Estadística Descriptiva: Datos Agrupados, Frecuencias y Medidas

2.1
INTRODUCCION
2.4 ESTADISllCA DESCRIPTIVA:
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
2.2 ARREGLO ORDENADO
2.5 ESTADISllCA DESCRIPTIVA:
2.3 DATOS AGRUPADOS Y
DISTRIBUCION DE
FRECUENCIAS
2. t
MEDIDAS DE DISPERSION
2.6 RESUMEN
JNTRODUCCION
En el capitulo 1 se establecio que la toma de medici ones y el proceso de con teo
producen numeros que contienen informacion. El objetivo de la gente que aplica
herramientas estadisticas a esos numeros es determinar la naturaleza de esa
informacion. Esta tare a es mucho mas facil si los numeros estan organizados y
resumidos. Cuando se hacen las mediciones sobre entidades de una poblaci6n 0
. muestra, los valores resultantes estan disponibles para el investigador 0
estadfstico como una masa de datos desorganizados. Las mediciones que no han
sido organizadas, procesadas 0 manejadas de alguna otra forma se les llama datos
crudos (materia prima). A menos que el numero de observaciones sea
extremadamente pequeno, es improbable que esos datos crudos proporcionen
suficiente informaci6n hasta que sean puestos en alglin orden.
En este capitulo se ensenan algunas tecnicas para organizar y procesar datos de
tal manera que sea mas facil determinar que informacion contienen. Lo mas actual
en procesamiento de datos es el calculo de un numero individual que de alguna
manera incluye informaci6n importante acerca de los datos que sirvieron para
calcularlo. A estos numeros individuales utilizados para describir datos se les llama
medidas descriptivas. Despues de estudiar este capitulo el estudiante podra calcular
algunas medidas descriptivas tanto para poblaciones como para muestras de datos.
EI proposito de este capitulo es desarrollar en el estudiante habilidades
para poder manejar la informacion numerica que se encuentre como profesional
en ciencias de la salud. Entre mejor capacitado este para manejar tal informacion,
tendra una mejor idea del ambiente y de las fuerzas que generan la informacion.
15
16
CAPITULO 2
2.2
ARREGLO OBDENADO
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
EI primer paso para organizar datos es preparar un arreglo ordenado. Un arreglo
ordenado es una lista de valores de un grupo (sea poblacion 0 muestra) en orden de
magnitud de menor a mayor valor. Se recomienda el uso de la computadora si el
numero de mediciones a ordenar es bastante grande.
Un arreglo ordenado permite determinar con rapidez los valores de las mediciones mas pequefias, de las mas grandes, y otros aspectos acerca de los datos arreglados que pudieran necesitarse en caso de urgencia. A continuaci6n se muestra la
construcci6n de un arreglo ordenado con los datos que se estudiaron en el ejemplo
1.4.1.
EJEMPL92.2.1
La tabla 1.4.1. contiene una lista de las edades de los individuos que participaron
en el estudio de residentes de Groenlandia, estudiados en el ejemplo 104.1. Como
puede apreciarse, esta tabla desordenada requiere de mucha investigaci6n para
determinar informacion basica como la edad de los individuos mas j6venes hasta
los mas viejos.
Soludon: La tabla 2.2.1 presenta los datos de la tabla 1.4.1 en forma de arreglo
ordenado. AI referirse a la tabla 2.2.1 es posible determinar rapidamente la edaddel individuo mas joven (18) y la edad del mas viejo (63).
Tambien es posible identificar con facilidad que casi tres cuartas partes
de los individuos tienen menos de 40 afios de edad.
•
Anii1isisporcompldadom
Cuando se requieren cilculos adicionales y organizacion de un conjunto de datos en forma manual, el trabajo se facilita mediante un arreglo ordenado. Si los datos son analizados por computadora, esto no es aconsejable
Arreglo ordenado de las edades de los individuos de la
TABIA2.2.1
tabla 1.4.1
18
22
24
26
27
29
30
32
37
40
43
47
51
18
23
24
26
27
29
30
33
37
40
43
47
51
19
23
24
26
27
29
31
33
37
40
43
48
.52
\
19
23
24
26
28
29
31
33
37
40
44
48
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20
23
25
26
28
29
31
34
37
40
44
48
53
21
23
25
26
28
30
31
34
38
40
44
48
53
21
23
25
27
28
30
31
34
38
41
45
48
53
21
23
25
27
28
30
31
34
38
41
45
48
53
22
24
26
27
28
30
31
34
38
41
45
49
56
22
24
26 .
27
28
30
32
35
38
42
46
49
. 61
22
24
26
27
29
30
32
36
39
42
46
50
62
22
24
26
27
29
30
32
36
39
42
47
50
63
22
24
26
27
29
30
32
36
39
42
47
50
63
2.3
DATOS AGRUPADOS Y DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
17
Dialog box:
Manip .. Sort
II
Session command:
Sort
MTB > Sort Cl C2;
SUBC>
By Cl.
ｾ］ｩ
0 Qescending
l====i 0 Dgscending
}====i 0 D&.5c"Qding
ｾ＠
FIGURA 2.2.1
o Descendin§!
l;,;l.l@iIL:1
Caja de diaIogo para e1 ejemplo 2.2.1.
para preparar un arreglo ordenado, a menos que se necesite para prop6sitos de referencia 0 para otro uso. La computadora no necesita que el usuario haga un arreglo
ordenado antes de meter los datos para construir la distribuci6n de frecuencias y
para hacer otros amllisis.
Si desea un arreglo ordenado, muchos paquetes de software para computadoni contienen rutinas para construirlo. Por ejemplo, suponga que se usa el MINITAB
Yque las edades de la tabla 104.1 estan en la columna 1. El comando SORT C 1 C2
dasifica las edades y las pone en la columna 2, como 10 muestra la tabla 2.2.1. Si se
utilizael paquete MINITAB para Windows, y los datos se colocan en la columna
1, el proceso es como sigue: con el mouse haga die en Manip, luego en Sort,
escriba c1 en la caja etiquetada como "Sort column[s]", escriba c2 en la caja etiquetada como "Store sorted column[s] in" (para tener los datos dasificados en
c2), y escriba c1 en la caja etiquetada "Sort by column". Si desea ordenar en
forma descendente haga dic en "Descending". Si no se selecciona esa opci6n en
este punto, el resultado es una clasificaci6n en orden ascendente. Finalmente, haga
dic en OK. La caja de dialogo para el ejemplo 2.2.1 se muestra en la figura 2.2.1.
2.3 DATOSAGRUPADOS YDISTRIBUCION
DE FRECUENCIAS
Aunque un conjunto de observaciones puede hacerse mas comprensible y mas significativo por medio de un arregloordenado, es mas util el resumen que se obtiene
mediante la agrupaci6n de datos. Antes de la era de las computadoras, uno de los
principales objetivos de agrupar grandes conjuntos de datos era el de facilitar el
calculo de varias medidas descriptivas, como porcentajes y promedios. Debido a
18
CAPiTULO 2
ESTADiSTICA DESCRIPTIVA
. que las computadoras pueden ejecutar esos calrulos a partir de grandes conjuntos
sin agrupacion previa, actualmente el proposito principal de agrupar los datos es el
de resumir la informacion. Se debe tener en mente que los datos contienen informacion y que el resumen es una forma sencilla para determinar su naturaleza.
Para agruparun conjunto de observaciones se debe seleccionar un conjunto
de intervalos contiguos que no se traslapen, para que cada valor en el conjunto de
observaciones pueda ser puesto en uno y solo uno de los intervalos. Estos intervalos
normalmente se identifican como intervalos de clase.
Una de las primeras consideradones ruando se agrupan datos es la de ruantos
intervalos se deben incluir. Resulta inadecuado incluir pocos intervalos, porque se
perderia informacion. Por otro lado, si se utilizan muchos intervalos, el objetivo de
resumir no se consigue. La mejor guia en este caso, asi como para la toma de otras
dedsiones sobre la agrupadon de datos, es el conocimiento de los datos. Puede ser
que los intervalos de clase queden determinados por los precedentes, como en el
caso de las tabulaciones anuales, en las que los intervalos de clase de los afios anteriores
se conservan para propositos comparativos. Una regIa empfrica que habitualmente se
sigue establece que deben ser.entre seis y 15 intervalos. Si hay menos de seis intervalos,
los datos se han resumido en exceso y la informaci6n que contienen se habra perdido.
Si hay mas de 15 intervalos, los datos no fueron resumidos 10 suficiente.
Quienes deseen gufas mas espedficas para decidir cuantos intervalos de clase
son necesarios, pueden utilizar la f6rmula propuesta por Sturges (1). Esta formula
se enuncia k = 1 + 3.322(loglO n), donde k es el numero de intervalos de clase y n es
el numero de valores en el conjunto de datos en observaci6n. La respuesta que se
obtiene con la regla de Sturges no es definitiva, sino que se debe considerar unicamente como gufa. El numero de intervalos de clase especificado par esta regIa
debera incrementarseo disminuirse por conveniencia y para lograr una presentacion mas clara.
Por ejemplo, suponga que una muestra tiene 275 observaciones para agrupar.
Ellogaritmo base 10 de 275 es 2.4393. Con la aplicacion de la formula de Sturges
se obtiene k = 1 + 3.322(2.4393)::::: 9. En la practica, otras consideraciones pueden
sugerir el uso de 8 0 menos, 0 quiza 10 0 mas intervalos de clase.
Otra preguntaque se debe responder se refiere a la amplitud del intervalo de
clase. Los interval os de clase generalmente deben ser de la misma amplitud, aunque algunas veces esto es imposible. La amplitud se determina dividiendo el rango
entre k, que es el numero de intervalos de clase. Simbolicamente, la amplitud de los
intervalos de clase esta dada por:
w
R
k
(2.3.1)
donde R (el rango) es la diferencia entre la observacion mas pequefia y la mas
grande dentro del conjunto de datos. Por 10 general, con este procedimiento se
obtiene una amplitud que no es conveniente usar, y de nuevo se debe utilizar el
sentido comun para elegir la amplitud (normalmente cercana a la que se obtiene
con la ecuacion 2.3.1) que sea mas conveniente.
2.3
DATOS AGRUPADOS Y DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
19
Existen otras reglas empiricas que son de gran ayuda para armar intervalos
de clase utiles. Cuando la naturaleza de los datos los hace adecuados, la amplitud de
los intervalos de clase de 5 0 10 unidades y amplitudes multiplos de 10 tienden a
hacer que el resumen sea mas comprensible. Cuando se utilizan estas amplitudes es
una buena practica tener ellimite inferiorde cada extrema de intervalo en 0 0 5.
Generalmente los intervalos de clase se almacenan de menor a mayor: es decir; el
primer intervalo de clase contiene las mediciones mas pequenas y el ultimo intervalo contiene las mediciones mas grandes. Cuando sea este el caso, ellimite inferior del primer intervalo de clase debe ser menor 0 igual que la medici6n mas
pequena en el conjunto de datos, y ellimite superior del ultimf) intervalo de clase
debe ser mayor 0 igual que la medici6n mas grande.
Aunque muchos paquetes de software para microcomputadora contienen rutinas para construir interval os de clase, frecuentemente requieren que el usuario
registre la amplitud del intervalo y el numero de intervalos deseados. A continuaci6n se utilizan las 169 edades incluidas en la tabla 1.4.1 y arregladas en la tabla
2.2.1 para ilustrar la construcci6n de la distribuci6n de frecuencias.
EJEMPLO 2.3. t
Se quiere saber cuantos intervalos de clase se tienen en la distribuci6n de frecuencias de datos y tambien se quiere saber que tan amplios deben ser los intervalos.
Solucion: Para tener una idea del numero de intervalos a utilizar, la aplicaci6n de
la regIa de Sturges indica:
k = 1 + 3.322(log 169)
= 1 + 3.322(2.227886705)
"" 8
Ahora, al dividir el rango entre 8 para darse una idea de la amplitud de los intervalos de clase, se obtiene:
R = 63 ­18 = 45 =5.625
k
8
8
Es evidente que un intervalo de clase con una amplitud de 5 0 10 es
mas conveniente y significativo para ellector. Suponga que se decide que
sea 10. Ahora es posible construir los intervalos. Puesto que el valor mas
pequeno en la tabla 2.2.1 es 18 y el mayor es 63', entonces los intervalos
inician con 10 Y terminan con 69. Se obtienen los siguientes intervalos:
10­19
20­29
30­39
40­49
50­59
60­69
20
CAPiTULO 2
ESTADiSTICA DESCRIPTIVA
Puede observarse que hay 6 de esos intervalos, es dedr, dos menos
que el numero de intervalos calculados con la regIa de Sturges .
.AIgunas veces resulta util referirse al centro Hamado punta media
del intervalo de clase, el cual se determina sumando los limites extremosdel intervalo de clase y dividiendo entre Ｒｾ＠ Por ejemplo, el punto
medio del intervalo de clase 10-19 es (10 + 19)/2= 14.5.
•
Cuando se agrupan datos manualmente, determinar el numero de valores
que caen dentro de cada intervalo de clase es solo un problema de busqueda en el
arreglo ordenadoy conteo del numero de observadones que caen en los distintos
intervalos. Si se aplica esto al ejemplo anterior, se obtiene la tabla 2.3.1.
Una tabla de este tipo se canoce como distribucwn de frecuencias. En ella se
muestra como se distribuyen los valores dentro de los intervalos de clase espedficados. AI consll,ltarla, es posible determinar la frecuenda de ocurrencia de los valores
dentro de cualquiera de los intervalos.
Frecuencias relaiivas
En ocasiones, puede ser de utilidad conocer la propordon, en lugar del nlimero, de valores que caen dentro de un intervalo de clase
en particular. Esta informacion se obtiene dividiendo el numero de valores en un
intervalo de clase particular entre el numero total de valores. Si en el ejemplo anterior se pretende conocer la proporci6n de valores entre 30 y 39, inclusive, se divide
47 entre 169, para obtener .2781. Esto indica que 47 de 169, ｾＷＯＱＶＹＬ＠
0 0.2781 de
los valores caen entre 30 y 39. AI multiplicar .2781 por roo se obtiene el porcentaje de valores entre 30 y 39. Con 10 anterior se puede decir que el 27.81 por
ciento de los individuos tienen entre 30 y 39 alios de edad. Finalmente, a la propordon de valores que caen dentro de un intervalo de clase se Ie conoce como la
frecuencia relativa de acurrencias en ese intervalo.
TABlA 2.3.1 Distribuci6n
de frecuencias de las
edades de los 169
individuos incluidos en la
talJla 1.4.1 y2.2.1
Intervalos de clase
Frecuencias
10-19
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
4
66
47
36
12
4
Total
169
2.3
21
DATOS AGRUPADOSYDISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
TABlA 2.3.2 Distribuciones de: frecuencia, frecuencia acumulada,
frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada de las edades de
los sujetos descritos en el ejemplo 1.4.1
Frecuencia
Frecuencia
acumulada
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa
acumulada
10-19
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
4
66
47
36
12
4
4
70
117
153
165
169
.0237
.3905
.2781
.2130
.0710
.0237
.0237
.4142
.6923
.9053
.9763
1.0000
Total
169
Intervalos de
clase
1.0000
Para determinar la frecuencia de valores que caen dentro de dos 0 mas intervalos de clase, se obtiene la suma del numero de valores que caen dentro de los
intervalos de clase correspondientes. Analogamente, si se pretende conocer la
frecuencia relativa de ocurrencia de valores que caen dentro de dos 0 mas intervalos de clase, entonces, se suman las frecuencias relativas respectivas. Se pueden
sumar, 0 acumular, las frecuencias y las frecuencias relativas para facilitar la obtencion de informacion ace rca de las frecuencias 0 frecuencias relativas de valores
dentro de dos 0 mas intervalos de clase contiguos. La tabla 2.3.2 muestra los
datos de la tabla 2.3.1 con las frecuencias acumuladas, frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas.
Si el interes esta centrado en la frecuencia relativa de los valores que caen
entre 30 y 59, entonces se utiliza la columna de las frecuencias relativas acumuladas
de la tabla 2.3.2 y se resta .4142 de .9763 para obtener .5621.
Se puede utilizar elpaquete de software estadfstico MINITAB para obtener
una tabla comparable con Ja tabla 2.3.2. MINITAB genero los valores de la tabla
con las frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas expresados en porcentajes. EI procedimiento incluye asignar codigos a los intervalos de clase y meter
la informacion a traves del teclado. Cuando se asignan los codigos 0, 1, 2, 3, 4 Y 5,
respectivamente, a las seis clases de intervalos, se debeteclear el siguiente comando:
MTB> Code (10: 19)0 (20:29) 1 (30:39)2 (40:49)3 (50:59)4 (60:69)5 c1 c2
La caja de dialogo, los comandos de la sesion y la salida se muestran en la
figura 2.3.1.
E1 histograma
Es posible presentar una distribucion de frecuencias (0
una distribucion de frecuencias relativas) graficamente en forma de histograma, que
es un tipo especial de grafica de barras.
22
CAPITULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Caja de dialogo:
Stat >-- Tables
Comandos de la sesi6n:
>-- Tally
Teclear C2 en Variables. Verifique Counts,
Percents, Cumulative Counts y
Cumulative percents en Display. Clic OK
MTB>
SUBC>
SUBC>
SUBC>
SUBC>
C2i
Countsi
CumCountsi
Percents;
CumPercents.
Resultados:
Resumen estadlstico para variables discretas
C2
0
1
2
3
4
5
Count CumCnt
4
4
66
70
47
117
36
153
12
165
4
169
N
169
Percent
2.37
39.05
27.81
21.30
7.10
2.37
CumPct
2.37
41.42
69.23
90.53
97.63
100.00
FIGURA 2.3.1
Distribuci6n de frecuencia, frecuencias acumuladas, porcentajes y porcentajes
acumulados de las edades de los individuos descritos en el ejemplo 1.4.1, tal como 10 construy6
el paquete MINITAB.
Para construir un histograma, los valores de la variable respectiva se ponen
sabre el eje horizontal, y las frecuencias (0 frecuencias relativas, si as! se quiere) de
ocurrencia, en el eje vertical. Sobre cada intervalo de clase, arriba del eje horizontal, se levanta una barra rectangular, 0 celda, como algunas veces se Ie nombra, hasta que intercepte con la frecuencia respectiva. Las barras del histograma
deben ser adyacentes, y es necesario tomar en cuenta los lfmites correctos de los
intervalos de clase para evitar la separacion de barras en la grafica.
El nivel de precision que se observa en los datos obtenidos y que tienen mediciones ｾｯ｢ｲ･＠
una escala continua indica algUn orden de redondeo. El orden de redondec refleja la preferencia personal del informante 0 las limitaciones de los instrumentos
de medicion empleados. Cuando una distribucion de frecuencia se construye a partir de los datos, los Hmites de los intervalos de clase frecuentemente reflejan el grado
de precision de los daws originales. Esto mismo se ha efectuado en el ejemplo. Sin
embargo, se sabe que algunos de los valores que caen dentro del segundo intervalo
de clase, por ejemplo, probablemente seran un poco menores que 20 mientras que
2.3
23
DATOS AGRUPADOS Y DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
70
TABlA 2.3.3
Datos de la
iabla 2.3. t que muestra los
IImites COl'l"ectos de los
intervalos de clase
Intervalos de clase
60
50
Frecuencias
::l 40
'0
c:
Q)
9.5-19.5
19.5-29.5
29.5-39.5
39.5-49.5
49.5-59.5
59.5-69.5
4
66
47
36
12
4
Total
169
:::J
t,)
Q)
u:
30
20
10
14.5
24.5 34.5 44.5
Edad
54.5 64.5
FIGURA 2.3.2 Histograma de las edades de
169 individuos a partir de la tabla 2.3.1.
otros seran un poco mayores que 29, cuando la medici6n es precisa. AI considerar la
continuidad implfcita de la variable, y suponiendo que los datos fueran redondeados
al entero positivo inferior mas pr6ximo, entonces es 16gico suponer que 19.5 y 29.5
son los limites correctos para este segundo intervalo. Los limites correctos para cada
intervalo de clase se toman como semuestra en la tabla 2.3.3.
Si se elabora una grafica utilizando estos lfmites de intervalos de clase como la
base de los rectangulos, no habra separaciones entre las barras, y se obtendra el
histograma que se muestra en la figura 2.3.2. Se utiliz6 el paquete MINITAB para
elaborar el histograma. Se almacenaron los datos en la columna 1 y se Ie nombr6
"Edad". El procedimiento se muestra en la figura 2.3.3. EI mensaje 14.5:64:5110
indica que el primer punto medio es 14.5, que el ultimo punto medio es 64.5 y que
los intervalos estan igualmente espaciados en incrementos de 10 unidades. Se consider6 un espacio delimitado por el eje horizontal y ellfmite exterior formado por
las barras en la figura 2.3.2.
Caja de dialogo:
Comandos de la sesi6n:
Graph ,.. Histogram
MTB> Histogram 'Edad';
SUBC> MidPoint 14.5:64.5/10;
SUBC> Bar.
Teclear Edad en X.
Clic Options. Elegir MidPoint. Teclear
14.5:64.5/l0 en MidPoint/cutPoint positions:
Clic OK dos veces.
FIGURA 2.3.3
Caja de diilogo y comandos de la sesi6n de MINITAB para elaborar el
histograma a partir de los datos del ejemplo 1.4.1.
24
CAPITULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
AI espacio entre los limites del histograma se Ie conoce como area del
histograma. A cada observacion se Ie asigna una unidad de esta area. Puesto que se
tienen 169 observaciones, el histograma tiene en total 169 unidades. Cada harra
contiene cierta proporcion del area total, de acuerdo con la frecuencia. La segunda
barra, por ejemplo, contiene 66/169 del area. Esto, como ya se estudi6, es la frecuencia de ocurrencia de los valores entre 19.5 y 29.5. A partir de esto se observa
que las subareas del histograma definidas por las barras corresponden a las frecuencias de ocurrencia de valores entre los lfmites de las areas de la escala horizontal. El porcentaje de una subarea particular del area total del histograma es igual a
la frecuencia relativa de ocurrencia de los val ores entre los puntos correspondientes
sobre el eje horizontal.
El polfgono de jrecuencia
Una distribuci6n de frecuencia tambien puede
ser representada graficamente por medio de un poligono de frecuencia, que es una
dase especial de grafica lineal. Para dibujar este poHgono, primero se hace una
marca arriba del punto medio de cada intervalo de clase, representado sobre el ｾｪ･＠
horizontal de la grafica, como se muestra en la figura 2.3.2. La altura con respecto
del eje horizontal de una marca dada corresponde ala frecuencia del intervalo de
c1ase. AI unir las marcas mediante lineas rectas se obtiene el poligono de frecuencia. La figura 2.3.4 muestra el polfgono de frecuencia para los datos de edades de la
tabla 2.2.1.
Observe que el poligono cae sobre el eje horizontal en los extremos en los
puntos que corresponderian a los puntos medios en caso de haber una celda adidonal en cada extremo del histograma correspondiente. Esto permite que el area
total sea delimitada. El area total bajo el poligono de frecuencia es igual al area bajo
'"
'5
c:
<Il
:::l
(J
e?
u..
70
60
50
40
30
20
10
0
ro
'5
c:
<Il
:::l
(J
e?
u..
14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5
70
60
50
40
30
20
10
0
14.5 24.5 34.544.5 54.5 64.5
Edad
Edad
FIGURA 2.3.4
Pollgono de frecuencia para las
edades de 169 individuos incluidas en la tabla
2.2.1.
FIGURA 2.3.5
Histograma y poligono de frecuencia para las edades de 169 individuos incluidas en la tabla 2.2.1.
2.3
DATOS AGRUPADOS Y DlSTRIBUCION DE FRECUENCIAS
25
el histograma. La figura 2.3.5 muestra el poligono de frecuencia de la figura 2.3.4
sobrepuesta al histograma de la figura 2.3.2. Esta figura permite observar la relacion entre las dos formas graficas para un mismo conjunto de datos.
Desplkgues de lalla y hajas
atro sistema grafico muy util para representar
conjuntos de datos cuantitativos es el despliegue de tallo y hojas. Un despliegue de
este tipo presenta una gran similitud con el histograma y tiene el mismo proposito.
Un despliegue construido correctamente, al igual que un histograma, proporciona
informacion respecto al rango del conjunto de datos, muestra la ubicacion de la
mayor concentracion de mediciones y revela la presencia 0 ausencia de simetrfa.
Una ventaja del despliegue de tallo y hojas sobre el histograma es que conserva la
informacion contenida en las mediciones individuales. Tal informacion se pierde
cuando las mediciones son asignadas a los intervalos de clase del histograma. Como
se vera mas adelante otra ventaja adicional del despliegue es que puede construirse
durante el proceso de marcaje, de tal forma que se elimina el paso intermedio (la
preparacion de un arreglo ordenado).
Para construir un despliegue se divide cada medicion en dos, la primera parte
se llama tallo y la segunda, hojas. EI tallo se forma con uno 0 mas digitos iniciales de la
medicion, y las hojas se forman con uno 0 mas de los digitos restantes. Todos los
numeros divididos se muestran en un solo despliegue; los tallos forman una columna
ordenada de menor a mayor. En la columna de tallos se incluyen todos aquellos que
se encuentren dentro del rango de los datos, aun cuando una medicion con ese tallo
no este en el conjunto de datos. Los renglones del despliegue contienen las hojas
ordenadas en una lista a la derecha de sus respectivos tallos. Cuando las hojas se
forman con mas de un digito, todos los digitos despues del primero se pueden borrar. Los decimales, cuando ocurren en los datos originales, se omiten en el despliegue. Los tallos se separan de sus hojas mediante una linea vertical. Asi, se observa que
un despliegue tambien es un arreglo ordenado de los datos.
Los despliegues de tallo y hojas son mas eficientes en conjuntos de datos relativamente pequeiios. Como una norma, no es aconsejable utilizarlos en informes
anuales 0 en otros medios de difusion para el publico en general. Son una ayuda
basica para que investigadores y tomadores de decisiones comprendan la naturaleza de sus datos. Los histogramas son mas adecuados para las publicaciones de
circulacion externa. EI siguiente ejemplo ilustra la construccion del despliegue
de tallo y hojas.
FJEMPLO 2.3.2
Utilice los datos de edades de la tabla 2.2.1 para construir un despliegue de tallo y
hojas.
Soindon: Puesto que todas las mediciones son numeros de dos dfgitos, se tienen
tallos y hojas de un digito cada uno. Por ejemplo, la medicion 18 tiene
un tallo de 1 y una hoja de 8. La figuni 2.3.6 muestra el despliegue de
tallo y hojas para los datos.
26
CAPITULO 2
Tallo
1
2
3
4
5
6
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Hoja
8899
011122222233333334444444445555666666666667777777777888888899999999
ＰＱＲＳＴＵＶＷｾＸＹ＠
000000111222233344455566777788888899
000112233336
1233
FIGURA 2.3.6
Despliegue de tallo y hojas para las edades de 169 individuos incluidas en la tabla
2.2.1 (unidad de tallo = I, unidad de hoja = I).
EI paquete de software estadistico MINITAB se puede utilizar para
elaborar el despliegue de tallo y hojas. Con los datos en la columna 1,
Hamada "Edad", el paquete produce y presenta una salida como la que se
muestra en la figura 2.3.7. El subcomando increment especifica la distancia
desde el primer tallo hasta el siguiente. Los numeros en las columnas del
extrema izquierdo de la figura 2.3.7 proporcionan informacion respecto
al numero de observaciones (hojas) en una linea dada y por encima de
ella, 0 el numero de observaciones en esa linea y en la de abajo.
Comandos de la sesi6n:
Caja de dialogo:
.Graph >- ｃｨ｡ｲ｣ｴ･ｾ＠
Stem-and-Leaf
Graphs >- Histogram >-
MTB > Stem-and-Leaf 'Edad'i
SUBC> Increment 10.
Tedear Edad en Variables. Tedear 10 en Increment. Clic
OK.
Resultados:
Oespliegue en modo caracter de tallo y hojas
Stem-and-Leaf of 'Edad'
Leaf Unit = 1.0
4
70
(47)
. 52
1
2
3
16
4
5
6
4
N= 169
8899
01112222223333333444444444555566666666666777777777788888889999999+
00000000001111111222223334444456667777788888999
0000001112222333A4455566777788888899
000112233336
1233
FIGURA 2.3.7
Despliegue de tallo y hojas preparado por el paquete MINITAB a partir
de los datos de las edades incluidas en la tabla 2.2.1.
EJERCICIOS
27
Por ejemplo, el numero 70 sobre la segunda linea indica que hay
70 observaciones (u hojas) en esa linea yen la de arriba. EI numero 52
en la cuarta linea (contando desde arriba) dice que hay 52 observaciones en esa linea y en todas las de abajo. El numero entre parentesis
dice que hay 47 observaciones en esa lInea. Los parentesis indican la
linea que contiene la observaci6n central si el numero total de observaciones es impar, 0 las dos observaciones centrales si el numero total de
observaciones es par.
EI signa + al final de la segunda linea de la figura 2.3.7 indica que
la frecuencia para esa linea (el grupo de edades de 20 a 29) excede la
capacidad de la lfnea, y que existe al menos una hoja adicional que no se
muestra. En este caso, la frecuencia para el grupo de edades de 20­29 es
de 66. En la linea hay s6lo 65 hojas, as! que el signo + indica que existe
una hoja mas, un 9, que no se muestra.
•
Una manera para no exceder la capacidad dela linea es tener mas lineas. Esto
se puedehacer acortando la distancia entre las lfneas, es decir, reduciendo la amplitud de los intervalos de c1ase. Para este ejemplo, se puede utilizar un intervalo de
dases con amplitud 5, as! que la distancia entre las lfneas es de 5. La figura 2.3.8
muestra el resultado producido por el paquete MINI1AB para el despliegue de
tallo y hojas.
Stem­and­Leaf of 'Edad'
Leaf Unit
1.0
4
30
70
(30 )
69
52
33
16
5
4
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
N
169
8899
01112222223333333444444444
5555666666666667777777777888888899999999
000000000011111112222233344444
56667777788888999
0000001112222333444
55566777788888899
00011223333
6
1233
FIGURA 2.3.8
Despliegue de tallo y hojas preparado por el paquete MINITAB a partir
de los datos de las edades incluidas en la tabla 2.2.1, con intervalos de clase de amplitud = 5.
EjERCICIOS
2.3.1
En un estudio de la actividad proliferativa del cancer de seno, Veronese y Gambacorta (A­1)
utilizaron los metodos inmunohistoquimico y de anticuerpos monoclonal Ki­67. Los investigadores obtuvieron tejido tumoral de 203 pacientes con carcinoma de pecho. Los pacientes
28
CAPiTULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
tenfan entre 26 y 82 aftos de edad. La siguiente tabla muestra los valores de !{i-67 (expresados en porcentajes) para esos pacientes.
10.12
10.15
19.30
33.00
9.63
ｾＱＮＴＲ＠
28.30
4.65
21.09
1.00
13.72
8.77
3.00
4.09
17.60
5.22
12.70
7.39
21.36
11.36
8.12
3.14
4.33
5.07
8.10
4.23
13.11
4.07
6.07
45.82
5.58
5.00
9.69
4.14
4.59
27.55
3.51
8.58
14.70
6.72
13.10
10.80
5.48
16.40
11.65
9.31
25.11
19.50
73.00
11.95
27.00
32.90
9.40
4.70
9.20
50.00
5.00
30.00
4.00
49.85
24.89
28.85
5.00
9.20
2.00
4.84
10.00
75.00
14.79
15.00
4.32
12.82
10.00
8.37
2.03
10.00
9.83
9.10
5.00
5.60
3.32
9.75
10:54
23.50
4.40
26.30
7.40
12.60
15.92
17.84
33.30 .
9.03
9.80
35.40
14.00
6.20
10.00
15.00
10.00
25.00
29.70
29.55
19.80
44.20
4.87
3.00
9.79
19.83
20.00
8.99
40.00
5.69
4.50
4.12
6.20
2.69
6.27
6.55
11.20
29.50
28.10
13.52
7.37
27.30
32.60
26.80
1.73
9.35
17.96
19.40
10.90
4.53
51.20
2.43
51.70
15.00
5.00
20.00
25.00
15.00
20.00
19.95
10.00
4.99
30.00
10.00
2.00
5.00
20.00
5.00
3.97
18.79
1.42
4.41
14.24
2.07
3.69
6.37
8.21
6.88
9.60
5.48
5.70
8.38
42.70
16.60
35.90
14.78
41.12
7.19
2.74
19.40
6.40
2.00
43.50
3.60
15.00
30.00
10.00
20.00
30.00
5.00
38:90
6.00
9.88
29.10
2.96
9.50
4.77
4.55
30.00
13.76
18.57
1.88
9.11
3.12
5.42
13.78
3.42
7.53
6.03
7.00
17.80
FUENTE: Utilizado con autorizaci6n de Silvio M. Veronese, Ph. D.
EJERCICIOS
29
a) Construya con los datos:
Una distribuci6n de frecuencias
Una distribuci6n de frecuencias relativas
Una distribuci6n de frecuencias acumuladas
Una distribuci6n de frecuencias relativas acumuladas
Un histograma
Un poligono de frecuencia
b) ｾｑｵ･＠
porcentaje de las mediciones es menor que 10?
c) ｾｑｵ･＠
proporci6n de individuos tiene mediciones mayores 0 iguales que 20?
d) ｾｑｵ･＠
porcentaje de mediciones esta entre 20 y 49, inclusive?
e) ｾｃｵ｡ｮｴｳ＠
t) ｾｑｵ･＠
mediciones son mayores que 39?
proporci6n de las mediciones es menor que 10 0 mayor que 69?
g) Alguien selecciona aleatoriamente una medici6n de este conjunto de datos y Ie pide que
adivine el valor. ｾｃｵ｡ｬ＠
seria su respuesta? ｾｐｯｲ＠
que?
b) La distribuci6n de frecuencias y sus histogramas pueden ser descritas de varias maneras
segUn su forma. Por ejemplo, puede ser simetrica (la mitad izquierda es al menos aproximadamente igual a la mitad de la derecha), con inclinaci6n a la izquierda (las frecuencias tienden a incrementarse conforme­Ias medicionesse iilcrementan en tamano), con inclinaci6n a
la derecha (las frecuencias tienden a decrecer conforme las mediciones disminuyen en tamano), 0 en forma de U (las frecuencias son­altas en cada extrema y cortas en el centro). ｾｃＶｭｯ＠
se describe esta distribuci6n?
2.3.2
Jarjour et al. (A­2) realizaron un estudio en el que se midieron los niveles de histamina del
fluido de lavado bronquialveolar (BAL, siglas en ingles) en individuos con rinitis alergica,
individuos con asma y voluntarios normales. Una de las mediciones obtenidas es la proteina total Olg/ml) en muestras de BAL. Los siguientes son los resultados de 61 muestras
analizadas:
76.33
77.63
149.49
54.38
55.47
51.70
78.15
85.40
41.98
69.91
128.40
88.17
58.50
84.70
44.40
FUENTE:
57.73
88.78
86.24
54.07
95.06
114.79
53.07
72.30
59.36
59.20
67.10
109.30
82.60
62.80
61.90
74.78
77.40
57.90
91.47
71.50
61.70
106.00
61.10
63.96
54.41
83.82
79.55
153.56
70.17
55.05
100.36
51.16
72.10
62.32
73.53
47.23
35.90
72.20
66.60
59.76
95.33
73.50
62.20
67.20
44.73
57.68
Utilizado con autorizaci6n de Nizar N. ]arjour, M. D.
30
CAPITULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
a) Construya con los datos:
Una distribuci6n de frecuencias
Una distribuci6n de frecuencias relativas
Una distribuci6n de frecuencias acumuladas
Una distribuci6n de frecuencias relativas acumuladas
Un histograma
Un polfgono de frecuencia
b) ｾｑｵ･＠
porcentaje de mediciones esta entre 55 y 114, inclusive?
c) ｾｃｵ｡ｮｴｳ＠
mediciones son menores que 95?
d) ｾｑｵ･＠
proporci6n de las mediciones es mayor 0 igual que 75?
e) ｾｑｵ･＠
porcentaje de medici ones es menor que 55 0 mayor que 114.99?
f) Remitase al ejercicio 2.3.1 inciso h para describir la distribuci6n de proteina total en las
muestras de BAL en terminos de simetria e inclinaci6n.
2.3.3
Ellis et al. (A-3) realizaron un estudio para investigar las caracteristicas de uni6n de la imipramina
a las plaquetas en pacientes maniacos y comparar los resultados con datos equivalentes de
personas sanas y pacientes depresivos. Como parte del estudio, los investigadores obtuvieron
los val ores maximos de uni6n a la molecula receptora (B rna) en estos individuos. Los siguientes
valores son de 57 inqividuos estudiados que fueron diagnosticados con depresi6n unipolar.
1074
372
473
797
385
769
797
485
334
670
510
299
333
303
768
392
475
319
301
556
300
339
488
1114
761
571
306
80
607
1017
286
511
147
476
416
528
419
328
1220
438
238
867
1657
790
479
179
530
446
328
348
773
697
520
341
604
420
397
FUENTE: Utilizado con autorizaci6n de Peter E. Ellis.
a) Construya con los datos:
Una distribuci6n de frecuencias
Una distribuci6n de frecuencias relativas
Una distribuci6n de frecuencias acumuladas
Una distribuci6n de frecuencias relativas acumuladas
Un histograma
Un polfgono de frecuencia
b) ｾｑｵ･＠
porcentaje de mediciones es menor que 500?
c) ｾｑｵ･＠
porcentaje de mediciones esta entre 500 y 999, inclusive?
EJERCICIOS
d) ｾｑｵ･＠
31
porcentaje de mediciones es mayor que 749?
e) Describa estos datos con respecto a la simetria e incIinaci6n tal como se estudi6 en el
ejercicio2.3.1, inciso h.
f) C:Cuantas de las mediciones son menores que 1000?
2.3.4
EI objetivo de un estudio de Herrman et at. (A-4) era determinar la prevalencia de des6rdenes
mentales severos en una muestra representativa de convictos de tres centros de readaptaci6n
social'en Melboume, Australia. Los tres grupos de convictos se cIasificaron como: aquellos que
estuvieron de acuerdo en ser entrevistados, aquellos que rehusaron ser entrevistados y aquellos
que estuvieron de acuerdo en sustituir a aquellos que se rehusaron a participar. Ademas de
evaluar la prevalencia de des6rdenes mentales entre los individuos, los investigadores obtuvieron informaci6n del tiempo de sentencia y tiempo de confinamiento al momento del
estudio. Los siguientes datos son el tiempo minimo de sentencia (en dfas) para cada individuo que rehus6 la entrevista.
18
4955
2190
450
3650
2920
270
1000
270
180
910
90
253
450
360
1460
1095
635
1953
844
360
570
951
540
450
450
730
4380
720
730
455
0
540
545
0
150
1825
2920
270
284
330
0
1000
1460
360
0
120
1095
330
540
730
0
1095
365
180
2340
360
180
2005
717
3710
180
2555
4015
2885
730
3160
910
360
466
2920
240
4745
88
545
90
1670
360
727
1275
344
2555
545
90
60
540
90
660
365
3100
1050
90
450
1200
120
1460
409
910
0
1125
FUENTE: Utilizado con autorizacion de Helen
Herrman, M. D.
a) Construya con los datos:
Una distribuci6n de frecuencias
Una distribuci6n de frecuencias relativas
acumuladas
Una distribuci6n de frecuencias relativas
Un histograma
Una distribuci6n de frecuencias acmnuladas
Un poligono de frecuencia
32
CAPITULO 2
2.3.5
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
b) Describa estos datos con respecto a la simetria e inclinad6n tal como se estudi6 en el
ejercido 2.3.1, indso h.
c) ｾｐｯｲ＠
que se cree que los datos esuin inclinados de esa manera?
d) ｾｃＶｭｯ＠
podrian utilizar los investigadores esta informacion en estudios posteriores?
e) (Cmintas mediciones son mayores que 729?
f) (Que porcentaje de mediciones es menor que 1460?
La siguiente tabla muestra e1 numero de horas de sueno de 45 pacientes de un hospital como
consecuencia de la administracion de derto anestesico.
4
7 10 12
8
1
12 11
3
8
4
5
5
8
7
8 13
1
7
17
3
1 17
4
10
a) Construya a partir de estos datos:
Una distribuci6n de frecuencias
Una distribuci6n de frecuendas relativas
2.3.6
3
13
3
4
7
5
4
3
5
8
8
10
2
5
11
Un histograma
Un poHgono de frecuencia
b) Describa estos datos con respecto a la simetria e inclinaci6n tal como se estudi6 en el
ejercicio 2.3.1, inciso h.
Los siguientes datos corresponden al numero de ninos que nacieron durante un ano, en 60
hospitales comunitarios:
30
37
32
39
52
2.3.7
7
1
7
3
7
55
55
26
56
57
27
52
40
59
43
45
34
28
58
46
56
54
53
49
54
48
42
54
53
31
45
32
29
30
22
49
59
42
53
31
32
35
42
21
24
57
46
54
34
24
47
24
53
28
57
56
57
59
50
29
a) Construya a partir de estos datos:
Una distribuci6n de frecuencias
Una distribuci6n de frecuencias relativas
Un histograma
Un poligono de frecuenda
b) Describa estos datos con respecto a la simetria e inclinaci6n tal como se estudi6 en el
ejercicio 2.3.1, inciso h.
En un estudio acerca de los niveles de resistenda fisica de estudiantes varones de reciente
ingreso a la universidad, se registraron las siguientes puntuaciones con base en algunas rutinas de ejercicios.
254
182
180
198
222
165
265
220
272
232
281
210
188
190
187
194
222
201
195
191
192
235
135
151
134
206
264
203
227
175
260
239
233
157
193
193
249
172
230
236
212
258
220
204
264
218
175
234
168
152
179
166
204
238
312
198
205
198
232
258
225
159
219
205
214
241
252
173
217
155
179
223
211
229
227
149
210
187
249
215
181
186
245
191
190
164
178
189
196
197
149
190
151
200
212
225
159
237
223
210
(ContinUa)
EJERCICIOS
214· 278
218 213
169 187
191 124
251 206
188 195
252
172
204
199
173
240
283
159
180
235
236
163
205
203
261
139
215
208
184
212
236
231
228
172 228
117 197
217 205
116 182
183 204
193
206
212
243
186
33
130
198
218
217
134
a) Construya a partir de estos datos:
Una distribuci6n de frecuencias
Una distribuci6n de frecuencias relativas
Un poligono de frecuencia
Un histograma
b) Describa estos datos con respecto a la simetrfa e inclinaci6n tal como se estudi6 en el
ejercicio 2.3.1, inciso h.
2.3.8
Las edades indicadas a continuaci6n corresponden a 30 pacientes atendidos en la sala de
urgencias de un hospital un viernes por la nocbe. Construya un despliegue de tallo y hojas
con esos datos. Describir estos datos con respecto a la slmetrfa e inclinaci6n tal como se
estudi6 enel ejercicio 2.3.1, inciso h.
. 35
36
45
36
22
2.3.9
32
12
23.
45
38
21
54
64
55
35
43
45
10
44
56
39
37
34
55
45
60
53
22
46
57
Los siguientes datos corresponden a los cobros realizados a 25 pacientes en la sala de urgencias de dos hospitales urbanos. Construya un despliegue de tallo y hojas para cada conjunto
de datos. ':Que sugiere la comparaci6n de los dos despliegues respecto a los dos hospitales?
Describa los dos conjuntos de datos con respecto a la simetrfa e inclinaci6n tal como se
estudi6 en el ejercicio 2.3.1. inciso h.
Hospital A
249.10
214.30
201.20
171.10
248.30
202.50
195.10
239.80
222.00
209.70
222.20
213.30
245.70
212.50
233.90
214.40
225.50
213.00
201.70
229.80
205.90
191.40
238.80
184.90
217.90
186.00
152.00
190.30
155.30
150.20
214.10
165.70
135.40
195.90
212.40
Hospital B
199.50
125.50
154.70
167.70
168.90
184.00
143.50
145.30
203.40
166.70
173.20
190.40
154.60
186.70
178.60
34
CAPITULO 2
2.3.10
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Para este ejercicio es necesario utilizar los datos del ejemplo 1.4.1 desplegados en la
tabla 1.4.1.
a) Construya intervalos de clase con amp1itud 5 para:
Una distribuci6n de frecuencias
Una distribuci6n de frecuencias relativas
Una distribuci6n de frecuencias acumuladas
Una distribuci6n de frecuencias relativas acumuladas
Un histograma
Un poHgono de frecuencia
b) Describa estos datos con respecto a la simetrfa e inclinaci6n tal como se estudi6 en el
ejercicio 2.3.1, incisoh.
2.3.11
Los objetivos de una investigaci6n realizada por Skjelbo et ai. (A-5)fueron examinar: a) la
relaci6n entre el metabolismo de La cloroguanida y la eficacia de la profilaxis contra la malaria;·o) el metabolismo de la mefenitoina y su relaci6n con el metabolismo de la cloroguanida
entre habitantes de Tanzania. A partir de la informacion proporcionada por las muestras de
orina de 216 individuos, los investigadores calcularon el porcentaje de inmutabilidad de Smefenitofna hacia R-mefenitoina (porcentaje SIR). Los resultados son los siguientes:
0.0269 0.0400
0.0760 0.0850
0.0990 0.0990
0.0990 0;0990
0.0990 0.0990
0.0990 0.0990
0.1050 0.1050
0.1190 0.1200
0.1460 0.1480
0.1550 . 0.1570
0.1690 0.1710
0.1810 0.1880
0.2070 0.2100
0.2390 0.2400
0.2470 0.2540
0.2710 0.2800
0.2990 0.3000
0.3400 0.3440
0.3630 0.3660
0.4090 0.4090
0.4300 0.4360
0.4680 0.4810
0.5340 0.5340
0.5930 0.6010
0.6870 0.6900
0.7860 0.7950
0.9530 0.9830
0.0550 0.0550
0.0870 0.0870
0.0990 0.0990
0.0990 0.0990
0.0990 0.0990
0.0990 0.0990
0.1080 0.1080
0.1230 0.1240
0.1490 0.1490
0.1600 .0.1650
0.1720 0.1740
0.1890 0.1890
0.2100 . 0.2140
0.2420 0.2430
0.2570 0.. 2600
0.2800, 0.2870
0.3070 0.3100
0.3480 0.3490
0.3830 0.3900
0.4100 0.4160
0.4370 0.4390
0.4870 0.4910
0.5460 0.5480
0.6240 0.6280
0.6910 0.6940
0.8040 0.8200
0.9890 l.()120
0.0650 0.0670
0.0880 0.0900
0.0990 0.0990
0.0990 0.0990
0.0990 0.0990
0.0990 0.1000
0.1090 0.1090
0.1340 0.1340
0.1500 0.1500
0.1650 0.1670
0.1780 0.1780
0.1920 0.1950
0.2150 0.2160
0.2450 0.2450
0.2620 0.2650
0.2880 0.2940
0.3110 0.3140
0.3520 0.3,530
0.3960 0.3990
0.4210 0.4260
0.4410 0.4410
0.4980 0.5030
0.5480 0.5490
0.6380 0.6600
().7040 0.7120
0.8350 0.8770
l.0260 l.0320
FUENTE: Utilizado con autorizaci6n de Erik Skjelbo, M. D.
0.0700
0.0900
0.0990
0.0990
0.0990
0.1020
0.1090
0.1370
0.1500
0.1670
0.1790
0.1970
0.2260
0.2460
0.2650
0.2970
0.3190
0.3570
0.4080
0.4290
0.4430
0.5060
0.5550
0.6720
0.7200
0.9090
1.0620
0.0720
0.0990
0.0990
0.0990
0.0990
0.1040
0.1160
0.1390
0.1540
0.1677
0.1790
0.2010
0.2290
0.2460
0.2680
0.2980
0.3210
0.3630
0.4080
0.4290
0.4540
0.5220
0.5920
0.6820
0.7280
0.9520
1.1600
EJERCICIOS
35
a) Construya con los datos las siguientes distribuciones: frecuencia, frecuencia relativa, frecuencia acumulada y frecuencia relativa acunmlada; asi como las siguientes graficas:
histograma, poligono de frecuencia y desplieglte de tallo y hojas.
.
b) Describa estos datos con respecto a la simetria e inclinacion tal como se estudio en el
ejercicio 2.3.1, inciso h.
.
c) Los investigadores definieroncomo metabolizantes de bajo rendimiento de mefenitoina a
cualquier individuo con un porcentaje mefenitofna SIR mayor a .9. ｾｃｵ｡ｮｴｯｳ
y que porcentaje de individuos son metabolizantesde bajo rendimiento?
d) ｾｃｵ｡ｮｴｯｳ＠
y que porcentaje de individuos tienen porcentajes menores que. 7, entre .3 y
.6999, inclusive, y mayores que .4999?
2.3.12
Schmidt et al. (A­6) efectuaron un estudio para investigar si la autotransfusi6n de sangre
extraida del mediastino podia reducir el numero de pacientes que necesitaba transfusiones
de sangre homologa y reducir la cantidadde sangre hom61oga transfundida utilizando criterios de transfusion fijos. La siguiente tabla muestra las estaturas en centimetros de 109 individuos de los cuales 97 son varones.
1.720
1.730
1.800
1.680
1.760
1.770
1.750
1.820
1.700
1.840
1.760
1.660
1.600
1.750
1.960
1.810
1.790
1.780
1.800
1.770
1.710
1.700
1.800
1.730
1.780
1.920
1.710
1.790
1.760
1.690
1.700
1.880
1.800
1.610
1.760
1.775
1.880
1.630
1.780
1.690
1.700
1:820
1.790
1.820
1.760
1.690
1.690
1.760
1.750
1.640
1.720
1.740
1.670
1.840
1.730
1.710
1.730
1.640
1.840
1.800
1.655
1.810
1.820
1.720·
1.820
1.690
1.520
1.830
1.630
1.760
1.780
1.900
1.780
1.740
1.730
1.730
1.560
1.600
1.830
1.620
1.800
1.720
1.800
1.710
1.840
1.780
1.805
1.760
1.760
1.850
1.630
1.830
1.800
1.750
1.810
1.740
1.820
1.800
1.700
1.800
1.650
1.850
1.690
1.720
1.780
1.800
1.770
1.820
1.650
FUENTE: Utilizado con autorizaci6n de Henrik Schmidt, M. D.
a) Construya con los datos las siguientes distribuciones: frecuencia, frecuencia relativa, frecuencia acumulada y frecuencia relativa acumulada; as! como las siguientes grMicas:
histograma, poligono de frecuencia y despliegue de !;allo y hojas.
b) Describa estos datos con respecto a la simetria e inclinacion tal como se estudio en el
ejercicio 2.3.1, inciso h.
.
c) ｾｃＶｭｯ＠
se puede explicar la forma de distribucion de estos datos?
d) ｾｑｵ･＠
tan altos son el6.42 por ciento de individuos mas altos?
e) ｾｑｵ･＠
tan altos son ell0.09 por ciento de individuos de menor estatura?
36
CAPITULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
2.4 ESTADiSTICADESCRIPTIVA:
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Aunque las distribuciones de frecuencia sirven a prop6sitos muy titiles, existen
muchas situaciones en que se requieren otros tip6s de resumen de datos. Lo que se
necesita, en muchos casos, es la: posibilidad de condensar datos por medio de un
s610 ntimero llamado medida descriptiva. Las medidas descriptivas pueden calcularse
a partir de los datos de unamuestra 0 de una poblaci6n. Para distinguirlas entre sf
se tienen las siguientes definiciones:
DEFINICIONES
1. Una Inedida descriptiva calculada a partir de los datos
de una m1,lestra se llaIna estadistica.
2. Una Inedida descriptiva calculada a partir de los datos
de una poblacion se llaIna parametro.
Algunos tipos de medidas descriptivas se pueden calcular a partir de un conjunto de datos. Sin embargo, este capitulo se limita al estudio de las medidas de
tendencia central y de las medidas de dispersion. Las medidas de tendencia central se
consideran en esta secci6n, y las medidas de dispersi6n, en la siguiente.
Encada una de las medidas de tendenda central, de las que se discuten s6lo
tres, tinicamente un valor delconjunto de datos se considera como el representativo del todo. Las medidas de tendencia central conllevan informaci6n respecto al
valor promedio de un conjunto de valores. Tal como se vera, la palabra promedio se
puede definir en diversas formas.
Las tres ｭ･､ｩ｡ｾ＠
de tendencia central de uso mas frecuente son: la media, la
moda y la mediana.
La media aritmetica
La medida de tendencia central mas conocida es la media aritmetica. Esta es la medida descriptiva que la mayona de las personas tienen
en mente cuando se habla de "promedio". EI adjetivo aritmetica distingue a esta
media de otras que se puedan calcular. Puesto que no se estudian otras medias en
este libro, no debe ser causa de confusi6n si al referirse a la media aritmetica s610 se
dice media. La media se obtiene sumando todos los valores en una poblaci6n 0
muestra y dividiendo entre el ntimero de valores sumados.
FJEMPLO 2.4.1
Obtenga la edad media de la poblaci6n de los 169 individuos registrados en la
tabla 1.4.1.
Soluci6n: Se procede de la siguiente forma:
27+27+···+23+39 5797
edad media =- - - - - - - 34.302
169
169
Los tres puntos en el numerador representan valores que no se muestran para
economizar espacio.
•
2.3
ESTADisTICA DESCRIPTIVA: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
37
Formula general para la media
Es conveniente generalizar el procedimiento para obtener la media y, ademas ,representarlo en notaci6n de forma mas
compacta. Se inicia por designar a la variable aleatoria con la letra mayiiscula X. En
este ｾ･ｭｰｬＰ＠
X representa a la variable aleatoria de edad. Los valores espedficos
para una variable aleatoria se representan con la letra minuscula x. Para referirse al
primero, al segundo, al tercer valor, y asf sucesivamente, se afiade un subfndice a la
x. Por ejemplo, a partir de la tabla 1.4.1 se tiene:
Xl
= 27, x;1 = 27, ... , X l69 = 39
En general, un valor comun para la variable aleatoria se designa con Xi' y el valor
final en una poblaci6n finita de valores, con xN ' donde N es el numero de valores en
la poblacion. Por ultimo, se utiliza la letra griega Il para simbolizar la media de la
poblacion. Ahora se puede escribir la formula general para la media de una poblaci6n finita como sigue:
N
LXi
(2.4.1)
ｉｬ］ｾ＠
N
El simbolo
:2.:1 significa que todos los valores para la variable se suman desde el
primero hasta el ultiIJ1.o. A este slmbolo L se Ie conoce como signa de sumataria, y se
utiliza extensamente en este libro. Cuando por el contexto sea obvio cuales son los
valores que se suman, los simbolos de arriba y de abajo del signo L se omiten.
La media de la muesira
Cuando se calcula laIl1edia para una muestra de
valores, el procedimiento reciendescrito requiere algunas modificaciones en la notacion. Se utiliza '3c para identificar a la media dela muestra, y n para indicar el numero
de valores enla muestra. For 10 tanto, la media de la muestra se expresa como sigue:
(2.4.2)
n
EJEMPLO 2.4.2
. En el capitulo 1 se obtuvo una muestra aleatoria simple de 10 individuos a partir de
lapoblacion mostrada en la tabla 1.4.1. Ahora corresponde calcular la edad media
de los 10 individuos en la inuestra.
.
Soludon: Las edades (vease la tabla 1.4.2) de los 10 individuos de la muestra son:
XI = 42,x2 = 28,x 3 = 28,x4
61,xs 31,x6 = 23,x7 = 50,xs = 34,x g = 32,
x 10 = 37. AI sustituir los datos de la muestra en la ecuaci6n 2.4.2 se obtiene:
ｸ］ｾ＠
n
:2. Xi
n
42+28+ ... +37366
=-=36.6
10
10
•
38
CAPITULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Propiedades de ta media
La media aritmetica tiene ciertas prapiedades,
algunas deseables y otras no tanto. Algunas de estas propiedades son las siguientes:
1. Es unica. Para un conjunto de datos existe·una y s610 una media aritmetica.
2. Simplicidad. EI calculo y comprension de lamedia aritmetica son sencillos.
3. Puesto que todos y cada uno de los valores en d conjunto de datos entran en
el dtlculo de la media, esta es afectada por cada valor. Por 10 tanto, los valores
extremos influyen sobre la media y, en algunos casos, pueden distorsionarla
tanto que llega a ser indeseable como medida de tendencia central.
A contipuacion se muestra un ejemplo de como los valores extremos pueden
afectar la media. Considere la siguiente situacion: cinco medicos que trabajan en
cierta area son llamadosa declarar sus cobras por realizar cierto procedimiento.
Suponga que se reporta 10 siguiente: $75, $75,$80, $80 Y $280. EI cobra medio
para los cinco medicos es de $118, un valor que no es muy representativo del conjunto de datos. El unico valor atlpico del conjunto tuvo el efecto de inflar la media.
La mediana
La mediana de un conjunto finito de val ores es aquel valor que
divide al conjunto en dos partes iguales, de forma que el numero de valores mayores 0 iguales a la mediana es igual al numera devalores menores 0 iguales a esta. Si
el numero de valores es impar, la mediana es el valor medio 0 central siempre y
cuando todas las variables sean arregladas eri orden de magnitud. Cuando el numera de valores en e!: conjunto es pat, no existe un valor medio unico, sino que
existen dos valores medios. En tal caso, la mediana corresponde a la media de esos
dos valores centrales, cuando todos los valores son arreglados en orden de magnitud. Es decir, la mediana del conjuntode datos .es la (n+ 1) 12-esima observacion,
cuando las observaciones han sido ordenadas. Por ejemplo, si se tienen 11 observacjones, la mediana es la (11 + 1) 1 2 ｾ＠ 6-esima observadon ordenada. Si se tienen
12 observaCiones, la mediana es la (12+ 1)/2=6.5-esima observacion ordenada yes
el valor que esta entre la sexta y septima observaci6n ordenada.
EJEMPLO 2.4.3
Encuentre la mediana de los datos contenidos en la tabla 2.2.1.
Soluci6n: En la tabla, los valores ya estan ordenados, de modo que s610 se requiere
encontrar losqos valores medios.El valor medio es el (n+ 1)/2 =(169+ 1)1
2
170/2
85-esimo. Contando desde el mas pequeno hasta el 85esimo valor se observa que corresponde al 31. Por 10 tanto, la edad mediana de los 169 individuos es de 31 anos.
•
FJEMPLO 2.4.4
Obtenga ahora la edad mediana para los ind}viduos de la muestra descrita en el
ejemplo 2.4.2.
2.5
ESTADisTICA DESCRIPTIVA: MEDIDAS DE DISPERSION
39
Soluci6n: Al arreglar las 10 edades en orden de magnitud desde el valor mas pequefio hasta el mas grande seobtiene 23,28,28,31,32,34,37,42,50,
61. Puesto que se trata de un numero impar de valores, no existe solo un
valor central. Sin embargo, los dos valores del centro son 32 y 34, asf que
la mediana es (32 + 34)/2 = 33.
•
_ Propiedades de la mediana
cuentran las siguientes:
Entre las propiedades de la mediana se en-
1. Es unica. Al igual que en el caso de la media, existe solamente una mediana
ｰ｡ｲｾｵｮ＠
conjunto de datos.
2. Simplicidad. Es muy sencillo calcularla.
3. Los valores extremos no tienen efectos importantes sobre la mediana, 10 que
sf ocurre con la media.
La moda de un conjunto .devalores es aquel valor que ocurre con
mayor frecuencia. Si todos los valores son diferentes, no hay moda. Por otra parte,
un conjunto devalores puede tener mas de una moda.
La moda
FJEMPLO 2.4.5
Encuentre laedad modal de los individuos cuyas edades se presentan en la tabla 2.2.1.
Soluci6n: El conteo de las edades en la tabla 2.2.1 revela que la edad 26 ocurre
con mas frecuencia (11veces). La moda para esta poblaci6n de edades
es de 26.
•
Para ilustrar un conjunto de valores que tiene mas de una moda, considere un
laboratorio con diez empleados cuyas edades son: 20, 21,20,20,34,22,24,27,27
Y 27. Se puede decir que estos datos tienen dos modas 20 y 27. Una muestra que
consista en los valores 10, 21, 33, 53 Y 54 no tiene moda,puestoque todos los
valores son diferentes.
La moda se puedeutilizarpara describir datos cualitativos. Por ejemplo, suponga que los pacientes de una cHnica de salud mental durante un afio dado recibieron uno de los siguientes diagnosticos: retardo mental, sfndrome cerebral
organico, psicosis, neurosis y trastornos de personalidad.El diagh6stico que ocurre
con mayor frecuencia en el grupo de pacientes se denominarfa diagnostico modal.
2.5 ESTADISllCA DESCRIP11VA:
MEDIDA.." DE DISPERSION
G dispersion de un conjunto de observaciones se refiere a la variedad que muestran
estas. Una medida de dispersion conlleva informacion respecto ala cantidad total
de variabilidad presente en el conjunto de datos. Si todos los valores son iguales,
no hay dispersion, perosi no todos son iguales, entoncesexiste dispersi6n en los
datos. La magnitud de la dispersion es pequefia cuando los valores, aunque diferentes, son cercanos entre sf. La figura 2.5.1 muestra los pollgonos de frecuencia
40
CAPiTULO 2
ESTADiSTICA DESCRIPTIVA
PobIaci6n A
,...
.
" ........
ｾＬ＠
, Poblacl6n B
,,
"
)1
FIGUBA 2.5. t
Dos distribuciones de frecuencias con igual
media pero diferente magnitud de dispersi6n.
para dos poblaciones que tienen medias iguales, pero diferente magnitud de variabilidad. La poblacion B, mas variable que la poblaeion A, es mas dispersa. Si los
valores estan ampliamente esparcidos, la dispersion es mayor. Otros ti!:rminos sinonimos de dispersion son: variaciOn, expansion y dispersion.
El mngo 0 inlervalo de variacion
Una forma de medir la vanacion en un
eonjunto de valores es ealculando el rango. Este es la difereneia entre el valor mas pequeno y el mas grande en un eonjumo de observaciones. Si se representa el rango como
R, el valor mayor como xL' Yel valor menor como xs' el rango se ealcula como sigue:
(2.5.1)
EJEMPLO 2.5.1
Caleule el rango de las edades de los individuos de la muestra estudiada en el
ejemplo 2.4.2.
Soluci6n: Puesto queel individuo mas joven en la muestra tiene 23 anos y el mas
viejo tiene 61, el rango calculado es:
R = 61- 23
.38
•
La utilidad de rango es limitada. EI hecho de que toma en consider;acion solo dos
valores hace que sea una medida pobre de dispersion. Su ventaja principal es la
simplicidad de su caleulo.
.
La variancia
Cuando los valores de un conjunto de observaciones se eneuentran ubicados cerca de su media,la dispersion es menor que cuando estan esparcidos.
En consecuencia, sepuede pensar intuitivamente que es posible medir la dispersion en funcion del esparcimiento de los valores alrededor de su media. Esta medi-
2.5
ESTADISTICA DESCRIPTIVA: MEDIDAS DE DISPERSION
41
cion se efectlia mediante 10 que se conoce como variancia. Por ejemplo, para calcular la variancia de una muestra de valores, se resta la media de cada uno de los
valores individuales, las diferencias se elevan al cuadrado y despues se suman entre
sf. Esta suma de desviaciones elevadas al cuadrado de los valores con respecto a la
media se divide entre el tamafio de la muestra, menos 1, para obtener la variancia
de la muestra. Si se asigna la letra S2 para simbolizar la varian cia de la muestra, el
procedimiento descrito se expresa como sigue:
i=l
s-=..:..,.:---n-l
9
(2.5.2)
FJEMPl,O 2.5.2
.Calcule la varianda de las edades de los individuos estudiadas en el ejemplo 2.4.2.
Soluci6n:.
(42 -36.6)2 + (28 -36.6)2 +... + (37 36.6)2
1196.399997
= ---,.,--;---
9
132.933333
•
9
Grados de libertad
La razon de dividir entre n - 1, en lugar de entre n, como
hubiera de esperarse, es una consideracion teorica conocida como gradas de libertad.
En el calculo de la variancia, se puede decir que hay n - 1 gradas de libertad. El
razonamiento es como sigue: la suma de lasdesviaciones de los valores individuales
con respecto a su media es igual acero, hecho que puede demostrarse. Si se conocen los valores de n 1 de las desviaciones a partir de la media, entonces se conoce
el n-esimo valor, ya que queda determinado automaticamente debido a la restriccion de que todos los valores de n se sumen a cero. Desde un punto de vista practico, dividir las diferencias al cuadrado entre n 1 en lugar de entre n resulta necesario
por razones del usa de la variancia de la muestra en los procedimientos de inferencia que se estudian posteriormente. Elconcepto de grados de libertad se tratara de
nuevo mas adelante. Los estudiantes interesados en profundizar en este aspecto
pueden consultar el articulo de Walker (2).
Cuando se calcula la varian cia a partir de una poblacion finita de N valores, se
sigue el procedimiento recien descrito, excepto que se resta Jl de cada x y se divide
entre N en lugar de N-l. Si se asigna el sfmbolo (52 para la variancia de una poblacion finita, la formula es la siguiente:
(2.5.3)
N
DesviaclOn estdndar
La variancia representa unidades al cuadrado, por 10
que no es una medida adecuada de dispersioilsi se pretende expresar este concepto enlerminos de las unidades originales. Para obtener la medida de dispersion en
unidades originales, simplemente se obtiene la rafz cuadrada de la variancia. El
42
CAPITULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
resultado se llama desviaci6n estandar. En general, la desviacion estandar de una
muestra se obtiene mediante la siguiente formula:
(2.5.4)
s
n-l
La desviacion estandar de una poblacion finita se obtiene con la raiz cuadrada
de la cantidad resuitante de la ecuacion 2.5.3.
El coeftciente de variacion
La desviacion estandar es util como medida de
variacion en un determinado conjunto de datos. Sin embargo, cuando se quiere
comparar la dispersion de dos conjuntos de datos, la comparacion de las dos
desviaciones estandar puede dar un resultado equivocado. Esto puede ocurrir si
las dos variables involucradas tienen medidas en diferentes unidades. Por ejemplo: se pretende conocer, para una poblacion dada, si los niveles de colesterol en
el suero, medidos en miligramos por cada 100 mI, son mas variados que el peso
del cuerpo, medido en libras 0 kilogramos.
.
Ademas, aunque se utilice la misma unidad de medici on, las dos medias pueden diferir bastante. Si la desviaci6n estandar de los pesos de los ninos de primer
grado de primaria son comparadas contra la desviaci6n estandar de los pesos de
los estudiantes de preparatoria de reciente ingreso, se encontrani que esta ultima
es numericamente mayor que la anterior, debido a que los pesos mismos son mayores y no porque la dispersion sea mayor.
Lo que se necesitaensituaciones como esta es una medida de variancia relativa en lugar de una de variancia absoluta. Tal medida la constituye el coeficiente de
variaci6n, el cual expresa la desviacion estandar como un porcentaje de la media. La
formula es como sigue:
.
s
c.v. = -=x (100)
(2.5.5)
Se aprecia entonces que, como la media y las desviacionesestandar se expresan en la misma unidad de medici6n, la unidad de medici6n se cancela al calcular
el coeficiente de variaci6n. Entonces se obtiene una medida independiente de la
unidad de medici6n.
FJEMPLO 2.5.3
Los siguientes resultados corresponden ados muestras formadas por varones:
Edad
Peso medio
Desviacion estandar
El prop6sito es saber ｾｵ｡ｉ＠
anos 0 los de 11 afios.
Muestra 1
Muestra 2
25 anos
145libras
10libras
11 afios
80 libras
10 libras
tiene mayor variabilidad, los pesos de individuos de 25
2.5
43
ESTADISTICA DESCRIPTIVA: MEDIDAS DE DISPERSI6N
Solucion: Una comparacion de las desviaciones estandar puede conducir a la conclusi6n de. que las dos muestras tienen igual variabilidad. Sin embargo,
si se cakulan los coeficientes de variacion, se obtiene para los sujetos de
25. aiios de edad:
C.V.
ｾＨＱＰＩ］ＶＮＹ
145
y para los de 11 anos de edad:
10
C.V. == ­(100) = 12.5
80
Si se comparan estos resultados, la impresi6n recibida es diferente.
•
EI coeficiente de variaci6n tambien es utH para comparar los resultados obtenidos por diferentes personas que efectuan investigaciones que involucran la misrna variable. Debido a que el coeficiente de variaci6nes independiente de la escala
de medici6n, constituye una estadistica util para comparar la variabilidad de dos 0
variables medidas en escalas diferentes. Por ejemplo, podrfa utilizarse el coefi. ｭｾｳ＠
cienle de variaci6n para comparar la variabilidad de los pesos de una muestra de
individuos cuyos p!,=sos se expresan en libras y la variabilidad de los pesos de otra
muestra, expresados en kilogramos.
Analisispor computadnra
Los paquetes de software para computadora proporcionan una variedad de posibilidades para el Gilculo de las medidas descriptivas. En la figura 2.5.2 se muestra una impresi6n de las medidas descriptivas
disponibles en el paquete MINITAB. Los datos son las edades correspondientes al
ejemplo 2.4.2. Con los datos de la columna 1, el procedimiento MINITAB se muestra en la figura 2.5.3.
En las salidas impresas Ql y Q3 son el primer y tercer cuartil, respectivamenteo Estas medidas se describen mas adelante en este capitulo.
TRMEAN significa media arreglada. La media arreglada se utiliza algunas veces en lugar de la media aritmetica, como medida de rendencia central. Se calcula
despues de que algunos val ores extremos son excluidos. Por 10 tanto, la media arreglada no tiene la desventaja de ser influenciada indebidamente por los valores extremos como en el caso de la media aritmetica. EI termino SEMEAN significa enw
estdndar de La media. Esta medida, al igual que la media arreglada, se estudiara con
detalle en un capitulo pr6ximo. La figura 2.5.4 muestra, para los mismos datos, la
salida impresa de SAS® que se obtiene al utilizar la instrucci6n PROC MEANS.
N
10
MEAN
36.60
MIN
23.00
61.00
MEDIAN
33.00
TRMEAN
35.25
28.00
Q3
44.00
MAX
STDEV
11. 53
SEMEAN
3.65
FIGURA 2.5.2
La impresi6n de medidas descriptivas calculadas a partir de la muestra de
edades del ejemplo 2.4.2 con el paquete de software estadistico MINITAB.
44
CAPITULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Caja de dialogo:
Stat
Comandos de lei sesi6n:
>- Basic Statistics >- Descriptive Statistics MTB > Describe C1
Teclear Cl en Variables. Elegir Tabular form bajo
Display options. Clic OK.
FIGURA 2.5.3
EI procedimiento del paquete MINITAB para calcular las medidas descriptivas a partir de los datos del ejemplo 2.4.2.
Perce",iles y cuartiles La media y la mediana son casos especiales de la
familia de panimetros conocidos como parametros de localizaci6n. Estas medidas descriptivasse Haman parametros delocalizacion porque pueden utilizarse para designar ciertas posiciones sobre eleje horizontal cuando se elabora una grMica de la
distribucion de una variable. En ese senti do, los parametros de localizacion "ubican" la distribucion sobre el eje horizontaL Por ejemplo, una distribucion con una
mediana de 100 se localiza a la derecha de una distribution con una mediana de
50, en la grafica de las dos distributiones. Otros parametros de localization son los
percentiles y cuartiles. Se puede definir un percentil como sigue:
DEFINICION
Dado un conjunto de n observaciones Xl' X 2 , ••• , X n , el
p-esu,:..o percentil P es el valor de X, tal que p por ciento 0
menos de lasobservaciones son menores que P y (100 - p)
por ciento 0 menos de las observaciones son mayores que P.
Los subindices en P sirven para distinguir un percentil de otro. El decimo
percentiI, por ejemplo, se designa como P IO , el septuagesimo se expresa como P 70 ,
y aSl sucesivamente. El percentil quincuagesimo es la mediana, y se designa como
P so' EI vigesimo quinto percentil suele representar el primer cuartil, y se expresa
como Qj' AI qUincuagesimo percentil (la mediana) se Ie conoce como segundo cuartil
o cuartil medio, denotado por Q2' y al septuagesimo quinto percentil se Ie llama tercer
cuartil, Qs.
VARIABLE
N
EDADES
10
MAXIMUM
MINIMUM
STANDARD
VALUE
VALUE
DEVIATION
36.6QOOOOOO 11.52967187. 23.00000000 61.00000000
MEAN
STD ERROR
VARIANCE
SUM
OF MEAN
3.64600238 366.00.000000 132.93333333
C.V.
31. 502
FIGURA 2.5.4
Salida impresa de las medidasdescriptivas c.alculadas a partir de la muestra de edades del ejemplo 2.4.2, con el paquete SAS®.
2.5
45
ESTADtSTICA DESCRIPTIVA: MEDIDAS DE DISPERSION
Cuandose pretende encontrar los cuartiles para el conjunto de datos, se utilizan las siguientes formulas:
n+l
,.
b
.,
d
d
­
­ ­eSlma
0 servaClon or ena a
4
Q2 =
2(n+l)
4
n+l.
.
=­ ­ ­eSlma observaClon ordenada
2
ｾＭＧ
­esima observaci6n ordenada
4
Alnplitud del intercuarlil Tal como se ha visto, el rango proporciona una medida no piocesada (cruda) de la variabilidad presente en un conjunto de datos. La desvenl:£!ja de la amplitud es el hecho de que esta se calcula a partir de dos valores, el mas
grande y el mas pequeno. Una medida similar que refleja la variabilidad entre el50 por
ciento central de las observaciones en el conjunto de datos es la amplitud del intercuartil.
DEFINICI6N
La alIlpliQ.td del intercuartil (IQR) es la diferencia entre
el tercero y el cuarto cuartil, es decir:
(2.5.6)
Un IQR grande indica Uila magnitud mayor de variabilidad entre el 50 por ciento
central de las observaciones relevantes, y un IQR pequeno indica una magnitud pequenade variabilidad entre las observaciones relevantes. Puesto que estas expresiones son
bastante vagas, es mas informativa la comparaci6n de la amplitud del intercuartil con
la magnitud del conjunto de datos completo. Se puede hacer la comparacion formando la razon del IQR con respecto a la amplitud (R) y multiplicando por 100. Es
decjrr 100(IQR/R) indica que el porcentaje de IQR es de toda la amplitud.
Groftea de caja con valQres exirelUos (box and whisker) Un dispositivo visual muy util para comunicar la informacion contenida en un conjunto de
datos es la grafica de caja con valores extremos (algunas veces Hamada s610 boxplot).
Para la construcci6n de esta grafica se usan los cuartiles de un conjunto de datos, y
se siguen los cinco pasos que se mencionan a continuacion:
I: Representar a la variable de interes sobre el eje de las x.
2. Dibujar sobre el eje horizontal un cuadro, de tal forma que el extremo izquierdo este alineado can el primer cuartil QJ' y el extremo derecho del cuadro quede alineado can el tercer cuartil Qs'
3. Dividir el cuadro en dos partes con una linea vertical que se alinee con la
medianaQ2'
4. Dibujar una linea horizontal desde el extremo izquierdo del cuadro hasta el punto
en donde quede alineada can la medici6n mas pequena en elconjunto de datos.
5. Dibujar otra linea horizontal desde el extremo derecho del cuadro hasta el
punto donde se alinea con la medicion mas grande en el conjunto de datos.
46
CAPITULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
ｔａｂｉＲｾＵＮｴ＠
Diameu-os (cm) de sarcomas puros extirpados del pecho
de 20 mujeres
,.,
.:J
5.0
1.2
5.0
2.1
5.0
2.5
2.5
6.0
6.5
3.0
7.0
4.0
9.5
3.8
8.0
4.2
13.0
4.5
5.0
FUENTE: William C. Pitts, Virginia A Rojas, Michael]. Gaffey, Robert V. Rouse, Jose Esteban,
Henry F. Frierson, Richard L. Kempson y Lawrence M. Weiss, "Carcinomas with Metaplasia
and Sarcomas of the Breast", AmericanJournal of Clinical Pathology, 95, 623-632.
El examen de la grafica para un conjunto de datos revela informacion respecto a la magnitud de la dispersion, localizacion de la concentracion y simetria de los
datos.
El siguiente ejemplo ilustra la construccion de la grMica de caja con valores
extremos.
FJEMPLO 2.5.4
En una revista medica de publicacion periodica, Pitts et al. (A-7) asegura que "los
carcinomas con metaplasia y sarcomas producidos dentro del seno son dificiles de
diagnosticar y dasificar con precision debido a susvariados patrones histologicos y
a su rareza". En un intento por estudiar mas detalles de las caracterfsticas biologicas, los autores investigaron una serie de sarcomas puros y carcinomas que exhibfan
metaplasia. La tabla 2.5.1 contiene ordenados en centfmetros los diametros de los
neoplasmas extirpados del pecho de 20 individuos con sarcomas puros.
Soluci6n: Lamedicion mas pequena y 1a mas grande son.5 y 13.0, respectivamente. El primer cuartil es QI = (20 + 1) / 4 5.25-esima medicion, la cual
es 2.5 + (.25)(3.0 2.5) = 2.625. La mediana es Q2 = (20 + 1) / 2 =
1O.5-esima medicion igua1 a 4.5 + (.5)(5.0 -4.5) 4.75. E1 tercer cuarti1
es Q3 = 3(20 + 1) / 4 = 15.75-esima medicion iguala 6.0 + (.75)(6.56.0) = 6.375. La amp1itud del intercuartil es IQR = 6.375 - 2.625 =
3.75. La amplitud es 12.5, y el IQR es 100(3.75/12.5) == 30 porciento de
la amplitud. La caja de valores extremos resultante se muestra en la figura 2.5.5.
..
AI examinar la figura 2.5.5 se observa- que 50 por ciento de las mediciones estan
entre 2.6 y 6.4, los valores aproximados del primero y tercer cuartil, respectivamente.
La barra vertical dentro de la caja muestra que la mediana esta cerca de 4.75.
o
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Diametro (em)
FIGUR-\. 2.5.5
Caja de valores extremos del ejemplo 2.5.4.
11
12
13
14
2.5
ESTADiSTICA DESCRIPTIVA: MEDIDAS DE DISPERSION
47
14
12
0
E
*
10
:;;l
a;
."
B
0
.",
ｾ＠
'"
E
6
4
2
I
0
FIGURA 2.5.6
Caja. de val ores extremos elaborada
con el paquete MINITAB a partir de la tabla 2.5.1.
La linea mayor a la derecha indica que la distribuci6n de diametros esta inclinada
hacia la derecha.
Muchos paquetes de software estadistico tienen.la capacidad para construir
gr:Hicas de caja con valores extremos. La figura 2.5.6 muestra una, construida con
MINITAB a partir de los datos de la tabla 2.5.1. Se colotan los datos en la columna
1, se renombra la variable con "Tumsize" (tamanodel tumor), y se procede como
se muestra en lafigura 2.5.7. EI asterisco en la figura 2.5.6 sirve para alertar que
hay un valor inusualmente mayor que los demas, Hamada outlier (valor muy alejado),
el cualcorresponde al melanoma de 13 em de diametro. La linea superior en la
figura 2.5.6 se detiene en 9.5, y el valor mas grande no se considera que sea un
valor muyalejado. La figura 2.5.6 ejemplifica que la caja de valores extremos puede desplegarse tanto vertical como horizontalmente.
En el paquete SAS® se utiliza la instrucci6n PROC UNIVARIATE para obtener
la grafica de valores extremos. Esta instrucci6n tambien produce otras medidas descriptivas y desplegados, que incluyen graficas de tallo y hojas, medias, variancias y
cuartiles.
.
Andlisis exploratorio de datos
La grafica de caja con va10res extremos, aSI
como la de tallo y hojas, son ejemplos de 10 que se conc:lCe como tecnicas de analisis
de exploraci6n de datos. Estas tecnicas, populares debido al resultado del trabajo de
Tukey (3), permiten que el investigador examine datos de manera que estos revelen
tendencias y relaciones, identifiquen caracteristicas fmicas del conjunto de datos y
faciliten su descripci6n y resumen.
Caja de dialogo:
Comandos de la sesi6n:
Stat> EDA > Boxplot
Teclear Tumsize en Y.
En Data Display 1, seleccionar IQRange Box.
En Data Display 2, seleccionar Outlier Symbol.
Clic OK.
MTB > Boxplot
FIGURA 2.5.7
'Tumsize';
sose > BOXi
sose > Symbol;
sose > outlier.
El procedimiento del paquete MINITAB paraproducir la figura 2.5.6.
48
CAPITULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
EJERCICIOS
Calcule para cada uno de los conjuntos de datos de los siguientes ejercicios, a) la media, b) la
mediana, c) la moda, d) la amplitud, e) la varianza, f) la desviaci6n estandar, g) el coeficiente
de variacion y h) la amplitud del intercuartil. Cada conjunto de datos debe considerarse
como una muestra. Para los ejercicios que se considere adecuado, prepare una gnifica de caja
con valores extremos y estudie la utilidad que proporciona este dispositivo para' comprender
la naturaleza de los datos. Seleccione para cada ejercicio la medida de tendencia central que
pueda ser la mas apropiada para describir los datos. Establezca los razonamientos que justifican cada elecci6n.
2.5.1
Treinta pacientes con limitaciones cr6nicas severas de respiraci6n son sujetos de estudio por
parte de Fernandez et al. (A­8), parainvestigar la eficacia del tramiento para mejorar el intercambio de gases. Los siguientes valores representan la superficie corporal de los pacientes:
.2.10
1.74
1.68
1.83
1.57
1.71
l.65
1.74
1.57
2.76
1.90
1.77
1.73
FUENTE: Enrique Fernandez, Paltiel Weiner, Ephraim Meltzer, Mary M. Lutz, David
B. Badish y Reuben M. Cherniack, "Sustained Improvement in Gas Exchange After
Negative Pressure Ventilation for 8 Hours per Day on 2 Successive Days in Chronic
Airflow Limitation", American Review ofRespiratory Disease, 144, 390­394,
2.5.2
Los estudios de Dosman etal. (Ac9) permiten concluir que la aspiraci6n de aire frIO incrementa
la reactividad bronquial al inhalar histamina en pacientes asmaticos. Se estudiaron siete
pacientes asmaricos con edades entre 19 y 33 alios. Los valores de linea de base (en litros por
minuto) del volumen espiratorio forzadp de los individuos de la muestra son los siguientes:
3.94
1.47
2.06
2.36
3.74
3.43
3.78
FUENTE:J.A. Dosman, W. C. Hodgson y D. W. Cockcroft, "Effect ofCold Air on the
Bronchial Response to Inhaled Histamine in Patients with Asthma" ,American Review
ofRespiratory Disease, 144, 45­50.
.
2.5.3
A 17 ｰ｡ｾｩ･ｮｴｳ＠
internados en los Aberdeen Teaching Hospitals, en Escocia, entre los afios de
1980 Y mediados de 1988 se les diagnostic6 absceso hepatico pi6geno. Nueve pacientes
,murieron. En un articulo de la revistaAge and Ageing, Sridharan et al. (A­10) afirmaron que
"la elevada mortalidad por absceso hepatico piogeno se debe; al menos en parte, ala falta de
sospecha clinica". Las'edades de los individuos estudiados son las siguientes:
63
69
72
64
62
87
69
76
. 71
84
81
.78
61
76
84
67
86
FUENTE: G.V Sridharan, S. P. Wilkinson y W. R. Primrose, "Pyogenic Liver Abscess in the
Elderly", Age and Ageing, 19, 199­203. Cortesfa de Oxford University Press.
2.5.4
Arinami et al. (A­II) analizaron las respuestas auditivas del tallo cerebral en una muestra de
12 varones con retardo mental afectados por el sll1drome de fragilidad del cromosoma X.
Los valores de IQ para cada individuo son los ｳｩｧｴｾ･ｮＺ＠
17
22
17
18
17
19
34
26
14
33
21
29
FUENTE: Tadao Arinami, Miki Sato, Susumu Nakajima e Ikuko Kondo, "Auditory
Brain­stem Responses in the Fragile X Syndrome" ,AmericanJournal ofHuman Genetics,
43; 46­51. Copyright" de la American Society of Human Genetics. Todos los derechos reservados. ­Publicaci6n de la Universidad de Chicago.
2.6
2.5.5
49
RESUMEN
En un articulo de la revista American Journal ofObstetrics and Gynecology, el doctor Giancarlo
Mari (A-12) describio su estudio de la forma de ondas de la velocidad de flujo arterial sanguineo en la region pelvica y en las extremidades inferiores de fetos con crecimiento retardado. En este articulo afirmo que los datos preliminares sugieren que "el indice de pulsaciones
de la arteria femoral no se puede utilizar como indicador de consecuencias fetales adversas,
en tanto que el flujo ausente 0 retrogrado de la arteria umbilical parece que esta mas
correlacionado con las consecuencias fetales adversas". Los siguientes valores representan
las edades gestacionales (en semanas) de 20 fetos con crecimiento retardado estudiados:
24
32
26
33
27
33
28
34
28
34
28
35
29
35
30
35
30
36
31
32
FUENTE: Giancarlo Mari, "Arterial Blood Flow Velocity Waveforms of the Pelvis and
Lower Extremities in Normal and GrowthCRetarded Fetuses", American Journal of
Obstetrics and Gynecology, 165, 143­15l.
2.5.6
El objetivo del estudio de Kuhnz et al. (A­13) es analizar ciertos parametros farmacocineticos
basicos en mujeres tratadas con anticonceptivos trifasicos de ingestion oral. Los pesos (en
kilogramos) de las 10 mujeres que participaron en el estudio son:
62
53
57
55
69
64
60
59
60
60
FUENTE: Wilhelm Kuhnz, Durda Sostarek, Christiane Gansau, Tom Louton y
Mariane Mahler, "Single and Multiple Administration of a New Triphasic Oral
Contraceptive to Women: Pharmacokinetics of Ethinyl Estradiol and Free and
Total Testosterone Levels in Serum", American Journal ofObstetrics and Gynecology,
165, 596­602.
2.5.7
Ver el ejercicio 2.3.1.
2.5.8
Ver el ejercicio 2.3.2.
2.5.9
Ver el ejercicio 2.3.3.
2.5.10
Ver el ejercicio 2.3.4.
2.5.11
Ver el ejercicio 2.3.5.
2.5.12
Ver el ejercicio 2.3.6.
2.5.13
Ver el ejercicio 2.3.7.
2.5.14
Stein y Uhde (A­14) examinaron el estado dinamico del eje tiroideo­hipotalamico­pituitario
en trastornos de panico mediante el estudio de las respuestas neuroendocrinas al protirelin en
una muestra de pacientes con trastornos de panico y una muestra de controles normales.
Entre los datos recolectados en estos individuos se encontraron puntuaciones de comportamiento como las medidas por la escala de ansiedad de Zung (ZAS, siglas en ingles de Zung
Anxiety Scale). Los siguientes valores representan las puntuaciones de ZAS de los 26 individuos con diagnostico de trastornos de panico.
53
45
59
60
45
43
36
41
69
38
51
40
51
35
38
31
40
38
41
36
46
35
45
53
41
46
FUENTE: Utilizado con autorizaci6n de Thomas W Uhde, M. D.
Construya una grafica de valores extremos con estos datos.
2.6
RESUNIEN
En este capitulo se examinan varios procedimientos estadfsticos descriptivos que
incluyen organizaci6n de datos por medio de arreglo ordenado, distribuci6n de
frecuencias, distribuci6n de frecuencias relativas, histogramas y poHgonos de fre-
50
CAPITULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
cuencia. Se describen los conceptos de tendencia central y variaci6n, y junto con
ellos las medidas mas generales: media, mediana, moda, amplitud, variancia y desviaci6n estandar. Se presenta el analisis exploratorio de datos mediante graficas de
valores extremos y despliegue de tallo y hojas.
Se destaca la importancia que tiene el empleo de la computadora como herramienta para calcular las medidas descriptivas y elaborar varias distribuciones a
partir de grandes conjuntos de datos.
PREGUNTAS YFJERCICIOS DE REPASO
1.
Defina los siguientes conceptos:
a) Despliegue de tallo y hojas
c) Percentil
e) Panlmetro de localizaci6n
g) Arreglo ordenado
i) Distribuci6n de frecuencias relativas
k) Pan'imetro
m) Umites correctos de intervalos de clase
b) Grafica de valores extremos
d)Cuartil
1) Analisis exploratorio de datos
h) Distribuci6n de frecuencias
j) Estadistica
1) Poligono de frecuencia
n) Histograma
2.
Defina y compare las caracteristicas de la media, la mediana y la moda.
3.
ｾｃｵ｡ｬ･ｳ＠
4.
Explique por que se utiliza n
5.
ｾｃｵ｡ｬ＠
es el prop6sito del coeficiente de variaci6n?
6.
ｾｃｵ｡ｬ＠
es el prop6sito de la regia de Sturges?
son las ventajas y limitaciones de la amplitud como medida de dispersi6n?
1 para calcular la variancia.
7.
ｾｑｵ･＠
8.
Describa, desde su propio campo de estudio, una poblaci6n de datos donde podria ser (Itil
conocer la tendencia central y la dispersion. Obtenga los valores reales 0 realistas a partir de
esa poblaci6n y calcule la media, mediana, moda, variancia y desviaci6n estandar.
9.
Recolecte un conjunto de datos reales 0 realistas, en su campo de estudio para construir una
distribuci6n de frecuencias, una distribucion de frecuencias relativas, un histograma y un
polfgono de frecuencia.
10.
Calcu1e la media, mediana, moda, variancia y desviacion estandar para los datos del ejercicio 9.
11.
Localice un articulo de una revista de su campo de estudio en el que se hayan calculado
medidas de tendencia central y dispersion.
12.
En el ejercicio 2.5.14 se utilizan las puntuaciones de la escala de ansiedad de Zung (ZAS) de
26 individuos con trastornos de panico que participaron en un estudiodirigido por Stein y
Uhde (A­14). En ese estudio tambien se incluyo a individuos sanos como controles (es decir,
individuos que no padecen trastornos de panico). Los siguientes valores corresponden a las
puntuaciones de ZAS de 21 de estos individuos sanos.
otro nombre recibe el quincuagesimo percentil (cuartil central 0 segundo)?
26 28 34 26 25 26 26 30 34 28 25 26 31 25 25 25 25 28 25 25 25
FUENTE: Utilizado con autorizaci6n de Thomas W Uhde, M. D.
PREGUNTAS Y EJERCICIOS DE REPASO
51
a) Combine estos valores con las puntuaciones del ejercicio 2.5.14 y elabore una grafica de
tallo y hojas.
b) Con base en la grafica de despliegue de tallo y hojas, describa en una palabra la naturaleza
de los datos.
c) tPor que luce asi la grafica del inciso b?
d) Para la combinaci6n de datos de ZAS calcule: la media, moda, mediana, variancia y
desviaci6n estandar.
13.
Consulte el ejercicio 12 y calcule, s610 para los 21 controles sanos, la media, moda, mediana,
variancia y desviaci6n estandar.
14.
Consulte el ejercicio 12 y calcule para los 26 individuos con trastornos de panico: la media,
moda, mediana, variancia y desviaci6n estandar.
15.
ｾｃｵ｡ｬ＠
de los conjuntos de puntuaciones de ZAS tiene mas variabilidad: el integrado por
individuos sanos y enfermos, el conjunto de control de individuos sanos 0 el conjunto de
pacientes con trastornos de panico? ｾｃＶｭｯ＠
se justifica la respuesta?
16.
Analice el ejercicio 12. ｾｑｵ･＠
medida de tendencia central considera mas adecuada para
describir los valores de ZAS, la media 0 la mediana? ｾｐｯｲ＠
que?
17.
Swif et al. (A-15) realizaron un estudio sobre la presencia de importantes enfermedades psiquiatricas en portadores heterocig6ticos del gen causante del sfndrome de Wolfram. De acuerdo con los investigadores, el sindrome de Wolfram es un sindrome neurodegenerativo
autos6mico recesivo, en el que 25 por ciento de los individuos que son homocig6ticos para la
enfermedad tienen severos sintomas psiquiatricos que los conducen a intentos de suicidio u·
hospitalizaci6n psiquiatrica. Entre los individuos estudiados se encontr6 a 543 parientes
consangufneos de los pacientes con sfndrome de Wolfram. A continuaci6n se muestra una
distribuci6n de frecuencia de las edades de estos parientes consanguineos:
Edad
Cantidad
20­29
55
30­39
40­49
113
93
50­59
90
60­69
85
70­79
73
80­89
90­99
29
5
FUENTE: Ronnie Gorman Swift,
Diane O. Perkins, Charles L.
Chase, Debra B. Sadler y Michael
Swift, "Psychiatric Disorders in 36
Families with Wolfram Syndrome",
Total
543
American Joumal ofPsychiatry, 148,
775­779.
Con base en estos datos, elabore una distribuci6n de frecuencias relativas, una distribud6n
de frecuencias acumuladas y una distribuci6n de frecuencias relativas acumuladas.
18.
La motivaci6n de un estudio realizado por Roberts et 01. (A­l 6) fue su preocupad6n sobre si las
recomendaciones vigentes de los requerimientos dieteticos de energfa probablemente subestiman el total de energfa necesaria en varones adultos j6venes. Los sujetos del estudio fueron 14
varones adultos j6venes sanos de peso corporal normal, quienes desarrollaban de tiempo completo ocupaciones sedentarias como estudiantes 0 ayudantes de laboratorio. Los siguientes
valores son el indice de masa corporal (kglm2) para los 14 individuos en la muestra:
­ ­ _..... _ ­ ­ ­ -
52
CAPITULO 2
24.4
23.0
30.4
20.6
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
21.4
26.0
25.1
21.3
23.8
20.8
22.9
20.9
23.2
21.1
FUENTE: Susan B. Roberts, Melvin B. Heyman, William J. Evans, Paul Fuss, Rita Tsay y Vernon
R. Young, "Dietary Energy Requirements of Young Adult Men, Determined by Using the
Doubly Labeled Witer Method", AmericanJournal ofClinical Nutrition, 54,499-505.
a) Calcu1e media, moda, mediana, variancia, desviaci6n estandar y coeficiente de variaci6n.
b) E1abore una grafica de tallo y hojas.
c) E1abore una graflCa de va10res extremos.
d) ｾｑｵ･＠
porcentaje de mediciones esta dentro de una desviaci6n estandar de 1a media,
dentro de dos desviaciones estandar, y dentro de tres desviaciones estandar?
19.
Consulte el ejercicio 18. Los siguientes son los pesos (kg) y estaturas (cm) de los 14 individuos de 1a muestra estudiada por Roberts et al. (A­16):
Pesos:
83.9
59.7
Estaturas: 185
161
99.0
64.6
180
177
63.8
78.8
173
174
71.3
65.3
79.6
70.3
69.2
56.4
66.2
88.7
168
175
183
184
174
164
169
205
FUENTE: Susan B. Roberts, Melvin B. Heyman, William]. Evans, Paul Fuss, Rita Tsay y Vernon
R. Young, "Dietary Energy Requirements of Young Adult Men, Determined by Using the
Doubly Labeled Water Method", AmericanJournal of Clinical Nutrition, 54,499­505.
a) Para cada variable, ca1cu1e media, mediana, variancia, desviaci6n estandar y coeficiente de
variaci6n.
b) Para cada variable, elabore un despliegue de tallo y hojas, y una grafica de va10res
extremos.
c) ｾｑｵ･＠
conjunto de mediciones tiene mayor variabilidad, peso 0 estatura? ｾｑｵ･＠
su respuesta?
20.
bases tiene
La siguiente tabla muestra la distribuci6n de edades de los casos de cierta enfermedad reportada durante un ano en un estado en particular:
Edad
Numero de casos
5­14
15­24
25­34
35­44
45­54
55­64
5
10
120
22
13
5
Total
175
Para estos datos elabore una distribuci6n de frecuencias acumuladas, una distribuci6n de
frecuencias relativas, una distribuci6n de frecuencias relativas acumuladas y un histograma.
21.
Nombre los tres sin6nimos de variaci6n (variabilidad).
22.
Como parte de un proyecto de investigaci6n, los investigadores obtuvieron los siguientes
datos sobre los niveles sericos de per6xido lipido (SLP, por las siglas en ingles de serum lipid
PREGUNTAS Y EJERCICIOS DE REPASO
53
peroxide), a partir de los informes de laboratorio de una muestra de 10 individuos adultos
que recibian tratamiento para la diabetes mellitus: 5.85, 6.17, 6.09, 7.70, 3.17, 3.83, 5.17,
4.31,3.09,5.24. Calcule la media, mediana, variancia y desviaci6n estandar.
23.
Los siguientes val ores corresponden a los niveles de SLP que se obtuvieron de una muestra
de 10 adultos aparentemente sanos: 4.07, 2.71, 3.64, 3.37, 3.84, 3.83, 3.82,4.21,4.04,4.50.
Calcule para estos datos la media, mediana, variancia y desviaci6n estandar. Compare los
resultados con los del ejercicio 22. <Que es 10 que sugieren estos resultados con respecto a
los niveles de SLP entre los pacientes con y sin diabetes mellitus? <Estos resultados proveen
suficientes bases para tomar acci6n medica? Explique su respuesta.
24.
A continuaci6n se muestran las edades de 48 pacientes internados de urgencia en un hospital. Elabore una grMica de tallo y hojas. <C6mo describiria la forma de estos datos?
32
43
25
17
25.
63
46
23
27
33
61
23
21
57
53
22
24
35
12
21
22
54
13
17
23
38
16
13
61
53
16
30
55
42
31
14
34
51
30
29
42
42
28
16
13
48
28
28
26
Se compararon dos metodos para colectar sangre para estudios de coagulaci6n. Los siguien-
tes valores son el tiempo parcial de tromboplastina activada (APTT, siglas en Ingles), de 30
pacientes en cada uno de los dos grupos. Elabore una grafica de valores extremos a partir de
cada conjunto de mediciones. Compare las dos grMicas. andican alguna diferencia en la
distribuci6n de los valores de APTr para ambos metodos? <'.Que metodo tiene mayor mediana? Compare el IQR del metodo 1 con el IQR del metodo 2. <Para cwil metodo es el IQR
un mayor porcentaje de R?
20.7
31.2
24.9
22.9
52.4
23.9
53.7
23.1
38.9
41.3
26.
29.6
38.3
29.0
20.3
20.9
Metodo 1
34.4 56.6
28.5 22.8
30.1 33.9
28.4 35.5
46.1 35.0
22.5
44.8
39.7
22.8
46.1
29.7
41.6
45.3
54.7
22.1
23.2
31.6
34.6
24.2
23.7
Metodo 2
56.2 30.2 27.2
24.6 49.8 22.6
41.3 34.1 26.7
21.1 40.7 39.8
35.7 29.2 27.4
21.8
48.9
20.1
21.4
23.2
Exprese con palabras las siguientes propiedades de la media de 1a muestra:
L(x :xy = un minimo
b) nX= LX
c) L(x-x) 0
a)
27.
Un maestro de estadfstica indica a sus alumnos en el primer dia de clases que se aplicarian
cinco examenes durante el curso. Con las puntuaciones de cada examen para cada estudiante, eI profesor calcula una medida de tendencia central que servici como calificaci6n final
54
CAPITULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
del curso del estudiante. Antes de tomar el primer examen se debe elegir si se qui ere que la
calificaci6n sea la media 0 la mediana de las cinco calificaciones de los examenes. ｾｃｵ｡ｬ＠
escogeria ellector si fuera uno de los alumnos? (Por que?
28.
Considere los siguientes intervalos de clases para elaborar una distribuci6n de frecuencias de los
niveles sericos de colesterol de los individuos que participaron en una campana de detecci6n:
a) 50-74
75-99
100-149
150-174
175-199
200-249
250-274
etc.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
b) 50-74
c) 50-75
75-99
75-100
100-124
100-125
125-149
125-150
150-174
150-175
175-199
175-200
200-224
200-225
225-249
225-250
etc.
etc.
(Que intervalo de clase sera el mas conveniente para el objetivo? (Por que? Establezca espedficamente por que los otros dos son menos convenientes.
En un examen de estadistica se pidi6 a los estudiantes que elaboraran una distribuci6n de
frecuencias de los niveles de creatina en la sangre (unidades/litro) para una muestra de 300
individuos sanos. La media es de 95 y la desviaci6n estandar es de 40. Los estudiantes utilizaron las siguientes amplitudes de los intervalos de clase:
a) 1
b) 5
c) 10
d) 15
e) 20
1) 25
Comente la conveniencia de utilizar estas amplitudes.
De un ejemplo, relacionado con ciencias de la salud, de una poblaci6n de mediciones para 10
cualla media sea una medida de tendencia central mejor que la mediana.
De un ejemplo, relacionado con ciencias de la salud, de una poblaci6n de mediciones para
10 cualla mediana sea una medida de tendencia central mejor que la media.
Indique para las siguientes variables cual puede ser mejor medida de tendencia central: la
media, mediana 0 moda, y explique su respuesta.
a) Ingreso anual de las enfermeras tituladas en el Sureste.
b) Diagn6stico de pacientes atendidos en el departamento de urgencias del hospital principal de la ciudad.
c) Pesos de losjugadores de basquetbol de la escuela preparatoria.
Consulte el ejercicio 2.3.11 y calcule: media, mediana, variancia, desviaci6n estandar, primer cuartil, tercer cuartil y amplitud del intercuartil. Elabore una grafica de valores extremos. (La media, moda y mediana son iguales? Si no, explique por que. Analice los datos en
terminos de variabilidad. Compare el IQR con la amplitud. (Que sugieren las comparaciones respecto a la variabilidad de las observaciones?
Consulte el ejercicio 2.3.12 y calcule: media, mediana, variancia, desviaci6n estandar, primer cuartil, tercer cuartil y amplitud del intercuartil. Elabore una grafica de valores extremos. (La media, moda y mediana son iguales? Si no, explique por que. Analice los datos en
terminos de variabilidad. Compare el IQR con la amplitud. (Que sugieren las comparaciones respecto a la variabilidad de las observaciones?
Thilothammal et al. (A­17) realizaron un estudio para determinar la eficacia de la vacuna
BCG (bacillus­Calmette­Guerin) para prevenir la meningitis tuberculosa. Entre los datos
BIBLIOGRAFIA
55
recolectados en cada individuo esta la medicion del estado nutricional (peso real expresado
como porcentaje del peso esperado para cada estatura real). La siguiente tabla muestra los
valores de los estados nutricionales para los 107 casos de estudio.
73.3
80.5
50.4
50.9
64.8
74.0
72.8
72.0
59.7
90.9
76.9
71.4
45.6
77.5
60.6
67.5
54.6
71.0
66.0
71.0
74.0
72.7
73.6
97.5
89.6
70.5
78.1
84.6
92.5
76.9
59.0
76.9
82.4
56.8
83.0
76.5
72.6
65.9
70.0
130.0
76.9
88.2
63.4
123.7
65.6
80.2
84.7
82.6
76.5
80.6
72.3
99.6
80.7
73.3
77.4
68.1
74.6
70.5
58.8
93.7
61.3
76.9
78.2
85.4
72.2
100.0
55.7
79.3
109.0
84.4
76.4
86.4
67.7
74.0
92.3
76.9
64.5
88.7
72.4
65.7
73.6
79.6
64.1
76.9
68.6
73.2
66.3
70.0
91.9
55.5
100.0
79.6
72.7
78.1
68.3
65.9
74.0
67.3
66.3
96.0
73.8
70.0
50.5
73.0
55.0
80.0
84.0
FUENTE: Utilizada con autorizaci6n del
doctor N. Thilothammal.
a) Para estos datos, ca1cule las siguientes medidas descriptivas: media, mediana, moda,
varian cia, desviacion estandar, amplitud, primer cuartH, tercer cuartil e IQR.
b) Elabore las siguientes graficas: histograma, poHgono de frecuencia, tallo y hojas, y valores
extremos.
c) Analice los datos en terminos de variabilidad. Compare el IQR con la amplitud. ｾｑｵ･＠
sugiere la comparaci6n respecto ala variabilidad de las observaciones?
d) ｾｑｵ･＠
proporci6n de mediciones esta dentro de una desviaci6n estandar de la media, en
dos desviaciones estandar de la media y en tres desviaciones estandar de la media?
e) ｾｑｵ･＠
proporcion de medici ones es menor que 100?
f) ｾｑｵ･＠
proporcion de mediciones es menor que 50?
BmUOGRAI<iA
I.
2.
3.
A-I.
A-2.
Bibliografia de metodologia
H. A. Sturges, "The Choice of a Class Interval" ,Journal ofthe American Statistical Association,
21,65-66.
Helen M. Walker, "Degrees of Freedom", TheJournal ofEducational Psychology, 31,253-269.
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56
CAPITULO 2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
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