R AX = 1.65 Ton
Las Reacciones quedan graficadas en la siguiente figura:
143
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
3.5 MARCOS EN EL ESPACIO
En general las estructuras trabajan en el espacio, sin embargo en determinados casos se
pueden despreciar fuerzas o momentos muy pequeños o nulos, reduciéndose a un análisis
estructural en el plano, estos problemas resultan sencillos en el cálculo.
Cuando se analiza en el espacio se usan las seis ecuaciones de equilibrio y al calcular el
vector de desplazamiento del o los estados primarios y los coeficientes de flexibilidades se
deben considerar los efectos de los seis elementos mecánicos, por ejemplo:
S
fij =  Nx n x
0
S
S
ds
ds
ds S x x ds S y y ds S z z ds
+ k V y v y
+ k V Zv z
+ M m
+ M m
+ M m
0
0
EA
GA
GA 0
GJ m 0
EI zz 0
EI zz
En algunos casos se pueden despreciar algunos efectos, de acuerdo a la experiencia
del analista, en el ejemplo 3.10 se desprecian los efectos de las fuerzas axiales y cortantes o
sea las tres primeras integrales. Es importante aclarar que no se eliminan las fuerzas cortantes
y normal sino los efectos de cortante y normal en el cálculo de los desplazamientos y
coeficientes de flexibilidades.
Problema 3.10
Calcular las reacciones de cualquiera de los dos apoyos del siguiente marco, considerando sólo
flexión con los datos que se indican el la siguiente figura:
Datos:
Izz = 0.0128 m4
Iyy = 0.0018 m4
E = 2424871 Ton/m2
G = 932643 Ton/m2
EIzz = 31038.35
EIyy = 4364.77
Jm= Chb3 = 0.006
C = 0.263
G Jm = 5595.86
144
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Solución:
1. -Cálculo de los grados de hiperasticidad.
GH = NRF-NEE
GH = 12-6
GH = 6
Se consideran como fuerzas redundantes RAX, RAY, RAZ, MAx, MAy, MAz, así que la ecuación
fuerza-desplazamiento queda de la siguiente forma:
 d10   f11
  
d 20  f 21
d 30   f 31
 +
d 40  f 41
d 50   f 51
  
d 60  f 61
f12
f13
f14
f15
f 22
f 23
f 24
f 25
f 32
f 33
f 34
f 35
f 42
f 43
f 44
f 45
f 52
f 53
f 54
f 55
f 62
f 63
f 64
f 65
f16  R AX  0
 

f 26  R AY  0
f36  R AZ  0
 
= 
f 46   M xA  0
f56   M yA  0
 
  
f 66   M zA  0
2. -Cálculo del vector de desplazamientos.
Estructura primaria Mo
Estructuras complementarias:
Estado m1
145
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Estado m2
Estado m3
Estado m4
Estado m5
146
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Estado m6
A continuación se expresan las ecuaciones de momentos torsionantes y los momentos
flexionantes en dos direcciones para cada uno de los tres tramos correspondientes a los siete
estados de carga ilustrados en las figuras anteriores, observe que se desprecian los efectos de
las fuerzas cortantes y axiales, por esta razón no se expresan estas ecuaciones.
Tramo AB 0  x 1  5
Tramo BC 0  x 2  4
Tramo CD 0  x 3  5
6(4 )  1 
 =4
2 3
M0y = 0
6(4 )
M 0z =
x 3 = 12 x 3
2
M0x = 0
M0x = 0
M0y = 0
M0z = 0
M0y = 0
m1x = 0
m1y = 0
m1z = 0
m1x = 0
m1y = x 2
m1z = 0
m 0x = 0
m 0y = 1(4 ) = 4
m1z = 0
m 2x = 0
m 2y = 0
m 2z = − x 1
m 2x = 1(5 ) = 5
m 2y = 0
m 2z = − x 2
m 2x = 1(4 ) = 4
m 2y = 0
m 2z = 1(5 − x 3 ) = 5 − x 3
m 3x = 0
m 3y = + x 1
m 3z = 0
m 3x = 0
m 3y = 1(5 ) = 5
m 3z = 0
m 3x = 0
m 3y = 1(5 − x 3 ) = 5 − x 3
m 3z = 0
m 4x = −1
m4x = 0
m 4x = 1
m 4y = 0
m z4 = 0
m 4y = 0
m4z = −1
m 4y = 0
m z4 = 0
m 5x = 0
m 5y = −1
m 5x = 0
m 5x = 0
m5y = 1
m5y = 1
m 5z = 0
m 5z = 0
m 5z = 0
M 0z =
M 0x =
1 3
x2
4
147
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
m 6x = 0
m6x = −1
m 6x = 0
m 6y = 0
m 6z = 1
m 6y = 0
m 6y = 0
m 6z = 0
m6z = −1
S
d10 =  Mx m x
0
ds S y y ds S z z ds
+ M m
+ M m
GJ m 0
EI zz 0
EI zz
d10 = 0
S
S
S
ds
ds
ds
d 20 =  M m
+  M ymy
+  M zmz
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
0
x
x
5
5
dx
dx
x 23
(− x2 ) dx2 + 0 (16) 3 + 0 (12x3 )(5 − x3 ) 3 = − 51.2 + 64 + 250 = 0.021
d 20 = 
0 4
EI ZZ
GJ m
EI ZZ
EI ZZ GJ m EI ZZ
4
S
d30 =  Mx m x
0
ds S y y ds S z z ds
+ M m
+ M m
GJ m 0
EI zz 0
EI zz
d 30 = 0
S
d40 =  Mx m x
0
4
d 40 =  −
0
ds S y y ds S z z ds
+ M m
+ M m
GJ m 0
EI zz 0
EI zz
x 23 dx2 5 dx3
16
20
+ 4
=
+
= 0.0041
4 GJ m 0 GJ m EI ZZ GJ m
S
d50 =  Mx m x
0
ds S y y ds S z z ds
+ M m
+ M m
GJ m 0
EI zz 0
EI zz
d 50 = 0
S
d60 =  Mx m x
0
ds S y y ds S z z ds
+ M m
+ M m
GJ m 0
EI zz 0
EI zz
d 60 =  (− 12x3 )
5
0
dx3
150
=−
= 0.0048
EI ZZ
EI ZZ
3. -Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades
S
f11 =  m1x m 2x
0
4
f11 =  x22
0
S
f12 =  m1x m 2x
0
f12 = 0
148
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
5
dx
dx2
21.33 80
+  16 3 =
+
= 0.023
0
EI YY
EI YY
EI YY EI YY
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
S
f13 =  m1x m 2x
0
4
f13 =  5 x2
0
S
f14 =  m1x m 2x
0
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
5
dx
dx2
40
50
+  4(5 − x3 ) 3 =
+
= 0.021
0
EI YY
EI YY EI YY EI YY
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
f14 = 0
S
f15 =  m1x m 2x
0
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
dx2 5 dx3
8
20
f15 =  (x 2 )
+ 4
=
+
= 0.0064
0
EI YY 0 EI YY EI YY EI YY
4
S
f16 =  m1x m 2x
0
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
f16 = 0
5
f 22 =  m2 m2
0
f22 =
5
4
4
5
5
dx
dx3
dx
ds
2 dx1
2 dx2
=  (− x1 )
+  25 2 +  (− x2 )
+  (4)(4) 3 +  (5 − x3 ) 2
= 0.036
0
0
0
EI
EI ZZ
GJ m 0
EI ZZ
GJ m 0
EI ZZ
104 .67 40
+
= 0.003 + .007 = 0.01
EI z
GJ m
S
f 23 =  m1x m 2x
0
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
f23 = 0
S
f 24 =  m1x m 2x
0
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
f 24 =  (x2 )
4
0
S
f 25 =  m1x m 2x
0
5
dx
dx2
8
20
+  (4) 3 =
+
= 0.0038
0
EI ZZ
GJ m EI ZZ GI m
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
f25 = 0
S
f 26 =  m1x m 2x
0
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
149
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
f 26 =  (− x1 )
5
0
4
5
dx
dx1
dx
12.5
20
12.5
+  (− 5) 2 +  (− 5 + x3 ) 3 = −
−
−
= −0.0044
0
EI ZZ
GJ m 0
EI ZZ
EI ZZ GJ m EI ZZ
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
S
f33 =  m1x m 2x
0
4
5
dx1
dx
183.34
2 dx3
+  25 2 +  (5 − x3 )
=
= 0.042
0
0
EI YY
EI YY
EI YY
EI YY
5
f 33 =  x12
0
S
f34 =  m1x m 2x
0
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
f34 = 0
S
f35 =  m1x m 2x
0
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
f 35 =  (x1 )
5
0
S
f36 =  m1x m 2x
0
4
5
dx
dx1
dx
12.5
20
12.5
+  (5) 2 +  (5 − x3 ) 3 =
+
+
= 0.010
0
0
EI YY
EI YY
EI YY EI YY EI YY EI YY
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
f36 = 0
S
f 44 =  m1x m 2x
0
5
f 44 =  1
0
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
4
5 dx
dx1
dx
5
4
5
+ 1 2 + 1 3 =
+
+
= 0.0019
0
0
GJ m
EI ZZ
GJ m GJ m EI ZZ GJ m
S
f 45 =  m1x m 2x
0
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
f 45 = 0
S
f 46 =  m1x m 2x
0
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
f 46 = 0
S
f55 =  m1x m 2x
0
f 55 =  (1)
5
2
0
S
f56 =  m1x m 2x
0
150
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
4
5
dx
dx1
dx
5
4
5
+  (1) 2 +  (1) 3 =
+
+
= 0.0032
0
0
EI YY
EI YY
EI YY EI YY EI YY EI YY
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
f56 = 0
S
f 66 =  m1x m 2x
0
3
f 66 =  1
0
ds S y y ds S z z ds
+  m1 m 2
+  m1 m 2
GJ m 0
EI yy 0
EI zz
4 dx
5
dx
dx1
5
4
5
+ 1 2 + 1 3 =
+
+
= 0.001
0
0
EI ZZ
GJ m
EI ZZ EI ZZ GJ m EI ZZ
4. -Sustituyendo en la ecuación fuerza–desplazamiento y resolviendo el sistema de ecuaciones:
 0  0.009 0.000

 
0.01
 0.06  0.000
 0   0.021 0.000

+
0.014  0.000 0.007
 0  0.005 0.000

 
0.006  0.000 − 0.003
0.021
0.000
0.005
0.000
0.007
0.000
0.042
0.000
− 0.010
0.000
0.003
0.000
− 0.010 0.000
0.003
0.000
0.000
0.000
R AX =
0 Ton
R AY =
4.54 Ton
R AZ =
0
0.000  R AX  0
  
 
− 0.003  R AY  0
0.000  R AZ  0
= 
 
0.000   M AX  0
0.000   M YA  0
  
 
0.001   M ZA  0
M AX = − 15 .25 Ton.m
0
M YA =
M ZA = − 4.64 Ton.m
Los resultados se pueden apreciar en el siguiente esquema:
3.6 ESTRUCTURAS APOYADAS EN RESORTES
Al modelar una estructura real, se deben considerar los siguientes tipos de apoyos: apoyo fijo,
apoyo móvil, apoyo guiado, apoyo empotrado y apoyo libre. Muchas veces estos tipos de
apoyos no corresponden a la realidad. Es posible conocer la rigidez lineal o angular de dicho
apoyo, esto se puede idealizar por medio de resortes helicoidales y lineales. A continuación se
ilustran ejemplos con este tipo de apoyo o frontera.
151
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Problema 3.11
Calcular las reacciones de la siguiente estructura considerando los tipos de apoyos y datos que
se indican en la figura:
Datos:
K=
EI
L3
Solución:
1. -Cálculo de los grados de hiperestaticidad.
GH = NRF-NEE
GH = 5-3 = 2
Se seleccionan como redundantes RBy y RCy, de tal forma que la ecuación fuerza –
desplazamiento
d10  f11 + 1 f12  R BY  0
 
k
 +
= 
R

CY
d 20   f21

 0
f22 
2. Cálculo del vector de desplazamientos
Estructura primaria Mo
Estructuras Complementarias
152
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Estado m1
Estado m2
Considerando en los desplazamientos solo el efecto de flexión, se expresan a
continuación las ecuaciones de momentos flexionantes en los tres tramos para cada uno de los
estados de carga ilustrados por las tres figuras anteriores
Tramo 0  x 1  2
Mx 1 = 0
m1x 1 = 0
m2 x2 = x1
Tramo 0  x 2  2
Mx 2 = 0
m1 x 2 = x 2
m 2 x 2 = (2 + x 2 )
Tramo DA 0  x 3  2
Mx 3 = 10 x 3
m1 x 3 = (2 + x 3 )
m 2 x 3 = (4 + x 3 )
d10 = 0 Mom 1
dx
ds
33 .33
2
= 0 (10 x 3 )(2 + x 3 ) 3 =
EI
2EI
EI
d 20 = 0 Mom 2
dx
ds
53 .33
2
= 0 (10 x 3 )(4 + x 3 ) 3 =
EI
2EI
EI
s
s
153
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
3.- Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades




f11 = 0 m1m1
ds
0.67
2 dx 2
2 dx 3
2
2
= 0 (x 2 )
+ 0 (2 + x 3 )
=
EI
2EI
2EI
EI
f12 = 0 m1 m 2
dx
dx
ds
18 .64
2
2
= 0 (x 2 )(2 + x 2 ) 2 + 0 (2 + x 3 )(4 + x 3 ) 3 =
EI
2EI
EI
EI
f 22 = 0 m1z m1z
ds
37 .33
2 dx 1
2 dx 2
2 dx 3
2
2
2
= 0 (x 1 )
+ 0 (2 + x 2 )
+ 0 (4 + x 3 )
=
EI
EI
2EI
EI
EI
s
s
s


4. -Sustituyendo en la ecuación fuerza–desplazamiento y resolviendo el sistema de ecuaciones,
se obtiene:
1

10 .67 +

33
.
33
 1
1
EI

+ 
EI 53 .33  EI 
8
 18 .67

18 .67  R 
0
BY
 
= 
 R CY  0
37 .33 
R BY = − 0.713
R CY = − 1.071
Cálculo del desplazamiento del resorte en el apoyo B.
dB =
0.713 5.04
=
EI
EI
8
Para calcular MA, y RAy es necesario recurrir a las ecuaciones de la estática
 M A = 0 = 10 (2 ) − 0.713 (4 ) − 1.071(6 ) − MA = 0
M A = 10 .722
ton.m
 Fy = 0
R AY − 10 + 0.713 + 1.07 = 0
R AY = 8.216 ton
Las reacciones quedan representadas en la siguiente figura
154
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Problema 3.12
Calcular las reacciones de los siguientes tipos de apoyos del siguiente marco, considerando
sólo flexión.
K1
K2
Datos:
EI
15
EI
k2 =
15
k1 =
Solución:
1. -Cálculo de los grados de hiperestaticidad
GH = NRF-NEE
GH = 5-3
GH = 2
Se consideran como fuerzas redundantes a RCy y RDy


f + 1 
f12
 R CY  0
d10   11
k1 
=

 +
 f + 1  R DY  0
d 20  
f 21
 22

k 2 


2. -Cálculo del vector de desplazamientos en la estructura primaria
Estructura primaria Mo
155
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Estructuras Complementarias
Estado m2
Estado m1
156
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Obtención de las ecuaciones de momentos flexionantes para cada uno de los cuatro
tramos, correspondiente a los tres esquema anteriores.
Tramo 0  x 1  6
3
Mx 1 = x 12
2
m1x 1 = 0
m 2 x 1 = −1(x 1 )
Tramo 0  x 2  5
Mx2 = 1.5 x22 + 18x2 + 54
m1 x 2 = − x 2
m 2 x 2 = −1(6 + x 2 )
Tramo 0  x 3  1
Mx 3 = 3(11)
11
= 181 .5
2
m1 x 3 = −1(5 ) = −5
m 2 x 3 = −1(11) = −11
Tramo 0  x 4  2
Mx 4 = 181 .5 − 8 x 4
m1 x 4 = −1(5 ) = −5
m 2 x 4 = −1(11) = −11
d10 = 0 M 0 m 1
S
ds
EI
(
)
5
1
2
dx
dx
dx
3 2 dx1
x1 (0)
+  1.5 x22 + 18x2 + 54(− x2 ) 2 +  (181.5)(− 5) 3 +  (181.5 − 8 x4 )(− 5) 4
0 2
0
0
EI
EI
2 EI 0
2 EI
2979.75
d10 = −
EI
d10 = 
6
d 20 = 0 M 0 m 2
S
ds
EI
(
)
5
1
2
dx
dx
dx
2 3 dx1
x1 (0)
+  1.5 x22 + 18x2 + 54(− 6 − x2 ) 2 +  (181.5)(− 11) 3 +  (181.5 − 8 x4 )(− 11) 4
0
0
0
3
EI
EI
2 EI 0
2 EI
7911.13
d 20 = −
EI
6
d 20 =  −
3. -Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades
157
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
f11 = 0 m 1m 1
dx
dx
ds
79 .17
2 dx 2
5
1
2
= 0 (− x 2 )
+ 025 3 + 0 25 4 =
EI
EI
2EI
2EI
EI
f12 = 0 m1m 2
dx
dx
dx
ds
199 .17
5
1
2
= 0 (− x 2 )(− 6 − x 2 ) 2 + 055 3 + 0 55 4 =
EI
EI
2EI
2EI
EI
f 22 = 0 m 2 m 2
ds
625 .17
2 dx 1
2 dx 2
2 dx 3
2 dx 4
6
5
1
2
= 0 (− x 1 )
+ 0 (− 6 − x 2 )
+ 0(− 11)
+ 0 (− 11)
=
EI
EI
2EI
2EI
2EI
EI
S
S
S
4. -Sustituyendo en la ecuación fuerza–desplazamiento y resolviendo el sistema de ecuaciones,
se obtienen:
1 − 2979.75  79.17 199.17   RCY  0
+
=
EI  − 7911.13 199.17 625.17  RDY  0
RCY = 23.29 Ton
RDY = − 3.34 Ton
Para calcular MA, RAx y RAy es necesario recurrir a las ecuaciones de la estática
 Fy = −33 + 29.23 + 3.34 + R
AY
=0
RAY = −0.43 Ton
 M = 29.23(5) + 3.34(11) − 11(3)(5.5) − M + 8(2) = 0
A
A
M A = 17.39 Ton.m
 Fx = 8 − R Ax
R Ax = −8 Ton
Cálculo de los desplazamientos de cada resorte:
158
d10 =
R CY
15 178 .95
= 11 .93
=
K1
EI
EI
d20 =
R DY
 12  116 .76
= 9.73   =
K2
EI
 EI 
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Problema 3.13
Analizar el siguiente marco, considerando sólo el efecto de flexión.
K1
K2
Datos:
L=2
EI EI
=
L3
8
EI
EI
k2 = 3 =
L
8
k1 =
Solución:
1. -Cálculo de los grados de hiperestaticidad.
GH = NRF-NEE
GH = 5-3
GH = 2
Se consideran como fuerzas redundantes a RAx y RAy, así que la ecuación fuerzadesplazamiento queda de la siguiente forma:


f + 1 
f12
 R Ax  0
d10   11
k1 
  = 
 +
R


0
1
d 20  
f 21
 f 22 + k   Ay   

2 


2. -Cálculo del vector de desplazamientos en la estructura primaria
Estructura primaria Mo
159
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Estructuras complementarias
Estado m1
Estado m2
Obtención de las ecuaciones de momentos flexionantes para los cuatro tramos
correspondientes a los tres estados de carga
Tramo 0  x 1  2
160
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
Mx 1 = 0
m1 x 1 = 0
m 2 x 1 = −1(x 1 )
Tramo 0  x 2  2
Mx 2 = 10( x 2 )
m1 x 2 = 0
m 2 x 2 = −1(2 + x 2 )
Tramo 0  x 3  2
Mx 3 = 10(2) = 20
m 1 x 3 = −1x 3
m 2 x 3 = −1(4 ) = −4
Tramo 0  x 4  2
Mx 4 = 10(2) = 20
m1 x 4 = −1(2 + x 4 )
m 2 x 4 = −1(4 ) = −4
S
d10 =  M 0 m1
0
d10 = −
2
2
2
2
dx
dx
dx
dx
ds
d10 =  0(0) 1 +  (10( x2 )(0) ) 2 +  (20)(− 1x3 ) 3 +  (20(−1(2 + x4 ))) 4
0
0
0
0
EI
EI
EI
EI
2 EI
100
EI
d 20 = 0 M 0 m 2
S
ds
EI
d 20 = 0 (0)( −1x 1 )
2
dx
dx 1 2
dx
dx
2
2
+ 0 (10 x 2 ( −1(2 + x 2 ))) 2 + 0 (20( −4)) 3 + 0 (20( −4)) 4
EI
EI
EI
2EI
306 .67
EI
3. -Cálculo de los coeficientes de la matriz de flexibilidades
d 20 = −
f11 = 0 m 1m 1
S
f11 =
12
EI
f12 = 0 m 1m 1
s
f12 =
dx 4
ds
2 dx 1
2 dx 2
2 dx 3
2
2
2
2
= 0 (0 )
+ 0 (0 )
+ 0 (− 1x 3 )
+ 0 ( −1( 2 + x 4 )) 2
EI
EI
EI
EI
2EI
dx
dx
dx
dx
ds
2
2
2
2
= 0 (0)( − x 1 ) 1 + 0 (0 )( −1(2 + x 2 )) 2 + 0 (− 1x 3 )( −4) 3 + 0 ( −1( 2 + x 4 ))( −4) 4
EI
EI
EI
EI
2EI
20
EI
161
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
S
f 22 =  m2 m2
0
f 22 =
2 dx
2
2
2
2
dx
dx
dx
ds
3
=  (− x1 ) 2 1 +  1(2 + x 2 ) 2 2 +  (−4)
+  (−4) 2 4
0
0
0
0
EI
EI
EI
EI
2 EI
69.33
EI
4. -Sustituyendo en la ecuación fuerza–desplazamiento y resolviendo el sistema de ecuaciones,
se obtiene:
1

12 + 1
1  − 100.00 1 
EI
+


EI − 306.67 EI  20





  R  0 
Ax

=
1   R Ay  0
69.33 +
1

8
20
R Ax = 1.39 Ton
R Ay = 3.60 Ton
Para calcular MA, RAx y RAy es necesario recurrir a las ecuaciones de la estática
 Fy = 3.60 − 10 + R
DY
=0
R DY = 6.4 Ton
 M = 1.39(4) + 10(2) − 6.4(4) + M = 0
A
D
M D = 0.04 Ton.m
 Fx = 1.39 + R
DX
RDX = 1.39 Ton
Cálculo de los desplazamientos de cada resorte:
d10 =
R Ax
8 11.12
= 1.39
=
K1
EI
EI
d 20 =
R Ay
K2
= 3.60
8
28.8
=
EI
EI
Los resultados se ilustran en la siguiente figura:
162
CAPÍTULO 3 MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES
20
  R AX  0
1  − 100.00 1 (12 + 8)
+
=
(69.33 + 8)  R AY  0
EI − 306.67 EI  20
RAX = 1.39 Ton
RAY = 3.60 Ton
163
CAPÍTULO 4
MÉTODO DE LAS RIGIDECES
El método de las rigideces denominado también de los desplazamientos, es el que más se ha
empleado para elaborar programas de computadora, por la facilidad que presenta en su
procedimiento de aplicación. Obviamente recibe el nombre de desplazamientos porque al
resolver el modelo matemático, o sea el sistema de ecuaciones, se obtienen todos los
desplazamientos del sistema estructural donde se hayan considerado los grados de libertad.
Se entiende por grados de libertad a las coordenadas generalizadas establecidas en
todos los nodos y en los puntos interiores de las barras en donde es necesario o se quiere
conocer los desplazamientos generalizados. En este caso, los grados de libertad definen el
orden de la matriz de rigideces, y por lo tanto, el tamaño numérico del problema.
En este método es importante aclarar el concepto de rigidez Las rigideces son las
fuerzas generalizadas que provocan o generan elementos geométricos generalizados unitarios,
esto significa que la rigidez es una parte de los elementos finitos que integran el sistema.
La topología o forma de la estructura queda definida por las coordenadas, fronteras y
características elásticas y geométricas de las barras. En los ejemplos siguientes se consideran
barras de sección transversal constante, por lo que la matriz de rigideces de los elementos no
varía, en casos donde se tengan barras de sección variable, se tendrá que discretizar en tramos
que cumplan con lo establecido.
Como se indica en el capítulo 3, existen diferentes libros con el planteamiento y
enfoques diversos, en este capítulo se propone el procedimiento que se indicará a continuación.
4.1 ECUACIÓN DEL MÉTODO DE LAS RIGIDECES
La ecuación fuerza–desplazamiento para una barra de sección constante analizada en el
sistema de coordenadas de referencia queda expresada por la ecuación (4.1.) al usar las
ecuaciones de equilibrio
p  = k  d  + k  d 
p  = k  d  + k  d 
1
11
1
12
1
2
21
2
22
2
En donde:
(4.1)
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
[p]
son fuerzas generalizadas (elementos mecánicos de los extremos 1 y 2 de las
barras).
[d]
estos son los desplazamientos generalizados (elementos geométricos
desplazamientos lineales y angulares) de los extremos de las barras, en los
extremos 1 y 2.
[k]
son los elementos o coeficientes que integran la matriz de rigideces, con las
características indicadas.
La matriz de rigideces es la parte fundamental de la ecuación (4.1.) y está integrada por
las características geométricas y elásticas del material, tales como el área de la sección
transversal A, el momento de inercia I, el momento polar de inercia J, la longitud de la barra L,
el módulo de elasticidad axial E y el módulo de elasticidad al corte G.
Esta ecuación resulta de establecer el equilibrio y la compatibilidad en el análisis del
elemento finito referenciado en un sistema de coordenadas particular.
Dentro del proceso es necesario referenciar las ecuaciones (4.1.) en el sistema de
coordenadas global o en el sistema de referencia de todo el sistema estructural. Para realizar lo
anterior se recurre a las ecuaciones de transformación de ejes establecidas en el álgebra lineal,
obteniendo las ecuaciones (4.2).
p´  = k´  d´  + k´  d´ 
p´  = k´  d´  + k´  d´ 
1
11
2
21
12
1
2
22
1
(4.2)
2
En el sistema anterior los apostrofes (´) indican que los vectores de fuerza,
desplazamiento y las submatrices de rigideces están expresadas en el sistema de ejes general.
En las ecuaciones (4.3.), (4.4.), (4.5.), (4.6.), (4.7.) y (4.8.) se expresan las matrices de
rigideces en el sistema local, para barras en diferentes estructuras.
ARMADURAS EN EL PLANO
− 1

L − 1 1 
k  = EA  1
e
(4.3)
ARMADURAS EN EL ESPACIO
− 1

L − 1 1 
k  = EA  1
e
(4.4)
VIGAS CONTINUAS
 4EI

k e =  2LEI

 L
166
2EI 
L 
4EI 

L 
(4.5)
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
MARCOS EN EL PLANO
 EA
 L

 0


 0
k e =  EA
−
 L

 0

 0

−
EA
L
0
0
12EI
6EI
3
L
4EI
L
0
0
EA
L
L
2
0
−
12EI
3
L
6EI
L
−
6EI
12EI
−
3
L
6EI
L
2
0
12EI
0
2
L
2EI
L
2
−
0
2
L
6EI
0
3
−
0
L
6EI
L
2

0 
6EI 

2
L 
2EI 

L 
0 

6EI 
− 2 
L 
4EI 
L 
(4.6)
MARCOS PARRILLA
 GJ
 L

 0

 0
k e =  GJ
−
 L
 0


 0

−
0
0
12EI
L3
6EI
L2
6EI
L2
4EI
L
0
0
−
12EI
L3
6EI
L2
12EI
L3
6EI
− 2
L
0
0
0
0
0
12EI
L3
6EI
− 2
L
0
GJ
L
6EI
L2
4EI
L
0
−
0
−

0 
6EI 

L2 
4EI 
L 

0 

6EI
− 2 
L 
4EI 

L 
GJ
L
0
0
0
(4.7)
MARCOS EN EL ESPACIO
 EA
 L

 0


 0

 0


 0

 0
k  =  EA
−
 L
 0


 0


 0

 0


 0

−
EA
L
0
0
0
0
0
12EI z
L3
0
0
0
6EI z
L2
0
0
0
0
0
0
6EI z
L2
12EI y
L3
0
− 6EI y
L2
0
0
GJ
L
0
0
− 6EI y
L2
0
4EI y
L
0
0
0
0
0
− 6EI z
L2
EA
L
0
0
0
− 12EI z
L3
0
0
0
− 6EI z
L2
0
0
6EI z
L2
L3
0
− 6EI y
L2
0
0
− GJ
L
0
0
6EI y
L2
0
2EI y
L
0
0
0
0
− 12EI y
0
4EI z
L
0
0
0
− 12EI z
L3
0
0
− 12EI y
L3
0
− 6EI y
L2
0
− GJ
L
0
0
0
− 6EI y
L2
0
2EI y
L
0
0
0
0
0
0
0
0
12EI z
L3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2EI z
L
0
− 6EI z
L2
12EI y
L3
0
6EI y
L2
0
0
6EI y
L2
GJ
L
0
0
4EI
L
0
0


6EI z 

L2 

0 

0 


0 

2EI z 
L 

0 

− 6EI z 
L2 

0 


0 

0 

4EI z 

L 
0
(4.8)
167
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Las ecuaciones (4.9.), (4.10.), (4.11, (4.12.) (4.13.) y (4.14.) expresan los
transformadores para pasar del sistema local al sistema global.
TRANSFORMADOR PARA ARMADURAS EN EL PLANO
T  =  l  = cos  
m
(4.9)
sen  
TRANSFORMADOR PARA ARMADURAS EN EL ESPACIO
cos  
l 
T =   =  cos  
m  cos  


(4.10)
TRANSFORMADOR PARA VIGAS
T  = 1
(4.11)
TRANSFORMADOR PARA MARCOS PLANOS
cos  − sen 0
T = sen cos  0
 0
0
1
(4.12)
TRANSFORMADOR DE PARRILLAS
cos  0 − sen 
T =  0 1 0 
sen 0 cos  
(4.13)
TRANSFORMADOR PARA MARCOS EN EL ESPACIO
l1 m1

l2 m 2
l m
T  =  3 3
0 0
0 0

0 0
n1
0
0
n2
0
0
n3
0
0
0
l1
m1
0
l2
m2
0
l3
m3
0

0
0

n1 
n2 

n3 
(4.14)
Para obtener la matriz de rigideces de las barras en el sistema global, se usa la
ecuación:
k´ = T  k  T  t
168
(4.15)
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Al aplicar la ecuación (4.15.) se obtienen las ecuaciones (4.16.), (4.17.), (4.18.), (4.19.), y
(4.20)
ARMADURAS EN EL PLANO
 l2
lm

2
k´ = EA  ml2 m
L −l
− ml

2
− lm − m
−l2
− ml
l2
ml
− lm 

− m2 
lm 

m 2 
(4.16)
ARMADURAS EN EL ESPACIO
 l2

ml

k´ =  nl2
l
ml

 nl
ln 

m mn ml m mn
nm n2 nl nm n2 

lm ln l2 lm ln 
m2 mn ml m2 mn

nm n2 nl nm n2 
lm
ln
2
l2
lm
2
(4.17)
VIGAS CONTINUAS
 4EI

k´e =  2LEI

 L
2EI 
L 
4EI 

L 
(4.18)
MARCOS EN EL PLANO
  EA 2 12EI 2 
6 EI
12EI
6 EI 
 EA 12EI 
 EA

 EA 12EI 
+ 3 lm
− 2 m −  l 2 − 3 m2 
−
− 3 lm
− 2 m

 L l + 3 m 
L
L
L
L
L
L
L
L
L









EA
12
EI
EA
12
EI
6
EI
EA
12
EI
EA
12
EI
6
EI 





2
2
2
2
 
+ 3 lm
m + 3 l 
l
−
− 3 lm
−
m + 3 l 
l

  L
L 
L
L2
L 
L
L2 
 L

 L
 L


6 EI
6 EI
4 EI
6 EI
6 EI
2 EI 

 (4.19)
− 2 m
l
m
−
l
2
2
2
L
L
L
L
L
L


k´e = EA 12EI
6 EI
6 EI 
 
 EA 12EI 
 EA 2 12EI 2 
 EA 12EI 
2
2
−
− 3 lm
m  l + 3 m 
+ 3 lm
m

−  L l − L3 m 
L 
L2
L
L 
L2

 L
 L

 L
 

6 EI
6 EI 
 EA 2 12EI 2 
 EA 12EI 
 EA 2 12EI 2 
 −  EA − 12EI lm
−
m + 3 l  − 2 l
+ 3 lm
m + 3 l  − 2 l


  L
L3 
L
L
L 
L
L 
 L

 L
 L


6 EI
6 EI
2 EI
6 EI
6 EI
4 EI 


− 2 m
l
m
− 2
2
2
L
L 
L
L
L
L

MARCOS PARRILLA
169
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
 GJ 2 4 EI 2 
6 EI
 GJ 4 EI 
−

lm
 L l + L m  − 2 m
L 
L

 L

6 EI
12EI
6 EI

− 2 m
l
3

L
L
L2
  GJ 4 EI 
6 EI
 GJ 2 4 EI 2 
−
l
m −
l 
lm

 
2
L
L
L
L


 L

k´e =  GJ
2
EI
6
EI
−
GJ
2
EI




2
2
−

lm
 L l + L m  − L2 m
L 


 L

6 EI
12EI
6 EI

m
− 3
− 2 l

L2
L
L
  GJ 2 EI 
6 EI
 GJ 2 2 EI 2 
−
l −
m +
l 
lm
 −
L 
L
L2
 L

 L

 GJ 2 2 EI 2  6 EI
 − GJ 2 EI 
l +
m 
m
−


lm 
2
L
L 
 L
 L
 L

6 EI
12EI
6 EI

− 2 m
− 3
l

L
L
L2
6 EI
 GJ 2 EI 
 GJ 2 2 EI 2  (4.20)
−
m +
l 
−
lm − 2 l  −
L 
L
L
 L
 L


 GJ 2 4 EI 2  6 EI
 GJ 4 EI 
l +
m 
m
−


lm 
2
L
L 
 L
 L
 L

6 EI
12EI
6 EI

m
−
l

L2
L3
L2
6 EI
 GJ 4 EI 
 GJ 2 4 EI 2  
−
− 2 l 
m −
l 

lm
L 
L
L
 L
 L

Estableciendo la compatibilidad y el equilibrio de la estructura se obtiene un sistema de
ecuaciones, que se puede expresar como:
K d = P
l
N
(4.21.)
En la ecuación matricial (4.2.1) se tiene a la matriz de rigideces de nodos del sistema
estructural, el vector de cargas y el vector de desplazamiento que son las incógnitas del
problema.
Una parte importante del método, es la obtención de la matriz de rigideces de toda la
estructura, incluyendo las fronteras, las cuáles se tienen que eliminar para obtener la matriz de
nodos. En el procedimiento que a continuación se expone se proporciona una forma práctica de
generarla.
4.1.1 Procedimiento para analizar estructuras por el método de las rigideces
1.
Determinación de los grados de libertad de la estructura. Estos desplazamientos se
localizan generalmente en los nodos, pero también se pueden localizar en cualquier otro
lugar donde se quieran conocer los desplazamientos. Es común que en armaduras los
grados de libertad se ubiquen en los nodos.
2.
Calcular los vectores de cargas indicadas en la ecuación (4.21.) Para efectuar este
cálculo se recomienda recurrir a tablas que contengan diferentes casos de vigas
doblemente empotradas ó empotradas y apoyadas para diferentes tipos de cargas. De
esta manera se obtendrán las fuerzas generalizadas (cargas en los nodos discretizados)
3.
Se genera la matriz de rigideces total o de nodos. Existen algunas formas para generar
la matriz de rigideces, el procedimiento empleado en los ejemplos es el siguiente:
o
Se obtienen los elementos de la diagonal principal, sumando las submatrices de las
barras que concurren al nodo.
o
Los elementos del triangulo superior de la matriz de rigideces se determinan con la
submatriz de conectividad de las barras que unen a los nodos.
170
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
o
Si se generó la matriz de rigedeces total, deberán eliminarse renglones y columnas
correspondiente a los grados de libertad impedidos en la frontera. Es importante
recordar que esta matriz es simétrica.
4.
Determinación de los desplazamientos requeridos de la estructura. Para obtener estos
desplazamientos o grados de libertad, es necesario la solución del sistema de
ecuaciones.
5.
Para conocer los elementos mecánicos, estos se obtienen a partir de los vectores de
desplazamiento de cada barra, ecuación (4.2.)
En el presente trabajo los sistemas de ecuaciones fueron resueltos mediante programas
en calculadoras ordinarias. Pero si el o los sistemas de ecuaciones resultaran demasiado
grandes se puede utilizar programas en la computadora, que por su mayor memoria permite la
solución de sistemas grandes.
4.2 ESTRUCTURAS ARTICULADAS EN EL PLANO
Para analizar este tipo de estructuras, se recurrirá a las ecuaciones (4.3.), (4.9.), (4.16.) o
simplemente en la ecuación (4.15.), así como la ecuación fuerza–desplazamiento (4.21.)
siguiendo el procedimiento marcado en el inciso 4.1.1.
Problema 4.1
Determinar los desplazamientos de la siguiente armadura en el plano utilizando el método de
las rigideces
D
A
Solución:
1. - Determinación de los grados de libertad
GL = NRF-NEE
NRF = 5(2)=10
NDR = 3
GL = 10-3
GL = 7
171
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Por lo tanto la ecuación fuerza-desplazamiento para esta armadura queda de la
siguiente forma:
[k’]7x7 {d’}7x1 = {p}7x1
2. - Determinación del vector de carga.
PAy   0 
  

PBx   0 
PBy   0 
p = PCx  =  0 
P   0 
 Cy  

PEx   0 
P  

 Ey  − 30 
3. - Generación de la matriz general o de nodos.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
 k11l a + k11l c + k11l d
A
− k12l a
− k12l c
− k12l d


l
l
l
l
l
'
l
l
− k21 a
k22 a + k11 b + k11 e + (k11 ) f − k12 b
− k12 e
− k12 f

B
l
l
l
l
C
k ' = 
k22 b + k11 g
0
− k12 b
0
− k12 g


0
− k12l c
− k12l e
k22l c + k22l e + k11l h
− k12l h

D
l
l
l
l
l
l
l
l

− k12 g
− k12 d
− k12 f
− k12 h
k22 d + k22 f + k22 g + k22 h E

4. -Cálculo de las submatrices de las barras dela estructura
Barra
Li (m)
EA

Sen
Cos
Sen2 
Cos2 
SenCos
a
b
c
d
e
f
g
h
8.00
8.00
6.00
10.00
10.00
6.00
10.00
8.00
EA
EA
EA
0.5EA
0.5EA
EA
EA
EA
0°
0°
90°
36°87’
143°13’
90°
143º13’
0°
0.000
0.000
1.000
0.600
0.600
1.000
0.600
0.600
1.000
1.000
0.000
0.800
-0.800
0.000
-0.800
1.000
0.000
0.000
1.000
0.360
0.360
1.000
0.360
0.000
1.000
1.000
0.000
0.640
0.640
0.000
0.640
1.000
0.000
0.000
0.000
0.480
-0.480
0.000
-0.480
0.000
Cualquier barra tiene la siguiente submatriz:
172
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
k  = EA  cos 
cos sen 

L sen cos 
sen 2  
2
i
(k )a = (k )a = (k )a = (k )a = EA 
0.000 

0.000 
(k )b = (k )b = (k )b = (k )b = EA 
0.000 

0.000 
l
l
l
l
11
12
21
22
0.00 
0.125
 = EA 
8 0.00 0.00 
0.000
1.00
0.00 
0.125
 = EA 
8 0.00 0.00 
0.000
1.00
l
l
l
l
11
12
21
22
(k )c = (k )c = (k )c = (k )c = EA 0.000
l
l
l
l
11
12
21
22
0.000 
0.0000
 = EA 
0.000 1.000 
0.0000
0.0000 

0.16667 
(k )d = (k )d = (k )d = (k )d = 0.5EA 0.64 0.48  = EA 0.032 0.024 
l
l
l
l
11
12
21
22
10
0.48 0.36 
(k )e = (k )e = (k )e = (k )e = 0.5EA 
l
l
l
l
11
12
21
22
10
0.64
− 0.48
0.024
− 0.48 
 0.032
 = EA 
0.36 
− 0.024
(k )f = (k )f = (k )f = (k )f = EA 0.000
l
l
l
l
11
12
21
22
0.000 
0.000
 = EA 
6 0.000 1.000 
0.000
(k )g = (k )g = (k )g = (k )g = EA  0.64
l
l
l
l
11
12
21
22
10 − 0.48
0.018 
− 0.024 

0.018 
0.000 

0.16667 
− 0.48 
 0.064
 = EA 
0.36 
− 0.048
− 0.048 

0.036 
(k )h = (k )h = (k )h = (k )h = EA 
l
l
l
l
11
12
21
22
1.00 0.00 
0.125 0.000 
 = EA 

8 0.00 0.00 
0.000 0.000 
Suma de matrices en la diagonal principal.
(k' )a + (k' )d + (k' )c = EA 
0.15700
11
11
11
0.02400
− 0.0240 

− 0.0240 0.18467 
(k' )b + (k' )f + (k' )e + (k' )a = EA 
11
11
11
22
(k' )g + (k' )b = EA 
11
22
0.18900
− 0.04800
(k' )c + (k' )e + (k' )h = EA 
22
11
11
0.02400 

0.18467 
0.2820
− 0.04800 

0.03600 
0.15700
− 0.02400
− 0.02400 

0.18467 
173
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
(k' )h + (k' )d + (k' )f + (k' )g = EA 
22
22
22
0.2210
− 0.0240
22
0.0240 

0.22067 
Sustituyendo valores en la matriz general o de rigideces
 0.157
 0.024

− 0.125

 0.000
 0.000
k=
 0.000
 0.000

 0.000
− 0.320

− 0.240
0.02400 − 0.1250
0.000
0.000
0.000
0.000
0.18467
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
− 0.16667 − 0.0240
0.000
0.282
− 0.0240
− 0.125
0.000
− 0.032
0.0240
0.000
− 0.0240 0.18467
0.000
0.000
0.0240
− 0.0180
0.000
− 0.1250
0.000
0.189
− 0.480
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
− 0.0480
0.036
0.000
0.000
0.000
− 0.0320
0.0240
0.000
0.000
0.157
− 0.0240
− 0.1667
0.0240
− 0.0180
0.000
0.000
− 0.0240
0.18467
− 0.0240
0.000
0.000
− 0.064
0.0480
− 0.125
0.000
− 0.0180
0.000
− 0.1667
0.048
− 0.036
0.000
0.000
0.000
− 0.0320 − 0.0240
− 0.018 
0.000
0.000 

0.000 − 0.1667
− 0.0640 0.0480 
 EA
0.0480 − 0.0360
− 0.125
0.000 

0.000
0.000 
0.221 − 0.0240

− 0.024 0.22067
5. -Eliminando los desplazamientos restringidos d’Ax, d’Dx, y d’Dy y resolviendo el sistema de
ecuaciones.
0.000
0.000
0.000
0.000 − 0.0240 − 0.018  d ' Ay   0 
 0.18467


 0.000
0.282
− 0.0240 − 0.125 0.000
0.000
0.000  d 'Bx   0 

 0.000 − 0.0240 0.18467
0.000
0.000
0.000 − 0.1667 d 'By   0 
 



k = EA 0.000 − 0.0320 0.0240
0.000
0.000 − 0.125
0.000  d 'Cx  =  0 
− 0.1667 0.0240 − 0.0180 0.000
0.000
0.000
0.000  d 'Cy   0 
 



0.000
− 0.064 0.0480
0.221 − 0.0240 d 'Ex   0 
− 0.0240 0.000
− 0.0180 0.000 − 0.16667 0.048 − 0.036 − 0.024 0.22067 d 'Ey  − 30



 
Despejando d' = k  p se obtienen los siguientes desplazamientos:
−1
35381.91
EA
607521.18
d ' Bx =
EA
482352.45
d ' By =
EA
1277956.11
d ' Cx =
EA
2234739.70
d ' Cy =
EA
− 62913.75
d ' Ex =
EA
446883.73
d ' Ey =
EA
d ' Ay =
174
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Problema 4.2
Determinar los desplazamientos de la siguiente armadura en el plano con los datos que se
indican en la siguiente figura:
Solución:
1. - Determinación de los grados de libertad
GL = NRF-NEE
NRF =4(2)=8
NDR = 4
GL = 8-4
GL = 4
La ecuación fuerza-desplazamiento para esta estructura queda de la siguiente manera.
[k’]4x4 {d’}4x1 = {p}4x1
2. -Determinación del vector de carga
PBx   5 
  

P
0
p =  By  =  
PCx   0 
PCy  − 15 
 
175
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
3. -Generación de la matriz de rigideces o de nodos.
(k '11 )a + (k'11 )b − (k ' 22 )a + (k ' 22 )c + (k' 22 )e

− (k' 21 )a
− (k'12 )c
k' = 
− (k ' 21 )b
− (k'12 )c

0
− (k'12 )e

− (k '12 )b


− (k' 21 )c
− (k' 21 )e 
(k' 22 )b + (k' 22 )d + (k'11 )c
− (k' 21 )d 
(k'11 )e + (k'11 )d
− (k '12 )d
0
4. -Determinación de las submatrices de las barras
Barras
a
b
c
d
e
Li(m)
8.485
6.708
3.000
6.708
8.485

45°
26°33’
90°
153°26’
135°
EA
2EA
2EA
EA
2EA
2EA
sen 
0.70711
0.89443
0.00000
0.44721
0.70711
cos 
0.70711
0.89443
0.00000
-0.89443
-0.70711
sen2 
0.5000
0.2000
1.0000
0.2000
0.5000
cos2 
0.5000
0.8000
0.0000
0.8000
0.5000
sen  cos 
0.5000
0.4000
0.0000
-0.4000
-0.5000
Cualquier barra tiene la siguiente submatriz:
k  = EA  cos 
cos sen 

L sen cos 
sen 2  
2
i
(k )a = (k )a = (k )a = (k )a = 2EA 0.50 0.50  = EA 0.11786
0.11786
0.11786 

0.11786 
(k )b = (k )b = (k )b = (k )b = 2EA 
0.80 0.40 
0.23852
 = EA 
6.708 0.40 0.20 
0.11926
0.11926 

0.05963 
(k )c = (k )c = (k )c = (k )c = EA 0.00 0.00  = EA 0.00000
0.00000 

0.33333 
l
l
l
l
11
12
21
22
l
l
l
l
11
12
21
22
l
l
l
l
11
12
21
22
8.485 0.50 0.50 
3.00 0.00 1.00 
0.00000
(k )d = (k )d = (k )d = (k )d = 2EA  0.800
− 0.400 
 0.23852
 = EA 
0.200 
− 0.11926
(k )e = (k )e = (k )e = (k )e = 2EA  0.50
− 0.50 
 0.11786
 = EA 
0.50 
− 0.11786
l
l
l
l
11
12
21
22
l
l
l
l
11
12
21
22
6.708 − 0.400
8.485 − 0.50
Suma de matrices para la diagonal principal.
(k' )a + (k' )b = EA 
0.35638
11
11
0.23712
(k' )a + (k' )c + (k' )e = EA 
22
176
22
22
0.23712 

0.17749 
0.23572
0.00000
0.00000 

0.56905 
− 0.11926 

0.05963 
− 0.11786 

0.11786 
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
(k' )b + (k' )d + (k' )c = EA 
22
22
11
0.35638
− 0.23712
− 0.23712 

0.17749 
Sustituyendo los valores en la matriz de rigideces.
 0.35638

 0.23712
− 0.11786

k' = − 0.11786
− 0.23852

− 0.11926
 0.000

 0.000
0.23712
− 0.11786
− 0.11786
− 0.23852
− 0.11926
0.000
0.17749
− 0.11786
− 0.11786
− 0.11926
− 0.05963
0.000
− 0.11786
0.23572
0.000
0.000
0.000
− 0.11786
− 0.11786
0.000
0.56905
0.000
− 0.3333
0.11786
− 0.11926
0.000
0.000
0.47704
0.000
− 0.23852
− 0.05963
0.000
− 0.33333
0.000
0.45259
0.11926
0.000
− 0.11786
0.11786
− 0.23852
0.11926
0.35638
0.000
0.11786
− 0.11786
0.11926
0.05963
− 0.23712


0.000 
0.11786 

− 0.11786 
EA
0.11926 

− 0.05963 
− 0.23712 

0.17749 
0.000
5. -Eliminando los que están restringidos dAx, dAy, dDx y dDy y solucionando el sistema de
ecuaciones.
0.23572

k' = EA 0.00000
0.00000

0.00000
0.00000
0.00000
0.56905
0.00000
0.00000
0.47704
− 0.033333
0.00000
0.00000  dBx   5 
  

− 0.33333  dBy   0 
 =

0.00000  d Cx   0 

0.45259  d Cy  − 15 
Despejando d' = k  p se obtienen los siguientes desplazamientos
−1
d' Bx
=
d' By
=
d' Cx
=
d' Cy
=
21 .21161
EA
− 34 .14393
EA
0.00000
− 58 .28939
EA
177
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Problema 4.3
Analizar la siguiente armadura en el plano por el método de las rigideces, determinando los
desplazamientos en los nodos correspondientes.
Solución:
1. - Determinación de los grados de libertad
GL = NRF-NEE
NRF =8(2)=16
NDR = 3
GL = 16-3
GL = 13
La ecuación fuerza-desplazamiento para esta armadura plana es la siguiente:
[k’]13x13 {d’}13x1 = {p}13x1
2. - Determinación del vector de cargas
Px  R x 
   
Py  R y 
Px   10 
   
Px   0 
PCx   0 
   
PCy   0 
P   0 
 Dx   
P   − 5 
p =  Dy  =  
PEx   0 
PEy   − 8 
   
PFx   0 
P   0 
 Fy   
PGx   0 
P   0 
 Gy   
PHx   0 
   
PHy  R Hy 
178
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
3. - Generación de la matriz de nodos.
(k ' 11 )a + (k ' 11 )b

 − (k ' 21 )a
 − (k ' 21 )b

0
k  = 
0

0


0

0

− (k ' )a
− (k ' )b
0
0
0
0
0


(k' )d + (k' )a + (k' )c + (k' )f
− (k ' )c
− (k ' )d
− (k ' )f
0
0
0


(k' )e + (k' )c + (k' )b
− (k ' )c
0
− (k ' )e
0
0
0

(k' )d + (k' )g + (k' )h
− (k ' )d
0
− (k ' )g
− (k ' )h
0
0


(k' )g + (k' )f + (k' )i + (k' )e + (k' )j
− (k ' )f
− (k ' )e
− (k ' )g
− (k ' )i
− (k ' )j
0

(k' )h + (k' )i + (k' )k
0
0
− (k ' )h
− (k ' )i
− (k ' )k
− (k ' )l 
(k' )k + (k' )j + (k' )m
0
0
0
− (k )j
− (k ' )k
− (k ' )m 

(k' )l + (k' )m
0
0
0
0
− (k ' )l
− (k ' )m
12
11
12
22
22
11
12
21
11
11
12
12
21
22
21
12
22
21
22
22
21
12
11
22
12
22
12
22
22
12
21
11
12
11
21
22
12
21
11
12
11
21
22
12
21
11
4. -Cálculo de las submatrices de las barras
Barra
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
(EA)
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
α
57°59'
38°39'
90°
38°39'
38°39°
0°
90°
141°20'
0°
141°20'
90°
122°
141°20'
Li
9.43
6.40
4.00
6.40
6.40
5.00
4.00
6.40
5.00
6.40
4.00
9.43
6.40
Cos α
0.5300
0.7809
0.0000
0.7809
0.7809
1.0
0.0
-0.7809
1.0
-0.7809
0.0
-0.53
-0.7809
Sen α
0.8480
0.6247
1.0
0.6247
0.6247
0.0
1.0
0.6247
0.0
0.6247
1.0
0.8480
0.6247
Cos2 α
0.2809
0.6098
0
0.6098
0.6098
1
0
0.6098
1
0.6098
0
0.2809
0.6098
Sen2 α
0.7191
0.3903
1.0
0.3903
03903
0
1
0.3903
0
0.3903
1.0
0.7191
0.3903
cos α sen α
0.4494
0.4878
0
0.4878
0.4878
0
0
-0.4878
0
-0.4878
0
-0.4494
-0.4878
Las submatrices (kij) son del tipo:
i
(k' )a = EA 
0.2809
11
9.43 0.4494
cos 2 
cos sen 

L senr cos 
sen 2  
(k ) = EA 
0.4494 
0.0298
 = EA 
0.7191 
0.0477
0.0477 

0.0763 
(k '11 )b = EA 
0.6698 0.4878
0.0953 0.0762
= EA

b
6.40 0.4878 0.3903
0.0762 0.0610
0 
0 0 
0
(k )c = EA
= EA
c


0 0.25
4 0 1
11




(k '11 )d = EA 
0.6098 0.4878
0.0953 0.0762
= EA

b
6.40 0.4878 0.3903
0.0762 0.610 
(k '11 )e = EA 
0.6098 0.4878
0.0953 0.0762
= EA

b
6.40 0.4878 0.3903
0.0762 0.0610
179
11
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
(k ' 22 ) f = EA 
1 0
0.20 0
= EA

0
5 0 1 
 0
(k '11 )g = EA 
0 0
0 
0
= EA

c
4 0 1 
0 0.25
0.6098 − 0.4878
 0.0953 − 0.0762
= EA

h
6.40 0.4878 0.3903 
− 0.0762 0.0610 
(k ' 22 )h = EA 
(k '11 )i = EA 
1 0
0.20 0
= EA 

0
5 .0  0 0 
 0
− 0.4878
 0.0953 − 0.0762
= EA

h
6.4 − 0.4878 0.3903 
− 0.0762 0.0610 
(k ' 22 ) j = EA 
0.6098
(k '11 )k = EA 
0 0
0 
0
= EA

c
4 0 1 
0 0.25
(k' )l = EA 
22
0.2809
9.43 − 0.4494
− 0.4994 
 0.0298
 = EA 
0.7191 
− 0.0477
− 0.0477 

0.0763 
− 0.4878
 0.0953 − 0.0762
= EA

h
6.4 − 0.4878 0.3903 
− 0.0762 0.0610 
(k '11 )m = EA 
 0.1251
 0.1239

− 0.0298

− 0.0477
 − 0.0953

− 0.0762
 0

0
k  = EA 
0

 0

 0
 0

 0
 0

 0
 0

0.1239
0.1373
− 0.0477
− 0.0763
− 0.0762
− 0.0610
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.6098
− 0.0298 − 0.0477 − 0.0953 − 0.0762
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
− 0.0477 − 0.0763 − 0.0762 − 0.0610
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
  0   Rx 
  0  R 
    y 
0.3251 0.1239
0
0
− 0.0953 − 0.0762 − 0.20
0
0
0
0
0
0
0   d x   10 
    
0.1239 0.5873
0
− 0.25 − 0.0762 − 0.0610
0
− 0.20
0
0
0
0
0
0   d y   0 
0
0
0.1906 0.1524
0
0
− 0.0953 − 0.0762
0
0
0
0
0
0   d Cx   0 
    
0
− 0.25 0.1524 0.3720
0
0
0.0762 − 0.0610
0
0
0
0
0
0   d Cy   0 
− 0.0953 − 0.0762
0
0
0.1906
0
0
0
− 0.0953 0.0762
0
0
0
0  d Dx   0 
    
− 0.0762 − 0.0610
0
0
0
0.3720
0
− 0.25 0.0762 − 0.0610
0
0
0
0  d Dy   − 5 
=
− 0.20
0
− 0.0953 − 0.0762
0
0
0.5906
0
− 0.20
0
− 0.0953 0.0762
0
0   d Ex   0 
  
0
− 0.20 − 0.0762 − 0.0610
0
− 0.25
0
0.5720
0
0
0.0762 − 0.0610
0
0   d Ey   − 8 
    
0
0
0
0
− 0.0953 0.0762 − 0.20
0
0.3251 − 0.1239
0
0
− 0.0298 0.0477   d Fx   0 
0
0
0
0
0.0762 − 0.0610
0
0
− 0.1239 0.3873
0
− 0.25 0.0477 − 0.0763   d Fy   0 
    
0
0
0
0
0
0
0.0953 0.0762
0
0
0.1906 0.1524 − 0.953 0.0762   d Gx   0 
0
0
0
0
0
0
0.0762 − 0.0610
0
− 0.25 − 0.1524 0.3720 0.0762 − 0.0610  d Gy   0 
    
0
0
0
0
0
0
0
0
− 0.0298 0.0477 − 0.0953 0.0762 0.1251 − 0.1239  d Hx   0 
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0477 − 0.0763 0.0762 − 0.0610 − 0.1239 0.1373   0   RHy 
3. - Eliminando los desplazamientos restringidos y solucionando el sistema de ecuaciones.
180
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
0.5873

 0
 − 0.25

0.0762
0.0610

 0
k  = EA  0.20
 0

 0
 0

 0
 0

0.1239
0
− 0.25
− 0.0762
− 0.0610
0
− 0.20
0
0
0
0
0
0.1906
0.1524
0
0
− 0.0953
− 0.0762
0
0
0
0
0
0.1524
0.3720
0
0
− 0.0762
− 0.0610
0
0
0
0
0
0
0
0.1906
0
0
0
− 0.0953
0.0762
0
0
0
0
0
0
0.3720
0
− 0.25
0.0762
− 0.0610
0
0
0
− 0.0953
− 0.0762
0
0
0.5906
0
− 0.20
0
0.0953
0.0762
0
− 0.0762
− 0.0610
0
− 0.25
0
0.5720
0
0
0.0762
− 0.0610
0
0
0
− 0.0953
0.0762
− 0.20
0
0.3251
0.1239
0
0
− 0.0298
0
0
0.0762
− 0.0610
0
0
0.1239
0.3873
0
− 0.25
0.0477
0
0
0
0
− 0.0953
0.0762
0
0
0.1906
− 0.1524
0.0953
0
0
0
0
0.0762
− 0.0610
0
− 0.25
− 0.1524
0.3720
0.0762
0
0
0
0
0
0
− 0.0298
0.0477
− 0.0953
0.0762
0.1251
0
0
− 0.0953
− 0.0762
− 0.20
0
0
0
0
0
0
  dBy   0 
 d   
  Cx   0 
 d Cy   0 
0
    
− 0.0953  dDx   0 
− 0.0762  dDy  − 5
    
− 0.20   dEx   0 
  d  = − 8
0
  Ey   
0
  dFx   0 
    
0
  dFy   0 
 d Gx   0 
0
    
0
 d Gy   0 
 d   0 
0
  Hx   
0
  dBx   10 
0
0
101 .64
EA
− 71 .01
d' Cx =
EA
101 .59
d' Cy =
EA
29 .289
d' Dx =
EA
29 .56
d' Dy =
EA
− 12 .25
d' Ex =
EA
40 .89
d' Ey =
EA
− 8.85
d' Fx =
EA
− 0.37
d' Fy =
EA
− 38 .18
d' Gx =
EA
− 0.36
d' Gy =
EA
− 30 .83
d' Hx =
EA
− 14 .15
d' Bx =
EA
d' y =
181
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
4.3 ESTRUCTURAS ARTICULADAS EN EL ESPACIO
Para analizar este tipo de estructuras, se recurrirá a las ecuaciones (4.4.), (4.10.), (4.17.) o
simplemente la ecuación (4.15.), así como la ecuación fuerza–desplazamiento (4.21.) siguiendo
el procedimiento marcado en el inciso 4.1.1.
Problema 4.4
Analizar la siguiente estructura es el espacio por el método de las rigideces, determinando las
fuerzas en las barras.
Solución:
1. -Cálculo de los grados de libertad.
GL = NRF-NEE
NRF =15
NDR = 12
GL = 15-12
GL = 3
2. -Determinación del vector de desplazamientos
182
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
PAx  PAx 
p = PAy  = − 5
P  P 
 Az   Az 
Cálculo de las longitudes de las barras:
La =
(2) + (3 ) + (3.5 ) = 5.024 m
Lb =
(− 4 ) + (3 ) + (3.5 ) = 6.103 m
Lc =
(− 4 ) + (− 2) + (3.5 ) = 5.679 m
Ld =
(2) + (− 2) + (3.5 ) = 4.5m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Obtención de los cosenos directores:
Barra a
x 2 − x1
2−0
=
= 0.398
La
5.024
y − y1
3−0
m= cos  = 2
=
= 0.597
La
5.024
z − z 1 3.5 − 0
n= cos  = 2
=
= 0.696
La
5.024
l= cos  =
Barra b
x 2 − x1
2−6
=
= −0.655
Lb
6.103
y − y1
3−0
m= cos  = 2
=
= 0.491
Lb
6.103
z − z 1 3.5 − 0
n= cos  = 2
=
= 0.573
Lb
6.103
l= cos  =
Barra c
l= cos  =
x 2 − x1
2−6
=
= −0.704
Lc
5.679
y 2 − y1
3−5
=
= −0.352
Lc
5.679
z − z 1 3.5 − 0
n= cos  = 2
=
= 0.616
Lc
5.679
m= cos  =
183
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Barra d
x 2 − x1 2 − 0
=
= 0.444
Ld
4.50
y − y1 3 − 5
m= cos  = 2
=
= −0.444
Ld
4.50
z − z 1 3.5 − 0
n= cos  = 2
=
= 0.778
Ld
4.50
l= cos  =
Barra
a
b
c
d
Li
5.02
6.10
5.68
4.50
(EA)i
EA
EA
EA
EA
l
0.398
-0.655
-0.704
0.444
m
0.597
0.491
-0.352
-0.444
l2
0.158
0.429
0.496
0.197
n
0.696
0.573
0.616
0.778
m2
0.356
0.241
0.124
0.197
n2
0.484
0.328
0.379
0.605
lm
0.238
-0.322
0.248
-0.197
3. -Generación de la matriz de rigideces total.
k' = (K' )a + (K' )b + (K' )c + (K' )d
22
22
22
22
Las submatrices son del tipo:
 l 2 lm ln 
(K')i = EA ml m2 mn
Li
 nl nm n 2 
0.158 0.238 0.277  0.0314 0.0474
EA 
 
(K' 22 )a =
0.238 0.356 0.416  = 0.0474 0.0709

5.02
0.277 0.416 0.484   0.0551 0.0328
 0.429
EA 
(K' 22 )b =
− 0.322
6.10 
− 0.573
− 0.322
0.241
0.281
0.496 0.248
EA 
(K' 22 )c =
0.248 0.124
5.68 
0.433 0.216
 0.197
EA 
(K' 22 )d =
− 0.197
4.50 
 0.345
− 0.573   0.0703
 
0.281  = − 0.052
0.328  − 0.093
0.433  0.0873
 
− 0.216  = 0.0436
0.379  0.0762
− 0.197
0.197
− 0.345
0.0395
0.0461
0.0218
− 0.030
Efectuando la suma de submatrices, tenemos:
184
− 0.052
0.0436
0.345   0.0437
 
− 0.345  = − 0.043
0.605   0.0766
0.0551 

0.0828 
0.0964 
− 0.0939 

0.0461 
− 0.0537 
0.0762 

− 0.038 
0.0667 
− 0.043
0.0437
− 0.076
0.0766 

− 0.0767 
0.1344 
ln
0.277
-0.573
0.433
0.345
mn
0.416
0.281
-0.216
-0.345
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
 0.2329
k' = − 0.00549
 0.1141
− 0.00549
0.1760
0.0902
0.1141 

0.0142 
0.2438 
El sistema de ecuaciones, en forma matricial es:
− 0.0059 0.11411  d x  0
 0.2329

k' = − 0.00549 0.1760 0.0142  dy  = 0
  
 0.1141
0.0142
0.2438  
d z  0
4. -Al resolver el sistema se obtienen los siguientes desplazamientos referidos al sistema global:
d x = − 13 .21
d y = − 2.538
d z = 26 .84
Cálculo de las fuerzas de cada barra
Barra a
p'2a = (K' ) d 
22
a
A
p' x 
 0.0314 0.0474
 

p' y  =  0.0474 0.0709
p' z 
  2a 0.05511 0.0828
0.05151   − 13 .21 0.9817 
 


0.0828  − 2.538  = 1.4731 
 

0.0964  
 26 .84  1.7127 
Barra b
p'2b = (K' ) d 
22
b
A
p' x 
 0.0703
 

p' y  = − 0.052
p' z 
  2b − 0.093
− 0.052
0.0395
0.0461
− 0.0939   − 13 .21  − 3.45 
 


0.0461  − 2.538  =  1.9068 
 

− 0.0537  
 26 .84  − 0.334 
Barra c
p'2c = (K' ) d 
22
c
A
p' x 
0.0873
 

p' y  = 0.0436
p' z 
  2c 0.0762
0.0436
0.0218
− 0.030
0.0762   − 13 .21 0.8122 
 


− 0.038  − 2.538  = − 1.721
 

0.0667  
 26 .84  0.7141 
Barra d
p'2d = (K' ) d 
22
d
A
185
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
p' x 
 0.0437
 

p' y  = − 0.043
p' z 
  2 d  0.0766
− 0.043
0.0437
− 0.076
0.0766   − 13 .21 1.6582 
 


− 0.0767  − 2.538  = − 1.658 
 

0.1344  
 26 .84   2.909 
Cálculo de las fuerzas axiales en cada barra, en el sistema local.
Barra a
 0.9817 


p2a = 0.398 0.597 0.696 1.47311  = 2.4621
 1.7127 


Barra b
 − 3.45 


p2b = − 0.655 0.491 0.573  1.9068  = 3.0046
− 0.334 


Barra c
0.8122 


− 0.352 0.616 − 1.721 = 0.47103
 0.7141 


p2c = − 0.704
Barra d
p2d = 0.444
1.6582 


− 0.444 0.778 − 1.658  = 3.7355
 2.909 


Los resultados se anotan en el siguiente esquema:
186
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Problema 4.5
Analizar la siguiente armadura en el espacio por el método de las rigideces, determinando los
desplazamientos en los nodos y las fuerzas axiales en cada barra.
Solución:
1. -Obtención de los grados de libertad.
GL = NDN-NDR
GL = 24-15
GL = 9
Ecuación fuerza-desplazamiento
k  d
9x9
d' x 
 
d A = d' y 
d' z 
9 x1
= p9 x1
d' x 
 
dB = d' y 
d' z 
d' x 
 
dC = d' y 
d' z 
2. -Cálculo de los vectores de carga
Px  − 4
   
PA = Py  =  0 
Pz   5 
Px  0
   
PB = Py  = 0
Pz  0
Px   8 
  

PC = Py  = − 10 
Pz   0 
3. - Se genera la matriz de rigideces de nodos
187
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
(k' 22 )a + (k' 22 )e + (k'11 )d + (k' 22 )c + (k'11 )m
k' = 
− (k' 21 )d

(k'21 )m
− (k'12 )d
(k' )m


(k' )d + (k' )f + (k' )b
− (k' )f

(k' )g + (k' )i + (k' )f + (k' )k + (k' )m
− (k' )f
22
Cálculo de las longitudes de las barras:
Lc =
(0 − 4 ) + (5 − 0 ) + (4 − 4 ) = 6.40
Lk =
(4 − 4 ) + (5 − 0 ) + (0 − 4 ) = 6.40
Lj =
(0 − 4 ) + (5 − 0 ) + (0 − 0 ) = 6.40
Ll =
(0 − 0 ) + (5 − 0 ) + (0 − 4 ) = 6.40
Lm =
(4 − 0 ) + (5 − 5 ) + (0 − 4 ) = 5.65
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Cálculo de los cosenos directores:
Barra a
x 2 − x1 0 − 0
=
= 0.00
La
5.00
y − y1 5 − 0
m = cos  = 2
=
= 1.00
La
5.00
z − z1 4 − 4
n = cos  = 2
=
= 0.00
La
5.00
l = cos  =
Barra b
x 2 − x 1 (4 − 4 )
=
= 0.00
Lb
5.00
y − y 1 (5 − 0 )
m = cos  = 2
=
= 1.00
Lb
5.00
z − z 1 (4 − 4 )
n = cos  = 2
=
= 0.00
Lb
5.00
l = cos  =
Barra c
x 2 − x 1 (0 − 4 )
=
= −0.625
Lc
6.4
y − y 1 (5 − 0 )
m = cos  = 2
=
= 0.78125
Lc
6.4
l = cos  =
188
22
12
12
22
21
22
22
11
22
22
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
z 2 − z 1 (4 − 4 )
=
= 0.00
Lc
6.4
n = cos  =
Barra d
x 2 − x 1 (4 − 0 )
=
= 1.00
Ld
4.00
y − y 1 (5 − 5 )
m = cos  = 2
=
= 0.00
Ld
4.00
z − z 1 (4 − 4 )
n = cos  = 2
=
= 0.00
Ld
4.00
l = cos  =
Barra e
x 2 − x 1 (0 − 0 )
=
= 0.00
Le
4.00
y − y 1 (5 − 5 )
m = cos  = 2
=
= 0.00
Le
4.00
z − z 1 (4 − 0 )
n = cos  = 2
=
= 1.00
Le
4.00
l = cos  =
Barra f
x 2 − x 1 (4 − 4 )
=
= 0.00
Lf
4.00
y − y 1 (5 − 5 )
m = cos  = 2
=
= 0.00
Lf
4.00
z − z 1 (4 − 0 )
n = cos  = 2
=
= 1.00
Lf
4.00
l = cos  =
Barra g
l = cos  =
x 2 − x 1 (4 − 0 )
=
= 1.00
Lg
4.00
m = cos  =
n = cos  =
y 2 − y 1 (5 − 5 )
=
= 0.00
Lg
4.00
z 2 − y −1 (0 − 0 )
=
= 0.00
Lg
4.00
Barra h
l = cos  =
x 2 − x 1 (4 − 4 )
=
= 0.00
Lh
5.00
189
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
y 2 − y 1 (5 − 0 )
=
= 1.00
Lh
5.00
z − z 1 (0 − 0 )
n = cos  = 2
=
= 0.00
Lh
5.00
m = cos  =
Barra i
x 2 − x 1 (4 − 4 )
=
= 0.00
Li
6.4
y − y 1 (5 − 0 )
m = cos  = 2
=
= 0.78125
Li
6.40
z − z1 (0 − 4 )
n = cos  = 2
=
= −0.625
Li
6.40
l = cos  =
Barra j
l = cos  =
x 2 − x 1 (0 − 4 )
=
= −0.625
Lj
6.4
m = cos  =
n = cos  =
y 2 − y 1 (5 − 0 )
=
= 0.7812
Lj
6.40
z 2 − z 1 (0 − 0 )
=
= 0.00
Lj
6.40
Barra k
x 2 − x 1 (4 − 4 )
=
= 0.00
Lk
6.4
y − y 1 (5 − 0 )
m = cos  = 2
=
= 0.7812
Lk
6.40
z − z1 (0 − 4 )
n = cos  = 2
=
= −0.625
Lk
6.40
l = cos  =
Barra l
x 2 − x 1 (0 − 0 )
=
= 0.00
Ll
6.4
y − y 1 (5 − 0 )
m = cos  = 2
=
= 0.7812
Ll
6.40
z − z1 (0 − 4 )
n = cos  = 2
=
= −0.625
Ll
6.40
l = cos  =
Barra m
190
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
x 2 − x 1 (4 − 0 )
=
= 0.7079
Lm
5.65
y − y 1 (5 − 5 )
m = cos  = 2
=
= 0.00
Lm
5.65
z − z1 (0 − 4 )
n = cos  = 2
=
= −0.7079
Ll
5.65
l = cos  =
Los valores necesarios para las submatrices se anotan en la siguiente tabla:
Barra
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
Li
5.00
5.00
6.40
4.00
4.00
4.00
4.00
5.00
5.00
6.40
6.40
6.40
5.65
(EA)i
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
l
0
0
-0.625
1.0
0
0
1.0
0
0
-0.625
0
0
0.7079
m
1.0
1.0
0.7812
0
0
0
0
1.0
1.0
0.7812
0.7812
0.7812
0
n
0
0
0
0
1.0
1.0
0
0
0
0
-0.625
-0.625
-0.7079
l2
0
0
0.3906
1.0
0
0
1.0
0
0
0.3906
0
0
0.5011
m2
1.0
1.0
0.6104
0
0
0
0
1.0
1.0
0.6102
0.6102
0.6102
0
n2
0
0
0
0
1.0
1.0
0
0
0
0
0.3906
0.3906
0.5011
lm
0
0
-0.4883
0
0
0
0
0
0
-0.4882
0
0
0
ln
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.5011
mn
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.4882
-0.4882
0
Substituyendo valores en las submatrices. Éstas son del tipo siguiente:
 l 2 lm ln 
EA
(k l )i = m m2 mn
Li
nl nm n 2 
0
0
0 0 0
0
EA 



k 22 a =
0 1 0 = EA 0 0.20 0
5.00 
0 0 0
0
0
0
i
0
0
0 0 0
0
EA 



k 22 b =
0 1 0 = EA 0 0.20 0

5.00
0 0 0
0
0
0
i
 0.3906
EA 
k 22 c =
− 0.4883
5.00 

0
i
− 0.4883
0.6104
0
0
 0.0610


0 = EA − 0.0763

0
0
− 0.0763
0.0954
0
0

0
0
 1 0 0
0.25 0 0
EA 



k 22 d =
0 0 0 = EA  0
0 0

4.00
0 0 0
 0
0 0
i
191
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
0 
0 0 0
0 0
EA 



k 22 e =
0 0 0 = EA 0 0
0 

4.00
0 0 1
0 0 0.25 
i
0 
0 0 0
0 0
EA 



k 22 f =
0 0 0 = EA 0 0
0 

4.00
0 0 1
0 0 0.25 
i
 1 0 0
0.25 0 0
EA 



k 22 g =
0 0 0 = EA  0
0 0

4.00
0 0 0
 0
0 0
i
0
0
0 0 0
0
EA 



k 22 h =
0 1 0 = EA 0 0.20 0
5.00 
0 0 0
0
0
0
i
0
0
0 0 0
0
EA 



k 22 i =
0 1 0 = EA 0 0.20 0
5.00 
0 0 0
0
0
0
i
0.3906
EA 
k 22 j =
0.7812
6.40 
 0
− 0.4882
 0
EA 
k 22 k =
0.7812
6.40 
 0
0
i
i
 0
EA 
k 22 l =
0.7812
6.40 
 0
i
0.6102
0
0.6102
− 0.4882
0
0.6102
− 0.4882
0
0.0610


0 = EA 0.1220
 0
0
− 0.0763
0.0953

 0


− 0.4882  = EA 0.1220
 0
0.3906 
0

 0


− 0.4882  = EA 0.1220
 0
0.3906 
0
 0.5011 0 − 0.5011
 0.0887
EA 


k 22 m =
0
0
0
= EA 
0


5.65
− 0.5011 0 0.5011 
− 0.0887
i
0
0

0
0
0
0.0953
− 0.0763
0
0.0953
− 0.0763


− 0.0763 
0.0610 
0


− 0.0763 
0.0610 
0
0 − 0.0887 

0
0

0 0.0887 
Realizando la sumatoria de las submatrices, para la diagonal principal:
192
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
 0.3997
k 22 a + k 22 e + k 11 d + k 22 c + k 11 m = EA − 0.0763
− 0.0887
I
I
I
I
I
− 0.0763
0.2954
0
− 0.0887 

0

0.3387 
0
0 
0.25

k 22 d + k 22 f + k 22 b = EA  0 0.20 0 
 0
0
0.25 
I
I
I
 0.3387
k 22 g + k 22 i + k 11 f + k 22 k + k 22 m = EA  0.122
− 0.0887
I
I
I
I
I
0
0.2954
− 0.0763
− 0.0887 

− 0.0763 
0.3997 
El sistema de ecuaciones en forma matricial será:
 0.3997

− 0.0763
− 0.0887

 − 0.25
EA 
0

0

 0.0887

0


− 0.0887
− 0.0763
− 0.0887
− 0.25
0
0
0.0887
0
0.2954
0
0
0
0
0
0
0
0.3387
0
0
0
− 0.0887
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0.20
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
− 0.0887
0
0
0
0.3387
0
0
0
0
0
0
0.122
0.2954
0
0.0887
0
0
− 0.25 − 0.0887
− 0.0763
− 0.0887  dI Ax   − 4 
 I  

0
 d Ay   0 
0.0887  dI Az   5 
 I  

0
 d Bx   0 
 dIBy  =  0 
0

− 0.25  dIBz   0 
  

− 0.0887  dI Cx   8 
  

− 0.0763  dI Cy  − 10 

0.3997  dI Cz   0 
4. - Resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores, se obtienen los siguientes
desplazamientos:
− 97 .5903
EA
− 25 .207
d' y =
EA
20 .1189
d' z =
EA
− 97 .5903
d' x =
EA
d' Bx = 0.0000
− 86 .163
d' Bz =
EA
31 .8811
d' Cx =
EA
− 69 .2747
d' Cy =
EA
d' x =
193
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
d' Cz =
− 86 .163
EA
5. - Cálculo de los elementos mecánicos.
Cálculo de fuerzas en cada barra:
Barra a
P' a = (k' )ad
2
22
Sustituyendo valores:
0
0 − 97 .5903   0.00 
P' x 
0
 

 
 

P' y  = 0 0.20 0  − 25 .207  = − 5.04 
P' z  2a 0
0
0  20 .1189   0.00 
Barra b
0
0 − 97 .5903  0.0
P' x  0
  
 
  
P' y  = 0 0.20 0  0.00  = 0.0
P'  0
0
0  − 86 .163  0.0
 z 
Barra c
P' x 
 0.0610
 

P' y  = − 0.0763
P' z  2c 
0
− 0.0763
0.0954
0
0 − 97 .5903  − 4.029 
 
 

0  − 25 .207  =  5.042 
0  20 .1189   0.00 
Barra d
P' x 
0.25 0 0 − 97 .5903  − 24 .3976 
 

 
 

0 0  − 25 .207  =  0.00000 
P' y  =  0
P' z  1d  0
0 0  20 .1189   0.00000 
P' x 
0.25 0 0 − 97 .5903  − 24 .3976 
 

 
 

0 0  0.00  =  0.000000 
P' y  =  0
P' z  2 d  0
0 0  − 86 .163   0.000000 
Barra e
0  − 97 .5903   0.00 
P' x 
0 0
 

 
 

0   − 25 .207  =  0.00 
P' y  = 0 0
P' z  2 e 0 0 0.25   20 .1189  5.0297 
194
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Barra f
0  − 97 .5903   0.00 
P' x  0 0
  
 
 

0   0.00  =  0.00 
P' y  0 0
P' z  1f 0 0 0.25   − 86 .163  − 21 .54 
0   31 .8811   0.00 
P' x 
0 0
 

 
 

0  − 69 .2747  =  0.00 
P' y  = 0 0
P' z  2 f 0 0 0.25   − 86 .163  − 21 .54 
Barra g
P' x 
0.25 0 0  31 .8811  7.970 
P'  =  0
0 0 − 69 .2747  =  0.00 
 y

P' z  2 g  0
0 0  − 86 .163   0.00 
Barra i
0
0  31 .8811   0.00 
P' x 
0
 

 
 

P' y  = 0 0.20 0 − 69 .2747  = − 13 .85 
P' z  2i 0
0
0  − 86 .163   0.00 
Barra k
P' x 
 0
 

P' y  = 0.1220
P' z  2k  0
0
0.0953
− 0.0763
  31 .8811   0.00 
 
 

− 0.0763  − 69 .2747  =  3.8592 
0.0610   − 86 .163  0.02572 
0
Barra m
P' x 
 0.0887
 

0
P' y  = 
P' z  1m − 0.0887
0 − 0.0887  − 97 .5903  − 10 .45 
 
 

0
0
  − 25 .207  =  0.00 
0 0.0887   20 .1189   10 .45 
P' x 
 0.0887
 

0
P' y  = 
P' z  2m − 0.0887
0 − 0.0887   31 .8811   10 .45 
 
 

0
0
 − 69 .2747  =  0.00 
0 0.0887   − 86 .163  − 10 .45 
Cálculo de las fuerzas axiales en las barras en el sistema local
195
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
p = T P' = l
t
m
P' x 
 
n P' y 
P' z 
 0.00 


P2a = 0 1 0 − 5.04  = −5.04
 0.00 
0.00 


P2b = 0 1 0 0.00  = 0.00
0.00 
P2c = − 0.625 0.78125
− 4.029 


0  5.042  = 6.4571
 0.00 
− 24 .3976 


P1d = 1 0 0  0.00  = −24 .3976
 0.00 
− 24 .3976 


P2 d = 1 0 0  0.00  = −24 .3976
 0.00 
 0.00 


P2 e = 0 0 1  0.00  = 5.0297
5.0297 
 0.00 


P1f = 0 0 1  0.00  = −21 .54
− 21 .54 
 0.00 


P2 f = 0 0 1  0.00  = −21 .54
− 21 .54 
7.970 


P2 g = 1 0 0  0.00  = 7.97
 0.00 
196
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
 0.00 


P2i = 1 0 0 − 13 .85  = −13 .85
 0.00 
P2k = 0 0.78125
 0.00 


− 0.625   3.8592  = 2.998
0.02572 
P1m = 0.7079
− 10 .45 


0 − 0.7079   0.00  = −14 .7951
 10 .45 
P2m = 0.7079
 10 .45 


0 − 0.7079   0.00  = −14 .7951
− 10 .45 
Los resultados se expresan en el siguiente esquema:
4.4 VIGAS
Para analizar este tipo de estructuras, se recurrirá a las ecuaciones (4.5), (4.11), (4.18) y
fundamentalmente la ecuación (4.15), así como la ecuación fuerza–desplazamiento (4.21)
siguiendo el procedimiento marcado en el inciso 4.1.1.
197
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Problema 4.6
Analizar la viga utilizando el método de las rigideces, determinando los giros en los apoyos,
momentos flexionantes en las barras y los momentos finales en los nodos.
Solución
1. -Obtención de los grados de libertad
GL = NDN-NDR
GL = 8-4
GL = 4
2. -Calculo de los vectores de cargas.
Los valores del vector de cargas se calculan a partir de los momentos de empotramiento
conocidos
PL
= −3.75 Ton.m
8
PL wL2
mB =
−
= 3.75 − 15 = −11 .25 Ton.m
8
12
wL2 PL
mC =
−
= 15 − 1.125 = 15 Ton.m
12
8
PL
m D2 c =
= 1.125 Ton.m
8
m A1a = −
Vector de Cargas
 A   − 3.75 
  


− 11 .25 
p =  B  = 

 C  13 .875 
 D   1.125 
3. -Generación de la Matriz total o de nodos.
La matriz de rigideces [k] total o de nodos tiene la siguiente forma, se eliminaron las (‘)
porque el sistema local coincide con el sistema global.
198
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
(k 11 ) a

(k )
k  =  21 a
0

 0
(k 12 ) a
0
(k 22 ) a + (k 11 )b
(k 12 )b
(k 21 )b
(k 22 )b + (k 11 ) c
0
(k 21 ) c
0 

0 
(k 12 ) c 

(k 22 ) c 
Considerando solo flexión, en este caso las submatrices son del tipo:
 4EI

K= L
2EI

 L
2EI 
L 
4EI 

L 
Barra a
(K )a = 1.3333
(K )a = (K )a = 0.6667
(K )a = 1.3333
11
12
21
22
Barra b
(K )b = 0.6667
(K )b = (K )b = 0.3333
(K )b = 0.6667
11
12
21
22
Barra c
(K )c = 1.3333
(K )c = (K )c = 0.6667
(K )c = 1.3333
11
12
21
22
4. -Sustituyendo los valores calculados en la matriz de nodos y resolviéndola se obtienen los
giros en los apoyos
 1.333

0.6667
 0

 0
0.6667
2
0.3333
0
  A   − 3.75 
  

0.333
0.000   B  − 11 .25 
=
  

2
0.6667   C  13 .875 

0.6667 1.33333   D   1.125 
0
0
 A = 0.9494 / EI
 B = − 7.5234 / EI
 C = 9.4922 / EI
 D = − 3.9027 / EI
5. - Cálculo de los elementos mecánicos
199
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Barra a
m = K   + K   =
m = K   + K   =
m = (1.3333 )(0.9494 ) + (0.6667 )(− 7.5234 ) = −3.750 Ton.m
m = (0.6667 )(0.9494 ) + (1.3333 )(− 7.5234 ) = −9.3980 Ton.m
1a
11
A
12
B
2a
21
A
22
B
1a
2a
Barra b
m = 0.6667− 7.5234+ 0.33339.4922 = −1.8521 Ton.m
m = 0.3333 − 7.5234  + 0.6667 9.4922  = 3.8209 Ton.m
1b
2b
Barra c
m = 1.3333 9.4922  + 0.6667 − 3.9027  = 10 .0540 Ton.m
m = 0.6667 9.4922  + 1.3333 − 3.9027  = 1.1250 Ton.m
1c
2c
6. -Cálculo de los momentos finales en los nodos.
m = m  + m
m = −3.75 + 3.75 = 0
A
1a
A
1a
1a
A
1a
m = m  + m
m = 3.75 + 9.398 = 13.1480
B
2a
B
2a
2a
B
2a
m = m  + m
m = −15 + 1.8521 = −13 .1480
B
1b
B
1b
1b
B
1b
m = m  + m
m = 15 − 3.8209 = 11 .1791
C
2b
C
2b
2b
C
2b
m = m  + m
m = −1.125 − 10.054 = −11.1791
C
1c
C 1c
1c
C
1c
m = m  + m
m = 1.125 − 1.125 = 0
D
2c
D
2c
2c
D
2c
Los momentos finales se expresan en la siguiente figura:
200
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Problema 4.7
Analizar la viga siguiente, determinando los giros en los apoyos, momentos flexionantes en las
barras y los momentos finales en los nodos.
Solución
1. -Obtención de los grados de libertad
GL = NDN-NDR
GL = 6-4
GL = 2
2. -Cálculo de los vectores de cargas.
Los valores del vector de cargas se calculan a partir de los momentos de empotramiento
conocidos
Pb 2 a
= −17 .28 Ton.m
L2
Pba 2 wL2
mB =
−
= 11 .52 − 41 .67 = −30 .15 Ton.m
L2
12
wL2
m C2b =
= 41 .67 Ton.m
12
m A1a = −
Vector de Cargas
B  − 30 .15 
=

 C   41 .67 
p = 
3. -Generación de la Matriz total o de nodos.
La matriz de rigideces [k] total o de nodos tiene la siguiente forma, se eliminaron las (‘)
porque el sistema local coincide con el sistema global.
201
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
(k 22 )a + (k 11 )b
k  = 

(k 21 )b
(k 12 )b 

(k 22 )b 
En la matriz anterior no se incluyen los nodos de frontera (empotre), de tal manera que
la matriz de rigideces total para este ejemplo es:
(k 11 )a
k  = (k 21 )a
 0
(k 12 )a
(k 22 )a + (k 11 )b
(k 21 )b
0 

(k 12 )b 
(k 22 )b 
Considerando solo flexión, las submatrices son del tipo
 4EI

K= L
2EI

 L
2EI 
L 
4EI 

L 
Barra a
(K )a = (K )a = 0.4 EI
(K )a = (K )a = 0.2 EI
22
11
12
21
Barra b
(K )b = (K )b = 0.4 EI
(K )b = (K )b = 0.2 EI
22
11
12
21
4. -Sustituyendo los valores calculados en la matriz de nodos y resolviéndola se obtienen los
giros en los apoyos
0.6 0.4  A  − 30 .15 


  =
0.4 0.2 B   41 .67 
B = 567 .45 / EI
 C = −926 .55 / EI
5. - Cálculo de los elementos mecánicos
Barra a
m = K   + K   =
m = K   + K   =
m = (0.20 )(567 .45 ) = 113 .49 Ton.m
m = (0.40 )(567 .45 ) = 226 .98 Ton.m
1a
11
A
12
B
2a
21
A
22
B
1a
2a
202
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Barra b
m = 0.2567.45+ 0.4− 926.55 = −257.13 Ton.m
m = 0.4562 .45 + 0.2− 926 .55 = 41 .67 Ton.m
1b
2b
6. -Cálculo de los momentos finales en los nodos.
m = m  + m
m = 112 .49 + 17.28 = 129 .77
A
1a
A
1a
1a
A
1a
m = m  + m
m = 11 .52 − 226 .98 = −215 .46
B
2a
B
2a
2a
B
2a
m = m  + m
m = −41.67 + 257 .13 = −215 .46
B
1b
B
1b
1b
B
1b
m = m  + m
m = 41.67 − 41.67 = 0
D
2c
D
2c
2c
D
2c
Los momentos finales se expresan en la siguiente figura:
Problema 4.8
Analizar la viga siguiente, determinando los giros en los apoyos, momentos flexionantes en las
barras y los momentos finales en los nodos.
Solución
1. -Obtención de los grados de libertad
GL = NDN-NDR
203
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
GL = 8-4
GL = 4
2. -Cálculo de los vectores de cargas.
Los valores del vector de cargas se calculan a partir de los momentos de empotramiento
conocidos
Pab 2
= −3.84 Ton.m
L2
Pa 2 b wL2
mB = 2 −
= 5.76 − 5.33 = 0.43 Ton.m
L
12
wL2 wL2
mC =
−
= 5.33 − 1.6 = 3.73 Ton.m
12
30
wL2
m D2 c =
= 2.40 Ton.m
20
m A1a = −
Vector de Cargas
 A  − 3.84 
  


0.430 
p =  B  = 

 C   3.730 
 D   2.400 
3. -Generación de la Matriz total o de nodos.
La matriz de rigideces [k] total o de nodos tiene la siguiente forma, se eliminaron las (‘)
porque el sistema local coincide con el sistema global.
(k 11 ) a

(k )
k  =  21 a
0

 0
(k 12 ) a
0
(k 22 ) a + (k 11 )b
(k 12 )b
(k 21 )b
(k 22 )b + (k 11 ) c
0
(k 21 ) c
0 

0 
(k 12 ) c 

(k 22 ) c 
Considerando solo flexión, las submatrices son del tipo
 4EI

K= L
2EI

 L
2EI 
L 
4EI 

L 
Barra a
(K )a = (K )a = 0.80EI
(K )a = (K )a = 0.40EI
11
22
12
21
204
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Barra b
(K )b = (K )b = 1EI
(K )b = (K )b = 0.50EI
11
22
12
21
Barra c
(K )c = (K )c = 1EI
(K )c = (K )c = 0.50EI
11
22
12
21
4. -Sustituyendo los valores calculados en la matriz de nodos y resolviéndola se obtienen los
giros en los apoyos
0
0   A  − 3.84 
0.80 0.40

  

0   B   0.430 
0.40 1.80 0.50
 =

 0
0.50
2
0.50   C   3.730 


0
0.50
1   D   2.40 
 0
 A = − 5.350 / EI
 B = 1.110 / EI
 C = 1.130 / EI
 D = 1.840 / EI
5. - Cálculo de los momentos flexionantes en las barras
Barra a
m = K   + K   =
m = K   + K   =
m = (0.80 )(− 5.350 ) + (0.40 )(1.110 ) = −3.830 Ton.m
m = (0.40 )(− 5.350 ) + (0.80 )(1.110 ) = −1.252 Ton.m
1a
11
A
12
B
2a
21
A
22
B
1a
2a
Barra b
m = (1)1.110+ 0.501.130 = 1.675 Ton.m
m = 0.50 1.110  + 11.130  = 1.685 Ton.m
1b
2b
Barra c
m = 11.130  + 0.50 1.840  = 2.05 Ton.m
m = 0.50 1.13 + 11.840  = 2.4051 .1250 Ton.m
1c
2c
6. -Cálculo de los momentos finales en los nodos.
m = m  + m
A
1a
A
1a
1a
205
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
m = −3.84 + 3.83  0
A
1a
m = m  + m
m = 5.76 + 1.252 = 7.012
B
2a
B
2a
2a
B
2a
m = m  + m
m = −5.33 − 1.675 = −7.005
B
1b
B
1b
1b
B
1b
m = m  + m
m = 5.33 − 1.685 = 3.645
C
2b
C
2b
2b
C
2b
m = m  + m
m = −1.6 − 2.65 = −3.65
C
1c
C 1c
1c
C
1c
m = m  + m
m = 2.40 − 2.405  0
D
2c
D
2c
2c
D
2c
Los momentos finales se expresan en la siguiente figura:
4.5 MARCOS EN EL PLANO
Para analizar este tipo de estructuras, se recurrirá a las ecuaciones (4.6), (4.12), (4.19) y
fundamentalmente la ecuación (4.15), así como la ecuación fuerza–desplazamiento (4.21)
siguiendo el procedimiento marcado en el inciso 4.1.1.
206
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Problema 4.9
Analizar el siguiente marco, determinando los desplazamientos en el nodo A y los elementos
mecánicos, con los datos indicados en la figura:
Datos:
E=200,000 kg/cm2
A= 30x30 = 900 cm2
30 X30 3
I=
= 67500 cm 4 constante para las dos barras.
12
Solución:
1. -Obtención de los grados de libertad.
GL = NDN-NDR
GL = 9-6
GL = 3
La ecuación fuerza-desplazamiento
k  d
3x3
3 x1
= P3 x1
2. -Cálculo de los vectores de cargas
Discretizando Cargas
PAy =
P
= 2.5Ton
2
PBy =
P
= 2.5Ton
2
MA =
PL
= 2.5Ton.m
8
MB =
PL
= −2.5Ton.m
8
El vector de cargas queda de la siguiente manera:
207
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
PAx   10 
p = PAy  = 2.50 
M  2.50 
 A 

3. -La matriz de rigideces total de la estructura se expresa de la siguiente manera:
(k' 22 )a + (k'11 )b
k Total =  (k' 21 )b

(k'12 )a
(k' )b (k' )a
(k' )b 0 
(k' )a
0
12
21
22
11
Eliminando renglones y columnas, se obtiene la matriz de nodos.
k 
Nodos
= (k' 22 )a + (k'11 )b
Se consideran tres grados de libertad por nodo, por lo que las submatrices serán del
orden de 3x3.
BARRA
a
b
(EI)i (Ton/m2)
1350
1350
Li (m)
4.00
4.00
253 .125
(k' 22 )a =  0
 506 .25
0
45000
0
− 253 .125
(k'12 )a =  0
 506 .25
45000
(k'11 )b =  0
 0
− 45000
(k'12 )b =  0

0
− 45000
(k' 21 )b =  0

0
208
(EA)i (Ton)
180 000
180 000
506 .25 

0 
1350 
0
45000
0
− 506 .25 

0

675 


253 .125 506 .25 
506 .25
1350 
0
0


− 253 .125 506 .25 
− 506 .25
675 
0
0
0


− 506 .25 
675 
− 253 .125
506 .25
0

90°
0
l
0.00
1.00
m
1.00
0.00
l2
0.00
1.00
m2
1.00
0.00
lm
0.00
0.00
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
45000
(k' 22 )b =  0
 0


253 .125 − 506 .25 
− 506 .25
1350 
0
0
4. -Ahora se puede expresar numéricamente la matriz total
0
506 .250 − 45000
0
0
 45253 .125



0
45253 .125 506 .250
0
− 253 .125 506 .250 


506 .250
2700
0.000
− 506 .250
675 
k Total =  506 .250

0
0
45000
0
0
− 45000 .000


0
− 253 .125 − 506 .250
0
253 .125 − 506 .25 


0
506 .250
675
0
− 506 .250
1350 

Eliminando renglones y columnas, se obtiene la matriz de nodos:
45253 .125

0

 506 .250
506 .250  d Ax   10 

  
45253 .125 506 .250  d Ay  = 2.50 
 

506 .250
2700  
  A  2.50 
0
Al solucionar el sistema de ecuaciones, se obtienen los desplazamientos de los nodos,
referidos en el sistema global:
d Ax = 0.000211159
d Ay = 0.0000454246
 A = −0.000877816
5. -Cálculo de los elementos mecánicos:
Para la barra a
P  = (k )ad 
P  = (k )ad 
l
l
1a
12
l
l
2a
22
A
A
− 253 .125
P1a  =  0
 506 .25
l
253 .125
P2a  =  0
 506 .25
l
− 506 .25   0.000211159  − 0.497844 
 


45000
0
 0.0000454246  =  2.04411 
 

0
675  
 0.000877816   0.699425 
0
506 .25   0.000211159  0.497844 
 


45000
0  0.0000454246  =  2.04411 
 

0
1350  
 0.000877816   1.25195 
0
Para la barra b
P  = (k )bd 
l
l
1C
11
A
209
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
P  = (k )bd 
l
l
2c
21
A
0
0   0.000211159   9.50216 
45000

P1C  =  0 253 .125 506 .25  0.0000454246  =  0.455892 
 

 0
506 .25
1350  
 0.000877816  − 1.24905 
0
0
− 45000
  0.000211159   − 9.50216 
 



l
P2c  =  0
− 253 .125 − 506 .25  0.0000454246  = − 0.455892 
 


0
506 .25
675  
 0.000877816   0.615522 
l
Los resultados quedan expresados en la siguiente figura. Las unidades son toneladas
por metro.
Problema 4.10
Analizar el siguiente marco, determinando los desplazamientos en los nodos, así como los
elementos mecánicos.
Datos:
IPR 12''x4''
Area=26.71 cm2
210
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
d= 30.2 cm
b= 10 cm
Ixx=3,671 cm4
S=243 cm3
Iyy=93.60 cm4
S=18 cm3
Solución:
1. -Obtención de los grados de libertad.
GL = NDN-NDR
GL = 15-6
GL = 9
La ecuación fuerza-desplazamiento
k  d
9x9
9 x1
= P9 x1
2. -Cálculo de los vectores de cargas
Discretizando cargas
MA =
wL2
= 12 ton.m
12
PAx =
wL
= 12 Ton
2
MB =
PBx =
wL2
= 12 ton.m
12
wL
+ P = 12 Ton +12Ton=24Ton
2
El vector de cargas queda de la siguiente forma:
PBx   24,000 
  

0
PBy  

MB  − 12,000 
  

0
PCx  

P = PCy  =  0 
  

0
MC  

P  

0
 Dx  

PDy  
0

  

0

MD  
3. -Determinación de la matriz de rigideces
La matriz de rigideces total de la estructura se expresa de la siguiente forma:
211
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
(k '11 )a

(k ' 21 )a
k  =  0

 0
 0

(k' )a
0
0
0 

(k' )a + (k' )b
(k' )b
0
0 
(k' )b
(k' )b + (k' )c
(k' )c
0 
(k' )c
(k' )c + (k' )d (k' )d
0
(k' )d
(k' )d
0
0
12
22
11
12
21
22
22
21
12
11
22
12
21
11
Eliminando renglones y columnas, se obtiene la matriz de nodos
Barras
a
b
c
d
(k' 22 )a + (k'11 )b
k  =  (k'21 )b

0
(k' )b
0

(k' )b + (k' )c
(k' )c 
(k' )c
(k' )c + (k' )d
Li (m)
6.00
8.54
6.71
6.00
(EI)I (Kg.cm2)
α
8
73.42x10
90°
73.42x108
20.56°
73.42x108
153.43°
73.42x108
90°
(EA)i (Kg)
53.42x106
53.42x106
53.42x106
53.42x106
0.004079
(k' 22 )a = 0.000000
1.223667
− 0.004079
(k'12 )a = 
0
 1.223667
12
22
22
12
0.000000
0.890333
0.000000
21
11
22
cosα
senα
l
0
0.9363
-0.8944
0
m
1
0.3511
0.4472
1
1.223667 

0.000000 10 5
489 .466667 
0
− 0.890333
0
1.223667 
 5
0
10
244 .733333 
0.205146
 0.548574

(k'11 )b =  0.205146 0.078368
− 0.212071 + 0.565542
− 0.212071 

0.565542 10 5
343 .887588 
 − 0.548541
(k'12 )b = − 0.205146
 0.212071
− 0.205146
− 0.212071 

0.565542 10 5
171 .943794 
− 0.548574
(k' 21 )b = − 0.205146
 − 0.212071
− 0.205146
0.548574
(k' 22 )b = 0.205146
 0.212071
0.205146
212
− 0.078368
− 0.565512
− 0.078368
0.565642
0.078368
− 0.565542
0.2120471 

− 0.565642 10 5
171 .943794 
0.212071 

− 0.565542 10 5
343 .887588 
l2
0
0.8767
0.8000
0
m2
1
0.1233
0.2000
1
lm
0
0.3288
-0.4000
0
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
 0.637483
(k'11 )c = − 0.317284
− 0.437545
− 0.317284
− 0.637483
(k' 21 )c =  0.317284
− 0.437545
0.317284
0.161558
− 0.875089
− 0.161558
− 0.875089
 0.637483
(k' 22 )c = − 0.317284
 0.437545
− 0.317284
− 0.004079
(k 12 )d =  0.000000
 1.223667
0.000000
0.004079
(k' 22 )d = 0.000000
1.223667
0.000000
l
0.161558
0.875089
0.890333
0.000000
0.890333
0.000000
− 0.437545 

− 0.875089 10 5
437 .675112 
0.437545 

0.875084 10 5
218 .837556 
0.437545 

0.875089 10 5
473 .675112 
− 1.223667 

0.000000 
489 .466667 
1.223667 

0.000000 10 5
489 .466667 
4. -Ahora se puede expresar numéricamente la matriz de nodos, así como el sistema de
ecuaciones
 0.552653

 0.205146
 1.011596

− 0.548574
5
10 − 0.205146

 − 0.212071

0

0


0

0.205146
1.011596
− 0.548574
− 0.205146
− 0.212071
0
0
0.968701
0.565542
− 0.205146
− 0.078368
0.565542
0
0
0.565542
833 .354255
0.212071
− 0.565542
171 .943794
0
0
− 0.205146
0.212071
1.186057
− 0.112138
0.649616
− 0.637485
0.317284
− 0.078368
− 0.565542
− 0.112138
0.239926
0.309547
0.317284
− 0.161558
0.565542
171 .943794
0.649616
0.309597
781 .562700
− 0.437545
− 0.875089
0
0
− 0.637483
0.317284
− 0.437545
0.641562
− 0.317284
0
0
0.317284
− 0.161558
− 0.875089
− 0.317284
0.051891
0
0
0.437546
0.875089
218 .837556
0.786122
− 0.875089
 dBx   24,000 
 d  

0
  By  

  B  − 12,000 
0
  

0.437545  dCx  
0

  

0.875089 dCy  =
00 



218 .837556   C  
0

 



0.786122 dDx 
0
  

− 0.875089  dDy  
0




927 .141779   D  
0

0
0
Al solucionar el sistema de ecuaciones, se obtienen los desplazamientos referidos al
sistema global.
dBx = 65 .4847058
dBy = 0.040334
 B = −0.088619
d Cx = 58 .180386
dCy = 19.231665
 C = 0.34906
dDx = 48 .419667
dDy = −0.040334
213
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
 D = −0.094941
5. Cálculo de los elementos mecánicos
Barra a
p'  = (k' )ad 
p'  = (k' )ad 
1a
12
B
2a
22
B
− 0.004079
p'1a  =  0.0000000
 1.223667
0.000000
− 0.890333
0.000000
− 0.004079
p' 2a  =  0.0000000
 1.223667
0.000000
− 0.890333
0.000000
1.223667 
 65 .484708  − 0.375552 
 5
 

0.000000 10  0.040334  =  − 0.035911 10 5
− 0.088619   58 .443453 
244 .733333 
1.223667 
 65 .484708  − 0.158672 
 5
 

0.000000 10  0.040334  =  0.035911 10 5
− 0.088619   36 .755430 
489 .466667 
Barra d
p'  = (k' )dd 
p'  = (k' )dd 
1d
12
D
2d
22
D
0.004079
p' 2d  = 0.000000
1.223667
− 0.004079
p'1d  =  0.000000
 1.223667
1.223667 
 48 .419667   0.081328 
 5
 

0.000000 10 − 0.040334  = − 0.035911 10 5
 − 0.094941  12.779094 
489 .466667 
0.000000
0.890333
0.000000
0.000000
0.890333
0.000000
− 1.223667 
 48 .419667  − 0.081328 
 5
 

0.000000 10 − 0.040334  =  − 0.035911 10 5
 − 0.094991   12 .779094 
489 .466667 
Barra b
p'  = (k' )bd  + (k' )bd 
P'  = (k' )bd  + (k' )bd 
1b
11

12
C
2b
12
B
22
C
 0.548574
p'  =  0.205146
1b
− 0.212071 
 65 .484708  − 0.548574


 
0.565542 10 5  0.040334  + − 0.205146
− 0.088619   0.12071
343 .887588 
0.205146
0.078368
− 0.212071 0.565542
− 0.548574
p'  = − 0.205146
2b
− 0.205146
− 0.078368
 − 0.212071
0.565542
0.12071   65 .489708  0.548574
 
 
− 0.565542 10 5  0.040334  + 0.205146
171 .943794  − 0.088619   0.212071
Barra c
p'  = (k' )cd  + (k' )cd 
1c
214
22
C
21
D
− 0.205146
− 0.078368
− 0.565592
0.205146
0.078368
− 0.565542
− 0.212071 
− 58 .180386   0.081327 


 

0.565542 10 5  19 .231665  =  − 0.035911 10 5
 0.034906  − 36 .875643 
171 .943794 
0.212071  58 .180386   − 0.081327 
 
 

− 0.565542 10 5 19 .231665  =  0.035911 10 5
343 .887588   0.034906  − 15 .636286 
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
p'  = (k' )cdc  + (k' )cd 
2c
12
 0.637483
p'  = − 0.317284
1c
 0.437545
− 0.637483
p'2c  =  0.317284
 0.437545
11
− 0.317284
− 0.161558
0.0875089
0.317284
− 0.161558
0.875089
D
0.437545 
58 .180386  − 0.637483


 
0.875089 10 5 19 .231665  +  0.317284
 0.034906  − 0.437545
437 .675112 
− 0.437545 
58 .180386   0.637483


 
− 0.875089 10 5 19 .231665  + − 0.317284
 0.034906  − 0.437545
218 .837556 
0.317284
− 0.161558
− 0.875089
− 0.317284
0.161558
− 0.875089
0.437545 
 48 .419667   0.081327 


 

0.875089 10 5 − 0.040334  = − 0.035910 10 5
 − 0.094941   15 .636299 
218 .837556 
− 0.437545 
 48 .419667   − 0.081327 


 

− 0.875089 10 5 − 0.040334  =  0.035910 10 5
 − 0.094941  − 12 .779101 
437 .675112 
Los momentos resultantes del cálculo se ilustran en el siguiente esquema:
Problema 4.11
Analizar el siguiente marco, determinando los desplazamientos en los nodos, así como los
elementos mecánicos.
Datos:
f’c=250 kg/cm2
AColumnas=60x60=3600 cm2
ATrabes=30x80=2400 cm2
215
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
E=250,000 kg/cm2
60 x 60 3
IColumnas =
= 1080000 cm 4
12
30 x80 3
IT rabes =
= 1280000 cm 4
12
Solución:
1. -Obtención de los grados de libertad.
GL = NDN-NDR
GL = 18-8
GL = 10
Ecuación fuerza-desplazamiento
Matriz de nodos
k  d
10 x 10
10 x 1
= P10 x1
Matriz total
k  d
18 x 18
18 x 1
= P18 x1
2. -Cálculo de los vectores de cargas
MB =
Pab 2
= 9 Ton.m
L2
PBy = −
MC =
Pb 2
(3a + b ) = −6.75 Ton
L3
ME = −
Pab 2
= −3 Ton.m
L2
PEy = −
Pa 2
(a + 3b ) = −1.25 Ton
L3
Pab 2
= 16 .875 Ton.m
L2
MD = −
Pab 2
= −5.625 Ton.m
L2
Pb 2
(3a + b ) = −12 .66 Ton
L3
PDy = −
Pa 2
(a + 3b) = −2.34 Ton
L3
PCy = −
Por tanto el vector de cargas queda de la siguiente manera:
216
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
PAx   R Ax 
  

PAy   R Ay 
M A   M A 
  

PBx   0 
PBy   − 6.75 
  

MB   9 
P   0 
 Cx  

PCy   − 12 .66 
  

M
16 .875 
P =  C  = 

PDx   R Dx 
PDy   − 2.34 
  

MD  − 5.625 
P   R

Ex
 Ex  

PEy   − 1.25 
M   − 3 
 E 

PFx   R Fx 
  

PFy   R Fy 
MF   MF 
3. -La matriz de rigideses total se expresa de la siguiente manera:
(k ' 11 )a

(k ' 21 )a
 0
k  = 
 0
 0

 0
(k' )a
0
0
0
0 

(k' )a + (k' )c + (k' )b
(k' )c
(k' )b
0
0 
(k' )c
(k' )d + (k' )c
(k' )d
0
0 

(k' )d
(k' )d + (k )e
(k' )e
0
0 
(k' )b
(k' )e
(k' )e + (k' )b + (k' )f (k' )f 
0

(k' )f
(k' )f 
0
0
0
12
22
11
11
12
21
11
12
22
12
21
22
21
22
21
12
11
22
12
22
21
11
Eliminando renglones y columnas, se obtiene la matriz de nodos
(k '22 )a + (k '11 )c + (k '11 )b

(k'21 )c
k  = 
0

(k'21 )b

(k' )c
(k' )b
0


(k' )d + (k' )c
(k' )d
0


(k' )d
(k' )d + (k )e
(k' )e
(k' )e
(k' )e + (k' )b + (k' )f 
0
12
11
12
22
21
12
22
22
12
21
11
22
22
Se consideran tres grados de libertad por nodo, por lo que las submatrices serán del
orden de 3x3.
217
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
Barras
a
b
c
d
e
f
Li
4.00
8.00
4.00
8.00
4.00
4.00
EIi (Ton.m2)
27000
32000
27000
32000
27000
27000
(EA)i (Ton)
900000
600000
900000
600000
900000
900000

90°
0°
90°
0°
90°
90°
l
0
1
0
1
0
0
m
1
0
1
0
1
1
l2
0
1
0
1
0
0
m2
1
0
1
0
1
1
lm
0
0
0
0
0
0
Con los valores obtenidos en la tabla se obtienen los valores a las submatrices de “k”
 5062 .5
k'11 a =  0
− 10125
− 10125 

0 
27000 
0
2250000
0
0
− 5062 .5

k'12 a =  0
− 2250000
 10125
0
− 10125 

0 
13500 
0
− 5062 .5

k' 21 a =  0
− 2250000
 − 10125
0
10125 

0 
13500 
0
5062 .5

k' 22 a =  0
2250000
 10125
0
75000
k'11 b =  0
 0
75000
k'12 b =  0
 0
75000
k' 21 b =  0
 0
75000
k' 22 b =  0
 0
218
10125 

0 
27000 


750
3000 
3000 16000 
0
0
0
0 

3000 
8000 
− 750
− 3000
0
− 750
3000
0
750
− 3000


− 3000 
8000 
0


− 3000 
16000 
0
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
 5062 .5
k'11 c =  0
− 10125
− 10125 

0 
27000 
0
2250000
0
0
− 5062 .5

k'12 c =  0
− 2250000
 10125
0
− 10125 

0 
13500 
0
− 5062 .5

k' 21 c =  0
− 2250000
 − 10125
0
10125 

0 
13500 
0
5062 .5

k' 22 c =  0
2250000
 10125
0
75000
k'11 d =  0
 0
75000
k'12 d =  0
 0
75000
k' 21 d =  0
 0
75000
k' 22 d =  0
 0
 5062 .5
k'11 e =  0
− 10125
10125 

0 
27000 


750
3000 
3000 16000 
0
0
0
0 

3000 
8000 
− 750
− 3000


− 3000 
8000 
0
0
− 750
3000
0


− 3000 
16000 
0
750
− 3000
0
2250000
0
0
− 5062 .5

k'12 e =  0
− 2250000
 10125
0
− 10125 

0 
27000 
− 10125 

0 
13500 
219
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
0
− 5062 .5

k' 21 e =  0
− 2250000
 − 10125
0
10125 

0 
13500 
0
5062 .5

k' 22 e =  0
2250000
 10125
0
10125 

0 
27000 
 5062 .5
k'11 f =  0
− 10125
− 10125 

0 
27000 
0
2250000
0
0
− 5062 .5

k'12 f =  0
− 2250000
 10125
0
− 10125 

0 
13500 
0
− 5062 .5

k' 21 f =  0
− 2250000
 − 10125
0
10125 

0 
13500 
0
5062 .5

k' 22 f =  0
2250000
 10125
0
10125 

0 
27000 
0
85124 .8

(k'11 )c + (k'11 )b + (k' 22 )a =  0
4500750

0
3000


3000 
70000 
0
0
80062 .5

(k'11 )d + (k' 22 )c =  0
2250750
 10125
3000
10125 

3000 
43000 
0
80062 .5

(k' 22 )d + (k' 22 )e =  0
2250750
 10125
− 3000
10125 

− 3000 
43000 
85125
(k'11 )e + (k' 22 )b + (k' 22 )f =  0
 0
220
0
4500750
− 3000


− 3000 
70000 
0
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
4.- Ahora se puede expresar numéricamente la matriz de nodos, así como el sistema de
ecuaciones
0
 85124 .8

0
4500750


0
3000

0
− 5002 .5

0
− 2250000

0
 − 10125

0
0

0
0


0
− 750


0
3000
0
− 5062 .5
0
− 10125
0
0
0
3000
0
− 2250000
0
0
0
− 750
70000
10125
0
13500
0
0
− 3000
10125
80062 .5
0
10125
0
0
0
0
0
2250750
3000
− 750
3000
0
13500
10125
3000
43000
− 3000
8000
0
0
0
− 750
− 3000
2250750
− 3000
− 2250000
0
0
3000
8000
− 3000
43000
0
− 3000
0
0
0
− 2250000
0
4500750
8000
0
0
0
0
13500
− 3000
0  d Bx   0 
 
3000  d By   − 6.75 

8000   B   9 
  

0  d Cx   0 
0  d Cy   − 12 .66 
  = 

0    C   16 .875 

d   − 2.34 
0
  Dy  

13500    D  − 5.625 

− 3000  d Ey   − 1.25 
  

70000    E   − 3 
Al solucionar el sistema de ecuaciones se obtienen los desplazamientos de los nodos,
referidos al sistema global, de este modo se tienen que los desplazamientos son:
dBx = 0.0000489244
dBy = −8.9888 x10 − 6
 B = 0.0000533864
d Cx = −0.000059473
d Cy = −0.0000149201
 C = 0.000441063
dDy = −1.96877 x10 − 6
 D = −0.00020938
dEy = −1.23336 x10 − 6
 E = −8.24568 x10 − 6
5. -Cálculo de los elementos mecánicos
Barra a
p  = (k )ad 
p  = (k )ad 
I
l
1a
12
I
l
2a
22
B
B
0
− 10125  0.0000489244  − 0.788217 
− 5062 .5
 



p1a  =  0
− 2250000
0   − 8.9888 x10 −6  =  20 .2248 
 

 10125
0
13500  
0.0000533864   1.21608 
0
10125  0.0000489244   0.788217 
5062 .5
 



I
p 2a  =  0
2250000
0   − 8.9888 x10 −6  = − 20 .2248 
 

 10125
0
27000  
0.0000533864   1.93679 
I
Barra b
p  = (k )bd  + (k )bd 
I
l
1b
11
l
B
12
E
221
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
p  = (k )bd  + (k )bd 
I
l
2b
21
l
B
22
E
75000
p1b  =  0
 0
 0.0000489244  75000
 

750
3000   − 8.9888 x10 −6  +  0

3000 16000  
0.0000533864   0
75000
p 2b  =  0
 0
0
0
I
0
 0.0000489244  75000
 

− 3000   − 8.9888 x10 − 6  +  0

8000  
0.0000533864   0
0
− 750
I
3000
0 
0
  3.66933 



−6 
3000  − 1.23336 x10  = 0.129606 
−6 


8000  
− 8.24568 x10   0.764951 
0
− 750
− 3000
0
0

  3.66933 



−6 
− 3000   − 1.23336 x10  = − 0.129606 
−6 


16000  
− 8.24568 x10   0.271894 
0
750
− 3000
Barra c
p  = (k )cd  + (k )cd 
p  = (k )cd  + (k )cd 
I
l
1c
11
I
l
2c
21
l
B
12
C
l
B
22
C
0
− 10125  0.0000489244  − 5062 .5
0
 5062 .5




−6 
p 1c  =  0
2250000
0
0
− 2250000
  − 8.9888 x10  + 
  10125
− 10125
0
27000  
0
.
0000533864
0

 
0
10125  0.0000489244  5062 .5
0
− 5062 .5
 

p I2c  =  0
− 2250000
0   − 8.9888 x10 − 6  +  0
2250000

 − 10125
0
13500  
0
0.0000533864   10125
I
− 10125   − 0.000059473  − 4.45754 
 


0
 − 0.0000149201  =  13 .3454 
 

13500  
 0.000441063   6.29826 
10125   − 0.000059473   4.45754 
 


0  − 0.0000149201  = − 13 .3454 
 

27000  
 0.000441063   11 .5319 
Barra d
p  = (k )dd  + (k )dd 
p  = (k )dd  + (k )dd 
I
l
1d
11
I
l
2d
21
l
C
1d
C
2d
22
D
75000
0
 0
0   − 0.000059473  75000
 

3000  − 0.0000149201  +  0

3000 16000  
 0.000441063   0
75000
0
 0
− 750
0
0
750
− 750
0
p  = 
I
D
l
p  = 
I
12
3000
0   − 0.000059473  75000
 

− 3000  − 0.0000149201  +  0

8000  
 0.000441063   0
Barra e
p  = (k )ed  + (k )ed 
p  = (k )ed  + (k )ed 
I
l
1e
11
I
l
2e
21
222
l
E
12
D
l
E
22
D
− 3000
0
750
− 3000
0 
0
 − 4.46048 
 


3000  − 1.96877 x10 − 6  =  0.685336 
 

8000  
 − 0.00020938   5.34311 
0 
0
 − 4.46048 
 


− 3000   − 1.23336 x10 − 6  =  − 1.28819 
−6 


16000  
− 8.24568 x10   3.35551 
CAPÍTULO 4 MÉTODO DE LAS RIGIDECES
− 10125  
0
0
− 10125  
0
 − 5062 .5
  2.20346 





−6 
−6 
0
−
1
.
23336
x
10
+
0
−
2250000
0
−
1
.
96877
x
10



 =  1.65467 
1e



−
6

 

0
27000  
0
13500  
− 8.24568 x10   10125
 − 0.00020938  − 3.04926 
0
10125  
0
0
10125  
0
− 5062 .5
 5062 .5
 − 2.20346 








I
−6 
−6 
p 2e  =  0
− 2250000
0   − 1.23336 x10  +  0
2250000
0  − 1.96877 x10  =  − 1.65467 
−6 
 

 − 10125
0
13500  
0
27000  
− 8.24568 x10   10125
 − 0.00020938  − 5.76458 
 5062 .5
0
− 10125
0
p  = 
I
2250000
Barra f
p  = (k )f d 
p  = (k )f d 
I
l
1e
12
I
l
2e
22
E
E
0
− 5062 .5

p1a  =  0
− 2250000
 10125
0
I
0
5062 .5

p 2a  =  0
2250000
 10125
0
I
− 10125  
0
  0.0834875 



−6 
0  − 1.23336 x10  =  2.77506 
−6 


13500  
− 8.24568 x10  − 0.111317 
10125  
0
 − 0.0834875 



−6 
0  − 1.23336 x10  =  − 2.77506 
−6 


27000  
− 8.24568 x10   − 0.222633 
Los valores obtenidos quedan expresados en la siguiente figura:
223
CONCLUSIONES:
En los últimos años se ha hablado insistentemente de calidad en las famosas
certificaciones, las que se han convertido en uno de los factores más significativos para la toma
de decisiones de los compradores de algún producto o servicio.
Dentro de la ingeniería civil, para que una estructura se considere de calidad, debe
reunir ciertas características como: resistencia, seguridad, funcionalidad y economía.
Para que en el análisis y diseño de una estructura se cumpla con estas características,
es necesario llevar un seguimiento bien definido del proceso a seguir; y algo muy importante, es
que para este tipo de trabajos es indispensable tener como base los principios teóricos
necesarios para ejecutar el análisis.
Durante el desarrollo de la presente tesis llamada “ANÁLISIS MATRICIAL CON
MATRICES”, apreciamos lo potente que resulta el manejar este tipo de métodos de análisis, y
también nos dimos cuenta de la complejidad que resulta solucionar algunas estructuras, es por
eso que se debe tener como base firme los principios teóricos para ejecutar estos análisis, y
hacer conveniente el aprovechamiento de los recursos informáticos existentes que se
proporcionan día con día con las innovaciones tecnológicas, para eficientar nuestras labores y
obtener así un beneficio propio y más aun colectivo.
Como comentario final a este trabajo nos debemos de dar cuenta que cuando finalizado
de estudiar la licenciatura nos enfrentamos a un compromiso muy grande y es el de iniciar lo
que es verdaderamente una “carrera”, que al finalizar de estudiar la licenciatura únicamente
tenemos las bases para verdaderamente emprenderla. Lo que sigue entonces, es buscar el
desarrollo profesional mediante la aplicación de los conocimientos adquiridos, y la adquisición
de otros nuevos. Situaciones como esta es la que hace que muchos profesionistas estén
inmiscuidos en cursos, actualizaciones, especializaciones, diplomados, maestrías y doctorados.
La clave de asegurar un futuro profesional satisfactorio se encuentra en la constante
adquisición de compromisos que nos darán la actualización profesional y el desarrollo humano.
BIBLIOGRAFÍA
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ESTRUCTURAS (CAPITULO IV)
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ANÁLISIS OF FRAMED STRUCTURAL
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MATRIX OPERATIONS AND USE OF COMPUTER IN STRUCTURAL ENGINERING
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
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PÁGINAS DE INTERNET CONSULTADAS
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