Probabilidad: Experimentos Aleatorios y Sucesos - Ingeniería Industrial

I. Probabilidade
Matemáticas: Álxebra e Estatı́stica - 1º Grao en Enxeñerı́a Industrial
Nora M. Villanueva
Departamento de Estatı́stica e I.O.
Universidade de Vigo, 2025-26
1. Experimentos aleatorios. Sucesos. Operacións con sucesos
2. Definición de Probabilidade. Propiedades da probabilidade. Asignación de
probabilidades
3. Probabilidade condicionada. Teorema das probabilidades totais. Teorema de Bayes
4. Repaso de combinatoria.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
2
Experimentos aleatorios. Sucesos. Operacións con sucesos
Experimentos aleatorios
Sucesos
Operacións con sucesos
Definición de Probabilidade. Propiedades da probabilidade. Asignación de probabilidades
Definición de Probabilidade
Propiedades da Probabilidade
Asignación de probabilidades
Probabilidade condicionada. Teorema das probabilidades totais. Teorema de Bayes
Probabilidade codicionada
Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
Repaso de combinatoria
Repaso de combinatoria
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
3
1. Experimentos aleatorios
I. Probabilidade
Un experimento é un proceso ou conxunto de operacións que dan lugar a un resultado ou
observación que pode determinarse sen ambigüedade.
Éstes poden ser de dous tipos:
• Determinista: aquel que realizado repetidas veces en condicións idénticas proporciona
sempre o mesmo resultado. Ex.: Fenómenos descritos polas leis da fı́sica.
• Aleatorio: aquel que cumpre as seguintes caracterı́sticas
∗ todos os posibles resultados son coñecidos con anterioridade á súa realización,
∗ o experimento pódese repetir en condicións idénticas,
∗ pero non se pode predicir o resultado do experimento.
Ex.: Cando lanzamos unha moeda, sabemos que hai dous posibles resultados (cara e
cruz), pero non podemos predicir cal dos dous realmente ocorrirá.
A Probabilidade é a disciplina cientı́fica que estuda os experimentos aleatorios.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
4
1. Sucesos
I. Probabilidade
Suceso elemental (ω) : cada un dos posibles resultados do experimento aleatorio.
Espazo mostral (Ω) : conxunto formado por todos os sucesos elementais.
Suceso (A, B, . . .) : cada un dos subconxuntos do espazo mostral. Dicimos que “ocorre
A” cando o resultado do experimento aleatorio é un suceso elemental que pertence a A.
Suceso imposible o conxunto baleiro (∅) é un suceso que non ocorre nunca porque non
contén ningún suceso elemental.
Suceso seguro o espazo mostral (Ω) é o suceso que ocorre sempre porque contén a todos
os sucesos elementais.
Dado que os sucesos son elementos das partes ou subconxuntos de Ω, é posible utilizar a
teorı́a de conxuntos para construir e delimitar todo tipo de sucesos:
Exemplo. Consideremos o experimento aleatorio “lanzamos un dado e observamos o
resultado”. O espazo mostral deste experimento está formado por seis sucesos elementais:
Ω = {ω1 = “1”, ω2 = “2”, ω3 = “3”, ω4 = “4”, ω5 = “5”, ω6 = “6”} .
O suceso A = “sae un número impar” está formado por tres sucesos elementais:
A = {ω1 , ω3 , ω5 } = {“1”, “3”, “5”} .
O suceso B = ‘sae un número maior ca 4” está formado par dous sucesos elementais:
B = {ω5 , ω6 } = {“5”, “6”}
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
5
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
Sexan A e B dous sucesos. Posibles operacións de sucesos:
• A unión de sucesos A e B é o suceso que ocorre se ocorren A ou B. Denótase por
A ∪ B.
• A intersección de sucesos A e B é o suceso que ocorre se ocorren A e B
simultaneamente. Denótase por A ∩ B.
• O suceso complementario de A é o suceso que ocorre se non ocorre A. Denótase por Ā.
• A diferenza de sucesos A e B é o suceso que ocorre cando ocorre A pero non B.
Denótase por A\B (ou tamén por A − B). Verifı́case que A\B = A ∩ B̄ e que
A\B = A\(A ∩ B).
• A diferenza simétrica dos sucesos A e B é o suceso que ocorre cando ocorren A ou B
pero non os dous simultaneamente. Denótase por A△B. Verifı́case que
A△B = (A ∪ B)\(A ∩ B).
A∪B
A∩B
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
A\B
A△B
6
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
• Relación de incompatibilidade: A e B son sucesos incompatibles se non teñen ningún
suceso elemental en común, isto é, se A ∩ B = ∅.
• Relación de inclusión: se sempre que ocorre A entón tamén ocorre B, dicimos que A
está contido en B, e denótase por A ⊂ B.
Propiedades das operacións con sucesos (A, B e C representan tres sucesos calquera):
∅ = Ω.
• Ā = A; Ω̄ = ∅; ¯
• Ω ∪ A = Ω; ∅ ∪ A = A; A ∪ Ā = Ω .
• Ω ∩ A = A; ∅ ∩ A = ∅; A ∩ Ā = ∅.
• Propiedade idempotente: A ∪ A = A ∩ A = A.
• Propiedade conmutativa: A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A.
• Propiedade asociativa:
A1 ∪ (A2 ∪ A3 ) = (A1 ∪ A2 ) ∪ A3
A1 ∩ (A2 ∩ A3 ) = (A1 ∩ A2 ) ∩ A3 .
• Propiedades distributivas:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• Leis de De Morgan: Dados dous sucesos calquera A e B sempre se verifican as
seguintes relacións
A ∪ B = Ā ∩ B̄,
A ∩ B = Ā ∪ B̄
y en general
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
∪i Ai = ∩i Āi ,
∩i Ai = ∪i Āi
7
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
Exemplos:
1. Lanzamento dunha moeda con resultados cara e cruz.
• Espazo mostral: Ω = {c, +}
• Sucesos posibles: ∅, Ω, {c}, {+}. Os dous últimos son sucesos elementáis.
2. Dous lanzamentos de moeda (ou lanzamento de dous moedas) con resultado de cara
e cruz.
• Espazo mostral: Ω = {(c, c), (c, +), (+, c), (+, +)}
• Sucesos: ∅, Ω, os sucesos elementáis {(c, c)}, etc., e os sucesos compostos
{(c, +), (+, +), (+, c)}, etc.
• Se A = {(c, c)} ⇒ Ā = Ω − A = {(c, +), (+, c), (+, +)} é o seu complementario.
• Se A = {(c, c)} e B = {(c, +)}, A ∪ B = {(c, c), (c, +)}
• Sea A: “sae cara”, A = {(c, +), (+, c), (c, c)}. Sea B: “sae cruz”,
B = {(c, +), (+, c), (+, +)}, entón: A ∪ B = {(c, c), (+, c), (+, c), (+, +)}
• Sea A: “sae cara”, A = {(c, +), (+, c), (c, c)}. Sea B: “sae cruz”,
B = {(c, +), (+, c), (+, +)}, entón: A∆B = {(c, c), (+, +)} é que salga cara ou cruz
pero non ambas.
3. Duos lanzamentos dunha moeda definindo como resultados o número de caras.
• Espazo mostral: Ω = {0, 1, 2}
• Sucesos posibles: ∅, Ω, elementáis:{0}, {1}, {2}, compostos: menos de dous {0, 1},
distinto de un, {0, 2}, polo menos un {1, 2}
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
8
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
Exercicio 1 (B1): Sexan A, B e C tres sucesos calquera. Formar os seguintes sucesos:
a) “non ocorre A”:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
9
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
Exercicio 1 (B1): Sexan A, B e C tres sucesos calquera. Formar os seguintes sucesos:
a) “non ocorre A”: Ā
b) “ocorre A ou ocorre B”:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
9
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
Exercicio 1 (B1): Sexan A, B e C tres sucesos calquera. Formar os seguintes sucesos:
a) “non ocorre A”: Ā
b) “ocorre A ou ocorre B”: A ∪ B
c) “ocorren A e B”:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
9
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
Exercicio 1 (B1): Sexan A, B e C tres sucesos calquera. Formar os seguintes sucesos:
a) “non ocorre A”: Ā
b) “ocorre A ou ocorre B”: A ∪ B
c) “ocorren A e B”: A ∩ B
d) “ocorren A e B pero non C”:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
9
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
Exercicio 1 (B1): Sexan A, B e C tres sucesos calquera. Formar os seguintes sucesos:
a) “non ocorre A”: Ā
b) “ocorre A ou ocorre B”: A ∪ B
c) “ocorren A e B”: A ∩ B
d) “ocorren A e B pero non C”: A ∩ B ∩ C̄.
e) “ocorre polo menos un dos tres”:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
9
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
Exercicio 1 (B1): Sexan A, B e C tres sucesos calquera. Formar os seguintes sucesos:
a) “non ocorre A”: Ā
b) “ocorre A ou ocorre B”: A ∪ B
c) “ocorren A e B”: A ∩ B
d) “ocorren A e B pero non C”: A ∩ B ∩ C̄.
e) “ocorre polo menos un dos tres”: A ∪ B ∪ C
f) “ocorren polo menos dous”:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
9
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
Exercicio 1 (B1): Sexan A, B e C tres sucesos calquera. Formar os seguintes sucesos:
a) “non ocorre A”: Ā
b) “ocorre A ou ocorre B”: A ∪ B
c) “ocorren A e B”: A ∩ B
d) “ocorren A e B pero non C”: A ∩ B ∩ C̄.
e) “ocorre polo menos un dos tres”: A ∪ B ∪ C
f) “ocorren polo menos dous”: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
g) “non ocorre ningún dos tres”:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
9
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
Exercicio 1 (B1): Sexan A, B e C tres sucesos calquera. Formar os seguintes sucesos:
a) “non ocorre A”: Ā
b) “ocorre A ou ocorre B”: A ∪ B
c) “ocorren A e B”: A ∩ B
d) “ocorren A e B pero non C”: A ∩ B ∩ C̄.
e) “ocorre polo menos un dos tres”: A ∪ B ∪ C
f) “ocorren polo menos dous”: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
g) “non ocorre ningún dos tres”: Ā ∩ B̄ ∩ C̄ ou A ∪ B ∪ C
h) “ocorre só un dos tres”:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
9
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
Exercicio 1 (B1): Sexan A, B e C tres sucesos calquera. Formar os seguintes sucesos:
a) “non ocorre A”: Ā
b) “ocorre A ou ocorre B”: A ∪ B
c) “ocorren A e B”: A ∩ B
d) “ocorren A e B pero non C”: A ∩ B ∩ C̄.
e) “ocorre polo menos un dos tres”: A ∪ B ∪ C
f) “ocorren polo menos dous”: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
g) “non ocorre ningún dos tres”: Ā ∩ B̄ ∩ C̄ ou A ∪ B ∪ C
h) “ocorre só un dos tres”: (A ∩ B̄ ∩ C̄) ∪ (Ā ∩ B ∩ C̄) ∪ (Ā ∩ B̄ ∩ C)
i) Atopar que relación hai entre os sucesos A e B se sempre que ocorre A entón tamén
ocorre B:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
9
1. Operacións con sucesos
I. Probabilidade
Exercicio 1 (B1): Sexan A, B e C tres sucesos calquera. Formar os seguintes sucesos:
a) “non ocorre A”: Ā
b) “ocorre A ou ocorre B”: A ∪ B
c) “ocorren A e B”: A ∩ B
d) “ocorren A e B pero non C”: A ∩ B ∩ C̄.
e) “ocorre polo menos un dos tres”: A ∪ B ∪ C
f) “ocorren polo menos dous”: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
g) “non ocorre ningún dos tres”: Ā ∩ B̄ ∩ C̄ ou A ∪ B ∪ C
h) “ocorre só un dos tres”: (A ∩ B̄ ∩ C̄) ∪ (Ā ∩ B ∩ C̄) ∪ (Ā ∩ B̄ ∩ C)
i) Atopar que relación hai entre os sucesos A e B se sempre que ocorre A entón tamén
ocorre B: A ⊂ B
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
9
Experimentos aleatorios. Sucesos. Operacións con sucesos
Experimentos aleatorios
Sucesos
Operacións con sucesos
Definición de Probabilidade. Propiedades da probabilidade. Asignación de probabilidades
Definición de Probabilidade
Propiedades da Probabilidade
Asignación de probabilidades
Probabilidade condicionada. Teorema das probabilidades totais. Teorema de Bayes
Probabilidade codicionada
Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
Repaso de combinatoria
Repaso de combinatoria
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
10
2. Definición de Probabilidade
I. Probabilidade
De maneira xeral, se pensamos en probabilidade a idea que temos é a de que mide a
“frecuencia teórica” coa que ocorre un suceso asociado a un determinado experimento
aleatorio.
Á parte desta idea intuitiva tamén necesitamos unha definición matemática formal que nos
permita modelizar os experimentos aleatorios e traballar desde o punto de vista teórico e
abstracto:
Definición axiomática de Kolmogorov. A probabilidade é unha aplicación P que lle asigna
a cada suceso A un número P (A) e que verifica os tres seguintes axiomas:
1. P (A) ≥ 0 (Axioma de non negatividade)
2. P (Ω) = 1 (Axioma do suceso seguro)
3. Se A1 , A2 , . . . , An , . . . é unha colección de sucesos incompatibles entre si
(mutuamente excluı́ntes), entón
!
[
X
P
Ai =
P (Ai ) (Axioma de aditividade)
i
i
O número P (A) chámase probabilidade de A.
∗ Nótese que esta definición non explica como se asignan ou calculan as probabilidades en exemplos concretos.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
11
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
A partir da definición anterior, pódense demostrar as seguintes propiedades básicas da
probabilidade. Sexan A e B dous sucesos calquera:
1. A probabilidade é un número entre 0 e 1: 0 ≤ P (A) ≤ 1
2. Probabilidade do conxunto baleiro: P (∅) = 0
3. Probabilidade do complementario: P (Ā) = 1 − P (A)
4. Se A ⊂ B entón P (A) ≤ P (B)
5. Probabilidade da diferenza de sucesos: P (B\A) = P (B) − P (A ∩ B) Ademais, se
A ⊂ B entón P (B\A) = P (B) − P (A)
6. Aditividad finita:
Pn
n
{Ai }n
i=1 ⊂ A sucesos incompatibles, entón P ∪i=1 Ai =
i=1 P (Ai )
7. Probabilidade da unión de sucesos: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Exercicio. Deducir unha fórmula para P (A ∪ B ∪ C) en función das probabilidades dos
sucesos A, B e C e das súas interseccións.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
12
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
Exemplo:
1. No mercado existen dúas empresas que comercializan un mesmo tipo de compoñente eléctrico. A
primeira o fai seguindo tres marcas distintas m1 , m2 e m3 e a segunda mediante unha sóa marca
m4 nas seguintes proporcións: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4. Se se adquire un destes compoñentes, determinar
a probabilidade de que fose fabricado pola primeira empresa (representar gráficamente os sucesos):
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
13
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
Exemplo:
1. No mercado existen dúas empresas que comercializan un mesmo tipo de compoñente eléctrico. A
primeira o fai seguindo tres marcas distintas m1 , m2 e m3 e a segunda mediante unha sóa marca
m4 nas seguintes proporcións: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4. Se se adquire un destes compoñentes, determinar
a probabilidade de que fose fabricado pola primeira empresa (representar gráficamente os sucesos):
Mi = “compoñente fabricado pola marca i (con i = 1, . . . , 4)”
Ei = “empresa i (i = 1, 2)”
P (M1 ) = 0.1, P (M2 ) = 0.2, P (M3 ) = 0.3, P (M4 ) = 0.4
P (E1 ) = P (M1 ∪ M2 ∪ M3 ) = P (M1 ) + P (M2 ) + P (M3 ) = 0.6
pois un compoñente só pode ter unha soa marca.
Outra forma: P (M1 ∪ M2 ∪ M3 ) = P M4 = 1 − P (M4 ) = 1 − 0.4 = 0.6
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
13
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
Exemplo:
1. No mercado existen dúas empresas que comercializan un mesmo tipo de compoñente eléctrico. A
primeira o fai seguindo tres marcas distintas m1 , m2 e m3 e a segunda mediante unha sóa marca
m4 nas seguintes proporcións: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4. Se se adquire un destes compoñentes, determinar
a probabilidade de que fose fabricado pola primeira empresa (representar gráficamente os sucesos):
Mi = “compoñente fabricado pola marca i (con i = 1, . . . , 4)”
Ei = “empresa i (i = 1, 2)”
P (M1 ) = 0.1, P (M2 ) = 0.2, P (M3 ) = 0.3, P (M4 ) = 0.4
P (E1 ) = P (M1 ∪ M2 ∪ M3 ) = P (M1 ) + P (M2 ) + P (M3 ) = 0.6
pois un compoñente só pode ter unha soa marca.
Outra forma: P (M1 ∪ M2 ∪ M3 ) = P M4 = 1 − P (M4 ) = 1 − 0.4 = 0.6
2. A probabilidade de que un compoñente dun sistema se averı́e é 0.5, a probabilidade de que se averı́e
outro compoñente diferente é 0.3 e a de que se averı́en os dous é 0.2. Determinar representando
gráficamente os sucesos:
2.1 A probabilidade de que polo menos un dos dous compoñentes se averı́e:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
13
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
Exemplo:
1. No mercado existen dúas empresas que comercializan un mesmo tipo de compoñente eléctrico. A
primeira o fai seguindo tres marcas distintas m1 , m2 e m3 e a segunda mediante unha sóa marca
m4 nas seguintes proporcións: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4. Se se adquire un destes compoñentes, determinar
a probabilidade de que fose fabricado pola primeira empresa (representar gráficamente os sucesos):
Mi = “compoñente fabricado pola marca i (con i = 1, . . . , 4)”
Ei = “empresa i (i = 1, 2)”
P (M1 ) = 0.1, P (M2 ) = 0.2, P (M3 ) = 0.3, P (M4 ) = 0.4
P (E1 ) = P (M1 ∪ M2 ∪ M3 ) = P (M1 ) + P (M2 ) + P (M3 ) = 0.6
pois un compoñente só pode ter unha soa marca.
Outra forma: P (M1 ∪ M2 ∪ M3 ) = P M4 = 1 − P (M4 ) = 1 − 0.4 = 0.6
2. A probabilidade de que un compoñente dun sistema se averı́e é 0.5, a probabilidade de que se averı́e
outro compoñente diferente é 0.3 e a de que se averı́en os dous é 0.2. Determinar representando
gráficamente os sucesos:
2.1 A probabilidade de que polo menos un dos dous compoñentes se averı́e:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.5 + 0.3 − 0.2 = 0.6
2.2 A probabilidade de que non se averı́e ningún:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
13
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
Exemplo:
1. No mercado existen dúas empresas que comercializan un mesmo tipo de compoñente eléctrico. A
primeira o fai seguindo tres marcas distintas m1 , m2 e m3 e a segunda mediante unha sóa marca
m4 nas seguintes proporcións: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4. Se se adquire un destes compoñentes, determinar
a probabilidade de que fose fabricado pola primeira empresa (representar gráficamente os sucesos):
Mi = “compoñente fabricado pola marca i (con i = 1, . . . , 4)”
Ei = “empresa i (i = 1, 2)”
P (M1 ) = 0.1, P (M2 ) = 0.2, P (M3 ) = 0.3, P (M4 ) = 0.4
P (E1 ) = P (M1 ∪ M2 ∪ M3 ) = P (M1 ) + P (M2 ) + P (M3 ) = 0.6
pois un compoñente só pode ter unha soa marca.
Outra forma: P (M1 ∪ M2 ∪ M3 ) = P M4 = 1 − P (M4 ) = 1 − 0.4 = 0.6
2. A probabilidade de que un compoñente dun sistema se averı́e é 0.5, a probabilidade de que se averı́e
outro compoñente diferente é 0.3 e a de que se averı́en os dous é 0.2. Determinar representando
gráficamente os sucesos:
2.1 A probabilidade de que polo menos un dos dous compoñentes se averı́e:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.5 + 0.3 − 0.2 = 0.6
2.2 A probabilidade de que non se averı́e ningún: P (Ā ∩ B̄) = P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − 0.6 = 0.4
2.3 A probabilidade de que se averı́e o primeiro pero non o segundo:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
13
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
Exemplo:
1. No mercado existen dúas empresas que comercializan un mesmo tipo de compoñente eléctrico. A
primeira o fai seguindo tres marcas distintas m1 , m2 e m3 e a segunda mediante unha sóa marca
m4 nas seguintes proporcións: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4. Se se adquire un destes compoñentes, determinar
a probabilidade de que fose fabricado pola primeira empresa (representar gráficamente os sucesos):
Mi = “compoñente fabricado pola marca i (con i = 1, . . . , 4)”
Ei = “empresa i (i = 1, 2)”
P (M1 ) = 0.1, P (M2 ) = 0.2, P (M3 ) = 0.3, P (M4 ) = 0.4
P (E1 ) = P (M1 ∪ M2 ∪ M3 ) = P (M1 ) + P (M2 ) + P (M3 ) = 0.6
pois un compoñente só pode ter unha soa marca.
Outra forma: P (M1 ∪ M2 ∪ M3 ) = P M4 = 1 − P (M4 ) = 1 − 0.4 = 0.6
2. A probabilidade de que un compoñente dun sistema se averı́e é 0.5, a probabilidade de que se averı́e
outro compoñente diferente é 0.3 e a de que se averı́en os dous é 0.2. Determinar representando
gráficamente os sucesos:
2.1 A probabilidade de que polo menos un dos dous compoñentes se averı́e:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.5 + 0.3 − 0.2 = 0.6
2.2 A probabilidade de que non se averı́e ningún: P (Ā ∩ B̄) = P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − 0.6 = 0.4
2.3 A probabilidade de que se averı́e o primeiro pero non o segundo:
P (A ∩ B̄) = P (A − B) = P (A − A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B) = 0.5 − 0.2 = 0.3
2.4 A probabilidade de que se averı́e só un:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
13
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
Exemplo:
1. No mercado existen dúas empresas que comercializan un mesmo tipo de compoñente eléctrico. A
primeira o fai seguindo tres marcas distintas m1 , m2 e m3 e a segunda mediante unha sóa marca
m4 nas seguintes proporcións: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4. Se se adquire un destes compoñentes, determinar
a probabilidade de que fose fabricado pola primeira empresa (representar gráficamente os sucesos):
Mi = “compoñente fabricado pola marca i (con i = 1, . . . , 4)”
Ei = “empresa i (i = 1, 2)”
P (M1 ) = 0.1, P (M2 ) = 0.2, P (M3 ) = 0.3, P (M4 ) = 0.4
P (E1 ) = P (M1 ∪ M2 ∪ M3 ) = P (M1 ) + P (M2 ) + P (M3 ) = 0.6
pois un compoñente só pode ter unha soa marca.
Outra forma: P (M1 ∪ M2 ∪ M3 ) = P M4 = 1 − P (M4 ) = 1 − 0.4 = 0.6
2. A probabilidade de que un compoñente dun sistema se averı́e é 0.5, a probabilidade de que se averı́e
outro compoñente diferente é 0.3 e a de que se averı́en os dous é 0.2. Determinar representando
gráficamente os sucesos:
2.1 A probabilidade de que polo menos un dos dous compoñentes se averı́e:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.5 + 0.3 − 0.2 = 0.6
2.2 A probabilidade de que non se averı́e ningún: P (Ā ∩ B̄) = P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − 0.6 = 0.4
2.3 A probabilidade de que se averı́e o primeiro pero non o segundo:
P (A ∩ B̄) = P (A − B) = P (A − A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B) = 0.5 − 0.2 = 0.3
2.4 A probabilidade de que se averı́e só un:
P (A∆B) = P (A∪B)−P (A∩B) = P (A)+P (B)−P (A∩B)−P (A∩B) = 0.5+0.3−2·0.2 = 0.4
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
13
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
Exercicio 3 (B1):
Sexa Ω o espazo mostral e A e B dous sucesos tales que P (A) = 1/4, P (B) = 2/5 e
P (A ∩ B) = 3/20.
a) Averiguar se A ∪ B = Ω.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
14
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
Exercicio 3 (B1):
Sexa Ω o espazo mostral e A e B dous sucesos tales que P (A) = 1/4, P (B) = 2/5 e
P (A ∩ B) = 3/20.
a) Averiguar se A ∪ B = Ω.
Sabemos que P (Ω) = 1. Vexamos canto é a probabilidade de A ∪ B :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =
2
3
5+8−3
10
1
+ −
=
=
= 0.5
4
5
20
20
20
Como P (Ω) = 1 ̸= 0.5 = P (A ∪ B) entón claramente A ∪ B ̸= Ω.
b) Son A e B incompatibles?
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
14
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
Exercicio 3 (B1):
Sexa Ω o espazo mostral e A e B dous sucesos tales que P (A) = 1/4, P (B) = 2/5 e
P (A ∩ B) = 3/20.
a) Averiguar se A ∪ B = Ω.
Sabemos que P (Ω) = 1. Vexamos canto é a probabilidade de A ∪ B :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =
2
3
5+8−3
10
1
+ −
=
=
= 0.5
4
5
20
20
20
Como P (Ω) = 1 ̸= 0.5 = P (A ∪ B) entón claramente A ∪ B ̸= Ω.
b) Son A e B incompatibles?
Non, porque segundo o enunciado P (A ∩ B) = 3/20, o cal implica que A ∩ B ̸= ∅.
c) Son A e B independentes?
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
14
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
Exercicio 3 (B1):
Sexa Ω o espazo mostral e A e B dous sucesos tales que P (A) = 1/4, P (B) = 2/5 e
P (A ∩ B) = 3/20.
a) Averiguar se A ∪ B = Ω.
Sabemos que P (Ω) = 1. Vexamos canto é a probabilidade de A ∪ B :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =
2
3
5+8−3
10
1
+ −
=
=
= 0.5
4
5
20
20
20
Como P (Ω) = 1 ̸= 0.5 = P (A ∪ B) entón claramente A ∪ B ̸= Ω.
b) Son A e B incompatibles?
Non, porque segundo o enunciado P (A ∩ B) = 3/20, o cal implica que A ∩ B ̸= ∅.
c) Son A e B independentes?
De momento non podemos responder a esta pregunta porque aı́nda non vimos a definición de
sucesos independentes. Ver sección 3.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
14
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
d) Calcular as seguintes probabilidades:
P (A ∩ B̄)
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
15
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
d) Calcular as seguintes probabilidades:
P (A ∩ B̄) = P (A) − P (A ∩ B) =
1
3
5−3
2
−
=
=
= 0.1
4
20
20
20
P (A ∪ B̄)
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
15
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
d) Calcular as seguintes probabilidades:
1
3
5−3
2
−
=
=
= 0.1
4
20
20
20
2
2
15
1
P (A ∪ B̄) = P (A) + P (B̄) − P (A ∩ B̄) = + 1 −
−
=
= 0.75
4
5
20
20
P (A ∩ B̄) = P (A) − P (A ∩ B) =
P (A△B)
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
15
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
d) Calcular as seguintes probabilidades:
1
3
5−3
2
−
=
=
= 0.1
4
20
20
20
2
2
15
1
P (A ∪ B̄) = P (A) + P (B̄) − P (A ∩ B̄) = + 1 −
−
=
= 0.75
4
5
20
20
10
3
7
P (A△B) = P (A ∪ B) − P (A ∩ B) =
−
=
= 0.35
20
20
20
P (Ā△B)
P (A ∩ B̄) = P (A) − P (A ∩ B) =
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
15
2. Propiedades da Probabilidade
I. Probabilidade
d) Calcular as seguintes probabilidades:
1
3
5−3
2
−
=
=
= 0.1
4
20
20
20
2
2
15
1
P (A ∪ B̄) = P (A) + P (B̄) − P (A ∩ B̄) = + 1 −
−
=
= 0.75
4
5
20
20
10
3
7
P (A△B) = P (A ∪ B) − P (A ∩ B) =
−
=
= 0.35
20
20
20
P (Ā△B) = P (Ā ∪ B) − P (Ā ∩ B) = P (Ā) + P (B) − 2P (Ā ∩ B)
P (A ∩ B̄) = P (A) − P (A ∩ B) =
= P (Ā) + P (B) − 2[P (B) − P (A ∩ B)]
2
13
1
2
3
= 1−
+ −2
−
=
= 0.65
4
5
5
20
20
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
15
2. Asignación de probabilidades
I. Probabilidade
Ademáis da teorı́a asociada coa probabilidade, na práctica é necesario recurrir a distintos
métodos que permitan asignar probabilidades aos sucesos en cada experimento aleatorio
concreto. Para facer isto pódense utilizar distintas técnicas. Neste curso veremos o
método frecuentista, a regra de Laplace ou o método subxectivo.
Método frecuentista. Cando se repite un experimento aleatorio nas mesmas condicións
resulta que as frecuencias relativas dun suceso A tenden a estabilizarse ao redor dun
número que está entre 0 e 1 . A ley de estabilidad de frecuencias dinos que esta
proporción converxe a la probabilidad, é dicir, este número é a probabilidade do suceso A.
◦
n de veces que ocorre A
frecuencia relativa de A = n◦ de
−→ P (A)
realizacións do experimento
Código R - dado - moeda
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
16
2. Asignación de probabilidades
I. Probabilidade
Regra de Laplace. Unha forma alternativa de asignar probabilidades é a partir da análise
dos sucesos elementais do experimento. O caso máis sinxelo de tratar é o dos espazos
equiprobables, no que todos os todos os resultados do experimento (é dicir, os sucesos
elementais) teñen a mesma probabilidade. Neste caso, a Regra de Laplace ası́gnalle ao
suceso A a seguinte probabilidade:
P (A) =
n◦ de casos favorables a A
n◦ de casos posibles
Exemplo. Nunha caixa hai 5 bólas negras e 4 bólas brancas. A probabilidade de sacar
unha bóla negra é
n◦ de bólas negras
5
=
n◦ total de bólas
9
Método subxectivo. Ası́gnanse as probabilidades de maneira subxectiva, baseándose en
experiencias previas ou na interpretación clásica da Regra de Laplace. Combina os dous
métodos anteriores con criterios persoais.
Exercicio. Se dispoñemos dunha baralla española e escollemos unha carta ao azar: 1. Cal
é a probabilidade de que sexa de ouros? 2. Cal é a probabilidade de que sexa unha figura
de copas?
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
17
2. Asignación de probabilidades
I. Probabilidade
Exemplo. Unha caixa contén 1000 boletos dunha rifa. Con 75 deles o premio é de 10 euros, con 150 o
premio é de 5 euros, con 175 o premio é de 3 euros, e con 100 boletos o premio é 1 euro. Se se compra
un boleto e custa 4 euros:
a) Construı́r o espazo mostral para o beneficio (ou perda) que se obtén ao xogar.
Como os boletos teñen premios de 10, 5, 3, 1 e 0 euros, e cada boleto custa 4 euros, entón os
posibles resultados (que forman o espazo mostral) en beneficio ou perda cando se xoga 1 boleto son
Ω = {ω6 = “6 euros”, ω1 = “1 euro”, ω−1 = “ − 1 euro”, ω−3 = “−3 euros”, ω−4 = “−4
euros”}
b) Determinar as probabilidades dos sucesos elementais.
Aplicando a regra de Laplace, simplemente temos que ter en conta cantos premios hai de cada tipo:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
18
2. Asignación de probabilidades
I. Probabilidade
Exemplo. Unha caixa contén 1000 boletos dunha rifa. Con 75 deles o premio é de 10 euros, con 150 o
premio é de 5 euros, con 175 o premio é de 3 euros, e con 100 boletos o premio é 1 euro. Se se compra
un boleto e custa 4 euros:
a) Construı́r o espazo mostral para o beneficio (ou perda) que se obtén ao xogar.
Como os boletos teñen premios de 10, 5, 3, 1 e 0 euros, e cada boleto custa 4 euros, entón os
posibles resultados (que forman o espazo mostral) en beneficio ou perda cando se xoga 1 boleto son
Ω = {ω6 = “6 euros”, ω1 = “1 euro”, ω−1 = “ − 1 euro”, ω−3 = “−3 euros”, ω−4 = “−4
euros”}
b) Determinar as probabilidades dos sucesos elementais.
Aplicando a regra de Laplace, simplemente temos que ter en conta cantos premios hai de cada tipo:
75
150
175
P (ω6 ) =
= 0.075; P (ω1 ) =
= 0.150; P (ω−1 ) =
= 0.175;
1000
1000
1000
100
500
P (ω−3 ) =
= 0.100; P (ω−4 ) =
= 0.500
1000
1000
c) Determinar a probabilidade de gañar menos de 5 euros.
P (“gañar menos de 5 euros”) =
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
18
2. Asignación de probabilidades
I. Probabilidade
Exemplo. Unha caixa contén 1000 boletos dunha rifa. Con 75 deles o premio é de 10 euros, con 150 o
premio é de 5 euros, con 175 o premio é de 3 euros, e con 100 boletos o premio é 1 euro. Se se compra
un boleto e custa 4 euros:
a) Construı́r o espazo mostral para o beneficio (ou perda) que se obtén ao xogar.
Como os boletos teñen premios de 10, 5, 3, 1 e 0 euros, e cada boleto custa 4 euros, entón os
posibles resultados (que forman o espazo mostral) en beneficio ou perda cando se xoga 1 boleto son
Ω = {ω6 = “6 euros”, ω1 = “1 euro”, ω−1 = “ − 1 euro”, ω−3 = “−3 euros”, ω−4 = “−4
euros”}
b) Determinar as probabilidades dos sucesos elementais.
Aplicando a regra de Laplace, simplemente temos que ter en conta cantos premios hai de cada tipo:
75
150
175
P (ω6 ) =
= 0.075; P (ω1 ) =
= 0.150; P (ω−1 ) =
= 0.175;
1000
1000
1000
100
500
P (ω−3 ) =
= 0.100; P (ω−4 ) =
= 0.500
1000
1000
c) Determinar a probabilidade de gañar menos de 5 euros.
P (“gañar menos de 5 euros”) = P (ω1 ) + P (ω−1 ) + P (ω−3 ) + P (ω−4 ) = 0.925.
d) Determinar a probabilidad de non perder diñeiro.
P (“non perder diñeiro”) =
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
18
2. Asignación de probabilidades
I. Probabilidade
Exemplo. Unha caixa contén 1000 boletos dunha rifa. Con 75 deles o premio é de 10 euros, con 150 o
premio é de 5 euros, con 175 o premio é de 3 euros, e con 100 boletos o premio é 1 euro. Se se compra
un boleto e custa 4 euros:
a) Construı́r o espazo mostral para o beneficio (ou perda) que se obtén ao xogar.
Como os boletos teñen premios de 10, 5, 3, 1 e 0 euros, e cada boleto custa 4 euros, entón os
posibles resultados (que forman o espazo mostral) en beneficio ou perda cando se xoga 1 boleto son
Ω = {ω6 = “6 euros”, ω1 = “1 euro”, ω−1 = “ − 1 euro”, ω−3 = “−3 euros”, ω−4 = “−4
euros”}
b) Determinar as probabilidades dos sucesos elementais.
Aplicando a regra de Laplace, simplemente temos que ter en conta cantos premios hai de cada tipo:
75
150
175
P (ω6 ) =
= 0.075; P (ω1 ) =
= 0.150; P (ω−1 ) =
= 0.175;
1000
1000
1000
100
500
P (ω−3 ) =
= 0.100; P (ω−4 ) =
= 0.500
1000
1000
c) Determinar a probabilidade de gañar menos de 5 euros.
P (“gañar menos de 5 euros”) = P (ω1 ) + P (ω−1 ) + P (ω−3 ) + P (ω−4 ) = 0.925.
d) Determinar a probabilidad de non perder diñeiro.
P (“non perder diñeiro”) = P (ω6 ) + P (ω1 ) = 0.225.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
18
Experimentos aleatorios. Sucesos. Operacións con sucesos
Experimentos aleatorios
Sucesos
Operacións con sucesos
Definición de Probabilidade. Propiedades da probabilidade. Asignación de probabilidades
Definición de Probabilidade
Propiedades da Probabilidade
Asignación de probabilidades
Probabilidade condicionada. Teorema das probabilidades totais. Teorema de Bayes
Probabilidade codicionada
Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
Repaso de combinatoria
Repaso de combinatoria
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
19
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
A probabilidade anterior é estática: fixado un estado de cousas, identificamos os sucesos
posibles e nos plantexamos a probabilidade da súa ocorrencia. Per se, isto xa é un avance
pois permite modelar o futuro (ou pasado ou presente descoñecido) e mellorar a toma de
decisións.
Exemplo. No lanzamento de das monedas: Ω = {cc, c+, +c, ++} y
P ({cc}) = P ({c+}) = P ({+c}) = P ({++}) = 41
A=“Ambas monedas dan o mesmo resultado”={cc, ++} ⇒ P (A) = 12
B=“Obtense polo menos unha cara”={cc, c+, +c} ⇒ P (B) = 34
¿Qué ocorre coa probabilidade de A sabendo que ocurriu B?
Posibles resultados: ΩB = {cc, c+, +c} =⇒ P (A | B) = 31
P (A | B) =
1
P (A ∩ B)
P ({cc})
1/4
=
=
=
3
P (B)
P (B)
3/4
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
20
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
A probabilidade condicionada incorpora a información do que xa sucedeu ou poderı́a
suceder (análise what-if ). Para conseguilo, hai que considerar as relacións de dependencia
ou independencia entre sucesos.
Definición. Dado un espacio probabilı́stico (Ω, A, P ), Sexan A e B dous sucesos con
P (B) > 0, a probabilidade do suceso A condicionada polo suceso B é:
P (A | B) =
P (A ∩ B)
, ∀A ∈ A
P (B)
Definición. Sexan A e B dous sucesos, con P (B) > 0. A probabilidade do suceso A
condicionada polo suceso B é:
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
Exemplo. Se dispoñemos dunha baralla española e escollemos unha carta ao azar:
P (“figura”) = 12/40 = 3/10; P (“figura|carta mayor que 5”) = 12/20 = 3/5.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
21
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
Exemplo. Un estudio sobre as actividades levadas a cabo no tempo libre determina que o
40% dos adultos van ao cine, o 50% len libros e o 25% realiza ambas actividades
regularmente.
Sucesos −→ C = “Ir ao cine regularmente” y L = “Ler libros regularmente”
Probabilidades −→ P (C) = 0.40
P (L) = 0.50
P (C ∩ L) = 0.25
a) Se unha persona lee libros regularmente, ¿cál e a probabilidade de que vaia ao cine?
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
22
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
Exemplo. Un estudio sobre as actividades levadas a cabo no tempo libre determina que o
40% dos adultos van ao cine, o 50% len libros e o 25% realiza ambas actividades
regularmente.
Sucesos −→ C = “Ir ao cine regularmente” y L = “Ler libros regularmente”
Probabilidades −→ P (C) = 0.40
P (L) = 0.50
P (C ∩ L) = 0.25
a) Se unha persona lee libros regularmente, ¿cál e a probabilidade de que vaia ao cine?
P (C | L) =
P (C ∩ L)
0.25
=
= 0.50
P (L)
0.50
b) Se unha persona vai ao cine regularmente, ¿cál e a probabilidade de que non lea libros?
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
22
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
Exemplo. Un estudio sobre as actividades levadas a cabo no tempo libre determina que o
40% dos adultos van ao cine, o 50% len libros e o 25% realiza ambas actividades
regularmente.
Sucesos −→ C = “Ir ao cine regularmente” y L = “Ler libros regularmente”
Probabilidades −→ P (C) = 0.40
P (L) = 0.50
P (C ∩ L) = 0.25
a) Se unha persona lee libros regularmente, ¿cál e a probabilidade de que vaia ao cine?
P (C | L) =
P (C ∩ L)
0.25
=
= 0.50
P (L)
0.50
b) Se unha persona vai ao cine regularmente, ¿cál e a probabilidade de que non lea libros?
P (LC | C) = 1 − P (L | C) = 1 −
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
P (C ∩ L)
0.25
=1−
= 0.375
P (C)
0.40
22
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
Regra do produto. Da definición anterior dedúcese que:
P (A ∩ B) = P (A)P (B|A)
P (A ∩ B) = P (B)P (A|B)
e cun nivel novo de condicionamente:
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 ∩ A2 )
T
n−1
De maneira xeral, sexa {Ai }n
i=1 un conxunto de sucesos tales que P
i=1 Ai > 0,
n−1
P (∩n
i=1 Ai ) = P (A1 ) P (A2 |A1 ) P (A3 |A1 ∩ A2 ) · · · P An | ∩i=1 Ai
Exemplo. Extráense dúas cartas dunha baralla de 40 cartas. Cal é a probabilidade de que
sexan dous ases?
Sexan os sucesos A1 = “a 1a carta é un as” e A2 = “a segunda carta é un as”.
4
Queremos calcular P (A1 ∩ A2 ). Neste caso é moi doado ver que P (A1 ) = 40
(pola
regra de Laplace: temos 4 ases en 40 cartas). Por outra parte, tamén é doado ver que
3
P (A2 |A1 ) = 39
, xa que unha vez que sabemos que a 1a carta foi un as, quédannos 3
ases nun total de 39 cartas. Polo tanto, pola regra do produto, chegamos a que
3 4
P (“dous ases” ) = P (A1 ∩ A2 ) = P (A2 |A1 ) P (A1 ) =
.
39 40
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
23
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
Independencia de sucesos. Intuitivamente, dous sucesos son independentes se o feito de
que un deles ocorra non modifica a probabilidade de que o outro ocorra. A definición
formal é a seguinte.
Definición. A e B son sucesos independentes se
(
P (A ∩ B) = P (A)P (B) ⇔
P (A∩B)
= P (B)
P (A)
P (A∩B)
P (A|B) = P (B) = P (A)
P (B|A) =
Nota. Non confundir sucesos independentes con sucesos incompatibles. Son independentes
dous sucesos incompatibles? Non. Son incompatibles dous sucesos independentes? Non.
Se A, B son incompatibles entón
A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∩ B) = 0 ⇒ P (B|A) = P (A|B) = 0
Se A, B son independentes entón
P (A ∩ B) = P (A)P (B) ̸= 0
Se A, B independentes, tamén o son A e B̄, Ā e B e Ā e B̄.
∗ con P (A), P (B) > 0.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
24
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
Dados 3 sucesos, A, B e C, dicimos que son (mutuamente) independentes se
P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C)
Esta definición xeralı́zase ao caso de n sucesos. Os sucesos A1 , A2 , . . . , An son
(mutuamente) independentes se
P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 ) P (A2 ) · · · P (An )
Exemplo. Seguindo co exemplo da baralla, os sucesos A1 e A2 non son independentes
porque claramente o feito de que na primeira carta se teña un as (é dicir, cando ocorre
A1 ) condiciona a probabilidade de que se obteña un as na segunda carta. Tamén o
podemos comprobar pola definición:
4
40
P (A2 ) = P (A1 ∩ A2 ) ∪ Ā1 ∩ A2 = P (A1 ∩ A2 ) + P Ā1 ∩ A2
4 3
36 4
4
+
=
.
= P (A1 ) P (A2 |A1 ) + P Ā1 P A2 |Ā1 =
40 39
40 39
40
P (A1 ) =
Pero
P (A1 ∩ A2 ) =
4 3
4 4
̸=
= P (A1 ) P (A2 )
40 39
40 40
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
25
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
Exercicio 8 (B1). Un sistema ten tres compoñentes a, b e c. Sábese que:
(1) se a falla, entón falla b,
(2) se b falla, nunca falla c, e
(3) o sistema falla cando falla algunha das súas compoñentes.
As probabilidades de fallo de a, b e c son 2%, 5% e 3%, respectivamente.
a) Determinar a probabilidade de que falle o sistema, representando graficamente os
sucesos involucrados.
En primeiro lugar temos que definir os sucesos necesarios e interpretar as condicións dadas
no enunciado. Sexan os sucesos
A = “falla a compoñente a”, con P (A) = 0.02;
B = “falla a compoñente b”, con P (B) = 0.05;
C = “falla a compoñente c”, con P (C) = 0.03; e
S = “falla o sistema”.
- A condición (1) implica que sempre que ocorre A tamén ocorre B. Entón A ⊂ B, ou
dito doutra forma P (B|A) = 1.
- A condición (2) di que cando ocorre B entón sempre ocorre C̄. Isto implica que
B ⊂ C̄, ou dito doutra forma P (C̄|B) = 1
- Nótese que como B ⊂ C̄, entón B e C son incompatibles. Ademais, como A ⊂ B,
entón A e C tamén son incompatibles.
- Finalmente, a condición (3) dinos que S = A ∪ B ∪ C.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
26
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
Exercicio 8 (B1). (cont.) Como quedarı́a entón o diagrama de Venn destes tres sucesos?
Cal é o suceso S no diagrama de Venn?
Para calcular a probabilidade S só temos que ter en conta a relación entre os sucesos que
acabamos de estudar:
P (S) = P (A∪B∪C)
=
porque A⊂B
P (B∪C)
=
P (B)+P (C) = 0.05+0.03 = 0.08.
porque B∩C=∅
c) Determinar a probabilidade de que falle o sistema se se consegue que non falle a.
Temos que calcular a seguinte probabilidade condicionada (atención ao uso das relacións
entre os sucesos e ás propiedades da probabilidade):
P (S ∩ Ā)
P ((B\A) ∪ C)
P (B\A) + P (C)
P (B) − P (A) + P (C)
=
=
=
P (Ā)
P (Ā)
1 − P (A)
1 − P (A)
0.05 − 0.02 + 0.03
=
= 0.0612.
1 − 0.02
P (S/Ā) =
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
27
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
Exercicio:
Unha caixa posúe 100 parafusos, 10 defectuosos e 90 correctos. Pı́dese:
a) a probabilidade de extraer un parafuso que sexa defectuoso: se denominamos D1 : “o
primeiro parafuso é defectuoso”.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
28
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
Exercicio:
Unha caixa posúe 100 parafusos, 10 defectuosos e 90 correctos. Pı́dese:
a) a probabilidade de extraer un parafuso que sexa defectuoso: se denominamos D1 : “o
primeiro parafuso é defectuoso”.
P (D1 ) =
#D1
10
=
= 0.1
#Ω
100
b) a probabilidade de extraer un segundo parafuso defectuoso se o primeiro o foi e
devolveuse á caixa (con reposición): se denominamos D2 : “o segundo parafuso é
defectuoso”
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
28
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
Exercicio:
Unha caixa posúe 100 parafusos, 10 defectuosos e 90 correctos. Pı́dese:
a) a probabilidade de extraer un parafuso que sexa defectuoso: se denominamos D1 : “o
primeiro parafuso é defectuoso”.
P (D1 ) =
#D1
10
=
= 0.1
#Ω
100
b) a probabilidade de extraer un segundo parafuso defectuoso se o primeiro o foi e
devolveuse á caixa (con reposición): se denominamos D2 : “o segundo parafuso é
defectuoso”
P (D2 |D1 ) = P (D2 ) =
10
= 0.1
100
c) o mesmo se o primeiro non se devolve (sen reposición):
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
28
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
Exercicio:
Unha caixa posúe 100 parafusos, 10 defectuosos e 90 correctos. Pı́dese:
a) a probabilidade de extraer un parafuso que sexa defectuoso: se denominamos D1 : “o
primeiro parafuso é defectuoso”.
P (D1 ) =
#D1
10
=
= 0.1
#Ω
100
b) a probabilidade de extraer un segundo parafuso defectuoso se o primeiro o foi e
devolveuse á caixa (con reposición): se denominamos D2 : “o segundo parafuso é
defectuoso”
P (D2 |D1 ) = P (D2 ) =
10
= 0.1
100
c) o mesmo se o primeiro non se devolve (sen reposición):
P (D2 |D1 ) =
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
9
= 0.0909
99
28
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
d) a probabilidade de extraer por esta orde, un defectuoso, un correcto e un
defectuoso, con reposición. Se denominamos C2 : “o segundo parafuso é correcto”,
D3 : “o terceiro é defectuoso”:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
29
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
d) a probabilidade de extraer por esta orde, un defectuoso, un correcto e un
defectuoso, con reposición. Se denominamos C2 : “o segundo parafuso é correcto”,
D3 : “o terceiro é defectuoso”:
P (D1 ∩ C2 ∩ D3 ) = P (D1 ) P (C2 |D1 ) P (D3 |D1 ∩ C2 )
= P (D1 )P (C2 )P (D3 )
=
10
90
10
·
·
= 0.12 · 0.9 = 0.009
100 100 100
e) o mesmo, sen reposición:
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
29
3. Probabilidade codicionada
I. Probabilidade
d) a probabilidade de extraer por esta orde, un defectuoso, un correcto e un
defectuoso, con reposición. Se denominamos C2 : “o segundo parafuso é correcto”,
D3 : “o terceiro é defectuoso”:
P (D1 ∩ C2 ∩ D3 ) = P (D1 ) P (C2 |D1 ) P (D3 |D1 ∩ C2 )
= P (D1 )P (C2 )P (D3 )
=
10
90
10
·
·
= 0.12 · 0.9 = 0.009
100 100 100
e) o mesmo, sen reposición:
P (D1 ∩ C2 ∩ D3 ) = P (D1 ) P (C2 |D1 ) P (D3 |D1 ∩ C2 ) =
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
10 90 9
·
·
= 0.00835
100 99 98
29
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
O Teorema das Probabilidades Totais e o Teorema de Bayes son dous resultados da teorı́a
da probabilidade que permiten calcular probabilidades na vida real facendo uso das
probabilidades condicionadas. Para poder traballar con eles é necesario a seguinte
definición.
Definición. Un sistema completo de sucesos (ou partición do espazo mostral) é un
conxunto de sucesos A1 , A2 , . . . , An tales que se cumpren as dúas condicións seguintes:
n
[
Ai = Ω
i=1
Ai ∩ Aj = ∅, para i ̸= j.
Polo tanto, un sistema completo de sucesos é unha colección de sucesos tales que todos
unidos forman o espazo mostral e son incompatibles entre si. Polo que, dado un suceso
calquera A, entón A e Ā forman un sistema completo de sucesos.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
30
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
Dado un sistema completo de sucesos A1 , A2 , . . . , An e un suceso calquera B é doado
comprobar que B sempre se pode escribir como
B = (B ∩ A1 ) ∪ (B ∩ A2 ) ∪ · · · ∪ (B ∩ An ) ,
e ademais os sucesos B ∩ A1 , B ∩ A2 , . . . , B ∩ An son incompatibles entre si. Esta é a
idea que xustifica o Teorema das Probabilidades Totais.
Teorema das Probabilidades Totais: Sexan A1 , A2 , . . . , An un sistema completo de
sucesos e sexa B un suceso calquera. Entón
P (B) =
n
X
P (B ∩ Ai ) =
i=1
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
n
X
P (B|Ai ) P (Ai )
i=1
31
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
Exercicio. Na escola hai tres fotocopiadoras (A, B y C) con porcentaxes de fallo de
3%, 5% e 4%, respetivamente. Ao estar todas libres, un alumno elixe unha ao azar. Pero
ao chegar a casa descobre que a fotocopia que realizou é defectuosa.
a) Cal é a probabilidade dese suceso?
Se definimos D: “obter unha fotocopia defectuosa”, se ten (representar gráficamente):
D = D ∩ (A ∪ B ∪ C) = (D ∩ A) ∪ (D ∩ B) ∪ (D ∩ C)
que é unión de conxuntos disxuntos, polo que:
P (D) = P (D ∩ A) + P (D ∩ B) + P (D ∩ C)
= P (D|A)P (A) + P (D|B)P (B) + P (D|C)P (C)
1
1
1
+ 0.05 · + 0.04 · = 0.04
3
3
3
b) Cal é a probabilidade de que a fotocopia defectuosa fose feita na fotocopiadora B?
(sen saber o que di o Teorema...)
= 0.03 ·
P (B|D) =
P (B ∩ D)
P (D|B)P (B)
=
= 0.417
P (D)
P (D|A)P (A) + P (D|B)P (B) + P (D|C)P (C)
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
32
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
Teorema de Bayes: Sexan A1 , A2 , . . . , An un sistema completo de sucesos e sexa B un
suceso calquera, con P (B) > 0. Entón
P (Aj |B) =
P (Aj ∩ B)
P (B|Aj ) P (Aj )
P (B|Aj ) P (Aj )
=
= Pn
P (B)
P (B)
i=1 P (B|Ai ) P (Ai )
Exercicio. No problema anterior, cal é a fotocopiadora na que é máis probable que se
fixera a fotocopia defectuosa?
P (A|D) =
P (D|A)P (A)
0.03 · 1/3
P (D|C)P (C)
0.04 · 1/3
=
= 0.25; P (C|D) =
=
= 0.333
P (D)
0.04
P (D)
0.04
Aclaración. Probabilidade a priori, a posteriori e Verosimilitude. Ao resultado anterior
poderı́amos chegar comparando a verosimilitude con que cada fotocopiadora producirı́a a
observación defectuosa: P (D|A) = 0.03, P (D|B) = 0.05, P (D|C) = 0.04
Pero o criterio de comparar a verosimilitude é válido porque as probabilidades a priori son
iguais: P (A) = P (B) = P (C) = 1/3
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
33
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
Se as probabilidades a priori fosen: P (A) = 0.6, P (B) = 0.1, P (C) = 0.3, de entrada
cambiarı́a P (D) :
P (D) = P (D|A)P (A)+P (D|B)P (B)+P (D|C)P (C) = 0.03·0.6+0.05·0.1+0.04·0.3 = 0.03
e as probabilidades a posteriori serı́an (comprobar):
0.04 · 0.3
= 0.343
0.035
e, dada a observación D resultarı́a máis probable a fotocopiadora A.
P (A|D) = 0.514; P (B|D) = 0.143; P (C|D) =
O teorema de Bayes é un modelo de desenvolvemento e actualización do coñecemento
pois partindo dun coñecemento previo (a priori) incorpora a información experimental para
producir un novo coñecemento (a posteriori). Este proceso pode continuar
indefinidamente.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
34
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
Exercicio. Unha fábrica de pneumáticos ten tres liñas de produción, L1 , L2 e L3 , que se encargan do
20%, 30% e 50% da produción, respectivamente. Por experiencia de diversas inspeccións sábese que a
porcentaxe de pneumáticos defectuosos producidos en cada unha das tres liñas é do 2%, 1.5% e 1%,
respectivamente. Cal é a porcentaxe de pneumáticos defectuosos producidos na fábrica?
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
35
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
Exercicio. Unha fábrica de pneumáticos ten tres liñas de produción, L1 , L2 e L3 , que se encargan do
20%, 30% e 50% da produción, respectivamente. Por experiencia de diversas inspeccións sábese que a
porcentaxe de pneumáticos defectuosos producidos en cada unha das tres liñas é do 2%, 1.5% e 1%,
respectivamente. Cal é a porcentaxe de pneumáticos defectuosos producidos na fábrica?
Os sucesos L1 , L2 e L3 forman un sistema completo de sucesos. Sabemos que
P (L1 ) = 0.20, P (L2 ) = 0.30 e P (L3 ) = 0.50. Ademais, se denotamos por D = “un pneumático
é defectuoso”, tamén coñecemos as seguintes probabilidades condicionadas:
P (D|L1 ) = 0.02, P (D|L2 ) = 0.015 e P (D|L3 ) = 0.01.
Polo tanto
P (D) = P (D|L1 ) P (L1 ) + P (D|L2 ) P (L2 ) + P (D|L3 ) P (L3 )
= 0.02 · 0.20 + 0.015 · 0.30 + 0.01 · 0.50 = 0.0135 = 1.35%
Elı́xese un pneumático ao azar e resulta ser defectuoso, cal é a probabilidade de que fora producido na
liña L1 ?
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
35
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
Exercicio. Unha fábrica de pneumáticos ten tres liñas de produción, L1 , L2 e L3 , que se encargan do
20%, 30% e 50% da produción, respectivamente. Por experiencia de diversas inspeccións sábese que a
porcentaxe de pneumáticos defectuosos producidos en cada unha das tres liñas é do 2%, 1.5% e 1%,
respectivamente. Cal é a porcentaxe de pneumáticos defectuosos producidos na fábrica?
Os sucesos L1 , L2 e L3 forman un sistema completo de sucesos. Sabemos que
P (L1 ) = 0.20, P (L2 ) = 0.30 e P (L3 ) = 0.50. Ademais, se denotamos por D = “un pneumático
é defectuoso”, tamén coñecemos as seguintes probabilidades condicionadas:
P (D|L1 ) = 0.02, P (D|L2 ) = 0.015 e P (D|L3 ) = 0.01.
Polo tanto
P (D) = P (D|L1 ) P (L1 ) + P (D|L2 ) P (L2 ) + P (D|L3 ) P (L3 )
= 0.02 · 0.20 + 0.015 · 0.30 + 0.01 · 0.50 = 0.0135 = 1.35%
Elı́xese un pneumático ao azar e resulta ser defectuoso, cal é a probabilidade de que fora producido na
liña L1 ?
Aplicando o teorema de Bayes obtemos que
P (L1 |D) =
P (D|L1 ) P (L1 )
0.02 · 0.20
=
= 0.2963.
P (D)
0.0135
Esta é a probabilidade a posteriori do suceso L1 sabendo que ocorriu o suceso D. Podemos comparala
coa probabilidade a priori P (L1 ) = 0.20.
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
35
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
Exercicio. A docencia dunha materia divı́dese en clases teóricas e clases prácticas. Do total de alumnos
matriculados, o 70% asiste ás clases teóricas, o 50% asiste ás clases prácticas e o 40% asiste a ambas.
Por experiencia previa sábese que se un alumno asistiu ás clases de teorı́a e ás de prácticas, entón a
probabilidade de aprobar a materia é 0.9. Esta mesma probabilidade vale 0.6 no caso de que o alumno
asistise ás clases teóricas pero non ás prácticas, 0.4 no caso de que asistise ás clases prácticas pero non
ás teóricas, e 0.01 no caso de que o non asistise a ningunha clase.
a) Cal é a probabilidade de que un alumno non asista ás clases teóricas nin ás prácticas?
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
36
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
Exercicio. A docencia dunha materia divı́dese en clases teóricas e clases prácticas. Do total de alumnos
matriculados, o 70% asiste ás clases teóricas, o 50% asiste ás clases prácticas e o 40% asiste a ambas.
Por experiencia previa sábese que se un alumno asistiu ás clases de teorı́a e ás de prácticas, entón a
probabilidade de aprobar a materia é 0.9. Esta mesma probabilidade vale 0.6 no caso de que o alumno
asistise ás clases teóricas pero non ás prácticas, 0.4 no caso de que asistise ás clases prácticas pero non
ás teóricas, e 0.01 no caso de que o non asistise a ningunha clase.
a) Cal é a probabilidade de que un alumno non asista ás clases teóricas nin ás prácticas?
Sexan os sucesos T = “un alumno asiste ás clases teóricas”, P = ‘un alumno asiste ás clases
prácticas”. Sabemos que P (T ) = 0.70, P (P ) = 0.50 e P (T ∩ P ) = 0.40. Pı́dennos P (T̄ ∩ P̄ ) :
P (T̄ ∩ P̄ ) = P (T ∪ P ) = 1 − P (T ∪ P ) = 1 − [P (T ) + P (P ) − P (T ∩ P )]
= 1 − [0.7 + 0.5 − 0.4] = 0.2.
b) Cal é a probabilidade de que un alumno asista ás clases teóricas pero non ás prácticas?
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
36
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
Exercicio. A docencia dunha materia divı́dese en clases teóricas e clases prácticas. Do total de alumnos
matriculados, o 70% asiste ás clases teóricas, o 50% asiste ás clases prácticas e o 40% asiste a ambas.
Por experiencia previa sábese que se un alumno asistiu ás clases de teorı́a e ás de prácticas, entón a
probabilidade de aprobar a materia é 0.9. Esta mesma probabilidade vale 0.6 no caso de que o alumno
asistise ás clases teóricas pero non ás prácticas, 0.4 no caso de que asistise ás clases prácticas pero non
ás teóricas, e 0.01 no caso de que o non asistise a ningunha clase.
a) Cal é a probabilidade de que un alumno non asista ás clases teóricas nin ás prácticas?
Sexan os sucesos T = “un alumno asiste ás clases teóricas”, P = ‘un alumno asiste ás clases
prácticas”. Sabemos que P (T ) = 0.70, P (P ) = 0.50 e P (T ∩ P ) = 0.40. Pı́dennos P (T̄ ∩ P̄ ) :
P (T̄ ∩ P̄ ) = P (T ∪ P ) = 1 − P (T ∪ P ) = 1 − [P (T ) + P (P ) − P (T ∩ P )]
= 1 − [0.7 + 0.5 − 0.4] = 0.2.
b) Cal é a probabilidade de que un alumno asista ás clases teóricas pero non ás prácticas?
P (T ∩ P̄ ) = P (T ) − P (T ∩ P ) = 0.7 − 0.4 = 0.3.
E de que asista ás clases prácticas pero non ás teóricas?
P (P ∩ T̄ ) = P (P ) − P (P ∩ T ) = 0.5 − 0.4 = 0.1
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
36
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
c) Cal é a probabilidade de que un alumno aprobe a materia?
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
37
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
c) Cal é a probabilidade de que un alumno aprobe a materia?
Sexa A = “un alumno aproba a materia”. Claramente aquı́ teremos que aplicar o teorema das
probabilidades totais. Para iso temos que buscar un sistema completo de sucesos. Atención: T e P
non forman un sistema completo de sucesos porque non son incompatibles. O axeitado neste caso é
tomar o sistema completo de sucesos formado por T ∩ P, T ∩ P̄ , T̄ ∩ P e T̄ ∩ P̄ , para os cales
sabemos que son incompatibles entre si, recubren todo o espazo mostral e
P (T ∩ P ) = 0.4,
P (T ∩ P̄ ) = 0.3,
P (T̄ ∩ P ) = 0.1,
P (T̄ ∩ P̄ ) = 0.2,
P (A|T ∩ P ) = 0.9;
P (A|T ∩ P̄ ) = 0.6;
P (A|T̄ ∩ P ) = 0.4;
P (A|T̄ ∩ P̄ ) = 0.01.
Agora, aplicando o Teorema das Probabilidades Totais temos que
P (A) =P (A|T ∩ P )P (T ∩ P ) + P (A|T ∩ P̄ )P (T ∩ P̄ )
+ P (A|T̄ ∩ P )P (T̄ ∩ P ) + P (A|T̄ ∩ P̄ )P (T̄ ∩ P̄ )
=0.9 · 0.4 + 0.6 · 0.3 + 0.4 · 0.1 + 0.01 · 0.2 = 0.582.
d) Se un alumno aprobou a materia, cal é a probabilidade de que non asistira a ningún tipo de clase?
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
37
3. Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
I. Probabilidade
c) Cal é a probabilidade de que un alumno aprobe a materia?
Sexa A = “un alumno aproba a materia”. Claramente aquı́ teremos que aplicar o teorema das
probabilidades totais. Para iso temos que buscar un sistema completo de sucesos. Atención: T e P
non forman un sistema completo de sucesos porque non son incompatibles. O axeitado neste caso é
tomar o sistema completo de sucesos formado por T ∩ P, T ∩ P̄ , T̄ ∩ P e T̄ ∩ P̄ , para os cales
sabemos que son incompatibles entre si, recubren todo o espazo mostral e
P (T ∩ P ) = 0.4,
P (T ∩ P̄ ) = 0.3,
P (T̄ ∩ P ) = 0.1,
P (T̄ ∩ P̄ ) = 0.2,
P (A|T ∩ P ) = 0.9;
P (A|T ∩ P̄ ) = 0.6;
P (A|T̄ ∩ P ) = 0.4;
P (A|T̄ ∩ P̄ ) = 0.01.
Agora, aplicando o Teorema das Probabilidades Totais temos que
P (A) =P (A|T ∩ P )P (T ∩ P ) + P (A|T ∩ P̄ )P (T ∩ P̄ )
+ P (A|T̄ ∩ P )P (T̄ ∩ P ) + P (A|T̄ ∩ P̄ )P (T̄ ∩ P̄ )
=0.9 · 0.4 + 0.6 · 0.3 + 0.4 · 0.1 + 0.01 · 0.2 = 0.582.
d) Se un alumno aprobou a materia, cal é a probabilidade de que non asistira a ningún tipo de clase?
Aplicando o Teorema de Bayes podemos calcular a probabilidade pedida:
P (T̄ ∩ P̄ |A) =
P (A|T̄ ∩ P̄ )P (T̄ ∩ P̄ )
0.01 · 0.2
=
= 0.0034
P (A)
0.582
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
37
Experimentos aleatorios. Sucesos. Operacións con sucesos
Experimentos aleatorios
Sucesos
Operacións con sucesos
Definición de Probabilidade. Propiedades da probabilidade. Asignación de probabilidades
Definición de Probabilidade
Propiedades da Probabilidade
Asignación de probabilidades
Probabilidade condicionada. Teorema das probabilidades totais. Teorema de Bayes
Probabilidade codicionada
Teorema de proabilidades totais. Teorema de Bayes
Repaso de combinatoria
Repaso de combinatoria
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
38
4. Repaso de combinatoria
I. Probabilidade
• Factorial: n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1( por convenio 0! = 1).
• Variación é calquera colección ordeada de r elementos distintos tomados dun conxunto
de n elementos. Vn,r denota o número de variacións de r elementos tomados dun
conxunto de n elementos.
Vn,r = n(n − 1) · · · (n − r + 1) =
n!
(n − r)!
En caso de que se permitan valores repetidos entre os r seleccionados entón fálase de
variacións con repetición. O número de variacións con repetición de r elementos
tomados dun conxunto de tamaño n é:
V Rn,r = n · n · · · n = nr
• Permutación é cada unha das posibles ordenacións dos n elementos dun conxunto. Pn
denota o número de permutacións dun conxunto de n elementos.
n!
Pn = Vn,n =
= n!
0!
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
39
4. Repaso de combinatoria
I. Probabilidade
• Combinación é calquera colección (sen que importe a orde) de r elementos tomados
dun conxunto de n elementos.
Cn,r = n
denota o número de combinacións de r elementos nun conxunto de n
r
elementos. Tamén se chama número combinatorio n sobre r.
n
n!
Cn,r =
=
(n − r)!r!
r
Os números combinatorios verifican as seguintes relacións:
n
n
n
n n = 1,
= 1,
= n,
=
n
0
1
r
n−r
Os números combinatorios aparecen no desenvolvemento da potencia dun binomio:
n X
n k n−k
(a + b)n =
a b
.
k
k=0
Exemplos.
1. O número de “palabras” de 3 letras diferentes que se poden formar coas letras do conxunto
{a, b, c, d, e, f } é
6!
6!
=
= 6 · 5 · 4 = 120
V6,3 =
(6 − 3)!
3!
2. O número de apostas diferentes na loterı́a primitiva é
49
49!
C49,6 =
=
= 13983816
6
6!43!
N. M. Villanueva - Dep. Estatı́stica e I.O - [email protected]
40